Методы описания гиперслучайных величин и функций

Развит математический аппарат для описания гиперслучайных величин и функций - недетерминированных явлений, для которых не определена вероятностная мера. Для их описания предложено использовать границы соответствующих моментов. Проведено исследование свойств этих характеристик и рассмотрена возможнос...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2005
Main Author:	Горбань, И.И.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2005
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/502
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Методы описания гиперслучайных величин и функций / И.И. Горбань // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 3. — С. 24-33. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-502
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-5022008-10-20T17:46:30Z Методы описания гиперслучайных величин и функций Горбань, И.И. Развит математический аппарат для описания гиперслучайных величин и функций - недетерминированных явлений, для которых не определена вероятностная мера. Для их описания предложено использовать границы соответствующих моментов. Проведено исследование свойств этих характеристик и рассмотрена возможность их применения в задачах акустики. A mathematical apparatus is developed for describing the hyper-random values and functions that are non-determined phenomena for which the probability measure is not determined. To describe them the corresponding moment boundaries are proposed. Properties of these characteristics are studied and a possibility of their use in the acoustical problems is considered. 2005 Article Методы описания гиперслучайных величин и функций / И.И. Горбань // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 3. — С. 24-33. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1028-7507 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/502 519.2+600.1 ru Інститут гідромеханіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Развит математический аппарат для описания гиперслучайных величин и функций - недетерминированных явлений, для которых не определена вероятностная мера. Для их описания предложено использовать границы соответствующих моментов. Проведено исследование свойств этих характеристик и рассмотрена возможность их применения в задачах акустики.
format	Article
author	Горбань, И.И.
spellingShingle	Горбань, И.И. Методы описания гиперслучайных величин и функций
author_facet	Горбань, И.И.
author_sort	Горбань, И.И.
title	Методы описания гиперслучайных величин и функций
title_short	Методы описания гиперслучайных величин и функций
title_full	Методы описания гиперслучайных величин и функций
title_fullStr	Методы описания гиперслучайных величин и функций
title_full_unstemmed	Методы описания гиперслучайных величин и функций
title_sort	методы описания гиперслучайных величин и функций
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/502
citation_txt	Методы описания гиперслучайных величин и функций / И.И. Горбань // Акуст. вісн. — 2005. — Т. 8, N 3. — С. 24-33. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT gorbanʹii metodyopisaniâgiperslučajnyhveličinifunkcij
first_indexed	2025-07-02T04:17:03Z
last_indexed	2025-07-02T04:17:03Z
_version_	1836507278523498496
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 24 – 33 УДК 519.2+600.1 МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН И ФУНКЦИЙ И. И. Г О РБ А Н Ь Украинский научно-исследовательский и учебный центр проблем стандартизации, сертификации и качества, Киев Получено 24.10.2005 Развит математический аппарат для описания гиперслучайных величин и функций – недетерминированных явлений, для которых не определена вероятностная мера. Для их описания предложено использовать границы соответствующих моментов. Проведено исследование свойств этих характеристик и рассмотрена возможность их применения в задачах акустики. Розвинуто математичний апарат для опису гiпервипадкових функцiй – недетермiнованих функцiй, для яких iмо- вiрнiсна мiра не визначена. Для їх опису запропоновано використовувати границi вiдповiдних моментiв. Проведено дослiдження властивостей цих характеристик i розглянуто можливiсть їх використання у задачах акустики. A mathematical apparatus is developed for