Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив

Проведена формализация интегрированного метода ДШ/МАИ поддержки принятия решений по многим критериям при неполных экспертных оценках, который объединяет метод анализа иерархий и теорию доверия Демпстера-Шафера. Проведено оценивание чувствительности ранжирований, полученных методом ДШ/МАИ, к изменени...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Недашковская, Н.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2012
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50146
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив / Н.И. Недашковская // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 1. — С. 17-30. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50146
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-501462013-10-06T03:05:53Z Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив Недашковская, Н.И. Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу Проведена формализация интегрированного метода ДШ/МАИ поддержки принятия решений по многим критериям при неполных экспертных оценках, который объединяет метод анализа иерархий и теорию доверия Демпстера-Шафера. Проведено оценивание чувствительности ранжирований, полученных методом ДШ/МАИ, к изменениям во множестве альтернатив решений. Изменения ранжирований проиллюстрированы на нескольких примерах. Проведено формалізацію інтегрованого методу ДШ/МАІ підтримки прийняття рішень за багатьма критеріями при неповних експертних оцінках, який об’єднує метод аналізу ієрархій і теорію довіри Демпстера-Шафера. Проведено оцінювання чутливості ранжувань, отриманих методом ДШ/МАІ, до змін у множині альтернатив рішень. Зміни ранжувань проілюстровано на декількох прикладах. The formalization of the integrated decision support method DS/AHP by many criteria with incomplete expert estimates, which combines the method of hierarchies’ analysis and the theory of confidence of Dempster-Shafer, is done. Evaluation of the sensitivity of the rankings, obtained by the DS/MAI method to changes in the set of solutions alternatives, is carried out. Changes of rankings are illustrated with a few examples. 2012 Article Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив / Н.И. Недашковская // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 1. — С. 17-30. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50146 519.816 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу
spellingShingle	Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу Недашковская, Н.И. Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив Системні дослідження та інформаційні технології
description	Проведена формализация интегрированного метода ДШ/МАИ поддержки принятия решений по многим критериям при неполных экспертных оценках, который объединяет метод анализа иерархий и теорию доверия Демпстера-Шафера. Проведено оценивание чувствительности ранжирований, полученных методом ДШ/МАИ, к изменениям во множестве альтернатив решений. Изменения ранжирований проиллюстрированы на нескольких примерах.
format	Article
author	Недашковская, Н.И.
author_facet	Недашковская, Н.И.
author_sort	Недашковская, Н.И.
title	Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив
title_short	Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив
title_full	Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив
title_fullStr	Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив
title_full_unstemmed	Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив
title_sort	оценивание чувствительности метода дш/маи к изменениям во множестве альтернатив
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Теоретичні та прикладні проблеми і методи системного аналізу
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50146
citation_txt	Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив / Н.И. Недашковская // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 1. — С. 17-30. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT nedaškovskaâni ocenivaniečuvstvitelʹnostimetodadšmaikizmeneniâmvomnožestvealʹternativ
first_indexed	2025-07-04T11:38:01Z
last_indexed	2025-07-04T11:38:01Z
_version_	1836716217219416064
