Координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі

Поставлено та вирішено задачу оптимального керування співвідношеннями між вихідними координатами багатовимірного різнотемпового об’єкта в стохастичному середовищі. Розглянуто основні схеми побудови системи керування, критерії оптимальності для таких систем, а також розроблено алгоритм цифрового керу...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Романенко, В.Д., Мілявський, Ю.Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2011
Schriftenreihe:	Системні дослідження та інформаційні технології
Schlagworte:	Автоматизовані системи управління
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50093
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі / В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 2. — С. 7-20. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50093
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-500932013-10-05T03:08:55Z Координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі Романенко, В.Д. Мілявський, Ю.Л. Автоматизовані системи управління Поставлено та вирішено задачу оптимального керування співвідношеннями між вихідними координатами багатовимірного різнотемпового об’єкта в стохастичному середовищі. Розглянуто основні схеми побудови системи керування, критерії оптимальності для таких систем, а також розроблено алгоритм цифрового керування на основі зведення задачі багатокритеріальної безумовної оптимізації до однокритеріальної умовної оптимізації. Наведено результати чисельного моделювання, що підтверджують практичну цінність цієї розробки. Поставлена и выполнена задача оптимального управления соотношениями между выходными координатами многомерного разнотемпового объекта в стохастической среде. Рассмотрены основные схемы построения системы управления, критерии оптимальности для таких систем, а также разработан алгоритм цифрового управления на основе приведения задачи многокритериальной безусловной оптимизации к однокритериальной условной оптимизации. Приведены результаты численного моделирования, подтверждающие практическую ценность данной разработки. The problem of the optimal control of the correlations between the output cordinates of multidimentional multirate object in a stochastic environment is formulated and implemented. The main schemes of the control systems organization, optimization criteria for such systems are considered. Also the algorithm of digital control is developed on the basis of the problem of multicriteria absolute optimization. The results of numerical simulations, which confirm the practical value of this development, are presented. 2011 Article Координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі / В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 2. — С. 7-20. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50093 62-50 uk Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Автоматизовані системи управління Автоматизовані системи управління
spellingShingle	Автоматизовані системи управління Автоматизовані системи управління Романенко, В.Д. Мілявський, Ю.Л. Координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі Системні дослідження та інформаційні технології
description	Поставлено та вирішено задачу оптимального керування співвідношеннями між вихідними координатами багатовимірного різнотемпового об’єкта в стохастичному середовищі. Розглянуто основні схеми побудови системи керування, критерії оптимальності для таких систем, а також розроблено алгоритм цифрового керування на основі зведення задачі багатокритеріальної безумовної оптимізації до однокритеріальної умовної оптимізації. Наведено результати чисельного моделювання, що підтверджують практичну цінність цієї розробки.
format	Article
author	Романенко, В.Д. Мілявський, Ю.Л.
author_facet	Романенко, В.Д. Мілявський, Ю.Л.
author_sort	Романенко, В.Д.
