Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі

Поставлено та вирішено задачу керування співвідношеннями між вихідними координатами багатовимірного різнотемпового об’єкта в детермінованому середовищі. Запропоновано новий алгоритм керування, що дозволяє одночасно забезпечувати виконання, задачі слідкування і задачі координації в перехідному та уст...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Романенко, В.Д., Мілявський, Ю.Л.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2011
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Автоматизовані системи управління
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50124
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі / В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 4. — С. 7-20. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50124
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-501242013-10-06T03:05:54Z Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі Романенко, В.Д. Мілявський, Ю.Л. Автоматизовані системи управління Поставлено та вирішено задачу керування співвідношеннями між вихідними координатами багатовимірного різнотемпового об’єкта в детермінованому середовищі. Запропоновано новий алгоритм керування, що дозволяє одночасно забезпечувати виконання, задачі слідкування і задачі координації в перехідному та усталеному режимах. Наведено результати чисельного моделювання, що підтверджують практичну цінність цієї розробки. Поставлена и решена задача управления соотношениями между выходными координатами многомерного разнотемпового объекта в детерминированной среде. Предложен новый алгоритм управления, позволяющий одновременно обеспечить выполнение задачи слежения и задачи координации в переходном и установившемся режимах. Приведены результаты численного моделирования, подтверждающие практическую значимость данной разработки. The control problem of relations between the output coordinates of the multidimensional multirate objects in deterministic environment is formulated and solved. A new control algorithm that ensures simultaneous fulfillment of both monitoring and coordinating problems in transient and steady states is proposed. The results of numerical simulation, confirming the practical significance of this development are shown. 2011 Article Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі / В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 4. — С. 7-20. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50124 62-50 uk Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Автоматизовані системи управління Автоматизовані системи управління
spellingShingle	Автоматизовані системи управління Автоматизовані системи управління Романенко, В.Д. Мілявський, Ю.Л. Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі Системні дослідження та інформаційні технології
description	Поставлено та вирішено задачу керування співвідношеннями між вихідними координатами багатовимірного різнотемпового об’єкта в детермінованому середовищі. Запропоновано новий алгоритм керування, що дозволяє одночасно забезпечувати виконання, задачі слідкування і задачі координації в перехідному та усталеному режимах. Наведено результати чисельного моделювання, що підтверджують практичну цінність цієї розробки.
format	Article
author	Романенко, В.Д. Мілявський, Ю.Л.
author_facet	Романенко, В.Д. Мілявський, Ю.Л.
author_sort	Романенко, В.Д.
title	Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі
title_short	Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі
title_full	Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі
title_fullStr	Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі
title_full_unstemmed	Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі
