К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения

Даны определения так называемой параметрической и непараметрической модели для ситуаций с причинно-следственным механизмом, который описывается статистической закономерностью. Показано, что эти модели эквивалентны (равносильны), т.е. охватывают весь класс ситуаций с решениями, неопределенность после...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Михалевич, В.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2011
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50114
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения / В.М. Михалевич // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 3. — С. 77-87. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50114
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-501142013-10-06T03:04:35Z К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения Михалевич, В.М. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Даны определения так называемой параметрической и непараметрической модели для ситуаций с причинно-следственным механизмом, который описывается статистической закономерностью. Показано, что эти модели эквивалентны (равносильны), т.е. охватывают весь класс ситуаций с решениями, неопределенность последствий которых описывается статистическими закономерностями. Подано означення так званої параметричної та непараметричної моделі для ситуацій з причинно-наслідковим механізмом, який описується статистичною закономірністю. Показано, що ці моделі еквівалентні (рівносильні), тобто охоплюють увесь клас ситуацій з рішеннями, невизначеність наслідків яких описується статистичними закономірностями. The definition of so-called parometric and nonparometric models for the situations of casual hereolitary mechonisms that describes statistical reqularity, is given. It is shown that these models are equivalent, that cover the whole class situations which decisions, which consequences of uncerteinty is described by statistical laws. 2011 Article К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения / В.М. Михалевич // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 3. — С. 77-87. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50114 519.81 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
spellingShingle	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Михалевич, В.М. К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології
description	Даны определения так называемой параметрической и непараметрической модели для ситуаций с причинно-следственным механизмом, который описывается статистической закономерностью. Показано, что эти модели эквивалентны (равносильны), т.е. охватывают весь класс ситуаций с решениями, неопределенность последствий которых описывается статистическими закономерностями.
format	Article
author	Михалевич, В.М.
author_facet	Михалевич, В.М.
author_sort	Михалевич, В.М.
title	К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения
title_short	К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения
title_full	К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения
title_fullStr	К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения
title_full_unstemmed	К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения
title_sort	к параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50114
citation_txt	К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения / В.М. Михалевич // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 3. — С. 77-87. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT mihalevičvm kparametričeskojformemodelirovaniâsituaciivobŝejzadačeprinâtiârešeniâ
