К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений

Достаточно широкий класс непараметрических задач принятия решений, рассматриваемых с позиции получения критерия оптимальности — отношения предпочтений на решениях делится на два подкласса: задачи с неопределенностью (неоднозначностью указанного решения) и задачи без неопределенности (так называемые...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Михалевич, В.М., Иваненко, В.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2012
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50150
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений / В.М. Михалевич, В.И. Иваненко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 1. — С. 61-76. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50150
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-501502013-10-06T03:06:39Z К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений Михалевич, В.М. Иваненко, В.И. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Достаточно широкий класс непараметрических задач принятия решений, рассматриваемых с позиции получения критерия оптимальности — отношения предпочтений на решениях делится на два подкласса: задачи с неопределенностью (неоднозначностью указанного решения) и задачи без неопределенности (так называемые детерминистические задачи). Для такой классификации необходимы критерии существования неопределенности, которые и предлагаются в данной работе. Достатньо широкий клас непараметричних задач прийняття рішень, що розглядаються з позиції отримання критерія оптимальності — відношення переваг на рішеннях, розділено на два підкласи: задачі з невизначеністю (неоднозначність вказаного рішення) та задачі без невизначеності (так звані детерміністичні задачі). Для такої класифікації необхідні критерії існування невизначеності, що пропонуються в цій роботі. Sufficiently broad class of non-parametric problems of decision-making, which is considered from the point of obtaining the criteria of optimality — the relationship of preferences on the solutions, can be divided into two subclasses: problem with uncertainty (equivocation of the solution) and problems without uncertainty (so-called deterministic problems). For such classification criteria of uncertainty existence, which are suggested in this work, are necessary. 2012 Article К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений / В.М. Михалевич, В.И. Иваненко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 1. — С. 61-76. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50150 519.81 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
spellingShingle	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Михалевич, В.М. Иваненко, В.И. К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений Системні дослідження та інформаційні технології
description	Достаточно широкий класс непараметрических задач принятия решений, рассматриваемых с позиции получения критерия оптимальности — отношения предпочтений на решениях делится на два подкласса: задачи с неопределенностью (неоднозначностью указанного решения) и задачи без неопределенности (так называемые детерминистические задачи). Для такой классификации необходимы критерии существования неопределенности, которые и предлагаются в данной работе.
format	Article
author	Михалевич, В.М. Иваненко, В.И.
author_facet	Михалевич, В.М. Иваненко, В.И.
author_sort	Михалевич, В.М.
title	К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений
title_short	К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений
title_full	К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений
title_fullStr	К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений
title_full_unstemmed	К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений
title_sort	к неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50150
citation_txt	К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений / В.М. Михалевич, В.И. Иваненко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 1. — С. 61-76. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT mihalevičvm kneopredelennostivneparametričeskihshemahsituacijzadačprinâtiârešenij AT ivanenkovi kneopredelennostivneparametričeskihshemahsituacijzadačprinâtiârešenij
first_indexed	2025-07-04T11:41:39Z
last_indexed	2025-07-04T11:41:39Z
_version_	1836716461496729600
