Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів

Запропоновано методику прогнозування часових рядів на основі виявлення частотного спектра. Методика полягає в апроксимації часового ряду на проміжку навчання аналітичною функцією, яка містить тренд та комбінацію гармонічних коливань. Для оцінювання параметрів моделі використовуються нелінійні методи...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Чабаненко, Д.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2012
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50184
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів / Д.М. Чабаненко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 3. — С. 134-141. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50184
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-501842013-10-07T03:06:05Z Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів Чабаненко, Д.М. Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Запропоновано методику прогнозування часових рядів на основі виявлення частотного спектра. Методика полягає в апроксимації часового ряду на проміжку навчання аналітичною функцією, яка містить тренд та комбінацію гармонічних коливань. Для оцінювання параметрів моделі використовуються нелінійні методи оптимізації. За допомогою експериментальної апробації показано ефективність запропонованого методу для прогнозування рядів фінансово-економічної динаміки. Предложена методика прогнозирования временных рядов на основе выявления частотного спектра. Методика базируется на аппроксимации временного ряда на промежутке обучения аналитической функцией, содержащей тренд и комбинацию гармонических колебаний. Для оценки параметров модели используются нелинейные методы оптимизации. С помощью экспериментальной апробации показана эффективность предложенного метода для прогнозирования рядов финансово-экономической динамики. The time series forecasting method, based on determination of the frequencies spectrum, is offered. The method is based on time series approximation in the interval training of analytic function, that contains the trend and harmonic oscillations combination. The effectiveness of the proposed method for the financial-economical time series forecasting is showed with the help of experimental approbation. 2012 Article Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів / Д.М. Чабаненко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 3. — С. 134-141. — Бібліогр.: 10 назв. — укр. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50184 519.688 uk Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
spellingShingle	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Чабаненко, Д.М. Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів Системні дослідження та інформаційні технології
description	Запропоновано методику прогнозування часових рядів на основі виявлення частотного спектра. Методика полягає в апроксимації часового ряду на проміжку навчання аналітичною функцією, яка містить тренд та комбінацію гармонічних коливань. Для оцінювання параметрів моделі використовуються нелінійні методи оптимізації. За допомогою експериментальної апробації показано ефективність запропонованого методу для прогнозування рядів фінансово-економічної динаміки.
format	Article
author	Чабаненко, Д.М.
author_facet	Чабаненко, Д.М.
author_sort	Чабаненко, Д.М.
title	Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів
title_short	Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів
title_full	Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів
title_fullStr	Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів
title_full_unstemmed	Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів
title_sort	дискретне фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50184
citation_txt	Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів / Д.М. Чабаненко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2012. — № 3. — С. 134-141. — Бібліогр.: 10 назв. — укр.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT čabanenkodm diskretnefurêprodovžennââkalgoritmprognozuvannâfínansovoekonomíčnihčasovihrâdív
first_indexed	2025-07-04T11:45:01Z
last_indexed	2025-07-04T11:45:01Z
_version_	1836716658984484864
fulltext	© Д.М. Чабаненко, 2012 134 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 УДК 519.688 ДИСКРЕТНЕ ФУР’Є-ПРОДОВЖЕННЯ ЯК АЛГОРИТМ ПРОГНОЗУВАННЯ ФІНАНСОВО-ЕКОНОМІЧНИХ ЧАСОВИХ РЯДІВ Д.М. ЧАБАНЕНКО Запропоновано методику прогнозування часових рядів на основі виявлення ча- стотного спектра. Методика полягає в апроксимації часового ряду на проміжку навчання аналітичною функцією, яка містить тренд та комбінацію гармоніч- них коливань. Для оцінювання параметрів моделі використовуються нелінійні методи оптимізації. За допомогою експериментальної апробації показано ефек- тивність запропонованого методу для прогнозування рядів фінансово- економічної динаміки. ВСТУП Прогнозування часових рядів економічної динаміки є надзвичайно актуаль- ною задачею в дослідженні складних фінансово-економічних систем. Спе- цифіка фінансових часових рядів полягає в наявності стилізованих фактів [1]: негаусівський розподіл прибутковостей, кластеризація волатильності, флікер-шум f/1( — шум) та ін., що вказує на складність структури систе- ми, що досліджується. Такі часові ряди не завжди адекватно відтворюються сучасними методами прогнозування. Тому питання розробки принципово нових підходів до вирішення задачі прогнозування фінансово-економічних часових рядів є актуальними. Мета роботи — побудова рядів фінансово-економічної динаміки про- гнозної моделі на основі нелінійної апроксимації часового ряду сумою гар- монічних функцій. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ: ЗАВДАННЯ ДОСЛІДЖЕННЯ Задача прогнозування часових рядів різної природи, зокрема фінансово- економічних, є надзвичайно актуальною з огляду на кількість публікацій з цієї тематики. У роботі розглядаються підходи до побудови моделі трен- дової складової часового ряду та екстраполяції отриманої аналітичної функ- ції в часі [2], моделювання процесу, що породжує ряд на основі технології нейронних мереж [3], побудова багатофакторних регресійних [4] чи авторе- гресійних [5] моделей та їх удосконалення — метод групового урахування аргументів (МГУА) та його нечіткий варіант [6]. На відміну від зазначених вище методик, у цій роботі запропоновано методи прогнозування часових рядів на основі частотного спектра. Наявність характерної циклічної поведінки економічних систем було помічено та пояснено М.Д. Кондратьєвим та рядом інших видатних еконо- Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 2 135 містів [7]. Їхні роботи дали поштовх для цього дослідження, основною ідеєю якого є ідентифікація та моделювання циклічних коливань у фінансово- економічних часових рядах та практичне використання побудованих моде- лей під час прогнозування часових рядів фінансово-економічної природи. АНАЛІЗ ОСНОВНИХ ПУБЛІКАЦІЙ ЩОДО ПРОБЛЕМИ ДОСЛІДЖЕННЯ Відома значна кількість робіт, в яких пропонується досліджувати частотний спектр сигналу та будувати прогноз на основі виявлених частотних законо- мірностей. Методи, які засновані на перетворенні Фур’є, дають можливість аналі- зувати амплітудно-частотну характеристику часового ряду, але не дають можливості виразити у вигляді окремої змінної фазу сигналу, яка є важли- вою для побудови прогнозу. Також частота сигналу, що аналізується, може бути лише кратною проміжку дискретизації, що не дає можливість