first_indexed	2025-07-04T11:35:46Z
last_indexed	2025-07-04T11:35:46Z
_version_	1836716074849009664
fulltext	© В.М. Михалевич, 2011 Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 77 УДК 519.81 К ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИТУАЦИИ В ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ В.М. МИХАЛЕВИЧ Даны определения так называемой параметрической и непараметрической мо- дели для ситуаций с причинно-следственным механизмом, который описыва- ется статистической закономерностью. . Показано, что эти модели эквива- лентны (равносильны), т.е. охватывают весь класс ситуаций с решениями, неопределенность последствий которых описывается статистическими зако- номерностями. ВВЕДЕНИЕ При рассмотрении системы принятия решения, представляющей собой пару (того, кто принимает решение и ситуации принятия решения [1]), возникает вопрос о взаимосвязи двух форм схем ситуации — параметрической (матричной) и непараметрической (лотерейной) [2], а также двух соответствующих им форм моделей этой ситуации. В данной работе показано, что для моделирования любых ситуаций можно всегда использовать параметрическую форму. Полученные результаты являются уточнением и обобщением результатов статьи [3]. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Дадим несколько предварительных определений. Определение 1. Статистической закономерностью на Θ , где Θ — произвольное множество с заданной алгеброй подмножества Σ (если Σ не задается, то считается, по умолчанию, что ΘΣ 2= ) называется всякое непустое замкнутое множество P в топологии )(Θτ пространства 1,=)(:([0,1]){:=)( Θ∈Θ Σ ppPF },),\()(=)( Σ∈∀+∪ DCDCpCpDCp всех аддитивных вероятностных мер на ,Θ являющейся следом * — слабой топологии в сопряженном к банаховому пространству )(ΘΣB (всех Σ измеримых ограниченных функций на Θ ) с нормой \|)(\|sup=: θθ ff Θ∈ [3]. Иными словами, для топологии )(Θτ определяющей системой окрестностей точки p в пространстве )(ΘPF являются множества вида =)(,...,, 21, pffU nfε },1,\|<)()(\|:)({= nidpfdpfPFp ii ∈∀′−Θ∈′ ∫∫ ΘΘ εθθ для любых ,0,> Nn∈ε )(,...,, 21 Θ∈ ∑Bfff n . В.М. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 78 Замечание. Данное определение обобщает определение статисти- ческой закономерности на Θ приведенное в [1, 4], когда ΘΣ 2= , т.е. )(Θ∈Mf . Семейство всех статистических закономерностей на Θ будем обозначать )(ΘP . Отметим также, что в топологии )(Θτ пространство )(ΘPF компактно. Определение 2. Упорядоченную тройку ),,( PΣΘ , где Θ — произвольное непустое множество с заданной алгеброй подмножеств Σ , а P — статистическая закономерность на Θ будем называть пространством с распределением. Определение 3. Лотерейной формой схемы ситуаций задачи решения (ССЗР) называется упорядоченная тройка вида ),,( RUX , где R — график соответствия из произвольного непустого множества U в произвольное непустое множество ,X для которого UR =dom и XR =im . При этом X называется множеством последствий, U — множеством решений, R — соответствием ССЗР .),,( RUX Класс всех упорядоченных троек вида ),,(:=ˆ RUXZ обозначим Ẑ . Определение 4. Матричной формой ССЗР называется упорядоченная четверка вида ),,,( gUX Θ , где g — отображение из U×Θ на X для произвольных непустых множеств .,, UX Θ При этом множество X называется множеством последствий, Θ — множеством значений ненаблюдаемого параметра, U — множеством решений, а g — отображением последствий ССЗР .),,,( gUX Θ Пусть Z — класс всех упорядоченных четверок вида ),,,(:= gUXZ Θ . Тогда }),,,{(:=),( ZZ ∈⋅⋅ΘΘ XX . Определение 5. Проекцией ССЗР класса Z называется такое отобра- жение ZZ ˆ: → ∧ рП , что для любой ССЗР Z∈Θ ),,,( gUX =Θ ∧ )),,,(( gUXрП Ẑ),,( ∈= RUX , где для любых Uu∈ ).,(==)( ugXuR u Θ Пусть для любого Uu∈ ),( uuX Ξ — измеримое пространство, т.