title_sort	синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Автоматизовані системи управління
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50124
citation_txt	Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі / В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2011. — № 4. — С. 7-20. — Бібліогр.: 6 назв. — укр.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT romanenkovd sintezbagatovimírnihkoordinuûčihsistemkeruvannâzríznotempovoûdiskretizacíêûvdetermínovanomuseredoviŝí AT mílâvsʹkijûl sintezbagatovimírnihkoordinuûčihsistemkeruvannâzríznotempovoûdiskretizacíêûvdetermínovanomuseredoviŝí
first_indexed	2025-07-04T11:36:32Z
last_indexed	2025-07-04T11:36:32Z
_version_	1836716123865743360
fulltext	© В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський, 2011 Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 4 7 TIДC АВТОМАТИЗОВАНІ СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ УДК 62-50 СИНТЕЗ БАГАТОВИМІРНИХ КООРДИНУЮЧИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ З РІЗНОТЕМПОВОЮ ДИСКРЕТИЗАЦІЄЮ В ДЕТЕРМІНОВАНОМУ СЕРЕДОВИЩІ В.Д. РОМАНЕНКО, Ю.Л. МІЛЯВСЬКИЙ Поставлено та вирішено задачу керування співвідношеннями між вихідними координатами багатовимірного різнотемпового об’єкта в детермінованому се- редовищі. Запропоновано новий алгоритм керування, що дозволяє одночасно забезпечувати виконання задачі слідкування і задачі координації в перехідно- му та усталеному режимах. Наведено результати чисельного моделювання, що підтверджують практичну цінність цієї розробки. ВСТУП Задача керування співвідношеннями, відома як проблема координуючого керування [1], почала розв’язуватись на досить загальному теоретичному рівні відносно недавно, хоча технічні системи, для яких принциповим є до- тримання заданих співвідношень, відомі давно. До таких систем належать системи синхронного керування електрогенераторами, двигунами, стержня- ми ядерних реакторів, системи автоматичного дозування речовин тощо. У наш час до області застосування методів координації відносять також дослідження природних (біологічних, екологічних) та соціально- економічних систем, що складаються з великої кількості елементів, що взаємодіють, і функціонування яких полягає в дотриманні певних співвід- ношень між вихідними величинами. Загальноприйняті підходи теорії керування, як виявилось, не дозволя- ють забезпечувати достатню точність керування співвідношеннями між ви- хідними координатами об’єкта в динаміці. Більшість методів, розроблених на сьогодні в теорії координуючого керування, на жаль, підходять лише для досить вузьких класів об’єктів або типів співвідношень [2, 3], і тому не мо- жуть розглядатись як універсальне вирішення проблеми. У [1] розглядається задача координації на узагальненому рівні, але лише для неперервних сис- тем. У цій роботі задача координуючого керування розглядається для дис- кретних систем, причому із різнотемповою дискретизацією. Нині теорія дискретних різнотемпових систем характеризується інтен- сивним розвитком. Це зумовлено наявністю широких класів об’єктів і під- систем у хімічній технології, енергетиці, економіці, екології та інших сфе- В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 4 8 рах, яким властиві різні швидкості перебігу процесів. Наприклад, у фінансо- во-економічній сфері актуальними є побудова й аналіз різнотемпових моде- лей динаміки курсів валют, процентних ставок, рівня безробіття, ВВП, обся- гу виробництва чи витрат тощо, оскільки різні показники, що входять до цих моделей, змінюються і вимірюються з різною частотою. У теорії керу- вання вже відомо досить багато цифрових алгоритмів, що забезпечують управління об’єктами з різнотемповою дискретизацією (тобто з різною час- тотою дискретизації входів та виходів) [4]. Але задача керування співвідно- шеннями для систем з різнотемповою дискретизацією досі не розглядалась. Проте її актуальність є очевидною вже тому, що на практиці майже завжди різні величини, співвідношення між якими необхідно забезпечувати, вимі- рюються в різні моменти часу, із різною частотою. Отже, у цій роботі вперше поставлено задачу координуючого керуван- ня для систем із різнотемповою дискретизацією та запропоновано новий метод синтезу регуляторів для таких систем. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ КООРДИНУЮЧОГО КЕРУВАННЯ ПРИ РІЗНОТЕМПОВІЙ ДИСКРЕТИЗАЦІЇ Нехай є дискретний багатовимірний різнотемповий об’єкт керування з n входами та n виходами, причому вхідні сигнали njkTu j ,...,1),( 0 = усі ма- ють період дискретизації 0T , а вихідні сигнали )( iii hly мають у загальному випадку різні періоди дискретизації ni m klmTmh i iiii ,...,1,,1,0 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ =≥= , де ][ — позначення цілої частини числа. Динаміка цього об’єкта задається за допомогою матричної дискретної передаточної функції (МДПФ) у формі z -перетворення njizzWzzzW iijn ,...,1,)},,({),...,,( 1 == , де =),( iij zzW , )( )( zu zy j ii= im i zz = . Оскільки 1−z — оператор зворотного зсуву на період 0T , то im i zz −− =1 — оператор зворотного зсуву на період ii hTm =0 . Якщо підставити im i zz = у вираз для ),( iij zzW , отримаємо )( )( )( zu zy zW j m i ij i = , і тоді можна розглядати ),...,,( 1 nzzzW як )},({)( zWzW ij= nji ,...,1, = . У роботі розглядається проблема синтезу регулятора для цього об’єкта, що має забезпечити виконання одразу двох задач, які надалі будемо назива- ти задачею слідкування та задачею координації. Під задачею координації розумітимемо вимогу виконання в динаміці системи лінійних співвідношень між вихідними координатами bAY = , (1) де AyyY T n ,),...,( 1= — задана матриця розмірності nrnr <× , , що має повний ранг, b — заданий вектор розмірності r. Оскільки координати )( iii hly вимірюються в різні моменти часу, то припускаємо, що Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 4 9 ),()( 0 iiiiii hlyTkhly =′+ ,0 imk <′≤ ,,...,1 ni = та будемо вимагати вико- нання рівності (1) при кожному k у сенсі bkTAY =)( 0 , де =)( 0kTY .))(,...),(( 001 T n kTykTy= Під задачею слідкування розумітимемо класичну задачу приведення вихідного сигналу Y до рівня сигналу задаючого діяння T nggG ),...,( 1= (якщо const=G , то задача слідкування стає задачею стабілізації). Очевидно, що для того, щоб задачі слідкування та координації були узгодженими, G слід подавати спеціальним чином. Запропонуємо дві схеми. Згідно з рис. 1, задаючі діяння одразу формуються так, щоб задовольняти (1), тобто bkTAG =)( 0 . При цьому вони формуються без зворотного зв’язку (рис. 1). Перевагою схеми на рис. 1 є простота і «чистота» задаючого сигналу, не пов’язаного з якістю роботи системи. Недоліком є те, що задаюче діяння не враховує, чи виконується реально співвідношення між вихідними координа- тами, тобто вимагається виконання співвідношення лише між ідеальними, бажаними сигналами, а не між дійсними. Щодо частоти дискретизації задаючих діянь, розглянемо два варіанти. У варіанті 1 всі задаючі діяння дискретизуються з періодом 0T , тобто .))(),...,(()( 0010 T n kTgkTgkTG = У варіанті 2 частота дискретизації задаючо- го діяння дорівнює частоті відповідної вихідної координати, тобто .))