Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку

Запропоновано підхід до знаходження періодичних розв’язків квазілінійного диференціального рівняння другого порядку, який базується на побудові функції Гріна для диференціального оператора, що визначений на функціях, які задовольняють періодичним крайовим умовам. Наведено необхідні та достатні умови...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
1. Verfasser:	Бохонов, Ю.Є.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2011
Schriftenreihe:	Системні дослідження та інформаційні технології
Schlagworte:	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50119
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку / Ю.Є. Бохонов // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 3. — С. 133-137. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50119
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-501192013-10-06T03:05:15Z Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку Бохонов, Ю.Є. Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Запропоновано підхід до знаходження періодичних розв’язків квазілінійного диференціального рівняння другого порядку, який базується на побудові функції Гріна для диференціального оператора, що визначений на функціях, які задовольняють періодичним крайовим умовам. Наведено необхідні та достатні умови існування періодичних розв’язків рівняння. Предложен подход к нахождению периодических решений квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка, который основывается на нахождении функции Грина для дифференциального оператора, определенного на функциях, удовлетворяющих периодическим краевым условиям. Приводятся необходимые и достаточные условия существования периодических решений уравнения. The approach to the determination of the periodic solutions of the quasilinear differential equation of second order is proposed. The approach is based on the determination of the influence for function for the differential operator, defined on the functions, which satisfy the periodic boundary conditions. The necessary and sufficient conditions of the existence of the periodic equation solutions are given. 2011 Article Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку / Ю.Є. Бохонов // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 3. — С. 133-137. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50119 517.94 uk Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
spellingShingle	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Бохонов, Ю.Є. Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку Системні дослідження та інформаційні технології
description	Запропоновано підхід до знаходження періодичних розв’язків квазілінійного диференціального рівняння другого порядку, який базується на побудові функції Гріна для диференціального оператора, що визначений на функціях, які задовольняють періодичним крайовим умовам. Наведено необхідні та достатні умови існування періодичних розв’язків рівняння.
format	Article
author	Бохонов, Ю.Є.
author_facet	Бохонов, Ю.Є.
author_sort	Бохонов, Ю.Є.
title	Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку
title_short	Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку
title_full	Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку
title_fullStr	Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку
title_full_unstemmed	Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку
title_sort	про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50119
citation_txt	Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку / Ю.Є. Бохонов // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 3. — С. 133-137. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT bohonovûê properíodičnírozvâzkikvazílíníjnogozvičajnogodiferencíalʹnogorívnânnâdrugogoporâdku
first_indexed	2025-07-04T11:36:13Z
last_indexed	2025-07-04T11:36:13Z
_version_	1836716103067238400