title	Координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі
title_short	Координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі
title_full	Координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі
title_fullStr	Координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі
title_full_unstemmed	Координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі
title_sort	координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Автоматизовані системи управління
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50093
citation_txt	Координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі / В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 2. — С. 7-20. — Бібліогр.: 8 назв. — укр.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT romanenkovd koordinuûčekeruvannâbagatovimírnimobêktomzríznotempovoûdiskretizacíêûvstohastičnomuseredoviŝí AT mílâvsʹkijûl koordinuûčekeruvannâbagatovimírnimobêktomzríznotempovoûdiskretizacíêûvstohastičnomuseredoviŝí
first_indexed	2025-07-04T11:33:48Z
last_indexed	2025-07-04T11:33:48Z
_version_	1836715951342485504
fulltext	© В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський, 2011 Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 7 TIДC АВТОМАТИЗОВАНІ СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ УДК 62-50 КООРДИНУЮЧЕ КЕРУВАННЯ БАГАТОВИМІРНИМ ОБ’ЄКТОМ ІЗ РІЗНОТЕМПОВОЮ ДИСКРЕТИЗАЦІЄЮ В СТОХАСТИЧНОМУ СЕРЕДОВИЩІ В.Д. РОМАНЕНКО, Ю.Л. МІЛЯВСЬКИЙ Поставлено та вирішено задачу оптимального керування співвідношеннями між вихідними координатами багатовимірного різнотемпового об’єкта в сто- хастичному середовищі. Розглянуто основні схеми побудови системи керуван- ня, критерії оптимальності для таких систем, а також розроблено алгоритм цифрового керування на основі зведення задачі багатокритеріальної безумов- ної оптимізації до однокритеріальної умовної оптимізації. Наведено результати чисельного моделювання, що підтверджують практичну цінність цієї розробки. ВСТУП Задача керування співвідношеннями вихідних координат об’єкта (коорди- нуючого керування) у стохастичному середовищі є новою задачею в теорії керування. Усі відомі на сьогодні розробки, які стосуються координуючого керування, працюють у детермінованому середовищі. У той же час біль- шість об’єктів, що зустрічаються на практиці, мають стохастичну природу, тому задача керування співвідношеннями має вирішуватись і в такій поста- новці. Актуальність поставленої в роботі задачі зростає також унаслідок то- го, що нині системи керування починають все частіше застосовувати для управління соціальними, економічними, екологічними та іншими система- ми, які майже завжди мають стохастичну природу, для яких саме виконання певних базових співвідношень між координатами є першочерговим завдан- ням. Різна частота дискретизації вимірів різних показників у таких системах також є поширеним явищем, тому за основу було взято різнотемпову модель об’єкта керування. Мета роботи — розробка критеріїв, схем та методу керування співвід- ношеннями вихідних координат динамічного об’єкта в стохастичному сере- довищі при різнотемповій дискретизації. Слід зазначити, що ті методи, які на сьогодні розроблені для коорди- нуючого керування детермінованими об’єктами [1, 2], складно застосувати у стохастичному випадку. Це пов’язано, в першу чергу, з тим, що в цьому випадку неможливо вимагати чіткого виконання заданих співвідношень між координатами, оскільки всі сигнали є випадковими. Тому логічно запропо- нувати критерій мінімуму дисперсії заданого співвідношення за аналогією з В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 8 критерієм мінімуму дисперсії власне вихідної координати. Зрозуміло, що розв’язок задачі мінімізації дисперсії співвідношення буде не єдиним, так