Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях

Рассмотрена и исследована двойственная задача оптимизации инвестиционного портфеля в условиях неопределенности. Получены достаточные условия выпуклости математической модели этой задачи. Приведены результаты экспериментальных исследований получаемых решений прямой и двойственной задач нечеткой портф...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Зайченко, Ю.П., Ови Нафас Агаи Аг Гамиш
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2011
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50113
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях / Ю.П. Зайченко, Ови Нафас Агаи Аг Гамиш // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 3. — С. 63-76. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50113
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-501132013-10-06T03:04:30Z Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях Зайченко, Ю.П. Ови Нафас Агаи Аг Гамиш Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Рассмотрена и исследована двойственная задача оптимизации инвестиционного портфеля в условиях неопределенности. Получены достаточные условия выпуклости математической модели этой задачи. Приведены результаты экспериментальных исследований получаемых решений прямой и двойственной задач нечеткой портфельной оптимизации. Розглянуто та досліджено двоїсту задачу оптимізації інвестиційного портфеля в умовах невизначеності. Отримано достатні умови випуклості математичної моделі цієї задачі. Наведено результати експериментальних досліджень отриманих рішень прямої та двоїстої задачі нечіткої портфельної оптимізації. The dual problem of the investment portfolio optimization in fuzzy conditions is considered and investigated. The sufficient conditions of the mathematical model convexity of this problem are obtained and discussed. The results of experimental investigations of the solutions of the derect and dual problem of fuzzy portfolio optimization are presented. 2011 Article Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях / Ю.П. Зайченко, Ови Нафас Агаи Аг Гамиш // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 3. — С. 63-76. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50113 519.8 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
spellingShingle	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Зайченко, Ю.П. Ови Нафас Агаи Аг Гамиш Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях Системні дослідження та інформаційні технології
description	Рассмотрена и исследована двойственная задача оптимизации инвестиционного портфеля в условиях неопределенности. Получены достаточные условия выпуклости математической модели этой задачи. Приведены результаты экспериментальных исследований получаемых решений прямой и двойственной задач нечеткой портфельной оптимизации.
format	Article
author	Зайченко, Ю.П. Ови Нафас Агаи Аг Гамиш
author_facet	Зайченко, Ю.П. Ови Нафас Агаи Аг Гамиш
author_sort	Зайченко, Ю.П.
title	Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях
title_short	Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях
title_full	Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях
title_fullStr	Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях
title_full_unstemmed	Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях
title_sort	исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50113
citation_txt	Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях / Ю.П. Зайченко, Ови Нафас Агаи Аг Гамиш // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 3. — С. 63-76. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT zajčenkoûp issledovaniedvojstvennojzadačioptimizaciiinvesticionnogoportfelâvnečetkihusloviâh AT ovinafasagaiaggamiš issledovaniedvojstvennojzadačioptimizaciiinvesticionnogoportfelâvnečetkihusloviâh