fulltext	© В.М. Михалевич, В.И. Иваненко, 2012 Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 61 TIДC ПРОБЛЕМИ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ І УПРАВЛІННЯ В ЕКОНОМІЧНИХ, ТЕХНІЧНИХ, ЕКОЛОГІЧНИХ І СОЦІАЛЬНИХ СИСТЕМАХ УДК 519.81 К НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СХЕМАХ СИТУАЦИЙ ЗАДАЧ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ В.М. МИХАЛЕВИЧ, В.И. ИВАНЕНКО Достаточно широкий класс непараметрических задач принятия решений, рассматриваемых с позиции получения критерия оптимальности — отношения предпочтений на решениях, делятся на два подкласса: задачи с неопределен- ностью (неоднозначностью указаного решения) и задачи без неопределенности (так называемые детерминистические задачи). Для такой классификации необходимы критерии существования неопределенности, которые и предла- гаются в данной работе. ВВЕДЕНИЕ Анализируется ситуация в системе принятия решений, представляющая собой пару: того, кто принимает решение (ТПР) и ситуацию принятия решения (СПР) [1, 2]. При этом задачи принятия решений (они преимущественно рассматри- ваются как оптимизационные) можно разделить на два подкласса: задачи без неопределенности (так называемые детерминистические задачи) и задачи с неопределенностью, так как неопределенность значений ненаблюдаемого параметра часто порождает неопределенность при выборе оптимального решения в заданной ситуации, т.е. задаваемой схемой, или, коротко говоря, неопределенность схемы ситуации. Для такой классифи- кации необходимы критерии наличия неопределенности в этих задачах. Поэтому возникает задача получения критериев неопределенности схем ситуаций. Указанная задача для непараметрических ситуаций решается в данной работе, которая является уточнением и обобщением работ [3, 4]. Хотя согласно [5], анализируя ситуации, можно ограничиться только параметрическими ситуациями, тем не менее, помимо самостоятельного интереса, полученные в работе результаты используются в дальнейшем для решения поставленной задачи также и для параметрических ситуаций. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Определение 1. Схемой ситуации задачи решения (ССЗР) называется упорядоченная тройка вида ),,( RUX , где R является графиком соот- В.М. Михалевич, В.И. Иваненко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 62 ветствия из произвольного непустого множества U в произвольное непустое множество ,X для которого UR =dom и .im XR = При этом X называется множеством последствий, U — множеством решений, R — соответствием ССЗР ),,( RUX . Под основной задачей принятия решения для ТПР в заданной ситуации или, коротко, задачей решения (ЗР) понимается задание этим ТПР отношения предпочтения на последствиях (первая ЗР) и решениях (вторая ЗР). Определение 2. ССЗР Ẑ),,( ∈′′′ RUX называется подсхемой ССЗР Ẑ),,( ∈RUX , если .=,, RXURUUXX ∩′×′′⊆′⊆′ Подсхему ),,( RUX ′′′ ССЗР Ẑ),,(:=ˆ ∈RUXZ будем обозначать UXZ ′′,\|ˆ . Определение 3. Две ССЗР Ẑ),,(),,,( 222111 ∈RUXRUX называются изоморфными и это будем обозначать ),,,(),,( 222111 RUXRUX если найдутся такие биекции ,: 21 XXi → ,: 21 UUj → что .= 12 RijR (1) Рассмотрим подкласс Ẑ класса ,Ẑ в ССЗР которого на множествах последствий задано отношение предпочтения, т.е. каждой ССЗР этого класса соответствует тройка вида ).,),,((:=ˆ RUXZ Тогда =:)),((ˆ XZ }.ˆ),),,{((=: Z∈⋅⋅X Определение 4. Подсхемой ССЗР Ẑ),),,(( ∈RUX называется ССЗР Ẑ),),,(( ∈′′′′ RUX , где ССЗР Ẑ),,( ∈′′′ RUX является подсхемой ССЗР Ẑ),,( ∈RUX , а )\|(=)( X ′′ . Подсхему ),),,(( RUX ′′′′ ССЗР Ẑ),),,((=:ˆ ∈RUXZ будем обозна- чать UX ′′,\|Ẑ . Определение 5. Фрагментом ССЗР Ẑ),,( ∈RUX )ˆ),),,((( Z∈RUX называется ССЗР )ˆ),),,(((ˆ),,( Z∈′′′′∈′′′ RUXRUX Z , где RR ⊆′ , ⊆′R( )),(=:),(, XXR ′′′⊆ . Фрагмент ),,( RUX ′′′ ССЗР Ẑ),,(:=ˆ ∈RUXZ будем обозначать как .\|ˆ RZ ′ Замечание. Очевидно, что любая подсхема является фрагментом, но не наоборот. Определение 6. Правилом выбора предпочтений (ПВП) для ЗР в классе ССЗР ZZ ˆˆ ⊆′ (коротко ПВП в ZZ ˆˆ ⊆′ ) будем называть любое отображение ),(= 21 πππ , определенное на Z′ˆ и сопоставляющее каждой Z′∈ ˆ),,(=ˆ RUXZ некоторую пару соответствий ),( ẐX и ),( * ẐU , т.е. Z′×∈ ˆ)2()2( 21 )2(2),(= UXπππ , что будем обозначать также =Ẑπ К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 63 )),(),,((),( * ˆˆˆ2ˆ1 ZZZZ UX== ππ . Класс всех ПВП в ZZ ˆˆ ⊆′ будем обозна- чать )ˆ(П Z′ . Замечание. Каждый ТПР имеет определенное (свое) ПВП для класса Z′ˆ , которое является моделью ТПР-а относительно решения им ЗР в классе Z′ˆ . Зная ПВП для ZZ ˆˆ ⊆′ произвольного ТПР, мы можем узнать этого ТПР- а решение основной ЗР для ZZ ˆˆˆ ⊆′∈Z . Определение 7. ПВП в ZZ ˆˆ ⊆′ будем называть всякое отображение п, определенное на Z′ˆ и сопоставляющее каждой Z′∈ ˆ),),,((=ˆ RUXZ некоторое соответствие ),( * ẐU , т.е. 