(),...,(( 111 T nnn hlghlgG = У цьому разі для виконання при кожному k bkTAG =)( 0 припускається, що ),()( 0 iiiiii hlgTkhlg =′+ ,0 imk <′≤ .,...,1 ni = Згідно зі схемою на рис. 2 із фізичних міркувань серед вихідних змін- них обирається n M− ведучих і М ведених координат. Оскільки за припу- щенням усі співвідношення лінійно незалежні, то ведені координати можна виразити однозначно як лінійні комбінації ведучих. По прямих каналах ве- дучих координат подаються певні задаючі діяння (без обмежень), а замість задаючих діянь для ведених координат подаються відповідні лінійні комбі- нації ведучих вихідних координат (рис. 2). Перевагою схеми 2 є той факт, gn gn–M+1 …… g1 gn–M Співвідно- шення Система …… )( 111 hly )( nnn hly … … … … … Рис. 1. Схема 1 координуючого керування В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 4 10 що ми в явному вигляді вимагаємо від системи, щоб ведені вихідні коорди- нати відповідали потрібним співвідношенням ведучих вихідних координат, тобто виконання співвідношення тепер є не додатковою умовою, поряд із відпрацюванням вхідних сигналів, а основною умовою. Недоліком схеми є відносна складність та внесення деякого запізнення в задаюче діяння по ве- деному каналу внаслідок інерційності системи. За умови застосування схеми на рис. 2 для обчислення задаючих діянь для ведених вихідних координат доведеться шукати лінійні комбінації ведучих вхідних координат із різною частотою дискретизації. Для простоти будемо, як завжди, припускати, що вони не змінюють своє значення в проміжку часу між моментами кванту- вання, тоді в загальному випадку найзручнішим для схеми 2 буде варіант дискретизації 1 (з малим періодом для всіх ngg ,...,1 ), хоча в конкретних ситуаціях можливі й інші варіанти дискретизації. Далі ми не будемо уточнювати, згідно з якою схемою подається задаю- че діяння, оскільки це не впливає на подальші викладки. РОЗРОБКА ЕТАЛОННОЇ МОДЕЛІ ДИНАМІКИ ЗАМКНЕНОЇ СИСТЕМИ З РІЗНОТЕМПОВОЮ ДИСКРЕТИЗАЦІЄЮ. СИНТЕЗ СЛІДКУЮЧОГО РЕГУЛЯТОРА Запропонуємо контур слідкуючого керування, зображений на рис. 3, де позначено YGeeE T n −== ),...,( 1 — вектор помилок керування. Для проектування регулятора )(zW р використовуватимемо метод без- посереднього синтезу регулятора, в одновимірному випадку описаний у [6]. Для цього спочатку задамо бажану МДПФ замкненої системи. Її вигляд за- лежить від обраного варіанта дискретизації задаючих діянь. Очевидно, що для забезпечення автономності її потрібно обирати діагональною. При варіанті 1 матимемо ,,...,1)},,({diag),...,,( 1 nizzHzzzH iin == де =),( ii zzH . )( )( zg zy i ii= Ця різнотемпова передаточна функція має ті ж властивості, що )( 01 kTg Mn +− )( 01 kTg Система Співвідно- шення )( 0kTg Mn− )( 111 hly )( MnMnMn hly −−− )( 111 +−+−+− MnMnMn hly )( nnn hly …… …… …… )( 0kTgт …… Рис. 2. Схема 2 координуючого керування Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 4 11 і розглянена вище передаточна функція об’єкта керування ),( iij zzW , і так само приводиться до вигляду ).(zHij Під час використання варіанта 2 отри- маємо ,,...,1)},({diag),...,( 1 nizHzzH iin == де , )( )( )( ii ii ii zg zy zH = тобто пе- редаточна функція по і-му каналу буде однотемповою з періодом дискрети- зації ih . Зрозуміло, що і в цьому випадку за потреби можна підставити im i zz = та отримати )},({diag)( zHzH i= ,,...,1 ni = )( )()( i i m i m i i zg zyzH = . Запропонуємо конкретний вигляд бажаної МДПФ замкненої системи для слідкуючого контуру. Найчастіше бажаним є перехідний процес, що мо- делюється в неперервному випадку аперіодичною ланкою першого порядку 1 1 +Ts , де Т — постійна часу, що обирається із міркувань швидкодії. Якщо на вході системи знаходиться екстраполятор нульового порядку з частотою квантування 0T , тобто задаюче діяння змінюється в моменти часу 0kT , ,,2,1 …=k то дискретна передаточна функція відповідної цифрової системи має вигляд 1 1 1 )1( − − − − z z α α , де T e T 1,0 == − λα λ [5]. У загальному випадку, коли задаюче діяння дискретизується з періодом 1,0 >= mmTh , а вихідна коор- дината — з періодом 0T , передаточну функцію аперіодичної ланки першого порядку можна представити (шляхом домноження чисельника та знаменни- ка на mzzz −−− ++++ ...1 21 ) як 121 121 )...)