first_indexed	2025-07-04T11:35:40Z
last_indexed	2025-07-04T11:35:40Z
_version_	1836716069036752896
fulltext	© Ю.П. Зайченко, Ови Нафас Агаи Аг Гамиш, 2011 Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 63 УДК 519.8 ИССЛЕДОВАНИЕ ДВОЙСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ В НЕЧЕТКИХ УСЛОВИЯХ Ю.П. ЗАЙЧЕНКО, ОВИ НАФАС АГАИ АГ ГАМИШ Рассмотрена и исследована двойственная задача оптимизации инвестиционно- го портфеля в условиях неопределенности. Получены достаточные условия выпуклости математической модели этой задачи. Приведены результаты экс- периментальных исследований получаемых решений прямой и двойственной задач нечеткой портфельной оптимизации. ВВЕДЕНИЕ В последние годы проблема оптимизации инвестиционных портфелей пред- ставляет значительный интерес в связи с развитием финансовых рынков в Украине и мире. Нахождение оптимального портфеля позволяет инвесторам и финансовым фондам распределять финансовые средства в портфели цен- ных бумаг с целью получения максимально возможной прибыли, а также сокращения риска принятых решений. Особенностью данной проблемы является существенная неопределен- ность исходной информации относительно доходности ценных бумаг (ЦБ) в будущий момент времени. Новый подход к задаче оптимизации портфеля, который позволяет учесть неопределенность исходных данных и является альтернативой классической модели Марковица, базируется на применении аппарата нечетких множеств. Проблема нечеткой портфельной оптимизации была рассмотрена и исследована в работах [1, 2, 3]. В этих работах рассмат- ривалась следующая постановка задачи: необходимо оптимизировать ожи- даемую доходность портфеля при ограничениях на возможный риск. Алго- ритм для решения этой задачи предложен и исследован в [2]. В работе [3] было предложено использовать прогнозирование доходностей акций, что позволило повысить эффективность получаемых решений. Цель работы — рассмотрение двойственной задачи нечеткой порт- фельной оптимизации, ее исследование и определение достаточных условий ее выпуклости. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОЙ ПОРТФЕЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ Исходная задача оптимизации нечеткого портфеля, которую естественно называть прямой, имеет следующий вид [1, 2]. Найти ожидаемую доходность нечеткого портфеля max~~ 1 →=∑ = ii N i xrr (1) Ю.П. Зайченко, Ови Нафас Агаи Аг Гамиш ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 64 при ограничениях на риск 10 << β , (2) 1 1 =∑ = i N i x , (3) 0≥ix . (4) При этом доходность i-й ценной бумаги (ЦБ) рассматривается как не- четкое число с треугольной функцией принадлежности: },~,{ 21 iiii rrrr = , где ir~ — ожидаемая доходность i-той ценной бумаги; 1ir — нижняя грани- ца доходности i-той ценной бумаги; 2ir — верхняя граница доходности i-й ценной бумаги. Тогда доходность по портфелю: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ==== ∑∑∑ === ii N i ii N i ii N i xrrxrrxrrr 2 1 max 1 1 1 min ;~~; , также является треугольным нечетким числом (как линейная комбинация треугольных нечетких чисел), где ix — вес i-гo актива в портфеле. Рассмотрим случай, когда критериальное значение доходности ∗r удовлетворяет условиям: rrxrrxr ii N i ii N i ~~ 1 * 1 1 min =≤≤= ∑∑ == . (5) Тогда величина риска равна [1, 2]: × − = ∑∑ == 1121 1)( ii N iii N i rxrx xβ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −× ∑∑ ∑∑∑ == = == 111 * 1* 1 1 1 * ~ ~ ln~ ii N iii N i ii N i ii N i ii N i rxrx rrx rrxrxr . (6) Рассмотрим двойственную задачу оптимизации нечеткого портфеля относительно задачи (1)–(4): минимизировать )(xβ , (7) при условиях * зад 1 ~~ rrrxr ii N i =≥=∑ = , (8) 0 , 1 1 ≥=∑ = ii N i xx . (9) Требуется доказать, что функция риска )(xβ является выпуклой, где Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 65 )( )( )(ln)()()( xD xC xBxBxAx ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +=β . Для этого необходимо доказать, что функция 1121 1)( ii N iii N i rxrx xD ∑∑ == − = — выпуклая, и функция )( )(ln)()( xC xBxBxA + также выпуклая, где 1 1 )( ii N i rxrxA ∑ = −= , 1 ~)( rrxxB ii N i −= ∑ = , 1 11 ~)( ii N i ii N i rxrxxC ∑∑ == −= . Кроме того, обе функции являются убывающими по ix и неотрица- тельными. Действительно )(xA — линейна, и поэтому не строго выпуклая, а функции )(xB и )(xC также линейны. Кроме того, Nirr ii ≤≤≥ 1, 12 , 0~ * 1 >−∑ = rrx ii N i по предположению (ус- ловие (8)). Рассмотрим функцию )(xD и найдем ее первые производные: 0 )( )()( 2 121 12 < ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − − −=′= ∂ ∂ ∑ = iii N i ii i rrx rr xD x xD , 0 )( )(2)( 3 121 2 12 2 2 > ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − − = ∂ ∂ ∑ = iii N i ii i rrx rr x xD . Так как 12 ii rr > , то 0)( 2 2 > ∂ ∂ ix xD , для всех .1 Ni ≤≤ Следовательно, функция )(xD выпуклая. Вычислим: )( )()()( )( )(ln)( )( )(ln)( xC xBxCxB xC xBxB xC xBxB xi ′ −+′=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ . (10) Поскольку 1 ~)()( ii i rrxC x xC −= ∂ ∂ =′ , i i r x xBxB ~)()( = ∂ ∂ =′ , то подставляя в (10), получим: )( )()~(~ )( )(ln~ )( )(ln)( 1 xC xBrrr xC xBr xC xBxB x iiii i −−+=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ . (11) Ю.П. Зайченко, Ови Нафас Агаи Аг Гамиш ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 66 Найдем вторую частную производную − ′−′ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ )( )()()()( )( )(~ )( )(ln)( 22 2 xC xBxCxCxB xB xCr xC xBxB x i i ( ) = ′−′ −− )( )()()()(~ 21 xC xBxCxCxBrr ii ( ) = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ − ′ −−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ − ′ = )( )()( )( )(~ )( )( )( )(~ 21 xC xBxC xC xBrr xC xC xB xBr iii (12) − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = ∑∑∑ === 111 1 * 1 ~ ~ ~ ~ ~ ii N iii N i ii ii N i i i rxrx rr rrx r r ( ) ( ) ( ) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − −⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − − − −− ∑ ∑ ∑ = = = 2 11 1 * 1 11 1 ~ ~~ )~( ~ ~ iii N i iiii N i iii N i i ii rrx rrrrx rrx r rr (13) ( ) ( ) ( ) 2 11 * 1 2 1 11 1 * 1 2 ~ ~~ )~( ~~2 ~ ~ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −− + − − − − = ∑ ∑ ∑∑ = = == iii N i ii N iii iii N i iii ii N i i rrx rrxrr rrx rrr rrx r . (14) После приведения к общему знаменателю выражения (14) получим: =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ )( )(ln)(2 2 xC xBxB xi ( ) ( ) ( ) ( ) + ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −−−⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − = ∑∑ ∑∑∑ == = ∗ == 2 11 * 1 1111 2 11 2 ~~ ~~~~2~~ iii N iii N i iii N iii N iiiiiii N ii rrxrrx rrxrrxrrrrrxr ( ) ( ) = ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −− + ∑∑ ∑ == = * 1 2 11 2 * 1 2 1 ~~ ~~ rrxrrx rrxrr ii N iiii N i ii N iii ( ) ( ) ( ) 0 ~~ ~~~~ 2 2 11 * 1 * 1111 ≥ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −−−⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − = ∑∑ ∑∑ == == iii N iii N i ii N iiiiii N ii rrxrrx rrxrrrrxr . (15) Так как )~(~ 1iii rrr −> и ( ) * 1 1 1 ~~ rrxrrx ii N i iii N i −>− ∑∑ == , то выражение (15) строго больше нуля. Таким образом, все частные производные второго по- рядка больше нуля: Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 67 ,0 )( )(ln)(∆ 2 2 >⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ = xC xBxB xi ii и, соответственно, .0 )( )(ln)()(2 2 >⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ xC xBxBxA xi Теперь необходимо показать, что все диагональные миноры вида: .0∆∆∆∆∆∆∆ ∆∆ ∆∆ 2 ≥−=−=⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ jijjiijiijjjii jjji ijii (16) Эти условия будут достаточными для выпуклости функции )( )(ln)( xC xBxB , а следовательно, и исходной функции )( )(ln)()( xC xBxBxA + . Вычислим смешанные частные производные: =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂∂ ∂ )( )(ln)( 2 xC xBxB xx ji ( ) =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ −′+′ ∂ ∂ )( )()( )( )(ln)( xC xBxCxB xC xBxB xi ( ) = ′−′ −− ′−′ = )( )()()()(~ )( )()()()( )( )(~ 212 xC xBxCxCxB rr xC xBxCxCxB xB xCr jj ii jj i ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ − ′ −−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ − ′ = )( )()( )( )(~ )( )( )( )(~ 21 xC xBxC xC xB rr xC xC xB xB r jj ii jj i , (17) где 1 ~)()( ,~)()( jj j jj j j rrxC x xCrxB x xB −= ∂ ∂ =′= ∂ ∂ =′ . Подставляя эти значения в (17), получим: ( ) − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − ∑∑ == 11 1 * 1 ~ ~ ~ ~ ~ iii N i jj ii N i j i rrx rr rrx r r ( ) ( ) ( ) ( ) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − − −− ∑ ∑ ∑ = = = 2 11 * 11 11 1 ~ ~~ ~ ~ ~ iii N i ii N ijj iii N i j ii rrx rrxrr rrx r rr ( ) ( ) ( ) ( ) − ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−−− = ∑∑ ∑∑∑ == === * 1 2 11 1 1 1 * 1 1 2 1 ~~ ~~~~~~ rrxrrx rrxrrxrrrrrxrr ii N iiii N i N i iii N i ii N i jjiiiiji ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − −−−+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−−− − ∑∑ ∑∑∑ == === * 1 2 11 1 2 111 1 * 1 11 ~~ ~~~~~~~ rrxrrx rrxrrrrrrxrrxrrr ii N iiii N i N i iiijjii N i ii N i iiiiij (18) Ю.П. Зайченко, Ови Нафас Агаи Аг Гамиш ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 68 ( ) ( ) ( ) + ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − −−−−−− = ∑∑ ∑∑∑ == === * 1 2 11 * 11111 2 11 ~~ )~(~)~~~~~~2(~~~ rrxrrx rrxrrxrrrrrrrrxrr ii N iiii N i ii N iiii N ijijijiiii N iji ( )( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −−− + ∑∑ ∑ == = * 1 2 11 2 * 111 ~~ ~~~ rrxrrx rrxrrrr ii N iiii N i ii N ijjii . (19) Для удобства и сокращения выкладок обозначим знаменатель ( ) )(~~ * 1 2 1 1 xErrxrrx ii N i iii N i =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ∑∑ == . (20) Подставим выражение для ii∆ и ij∆ из (15) и (19) в (16) и получим: ( ) ( ) × ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −−−− =− ∑∑ == )( ~~~~ ∆∆∆ 2 * 11112 xE rrxrrrrxr ii N iiiiii N ii jijjii ( ) ( ) − ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −−−− × ∑∑ == )( ~~~~ 2 * 1111 xE rrxrrrrxr jj N ijjjjj N jj ( ) ( ) + ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −−−−−− − ∑∑∑ === )( ~~)~~~~~~2(~~~ 2 * 11111 2 11 xE rrxrrxrrrrrrrrxrr ii N iiii N ijijijiiii N iji ( )( ) )( ~~~ 2 2 * 111 xE rrxrrrr ii N ijjii ⎥⎦ ⎤⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ −−− + ∑ = . (21) Для дальнейшего упрощения введем обозначения: ( ) ** 1 1 1 ~~; ~~ rrrrxrrrrx ii N i miniii N i −=−−=− ∑∑ == . Подставляя их в (21), получим: [ ] * )( )~()~()~(~ ∆∆∆ 2 2* 1min2 xE rrrrrrr iii jijjii −−−− =− [ ] − −−−− )( )~()~()~(~ * 2 2* 1 xE rrrrrrr jjminj ( ) ( )( )( ){ + −−−−−− − )( ~~~~~~2~~~ 2 * min11 2 min xE rrrrrrrrrrrrrr ijjijiji Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 69 ( )( )( )} )( ~~~ 2 2* 11 xE rrrrrr jjii −−− + . (22) Далее обозначим E HFrrrrrrr jiiii ==−−−− ∆; )~()~()~(~ * 1min , −rrj ~(~ Grrrrr jj =−−−− )~()~() * 1min и подставляя в (22), получим: 0)()(∆∆∆ 22 222 2 > +− = − =− E HFGHFG E HGF jijjii . (23) Условие неотрицательности