describing the hyper-random values and functions that are non-determined phenomena for which the probability measure is not determined. To describe them the corresponding moment boundaries are proposed. Properties of these characteristics are studied and a possibility of their use in the acoustical problems is considered. ВВЕДЕНИЕ При изучении недетерминированных явлений (событий, величин, процессов, функций) обычно считают, что они носят случайный характер. Однако кроме недетерминированных случайных явлений, для которых определена вероятностная мера [1 – 3], существуют еще и очень распростра- ненные недетерминированные гиперслучайные яв- ления [4], для которых вероятностная мера не определена. При описании гиперслучайных явле- ний из-за неопределенности вероятностной меры возникают трудности использования классической теории вероятностей и математической статисти- ки. В работах [4, 5] разработаны концептуальные основы представления гиперслучайных явлений и предложен математический аппарат описания двух простейших их классов: гиперслучайных со- бытий и гиперслучайных величин. Примерами ги- перслучайного события может служить любое со- бытие A, частота которого pN(A) в N опытах не имеет предела при N →∞, или событие A, веро- ятность которого P (A) не определена. Для описа- ния гиперслучайных событий предложено исполь- зовать две нормированные полумеры, определяе- мые для события A как верхняя PS(A) и нижняя PI(A) границы условной вероятности P (A/g) это- го события при условии g∈G: PS(A) = sup g∈G P (A/g), PI(A) = inf g∈G P (A/g). (1) Когда границы PS(A) и PI(A) совпадают, гипер- случайное событие вырождается в случайное и ве- личина P (A)=PS(A)=PI(A) может рассматрива- ться как вероятность случайного события. Для характеристики гиперслучайных величин введено понятие границ функции распределения, определяемых для гиперслучайной величины X соответственно как верхняя и нижняя границы ве- роятности выполнения неравенства X ≤ x в усло- виях g∈G: FS(x) = sup g∈G P {X ≤ x/g}, FI(x) = inf g∈G P {X ≤ x/g}. (2) Установлено, что функции FS(x) и FI(x) облада- ют такими же свойствами, как и функция распре- деления вероятности случайной величины. Кро- ме того, всегда FS(x) ≥ FI(x). Между граница- ми функции распределения расположена зона не- определенности. Ее ширина определяется разно- стью ∆F (x)=FS(x)−FI(x): чем больше неопреде- ленность, тем больше величина ∆F (x). Если X – 24 c© И. И. Горбань, 2005 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 24 – 33 случайная величина, то границы функции распре- деления совпадают и разность ∆F (x) равна нулю. При полной неопределенности гиперслучайной ве- личины X (полном хаосе [6 – 9]) верхняя граница функции распределения FS(x) ≡ 1, нижняя гра- ница FI(x)≡0 и разность ∆F (x)≡1. С помощью границ функции распределения ги- перслучайной величины, а также их производных (границ плотности распределения и границ хара- ктеристической функции) определены вспомога- тельные характеристики: математические ожида- ния границ, дисперсии границ, корреляционные и ковариационные функции границ и т. п. Полученные результаты обобщены на более сло- жный класс гиперслучайных явлений – гиперслу- чайные функции (процессы): скалярные и вектор- ные, вещественные и комплексные [10]. Для хара- ктеристики скалярной вещественной гиперслучай- ной функции X(t) предложено использовать гра- ницы функции распределения FS(~x;~t) = = sup g∈G P {X(t1) ≤ x1, . . . , X(tM ) ≤ xM/g}, FI(~x;~t) = = inf g∈G P {X(t1) ≤ x1, . . . , X(tM ) ≤ xM/g}, (3) границы плотности распределения fS(~x;~t) = ∂LFS(~x;~t) ∂x1, . . . , ∂xL , fI(~x;~t) = ∂LFI(~x;~t) ∂x1, . . . , ∂xL , (4) а также математические ожидания границ функ- ции φ(X(t1), . . . , X(tL)), зависящей от L аргу- ментов, представляющих собой значения X1 = X(t1), . . . , XL = X(tL) гиперслучайной функции X(t) в L точках: MS [φ(X(t1), . . . , X(tL))] = = ∞ ∫ −∞ . . . ∞ ∫ −∞ φ(x1, . . . , xL)× ×fS(x1, . . . , xL; t1, . . . , tL)dx1 . . . dxL, MI [φ(X(t1), . . . , X(tL))] = = ∞ ∫ −∞ . . . ∞ ∫ −∞ φ(x1, . . . , xL)× ×fI (x1, . . . , xL; t1, . . . , tL)dx1 . . . dxL, в частности, математические ожидания границ mSx(t) = MS [X(t)], mIx(t) = MI [X(t)], дисперсии границ DSx(t) = DS [X(t)] = MS [(X(t) − mSx(t))2], DIx(t) = DI [X(t)] = MI [(X(t) − mIx(t))2] и многие другие характеристики. Предложенный математический аппарат позво- ляет эффективно описывать и сравнивать между собой различные гиперслучайные явления, однако его применение сопряжено с определенными тру- дностями. Связаны они с тем, что основные его со- ставляющие – математические ожидания границ, дисперсии границ, корреляционные и ковариаци- онные моменты границ и пр. – определяются на основе границ функции распределения, а расчет последних – достаточно трудоемкая задача. В связи с этим представляет интерес разработка другого подхода, позволяющего характеризовать гиперслучайные явления, не прибегая к границам функции распределения. Предпосылкой для этого служат следующие соображения. В теории вероятностей вероятностные характе- ристики, в частности функция распределения, исчерпывающе определяют случайную величину или случайный процесс, а моменты представляют случайные явления неоднозначно. Однако сово- купность всех моментов полностью характеризу- ет вероятностные характеристики случайного яв- ления. Поэтому и совокупность моментов границ функции распределения однозначно характеризу- ет границы распределения. Конечно, кроме моментов, существует множе- ство других информативных параметров и хара- ктеристик, с помощью которых можно характери- зовать гиперслучайные явления. Среди них есть и легко вычисляемые. Целью данной статьи является развитие мате- матического аппарата описания гиперслучайных величин и функций на основе ряда просто рассчи- тываемых параметров и характеристик, а также иллюстрация возможности применения предлага- емого подхода для решения практических задач, в частности, акустических. 1. ПАРАМЕТРЫ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ГИПЕР- СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для описания скалярной вещественной гипер- случайной величины X в дополнение к границам функции распределения FS(x), FI(x), границам плотности распределения fS(x), fI (x), границам характеристической функции QS(jω), QI(jω), а И. И. Горбань 25 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 24 – 33 также математическим ожиданиям границ mSx, mIx, дисперсиям границ DSx, DIx, среднеквадра- тическим отклонениям границ σSx, σIx, и др. [5] можно предложить верхнюю и нижнюю границы математического ожидания величины X: msx = sup g∈G ∞ ∫ −∞ xf(x/g)dx, mix = inf g∈G ∞ ∫ −∞ xf(x/g)dx, (5) и границы моментов, определяемых с помо- щью границ математического ожидания функции φ(X), зависящей в общем случае от условия g: Ms[φ(X)] = sup g∈G ∞ ∫ −∞ φ(x)f(x/g)dx, Mi[φ(X)] = inf g∈G ∞ ∫ −∞ φ(x)f(x/g)dx. (6) Здесь f(x/g) – плотность распределения гиперслу- чайной величины X при условии g. Следует обратить внимание на то, что при фик- сированном условии g величина X представляет собой не гиперслучайную, а случайную величину, для которой определена вероятностная мера. При этом случайной величиной оказывается и функция φ(X/g). К числу границ моментов относятся верхняя и нижняя границы начального момента ν-го поряд- ка msν = Ms[X ν ] = sup g∈G ∞ ∫ −∞ xνf(x/g)dx, miν = Mi[X ν ] = inf g∈G ∞ ∫ −∞ xνf(x/g)dx, (7) а также границы центрального момента ν-го по- рядка µsν = Ms[(X − mx/g) ν ] = = sup g∈G ∞ ∫ −∞ (x − mx/g) νf(x/g)dx, µiν = Mi[(X − mx/g) ν ] = = inf g∈G ∞ ∫ −∞ (x − mx/g) νf(x/g)dx, (8) где mx/g – математическое ожидание распределе- ния при условии g. Границы математического ожидания являются границами начального момента первого порядка, а границы центрального момента второго поряд- ка – границами дисперсии Dsx = µs2, Dix = µi2. Корни из последних двух величин σsx = √ Dsx, σix = √ Dix представляют собой границы средне- квадратических отклонений. В общем случае операторы Ms[·], Mi[·] не совпа- дают с операторами MS [·], MI [·], а границы момен- тов гиперслучайной величины msν , miν , µsν, µiν не совпадают с моментами границ функции рас- пределения mSν , mIν , µSν, µIν [5]. Границы моментов несут информацию не о гра- ницах распределения, а о диапазоне изменения этих моментов при изменении условий g в преде- лах множеств условий G. Таким образом, границы моментов и моменты границ – разные параметры, по-разному представляющие гиперслучайную ве- личину. Для пояснения причин возможных отличий гра- ниц характеристик от соответствующих характе- ристик