е. uΞ — некоторая алгебра подмножеств множества uX . Предположим, что на алгебре ⊗ n i 1= iuΞ (алгебра, порожденная полукольцом ∏ n i 1= iuΞ [5] для каждого Nn∈ и для любой выборки nuu ,...,1 , где iu ( ni 1,= ) — произвольные точки множества ,U определено множество вероятностных мер ,,...,,..., 1= 11 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∈⊆ ∏ iu n i nunu XPFupuP (1) причем семейство множеств (1) удовлетворяет следующим условиям согласованности для любых ∈)(nA ⊗ n i 1= iuΞ : К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 79 • для любой mnumnu uPuр ++ ∈ ,...,,..., 11 , × ++ )( 11 (,...,,,..., n mnnnu Auuuр ),(,...,=) )( 1 1= n nuin m i AuрX +∏× где nunu uPuр ,...,,..., 11 ∈ ; • для любой nunu uPuр ,...,,..., 11 ∈ , :)(({),...,)(,..., 1( )( 1 asuрAuр nus n nu = }))(nAa∈ , где ),...,( 1 nuus — любая перестановка элементов nuu ,...,1 . Рассмотрим теперь класс ССЗР Ẑ с заданными статистическими закономерностями, описывающими «механизм случайности» исходов каждого действия соответствующих множеств решений этой ССЗР. Тогда каждой ССЗР этого класса )),(,,( u Uu XuUX ∪ ∈ , где для любого Uu∈ uX — непустое подмножество множества ,X а }:),{(:=),( uu XxxuXu ∈ соот- ветствует упорядоченная четверка вида }):{),,(,,( UuPXuUX uu Uu ∈ ∈ ∪ , где ),,( uuu PX Ξ — любое пространство с распределением, алгебра uΞ которого является следом алгебры Ξ в uX (т.е. uX u 2= ∩ΞΞ ). Через PẐ обозначим класс всех четверок указаного вида. Рассмотрим также ССЗР класса Z с заданной статистической закономерностью, описывающей «механизм случайности» состояний природы. Этой ССЗР будет соответствовать упорядоченная пятерка вида ),,,,( PgUX Θ , где },,{ PΣΘ — пространство с распределением. Тогда через )ˆ( PP ZZ обозначим класс всех пятерок (четверок) указанного вида. Элементы класса )ˆ( PP ZZ будем называть ССЗР с распределением (распределениями) в матричной (лотерейной) форме. Определение 6. Моделью СЗР (МСЗР) со статистической закономерностью будем называть ее параметрическую схему, дополненную статистической закономерностью на Θ и обозначать через M , т.е. ),,,,(:= PgUXM Θ , где Z∈Θ ),,,(= gUXZ , )(Θ∈PP . МСЗР со статистическими закономерностями будем называть ее непараметрическую схему, дополненную семейством согласованых статис- тических закономерностей на множествах 21 1= ,, iiiiu n i uuUuX ≠∈∏ при Nnii ∈≠ ,21 и обозначать коротко }),...,{)),,(,,(:=ˆ 1 nuu Uu uPXuUXM ∪ ∈ , где )(,...,},:),{(:=),(,ˆ)),(,,(=ˆ 1= 1 iu n i nuuuu Uu XPuPXxxuXuXuUXZ ∏∈∈∈ ∈ Z∪ . Замечание. Если элемент класса PZ определяет соответствущую МСЗР со статической закономерностью ),,,,( PgUX Θ , то элемент класса PẐ , вообще говоря, МСЗР со статистическими закономерностями не определяет. Ясно, что не достает информации о совместных расспреде- лениях исходов конечных последовательностей действий ТПР-а. В.М. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 80 На уровне схем ситуации очевидно, что параметрическая ситуация не менее информативна, чем соответствующая ей (т.е. моделирующая ту же СЗР) непараметрическая ситуация. При этом ясно, что каждой пара- метрической ССЗР соответствует единственная непараметрическая ССЗР той же СЗР, являющаяся ее проекцией. А именно, для любой ССЗР Z∈Θ ),,,(= gUXZ соответствующая ей ССЗР из Ẑ имеет вид )),(,,(=ˆ u Uu XuUXZ ∪ ∈ , где :),{(=:),(},:),({=:),(=: xuXuugugX uu Θ∈Θ θθ UuXx u ∈∀∈ },: . Ниже мы покажем, что для любой ССЗР Ẑˆ ∈Z найдется парамет- рическая ССЗР Z (не единственная), проекция которой совпадает с Ẑ , т.