само, як і в детермінованому випадку. Тому, крім мінімізації цього базового критерію для однозначності розв’язку необхідно застосовувати також інший критерій. Природним критерієм є загальноприйнятий критерій мінімуму дисперсії різниці вихідних координат та задавальних діянь. Але, в загально- му випадку, як буде видно з подальшого викладу, ці два критерії (за диспер- сією співвідношення та дисперсією вихідної координати) мають різні точки мінімуму. Тобто, виникає задача багатокритеріальної оптимізації в стохас- тичному середовищі. РОЗРОБКА АЛГОРИТМУ КООРДИНУЮЧОГО КЕРУВАННЯ Нехай об’єкт керування задано у формі багатовимірної різнотемпової моделі ARMAX (Autoregressive moving average with exogenous input — авторегресії та ковзного середнього із додатковим вхідним сигналом) з малим періодом дискретизації збурень і великим періодом дискретизації вихідних коорди- нат і керування [3]: )()()()()()( 0 11 1 1 1 kTzCrhuzBrhYzA ζ−−− += , (1) де ,...)( 1 1 11 1 1 p p zAzAIzA −−− −−−= ,..)( 1 2 12 1 11 1 1 q q zBzBzBzB −−−− ++= ,...)( 1 10 1 s s zCzCCzC −−− +++= ,dimdimdim,,,, 0 1 1 nuY m krmThzzms m ===⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡===≥ −− ζ де всі матриці квадратні )( nn× , h та 0T — великий та малий періоди дис- кретизації відповідно; 1−z — оператор зворотного зсуву на один період дис- кретизації 0T ; 1 1 −z — оператор зворотного зсуву на період h ; ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ m k — ціла частина числа . m k Для зручності подальших викладок і незалежності від порядків моделі введемо в розгляд таку координату: −+−−+=+ )0)((0)(1))1(())1((~ TmkCrhuBhrYhrY ζ =+−−−−+− )0)1((1...)0)1((1 TkmCTmkC ζζ ++−++−++−++= ))1((...))1(())1((...)( 21 hqruBhruBhprYArhYA qp ))((...)( 00 TsmkCkTC sm −++++ ζζ . (2) Таким чином, ))1((~ hrY + є відомою на момент rh частиною ))1(( hrY + . Введемо спочатку стандартний критерій узагальненої дисперсії віднос- но вектора задавальних діянь [4, 5]: Координуюче керування багатовимірним об’єктом із різнотемповою дискретизацією … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 9 +−+−+=+ ))()1(())()1({()1( rGrYrGrYErJ T G min))}1()(())1()(( →−−−−+ ruruRruru T . (3) Тут і далі часовий індекс h не вказується, тому що за припущенням за- давальне діяння є константою принаймні протягом великого періоду дис- кретизації. На кожному кроці алгоритму r під оператором E розумітимемо умовне математичне сподівання відносно всієї інформації, доступної на мо- мент часу rh включно. Матриця R у (2) припускається симетричною, не- від’ємно визначеною і такою, що RBBT +11 — невироджена. Для мінімізації (3) розділимо )1( +rY на відому і невідому частини, як у [5], тобто (враховуючи (2)): ),1(~)()1(~)1( 1 ++++=+ rruBrYrY ζ ))1()1((...))1(())1(()1(~ 01010 TmhrCThrChrCr m −−+++−+++=+ − ζζζζ . Тоді критерій (2) можна записати так: ++−++−+=+ ))()()1(~())()()1(~()1( 11 ruBrGrYruBrGrYrJ T G +−++−−−−+ )()1(~{(2))1()(())1()(( rGrYEruruRruru T )}1(~)1(~{)}1(~))(1 +++++ rrErruB TT ζζζ . Останній доданок не залежить від )(ru , і тому похідна від нього по )(ru дорівнює нулю. Передостанній доданок дорівнює нулю, тому що за припущенням вхідний шум має нульове середнє, є некорельованим і не за- лежить від решти змінних. Отже, перший співмножник можна винести за оператор математичного сподівання, а другий співмножник після цього до- рівнюватиме нулю. Для того, щоб взяти похідну від перших двох доданків, скористаємось тим фактом, що похідна по вектору u від виразу типу )()( cAuQcAu T ++ , де Q — симетрична матриця, c — вектор, дорівнює )(2 cAuQAT + [7]. Отже, .))1()((2))()1(~)((2 )( )1( 11 −−+−++= ∂ +∂ ruruRrGrYruBB ru rJ TG Прирівняємо до нуля та перенесемо )(ru в праву частину, після чого отримаємо ).1())()1(~()()( 111 −−−+−=+ rRurGrYBruRBB TT Покажемо, що розв’язок цього рівняння є точкою мінімуму. Дійсно, = ∂ +∂ )( )1( 2 2 ru rJG )(2 11 RBBT += , а ,0,011 ≥≥ RBBT тому 011 ≥+ RBBT , і за умовою RBBT +11 — невироджена, тому )( )1( 2 2 ru rJG ∂ +∂ — додатно визначена, отже, маємо точку мінімуму [6]. В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 10 Тоді відповідне керування )(ruG обчислюється за формулою: )].1())()1(~([)()( 1 1 11 −−−++−= − rRurGrYBRBBru G TT G (4) Перейдемо безпосередньо до задачі координуючого керування. Нехай задано набір M співвідношень у вигляді: brSY =)( , (5) де b — заданий вектор розмірності ;M S — задана матриця розмірності ,, nMnM <× причому .)(rang 1 MSB = Вимога координуючого керування полягає в тому, що співвідношення (5) має виконуватись максимально точно на кожному періоді дискретизації. Введемо критерій мінімізації дисперсії нев’язки співвідношень: min)})1(())1({()1( →−+−+=+ brSYbrSYErJ T b . (6) Розглянемо проблему вибору задавального діяння G у такій постанов- ці. Запропонуємо три схеми. Згідно зі схемою 1, задавальне діяння подаєть- ся на вхід незалежно, без зворотного зв’язку, тобто воно визначене наперед (рис. 1), але при цьому має задовольняти співвідношенню (5), тобто brSG =)( . Перевагами схеми 1 є простота та відсутність шумів у вхідних сигналах. Недоліком є те, що задаюче діяння не враховує, чи виконується реально співвідношення між вихідними координатами, тобто вимагається виконання співвідношення лише між ідеальними, бажаними, сигналами, а не між дійсними. Згідно з рис. 2 із фізичних міркувань серед вихідних змінних обираєть- ся Mn − ведучих і М ведених координат. Оскільки, за припущенням, усі співвідношення лінійно незалежні, то ведені координати можна виразити однозначно як лінійні комбінації ведучих. По прямих каналах ведучих коор- динат подаються певні задавальні діяння (без обмежень), а замість задаваль- них діянь для ведених координат подаються відповідні лінійні комбінації Gn Gn-M+1 G1 Співвід- ношення u1 Y1 … … … … … … … … … … Gn-M Регулятор Об’єкт un ζ Yn …… …… Рис. 1. Схема координуючого керування Координуюче керування багатовимірним об’єктом із різнотемповою дискретизацією … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 11 ведучих вихідних координат (рис. 2). Перевагою схеми на рис. 2 є той факт, що ми вимагаємо від системи, щоб ведені вихідні координати відповідали необхідним співвідношенням ведучих вихідних координат, тобто виконання співвідношення тепер є не додатковою умовою, поряд із відпрацюванням вхідних сигналів, а основною умовою. Недоліком схеми є зашумленість за- давальних діянь для ведених координат (тому що вони формуються на осно- ві ведучих вихідних координат, що містять шум), що збільшує зашумленість системи в цілому. Крім того, вимагається виконання співвідношення між зашумленими сигналами, що не завжди доцільно на практиці. Частіше буває необхідно задовольняти співвідношенню між корисними складовими сигналів. Схема на рис. 3 будується на основі схеми з рис. 2, але задавальні діян- ня ведених сигналів проходять через низькочастотні фільтри, перш ніж на- дійти на входи системи (рис. 3). Оскільки і фільтри, і співвідношення ліній- ні, то це еквівалентно тому, що вихідні ведучі сигнали фільтруються, і лише після цього обчислюються лінійні комбінації, відповідні веденим сигналам. Структура низькочастотного фільтра тут не відіграє принципової ролі, до- статньо ковзного середнього (можливо, зваженого) з невеликим «вікном». Таким чином схема на рис. 3 зберігає переваги схеми з рис. 2, при цьому позбавляючись основного її недоліку — шуму на вході, тому схема з рис. 3 у більшості випадків є найбільш прийнятною. Недоліком її є відносна скла- дність реалізації. Зауважимо, що для подальших викладок