(1(1 )...)(1( −−−−− −−−− −+++−+ +++− mm m zzzz zzz αα α . (2) У випадку, коли, навпаки, вихідна координата дискретизується з пе- ріодом 1,0 >= mmTh , а вхідна — з періодом 0T , шляхом домноження чи- сельника та знаменника передаточної функції аперіодичної ланки на mm zzz −−−− ++++ 1221 ...1 ααα , отримуємо її різнотемповий аналог: gn + g1 + – – )( 0kTen )( 111 hly )(zW p )(zW 1 0( )e kT )( nnn hly … … … … … … … … … Рис. 3. Контур слідкуючого керування В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 4 12 1 1 121121 1 )...)(1( 1 )...)(1( − −−−− − −−−− − +++− = − +++− z zzz z zzz m mm mm mm α ααα α ααα , (3) де mzz =1 . Таким чином, підставляючи потрібне m, отримуємо бажані дискретні різнотемпові передаточні функції для кожного з каналів. Ці передаточні функції, об’єднані в єдину МДПФ, утворюють еталонну модель динаміки замкненого контуру, що виступає як критерій оптимальності для синтезу регулятора. Припустимо, що МДПФ об’єкта невироджена, тобто 0),...,,(det 1 ≠nzzzW . Згідно з методом безпосереднього синтезу отримуємо МДПФ слідкуючого регулятора такого вигляду: )())()(()( 11 zHzHIzWzW p −− −= . (4) Покажемо, що за умови застосування такого регулятора замкнена система дійсно матиме бажану МДПФ H(z). Для цього знайдемо МДПФ замкненого контуру: =+ − )()()]()([ 1 zWzWzWzWI рр ×−+= −−− )()]())()(()([ 111 zWzHzHIzWzWI =−× −− )())()(( 11 zHzHIzW =−−+= −−− )())(()]())(([ 111 zHzHIzHzHII =−+−= −− )())]())(())(([( 11 zHzHzHIIzHI ).()()]()([ 1 zHzHzHzHI =+−= − Отже, регулятор (4) забезпечує задану через )(zH динаміку контуру слідкування. Таким чином, побудовано регулятор, що має забезпечувати відслідко- вування вихідними координатами Y задаючих діянь G . Але задача коорди- нації вирішена тільки частково, в усталеному стані, оскільки і в схемі 1, і в схемі 2 задаюче діяння задовольняє співвідношенню (1), і тому, коли піс- ля завершення перехідного процесу виконається GY = , то рівність (1) буде задовольнятись і для вихідних координат. Але цього, як правило, недо- статньо. На практиці найчастіше вимагається, щоб співвідношення (1) вико- нувалось по можливості також і під час перехідного процесу, а не лише в усталеному стані. Іншими словами, задача координації має вищий пріори- тет і тому має бути вирішена «швидше», ніж задача слідкування. СИНТЕЗ КООРДИНУЮЧОГО ТА КОМБІНОВАНОГО КОНТУРІВ КЕРУВАННЯ У цій роботі пропонується синтезувати додатковий контур координації. Оскільки співвідношення за припущенням мають задовольнятись у кожний Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 4 13 момент часу 0kT , цей контур буде однотемповим з періодом 0T . Введемо в розгляд уявний об’єкт керування з МДПФ )(zAW . Оскільки за визначен- ням ),()()( 00 kTYkTUzW = де T n kTukTukTU ))(),...,(()( 0010 = — сигнал керу- вання, то вихідним сигналом уявного об’єкта буде ).()()( 00 kTAYkTUzAW = Розглянемо контур координації, в якому вектор b буде відігравати роль за- даючого діяння, уявний об’єкт — роль об’єкта керування, а =)( 0kTE к )())(),...,(( 0001 kTAYbkTekTe Tк r к −== — помилки керування (рис. 4). Необхідно синтезувати координуючий регулятор )(zW рк , який буде підтримувати «вихідну координату» уявного об’єкта )( 0kTAY на рівні за- даючого діяння b, тобто забезпечуватиме виконання (1). Виберемо бажану МДПФ контуру координації ,,...,1)},({diag)( rszHzH к s к == де =)(zH к s , )( s s b zx = ,))(),...,(()( 1 T r zxzxzAY = T rbbb ),...,( 1= . Суттєвою особливістю цього контуру є те, що об’єкт і регулятор мають різні