границ на рис. 1 приведены несколько при- меров функций распределения гиперслучайной ве- личины X. Из рисунка видно, что условные функции рас- пределения могут не пересекаться (см. рис. 1, а, б) или пересекаться между собой (см. рис. 1, в, г). В случаях а и б границы двух первых моментов совпадают с соответствующими характеристика- ми границ, в случае в наблюдается частичное, а в случае г – полное несовпадение соответствующих характеристик. Для описания вещественной векторной гипер- случайной величины ~X = (X1, . . . , XL) наряду с границами L-мерной функции распределения FS(~x), FI(~x), L-мерной плотности распределения fS(~x), fI(~x) и L-мерной характеристической функ- ции можно использовать ряд параметров, основан- ных на определении границ математического ожи- дания M -мерной функции ~φ( ~X) гиперслучайной величины ~X : Ms[~φ( ~X)] = M ∑ m=1 sup g∈G ∞ ∫ −∞ . . . ∞ ∫ −∞ φm(x1, . . . , xL)× ×f(x1, . . . , xL/g)dx1, . . . , dxL~em, Mi[~φ( ~X)] = M ∑ m=1 inf g∈G ∞ ∫ −∞ . . . ∞ ∫ −∞ φm(x1, . . . , xL)× ×f(x1, . . . , xL/g)dx1, . . . , dxL~em. 26 И. И. Горбань ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 24 – 33 Здесь φm(x1, . . . , xL) – m-ая компонента вектора ~φ(x1, . . . , xL), ~em – m-ый орт вектора ~φ(x1, . . . , xL). В число этих параметров входят границы L- мерного математического ожидания ~msx, ~mix ги- перслучайной величины ~X ~msx = Ms[ ~X ], ~mix = Mi[ ~X] и границы L-мерной дисперсии ~Dsx = Ms[((Xl − mxl/g)2, l = 1, L)], ~Dix = Mi[((Xl − mxl/g) 2, l = 1, L)], где mxl/g – l-ая компонента вектора условного ма- тематического ожидания ~mx/g = M [ ~X/g], M [·] – оператор математического ожидания. С помощью границ дисперсии ~Dsx, ~Dix можно определить границы L-мерного среднеквадратиче- ского отклонения ~σsx, ~σix как векторы, компонен- ты которых представляют собой корни из компо- нент соответствующих границ дисперсии. Параметрами гиперслучайной величины ~X яв- ляются границы начальных моментов msν1...νL , miν1...νL порядка ν = ν1 + . . .+ νL, определяемые как msν1...νL = Ms[X ν1 1 . . .XνL L ], miν1...νL = Mi[X ν1 1 . . .XνL L ], и границы центральных моментов µsν1...νL , µiν1...νL порядка ν=ν1+. . .+νL, определяемые как µsν1...νL = Ms[(X1 − mx1/g) ν1 . . . (XL − mxL/g) νL ], µiν1...νL = Mi[(X1 − mx1/g) ν1 . . . (XL − mxL/g) νL ]. В двумерном случае (L = 2) границы смешан- ного начального момента второго порядка ms11 и mi11 будем называть границами ковариационного момента и обозначать Ks, Ki, границы смешан- ного центрального момента второго порядка µs11 и µi11 – границами корреляционного момента и обозначать Rs и Ri, а корреляционные моменты, нормированные на среднеквадратические откло- нения, rs = Rs σsx1 σsx2 , ri = Ri σsx1 σsx2 — границами коэффициента корреляции. Границы моментов находятся в результате от- бора экстремальных значений из множества зна- чений, соответствующих разным условиям g ∈ G. При этом разным моментам соответствуют в об- щем случае разные условия g. Поэтому границы Sx sx Ix ix Sx sx Ix ix m m m m D D D D ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ( ) I F x 0 ( ) S F x ( )F x x 1 ( ) I F x 0 ( ) S F x ( )F x x 1 Sx ix Ix sx Sx sx Ix ix m m m m D D D D = = ≠ ≠ ≠ Sx ix Ix sx Sx sx Ix ix m m m m D D D D = = = > = ( ) I F x 0 ( ) S F x ( )F x x 1 ( ) I F x 0 ( ) S F x ( )F x Sx ix Ix sx Sx ix Ix sx m m m m D D D D = = = < = x 1 а б в г Рис. 1. Различные типы функции распределения: тонкими светлыми линиями изображены условные функции распределения F (x/g), а жирными темными – границы функции распределения FS(x), FI(x) И. И. Горбань 27 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 24 – 33 корреляционного момента Rs, Ri гиперслучайной величины ~X =(X1, X2), хотя и определяются гра- ницами ковариационного момента Ks, Ki и грани- цами математических ожиданий msx1 , msx2 , mix1 , mix2 , однако Rs 6= Ks − msx1 msx2 , Ri 6= Ki − mix1 mix2 . Гиперслучайные функции X1 и X2 будем на- зывать некоррелированными при всех условиях, если границы их корреляционных моментов Rs и Ri равны нулю. Гиперслучайные функции X1 и X2 будем на- зывать ортогональными при всех условиях, если границы их ковариационных моментов Ks и Ki равны нулю. Надо отметить, что понятия некоррелированно- сти и ортогональности гиперслучайных величин при всех