е. ZZрП ˆ=)( ∧ . В этом случае мы будем говорить, что ССЗР Z является представлением ССЗР Ẑ . Менее очевидно, что так же обстоит дело с параметрическими и непараметрическими МСЗР со статистическими закономерностями. Для точной формулировки этого результата введем необходимые определения. Определение 7. Параметрическая МСЗР ),,,,(= PgUXM Θ назы- вается представлением МСЗР }),...,{),,(,,(=ˆ 1 nuu Uu uPXuUXM ∪ ∈ , если существуют пространство со статистической закономерностью ),,( PΣΘ , семейство измеримых пространств }:),{( UuX uu ∈Ξ , и отображение XUg →×Θ: такое, что },:),({:=),,(= 1 Σ∈ΞΘ − BuBgugX uu а конечно- мерные статистические закономерности },...,{ 1 nu uP случайного отображения ),( ug θ совпадают с заданным семейством (1). Ясно, что при этом g — ),( uΞΣ — измеримое при каждом Uu∈ (т.е. uA Ξ∈∀ и Uu∈∀ множество }),(:{ Aug ∈θθ принадлежит алгебре Σ ), где .2= uX u ∩ΞΞ Определение 8. Если }:),{( UuX uu ∈Ξ некоторая совокупность измеримых подпространств пространства X , Θ — пространство всех таких отображений θ , заданных на множестве U со значениями в пространстве X , что UuXu u ∈∀∈)(θ и iu n i nA Ξ∈⊗ 1= )( , где )1,=( niUui ∈ , то множество отображений Θ∈θ , для которых точка ))(),...,(( 1 nuu θθ из iu n i X∏ 1= принад- лежит )(nA . Т.е. множество }))(),...,((:)({=)(,..., )( 1 )( 1 n n n nu AuuuAuC ∈θθθ называется цилиндрическим множеством в Θ с основанием )(nA над координатами nuu ,...,1 . Ясно, что если точки nuu ,...,1 фиксированы, то между цилинд- рическими множествами над координатами nuu ,...,1 (их совокупность К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 81 обозначим nu u,...,1 C ) и элементами алгебры iu n i Ξ⊗ 1= существует изо- морфизм: каждое множество iu n i nA Ξ∈⊗ 1= )( определяет цилиндрическое множество )(,..., )( 1 n nu AuC , для которого оно служит основанием; разным основаниям соответствуют разные цилиндрические множества; объеди- нению, разности или пересечению оснований соответствует объединение, разность или пересечение цилиндрических множеств, что непосредственно вытекает из определения цилиндрического множества. Кроме того, легко заметить, что любые два цилиндрических множества можно всегда рассматривать как цилиндрические множества над одной и той же последовательностью координат. Отсюда следует, что, рассматривая алгебраические действия над конечным числом цилиндрических множеств, можно считать, что они заданы над фиксированной последовательностью координат. Поэтому класс C всех цилиндрических множеств образует алгебру множеств. Определение 9. МСЗР со статистическими закономерностями M̂ˆ ∈M называется проекцией МСЗР M∈Θ },,,,{= PgUXM , где отображение g — ),( uΞΣ — измеримое при каждом ,Uu∈ если ),,(,,(=ˆ u Uu XuUXM ∪ ∈ }),...,{ 1 nu uP , где для любого Uu∈ , nu Uu u uuugX ,...,,=),,(:= 1ΞΞΘ ⊗ ∈ — любая выборка из U и каждая вероятностная мера nu up ,...,1 на iu n i X∏ 1= , определяющая множество nu uP ,...,1 , такая, что для каждого iu n i nA Ξ∈ ∏ 1= )( и некоторой )(Θ∈∈ PPp имеет место }.)),(),...,,(),,((:({:=)(,..., )( 21 )( 1 n n n nu AugugugpAup ∈θθθθ (2) Из определения видно, что операция проектирования параметрических моделей со статистическими закономерностями однозначная, т.е. у каждой параметрической МСЗР со статистической закономерностью имеется единственная проекция. Теорема 1. Любая параметрическая МСЗР со статистической законо- мерностью ),,,,,( PgUX Θ где отображение последствий g — ),( uΞΣ — измерима для каждого ,Uu∈ является представлением своей проекции. Доказательство. Пусть M∈Θ ),,,,(= PgUXM , а ,,(=ˆ UXM }),...,{),,( 1 nuu Uu uPXu∪ ∈ является ее проекцией. Очевидно, что семейство множеств },...,{ 1 nu uP удовлетворяет условиям согласованости. В обоснова- нии нуждается лишь то, что семейство },...,{ 1 nu uP является семейством статистических закономерностей. Это равносильно тому, что когда В.М. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 82 вероятностная мера р пробегает замкнутое в топологии )(Θτ множество P , то для любого Nn∈ и любой выборки nuu ,...,1 из множества U вероятностные меры nu uP ,...,1 будут образовывать замкнутое в топологии )( 1= iu n i X∏τ множество .,...,1 nu uP Действительно, если предположить противное, т.е., что для некоторой выборки nuuu ,...,, 21 из множества U множетсво nuiu n i uPXPF ,...,\)( 1 1= ∏ не будет открытым в топологии )( 1= iu n i X∏τ , то существует такая вероятностная мера nu up ,...,1 из множества )( 1= iu n i XPF ∏ , не входящая в множество nu uP ,...,1 , что для любых Nmk ∈, найдется вероятностная мера nuk up ,...,1, из множества nu uP ,...,1 , для которой при любых )(,...,, 1= 1= 21 iu n iiu n i m XBfff ∏ Ξ⊗ ∈ −∫ ∏ )),...,((,...,),...,(\| 11,1 1= nuunuknuuj iu n i xxdupxxf X .1,=,1\|<)),...,((,...,),...,( 111 1= mj k xxdupxxf nuununuuj iu n i X ∫ ∏ − (3) Пусть }:)),(),...,,({(:= 1 Θ∈θθθ nugugY . В силу ),( uΞΣ — измеримости отображения ),( ug θ при любых Uu∈ , множество Y является iu n i Ξ⊗ 1= -измеримым. Тогда для любой вероятностной меры nu uq ,...,1 , заданной на измеримом пространстве ( iu n i iu n i X Ξ⊗∏ 1=1= , ), сосредоточенной на множестве Y и любой функции )( 1= 1= iu n iiu n i XBf ∏ Ξ⊗ ∈ имеем =∫ ∏ )),...,((,...,),...,( 111 1= nuununuu iu n i xxduqxxf X +∫ )),...,((,...,),...,(= 111 nuununuu Y xxduqxxf )).,...,((,...,),...,( \ 111 1= nuununuu iu n i xxduqxxf YX ∫ ∏ + (4) К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 83 Но, в силу ограниченности f , найдется такое число µ , что µ≤\|),...,(\| 1 nuu xxf для любых iu n i nuu Xxx ∏∈ 1= 1 ),...,( . А значит ≤∫ ∏ \|)),...,((,...,),...,( \ \| 111 1= nuununuu iu n i xxduqxxf YX 0.=)\(=)),...,((,..., \ 1= 11 1= YXqxxduq Y iu n i nuunu iu n i X ∏∫ ∏ ≤ µµ Тогда имеем из (4), что =)),...,((,...,),...,( 111 1= nuununuu iu n i xxduqxxf X ∫ ∏ ),()),(),...,,((=)),...,((,...,),...,(= 1111 θθθ dqugugfxxduqxxf nnuununuu Y ∫∫ Θ (5) где для любого Σ∈B }).:)),(),...,,(({(,...,:=)( 11 BuguguqBq nnu ∈θθθ (6) Следовательно, воспользовавшись равенством (5), для любых мер kp и p на ,Θ удовлетворяющих соотношению (2) относительно соответ- ствующих мер nuk up ,...,1, и nu up ,...,1 на iu n i X∏ 1= , неравенство (3) можно переписать в виде −∫ Θ )()),(),...,,((\| 1 θθθ dpugugf knj .1,=,1<\|)()),(),...,,(( 1 mj k dpugugf nj θθθ∫ Θ − (7) Теперь определим на множестве Θ отношение эквивалентности таким образом, что для любых Θ∈21,θθ имеет место .1,=),(=)( 21 def 21 niuu ii θθθθ ⇔∼ (8) Транзитивность, симетричность, рефлексивность определенного соот- ношением (8) соответствия очевидна. Обозначим класс эквивалентности элемента θ из фактор-множества ∼Θ / через θ~ (проекция елемента θ относительно эквивалентности )(∼ ), т.е. ΘΘ∈∼Θ ~:=}:~{=/ θθ . Соот- ветственно алгебру, порожденную алгеброй ∑ при этом проектировании, обозначим ∼ ∑ , а ее элемент, являющийся проекцией элемента ∑∈B — через B~ . Ясно, что алгебра ∼ ∑ изоморфна алгебре iu n i Ξ⊗ 1= . В.М. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 84 Тогда для всякой меры )(Θ∈PFp можно определить меру )~(~ Θ∈PFp так, что для любых ∑∈B ).