fulltext	© Н.И. Недашковская, 2012 Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 17 УДК 519.816 ОЦЕНИВАНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МЕТОДА ДШ/МАИ К ИЗМЕНЕНИЯМ ВО МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ Н.И. НЕДАШКОВСКАЯ Проведена формализация интегрированного метода ДШ/МАИ поддержки принятия решений по многим критериям при неполных экспертных оценках, который объединяет метод анализа иерархий и теорию доверия Демпстера- Шафера. Проведено оценивание чувствительности ранжирований, полученных методом ДШ/МАИ, к изменениям во множестве альтернатив решений. Изме- нения ранжирований проиллюстрированы на нескольких примерах. ВВЕДЕНИЕ В последние десятилетия метод анализа иерархий (МАИ) решения много- критериальных задач принятия решений (МКПР) на основе экспертных оце- нок [1, 2] разносторонне модифицируется и находит широкое применение в различных предметных сферах. Одна из модификаций — это метод ДШ/МАИ [3–7], объединяющий метод МАИ и теорию доверия Демпстера- Шафера [8], что позволяет осуществлять МКПР в условиях неполноты, не- точности и неопределенности экспертной информации. При решении практических задач лицо, принимающее решение, не всегда, в соответствии с методологией МАИ, имеет возможность выполнить парные сравнения между всеми альтернативами решений, что является не- обходимым условием для применения МАИ и практически всех его моди- фикаций. При решении задач МКПР информация об альтернативах решений может быть неполной вследствие временных ограничений, неточности экс- пертных знаний, нематериального характера некоторых критериев и т.д. Большинство исследователей [9–11] решает задачу МКПР с неполной инфор- мацией, используя следующую двухшаговую процедуру. На первом шаге формируется задача МКПР с полной информацией путем дополнения отсут- ствующих значений матрицы решений, используя механизм обучения [9, 10] или эвристические правила [11]. На втором шаге применяются стандартные методы МКПР для решения задачи с полной информацией. В отличие от этой двухшаговой процедуры метод ДШ/МАИ позволяет решать задачу МКПР непосредственно, основываясь на неполных экспертных оценках аль- тернатив по критериям. Цель работы — формализация метода ДШ/МАИ и исследование чувствительности решений, полученных этим методом, к разного вида из- менениям во множестве альтернатив. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ДОВЕРИЯ ДЕМПСТЕРА-ШАФЕРА Приведем основные понятия теории доверия Демпстера-Шафера (ТДШ) [8], используемые для формализации метода ДШ/МАИ. Н.И. Недашковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 18 Полное множество взаимоисключающих событий названо фреймом различения .Θ Возможными гипотезами в ТДШ являются все возможные подмножества Θ , их количество равно \|2\| Θ . Базовым распределением доверия называется функция ]1,0[2: →Θm , удовлетворяющая двум аксиомам: доверие к пустому множеству равно ну- лю )0)(( =∅m ; сумма доверий для всех подмножеств фрейма Θ равна еди- нице: 1)( =∑ Θ⊆A Am . Величина )(Am показывает долю или порцию доверия к гипотезе Θ⊆A . Любое подмножество A фрейма Θ , для которого выполняется ус- ловие 0)( >Am , называется фокальным элементом. Полным доверием называется функция ]1,0[2: →ΘBel , удовлетво- ряющая следующим аксиомам: доверие к пустому множеству равно нулю: 0)( =∅Bel ; доверие к фрейму Θ равно единице: 1)( =ΘBel ; +)(ABel 1)( ≤¬+ ABel . Величина )(ABel вычисляется как сумма доверий по всем подмно- жествам A : ∑ ⊆ = AB BmABel )()( и показывает полное доверие к Θ⊆A . Символ « A¬ » в определении функции полного доверия означает «не А», а величина доверия )( ABel ¬ показывает уровень сомнения в гипотезе A и вычисляется по формуле: .)()( ∑ ∅=∩ Θ⊆ =¬ BA B BmABel Правдоподобием называется функция ]1,0[2: →ΘPls , где )(APls пока- зывает величину максимального значения доверия, которое может быть по возможности назначено Θ⊆A : .)(1)( ABelAPls ¬−= Функции )(ABel и )(APls интерпретируются как нижние и верхние вероятности появления гипотезы A в том смысле, что предполагается су- ществование некоторой истинной вероятности )(Ap появления гипоте- зы A , такой что )()()( APlsApABel ≤≤ . Интервал )](),([ APlsABel называ- ется доверительным интервалом. Следующие два неравенства: 1)()( ≤¬+ ABelABel , 1)()( ≥¬+ APlsAPls , Θ⊆A показывают главное отличие ТДШ от традиционного байесовского подхода, в котором вероятность )(Ap события A удовлетворяет условию 1)()( =¬+ ApAp . В случае, когда каждое подмножество A состоит только из одного элемента, получим )()()( AmAPlsABel == , следовательно, в этом случае выполняется 1)()( =¬+ ABelABel . Поэтому ТДШ можно рассматри- вать как обобщение байесовской теории вероятности. Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 19 Для агрегирования независимых доверий относительно одних и тех же гипотез используется правило Демпстера, согласно которому агрегирован- ные доверия к гипотезам находятся посредством вычисления ортогональных сумм ∑ =∩ =⊕ AYX YmXm K Amm )()(1)()( 2121 , (1) где ∑∑ ∅=∩∅≠∩ −== YXYX YmXmYmXmK )()(1)()( 2121 — нормировочная константа, которая интерпретируется как мера конфликта между довериями 1m и 2m ; YX , — фокальные элементы доверий 1m и 2m соответственно. Используя свойство ассоциативности правила Демпстера (1), )()( 321321 mmmmmm ⊕⊕=⊕⊕ осуществляется агрегирование трех и бо- лее независимых доверий. ФОРМАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ДШ/МАИ Рассмотрим постановку задачи нахождения доверительных интервалов для альтернатив решений и ранжирования альтернатив по множеству критериев в соответствии с методом ДШ/МАИ, объединяющем метод анализа иерар- хий и теорию доверия Демпстера-Шафера. Дано: • },...,1\|{ niAA i == — множество альтернатив решений, • },...,1\|{ qjCC j == — множество критериев решений. Требуется найти: • значения доверий к альтернативам; • доверительные интервалы для альтернатив; • ранжирование альтернатив. В методе ДШ/МАИ каждая группа альтернатив решений сравнивается с фреймом различения (все множество альтернатив) по каждому из кри- териев и эксперт выражает степень «благоприятного знания» для каждой из этих групп альтернатив [3, 4]. Приведенное является принципиальным от- личием от метода МАИ, в котором парные сравнения проводятся между от- дельными альтернативами. Количество групп альтернатив отображает количество знаний, которыми обладает эксперт по данному критерию. К альтернативам, находящимся в одной группе, полагается (имеет место) одинаковое доверие, т.е. эксперт не обладает достаточными знаниями для их различения. Кроме того, для агрегирования весов альтернатив по множеству критериев в методе ДШ/МАИ используется правило Демпстера вместо дистрибутивного и идеального методов, применяемых в МАИ. Метод ДШ/МАИ состоит из нескольких этапов [3, 4]: 1) определение множества альтернатив и критериев решений; 2) нахождение точечных весов критериев по методу собственного век- тора МАИ; 3) формирование групп альтернатив относительно критериев, при этом к альтернативам, находящимся в одной группе, имеется одинаковое доверие; Н.И. Недашковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 20 4) проведение парных сравнений сформированных групп альтернатив с фреймом различения (всем множеством альтернатив) по каждому из кри- териев; 5) нахождение значений функций базового распределения доверия )(⋅jm для групп альтернатив и фрейма по каждому из критериев qj ,...,1= методом главного собственного вектора; 6) агрегирование полученных в п. 5 функций базового распределения доверия, используя правило Демпстера; 7) расчет значений полного доверия )(⋅Bel и правдоподобия )(⋅Pls , по- строение доверительных интервалов для групп альтернатив; 8) ранжирование альтернатив (групп альтернатив). Проведем формализацию четвертого, пятого и восьмого этапов. Мат- рица парных сравнений (МПП) в методе ДШ/МАИ будет иметь следующую структуру: ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =+ 1)/(1...)/(1)/(1 1......0 ... 0...10 0...01 21 2 1 1 c r cc c r c c r wdwdwd wd wd wd D , (2) где Θ= ii dd — количественное выражение степени преобладания группы альтернатив iS над фреймом, r — количество групп альтернатив по рас- сматриваемому критерию, cw — вес критерия. Нули в МПП (2) показывают, что парные сравнения производятся не между различными группами аль- тернатив, а только с фреймом. Значения функции базового распределения доверия )(⋅jm для групп альтернатив и фрейма вычисляются как элементы собственного вектора МПП 1+rD (2), отвечающего наибольшему собственному числу maxλ этой матрицы. Используя уравнения wwDr max1 λ=+ , 0)(det 11 =− ++ rr ID λ , 1 1 1 =∑ + = r i iw (условие нормировки) нетрудно доказать следующие утверждения. Утверждение 1. Наибольшее собственное число МПП (2) равно r+=1maxλ . Утверждение 2. Элементы нормированного главного собственного вектора МПП (2), соответствующие ее наибольшему собственному числу maxλ , равны rwd wd w r j c j c i i + = ∑ =1 , ri ,...,2,1= , rwd rw r j c j r + = ∑ = + 1 1 . (3) Величины iw , 1,...,2,1 += ri , вычисленные по формулам (3), являются значениями функции базового распределения доверия по критерию: ii wSm =)( , ri ,...,2,1= , 1)( +=Θ rwm . Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 21 Мерой неполноты экспертной информации по критерию назовем вели- чину )(Θm базового доверия к фрейму по рассматриваемому критерию. Мерой неполноты экспертной информации по множеству критериев },...,1\|{ qjcC j == назовем величину ))(...