Моделирование изменения цен финансовых активов

В работе представлена модель процесса изменения цен финансовых активов на рынке. Описан путь построения модели, ее экономическая интерпретация, найдены моменты процесса и исследовано его поведение в предельном случае. Для сравнения с данной моделью приведены примеры некоторых других существующих мод...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2002
Main Author:	Бондаренко, Ю.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2002
Series:	Системні дослідження та інформаційні технології
Subjects:	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
Online Access:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50237
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Моделирование изменения цен финансовых активов / Ю.В. Бондаренко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2002. — № 3. — С. 132-138. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50237
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-502372013-10-09T03:06:37Z Моделирование изменения цен финансовых активов Бондаренко, Ю.В. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем В работе представлена модель процесса изменения цен финансовых активов на рынке. Описан путь построения модели, ее экономическая интерпретация, найдены моменты процесса и исследовано его поведение в предельном случае. Для сравнения с данной моделью приведены примеры некоторых других существующих моделей. У рoботi представлена модель процесу змiни цiн фiнансових активiв на ринку. Описано шлях побудови моделi, її економiчна iнтерпретацiя, знайдено моменти процесу, дослiджено його поведiнку у граничному випадку. Для порiвняння з даною моделлю наведено приклади деяких iнших моделей, що iснують. A model of process for financial assets — prices changing on market is presented. The way of the model’s construction is described, its economic interpretation, a moments of the process are obtained, its behavior in limit case is investigated. For comparison with the given model examples of other models are presented. 2002 Article Моделирование изменения цен финансовых активов / Ю.В. Бондаренко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2002. — № 3. — С. 132-138. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50237 519.86; 338.24 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
spellingShingle	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Бондаренко, Ю.В. Моделирование изменения цен финансовых активов Системні дослідження та інформаційні технології
description	В работе представлена модель процесса изменения цен финансовых активов на рынке. Описан путь построения модели, ее экономическая интерпретация, найдены моменты процесса и исследовано его поведение в предельном случае. Для сравнения с данной моделью приведены примеры некоторых других существующих моделей.
format	Article
author	Бондаренко, Ю.В.
author_facet	Бондаренко, Ю.В.
author_sort	Бондаренко, Ю.В.
title	Моделирование изменения цен финансовых активов
title_short	Моделирование изменения цен финансовых активов
title_full	Моделирование изменения цен финансовых активов
title_fullStr	Моделирование изменения цен финансовых активов
title_full_unstemmed	Моделирование изменения цен финансовых активов
title_sort	моделирование изменения цен финансовых активов
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2002
topic_facet	Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50237
citation_txt	Моделирование изменения цен финансовых активов / Ю.В. Бондаренко // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2002. — № 3. — С. 132-138. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT bondarenkoûv modelirovanieizmeneniâcenfinansovyhaktivov
first_indexed	2025-07-04T11:48:57Z
last_indexed	2025-07-04T11:48:57Z
_version_	1836716904725610496
fulltext	© Ю.В. Бондаренко, 2002 132 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 УДК 519.86; 338.24 МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ Ю.В. БОНДАРЕНКО В работе представлена модель процесса изменения цен финансовых активов на рынке. Описан путь построения модели, ее экономическая интерпретация, найдены моменты процесса и исследовано его поведение в предельном случае. Для сравнения с данной моделью приведены примеры некоторых других существующих моделей. ВВЕДЕНИЕ Современные методы решения теоретических и эмпирических финансовых проблем основаны на использовании широкого спектра моделей, описывающих динамику изменения цен финансовых активов, и в первую очередь — цен акций. Наиболее известным примером модели непрерывного типа является модель геометрического броуновского движения [1] (диффузионная модель рынка): ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= tt WtSS σσµ 2 exp 2 0 , где 0S , tS — соответственно цена акции в начальный момент времени и в момент времени t ; tW — винеровский процесс; σ — коэффициент волатильности, который в общем случае может иметь стохастическую структуру (т.