'ˆ2( ])[2п ZU∈ , что будем обозначать также ),(=п * ˆˆ ZZ U . Класс всех ПВП в ZZ ˆ'ˆ ⊆ будем обозначать )ˆ(Z′П . Определение 8. Будем говорить, что ССЗР Z любого класса ZZ ˆˆ ⊆′ с неопределенностью относительно первой основной ЗР в непустом классе ПВП )ˆ(П)ˆ(П ZZ ′⊆′ , если либо ∅=′′ )ˆ(П Z , либо найдутся такие ПВП )ˆ(П, Z′′∈′′′ ππ , что ZZ 11 ππ ′′≠′ . Анализ неопределенности, возникающий при решении первой основной ЗР по существу относится к вопросам психологии. Поэтому непосредст- венно будем интересоваться анализом неопределенности, возникающей при решении второй основной ЗР. При этом не предполагается решенной первая основная ЗР. Определение 9. Будем говорить, что ССЗР Z любого класса ZZ ˆˆ ⊆′ )ˆˆ( ZZ ⊆′ с неопределенностью относительно второй основной ЗР (или просто с неопределенностью) в непустом классе ПВП ))ˆ()(ˆ(П Z′′′′ ПZ , если либо ∅=′′ )ˆ(П Z ( ∅=′′ )ˆ(ZП ), либо найдутся такие ПВП )ˆ(П, Z′′∈′′′ ππ ),)ˆ(п,п( Z′′∈′′′ П что ZZ 11 = ππ ′′′ и )пп(22 ZZZZ ′′≠′′′≠′ ππ . Далее рассмотрим для всякого нестрогого порядка ),(X его продолжение (расширение) на множество ,2 X обозначая это продолжение тем же символом )( , следующим образом. Для любых непустых множеств XXX 2, ∈′′′ ,, def XxXxxxXX ′′∈′′∀′∈′∀′′′⇔′′′ (2) а если хоть одно из множеств X ′ , XX 2∈′′ пустое, то XX ′′′ . При этом ясно, что соответствие ),(2 X будет строгим частичным порядком. Лемма 1. Если отношение предпочтения ),(X — нестрогий порядок, а BA, — пара несвязных отношением )( подмножеств множества X , т.е. BA , AB , то найдется по паре точек (возможно совпадающих) 21, xx В.М. Михалевич, В.И. Иваненко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 64 и 21, yy из каждого множества указанной пары множеств, что либо 112 yxy , либо 2211 , yxyx ∼∼ и 21 xx ≠ . Доказательство. Из условия BA , AB , согласно соотношению (2), следует, что найдутся такие Aaa ∈′, и Bbb ∈′, , что ,ab a ba ′′ . Рассмотрим все возможные и взаимоисключающие варианты соотношений порядка )( между элементами bbaa ′′ ,,, и в зависимости от этого укажем точки 2121 ,,, yyxx . Если bb′ , то положим bxay ′′ =,= 12 (либо b ), ay =1 . Тогда получим, что 112 yxy и утверждение леммы справедливо. Если bb ′ и ba ′ , то положим byaxby ′=,=,= 112 . Тогда полу- чим, что 112 yxy и утверждение леммы также справедливо. Если bb ′ , ba ′∼ и ba ∼′ . Тогда положим ,=,= 12 bxay ′ ay =1 . Отсюда следует, что 112 yxy и утверждение леммы опять таки справедливо. Если bb ′ , ba ′∼ и ba ∼′ , то положим ,=,=,= 121 byaxax ′ by ′=2 . Тогда получим, что 11 yx и 22 yx . Утверджение леммы и в этом случае остается справедливым. Наконец (в силу того, что ),(X — нестрогий порядок), если ,bb ′ ba ′∼ и ab ′ , то положим byaxby ′′ =,=,= 112 . Тогда получим, что 112 yxy и следовательно утверждение леммы также справедливо. Лемма доказана. Кроме того, через 0Ẑ обозначим подкласс таких ССЗР =:Ẑ ),),,((=: ˆ RUX Z класса Ẑ , у которых ),( ẐX является нестрогим порядком. Наконец, для любого подкласса ССЗР Z′ˆ класса Ẑ через )ˆ(1 Z′П обозначим все такие ПВП класса Z′ˆ , что для любой ССЗР =:Ẑ Z′∈ ˆ),),,((=: RUX выполняются следующие условия: X1. ),( ∗U — нестрогий порядок. X2. Если для любых Uuu ∈21, : • )()( 21 uRuR , то 21 uu ∗ ; • )()( 21 uRuR ∼ , то 21 uu ∗∼ . Легко показать, что ∅≠)ˆ( 01 ZП . Действительно для любой ССЗР 0 ˆ),),,((=ˆ Z∈RUXZ . Рассмотрим строгий частичный порядок на всех подмножествах множества последствий Ẑ , т.е. ),(2 X , который является асимметричной частью частичного порядка ),(2 X , индуцируемого нестро- гим порядком на последствиях Ẑ , т.е. ( , )X , согласно соотношению (2). К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 65 Значит ),(2 X , согласно теореме Шпильрайна [6], можно продолжить до строгого порядка на 2 .X Тогда сужение этого строгого порядка на совокупность множеств последствий, определяемых решениями Ẑ т.е. на },{ UuRu ∈ , индуцирует строгий порядок, а следовательно и линейный порядок на U . Значит ∅≠)ˆ( 01 ZП . Определение 10. ССЗР класса ZZ ˆˆ ⊆′ с неопределенностью в классе ПВП )ˆ(1 Z′П называется элементарным фрагментом для )ˆ(1 Z′П , если лю- бой фрагмент этой ССЗР будет без неопределенности (т.е. не будет с неоп- ределенностью) в классе ПВП )ˆ(1 Z′П . Лемма 2. В элементарном фрагменте для )ˆ( 01 ZП множество решений состоит из двух элементов. Доказательство следует из того, что любое бинарное отношение предпочтения R на множестве U определяется всеми бинарными отноше- ниями предпочтения вида },\| 21{ uR u , где ., 21 Uuu ∈ Лемма доказана. Лемма 3. ССЗР класса Ẑ , изоморфные ССЗР : • ),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,,(({ 1212111111112121 yxxxyyxyyxxxyyxx },,{)}),,(),,(),,(),,(),,(),,( 21222212122222 uuyyxyyyxyyxxx ;)}),(),,(),,(),,{( 22122111 yuyuxuxu • )}),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({ 22212111121 xxyxxxyyxyyxxxyxx− ;)}),(),,(),,(),,{(},,{ 222211121 xuyuxuxuuu • )},,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({ 22212211121 xxyxxxxyyyxyxxyxx ;)}),(),,(),,(),,{(},,{ 21211121 yuxuyuxuuu • ),,(),,(),,{(},,{)},,(),,(),,{(},,(({ 