кількості входів і виходів, а саме об’єкт має n входів і r виходів, а ре- гулятор — r входів та n виходів, nr < . Отже, не існує оберненої матриці до )(zAW , і метод безпосереднього синтезу застосувати неможливо. Виберемо деяку опорну матрицю C розмірності nr × так, щоб 0))((det ≠CzAW . За аналогією з (4) запропонуємо такий регулятор: )())(())(()( 11 zHzHICzAWCzW ккрк −− −= . (5) Знайдемо МДПФ замкненого контуру координації: =+ − )()()]()([ 1 zWzAWzWzAWI ркрк ×−+= −−− CzAWzHzHICzAWCzAWI кк )()]())(())(()([ 111 =−× −− )())(())(( 11 zHzHICzAW кк =−−+= −−− )())(()]())(([ 111 zHzHIzHzHII кккк =−+−= −− )())]())(())(([( 11 zHzHzHIIzHI кккк ).()()]()([ 1 zHzHzHzHI кккк =+−= − b + – )( 0kTW к )( 0kTAY )(zW рк )(zAW Рис. 4. Контур координації В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 4 14 Отже, регулятор (5) забезпечує задану через )(zH к динаміку контуру координації. В якості еталонної моделі візьмемо 1 1 0 0 1 )1()(,,...,1)},({diag)( −− −− − − === ze zezHrizHzH T T к i к i к к i к i λ λ , де к iк i к i T T ,1 =λ — стала часу і-го каналу замкненого контуру координації. Тепер об’єднаємо контури слідкування і координації в єдиний контур керування. На вхід реального об’єкта будемо подавати суму керуючих діянь, що виробляються слідкуючим та координуючим регуляторами, тобто )()()()()( 000 kTEzWkTEzWkTU кркp += (рис. 5). Вимога щодо більшої швидкодії контуру координації в порівнянні з контуром слідкування може бути забезпечена відповідним вибором бажа- них )(zH і )(zH к . Можна також явно ввести деяке 1<α і обчислювати )()()()()( 000 kTEzWkTEzWkTU кркp += α , але для простоти вважатимемо, що )(zH к одразу вибрано більш швидкодіючим по всіх каналах, ніж )(zH , тобто відповідні сталі часу )(zH к менші, ніж )(zH . Найголовніша умова, яку мають задовольняти всі параметри системи, — це стійкість комбінованого замкненого контуру. Виведемо цю умову ма- тематично. Очевидно, що контури слідкування і координації є стійкими за побудовою (тому що бажані МДПФ вибираються стійкими), але після їх об’єднання система може втратити стійкість. Для знаходження умови стій- кості комбінованого контуру виведемо спочатку його рівняння динаміки, представивши все в однотемповій формі: =+== ))()()()()(()()()( zEzWzEzWzWzUzWzY кркp =−+−= ))()(()())()()(()( zAYbzWzWzYzGzWzW pкp );())()()()(()()()()()( zYAzWzWzWzWbzWzWzGzWzW pкppкp +−+= b + – )( 0kTE к )(zW рк )(zW р + + )(zW А )( 0kTE + – G )( iihlY )( 0kTU Рис. 5. Комбінований контур керування Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 4 15 ])()()()()([])()()()([)( 1 bzWzWzGzWzWAzWzWzWzWIzY pкppкp +++= − . Отже, характеристичне рівняння замкненого комбінованого контуру буде 0])()()()([det =++ AzWzWzWzWI pкp (6) або, після підстановки (4), (5) .0])())(())(()()())(([det 111 =−+−+ −−− AzHzHICzAWCzWzHzHII кк Тоді стійкість замкненого контуру забезпечується розміщенням коренів рівняння (6) всередині кругу одиничного радіусу на комплексній площині. ПРИКЛАД: СИНТЕЗ ДВОВИМІРНОЇ КООРДИНУЮЧОЇ СИСТЕМИ З РІЗНОТЕМПОВОЮ ДИСКРЕТИЗАЦІЄЮ. РЕЗУЛЬТАТИ МОДЕЛЮВАННЯ Розглянемо для прикладу двовимірний об’єкт керування з частим кванту- ванням на першому виході та вдвічі рідшим на другому. Нехай різнотемпова МДПФ об’єкта має вигляд: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ),(),( )()( ),( 122121 1211 1 zzWzzW zWzW zzW , де 2 1 zz = та , 6703,064565,11 01148,0013,0 )( )( )( 21 21 1 1 11 −− −− +− + == zz zz zu zy zW , 37334,02875,11 016,0039,0 )( )( )( 21 21 2 1 12 −− −− +− + == zz zz zu zy zW 2 1 1 1 4321 1 12 121 2493,016756,11 00769,00076,0012873,013,0 )( )( ),( −− −−−− +− +++ == zz zzzz zu zy zzW , або інакше 42 4321 1 2 2 21 2493,016756,11 00769,00076,0012873,013,0 )( )( )( −− −−−− +− +++ == zz zzzz zu zy