для (23) таково: 0>− HFG . Откуда ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]−−−−−−−−−=− * 1min * 1min ~~~~~~~~~ rrrrrrrrrrrrrrrHFG jjjjiii ( ) ( )( )( )−−−−−+−− * 11 2 ~~~~~~2~~~ rrrrrrrrrrrrrr minijjijiminji ( )( )( ) ( ) −−=−−−− 2* 11 ~~~~~~ minjijjii rrrrrrrrrr ( )( )( ) ( )( )( )+−−−−−−−− * 1 * 1 ~~~~~~~~ rrrrrrrrrrrrrr jjminiminiij ( )( )( ) ( ) +−−−−−+ 2 min 2* 11 ~~~~~~ rrrrrrrrrr jijjii ( )( )( ) ( )( )( ) =−−−−−−−−+ 2* 11 * min11 ~~~~~~~~~2 rrrrrrrrrrrrrrrr jjiiijjiji ( )( ) ( ) ( )[ ] .0~~~~2~~~~~~ 1111 * =−−+−−−−−−= ijjijijjiiijmin rrrrrrrrrrrrrrrr (24) Итак, мы получили следующие условия 0 )( )(ln)(∆ 2 2 >⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ = xC xBxB xi ii для всех i , ,1 Ni ≤≤ и, кроме того, диагональные миноры неотрицательны: 0 ∆∆ ∆∆ 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = jjji ijii iµ . (25) Это является достаточными условиями выпуклости функции )( )(ln)( xC xBxB и, следовательно, функции )( )(ln)()( xC xBxBxA + . Теперь остается показать, что произведение выпуклых функций )( )(ln)()( xC xBxBxA + и )(xD будет так же выпуклым на интервале ]1,0[∈ix , Ni ,1= с учетом того, что Ю.П. Зайченко, Ови Нафас Агаи Аг Гамиш ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 70 1121 1)( ii N iii N i rxrx xD ∑∑ == − = , где 12 ii rr > , ]1,0[∈ix , 1 1 =∑ = i N i x . Заметим, что )( )(ln)()( xC xBxBxA + и )(xD , как показано выше, поло- жительны и )(xD монотонно убывающая функция, поскольку 0 )( )( 2 121 12 < ⎟ ⎠ ⎞⎜ ⎝ ⎛ − − −=′ ∑ = iii N i ii rrx rr xD . Для удобства обозначим ×+ )()( xBxA )( )( )(ln x xC xB ϕ=× . Докажем, что 0)( <′= ∂ ∂ x xi ϕϕ . Имеем: =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ = ∂ ∂ )( )(ln)()( xC xBxBxA xx ii ϕ = ′−′ +′+′= )( )()()()( )( )()( )( )(ln)()( 2 xC xBxCxCxB xB xCxB xC xBxBxA )( )()()( )( )(ln)()( xC xBxCxB xC xBxBxA ′−′+′+′= . (26) Подставив значения )(xA′ и )(xB′ в (26), получим: ( ) =−−++−= ∂ ∂ )( )(~~ )( )(ln~ 11 xC xBrrr xC xBrr x iiiii i ϕ ( ) )( )(~ )( )(ln1~ 11 xC xB rrr xC xBr iiii −−−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += . (27) Поскольку 1 )( )( < xC xB , то .0 )( )( 11 <+− xC xBrr ii Отсюда после упрощения (27), получим: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ −+< ∂ ∂ )( )( )( )(ln1~ xC xB xC xBr x i i ϕ . (28) Рассмотрим min ** ~ ~ ~ ~ ln1 )( )( )( )(ln1 rr rr rr rr xC xB xC xB min − − −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − +=−⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + . (29) Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 71 Заметим, что 1 1 min * ii N i rxrr ∑ = => и .~ rr > Покажем, что выражение (29) меньше 0. Обозначим ,~ arr =− тогда =−+−=− ∗∗ )(~~ minmin rrrrrr ya += , где 0min >−= ∗ rry . Подставляя в (29), получим: ya a ya a rr rr rr rr + −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + += − − −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + ln1~ ~ ~ ~ ln1 min * min * . (30) Покажем, что 0ln1)( < + −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + +=∆ ya a ya ay для всех 0 >y . Очевид- но, 0)0( =∆ и, кроме того, функция )( y∆ монотонно убывающая, т.к. ,0 )()( 1) ( 22 ' < + −= + + + −=∆ ya y ya a ya y (31) для всех 0>y . Таким образом 0)( <∆ y , для всех 0 >y , и окончательно имеем 0)( < ∂ ∂ ix xϕ . Вычислим первые производные: ( ) 0)()()()()()( <′+′= ∂ ∂ xxDxDxxDx xi ϕϕϕ , (32) ( ) .) ()()()(2)()( )()( 2 2 xDxxDxxDxxDx xi ′′+′′+′′= ∂ ∂ ϕϕϕϕ (33) Но поскольку , 0)(, 0)(, 0)(, 0)( <′<′>′′>′′ xφxDxφxD то выражение (33) будет больше нуля: ( ) 0)()(2 2 > ∂ ∂ xDx xi ϕ , (34) а условия (34) являются достаточными условиями для выпуклости функции )()()( xDxx ϕβ = . Итак, мы доказали, что если rrxrrx ii N i ii N i ~~ 1 * 1 1 =≤≤ ∑∑ == , то функция рис- ка )(xβ является выпуклой. Кроме того, как было доказано раньше, функ- ция риска )(xβ — монотонно убывающая. Таким образом, для данного случая задача нечеткой портфельной оп- тимизации (7)–(9) является задачей выпуклого программирования. Учитывая, что ограничения (8) линейны, составим функцию Лагранжа: Ю.