1221112122121121 xuxuxuuuxxxxxxxx ;)}),( 22 xu • )}),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({ 332313221211321 xxxxxxxxxxxxxxx )}),(),(),,{(},,{ 2231,1121 xuxuxuuu , называемые соответственно схемами типа I–V, являются элементарными фрагментами для )ˆ( 01 ZП . Доказательство. То, что схемы типа I–V принадлежат классу ССЗР 0Z следует из того, что отношения предпочтений на их множествах последствий являются нестрогими порядками. Для любой схемы типа I–V 0 ˆ),),,((:= Z∈RUXZ в качестве отношения предпочтения на множестве решений },{= 21 uuU , в силу не связности соответствием ),(2 X элементов )( 1uR и )( 2uR , можно, не нарушая условия 2X , выбрать любой нестрогий порядок, например, В.М. Михалевич, В.И. Иваненко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 66 )}),(),,(),,{(},,({=:),( 22121121 uuuuuuuuU ∗ и ),,{(},,({=:),( 1121 uuuuU ∗∗ )}),(),,( 2221 uuuu . Так как ),(),( ∗∗∗ ≠ UU , то ССЗР Z будет с неопре- деленностью в классе )ˆ( 01 ZП . А то, что любой фрагмент этих ССЗР будет без неопределенности в классе ПВП )ˆ( 01 ZП легко проверить непосредственно, опираясь на условия X1 и X2. Лемма доказана. Фрагмент ССЗР, представляющий собой схему одного из типов I–V, также будем называть фрагментом соответствующего типа I–V. Определение 11. Система элементарых фрагментов для )ˆ( 01 ZП называется полной, если любой элементарный фрагмент для )ˆ( 01 ZП изоморфен какому-то представителю этой системы. Теорема 1. Полная система элементарных фрагментов для )ˆ( 01 ZП состоит из фрагментов типа I–V. Доказательство. Пусть ),),,((:= RUXΦ является элементарным фрагментом для )ˆ( 01 Z′П . Тогда, в силу леммы 2, множество решений в Φ состоит из двух элементов, т.е. .},{= 21 uuU Если множества )( 1uR и )( 2uR сравнимы относительно ),(X , то из условия 1X следует, что на },{= 21 uuU определено, согласно условию 2X , отношение предпочтения ),( ∗U . А это противоречит элементарности фрагмента Φ . Если же )( 1uR и )( 2uR не связаны соотношением )( , то, согласно лемме 1, в силу условия 1X , в фрагменте Φ найдется подфрагмент вида: • )}),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({ 332313221211321 xxxxxxxxxxxxxxx )}),(),,(),,{(},,{ 22311121 xuxuxuuu , либо: • ),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,,(({ 2212121111112121 xxyxxxyyyxxxyyxx ),,{(,},{)}),,(),,(),,(),,(),,( 11212222121222 xuuuyyxyyyxyyx )}),,(),,(),,( 221221 yuyuxu если 2211 , yxyx ≠≠ ; • )},,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({ 22121211111111121 xxyxxxyyxyyxxxyxx )}),,(),,(),,(),,{(},,{ 2212211121 xuyuxuxuuu если 2211 =, yxyx ≠ ; • ),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({ 221222221211221 yxxxxyyyxyxxyxx )}),,(),,(),,(),,{(},,{)},,( 221221112122 yuxuyuxuuuxx если ,= 11 yx 22 yx ≠ ; К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 67 • },,{)}),,(),,(),,{(},,(({ 2122121121 uuxxxxxxxx )}),(),,(),(),,{( 221221,11 xuxuxuxu , если 2211 =,= yxyx . А так как Φ является элементарным фрагментом для )ˆ( 01 ZП , то, в силу леммы 3, Φ будет фрагментом одного из типов I–V. Теорема доказана. Следствие 1.1. Схемы типа I–V и только они являются элемен- тарными фрагментами для .)ˆ( 01 ZП Доказательство непосредственно следует из леммы 3 и доказательства теоремы 1. Определение 12. Система неизоморфных элементарных фрагментов для )ˆ( 01 ZП называется базой неопределенности фрагментов ССЗР класса 00 ˆˆ ZZ ⊆′ , если любая ССЗР класса 0Ẑ′ с неопределенностью в )ˆ( 01 Z′П имеет фрагмент, изоморфный какому-то представителю этой системы. В дальнейшем фактор-множество множества X по отношению эквивалентности )(∼ обозначим через X~ , т.е. )(:=~ ∼XX . А элементы множества X~ обозначим через x~ , где Xx∈ является произвольным представителем класса эквивалентности ,~x т.е. .~~ Xxx ∈∈ Теорема 2. Любая ССЗР любого класса 00 ˆˆ ZZ ⊆′ с неопределенностью в классе ПВП )ˆ( 01 Z′П содержит фрагмент одного из типов I–V. Доказательство. Из определения неопределенности ССЗР ),,((=: XZ 0 ˆ), Z′∈RU следует, что найдутся такие ПВП ,)ˆ(п,п 01 Z′∈′′′ П для которых имеет место соотношение .),(=:пп:=),( ∗∗∗ ′′≠′ UU ZZ Если X~ — фактор-множество множества X по отношению эквива- лентности )(∼ (в силу того, что ),(X — нестрогий порядок), то через R~ обозначим, следующим образом определенное, отношение из U в X~ . Для любых Uu∈ и Xx∈ .что,найдется~~ def uRxXxxRu ∈⇔ (3) В множестве X~ определим отношение )( ′ для любых Xxx ~~,~ 21 ∈ полагая, что .~~ 21 def 21 xxxx ⇔′ (4) В силу того, что ),(X — нестрогий порядок, то данное определение корректно и ),~( ′X будет линейным порядком ([7], теорема 2.1). Лемма 4. Для любых Uuu ∈21, ).()()(~)(~ 2121 uRuRuRuR ⇔′ В.М. Михалевич, В.