zW , 2 1 1 1 4321 2 12 122 4493,036756,11 00769,00276,0032873,0013,0 )( )( ),( −− −−−− +− +++ == zz zzzz zu zy zzW , або інакше 42 4321 2 2 2 22 4493,036756,11 00769,00276,0032873,0013,0 )( )( )( −− −−−− +− +++ == zz zzzz zu zy zW . Нехай задаюче діяння для першої координати є незалежним і кванту- ється з подвійним періодом, а задаюче діяння для другої координати обчис- люється як лінійна функція від першого виходу (рис. 2) і, відповідно, кван- тується з малим періодом. Виберемо для двовимірної системи бажану МДПФ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = )(0 0)( )( 2 1 zH zH zH . В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 4 16 У нашій системі 1H та 2H мають бути різнотемповими: 1H має вели- кий період дискретизації на вході та малий на виході, 2H — навпаки. Під- ставимо в (2) 2=m та будемо мати 321 321 1 ))(1(1 ))(1()( −−− −−− −+−+ ++− = zzz zzzzH αα α . По- тім підставимо в (3) 2=m і отримаємо 1 1 2 21 12 1 ))(1(),( − −− − +− = z zzzzH α αα або 22 21 2 1 ))(1()( − −− − +− = z zzzH α αα . Отже, при ,0Te λα −= вибравши деякі 21, λλ (обернені до сталих часу еталонних моделей слідкуючого контуру по обох каналах), отримуємо: . 1 ))(1(0 0 ))(1(1 ))(1( )( 22 21 321 321 02 0202 0101 01 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − +− −+−+ ++− = −− −−−− −−−−− −−−− ze zeze zezze zzze zH T TT TT T λ λλ λλ λ Таким чином, за формулою (4) можна синтезувати слідкуючий регуля- тор )(zW p . Нехай потрібно забезпечити виконання співвідношення −)( 01 kTy 1)(2 02 =− kTy , тобто 1,)21( =−= bA . Побудуємо (однотемповий) контур координації. Знову виберемо бажану передаточну функцію замкненого кон- туру координації (що в цьому прикладі виявився одновимірним) у формі 1 1 0 0 1 )1()( −− −− − − = ze zezH T T к к к λ λ , де к к к T T ,1 =λ — постійна часу контуру коорди- нації, і синтезуємо координуючий регулятор )(zW pк за формулою (5). Мат- рицю С, а також параметри кλλλ ,, 21 вибираємо так, щоб 0))((det ≠CzAW і виконувалась умова (6). У цьому прикладі вибрано ,)12( ТС = ,1,6,0,3,0 21 === кλλλ де виконується умова ,1λλ >к 2λλ >к , що забез- печує більшу швидкодію контуру координації в порівнянні зі слідкуючим контуром. Схему комбінованого контуру зображено на рис. 6. Моделювання проводилось у середовищі Simulink 7.4 for Matlab 7.9. Нехай першим задаючим діянням є синусоїдний сигнал, а друге задаюче діяння формується згідно зі схемою на рис. 2, тобто, у цьому випадку, як 2 1)( )( 01 02 − = kTy kTg . На рис. 7 зображено ведучу координату та її задаюче діяння, на рис. 8 — ведену координату та її задаюче діяння, на рис. 9 — по- хибку співвідношення (тобто ))(2)(1)( 02010 kTykTykTeк +−= . Щоб пере- конатись у доцільності введення запропонованого в роботі додаткового кон- туру координації, наведемо на рис. 10–12 результати моделювання для тієї ж системи, але без цього додаткового контуру. Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 4 17 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 1 0,5 0 –0,5 –1 Рис. 7. Результати моделювання (неперервна лінія — задаюче діяння, пунктир — вихідна координата) для першого каналу Рис. 8. Результати моделювання (неперервна лінія — задаюче діяння, пунктир — вихідна координата) для другого каналу 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 –0,2 –0,4 –0,6 –0,8 –1 –1,2 –1,4 Рис. 6. Схема двовимірного різнотемпового контуру для моделювання b + – )( 0kTeк )( 02 kTe )(zW рк )(zW р )(zW А )( 01 kTe ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ hkg 21 )( 02 kTg )( 01 kTu )( 02 kTu )( 01 kTy ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ hky 22 – – + + + + + Співвідношення В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 4 18 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 