( 21 Θ⊕⊕⊕ qmmm базового агре- гированного доверия к фрейму. Таким образом, использование теории Демстера-Шафера в МАИ позволяет осуществлять принятие решений по многим критериям в усло- виях неполноты экспертной информации, когда эксперт не обладает доста- точными определенными знаниями для различения альтернатив по какому- либо из критериев. Также метод ДШ/МАИ позволяет количественно оце- нить относительную меру неполноты экспертных оценок. В результате применения такого интегрированного метода ДШ/МАИ каждой группе альтернатив (альтернативе в частном случае) ставятся в со- ответствие значение полного доверия и доверительный интервал. Следова- тельно, для нахождения ранжирования групп альтернатив необходимо ис- пользовать специальные методы. Можно рассматривать следующие два метода ранжирования групп аль- тернатив: 1) ранжирование в соответствии с убыванием точечных значений пол- ных агрегированных доверий к группам альтернатив; 2) ранжирование, полученное при сравнении доверительных интерва- лов. В данной работе предлагается следующий метод ранжирования групп альтернатив на основе сравнения их доверительных интервалов. Пусть )](),([ ii SPlsSBel и )](),([ jj SPlsSBel — доверительные интервалы групп альтернатив iS и jS . Если )()( ji SBelSBel > и )()( ji SPlsSPls > , то, осно- вываясь на интерпретации доверительного интервала (рисунок), группа iS обладает бόльшим полным доверием и меньшим уровнем непринятия по сравнению с группой jS . В этом случае будем считать, что iS преобладает над jS . Степень преобладания iS над jS определим следующим образом: )]()([)]()([ )]()(,0[max)]()(,0[max )( jjii jiji ji SBelSPlsSBelSPls SPlsSBelSBelSPls SSP −+− −−− => , ]1,0[)( ∈> ji SSP . Группа альтернатив решений iS преобладает над jS (обозначение ji SS ), если 5,0)( >> ji SSP . Группы альтернатив решений iS и jS не- различимы (обозначение ji SS ~ ), если 5,0)( => ji SSP . Рисунок. Схема интерпретации доверительного интервала Интервал полного доверия Интервал неопределенности Интервал отказа Bel(Si) Pls(Si) 1 0 Н.И. Недашковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 22 ОЦЕНИВАНИЕ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ МЕТОДА ДШ/МАИ К ИЗМЕНЕНИЯМ ВО МНОЖЕСТВЕ АЛЬТЕРНАТИВ Пусть n альтернатив решений nAAA ,,, 21 … оцениваются по двум крите- риям 1C и 2C и по этим критериям определены соответственно 1d и 2d групп альтернатив решений 111211 ,,, dSSS … и 222221 ,,, dSSS … , где Ø11 =∩ lk SS , Ø22 =∩ rp SS , 1,...,1, dlk = , 2,...,1, drp = . Метод ДШ/МАИ используется для вычисления доверий )(⋅Bel и доверительных интервалов )](),([ ⋅⋅ PlsBel для каждой группы альтернатив решений и фрейма .Θ Нас интересуют условия изменения порядков ранжирования альтерна- тив решений при использовании метода ДШ/МАИ при изменении множест- ва альтернатив, например, когда к множеству альтернатив добавляется еще одна альтернатива. В данной работе предлагаются следующие два условия. В первом условии рассматриваются изменения в значениях функций агреги- рованного полного доверия (далее просто доверия) групп альтернатив. Пусть )( iSBel — первоначальное значение агрегированного полного доверия к группе iS на основании объединенного опыта по двум критериям, )(* iSBel — соответствующее значение после добавления альтернативы. Условие 1. Порядок ранжирования между группами альтернатив iS и jS изменяется, если: • доверие к группе iS становится меньше доверия к группе jS после добавления альтернативы, т.е. )()( ji SBelSBel < при первоначальном ран- жировании )()( ji SBelSBel > ; • выполняются условия )()( ji SBelSBel < и )()( ji SBelSBel > ; • доверия к группам iS и jS стали отличаться (совпадать) после до- бавления альтернативы при условии, что они первоначально совпадали (от- личались). Поэтому, общее условие 1 изменения ранжирования следующее: ( ) ( ))0()0()0()0()0( * =∆∧≠∆∨≠∆∧=∆∨<∆∆ ijijijijijij BelBelBelBelBelBel , )()( jiij SBelSBelBel −=∆ , )()( * jiij SBelSBelBel −=∆ . Условие 2. Порядок ранжирования между группами альтернатив iS и jS изменяется, если изменяются ранжирования, определяемые их довери- тельными интервалами )](),([ ii SPlsSBel и )](),([ jj SPlsSBel . В данной работе три известных тестовых критерия [12] используются для исследования разных типов изменения ранжирования в методе ДШ/МАИ. Эти критерии применялись для исследования других методов МКПР. Тестовый критерий № 1. Использование эффективного метода МКПР не должно изменять наилучшую альтернативу при добавлении неоптималь- Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 23 ной альтернативы к множеству альтернатив решений (при условии неиз- менности относительных важностей критериев решений). Аналогично не должны изменяться относительные ранги остальных неизменяемых альтер- натив. Тестовый критерий № 2. Порядки ранжирования альтернатив реше- ний, полученные с привлечением эффективного метода МКПР, должны удовлетворять свойству транзитивности. Тестовый критерий № 3. Для той же задачи принятия решений и при использовании того же метода МКПР, ранжирование, полученное в резуль- тате объединения ранжирования подзадач, должно совпадать с первона- чальным ранжированием до проведения декомпозиции. Проведем оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ согласно введенному выше условию 1, когда к множеству альтернатив решений до- бавляется неоптимальная альтернатива с разными свойствами. Случай 1. Новая альтернатива 1+NA неоптимальна и формирует от- дельную группу по каждому из критериев решений, т.e. Ø}{ 11 =∩+ iN SA и Ø}{ 21 =∩+ kN SA , 1,...,1 Di = , 2,...,1 Dk = . Проведем агрегирование базовых функций доверий по двум критериям для возмущенного случая с добавленной альтернативой. После добавления альтернативы 1+NA , матрица пересечений ki SS 21 ∩ в соответствии с прави- лом Демпстера (1) для групп первоначально определенных альтернатив NAA ,...,1 не изменяется и обозначена в табл. 1 жирным шрифтом. Т а б л и ц а 1 . Промежуточные результаты использования правила Демпстера (случай 1) 2 1 CC 21S 22S ... 