И. Иваненко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 68 Доказательство. Согласно соотношению (2), для любых Uuu ∈21, ).(~~),(~~~~)(~)(~ 22112121 uRxuRxxxuRuR ∈∀∈∀′⇔′ Тогда из соотношений (3) и (4) следует, что для любых Uuu ∈21, ),(),()(~)(~ 22112121 uRxuRxxxuRuR ∈∀∈∀⇔′ а значит, согласно соотношению (2), имеем что для любых Uuu ∈21, ).()()(~)(~ 2121 uRuRuRuR ⇔′ Лемма доказана. Теперь покажем, что найдутся такие несовпадающие Uuu ∈21, , для которых соответствие },\|~ 21{ uuR будет многозначным и при этом будет выполняться соотношение ., 1221 uuuu ∗∗∗ (5) Предположим противное, т.е. что для любой пары ,, 21 Uuu ∈ удовлет- воряющей соотношению (5), соответствие },\|~ 21{ uuR будет отображением },{ 21 uu в X~ . В таком случае, для ,, 21 Uuu ∈ удовлетворяющих соот- ношению (5), будет справедливым соотношение .)(~)(~ 212121 uuuRuRuu ∗∗∗ ⇔′⇔ (6) Действительно, если ),( 2121 uuuu ∗∗∗ а ),(~)(~ 21 uRuR ′ что, в силу однозначности соответствия },{\| ~ 21 uuR и того, что ),~( ′X — линейный порядок, равносильно соотношению )(~)(~ 21 uRuR ′ . Следовательно, согласно лемме 4, )()( 12 uRuR . Тогда, учитывая условие 2X на п′ и п ′′ , имеем, что )( 1212 uuuu ∗∗∗ . А это, в силу условия 1X на п′ и п ′′ , противоречит соотношению )( 2121 uuuu ∗∗∗ . Значит )(~)(~ 21 uRuR ′ . Покажем справедливость соотношения (6) в обратную сторону. Если )(~)(~ 21 uRuR ′ , то, согласно лемме 4, )()( 21 uRuR . Отсюда, в силу условия 2X на п′ и п ′′ получим, что )( 2121 uuuu ∗∗∗ . Но, согласно условию 1X на п′ и п ′′ , соотношение (6) противоречит соотношению (5). Таким образом, действительно найдутся такие несовпадающие Uuu ∈21, , для которых соответствие },{\| ~ 21 uuR будет многозначным и при этом будет выполняться условие (5). В таком случае, в ССЗР 0 ˆ)~,),,~((:=~ Z∈′ RUXZ обязательно наличие либо фрагмента вида )})~,(),~,(),~,(),~,{(},,{)},~,~(),~,~(),~,~{(},~,~(({ 221221112122121121 xuxuxuxuuuxxxxxxxx К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 69 и тогда ССЗР Z содержит фрагмент одного из типов I–IV и теорема доказана, либо подсхему ССЗР Z~ вида )})~,(),~,(),~,{(},,{)},~,~(),~,~(),~,~{(},~,~(({ 2212112122121121 xuxuxuuuxxxxxxxx . Тогда, если ∅≠∈ }:)({ 12 xxuRx , то ССЗР Z содержит фрагмент типа V и теорема доказана. Если ∅≠∈ }:)({ 11 xxuRx , то ССЗР Z также содержит фрагмент типа V и теорема доказана. В противном случае, т.е. если ∅∈ =}:)({ 12 xxuRx и ∅∈ =}:)({ 11 xxuRx , то )()( 12 uRuR , что противоречит, в силу условия X2 для ,п′ соотношению 21 uu ∗ . Теорема доказана. Теорема 3. База неопределенности фрагментов ССЗР любого класса 00 ˆˆ ZZ ⊆′ пустая, если этот класс не содержит ССЗР с неопределенностью в классе ПВП )ˆ( 01 Z′П , и состоит из элементов в количестве от одного до пяти в противном случае. Доказательство. Следует из следствия 1.1 и теоремы 2. Теорема доказана. Интуитивно представляется правдоподобным утверждение обратное к сформулированному в теореме 2. Это действительно так. Указанный факт представим в виде следующей теоремы. Теорема 4. Если ССЗР класса 0Ẑ содержит фрагмет одного из типов I–V, то эта ССЗР с неопределенностью в классе ПВП )ˆ( 01 ZП . Доказательство. Пусть ССЗР 0 ˆ),),,((:= Z∈RUXZ содержит фраг- мент одного из типов I–V и },{ 21 uu , где Uuu ∈21, явлется множеством решений этого фрагмента. Тогда множества )( 1uR и )( 2uR не связны соответствием ),(X расширенным на множество ,2 X что следует из соотношения (2), т.е. )()( 21 uRuR и )()( 12 uRuR . При этом асиммет- ричная составляющая этого расширения, т.е. ),(2 X является строгим частичным порядком. Определим пару соответсвий ),(2 ′X и ),(2 ′′X следующим образом. Для любых множеств XBA 2, ∈ положим ))(и)((либо 21 def BuRuRABABA ⇔′ (7) и ).)(и)((либо 12 def BuRuRABABA ⇔′′ (8) Ясно, что )()( 21 uRuR ′ и )()( 12 uRuR ′′ . Покажем, что соответствия ),(2 ′X и ),(2 ′′X являются строгими частичными порядками. Из соображений симметрии доказательство достаточно провести, например, для соответствия ),(2 ′X . В.М. Михалевич, В.И. Иваненко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 70 Сначала покажем нерефлексивность соответствия ),(2 ′X , рассуждая от противного. Предположим, что AA ′ , где XA 2∈ . Тогда, в силу соотношения (7), )( 1uRA и AuR )( 2 . Следовательно, согласно транзитивности соответствия ),(2 X , получим, что )()( 12 uRuR , что противоречит не связности этих множеств соотношением ),(2 X . Покажем теперь транзитивность соответствия ),(2 ′X . Предположим, что BA ′ и CB ′ , где множества XCBA 2,, ∈ . Тогда рассмотрим все возможные варианты: • Если BA и CB , то CA , в силу транзитивности соответствия ),(2 X . Значит, из соотношения (7), имеем, что CA ′ . • Если BA , )( 1uRB и CuR )( 2 , то, в силу транзитивности соответствия ),(2 X , имеем, что )( 1uRA . Тогда, согласно соотношению (7), CA ′ . • Если BuRuRA )(),( 21 и CB , то, как и выше, CuR )( 2 и тогда, в силу соотношения (7), CA ′ . • И наконец, оставшийся вариант — условия BuRuRA )(),( 21 , )( 1uRB и CuR )( 2 , которые несовместны, т.