налаш- туватися на частоту, яка не є кратною проміжку дискретизації. Під час ви- користання достатньо великої кількості гармонік, проблема вирішується, але такий підхід, на думку автора, не є оптимальним [8]. Вейвлет-аналіз [9] дає інформацію як про амплітуди сигналу, так і про фазу (зміщення дочірнього вейвлета) та частково долає першу із зазначених вище проблем. Але має місце збитковість інформації в перетворенні, тому що зберігається не основна частота, а Фур’є-спектр цієї частоти. У роботі [10] подано алгоритм дискретного Фур’є-продовження в якос- ті методики прогнозування низькочастотної складової часового ряду. За- пропонований алгоритм дозволяє подолати зазначені вище проблеми, виді- ляючи моночастотні гармонічні складові, які легко екстраполюються в часі. МЕТОДИКА ДИСКРЕТНОГО ФЕР’Є-ПРОДОВЖЕННЯ В цій роботі подано низькочастотну апроксимуючу функцію виду: ,)(sin)( 1 abs ∑ = +++= m i iii etdcbtaty (1) або для відносного масштабу: .)(sin)( 1 rel ∏ = += m i iii bt etdcaety (2) Значення параметрів моделі mcccba ,,,,, 21 … , mdd ,,1 … , mee ,,1 … визна- чаються за допомогою мінімізації наступного критерію оптимальності (функціонал нев’язки): =),...,,,...,,,...,,,( 111 mmm eeddccbaF ,\|))((\| 1 0abs∑ = ∆+− n i k i tityy (3) або для відносного варіанта: =),...,,,...,,,...,,,( 111 mmm eeddccbaF , )( 1 1 0 ∑ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∆+ − n i k rel i tity y (4) Д.М. Чабаненко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 136 де }{ iy — дискретно заданий часовий ряд, що прогнозується, k — пара- метр. При 1=k критерії (3) та (4) відповідають мінімальності відхилень за модулем, при 2=k — мінімальності квадратів відхилень, при ∞→k зазна- чені вище критерії відповідають критеріям мінімальності максимальних від- хилень реальної та апроксимуючої кривої. Під час розв’язування задачі оптимізації необхідно задати початкові оцінки параметрів, які оптимізуються, а також накласти обмеження на їх значення. Суттєвим обмеженням необхідно накласти на частоту id . У випад- ку короткої навчальної вибірки можлива ситуація, коли найкраща апрокси- мація відповідає невеликій частині повного гармонічного коливання. При цьому продовження цієї аналітичної кривої може бути не характерним для ряду, що досліджується. Тому необхідною має бути умова відповідності не менш ніж половини повного коливання довжині навчальної вибірки n , тоб- то частота коливання не може бути нижчою величини n π , де n — довжина вибірки навчання. Також обмеження має бути накладене на високі частоти, що пояснюється: по-перше, складністю розв’язування задач оптимізації для високих частот, пов’язаними з наявністю великої кількості хибних локаль- них мінімумів; по-друге, можливою некоректністю такого наближення на високих частотах. Емпірично було вибране обмеження 10 коливань за час навчальної вибірки. Оскільки число параметрів функції F зростає зі збільшенням числа гар- монік ,m пропонується ітераційна апроксимація по одній (або двох) гармо- ніках, обчислення залишків та застосування наступної ітерації до більш ви- сокочастотних залишків для одночастинного наближення: ))(sin()()( 1 iiiii etdcbtatrtr +++−= − , (5) або для m -частинного наближення: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +++−= ∑ = − m j ijijijii etdcbtatrtr 1 1 )(sin)()( . (6) Мінімізація нелінійного функціонала нев’язки (3) або (4) пов’язана з труднощами, які спричинені існуванням декількох локальних мінімумів функції F у просторі значень параметрів. Для подолання цієї проблеми пропонується здійснювати оптимізацію з використанням декількох початко- вих оцінок значень параметрів. В якості початкових наближень для кое- фіцієнтів тренду вибираються коефіцієнти лінійного тренду, визначені за