22DS }{ 1+NA Θ 11S 2111 SS ∩ 2211 SS ∩ ... 2211 DSS ∩ Ø 11S 12S 2112 SS ∩ 2212 SS ∩ ... 2212 DSS ∩ Ø 12S 11DS 211 1 SS ∩D 221 1 SS ∩D ... 21 21 DD SS ∩ Ø 11DS }{ 1+NA Ø Ø ... Ø }{ 1+NA }{ 1+NA Θ 21S 22S ... 22DS }{ 1+NA Θ Однако изменяется нормирующая константа K в правиле Демпстера (1): ∑∑ ∅=∩ + ∅=∩ + −=−= YA N YX N YmAmKYmXmK 1 )()()()(1 21121 * , где K — первоначальное значение нормирующей константы. Как следствие, при возмущении множества альтернатив, агрегирован- ные функции доверий для групп альтернатив, найденные по правилу Демпстера, могут изменяться непропорционально. Поэтому ранжирование может изменяться. Примеры изменения ранжирования согласно тестовым критериям № 1 и № 3 приведены ниже. Н.И. Недашковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 24 Случай 2. Новая альтернатива 1+NA неоптимальна и формирует от- дельную группу по одному из критериев решений. Относительно второго критерия решений эта альтернатива 1+NA имеет такое же предпочтение от- носительно фрейма ,Θ что и одна или несколько определенных ранее аль- тернатив, т.е. 1+NA включена в одну из существующих групп альтернатив. Пусть альтернатива 1+NA включена в группу 21S (без потери общности выбор 21S не принципиален). Тогда после добавления 1+NA формируются группы 111211 ,,, DSSS … и }{ 1+NA относительно критерия 1C и группы 222221 ,,, DSSS …′ относительно критерия 2C , где }{ 12121 +∪=′ NASS (табл. 2). Т а б л и ц а 2 . Промежуточные результаты использования правила Демпсте- ра (случай 2) 2 1 CC }{ 12121 +∪=′ NASS 22S ... 22DS Θ 11S 2111 SS ∩ 2211 SS ∩ ... 2211 DSS ∩ 11S 12S 2112 SS ∩ 2212 SS ∩ ... 2212 DSS ∩ 12S 11DS 211 1 SS ∩D 221 1 SS ∩D ... 21 21 DD SS ∩ 11DS }{ 1+NA }{ 1+NA ∅ ... ∅ }{ 1+NA Θ }{ 121 +∪ NAS 22S ... 22DS Θ Как следует из табл. 2, при возмущении множества альтернатив и по- следующем агрегировании базовых доверий 1m и 2m по критериям, матри- ца пересечений в правиле Демпстера (1), соответствующая группам опреде- ленных первоначально альтернатив (обозначенная в табл. 2 жирным шрифтом), изменяется, так как изменяется результат пересечения группы 21S ′ с фреймом Θ . Появляется новый результат агрегирования: }){()(1}){)(( 12121121 2 * 1 ++ ∪Θ=∪⊕ NN ASmm K ASmm , измененная нормирующая константа K в правиле Демпстера для всех ре- зультатов агрегирования вычисляется по формуле: ∑∑ ∅=∩ + ∅=∩ + −=−= YA N YX N YmAmKYmXmK 1 )()()()(1 21121 * . Поэтому при применении правила Демпстера к возмущенному мно- жеству альтернатив агрегированные функции доверий групп альтернатив также как и в случае 1 выше могут изменяться непропорционально. И, как следствие, ранжирование может изменяться (см. пример ниже). Рассмотрим теперь возможность изменения ранжирования в методе ДШ/МАИ согласно тестовому критерию № 2. Предположим, что использо- Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 25 ван метод ДШ/МАИ и найдено ранжирование альтернатив задачи принятия решений. Далее, предположим, что произведена декомпозиция этой задачи на множество подзадач, в каждой из которых только две альтернативы оце- ниваются по всем критериям решений первоначальной задачи. Тогда в соот- ветствии с тестовым критерием № 2 все порядки ранжирования подзадач должны удовлетворять свойству транзитивности. Группы альтернатив относительно двух критериев решений 1C и 2C обозначим iS1 и jS2 . Предположим, что каждая группа состоит из одного элемента, т.e. }{ 12111 ASS == , }{,},{ 2122212 NNN ASSASS ==== … и аль- тернативы (группы альтернатив) рассматриваются попарно и порядки ран- жирования двух произвольных пар равны ji AA и kj AA . Тогда агреги- рованное доверие к альтернативе iA согласно правилу Демпстера (1) вычисляется по формуле: ( ))()())()()((1 21221 iii AmmmAmAm K Θ+Θ+ , где )(1 ⋅m и )(2 ⋅m — функции базовых доверий относительно критериев ре- шений 1C и 2C , K — нормирующая константа. Тогда ранжирования ji AA и kj AA приводят к следующим нера- венствам: −Θ+Θ+ )()())()()(( 21221 iii AmmmAmAm 0)()())()()(( 21221 >Θ+Θ+− jjj AmmmAmAm , −Θ+Θ+ )()())()()(( 21221 jjj AmmmAmAm 0)()())()()(( 21221 >Θ+Θ+− kkk AmmmAmAm . При объединении этих неравенств получаем: −Θ+Θ+ )()())()()(( 21221 iii AmmmAmAm 0)()())()()(( 21221 >Θ+Θ+− kkk AmmmAmAm , т.