(:=)~(~ BpBp (9) При этом произвольное множество мер )(Θ⊆ PFP замкнуто в тополо- гии )(Θτ тогда и только тогда, когда соответствующее ему множество мер }:~{=~ PppP ∈ , где p и p~ связаны соотношением (9), замкнуто в фактор- топологии относительно соответствия )(∼ [6], совпадающей с )~(Θτ . Далее определим функции mjF j 1,=, на Θ~ так, что для любых Θ∈ ~~θ )).,(),...,,(),,((:=)~( 21 njj ugugugfF θθθΘ (10) Корректность данного определения следует из соотношения (8). При этом для каждого mj 1,= функция jF пробегает все множество )~(Θ∼ ∑ B , когда функция jf пробегает множество )( 1= 1= iu n iiu n i XB ∏ Ξ⊗ , в силу ),( uΞ∑ — измеримости отображения Uuug ∈∀),,(θ и того, что iui Xug =),(Θ , ni 1,= . Теперь соотношение (7) можно переписать в следующем виде .1,=,1<)~(~)~()~(~)~( ~~ mj k dpFdpF jkj θθθθ ∫∫ ΘΘ − (11) Таким образом, последовательность мер },~{ Nkpk ∈ на Θ~ сходятся в топологии )~(Θτ к мере p~ , а значит соответствующая ей последова- тельность мер },{ Nkpk ∈ на Θ сходиться в топологии )(Θτ к мере p . Так как меры NkuPup nunuk ∈∀∈ ,,...,,..., 11, , то определяющие их, согласно соотношению (2), меры kp , по условию, принадлежат статисти- ческой закономерности P . Тогда, в силу замкнутости в топологии )(Θτ множества P и сходимости в топологии )(Θτ последовательности },{ Nkpk ∈ к мере p , то и мера p принадлежит статистической закономерности P . А, значит, мера nu up ,...,1 определяется, согласно соотношению (2), мерой p из P , т.е nunu uPup ,...,,..., 11 ∈ , что противоречит предположению. Теорема доказана. Теорема 2. Любая непараметрическая МСЗР со статистическими закономерностями допускает некоторое представление. Доказательство. Предположим, что задана некоторая непарамет- рическая МСЗР со статистическими закономерностями ,,(=ˆ UXM К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 85 }),...,{),,( 1 nuu Uu uPXu∪ ∈ , где }:),{(:=),( uu XxxuXu ∈ . Покажем, что для M̂ существует представление ),,,,(= PgUXM ′Θ′ . Очевидно, что XX ′= и UU ′= . В качестве пространства Θ возьмем пространство всех таких отображений θ , заданных на U со значениями в X , что uXu ∈)(θ . Отображение g определим как такое, что )(=),( uug θθ . Тем самым четверкой ),,,( gUX Θ мы задали представление ССЗР ,,(=ˆ UXZ )),( u Uu Xu∪ ∈ , где }:),{(:=),( uu XxxuXu ∈ . Далее мы можем определить на алгебре цилиндрических множеств C пространства Θ для любой вероятностной меры nunu uPup ,...,,..., 11 ∈ функцию множеств )(Cp , C∈C , положив ),(,...,:=)( )( 1 n nu AupCp (12) если C является цилиндрическим множеством с основанием )(nA над координатами nuu ,...,1 . Условия согласованности обеспечивают кор- ректность определения функции )(Cp , C∈C . Пусть kC , mk 1,= — последовательность цилиндрических множеств. Не уменьшая общности, можно считать, что они заданы основаниями )(n kA над одной и той же последовательностью координат nuu ,...,1 . Алгебраическим операциям над множествами kC соответствуют в точности те же самые действия над основаниями )(n kA . Так как вероятностная мера nu up ,...,1 аддитивна на iu n i Ξ⊗ 1= , то отсюда следует, что функция множеств )(Cp , C∈C аддитивна на C . Когда вероятностные меры nu up ,...,1 пробегают замкнутое в топологии )( 1= iu n i X∏τ множество nu uP ,...,1 , то семейство вероятностных мер p будет образовывать некоторое замкнутое в топологии )(Θτ множество P . Действительно, предположив противное, т.е., что множество PPF \)(Θ не будет открытым в топологии )(Θτ , получим существование такой вероятностной меры p из множества )(ΘPF , не входящей в множетво P , что Nk∈∀ найдется вероятностная мера kp из множества P , которая для любых функций NmBfff m ∈Θ∈ ),(,...,, 21 C удовлетворяет неравенству .1,=,1\|<)()()()(\| mj k dpfdpf jkj θθθθ ∫∫ ΘΘ − (13) Зафиксировав выборку nuuu ,...,, 21 из множества U , рассмотрим произвольную совокупность таких m функций mfff ′′′ ,...,, 21 , что, если В.