к. из них следует (согласно транзитивности), что )()( 12 uRuR , а это противоречит не связности множеств )(и)( 21 uRuR соответствием ),(2 X . Теперь, воспользовавшись теоремой Шпильрайна, продолжим строгие частичные порядки ),(2 ′X и ),(2 ′′X до строгих порядков, которые обозначим ),(2 0′ X и ),(2 0′′ X . Тогда их сужения на множество }:)({ UuuR ∈ определяют линейные порядки, которые будем обозначать соответственно через ),( 0′U и ),( 0′′U . Определим ПВП )ˆ(п,п 0ZП∈′′′ таким образом, что для всех ССЗР 0Ẑ∈′Z , неравных ССЗР Z , ),(:пп 2 def UU=′′=′ ′′′ ZZ . А для ССЗР Z =:пZ′ ),,(=: 0′U ),,(=:п 0′′′′ UZ Тогда по построению )ˆ(п,п 01 ZП∈′′′ и ZZ пп ′′≠′ , т.е. ССЗР Z с неопределенностью в классе ПВП )ˆ( 01 ZП . Теорема доказана. В качестве непосредственного следствия теоремы 2 и теоремы 4 получаем критерий неопределенности ССЗР в классе )ˆ( 01 ZП в терминах фрагментов: ССЗР класса 0Ẑ с неопределенностью в классе ПВП )ˆ( 01 ZП тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы один из фрагментов типа I–V. Если через 1Ẑ обозначить подкласс таких ССЗР ),),,((:=ˆ ˆ RUX ZZ класса Ẑ , у которых ),( ẐX — линейный порядок, то ясно, что 01 ˆˆ ZZ ⊆ К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 71 и критерий неопределенности ССЗР в классе ПВП )ˆ( 11 Z′П в терминах фрагментов принимает следующий вид: ССЗР класса 1Ẑ с неопределен- ностью в классе ПВП )ˆ( 11 ZП тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы один из фрагментов типа IV или типа V. По аналогии с понятием элементарного фрагмента введем понятие элементарной схемы. Определение 13. ССЗР класса 0Ẑ с неопределенностью в классе ПВП )ˆ( 01 ZП называется элементарной схемой для ,)ˆ( 01 ZП если ее любая подсхема будет без неопределенности в классе .)ˆ( 01 ZП Ясно, что элементарный фрагмент будет элементарной схемой, но обратное, вообще говоря, не верно. Лемма 5. В элементарной схеме для )ˆ( 01 ZП множество решений состоит из двух элементов. Доказательство. Пусть ССЗР 0 ˆ),),,((:= Z∈RUXZ является элемен- тарной схемой. Тогда, в силу теоремы 2, ССЗР Z содержит элементарный фрагмент. Отсюда, согласно лемме 5, множество решений этого элементарного фрагмента состоит из двух элементов. Предположим, что это будут ., 21 Uuu ∈ Тогда, в силу теоремы 4, ССЗР },,{),,((:= 21 uuXZ 021 ˆ)},{\| Z∈uuR будет с неопределнностью в классе ПВП )ˆ( 01 ZП и является подсхемой ССЗР Z . Следовательно ZZ = . Лемма доказана. Лемма 6. ССЗР класса Ẑ , изоморфные либо одному из фрагментов типа I–V, либо одной из ССЗР: • )}),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({ 332322131211321 xxxxxxxxxxxxxxx ;)}),(),,(),,(),,{(},,{ 2212311121 xuxuxuxuuu • )}),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({ 332322131211321 xxxxxxxxxxxxxxx ;)}),(),,(),,(),,{(,},{ 3222311121 xuxuxuxuuu • )}),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({ 332322131211321 xxxxxxxxxxxxxxx ,)}),(),,(),,(),,{(},,{ 2231211121 xuxuxuxuuu называемые соответственно схемами типа I–VIII, являются элементарными схемами для )ˆ( 01 ZП . Доказательство. В силу леммы 3 лемму достаточно доказать для схем типа VI–VIII. При этом доказательство неопределенности схем типа VI–VIII и принадлежности их к классу 0Ẑ дословно повторяет доказательство неопределенности схем типа I–V и принадлежности их к классу 0Ẑ в доказательстве леммы 3. А то, что любая подсхема этих ССЗР будет без неопределенности в классе ПВП )ˆ( 01 ZП легко проверяется непосредст- венно, согласно определению. В.М. Михалевич, В.И. Иваненко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 72 Лемма доказана. Определение 14. Система элементарных схем для )ˆ( 01 ZП называется полной, если любая элементарная схема для )ˆ( 01 ZП изоморфна какому-то представителю этой системы. Теорема 5. Полная систем элементарных схем для )ˆ( 01 ZП состоит из схем типов I–VIII. Доказательство. Пусть ССЗР Z является элементарной для .)