условиях отличаются от введенных в ра- боте [5] понятий некоррелированности и ортого- нальности, связанных с равенством нулю соответ- ственно ковариационных и корреляционных мо- ментов границ функции распределения. Следует обратить внимание на то, что совоку- пность границ всех моментов, в отличие от совоку- пности всех моментов границ распределения, нео- днозначно определяет границы функции распре- деления. В отличие от рассмотренных ранее, предлага- емые для описания гиперслучайных величин и функций новые параметры не используют инфор- мацию о границах функции распределения. Поэто- му их расчет не сопряжен с большими вычисли- тельными затратами. 2. ПАРАМЕТРЫ КОМПЛЕКСНЫХ ГИПЕР- СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для описания L-мерного гиперслучайного ком- плексного вектора ~̇Z = ~X + j~Y можно использо- вать границы комплексного математического ожи- дания ~̇msz = Ṁs [ ~X + j~Y ] = = L ∑ l=1 [ ∞ ∫ −∞ xlf(xl/gsl)dxl + j ∞ ∫ −∞ ylf(yl/gsl)dyl ] ~el, ~̇miz = Ṁi[ ~X + j~Y ] = = L ∑ l=1 [ ∞ ∫ −∞ xlf(xl/gil)dxl + j ∞ ∫ −∞ ylf(yl/gil)dyl ] ~el, где gsl и gil – значения g, при которых обеспечива- ются соответственно верхняя и нижняя границы функции ( ∞ ∫ −∞ xlf(xl/g)dxl )2 + ( ∞ ∫ −∞ ylf(yl/g)dyl )2 , и границы моментов, определяемых с помощью границ комплексного математического ожидания M -мерной комплексной функции ~̇φ( ~̇Z): Ms[~̇φ( ~̇Z)] = = M ∑ m=1 [ ∞ ∫ −∞ . . . ∞ ∫ −∞ φ̇m(x1, y1, . . . , xL, yL)× ×f(x1 , y1, . . . , xL, yL/gsm)dx1dy1 . . . dxLdyL ] ~em, Mi[~̇φ( ~̇Z)] = = M ∑ m=1 [ ∞ ∫ −∞ . . . ∞ ∫ −∞ φ̇m(x1, y1, . . . , xL, yL)× ×f(x1 , y1, . . . , xL, yL/gim)dx1dy1 . . . dxLdyL]~em. Здесь φ̇m( ~̇Z) – m-ая компонента вектора ~̇φ( ~̇Z); gsm, gim – значения g, при которых достигается соо- тветственно верхняя и нижняя границы функции ∣ ∣ ∣ ∣ ∞ ∫ −∞ . . . ∞ ∫ −∞ φ̇m(x1, y1, . . . , xL, yL)× ×f(x1, y1, . . . , xL, yL/g) ∣ ∣ ∣ ∣ 2 . К числу границ моментов комплексного вектора относятся, в частности, границы комплексной дис- персии ~̇Dsz, ~̇Diz, определяемые как границы ком- плексного математического ожидания вектора L ∑ l=1 [ (Xl − mxl/g)2 + (Yl − myl/g)2 ] ~el. С помощью границ комплексной дисперсии можно определить границы комплексного среднеквадра- тического отклонения ~̇σsz, ~̇σiz как векторы, веще- ственные компоненты которых равны корню из со- ответствующих вещественных компонент границ комплексной дисперсии ~̇Dsz, ~̇Diz, а мнимые – кор- ню из соответствующих мнимых компонент этих границ. 28 И. И. Горбань ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 24 – 33 Границами ковариационного момента компле- ксной гиперслучайной величины Ż = X + jY на- зовем величины Ksz = Ms[XY ], Kiz = Mi[XY ], а границами корреляционного момента – Rsz = Ms [ (X − mx/g)(Y − my/g) ] , Riz = Mi [ (X − mx/g)(Y − my/g) ] . Отметим, что для интегральной характеристи- ки гиперслучайных величин (как вещественных, так и комплексных) можно использовать среднее границ рассмотренных параметров. Следуя при- нятым в работе [5] обозначениям, для усредненных параметров будем писать дополнительный индекс “0”: m0x, D0x, ~m0x, ~D0x и т. д. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Для описания скалярной гиперслучайной функ- ции X(t), кроме предложенных в работе [10] характеристик (границ функции распределения FS(~x;~t), FI(~x;~t), границ плотности распреде- ления fS(~x;~t), fI(~x;~t), границ характеристиче- ской функции QS(j~ω;~t), QI(j~ω;~t), математи- ческих ожиданий границ mSx(t), mIx(t), дис- персий границ DSx(t), DIx(t), корреляцион- ных RSx(t1, t2), RIx(t1, t2) и ковариационных KSx(t1, t2), KIx(t1, t2) функций границ и пр.), можно использовать ряд других характеристик, аналогичных рассмотренным в разделе 1 для ги- перслучайных величин. Основой этих характеристик являются грани- цы математического ожидания функции φ( ~X;~t)= φ(X1, . . . , XL; t1, . . . , tL/g) гиперслучайной функ- ции X(t): Ms[φ( ~X;~t)] = sup g∈G ∞ ∫ −∞ . . . ∞ ∫ −∞ φ(~x;~t)f(~x;~t/g)d~x, Mi[φ( ~X;~t)] = inf g∈G ∞ ∫ −∞ . . . ∞ ∫ −∞ φ(~x;~t)f(~x;~t/g)d~x. Частным случаем являются границы математи- ческого ожидания msx(t) = Ms[X(t)], mix(t) = Mi[X(t)], границы дисперсии Dsx(t) = Ms [ (X(t) − mx/g(t))2 ] , Dix(t) = Mi [ (X(t) − mx/g(t))2 ] , (где mx/g(t) = M [X(t)/g] – значение математиче- ского ожидания в условиях g∈G), а также грани- цы начальных моментов msν1...