неважливо, за якою із схем отримано задаючі діяння, тобто алгоритм регулятора в залежності від схеми змінювати не потрібно. Розв’яжемо задачу мінімізації (6) по )(ru . Для цього підставимо у (6) замість )1( +rY вираз (враховуючи (2)): Gn Gn-M+1 G1 Об’єкт u1 un …… …… ζ Y1 Yn … … … … … ….. …… Yn-M Yn-M+1 Співвід- ношення Регулятор Регулятор Gn-M ….. Рис. 2. Схема координуючого керування В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 12 ),1(~)()1(~)1( 1 ++++=+ rruBrYrY ζ ))1()1((...))1(())1(()1(~ 01010 TmhrCThrChrCr m −−+++−+++=+ − ζζζζ . Тоді +−++−++=+ ))()1(~())()1(~()1( 11 bruSBrYSbruSBrYSrJ T b .)}1(~)1(~{))}1(~())()1(~{(2 1 ++++−+++ rSSrErSbruSBrYSE TTT ζζζ Останній доданок не залежить від )(ru , і тому його під час мінімізації можна не враховувати. Передостанній доданок дорівнює нулю, тому що за припущенням вхідний шум має нульове середнє, є некорельованим і не за- лежить від решти змінних, отже, перший співмножник можна винести за оператор математичного сподівання, а другий співмножник після цього до- рівнюватиме нулю. Перший доданок дорівнює евклідовій нормі вектора bruSBrYS −++ )()1(~ 1 . Відомо, що норма вектора невід’ємна і дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли вектор нульовий. Тому, якщо рівняння ))1(~()(1 brYSruSB −+−= має розв’язок, то цей розв’язок є точкою глобаль- ного мінімуму критерію. За умовою, вектор )(ru має розмірність n , ))1(~( brYS −+− — розмірність nM < , і .)(rang 1 MSB = Тому за теоремою Кронекера-Капеллі [7] це рівняння має множину розв’язків, на яких і дося- гається мінімум критерію (6), а саме: ))1(~()(1 brYSruSB −+−= . (7) Рис. 3. Схема координуючого керування Gn Gn-M+1 G1 Об’єкт u1 un …… …… ζ Y1 Yn … … … … … ….. …… Yn-M Yn-M+1 Співвід- ношення Регулятор Регулятор Gn-M ….. Фільтр Фільтр Координуюче керування багатовимірним об’єктом із різнотемповою дискретизацією … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 13 Взагалі, керування (4) не задовольняє рівності (7). Таким чином, маємо багатокритеріальну задачу оптимізації )(ru по критеріях (3), (6), причому критерій (6) є за умовою більш пріоритетним, але має неоднозначний розв’язок. МЕТОД УМОВНОЇ МІНІМІЗАЦІЇ ДИСПЕРСІЇ НЕВ’ЯЗКИ СПІВВІДНО- ШЕНЬ ТА УЗАГАЛЬНЕНОЇ ДИСПЕРСІЇ ВИХІДНИХ КООРДИНАТ У цій роботі пропонується такий метод розв’язання поставленої задачі. Бу- демо розглядати рівність (7) як обмеження, що має обов’язково виконува- тись при мінімізації критерію (3), тобто зведемо задачу безумовної багато- критеріальної оптимізації до задачі умовної однокритеріальної оптимізації. Задачу умовної оптимізації будемо розв’язувати методом множників Лагранжа [6], а потім застосуємо теорему Фробеніуса для обернення блоч- ної матриці [7]. У результаті отримуємо таку теорему. Теорема. Нехай об’єкт керування задано у вигляді (1), і необхідно на кожному кроці формувати таке керуюче діяння, яке буде мінімізувати кри- терій оптимальності (3) при обмеженні (7). Тоді оптимальним буде таке зна- чення )(ru : ++−+−= −−− ])({[)()( 1 111 1 1 1 11 RBBSBLSBIRBBru TTTT ]},)1(~[)]1())()1(~([ 1 11 brYSLSBrRurGrYB TTT −++−−−++ − (8) якщо RBBT +11 та TTT SBRBBSBL 1 1 111 )( −+= — невироджені, )1(~ +rY за- дається формулою (2). Доведення. Згідно із методом множників Лагранжа [6] для розв’язання задачі (3), (7) вводимо функцію Лагранжа: ))1(~)(()1()),(( 1 ++−++= rYSbruSBrJrul T G λλ , де λ — невідомий вектор-стовпчик розмірності .M Візьмемо похідну, ско- риставшись правилами матричного диференціювання [7], і прирівняємо її до нуля: 0)(2))()1(~(2)()(2 )( 1111 =+−−+++= ∂ ∂ λTTTT SBrRurGrYBruRBB ru l , 0)1(~)(1 =++−= ∂ ∂ rYSbruSBl λ . Щоб розв’язати цю систему, подамо її у блочно-матричній формі: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++− −+−+−=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + brYS rRurGrYBru BS SBRBB TTTT )1(~ )1(2))()1(~(2)( 0 )(2 1 1 111 λ , тоді ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ++− −+−+− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − brYS rRurGrYB SB SBRBBru TTTT )1(~ )1(2))()1(~(2 0 )(2)( 1 1 1 111 λ . В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 14 Скористаємось теоремою Фробеніуса про обернення блочної матри- ці [7], згідно з якою ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −+=⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −−− −−−−−− 111 111111 )( KCAK BKACABKIA DC BA , де ви- магається невиродженість A та її доповнення Шура BCADK 1−−= . Отже, =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + −1 1 111 0 )(2 SB SBRBB TTT , )(5,0 )(5,0])(5,0[)(5,0 11 111 1 1 1 1 11 1 111 1 1 1 11 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +− +−+++ = −−− −−−−− KRBBSBK KSBRBBRBBSBKSBIRBB T TTTTTTT .)(5,0 1 1 111 TTT SBRBBSBK −+−= Зауважимо, що до вже виконаної вимоги невиродженості RBBT +11 до- далась вимога невиродженості .K Значення множників Лагранжа λ нас не цікавлять, тому випишемо те- пер тільки формулу для )(ru : ×+++−= −−− ])(5,0{[)(5,0)( 1 111 1 1 1 11 RBBSBKSBIRBBru TTTT ]})1(~[)]1())()1(~([2 1 11 brYSKSBrRurGrYB TTT −+−−−−+× − . Щоб позбавитись від множників 2 і 0,5, визначимо += 111( BBSBL T TT SBR 1 1)−+ і після елементарних перетворень отримаємо шукану форму- лу (8). Теорему доведено. Розглянемо частковий випадок, коли R — нульова, 1B — невироджена і TTTT SSSBBBSBL == − 1 1 111 )( — невироджена. Тоді за формулою (8) у цьому частковому випадку, враховуючи, що 1 11 1 11 )( −− =+ BBRBB TT , отрима- ємо: +−+−−= −−− ))()1(~(])()({[)()( 1 1 1 1 1 1 11 rGrYBBSSSSBIBBru TTTTTT +−+−=−++ −− ))()1(~()(]})1(~[)( 1 1 11 1 1 rGrYBBBbrYSSSSB TTTTT ).)1(~()())()1(~()( 11 1 11 1 brYSSSSBrSGrYSSSSB TTTT −+−−++ −−−− При R — нульовій, із (4) випливає, що перший доданок в останній час- тині рівності дорівнює )(ruG , тому після взаємознищення доданків з )1(~ +rYS отримаємо: ).)(()()()( 11 1 brSGSSSBruru TT G −−= −− (9) Якщо задавальне діяння задовольняє співвідношення (5), тобто має мі- сце схема 1, то з (9) випливає, що у розглянутому частковому випадку )()( ruru G= , тобто розв’язок задачі мінімізації (3) лежить на лінійному Координуюче керування багатовимірним об’єктом із різнотемповою дискретизацією … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 15 многовиді розв’язків задачі мінімізації (6). Це легко зрозуміти, оскільки: за відсутності обмежень на керування )0( =R критерій (3) зводиться до того, щоб якнайкраще наблизити вихідні координати до задавального діяння, а якщо задавальне діяння саме задовольняє співвідношенням (5), то при оп- тимальному керуванні за критерієм (3) ці співвідношення теж будуть задо- вольнятись якнайкраще, тобто критерій (6) мінімізуватиметься автоматично. Утім, на практиці звичайно обмеження на керування доводиться накладати, матриця R відмінна від нульової, тоді при керуванні за формулою (4) коор- динуючий критерій (6) може не досягати свого мінімуму (навіть для рис. 1, а тим паче для рис. 2 і 3). Оскільки за умовою задача координації є більш пріоритетною і, в першу чергу, треба досягати саме мінімуму (6), а вже по- тім за можливістю мінімізувати (3), то в загальному випадку отриманий на- ми розв’язок (8) є оптимальним для цієї задачі в цілому. ПРИКЛАД І АНАЛІЗ РЕЗУЛЬТАТІВ Нехай задано двовимірний об’єкт із різнотемповою дискретизацією типу (1) такого вигляду [8]: ,)(,)( 2 12 1 11 1 1 2 12 1 11 1 1 −−−−−− +=−−= zBzBzBzAzAIzA ,2,)( 0 4 4 3 3 2 2 1 1 1 ThzCzCzCzCIzC =++++= −−−−− , 11844,00 011838,0, 78855,00 001045,1 21 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= AA , 564,003414,1 13628,004312,0, 1994,109626,2 27312,008637,0 21 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = BB , 01905,036112,0 5798,13455,0, 00526,155526,0 1333,24333,1 21 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= CC . 