5 0 5 51,5 1 0,5 0 –0,5 –1 Рис. 9. Результати моделювання: графік похибки співвідношення 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 1 0,5 0 –0,5 –1 Рис. 10. Результати моделювання (неперервна лінія — задаюче діяння, пунктир — вихідна координата) для першого каналу за відсутності контуру координації 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 –0,2 –0,4 –0,6 –0,8 –1 Рис. 11. Результати моделювання (неперервна лінія — задаюче діяння, пунктир — вихідна координата) для другого каналу за відсутності контуру координації Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією … Системні дослідження та інформаційні технології, 2011, № 4 19 Із отриманих результатів випливає, що контур координації значно зменшує похибку співвідношення, що і було головною метою його введен- ня. Крім того, виявляється, що якість слідкування також не тільки не погір- шується, а навіть покращується, оскільки задаючі діяння задовольняють співвідношенню, і тому задачі слідкування і координації не суперечать, а доповнюють одна одну. ВИСНОВКИ У роботі досліджено проблему координуючого керування різнотемповим багатовимірним об’єктом у детермінованому середовищі. 1. Сформульовано математичну постановку задачі керування співвід- ношеннями (координуючого керування) між вихідними координатами об’єкта із різнотемповою дискретизацією та запропоновано декілька схем і варіантів формування задаючих діянь. 2. Розроблено різнотемпові критерії оптимальності, які подані у формі бажаних дискретних передаточних функцій замкненого контуру цифрового керування з різнотемповою дискретизацією. 3. Спроектовано слідкуючий регулятор на основі методу безпосеред- нього синтезу при різнотемповій матричній передаточній функції об’єкта керування та різнотемповій еталонній моделі. 4. Запропоновано спеціальний швидкодіючий контур координуючого керування, що забезпечує виконання заданих співвідношень під час пере- хідних процесів із достатньою точністю. 5. Розроблено метод синтезу цифрового регулятора для об’єкта типу «вхід–вихід» із різною кількістю входів і виходів та застосовано його для проектування координуючого регулятора. 6. Виведено умови стійкості комбінованого (слідкуючого та коорди- нуючого) контуру керування. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 –0,2 –0,4 Рис. 12. Результати моделювання: графік похибки співвідношення за відсутності контуру координації В.Д. Романенко, Ю.Л. Мілявський ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2011, № 4 20 7. Проведено чисельне моделювання двовимірної координуючої систе- ми з різнотемповою дискретизацією, що підтвердило ефективність та доціль- ність використання отриманих у роботі результатів. ЛІТЕРАТУРА 1. Бойчук Л.М. Синтез координирующих систем автоматического управления. — М.: Энергоатомиздат, 1991. — 160 с. 2. Мирошник И.В. Согласованное управление многоканальными системами. — Л.: Энергоатомиздат, 1990. — 129 с. 3. Кабальнов Ю.С., Лютов А.Г., Насибуллин Ф.Г. Координированное управление группой автономных динамических объектов // Выч. техника и новые инф. технологии: межвуз. сб. науч. тр. — 1999. — С. 45–48. 4. Згуровский М.З., Романенко В.Д. Системы фильтрации и управления с разде- ляющимися разнотемповыми движениями. — Киев: Наук. думка, 1998. — 376 с. 5. Романенко В.Д. Методи автоматизації прогресивних технологій: підруч. — Київ: Вища шк., 1995. — 519 с. 6. Chiu K.C., Corripio A.B., Smith C.L. Digital control algorithms. Part 1. Dahlin algo- rithm // Instruments and control systems. — 1973. — № 10. — P. 57–59. Надійшла 06.10.2010

Синтез багатовимірних координуючих систем керування з різнотемповою дискретизацією в детермінованому середовищі

Репозитарії

Схожі ресурси