е. ki AA . Поэтому, когда группы альтернатив решений состоят из одного эле- мента, свойство транзитивности рангов альтернатив выполняется, и по тес- товому критерию № 2 ранжирование в методе ДШ/МАИ не меняется. ПРИМЕРЫ ИЗМЕНЕНИЯ РАНЖИРОВАНИЯ АЛЬТЕРНАТИВ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МЕТОДА ДШ/МАИ ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО МНОЖЕСТВА АЛЬТЕРНАТИВ На нескольких примерах проиллюстрированы разные виды изменения ран- жирования альтернатив в методе ДШ/МАИ при возмущении множества аль- тернатив. В примере 1 приведен первый случай изменения ранжирования, Н.И. Недашковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 26 когда добавляемая альтернатива является неоптимальной и формирует от- дельную группу по каждому критерию решений. Показано, что метод ДШ/МАИ не удовлетворяет тестовым критериям № 1 и № 3, поскольку при добавлении неоптимальной альтернативы к множеству альтернатив проис- ходит изменение наилучшей альтернативы и общее ранжирование альтерна- тив, полученное объединением частичных ранжирований подзадач, не сов- падает с первоначальным ранжированием до декомпозиции задачи. Пример 1. Пусть три альтернативы 1A , 2A и 3A оцениваются по двум критериям решений 1C и 2C , веса критериев равны 2,01 =cw и 8,02 =cw . Три группы альтернатив }{ 1A , }{ 2A и }{ 3A определены по критерию 1C и три группы альтернатив }{ 1A , }{ 2A и }{ 3A — по критерию 2C (табл. 3). Т а б л и ц а 3. Результаты сравнений групп альтернатив с фреймом по кри- териям 1C и 2C 1C }{ 1A }{ 2A }{ 3A 2C }{ 1A }{ 2A }{ 3A Θ 2 8 3 Θ 6 5 8 Используя данные табл. 3, значения функции базового доверия к груп- пам альтернатив и фрейму Θ по критериям 1C и 2C равны соответственно: 0923,0})({ 11 =Am , 3693,0})({ 21 =Am , 1385,0})({ 31 =Am и 3998,0)(1 =Θm , 2835,0})({ 12 =Am , 2362,0})({ 22 =Am , 3780,0})({ 31 =Am и .1023,0)(1 =Θm Агрегирование найденных функций базового доверия )(1 ⋅m и )(2 ⋅m по правилу Демпстера (1) дает следующие агрегированные доверия 21aggr mmm ⊕= : 2376,0})({ 1aggr =Am , 3501,0})({ 2aggr =Am , =})({ 3aggr Am 3471,0= и 0652,0)(aggr =Θm . Все исследуемые группы являются одно- элементными множествами, поэтому полные агрегированные доверия к ним совпадают с их базовыми агрегированными довериями, т.e. 2376,0})({ 1 =ABel , 3501,0})({ 2 =ABel и 3471,0})({ 3 =ABel . Поэтому поря- док ранжирования альтернатив при сравнении значений доверий равен 132 AAA . Предположим, что первоначальное множество альтернатив возмущено путем добавления неоптимальной альтернативы 4A к множеству альтерна- тив, которая формирует отдельную группу по каждому из критериев; ре- зультаты сравнения группы }{ 4A с фреймом Θ по критериям 1C и 2C рав- ны соответственно 1 и 2. Тогда после добавления альтернативы 4A полные доверия к группам альтернатив равны 2213,0})({ 1 =ABel , =})({ 2ABel 3161,0= , 3204,0})({ 3 =ABel и 0704,0})({ 4 =ABel . Таким образом, ранжирование альтернатив становится 23 AA 41 AA и отличается от ранжирования 132 AAA , которое имело место до возмущения множества альтернатив. Более того, изменяется наилучшая альтернатива. Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 27 Далее предположим, что выполнена декомпозиция последней задачи с четырьмя альтернативами на подзадачи, в каждой из которых только две альтернативы оцениваются по всем критериям решений первоначальной задачи. Тогда после применения метода ДШ/МАИ к каждой из подзадач по- лучены следующие частичные порядки ранжирования альтернатив: 12 AA , 13 AA , 32 AA , 41 AA , 42 AA и 43 AA . Они приводят к обобщенно- му ранжированию 4132 AAAA , которое отличается от ранжирования 4123 AAAA этих альтернатив перед декомпозицией задачи. Следует отметить, что задача принятия решения, рассматриваемая в примере 1, характеризуется конфликтными оценками альтернатив по крите- риям решений. Поэтому наблюдаемое в этих задачах изменение ранжирова- ния отображает рациональный процесс принятия решений. Рассмотрим следующую практическую задачу принятия решений. Пусть два соискателя на вакантную должность оцениваются по двум крите- риям: аналитические способности и коммуникабельность, и пусть эти кри- терии имеют равную важность для ЛПР. Известно, что первый соискатель имеет прекрасные аналитические способности, но некоммуникабелен. Вто- рой соискатель, наоборот, очень коммуникабелен, но без аналитических способностей. Метод ДШ/МАИ приводит к одинаковым значениям доверий и одинаковым доверительным интервалам для этих двух соискателей. Пред- положим, что появился еще один альтернативный вариант — соискатель с посредственными аналитическими способностями (не такими хорошими как у