П. Зайченко, Ови Нафас Агаи Аг Гамиш ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 72 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+= ∑∑ == ∗ 1~)(),,( 11 i N i ii N i xrxrxxL µλβµλ . (35) Условия оптимальности по Куну–Таккеру будут таковы: 0~ )( ≥+− ∂ ∂ = ∂ ∂ µλβ i ii r x x x L , (36) 0~ 1 ≤+−= ∂ ∂ ∗ = ∑ rrxL i N iλ , 01 1 =−= ∂ ∂ ∑ = i N i xL µ . (37) И условия дополняющей нежесткости: 0= ∂ ∂ i i x x L , Ni ≤≤1 , 0~ 1 =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +−= ∂ ∂ ∗ = ∑ rrxL i N i λλ λ , 0,0 ≥≥ λix , где 0≥λ и µ — неопределенные множители Лагранжа. Эту задачу можно решать стационарными методами выпуклого программирования, например, методом Зойтендейка или штрафных функций. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ Входными данными для экспериментов являются рыночные цены акций ве- дущих российских компаний — ОАО РАО «ЕЭС России», ОАО ГМК «Но- рильский никель», ОАО «ЛУКОЙЛ» и ОАО «Газпром» за февраль 2008 го- да. Наиболее доходными за этот период являются акции ОАО ГМК «Норильский никель», наименее доходными — акции ОАО «Газпром». Исследуем зависимость уровня риска (risk) от заданного порогового значения доходности r* для различных комбинаций бумаг в портфеле. На рис. 1 приведены результаты по портфелю из акций ОАО «Газпром» и ОАО РАО «ЕЭС России». Рис. 1. Зависимость величины риска от критериального значения r* для портфеля из акций ОАО «Газпром» и ОАО РАО «ЕЭС России» β r* Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 73 На рис. 2 приведены результаты по портфелю из акций ОАО «ЛУКОЙЛ» и ОАО РАО «ЕЭС России». В табл. 1 приведены результаты по портфелю из акций ОАО «Газпром» и ОАО «ЛУКОЙЛ» Т а б л и ц а 1 . Зависимость величины риска от критериального значения r* для портфеля из акций ОАО «Газпром» и ОАО «ЛУКОЙЛ» r 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,5 risk 0,458 0,561 0,638 0,718 0,787 0,844 0,897 0,948 0,99 В табл. 2 приведены результаты по портфелю акций ОАО «Газпром», ОАО ГМК «Норильский никель» и ОАО «ЛУКОЙЛ». Т а б л и ц а 2 . Зависимость величины риска от критериального значения r для портфеля из акций ОАО «Газпром», ОАО ГМК «Норильский никель» и ОАО «ЛУКОЙЛ» r 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 risk 0,457 0,477 0,625 0,745 0,82 0,871 0,918 0,962 0,999 Таким образом, судя по полученным графикам, можно сделать вывод, что при увеличении заданного порового значения доходности, уровень рис- ка увеличивается. Исследуем зависимость уровня доходности портфеля R = (R1;R_;R2) от уровня риска (risk). В табл. 3 приведены результаты по портфелю акций ОАО «Газпром» и ОАО РАО «ЕЭС России». В табл. 4 приведены результаты по портфелю акций ОАО ГМК «Но- рильский никель» и ОАО «Газпром». Рис. 2. Зависимость величины риска от критериального значения r для портфеля из акций ОАО «ЛУКОЙЛ» и ОАО РАО «ЕЭС России» β r* Ю.