н. модели со стохастической волатильностью); µ — коэффициент сноса. Более современные работы, связанные с построением непрерывных моделей, можно найти, например, в [2, 3]. В эмпирических эконометрических расчетах используется ряд моделей, основанных на анализе временных рядов (модели ARCH, GARCH, и т.д.) При построении стратегии инвестора на рынке с дискретным временем наиболее широкое распространение получила так называемая биномиальная модель, или модель Кокса–Росса–Рубинштейна [4]: ( ) ( ) 01 1...1 SS nn ρρ ++= , где 0S , nS — соответственно цена акции в моменты времени 0 и n ; kρ — независимые биномиально распределенные случайные величины. В недавней работе [5] была предложена модель изменения цен финансовых активов, имеющая дискретную структуру: ( ) ( ) ( ) ∑ = += tN u uZptp 1 0 , Моделирование изменения цен финансовых активов Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 133 где ( )0p , ( )tp — соответственно цена актива в (дискретные) моменты 0 и t ; ( )tN — считающий (пуассоновский) процесс, описывающий количество финансовых операций на рынке, имеющих своим следствием изменение цены рассматриваемого актива, к моменту времени ;t uZ — изменение цены актива (return), связанное с u -й операцией. Подобный подход тесно связан с известной моделью актуарной математики, описывающей процесс риска страховой компании при выплате страховых премий (см. [6]). Далее, авторами предложена следующая декомпозиция величин uZ : uuuu SDAZ = , где { }1,0=uA , { }1,1−=uD , { },...3,2,1=uS . Компонента uA определяет активность цены: если 0=uA , то u -я операция на рынке не влияет на цену актива, изменения цены не происходит (In-Active Proce Movement); если 1=uA , цена в результате u -й операции меняется (Active Price Movement). В этом случае uuu SDZ = . Компонента uD представляет собой направление изменения цены: при 1−=uD цена уменьшается, а при 1=uD — возрастает. Наконец, компонента uS описывает величину изменения цены: ;...2;1 ++=uS (предполагается, что процесс uS имеет строго положительные целые значения). Помимо описанного выше подхода рассматривались и другие пути представления процесса uZ : например, в [7] процесс uZ моделируется в виде марковской цепи. В настоящей работе используется альтернативный подход к построению непрерывной модели динамики цен финансовых активов, являющийся продолжением идеи, изложенной в [8]. 1. АЛЬТЕРНАТИВНАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ( )tS 1.1 Описание модели Значение цены финансового актива ( )tS в момент времени t будем описывать с помощью следующего процесса: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dssvsMStS t sN∫ −−+= 0 110 , где ( )tN — пуассоновский процесс с интенсивностью λ ; ( )tM — случайная величина, принимающая значения 1 и 0, соответственно с вероятностями p и p−1 , 10 << p ; ( )tv — случайная величина, распределенная нормально с параметрами 0≠µ и 2σ . Необходимо также отметить, что используемые при построении модели процессы ( )tM , ( )tv должны быть синхронизованы с процессом ( )tN (значения всех трех Ю.В. Бондаренко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 134 процессов изменяются одновременно). Кроме того, предполагается, что процессы ( )tN , ( )tM и ( )tv независимы. На рис. 1 представлена реализация описанного выше процесса ( )tS . Рассмотрим предложенный подход к построению модели более подробно. Пусть 1−kτ и kτ — случайные моменты ( )1−k -й и k -й финансовой операции на рынке соответственно. Будем предполагать, что между этими моментами цена изменяется как ( )1−− kkv ττ , где v может принимать любые значения (положительные, отрицательные, нулевые). Это выражение может быть записано как интеграл ( ) ( ) ( )( ) ( )dyyvyM k k yN∫ − −− τ τ 1 11 , где ( )yN , ( )yM и ( )yv — соответственно значения процессов ( )tN , ( )tM и ( )tv на отрезке [ )kkt ττ ,1− . Следовательно, в момент времени t в силу аддитивности интеграла цена актива будет 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 3 0 3 5 4 0 Рис. 1. Процесс ( )tS при ( ) 5,20 =S Рис. 2. Графики процесса ( )tS и формирующих его процессов ( )tN , ( )tM , ( )tv )(tS )(tN )(tv )(tM Моделирование изменения цен финансовых активов Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 135 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) =−−++−−+= ∫∫ + dyyvyMdyyvyMStS t yNyN jkτ τ 11...110 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) .,,110 0 IjkdyyvyMS t yN ∈−−+= ∫ Приведенные на рис. 2 графики наглядно демонстрируют связь между процессами ( )tN , ( )tM , ( )tv и ( )tS . Примечание 1. Нормальное распределение случайной величины ( )tv следует из эмпирических и логических заключений. Действительно, ( ) ( ) t tStv ∆ ∆ = (отношение изменения цены актива к временному интервалу, где 1−−=∆ tk ttt , ( ) ( ) ( )1−−=∆ kk tStStS , [ )kt ttt ,1−∈ ). Если ∞→∆t , то вероятность ( ) 1→⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < ∆ ∆ x t tSP ; при 0→∆t , соответственно, имеем ( ) 0→⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < ∆ ∆ x t tSP . Вероятность принимает значения между 0 и 1 на относительно среднем временном интервале. Примечание 2. Конечно, теоретически значение процесса ( )tS в какой-то момент времени может стать отрицательным. Однако, как и во всех моделях подобного типа, вероятностью этого события можно принебречь в силу того, что частота финансовых операций на рынке достаточно высока. 