допомогою МНК. Вибирається 2 початкових значення для фази: 0 та π ра- діан. Це дає можливість уточнити величину фази апроксимуючої функції як в бік збільшення, так і в бік зменшення. Запропоновано декілька початкових значень для частоти, обраних із рівномірною сіткою в інтервалі між міні- мальною та максимальною частотою. Емпірично вибрано кількість початко- вих значень частоти для низькочастотних коливань (перша ітерація, апрок- симація безпосередньо вхідного ряду) ,3=fn для середньочастотних (друга та подальші ітерації) .5=fn Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 2 137 ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНІ РЕЗУЛЬТАТИ Результати апроксимації логарифму індексу Доу-Джонса (DJ) наведено на рис. 1. Як видно з рис. 1, точність апроксимації досить висока. Така апрок- симація дозволяє виокремити низькочастотну складову ряду, що прогнозу- ється, та отримати стаціонарні з точки зору статистики залишки (рис. 2). Отримані залишки піддаються аналогічній апроксимації, у результаті чого виділяється наступна низькочастотна складова, наявна в ряді. Таким чином, виконуючи деяку кількість ітерацій цієї процедури, отримаємо частотний спектр, який містить виокремлені на кожній ітерації низькочастотні складові. Цей метод був запропонований авторами в роботі [10] та показав достатньо високі прогностичні можливості на спокійних фінансово- економічних часових рядах, що не містили кризових явищ. Були виявлені погіршення ефективності методики за наявності кризових явищ на навчаль- ній чи прогнозній вибірці, які спричиняли помилки визначення частоти ко- ливань, нестабільність цих частот та різкі падіння величини, що прогно- зується. На нашу думку, такі явища можуть бути описані резонансами в коливаннях, що наявні в часовому ряді, для виявлення яких необхідно звернути увагу на випадки накладання декількох коливань. БАГАТОЧАСТИННЕ НАБЛИЖЕННЯ АПРОКСИМУЮЧИХ ФУНКЦІЙ Для покращення прогнозних результатів пропонуємо включити в апрокси- муючу функцію для однієї ітерації дві синусоїди та проводити оптимізацію, змінюючи параметри одночасно обох гармонік (двочастинне наближення апроксимуючих функцій). Припускається, що такий підхід дозволить вияви- ти складніші закономірності, які були пропущені через накладання частот, так звані «биття». У табл. 1 наведено параметри функції (1) при одно- та двочастинному наближенні, а також значення середнього відхилення MSE. Даними для про- гнозування є індекс Доу-Джонса та індекс «Standard & Poors 500» (S&P). Цифрою 1 або 2 позначено варіанти одно- чи двочастинного наближення, також вказана перша чи друга гармоніка. lo g( D JI ) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 time. days 410× Рис. 1. Індекс Доу-Джонса (ітерація 1) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 time. days 410× за ли ш ки 1,5 1 0,5 0 –0,5 –1 Рис. 2. Залишки та їх повторна апрокси- мація (ітерація 2) Д.М. Чабаненко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 138 Т а б л и ц я 1 . Результати двочастинного наближення індексів Індекс A b c1 d1 e1 c2 d2 e2 MSE S&P2 2,75·10-4 3,040 0,0741 1,62·10-3 5,87 0,383 6,63·10-4 –0,506 105,28 S&P2 1 гар- моніка 2,75·10-4 3,040 0,0741 1,62·10-3 5,87 0 0 0 184,11 S&P2 2 гар- моніки 2,75·10-4 3,04 0 0 0 0,383 6,63·10-4 -0,506 112,46 S&P1 2,74·10-4 3,04 – – – 0,375 6,61·10-4 -0,483 113,9 S&P1 2 ітер 1,19·10-6 –0,0066 0,0735 1,63·10-3 5,78 105,55 DJ2 2,03·10-4 4,65 0,417 4,10·10-4 1,30 0,657 5,94·10-4 2,79 622,56 DJ2 1 гар- моніка 2,03·10-4 4,65 0 0 0 0,657 5,94·10-4 2,79 1960,47 DJ2 2 гар- моніки 2,03·10-4 4,65 0,417 4,10·10-4 1,30 0 0 0 1074,11 DJ1 2,33·10-4 4,31 0,402 6,64·10-4 2,15 – – – 1010,59 DJ1 2i –3,13·10-5 1,36 1,18 9,44·10-5 –2,3 – – – 685,8 Порівняння відхилень MSE для