νL (t1, . . . , tL) = Ms[X ν1(t1) . . .XνL(tL)], miν1...νL (t1, . . . , tL) = Mi[X ν1(t1) . . .XνL(tL)] порядка ν = ν1 + . . .+νL и границы центральных моментов µsν1...νL (t1, . . . , tL)= =Ms [ (X(t1)−mx/g(t1)) ν1 . . .(X(tL)−mx/g(tL))νL ] , µiν1...νL (t1, . . . , tL)= =Mi [ (X(t1)−mx/g(t1)) ν1 . . .(X(tL)−mx/g(tL))νL ] порядка ν =ν1+. . .+νL. Границы смешанного начального момента вто- рого порядка ms11(t1, t2), mi11(t1, t2) будем на- зывать границами ковариационной функции и обозначать Ksx(t1, t2), Kix(t1, t2), границы сме- шанного центрального момента второго порядка – называть границами корреляционной функции и обозначать Rsx(t1, t2) Rix(t1, t2), а нормированные корреляционные функции – определять следую- щим образом: rsx(t1, t2) = Rsx(t1, t2) σsx(t1)σsx(t2) , rix(t1, t2) = Rix(t1, t2) σsx(t1)σsx(t2) , где σsx(t) – верхняя граница среднеквадратическо- го отклонения в момент t, представляющая собой корень из верхней границы дисперсии Dsx(t). Как и в случае границ корреляционного и кова- риационного моментов гиперслучайных величин, из-за того, что границы корреляционной функции, границы ковариационной функции и границы ма- тематического ожидания могут определяться при различных условиях g, в общем случае Rsx(t1, t2) 6= Ksx(t1, t2) − msx(t1)msx(t2), Rix(t1, t2) 6= Kix(t1, t2) − mix(t1)mix(t2). Отсчеты гиперслучайной функции X(t) в мо- менты t1, t2 будем называть некоррелированными при всех условиях, если Rsx(t1, t2) = Rix(t1, t2) = 0, И. И. Горбань 29 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 24 – 33 и ортогональными при всех условиях, если Ksx(t1, t2) = Kix(t1, t2) = 0. Отметим, что понятия некоррелированности и ортогональности отсчетов функции, введенные в работе [10] для описания ситуаций, когда соо- тветствующие корреляционные и ковариационные функции границ распределения равны нулю, отли- чаются от предлагаемых понятий. Из некоррелированности и ортогональности отсчетов не следует соответственно некоррелиро- ванность и ортогональность при всех условиях. В общем случае и из некоррелированности и орто- гональности отсчетов при всех условиях не следу- ет соответственно их некоррелированность и орто- гональность. Последнее обстоятельство связано с тем, что границы функции распределения FS(~x;~t), FI(~x;~t) не всегда принадлежат множеству услов- ных функций распределения F (~x;~t/g), g∈G. Если границы функции распределения все же принадлежат этому множеству, то из некоррели- рованности и ортогональности отсчетов при всех условиях следует соответственно их некоррелиро- ванность и ортогональность. Обратное утвержде- ние неверно. Следует обратить внимание, что также как и в случае гиперслучайных величин, множество гра- ниц всех моментов неоднозначно определяет гра- ницы распределения. 4. ХАРАКТЕРИСТИКИ КОМПЛЕКСНЫХ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Основой описания комплексной гиперслучайной функции Ż(t) = X(t) + jY (t) могут выступать границы комплексного математического ожида- ния функции φ̇(x1(t1), y1(t1), . . . , xL(t1), yL(t1)): Ms[φ̇(Ż(t1), . . . , Ż(tL))] = = sup g∈G ∞ ∫ −∞ . . . ∞ ∫ −∞ φ̇(x1, y1, . . . , xL, yL)× ×f(x1 , y1, . . . , xL, yL; t1, . . . , tL/gs)× ×dx1dy1, . . . , dxLdyL, Mi[φ̇(Ż(t1), . . . , Ż(tL))] = = sup g∈G ∞ ∫ −∞ . . . ∞ ∫ −∞ φ̇(x1, y1, . . . , xL, yL)× ×f(x1 , y1, . . . , xL, yL; t1, . . . , tL/gi)× ×dx1dy1, . . . , dxLdyL, где gs, gi – значения g, при которых достигаются соответственно верхняя и нижняя границы функ- ции ∣ ∣ ∣ ∣ ∞ ∫ −∞ . . . ∞ ∫ −∞ φ̇(x1, y1, . . . , xL, yL)× ×f(x1 , y1, . . . , xL, yL; t1, . . . , tL/g)× ×dx1dy1, . . . , dxLdyL ∣ ∣ ∣ ∣ 2 . В частности, когда φ̇(Ż(t))=X(t)+jY (t), полу- чаем границы математического ожидания ṁsz(t) = ∞ ∫ −∞ xf(x; t/gs)dx+j ∞ ∫ −∞ yf(y; t/gs)dy, ṁiz(t) = ∞ ∫ −∞ xf(x; t/gi)dx+j ∞ ∫ −∞ yf(y; t/gi)dy, когда φ̇(Ż(t))=(X(t)−mx/g(t))2+j(Y (t)−my/g(t))2, имеем границы дисперсии Ḋsz(t) = ∞ ∫ −∞ (x − mx/gs (t))2f(x; t/gs)dx+ +j ∞ ∫ −∞ (y − my/gs (t))2f(y; t/gs)dy, Ḋiz(t) = ∞ ∫ −∞ (x − mx/gi (t))2f(x; t/gi)dx+ +j ∞ ∫ −∞ (y − my/gi (t))2f(y; t/gi)dy. 5. МОДЕЛИ АКУСТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ Рассмотрим возможности использования пре- дложенного математического аппарата для опи- сания акустических