1.2 Некоторые числовые характеристики процесса Прежде всего, рассчитаем первый и второй моменты рассматриваемого процесса: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−+= ∫ dssvsMEStES t sN 0 110 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ; 2 110110 2 0 λ µλ peSdssEvsMEES tt sN −− +=−−+= − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−+= ∫ 2 0 2 110 dssvsMSEtES t sN ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−+= ∫ dssvsMESS t sN 0 2 11020 Ю.В. Бондаренко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 136 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−−−+ ∫ ∫ 21 0 0 2211 1111 21 dsdssvsMsvsME t t sNsN ( ) ( )( )( ) + −− += − λ µλ peSS t 1100 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] =−−−+ ∫ ∫ + 21 0 0 2121 111 21 dsdssvsvEsMsMEE t t sNsN ( ) ( )( )( ) + −− += − λ µλ peSS t 1100 2 2 ( )( ) ( ) ( ) +=+−+ ∫ ∫ −− 021 2 1 0 0 222 2 12 Sdsdsep t s ssλµσ ( )( )( ) ( )( )( ) . 2 121110 2 2222 λ λµσ λ µ λλ −++− + −− + −− tt etppeS Располагая информацией о значении моментов процесса, мы можем оценить вероятность того, что цена актива превысит уровень ( )0SA > в некоторый момент времени T . По неравенству Чебышева ( ){ } ( )( ) ( ) ( )( )( ) + −− +=≤≥ − 2 2 2 2 2 2 1100 A peS A S A TSEATSP t λ µλ ( )( )( ) . 2 121 22 222 A eTp T λ λµσ λ −++− + − 2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РАССМАТРИВАЕМОГО ПРОЦЕССА Теорема. Пусть ∞→λ , 0→p и 12 22 → + λ µσ . Тогда процесс ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dyyvyMt t yN∫ −−= 0 11ξ — винеровский процесс. Доказательство. Иными словами, необходимо показать, что при сформулированных условиях приращения процесса ( ) ( )st ξξ − независимы и распределены нормально с дисперсией st − . Если ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )tstus ξξξξϕ −+− — характеристическая функция суммы приращений, tsu << , то Моделирование изменения цен финансовых активов Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 3 137 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){ }=−+−=−+− stusixExstus ξξξξϕ ξξξξ exp ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−+−−= ∫∫ dyyvyMixdyyvyMixE t s yN s u yN 1111exp ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) = ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −− ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−= ∫∫ dyyvyMixEdyyvyMixE t s yN s u yN 11exp11exp ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xx stus ξξξξ ϕϕ −−= . Далее, поскольку ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( ) − +−−+− =− −− 2 222 2 2 112 λ µσλξξ λ peststE st ( ) ( ) , 2 1 1 0 222 2 22 steep p ts −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − → + → ∞→ −− → λ µσ λ λλ λ µ то следует утверждение теоремы. ВЫВОДЫ Предложенную в работе модель можно отнести к «типу Башелье» (см. [9]). Безусловный интерес для последующего теоретического и практического исследования представляет расчет стоимостей конкретных опционов относительно риск-нейтральной (мартингальной) меры, соответствующей данному процессу. Представленный процесс смоделирован с помощью программных средств Mathematica 4.0. ЛИТЕРАТУРЫ 1. Samuelson P.A., Rational Theory of Warrant Pricing // Industrial Management Review — 1965. — 6. — P. 13–31. 2. Ait-Sahalia Y. Non-parametric Pricing of Interest Rate Derivative Securities // Econometrica. — 1996. — 64. — P. 527–560. 3. Duffie D. Dyndmic Asset Procing Theory. — New Jersey: Princeton University Press. — 1992. 4. Ross S.A. The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing // Journal of Economic Theory. — 1976. — 13. — P. 341–360. 5. Rydberg T. H., Shephard N. A Modelling Framework for the Prices and Times of Trades Made on the NYSE. In W. J. Fitzgerald, R. L. Smith, A. T. Walden, and Ю.В. Бондаренко ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 3 138 P. C. Young (Eds.), Non-linear and Non-stationary Signal Processing. Cambridge: Isaac Newton Institute and Cambridge University Press. Forthcoming. — 2000. 6. Grandell J. Aspects of Risk Theory. — Berlin: Springer. — 1991. 7. Rogers, L. C. G., Zane O. Designing and estimating models of high frequency data. Unpublished paper: Department of Mathematics. University of Bath. Presented at Workshop on Mathematical Finance. University of Bremen, Germany, February 1998. 8. Бондаренко Ю.В. Вероятностная модель описания эволюции финансовых индексов // Кибернетика и cистемный анализ. — 2000. — № 4. 9. Bacheliér L. Theórie de la Spéculation // Ann. Ecoll. Norm. Sup. — 1900. — 17. — P. 21–86 (Reprinted in: The Random Character of Stock market prices. MIT Press, 1967. — P. 17–78). Поступила 20.07.2002

Моделирование изменения цен финансовых активов

Institution

Similar Items