03716,00333,0 05298,00578,0, 2035,010947,0 48627,017417,0 43 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−=⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −− − = CC Подаватимемо на вхід незалежний гауссівський білий шум ζ зі стан- дартним відхиленням 0,1. Нехай треба забезпечити виконання співвідно- шення 1)(2)( 21 =− rYrY , тобто в (5) маємо 1),21( =−= bS . Будемо подава- ти задавальне діяння за схемою рис. 3, оскільки аналіз вище показав, що вона найбільш придатна на практиці. Виберемо першу координату ведучою, другу веденою, і виразимо 2 1)()( 1 2 − = rYrY . Візьмемо в якості низькочас- тотного фільтра звичайне ковзне середнє з «вікном», рівним шести великим періодам дискретизації, тобто фільтр має передаточну функцію 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 −−−−− +++++ zzzzz . Змоделюємо два випадки — систему стабі- лізації та слідкуючу систему. У системі стабілізації виберемо задавальне В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 16 діяння по каналу ведучої координати 71 =G (тоді, згідно із заданим спів- відношенням, ведена координата має стабілізуватись на рівні 3). У слідкую- чій системі візьмемо вхідний сигнал 36 sin7)(1 rrG π = . У критерії (2) нехай ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 15,00 015,0 R . Моделювання виконувалось у середовищі Matlab 7.9.0. Порівняємо ал- горитм (8), запропонований у цій роботі, із алгоритмом (4), що базується винятково на критерії (3) без врахування співвідношення, тобто без власне координуючого керування. На рис. 4, 5 показано першу і другу вихідні ко- ординати відповідно для системи стабілізації, на рис. 6 показано нев’язку по співвідношенню для цього алгоритму, тобто значення −= )()( 1 rYrε 1)(2 2 −− rY . Щоб отримати чисельну характеристику якості керування, будемо об- числювати оцінки стандартних відхилень (квадратних коренів з дисперсії) вихідних координат від задавальних діянь та стандартних відхилень нев’язки співвідношення за формулами відповідно: ∑ = − − = N r iii rGrY N Y 1 2))()(( 1 1)(σ , ,))(( 1 1)( 1 2∑ = − − = N r brSY N εσ де N — кількість великих періодів дискретизації, протягом яких відбува- лось моделювання. Отримано такі значення: Стандартне відхилення )( 11 GY − — .404418,0 Стандартне відхилення )( 22 GY − — .22996,0 Рис. 4. Моделювання системи стабілізації: 1 — графік )(1 rY з координацією, 2 — графік )(1 rY без координації 0 20 40 60 80 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 2 1 Координуюче керування багатовимірним об’єктом із різнотемповою дискретизацією … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 17 Стандартне відхилення )( 11 GY − без координації — .45776,0 Стандартне відхилення )( 22 GY − без координації — .2076,0 Стандартне відхилення нев’язки — .23435,0 Стандартне відхилення нев’язки без координації — .41521,0 Рис. 5. Моделювання системи стабілізації: 1 — графік )(2 rY з координацією, 2 — графік )(2 rY без координації 0 20 40 60 80 100 1 2 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 –0,5 2 1 В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 18 Із отриманих результатів можна зробити висновок, що врахування співвідношення в критерії оптимальності майже не змінює якість стабіліза- ції системи, але при цьому приблизно в 1,8 разу зменшується стандартне відхилення нев’язки співвідношення. Отже, покращення якості відпрацювання співвідношення, що і було основною метою цієї розробки, досягнуто. На рис. 7, 8 показано вихідні координати для слідкуючої системи, на рис. 9 — відповідна нев’язка