П. Зайченко, Ови Нафас Агаи Аг Гамиш ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 74 Т а б л и ц а 3 . Зависимость «доходность-риск» для оптимального порт- феля из акций ОАО «Газпром» и ОАО РАО «ЕЭС России» R1 R_ R2 risk –3,27524 0,32628 4,88492 0,374 –3,27693 0,325257 4,878173 0,398 –3,6526 0,228595 4,396182 0,4887 –3,77124 0,197885 4,242538 0,5921 –3,88174 0,16928 4,09942 0,71 –3,89545 0,165732 4,081668 0,8097 –3,88902 0,167396 4,089994 0,892 –3,90088 0,163151 4,065503 0,954 –3,88659 0,168024 4,093136 0,995 Т а б л и ц а 4 . Зависимость «доходность-риск» для оптимального порт- феля из акций ОАО ГМК «Норильский никель» и ОАО «Газпром» R1 R_ R2 risk –4,12801 0,42681 5,738035 0,391 –3,72911 0,4227 5,39345 0,4391 –3,73777 0,40998 5,32853 0,462 –3,77676 0,35274 5,03639 0,55 –3,84824 0,2478 4,5008 0,6837 –3,89062 0,185578 4,183233 0,79737 –3,90398 0,165963 4,083121 0,8836 –3,906 0,163 4,068 0,954 –3,906 0,163 4,068 0,999 На рис. 3 приведены результаты по портфелю акций ОАО «ЛУКОЙЛ» и ОАО ГМК «Норильский никель». На рис. 4 приведены результаты по портфелю акций ОАО «Газпром», ОАО ГМК «Норильский никель» и ОАО «ЛУКОЙЛ». Рис. 3. Зависимость «доходность-риск» для оптимального портфеля из ак- ций ОАО «ЛУКОЙЛ» и ОАО ГМК «Норильский никель» r~ β Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 75 В табл. 5 приведены результаты по портфелю из акций ОАО РАО «ЕЭС России», ОАО ГМК «Норильский никель» и ОАО «ЛУКОЙЛ». Т а б л и ц а 5 . Зависимость «доходность-риск» для оптимального порт- феля из акций ОАО РАО «ЕЭС России», ОАО ГМК «Норильский никель» и ОАО «ЛУКОЙЛ» R1 R_ R2 risk –3,61028 0,445731 5,522534 0,341 –3,5609 0,434741 5,46456 0,42 –4,11287 0,377739 5,19912 0,528 –4,41087 0,290823 4,773968 0,701 –4,41639 0,291458 4,77744 0,786 –4,57568 0,272961 4,690976 0,853 –4,66402 0,264004 4,64962 0,907 –4,71599 0,258063 4,621886 0,955 –4,72066 0,258482 4,624224 0,995 В табл. 6 приведены результаты по портфелю из акций ОАО РАО «ЕЭС России», ОАО «Газпром», ОАО ГМК «Норильский никель» и ОАО «ЛУКОЙЛ». Т а б л и ц а 6 . Зависимость «доходность-риск» для оптимального порт- феля из акций ОАО РАО «ЕЭС России», ОАО «Газпром», ОАО ГМК «Но- рильский никель» и ОАО «ЛУКОЙЛ» R1 R_ R2 risk –4,09352 0,452824 5,577784 0,34 –3,89222 0,461952 5,610476 0,404 –3,88378 0,439452 5,49371 0,5235 –3,985 0,294998 4,751116 0,688 –4,32256 0,292872 4,768776 0,799 –4,42812 0,286567 4,744776 0,857 –4,38233 0,214641 4,368052 0,954 Рис.4. Зависимость «доходность-риск» для оптимального портфеля из акций ОАО «Газпром», ОАО ГМК «Норильский никель» и ОАО «ЛУКОЙЛ» r~ β Ю.П. Зайченко, Ови Нафас Агаи Аг Гамиш ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 76 Таким образом, судя по полученным графикам, можно сделать вывод, что при увеличении ожидаемой доходности инвестиционного портфеля уро- вень риска падает. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В работе рассмотрена и исследована двойственная задача нечеткой порт- фельной оптимизации. Определены достаточные условия, при которых дан- ная задача является задачей выпуклого программирования. В этом случае данную задачу можно решать стандартными методами выпуклого програм- мирования. Проведены экспериментальные исследования, в ходе которых построе- ны зависимости риска портфеля от критериального значения доходности, а также ожидаемой доходности портфеля от величины риска. ЛИТЕРАТУРА 1. Зайченко Ю.П., Малихех Есфандиярфард. Анализ и сравнение результатов оп- тимизации инвестиционного портфеля при применении модели Марковитца и нечетко-множественного метода // Proceedings of X111-th International Conference KDS-2007 «Knolwledge, Dialogue Solution». — 1. — Р. 278–286. 2. Зайченко Ю.П., Малихех Есфандиярфард. Оптимизация инвестиционного портфеля в условиях неопределенности // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2008. — № 2. — С. 59–76. 3. Зайченко Ю.П., Малихех Есфандиярфард, Заика А.И. Анализ инвестиционного портфеля на основе прогнозирования курсов акций // Вісн. НТУУ «КПІ». Інформатика, управління та обчислювальна техніка. — 2007. — № 47. — С. 168–179. Поступила 03.11.2010

Исследование двойственной задачи оптимизации инвестиционного портфеля в нечетких условиях

Репозитарії

Схожі ресурси