первого соискателя) и посредственной коммуникабельностью (не такой хорошей как у второго соискателя). Так как первый и второй соискатели доминируют нового претендента, то новый соискатель неоптимален по обе- им критериям. Однако, скорее всего, первые два соискателя уже не будут наиболее предпочтительными для ЛПР — при равных важностях критериев решений новый претендент является наиболее предпочтительным. В такой задаче принятия решений изменение ранжирования — желаемое. И именно такой результат дает метод ДШ/МАИ. Пример 2. Выполним оценивание чувствительности практической за- дачи [5] выбора курса обучения из десяти возможных альтернатив ,,, CBA JIHGFED ,,,,,, в соответствии с двумя критериями 1C и 2C . Эксперты оценили альтернативы по каждому из критериев и определили следующие группы альтернатив: • по критерию 1C : }{1 Fs = , },{2 HAs = , },,{3 IDCs = , }{4 Js = , • по критерию 2C : },{1 FEs = , },,{2 HGAs = , },,{3 JCBs = , веса критериев 4,01 =cw и 6,02 =cw . Результаты сравнения групп альтернатив is с фреймом =Θ },...,,,{ JCBA= по каждому из критериев представлены в табл. 4. Т а б л и ц а 4 . Результаты сравнения групп альтернатив с фреймом по критериям 1C и 2C 1C 1s 2s 3s 4s 2C 1s 2s 3s Θ 6 4 2 1 Θ 5 3 2 Н.И. Недашковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 28 Сравнение выполнялось в 7-ми точечной шкале 1–7, где крайние зна- чения означают соответственно «очень слабое доверие» и «абсолютное до- верие». Значения функций базового распределения доверия, вычисленные по формулам (3), равны: по критерию 1C : 3333,0})({1 =Fm , =}),({1 HAm 2222,0= , 1111,0}),,({1 =IDCm , 0556,0})({1 =Jm , 2778,0})({1 =Θm ; по критерию 2C : 3880,0}),({3 =FEm , 2328,0}),,({3 =HGAm , =}),,({3 JCBm 1552= , 2240,0})({3 =Θm . При рассмотрении этих функций как независимых доверий относи- тельно одного и того же фрейма, применение правила Демпстера (1) приво- дит к агрегированной функции доверия aggrm (табл. 5, 6), =−= 3535,01K 6465,0= . Т а б л и ц а 5 . Промежуточные результаты агрегирования значений функ- ций 1( )m ⋅ и )(2 ⋅m )(/)( 21 ⋅⋅ mm },{ FE : 0,3880 },,{ HGA : 0,2328 },,{ JCB : 0,1552 Θ : 0,2240 }{F : 0,3333 }{F : 0,1293 Ø: 0,0776 Ø: 0,0517 }{F : 0,0747 },{ HA : 0,2222 Ø: 0,0862 },{ HA : 0,0517 Ø: 0,0345 },{ HA : 0,0498 },,{ IDC : 0,1111 Ø: 0,0431 Ø: 0,0259 }{C : 0,0172 },,{ IDC : 0,0249 }{J : 0,0556 Ø: 0,0216 Ø: 0,0129 }{J : 0,0086 }{J : 0,0124 Θ : 0,2778 },{ FE : 0,1078 },,{ HGA : 0,6467 },,{ JCB : 0,0431 Θ : 0,0622 Т а б л и ц а 6 . Агрегированная функция доверия aggrm Группы альтер- натив }{C }{F }{J },{ HA },{ FE },,{ HGA },,{ JCB },,{ IDC Θ aggrm 0,0267 0,3156 0,0326 0,1570 0,1667 0,1000 0,0667 0,0385 0,0962 Bel 0,0267 0,3156 0,0326 0,1570 0,4823 0,2570 0,1260 0,0652 1,0000 В последней строке табл. 6 находятся значения полных агрегированных доверий к группам альтернатив. Поэтому, ранжирование групп при сравнении этих значений доверий равно: { } { } { }F J C , { , } { , }E F A H , { , , } { , , } { , , }A G H B C J C D I . Значение базового агрегированного доверия 0962,0)(aggr =Θm , в соот- ветствии с определением, введенным выше, является мерой неполноты экс- пертной информации по множеству критериев. Таким образом, уровень не- определенности данной задачи с двумя критериями составляет 9,62 %. Проведем оценивание чувствительности приведенного выше ранжиро- вания. Предположим, что множество альтернатив изменено: добавлена не- оптимальная альтернатива K , которая по критерию 1C имеет такое же предпочтение над фреймом Θ , что и альтернатива J , и формирует отдель- ную группу по критерию 2C . Таким образом, в задаче принятия решения с возмущенными альтернативами определены следующие группы альтернатив: Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 29 • по критерию 1C : }{1 Fs = , },{2 HAs = , },,{3 IDCs = , },{4 KJs = , • по критерию 2C : },{1 FEs = , },,{2 HGAs = , },,{3 JCBs = и }{4 Ks = , веса критериев остаются неизменными 4,01 =cw и 6,02 =cw . Если результаты сравнений групп },{ KJ (по критерию 1C ) и }{K (по критерию 2C ) с фреймом равны соответственно 1 и 1, то значения функций базового доверия равны: • по критерию 1C : 3333,0})({1 =Fm , ,2222,0}),({1 =HAm 1111,0}),,({1 =IDCm , 0556,0}),({1 =KJm , 2778,0)(1 =Θm ; • по критерию 2C : 3488,0}),({3 =FEm , 2093,0},,({3 =HGAm , 1395,0},,({3 =JCBm , 0698,0})({3 =Km и 2326,0)(3 =Θm . Результаты агрегирования по правилу Демпстера (1) для возмущенной задачи приведены в табл. 7. Та б л и ц а 7 . Агрегированные доверия 31aggr mmm ⊕= и полные агрегиро- ванные доверия Bel по обоим критериям 1C и 2C для возмущенной задачи Группы альтер- натив {C} {F} {J} {K} {A,H} {E,F} {J,K} {A,G,H} {B,C,J} {C,D,I} Θ aggrm 0,02440,3048 0,0123 0,03660,15450,15240,0203 0,0915 0,0610 0,0406 0,1016 Bel 