двох методів, наведених в табл. 1, пока- зує, що у випадку оцінювання коефіцієнтів одночасно для двох гармонік, мінімальні відхилення отримуються меншими, ніж у випадку повторного застосування апроксимації функції (1) до залишків. Також видно, що аналі- тичні функції при одно- та двочастинному наближенні не мають спільних частот, що свідчить про неможливість досягнення точності двочастинного наближення ітераційним застосуванням одночастинного. На рис. 3 та 4 показано графіки апроксимуючих кривих із параметрами, які вказано в табл. 1. Чорними лініями (штриховою та пунктирною) показа- но криві апроксимації, здійснені згідно з одночастинним наближенням, отримані при першій та другій ітерації. Сірими лініями вказано результати двочастинного наближення: окремо перша ітерація та друга ітерація. Комбі- нація двох наведених ітерацій із 2-частинним наближенням зображена тон- кою суцільною лінією (2 sintrend all). Рис. 3. Прогноз індексу Доу-Джонса Рис. 4. Прогноз індексу S&P 500 Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 2 139 Із рис. 3 та 4 бачимо, що двочастинна апроксимація є точнішою, хоча її частотні складові, взяті окремо, не дають точної апроксимації. Ці результати підтверджують актуальність досліджень, пов’язаних із багаточастинним на- ближенням гармонічної апроксимуючої функції. Для прогнозування аналітичну суму гармонічних функцій екстрапо- люють у часі. Для порівняння прогнозних якостей методів одночастинного та двочастинного наближення, у табл. 2 наведено статистику відхилень прогнозів від реального продовження для різної довжини навчальної вибір- ки та різних моментів початку прогнозу. У табл. 2 критерієм якості прогнозу вибраний середній квадрат похибки MSE та MAPE: ∑ = −= N i ii xyy N MSE 1 2))((1 , (7) %100 )(1 1 ∑ = − = N i ii y xyy N MAPE . (8) Розрахунки прогнозів проводилися для 10-ти ітерацій при одночастин- ному наближенні та для 5-ти ітерацій при двочастинному. Довжина прогно- зів — 1000-денних значень. Т а б л и ц я 2 . Порівняння прогнозів одночастинного та двочастинного наближення Похибка оцінювання на вибірці навчання Похибки прогнозу Індекс Довжина навчальної вибірки Кількість гармонік в аналіти- чній функ- ції MSE MAPE, % MSE MAPE, % DJ 2000 1 60,894 3,1 525,287 18 DJ 2000 2 66,554 3,32 78,312 2,65 S&P 2000 1 3,254 2,27 33,436 10,25 S&P 2000 2 3,428 2,38 9,7438 2,66 DJ 3000 1 65,078 3,5 1520,36 37 DJ 3000 2 63,908 3,56 96,96 2,9 S&P 3000 1 4,531 2,97 50,318 22,3 S&P 3000 2 4,117 2,63 70,298 22,88 DJ 4500 1 56,721 3,93 1170,949 29 DJ 4500 2 53,735 3,883 691,24 24,7 S&P 4500 1 5,537 3,5 67,476 14,5 S&P 4500 2 4,86 3,22 96,584 24,99 DJ 7000 1 63,434 4,8 1533,841 27,4 DJ 7000 2 59,251 4,5 205,006 5,36 S&P 7000 1 7,102 4,3 284,586 35 S&P 7000 2 7,001 4,38 24,182 4,19 DJ 10500 1 71,28 6,1 584,353 12 DJ 10500 2 54,558 4,343 250,468 4,76 S&P 10500 1 11,389 5,5 289,896 28 S&P 10500 2 10,43 5,16 49,838 5,51 Д.М. Чабаненко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2012, № 3 140 Табл. 2 містить усереднені результати прогнозування з різними довжи- нами навчальної вибірки (з 5-ьох експериментів із кожним індексом та виб- раною довжиною навчальної вибірки) для одно- та двочастинного набли- ження. Ці результати показують, що в більшості випадків (95 %) двочастинне наближення дає кращі прогнози за критерієм середніх квадра- тів відхилень. Оптимальна довжина вибірки навчання для одночастинного варіанта коливається в межах від 2000 до 3000. При довжинах вибірки навчання 3000 отримані приклади прогнозів із MAPE = 10,25 %, що є дещо вищим за результати при інших довжинах вибірки. Це може бути пояснене наявністю постійної частоти коливань, яка залишилась незмінною на прогнозному фрагменті. ВИСНОВКИ У цій роботі запропоновано