явлений на примере задачи 30 И. И. Горбань ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 24 – 33 Рис. 2. Результаты измерения уровня шума в производственном помещении (изрезанная кривая) и оценки границ математического ожидания m∗ sx, m∗ ix (жирные прямые), границ среднеквадратического отклонения m∗ sx±σ∗ sx, m∗ ix±σ∗ ix (штриховые прямые) и тех же усредненных параметров (жирная штриховая прямая посредине для усредненных границ математического ожидания m∗ 0x и штрих-пунктирные прямые – для усредненных границ среднеквадратического отклонения m∗ 0x±σ∗ 0x) измерения уровня шума в производственном по- мещении с большим количеством единиц техноло- гического оборудования. Измерения проводятся с помощью измерительного прибора, периодически регистрирующего данные на протяжении рабочей смены, в течение которой условия наблюдения ме- няются в широких пределах. Эту задачу можно сформулировать по-разному. Ее можно свести к классической оценке значения случайной величи- ны или к классической оценке параметров случай- ной функции, если считать, что при фиксирован- ных условиях закон изменения уровня шума носит случайный характер, а меняющиеся условия на- блюдения – тоже случайны. Естественно, при этом надо знать законы распределения всех случайных явлений. Если при фиксированных условиях закон рас- пределения уровня шума неизвестен или случаен и, главное, неизвестен закон распределения усло- вий, то задача носит гиперслучайный характер. В этом случае всю совокупность данных, полу- ченных в результате измерения, можно считать выборкой из генеральной совокупности гиперслу- чайной величины или, как будем полагать далее, гиперслучайной функции. Допустим, что условия меняются достаточно ме- дленно. При этом интервал наблюдения можно разделить на примыкающие друг к другу фрей- Рис. 3. Оценки функции распределения F ∗(x/g), F ∗(x/g) при различных условиях g∈G (тонкие кривые), оценки границ функции распределения F ∗ S(x), F ∗ I (x) (темные жирные кривые), средняя оценка границ функции распределения F ∗ 0 (x) (светлая жирная кривая) и оценка функции распределения, полученная из всего объема данных F ∗(x) (темная штриховая кривая) Рис. 4. Оценки корреляционной функции при различных условиях R∗ x(τ/g) (светлые кривые), оценки границ корреляционной функций R∗ sx(τ), R∗ ix(τ) (жирные непрерывные кривые) и оценка усредненных границ корреляционной функции R∗ 0x(τ) (жирная штриховая кривая) мы длительностью T , в пределах которых условия можно считать неизменными. При неизвестном законе распределения усло- вий множество отсчетов фреймов, соответствую- щих определенным фиксированным условиям g, можно рассматривать как реализацию гиперслу- И. И. Горбань 31 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 24 – 33 а б Рис. 5. Относительные отклонения оценок математических ожиданий границ m∗ Sx, m∗ Ix от границ математического ожидания m∗ sx, m∗ ix (а) и оценок среднеквадратических отклонений границ σ∗ Sx, σ∗ Ix от границ среднеквадратического отклонения σ∗ sx, σ∗ ix (б), зафиксированных в ста сериях измерений. Верхние кривые соответствуют величинам (m∗ Ix−m∗ sx)/m∗ Ix, (σ∗ Sx−σ∗ ix)/σ∗ Sx, а нижние – (m∗ Sx−m∗ ix)/m∗ Sx, (σ∗ Ix−σ∗ sx)/σ∗ Ix чайной функции X(t), (t ∈ (0, T )), а всю совоку- пность фреймов – как выборку из генеральной со- вокупности этой функции. Обрабатывая упорядоченные таким образом данные, можно получить различные характе- ристики: оценки границ функции распределе- ния F ∗ S(~x;~t), F ∗ I (~x;~t), математических ожида- ний границ m∗ Sx(t), m∗ Ix(t), дисперсий границ D∗ Sx(t), D∗ Ix(t), ковариационных функций границ K∗ Sx(t1, t2), K∗ Ix(t1, t2), корреляционных функций границ R∗ Sx(t1, t2), R∗ Ix(t1, t2) и др., а также оценки границ математического ожидания m∗ sx(t), m∗ ix(t), границ дисперсии D∗ sx(t), D∗ ix(t), границ ковари- ационной функции K∗ sx(t1, t2), K∗ ix(t1, t2), границ корреляционной функции R∗ sx(t1, t2), R∗ ix(t1, t2) и пр. Представление об исследуемом процессе и оценках различных его характеристик в предпо- ложении, что процесс обладает свойством стацио- нарности, при котором границы математического ожидания не зависят от времени, а границы корре- ляционной функции определяются разностью ар- гументов (т. е. m∗ sx(t)=m∗ sx, m∗ ix(t)=m∗ ix, D∗ sx(t)= D∗ sx, D∗ ix(t)=D∗ ix, R∗ sx(t1, t2)=R∗ sx(τ ), R∗ ix(t1, t2)= R∗ ix(τ ), где τ = t2−t1), дают рис. 2 – 4. Из рисунков видно, что оценки границ матема- тического ожидания m∗ sx, m∗ ix, границ среднеква- дратического отклонения σ∗ sx, σ∗ ix и границы кор- реляционной функции R∗ sx(τ ), R∗ ix(τ ) несут мно- го полезной информации о рассматриваемом ги- перслучайном процессе, в первую очередь, о ди- апазоне изменения параметров и характеристик. Информативными являются и усредненные пара- метры (среднее границ математического ожида- ния m∗ 0x, среднее границ среднеквадратического отклонения σ∗ 0x) и среднее границ корреляционной функции R∗ 0x(τ ). Некоторые результаты сравнительного анализа оценок моментов границ распределения с оцен- ками границ моментов представлены на рис. 5. Как видно из графиков, математическое ожидание верхней границы практически совпадает с нижней границей математического ожидания, а матема- тическое ожидание нижней границы – с верхней границей математического ожидания (m∗ Sx(t) ≈ m∗ ix(t), m∗ Ix(t) ≈ m∗ sx(t). Относительная погре- шность в обоих случаях составляет несколько про- центов. Дисперсия же верхней границы распре- деления в целом не совпадает с нижней грани- цей дисперсии, а дисперсия нижней границы – с верхней границей дисперсии (D∗ Sx(t) 6= D∗ ix(t), D∗ Ix(t) 6= D∗ sx(t)), хотя в отдельных случаях и на- блюдается примерное равенство соответствующих величин. Таким образом, тип функции распреде- ления близок к типу, приведенному на рис. 1, в. Исследование ряда других гиперслучайных яв- лений показывает, что этот тип распределения до- статочно распространен, причем не только в аку- стике. Часто встречается и распределение типа рис. 1, а. ВЫВОДЫ 1. Разработан новый подход к описанию гипер- случайных величин и функций, позволяющий характеризовать гиперслучайные явления, не прибегая к расчету границ функции распре- деления. Его основой служит вычисление гра- 32 И. И. Горбань ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2005. Том 8, N 3. С. 24 – 33 ниц центральных и нецентральных моментов: математического ожидания, дисперсии, кор- реляционного момента, ковариационного мо- мента и пр. 2. Границы моментов гиперслучайного явления и моменты границ функции распределения – разные понятия. В общем случае границы мо- ментов не совпадают с соответствующими мо- ментами границ. 3. Зачастую верхняя граница математического ожидания гиперслучайного явления близка к математическому ожиданию нижней границы распределения, а нижняя граница математи- ческого ожидания – к математическому ожи- данию верхней границы распределения. 4. При вычислении границ моментов не требуе- тся информация о границах функции распре- деления. Поэтому, в отличие от моментов гра- ниц, их расчет не сопряжен с большими вычи- слительными затратами. 5. Область практического применения предла- гаемого подхода охватывает различные аку- стические, гидроакустические, гидродинами- ческие, радиотехнические и другие задачи, в которых присутствует неопределенность ги- перслучайного типа. 1. Колмогоров А. Н. Теория вероятностей и матема- тическая статистика.– М.: Наука, 1986.– 535 с. 2. Королюк В.С. и др. Справочник по теории вероя- тностей и математической статистике.– М.: Наука, 1985.– 637 с. 3. Горбань I. I. Теорiя ймовiрностей i математична статистика для наукових працiвникiв i iнженерiв.– К.: IПММС НАН України, 2003.– 244 с. 4. Горбань И. И. Случайность, гиперслучайность, ха- ос и неопределенность // Стандартизацiя, серти- фiкацiя, якiсть.– 2005.– N 3.– С. 41–48. 5. Горбань И. И. Гиперслучайные явления и их опи- сание // Акуст. вiсн.– 2005.– 8, N 1-2.– С. 16–27. 6. Гринченко В. Т., Мацыпура В. Т., Снар- ский А. А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы.– К.: Наук. думка, 2005.– 263 с. 7. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах.– М.: Постмаркет, 2000.– 350 с. 8. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu. Turbulence, ideal // Encyclopedia of nonlinear science.– London: Taylor Francis, 2005.– P. 955–957. 9. Шустер Г. Детерминированный хаос.– М.: Мир, 1988.– 240 с. 10. Горбань И. И. Гиперслучайные функции и их опи- сание // Радиоэлектроника.– 2006.– N 1.– С. 3–15 (в печати). И. И. Горбань 33

Методы описания гиперслучайных величин и функций

Institution

Similar Items