0,02440,3048 0,0123 0,03660,15450,45720,0692 0,2460 0,0977 0,0650 1,0000 При сравнении значений полных агрегированных доверий (последняя строка табл. 7) получаем, что порядок ранжирования альтернатив C и J равен JC . Поскольку ранжирование этих альтернатив до добавления аль- тернативы K было CJ , то имеет место изменение ранжирования соглас- но условию 1, приведенному выше. Таким образом, возмущение альтернатив исходной задачи принятия решения путем добавления неоптимальной альтернативы к множеству из десяти альтернатив приводит к изменению первоначального ранжирования альтернатив. ВЫВОДЫ В работе проведена формализация и предложен метод ранжирования аль- тернатив в интегрированном методе ДШ/МАИ, который объединяет метод МАИ и теорию доверия Демпстера-Шафера, позволяя осуществлять под- держку принятия решений по многим критериям в условиях неполноты, не- точности и неопределенности экспертной информации. Проведено оценивание чувствительности решений, полученных мето- дом ДШ/МАИ, к изменениям во множестве альтернатив решений. Для этого определены два условия изменения ранжирования в методе ДШ/МАИ. В первом условии рассматриваются изменения в значениях полных доверий к группам альтернатив. Во втором условии сравниваются интервалы дове- рий. Исследованы разные виды изменения ранжирования альтернатив при разных возмущениях множества альтернатив (добавлении/ удалении неоп- Н.И. Недашковская ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 30 тимальной альтернативы, которая доминируется одной или несколькими определенными ранее альтернативами). Результаты свидетельствуют о том, что изменение ранжирования может иметь место в случае добавления неоп- тимальной альтернативы, которая формирует отдельную группу по каждому из критериев решений, когда метод ДШ/МАИ используется для решения задач принятия решений с конфликтными оценками альтернатив по крите- риям. Тогда такое изменения ранжирования отображает рациональный про- цесс принятия решений. Показано, что при использовании метода ДШ/МАИ общее ранжирова- ние альтернатив, полученное объединением ранжирования подзадач, может не совпадать с первоначальным ранжированием до декомпозиции задачи. Наилучшая альтернатива может измениться при добавлении/удалении неоп- тимальной альтернативы и при попарном рассмотрении альтернатив. Разные виды изменения ранжирования в методе ДШ/МАИ при возмущении множе- ства альтернатив проиллюстрированы на ряде примеров. ЛИТЕРАТУРА 1. Saaty T.L. Theory of the Analytic Hierarchy Process. Part 2.1. // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2003. — № 1. — С. 48–72. 2. Saaty T.L. Decision-making with the AHP: Why is the principal eigenvector neces- sary // European Journal of Operational Research. — 2003. — 145 (1). — P. 85–91. 3. Beynon M.J., Curry B., Morgan P.H. The Dempster-Shafer theory of evidence: an alternative approach to multicriteria decision modeling // Omega. — 2000. — 28 (1). — P. 37–50. 4. Beynon M.J. DS/AHP method: A mathematical analysis, including an understanding of uncertainty // European Journal of Operational Research. — 2002. — 140. — P. 148–164. 5. Beynon M.J. A method of aggregation in DS/AHP for group decision-making with the non-equivalent importance of individuals in the group // Computers and Operations Research. — 2005. — 32. — P. 1881–1896. 6. Beynon M.J. Understanding local ignorance and non-specificity within the DS/AHP method of multi-criteria decision making // European Journal of Operational Re- search. — 2005. — 163. — P. 403–417. 7. Beynon M.J. The Role of the DS/AHP in Identifying Inter-Group Alliances and Majority Rule Within Group Decision Making // Group Decision and Negotia- tion. — 2006. — 15. — P. 21–42. 8. Dempster A.P. A generalization of Bayesian inference (with discussion) // Journal of the Royal Statistical Society Series B. — 1968. — 30. — P. 205–247. 9. Fortes I., Mora-L’opez L., Morales R., Triguero F. Inductive learning models with missing values // Mathematical and Computer Modelling. — 2006. — 44. — P. 790–806. 10. Hong T.P., Tseng L.H., Wang S.L. Learning rules from incomplete training examples by rough sets // Expert Systems with Applications. — 2002. — 22. — P. 285–293. 11. Quinten A., Raaijmakers W. Effectiveness of different missing data treatments in surveys with Likert-type data: Introducing the relative mean substitution ap- proach // Educational and Psychological Measurement. — 1999. — 59 (5). — P. 725–748. 12. Wang X., Triantaphyllou E. Ranking irregularities when evaluating alternatives by using some ELECTRE methods // Omega. — 2008. — 36 (1). — P. 45–63. Поступила 23.09.2010

Оценивание чувствительности метода ДШ/МАИ к изменениям во множестве альтернатив

Репозитарії

Схожі ресурси