ˆ( 01 ZП Тогда, в силу теоремы 2, в нее входит хотя бы один из фрагментов типа I–V. Если в ССЗР Z входит фрагмент типа IV, то он является подсхемой ССЗР Z с неопределенностью в классе ПВП )ˆ( 01 ZП . Значит в этом случае ССЗР ,Z в силу ее элементарности, совпадает с фрагментом типа IV. Если в ССЗР Z входит фрагмент одного из типов I–III, то подсхема ССЗР Z определенная множествами последствий и решений, совпадающих с соответсвующими множествами этого фрагмента, либо совпадает с этим фрагментом, либо содержит фрагмент типа IV. Следовательно в этом случае ССЗР ,Z в силу ее элементарности, совпадает с одним из фрагментов типа I–IV. Если же в ССЗР Z входит фрагмент типа V, то подсхема ССЗР ,Z определенная множествами последствий и решений совпадающими с соответствующими множествами этого фрагмента, может иметь вид любого фрагмента ССЗР )}),,(),,(),,(),,(),,(),,{(},,,(({:= 332322131211321 xxxxxxxxxxxxxxxZ )}),(),,(),,(),,(),,(),,{(},,{ 32221231211121 xuxuxuxuxuxuuu , содержащего подфрагмент одного из типов I–V. Но наличие фрагмента одного из типов I–IV нами уже рассмотрено, следовательно можно считать, что это будет фрагмент типа V (его можно выбрать из ССЗР Z двумя способами), возможно дополненный одной, двумя или тремя точками из },,{},{ 32121 xxxuu × . Дополнение двумя либо тремя точками приводит к наличию фрагмента типа III, что нами уже рассмотрено. А дополнив фрагмент типа V в ССЗР Z одной точкой, получим ССЗР изоморфную одной из схем типа VI–VIII. Теорема доказана. Следствие 5.1. Схемы типов I–VIII и только они являются элементар- ными схемами для .)ˆ( 01 ZП Доказательство непосредственно следует из леммы 6 и доказательства теоремы 5. Определение 15. Система неизоморфных в классе Ẑ элементарных схем для )ˆ( 01 ZП называется базой неопреденности схем для класса 00 ˆˆ ZZ ⊆′ , если любая ССЗР класса 0Ẑ′ с неопределенностью в )ˆ( 01 Z′П содержит подсхему, изоморфную какому-либо представителю этой системы. К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 73 Теорема 6. Любая ССЗР любого класса 00 ˆˆ ZZ ⊆′ с неопределенностью в классе ПВП )ˆ( 01 Z′П содержит подсхему вида схемы хотя бы одного из типов I–VIII. Доказательство. Следует из теоремы 2 и доказательства теоремы 5. Теорема доказана. Теорема 7. База неопределенности схем для любого класса 00 ˆˆ ZZ ⊆′ пустая, если этот класс не содержит ССЗР с неопределенностью в )ˆ( 01 Z′П и состоит из элементов в количестве от одного до восьми в противном случае. Доказательство. Следует из следствия 2 и теоремы 6. Теорема доказана. Теорема 8. Если ССЗР класса 0Ẑ содержит подсхему виду схемы одного из типов I–VIII, то эта ССЗР с неопределенностью в классе ПВП .)ˆ( 01 ZП Доказательство. Так как схема любого из типов I–VIII содержит фрагмент одного из типов I–V то, согласно теореме 4, получаем утверждение теоремы. Теорема доказана. В качестве непосредственного следствия теорем 6 и 8 получаем критерий неопределенности ССЗР в классе ПВП )ˆ( 01 ZП в терминах подсхем: ССЗР класса 0Ẑ с неопределенностью в классе ПВП )ˆ( 01 ZП тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы одну подсхему типа I–VIII. Тогда критерий неопределенности ССЗР в классе ПВП )ˆ( 11 ZП в терминах подсхем будет иметь следующий вид: ССЗР класса 1Ẑ с неопределенностью в классе ПВП )ˆ( 11 ZП тогда и только тогда, когда она содержит хотя бы одну подсхему типа IV–VIII. Далее для любого подкласса ССЗР Z′ˆ класса Ẑ через )ˆ(1 Z′П обозначим все такие ПВП класса Z′ˆ , что для любой ССЗР =:Ẑ Z′∈ ˆ),,(=: RUX выполняются следующие условия: ),(1. UXX — нестрогий порядок. 2.XX Если для любых :, 21 Uuu ∈ • )()( 21 uRuR , то 2 1 uu ; • )()( 21 uRuR ∼ , то 2 * 1 uu ∼ . 3.XX ),(X — нестрогий порядок. Из рассуждений аналогичных использованным при обосновании непустоты )ˆ( 01 ZП следует, что Ø)ˆ(1 ≠ZП . В.М. Михалевич, В.И. Иваненко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 74 ССЗР класса Ẑ изоморфные ССЗР вида: • )}),(),,(),,(),,{(},,{},,({ 221221112121 xuxuxuxuuuxx , • )}),(),,(),,{(},,{},,,({ 32221121321 xuxuxuuuxxx , • )}),(),,(),,(),,{(},,{},,,({ 3222311121321 xuxuxuxuuuxxx будем называть соответственно схемами типа I–III класса .Ẑ Тогда критерий неопределенности CCЗР в классе )'ˆ(1 ZП , где ZZ ˆ'ˆ ⊆ в терминах фрагментов сформулируем в виде следующией теоремы. Теорема 9. Любая ССЗР класса Ẑ будет с неопределенностью в классе ПВП )ˆ(1 ZП тогда и только тогда, когда эта ССЗР содержит фрагмент вида схемы типа I либо II класса Ẑ . Доказательство. Пусть ССЗР Ẑ),,(=: ∈RUXZ с неопределенностью в классе ПВП )ˆ(1 ZП . Тогда найдутся )ˆ(, 1 ZП∈′′′ ππ , для которых ),(:== 11 XZZ ππ ′′′ — нестрогий порядок и ),(=::=),( ** 22 * UU ZZ ππ ′′≠′ . А это означает, что ССЗР Ẑ),),,((:= ∈RUXZ будет с неопределенностью в классе ПВП })({1 ZП . Следовательно, в силу теормы 2, ССЗР Z содержит фрагмент одного из типов I–V. Если ССЗР Z содержит фрагмент типа IV, то он определяет в ССЗР Z фрагмент вида схемы типа I класса Ẑ . Если же ССЗР Z содержит какой-либо из фрагментов типа I–III,V, то он определяет в ССЗР Z фрагмент вида схемы типа II класса Ẑ . В обратную сторону. Если ССЗР Ẑ),,(=: ∈RUXZ содержит фрагмент вида схемы типа I класса Ẑ , то определим строгий частичный порядок как .)