fulltext	© Ю.Є. Бохонов, 2011 Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 133 TIДC НОВІ МЕТОДИ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ, ІНФОРМАТИЦІ ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ УДК 517.94 ПРО ПЕРІОДИЧНІ РОЗВ’ЯЗКИ КВАЗІЛІНІЙНОГО ЗВИЧАЙНОГО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ Ю.Є. БОХОНОВ Запропоновано підхід до знаходження періодичних розв’язків квазілінійного диференціального рівняння другого порядку, який базується на побудові функції Гріна для диференціального оператора, що визначений на функціях, які задовольняють періодичним крайовим умовам. Наведено необхідні та достатні умови існування періодичних розв’язків рівняння. ВСТУП Для знаходження періодичних розв’язків нелінійного диференціального рів- няння другого порядку і взагалі систем диференціальних рівнянь широко застосовують чисельно-аналітичний метод А.М. Самойленка, який викладе- но в роботах [1]–[4]. При цьому рівняння другого порядку зводилось до сис- теми рівнянь першого порядку. Автором цієї статті було розроблено влас- ний підхід, який не потребує зведення нелінійного рівняння другого порядку до системи першого порядку [5]. У цій роботі зазначений метод за- стосовується до квазілінійних рівнянь. Будується функція Гріна періодичної крайової задачі, яка в цьому випадку має більш зручний вигляд, ніж у [5]. Наводяться оцінки для констант Ліпшиця та необхідні і достатні умови для початкового наближення в методі послідовних наближень, що забезпечують існування періодичного розв’язку. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Нехай функція ),,( yxtf неперервна на ],[],[),( bbaaD −×−×∞−∞= , періо- дична по t з періодом .T Позначимо ),,(max yxtfM D = . (1) Від функції ),,( yxtf будемо вимагати, щоб вона по yx, задовольняла умові Ліпшиця 2112102211 ),,(),,( yyKxxKyxtfyxtf −+−≤− . (2) Ю.Є. Бохонов ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 134 Знаходження періодичних розв’язків диференціального рівняння ),,(2 xxtfxx =+ω , (3) де Z2 ∉ Tω π еквівалентне розв’язанню крайової задачі )()0(),()0( TxxTxx == (4) для рівняння (3). ПОБУДОВА ФУНКЦІЇ ГРІНА Розглянемо диференціальний оператор )()()()( 2 2 2 tx dt txdtLx ω+= у гільберто- вому просторі ),0(2 TLH = , область визначення якого — це функції, що мають абсолютно неперервну першу похідну та задовольняють крайовим умовам (4). Як відомо, такий оператор є самоспряженим. Задача знаходжен- ня періодичних розв’язків зводиться до задачі обернення оператора L . Лег- ко бачити, що цей оператор має обернений, оскільки 0=λ не є його влас- ним числом. Нехай x — розв’язок задачі (3)–(4). Інтегруючи обидві частини (3), враховуючи умови (4), будемо мати ∫∫ TT dxxfdx 00 2 ))(),(,()( ττττττω або ( ) 0)())(),(,( 0 2 =−∫ T dxxxf ττωτττ . (5) Побудуємо оператор, обернений до L у просторі 2 (0, )H L T= . Для побудови вказаного оберненого оператора будемо використовува- ти модифікацію методики з [6]. Візьмемо фундаментальну систему ω ωω ttxttx sin)(,cos)( 21 ≡≡ розв’яз- ків рівняння 0=x , які задовольняють умові ji j ix , )1( )0( δ=− )2,1;2,1( == ji , де ji,δ — функція Кронекера. Нехай Hh∈ , яка задовольняє умові (5). Роз- глянувши рівняння ),()()( thtxL = знайдемо обернений оператор .1−L Тоді функція )()()( 1 thLtx −= буде задовольняти цьому рівнянню та крайовим умовам (4). Покажемо, що оператор 1−L інтегральний і знайдемо його ядро ),( τtG — функцію Гріна цього оператора. Застосовуючи метод варіації до- вільних сталих, після стандартних дій знаходимо: ∫= T dhtGtx 0 )(),()( τττ , де функція Гріна: ⎢ ⎣ ⎡ ≤≤≤ ≤≤≤ = .0,sincos ;0,cossin1),( Ttt Ttt tG τωτω τωτω ω τ (6) Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 135 Звідси знаходимо: ,)(),()( 0 ∫ ′=′ T t dhtGtx τττ де ⎢ ⎣ ⎡ ≤≤≤− ≤≤≤ =′ .0,sinsin ;0,coscos ),( Ttt Ttt tGt τωτω τωτω τ (7) Отже, розв’язок крайової задачі для рівняння (3) та його похідну можна подати у вигляді: ,))(),(,(),()( 0 ∫= T dxxftGtx τττττ (8) .))(),(,(),()( 0 ∫ ′= T t dxxftGtx τττττ (9) Система (8)–(9) розв’язується методом послідовних наближень. Якщо процес збігається, одержуємо розв’язок ),,( 0xtx ϕ= де 0x — початкове на- ближення, який при підстановці в (8)–(9) перетворює його в тотожність. Для того, щоб цей розв’язок був також розв’язком (3), очевидно, що необхідно і разом із виконанням умов (4) достатньо, щоб виконувалась умова ( )2 0 0 0 0 ( , ( , ), ( , )) ( , ) 0, T f x x x dξ ϕ ξ ϕ ξ ω ϕ ξ ξ− =∫ (10) тобто, щоб число 0x було коренем цього рівняння. Перепишемо систему (8)–(9) згідно з (6)–(7) та знайдемо умову збіж- ності ітераційного процесу під час її розв’язання: ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += ∫ ττττωτω ω dxxfttx t ))(),(,(cossin1)( 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ + ∫ ττττωτω dxxft T t ))(),(,(sincos , (11) −=′ ∫ ττττωτω dxxfttx t ))(),(,(coscos)( 0 .))