М. Михалевич ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 86 2 ~=~ θθ , то )(=)( 21 θθ jj ff ′′ для любых Θ∈21,θθ и mj 1,= , где эквива- лентность )(∼ определяется согласно (8). Если для каждой такой функции mjf j 1,=,′ определить функцию jF ′ на Θ полагая )(:=)~( θθ jj fF ′′ для любых Θ∈θ , что корректно, в силу определения функции jf ′ , то )~(,...,1 ~ Θ∈′ nuj uBF C , где nu u,..., ~ 1 C — проекция алгебры nu u,...,1 C относительно эквивалентности )(∼ . При этом ясно, что функция jF ′ пробегает все множество ),~(,...,1 ~ Θ nu uBC когда функция jf пробегает множество )(ΘCB . Тогда для любой функции mjuBF nuj 1,=),~(,...,1 ~ Θ∈′ C , в силу соотно- шения (13), получим, что ,1<\|)~(~)~()~(~)~(\| ~~ k dpFdpF jkj θθθθ ′−′ ∫∫ ΘΘ (14) где меры ppk ~,~ соответстуют мерам ppk , , согласно соотношению (9). Или, учитывая изоморфизм множеств Θ~ и iu n i X∏ 1= , в силу определения множества Θ , а также определений алгебры nu u,..., ~ 1 C и алгебры iu n i Ξ⊗ 1= , имеем, что для любых функций ∈′′′′′′ mFFF ,...,, 21 ),( 1= 1= iu n iiu n i XB ∏ Ξ⊗ ∈ Nm∈ −′′∫ ∏ )),...,((,...,),...,(\| 11,1 1= nuunuknuuj iu n i xxdupxxF X .1,=,1<\|)),...,((,...,),...,( 111 1= mj k xxdupxxF nuununuuj iu n i X ′′− ∫ ∏ (15) Это вытекает из неравенства (14) при ),~(:=),...,( 1 θjnuuj FxxF ′′′ mj 1,= , где θ~ такое, что nixu iui 1,=,=)(θ , для любых iu n i nuu Xxx ∏∈ 1= 1 ),...,( , меры nunuk upup ,...,,,..., 11, определяются соответственно по мерам ppk , сог- ласно (9). Таким образом последовательность мер },,...,{ 1, Nkup nuk ∈ сходится в топологии )( 1= iu n i X∏τ к мере nu up ,...,1 . К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 87 Так как меры Nkpk ∈∀, принадлежат множеству P , то определяющие их, согласно соотношению (3), меры nuk up ,...,1, , по условию, принадлежат статистической закономерности nu uP ,...,1 . Тогда, в силу замкнутости множества nu uP ,...,1 в топологии )( 1= iu n i X∏τ и сходимости в этой топологии последовательности },,...,{ 1, Nkup nuk ∈ к мере nu up ,...,1 , также и мера nu up ,...,1 принадлежит статистической закономерности nu uP ,...,1 . А значит, мера p определяется, согласно соотношению (3), мерой nu up ,...,1 из nu uP ,...,1 , т.е. Pp∈ , что противоречит предположению. Таким образом представление для произвольной непараметрической МСЗР указано. Теорема доказана. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Из полученных результатов следует, что оба класса моделей как пара- метрических, так и непараметрических охватывают все ситуации задач принятия решений, неопределенность последствий в которых описывается статистическими закономерностями. В частности, этот результат позволяет, анализируя систему принятия решения, не уменьшая общности, считать ее ситуацию параметрической. ЛИТЕРАТУРА 1. Ivanenko V.I. Decision systems and non-stochastic randomness. — Berlin: Springer, 2010. — 272 p. 2. Михалевич В.М. О некоторых классах правил выбора предпочтений в задачах принятия решения // Кибернетика и системный анализ. — 2010. — № 6. — С. 140–154. 3. Иваненко В.И., Михалевич В.М. К моделированию стохастических ситуаций принятия решения // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2010. — № 1. — С.7–80. 4. Иваненко В.И., Лабковский В.А. Об одном виде неопределенности. ДАН СССР. — 1979. — 248. — № 3. — С. 539–542. 5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1972. — 530 с. 6. Келли Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968. — 383 с. Поступила 22.03.2011

К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решения

Репозитарії

Схожі ресурси