методику прогнозування часових рядів на осно- ві виявлення частотного спектра. Методика полягає в апроксимації часового ряду на проміжку навчання аналітичною функцією, яка містить тренд та комбінацію гармонічних коливань. Для оцінювання параметрів моделі вико- ристовуються нелінійні методи оптимізації для мінімізації функціоналу нев’язки. Експериментальна апробація показала ефективність запропонова- ного методу для прогнозування рядів фінансово-економічної динаміки. У порівнянні з відомими класичними підходами, ця технологія дає можли- вість передбачати моменти часу, в яких можлива зміна тенденції часового ряду, що є важливим у роботі трейдерів на фінансових ринках. У випадку високої інформативності отриманих прогнозів, про які говорять відповід- ність локальних мінімумів часових рядів прогнозу та реального продовжен- ня, класичні критерії оцінювання точності прогнозу (MSE, MAPE) не дають можливості виокремити цю перевагу методу в порівнянні з іншими метода- ми прогнозування. Тому актуальним залишається питання розробки нових критеріїв точності прогнозів, які, по-перше, адекватно відобразили б співпа- діння точок зміни тренду під час прогнозування, а по-друге, дозволили б спростити задачу пошуку оптимальних параметрів моделі. Похибки прогно- зів цього методу можуть бути пояснені таким чином: наявністю фінансової кризи на проміжку навчання або прогнозування; похибками моделі частот, що спричиняють невідповідність екстремумів; похибками амплітуд коли- вань, які не є сталими і можуть збільшуватись під час кризи. Для подолання проблем, які були помічені, пропонується здійснити пошук оптимальних коефіцієнтів одночасно за двома гармоніками (двочастинне наближення) з метою отримання складніших комбінацій гармонічних коливань (накла- дання частот, «биття»), що покращує ефективність запропонованого методу. Продовженням роботи має бути удосконалення алгоритму для рядів зі змін- ними частотами. ЛІТЕРАТУРА 1. Дербенцев В.Д., Сердюк О.А., Соловйов В.М., Шарапов О.Д. Синергетичні та еконофізичні методи дослідження динамічних та структурних характеристик економічних систем: монографія. — Черкаси-Брама-Україна, 2010. — 300 с. Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів Системні дослідження та інформаційні технології, 2012, № 2 141 2. Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — Глав. редакция физ.-математ. лит-ры изд-ва «Наука», 1976. — 375 с. 3. Ежов А.А., Шумкий С.А. Нейрокомпьютинг и его применения в экономике и бизнесе. — М.: МИФИ, 1998. — 224 с. 4. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: учеб. пособ. — М.: Финансы и статистика, 2003. — 416 с. 5. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. — М.: Мир, 1974. — 197 с. 6. Зайченко Ю.П. Нечеткий метод группового учета аргументов при неопре- деленных входных данных // Системні дослідження та інформаційні техно- логії. — 2007. — № 4. — С. 40–57. 7. Кондратьев Н., Яковец Ю., Абалкин Л. Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения // Избранные труды. — М.: Экономика, 2002. — 768 с. 8. Ronald N. Bravwell. The Fourier Transform and its applications (Second edition, re- vised). — US: McGraw-Hill Book Company, 1978. — 464 р. 9. Анушина Е.С., Поляхов Н.Д., Приходько И.А., Анушина Е.С., Хартян Е.В. Вейвлет-теория в задачах прогнозирования // Изв. СПб ГЭТУ «ЛЭТИ». — 2008. — Вып. 4. — С 50–54. 10. Сапцін В.М., Чабаненко Д.М. Фур’є-продовження низькочастотних складових рядів економічної динаміки // Проблеми економічної кібернетики: тези доп. ХІV Всеукр. наук.-метод. конф. (8–9 жовт.). — Х.: ХНУ ім. В.Н. Каразіна, 2009. — С. 132–133. Надійшла 08.06.2010

Дискретне Фур’є-продовження як алгоритм прогнозування фінансово-економічних часових рядів

Репозитарії

Схожі ресурси