}),{(,(:=),( 12 xxXX ′ Если же ССЗР Z содержит фрагмент вида схемы типа II класса Ẑ , то определим строгий частичный порядок )}),(),,(),,{(,(=:),( 132321 xxxxxxXX ′′ . В силу теоремы Шпильрайна эти строгие частичные порядки можем продолжить до линейных порядков, которые обозначим соответственно ),( 0′X и ),( 0′′X . Тогда, согласно теореме 4, либо ССЗР ),),,(( 0 RUX ′ , либо ССЗР ),),,( 0 RUX ′′ будет с неопределенностью в классе ПВП )ˆ( 01 ZП . Следовательно ССЗР ),,(= RUXZ будет с неопределенностью в классе ПВП )ˆ(1 ZП . Теорема доказана. Определение 16. ССЗР класса Ẑ с неопределенностью в классе ПВП )ˆ(1 ZП называется элементарным фрагментом (элементарной схемой) для )ˆ(1 ZП , если любой фрагмент (любая подсхема) этой ССЗР будет без неопределенности в классе ПВП )ˆ(1 ZП . Аналогично понятию элементарного фрагмента (элементарной схемы) для )ˆ(1 ZП , вводятся как и в классе Ẑ понятия полной системы К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решения Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 1 75 элементарных фрагментов (элементарных схем) для )ˆ(1 ZП и базы неопределенности фрагментов (схем) класса ZZ ˆˆ ⊆′ . Определение 17. Система элементарных фрагментов (элементарных схем) для )ˆ(1 ZП называется полной, если любой элементарный фрагмент (любая элементарная схема) для )ˆ(1 ZП изоморфен (изоморфна) какому-то представителю этой системы. Определение 18. Система неизоморфных элементарных фрагментов (схем) для )ˆ(1 ZП называется базой неопределенности фрагментов (схем) класса ZZ ˆˆ ⊆′ , если любая ССЗР класса Z′ˆ с неопределенностью в )ˆ(1 'П Z имеет фрагмент (подсхему), изоморфный (изоморфную) какому-то представителю этой системы. Тогда из теоремы 9 получим критерий элементарности фрагментов класса Ẑ в виде следующей теоремы. Теорема 10. Схемы типов I и II класса Ẑ и только они являются элементарными фрагментами для )ˆ(1 ZП . Из теоремы 9 также получаем критерий неопределенности ССЗР класса Ẑ в классе ПВП )ˆ(1 ZП в терминах подсхем в виде следующей теоремы. Теорема 11. Всякая ССЗР класса Ẑ будет с неопределенностью в классе ПВП )ˆ(1 ZП тогда и только тогда, когда эта ССЗР содержит подсхему вида схемы одного из типов I–III класса Ẑ . Доказательство. Следует из теоремы 9 и того факта, что минимальная подсхема анализируемой ССЗР, содержащая фрагмент вида схемы типа II класса Ẑ и не совпадающая с ним, будет изоморфна схеме типа III класса Ẑ либо содержать подсхему изоморфную схеме типа I класса Ẑ . Теорема доказана. Из теоремы 11 следует критерий элементарности схем класса Ẑ формулируемый в следующей теореме. Теорема 12. Схемы типов I–III класса Ẑ и только они являются элементарными схемами для )ˆ(1 ZП . Из доказанных теорем 9 и 11 получаем критерий полноты системы элементарных фрагментов (схем) для )ˆ(1 ZП и классификацию неопре- деленности в )ˆ(1 Z′П любого подкласса Z′ˆ класса Ẑ в виде следующих теорем. Теорема 13. Полная система элементарных фрагментов (схем) для )ˆ(1 ZП состоит из схем типов I, II (I–III) класса Ẑ . Теорема 14. База неопределенности фрагментов (схем) любого класса ZZ ˆˆ ⊆′ пустая, если этот класс не содержит ССЗР с неопределенностью в классе ПВП )ˆ(1 Z′П , и состоит в количестве от одного до двух (трех) элементов в противном случае. В.М. Михалевич, В.И. Иваненко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 1 76 ВЫВОДЫ Предложенный подход к изучению неопределенности схем ситуаций задач принятия решений помимо критериев, позволяющих проанализировать ситуацию на наличие неопределенности при выборе оптимального решения в указанных классах ПВП, также дает возможность сужать эти классы ПВП, добавляя новые аксиомы и проверяя наличие неопределенности в схемах анализируемых ситуаций, используя при этом предложенные критерии неопределенности, вплоть до получения формализма модели критерия оптимальности решения. ЛИТЕРАТУРА 1. Иваненко В.И., Лабковский В.А. Проблема неопределенности в задачах принятия решений. — К.: Наук. думка, 1990. — 134 с. 2. Ivanenko V.I. Decision systems and non-stochastic randomness. — Berlin: Springer, 2010. — 272 p. 3. Иваненко В.И., Михалевич В.М. К моделированию стохастических ситуаций принятия решения // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2010. — № 1. — С. 78–80. 4. Иваненко В.И., Михалевич В.М. К вопросу о неопределенности в задачах принятия решения // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 116–120. 5. Михалевич В.М. К параметрической форме моделирования ситуации в общей задаче принятия решений // Системні дослідження та інформаційні технології. — 2011. — № 3. — С. 77–87. 6. Szpilrajn E. Sur l’extension de l’ordre partiel. Fundamenta Mathematicae. — 1930. — 16 (1930). — Р. 386–389. 7. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. — М.: Наука, 1978. — 352 с. Поступила 21.10.2011

К неопределенности в непараметрических схемах ситуаций задач принятия решений

Репозитарії

Схожі ресурси