співвідношення. Чисельні результати такі: Рис. 7. Моделювання слідкуючої системи: 1 — графік )(1 rY з координацією, 2 — графік )(1 rY без координації 0 20 40 60 80 100 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 1 2 – – – – 1 2 Рис. 6. Моделювання системи стабілізації: 1 — графік )(rε з координацією, 2 — графік )(rε без координації 0 20 40 60 80 100 -2 -1 0 1 2 3 4 1 2 I 2 Рис. 8. Моделювання слідкуючої системи: 1 — графік )(2 rY з координацією, 2 — графік )(2 rY без координації 0 20 40 60 80 100 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2 1 – – – – 2 1 – Координуюче керування багатовимірним об’єктом із різнотемповою дискретизацією … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 2 19 Стандартне відхилення )( 11 GY − — .95504,0 Стандартне відхилення )( 22 GY − — .56802,0 Стандартне відхилення )( 11 GY − без координації .69307,0 Стандартне відхилення )( 22 GY − без координації — .3074,0 Стандартне відхилення нев’язки — .23615,0 Стандартне відхилення нев’язки без координації — .6148,0 Як бачимо, цього разу стандартні відхилення вихідних координат дещо зросли, проте стандартне відхилення нев’язки співвідношення зменшилось приблизно у 2,6 разу, що для координуючої системи значно важливіше, ніж незначна втрата точності слідкування. Таким чином, можна зробити висно- вок, що розроблений алгоритм координуючого керування задовільно вико- нує покладені на нього функції. ВИСНОВКИ У цій роботі досліджено задачу координуючого керування різнотемповим об’єктом у стохастичному середовищі. 1. Запропоновано новий критерій оптимальності координуючого управління — критерій мінімуму дисперсії нев’язки співвідношень вихідних координат багатовимірного процесу. 2. Розроблено метод умовної мінімізації дисперсії нев’язки співвідно- шень та узагальненої дисперсії вихідних координат, а також рекурентний Рис. 9. Моделювання слідкуючої системи: 1 — графік )(rε з координацією, 2 — графік )(rε без координації 0 20 40 60 80 100 2 1 1 2 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 –0,5 –1 –1,5 В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 2 20 алгоритм оптимального цифрового керування відносно запропонованого критерію. 3. Проведено дослідження розробленого методу й алгоритмів оптима- льного координуючого керування шляхом цифрового моделювання двови- мірної системи при постійному та змінному задавальному діянні ведучої координати, що підтвердило ефективність і практичну цінність отриманих результатів. ЛІТЕРАТУРА 1. Бойчук Л.М. Синтез координирующих систем автоматического управления. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 160 с. 2. Мирошник И.В. Согласованное управление многоканальными системами. — Л.: Энергоатомиздат, 1990. — 129 с. 3. Романеко В.Д. Прогнозирование динамических процессов на основе математи- ческих моделей временных рядов с разнотемповой дискретизацией // Сис- темні дослідження та інформаційні технології. — 2005. — № 2. — С. 23–41. 4. Романенко В.Д. Методи автоматизації прогресивних технологій: підруч. — Київ: Вища шк., 1995. — 519 с. 5. Изерман Р. Цифровые системы управления. — М.: Мир, 1984. — 541 с. 6. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. — М.: Наука, 1986. — 248 с. 7. Магнус Я., Нейдекер Х. Матричное дифференциальное исчисление с приложе- ниями к статистике и эконометрике. — М.: Физматлит, 2002. — 495 с. 8. Романенко В.Д. Синтез и адаптивная настройка функций прогнозирования динамических процессов в приращениях переменных для моделей с раз- нотемповой дискретизацией // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2007. — № 4. — С. 15–25. Надійшла 26.07.2010

Координуюче керування багатовимірним об’єктом з різнотемповою дискретизацією в стохастичному середовищі

Institution

Ähnliche Einträge