(),(,(sinsin ττττωτω dxxft T t ∫− (12) Введемо в просторі 2R «псевдонорму»: ( )2121 ,),( xxxx = , а та- кож для вектор-функції ))(),(( 21 txtx : ( ) ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == ∈ ,)(max,),( ],0[ 12121 Tt txxxxx ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ∈ ],0[ 2 )(max Tt tx . Простір із такою «псевдонормою» буде частково впорядкова- ним, і для векторів ),(),,( ηξyx за виконання умов ηξ ≤≤ yx , будемо ви- користовувати позначення ).,(),( ηξ≤yx Ю.Є. Бохонов ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 3 136 Розглянемо оператор S , що діє в просторі вектор-функцій зі значення- ми в 2R за формулою (нас цікавитиме його дія на вектори вигляду :))(),((col txtx =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ )( )( tx tx S . ))(),(,(sinsin))(),(,(coscos ))(),(,(sincos))(),(,(cossin1 0 0 ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∫∫ ∫∫ ττττωτωττττωτω ττττωτωττττωτω ω dxxftdxxft dxxftdxxft T t t T t t (13) Враховуючи (2), (3), дослідимо, за яких умов цей оператор буде стискаючим. Тоді завдяки (3) для двох вектор-функцій ,))(,(col )1()1( txx ))(),((col )2()2( txtx маємо: ( )( ) ≤− 1 21 )()( txtxS ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ +≤ ∫∫ τωτωτωτω ω dtdt t t 1 0 sincoscossin1 ( )21 1 21 0 xxKxxK −+− ≤ )( ttTtt ωω ω cos)(sin1 −+≤ ( )≤−+− 21 1 21 0 xxKxxK ( )21 1 21 0 xxKxxKT −+−≤ ω . Аналогічно ( )( ) ( )21 1 21 02 21 )()( xxKxxKTtxtxS −+−≤− T . Отже, ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ≤ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − )2()1( )2()1( 10 10 )2()1( )2()1( xx xx KK KK T xx xx S ωω . (14) Позначимо через K матрицю в правій частині нерівності (14). Її норма дорівнює квадратному кореню з найбільшого власного числа матриці KK * (менше дорівнює нулю). Після нескладних перетворень отримаємо: ( ) )(11 2 1 2 02 KKK ++= ω ω . Введемо позначення: KTq = . Тоді S буде стискаючим оператором, якщо 1<q , або при умові, яким мають задоволь- няти константи Ліпшиця 22 2 2 1 2 0 )1( T KK ω ω + <+ . (15) Аналогічно доводиться, що константа M з (1) має задовольняти вимозі: Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 3 137 ),(min1 ba T M ω≤ . (16) Сформулюємо остаточний результат. Теорема 1. Нехай функція ),,( yxtf неперервна на ×−×∞−∞ ],[),( aa ],[ bb−× , періодична по t із періодом ,T задовольняє умовам (1) і (2), при- чому константи Ліпшиця та стала M з (1) задовольняють умовам (15)–(16). Тоді для існування періодичного з періодом T розв’язку ),( 0xtx ϕ= рівнян- ня (3) необхідно і достатньо існування такого значення 0x , яке задовольняє рівнянню (10). При цьому ),( 0xtϕ знаходиться методом послідовних на- ближень. Використовуючи техніку доведення теореми Банаха про стискаючі ві- дображення, одержимо оцінку похибки між розв’язком задачі (3)–(4) і її на- ближенням. Для цього необхідно тільки помітити, що .),( 001 MTxxtx ≤− Теорема 2. Похибка між розв’язком задачі (3)–(4) і її n-м наближенням визначається з умови: . 1 ),(),( 00 n n q q MTxtxxt − ≤−ϕ (17) ВИСНОВКИ Зведення задачі про періодичні розв’язки квазілінійного диференціального рівняння до крайової задачі з умовами періодичного типу є ефективним прийомом, що дає змогу прямого дослідження цієї проблеми. Методику мо- же бути поширено на більш загальний клас нелінійних рівнянь. ЛІТЕРАТУРА 1. Самійленко А.М. О периодических решениях нелинейных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения. — 1967. — 3, № 11. — С. 1903– 1912. 2. Ронто Н.И., Самойленко А.М., Трофимчук С.И. Теория численно-аналити- ческого метода, достижения и новые направления развития. II // Українсь- кий математичний журнал. — 1998. — 50, № 2. — С. 225–243. 3. Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы в теории крае- вых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. — Киев: Наук. думка, 1992. — 280 с. 4. Чорный В.З. Исследование периодических решений некоторых классов диффе- ренциальных уравнений второго порядка: дис. … канд. физ.-мат. наук. — Киев, 1992. — 10 с. 5. Бохонов Ю.Є. Про один підхід до знаходження періодичних розв’язків нелі- нійного звичайного диференціального рівняння другого порядку // Неліній- ні коливання. — 2000. — 3, № 3. — С. 308–314. 6. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969. — 526 с. Надійшла 25.05.2010

Про періодичні розв’язки квазілінійного звичайного диференціального рівняння другого порядку

Institution

Ähnliche Einträge