Пространства неопределенности и изоморфизм

Рассмотрены некоторые свойства пространств неопределенности (ПН). Показано, как с помощью ПН можно осуществлять формализацию неформальных ситуаций неопределенности различных типов (вероятностных ситуаций, бесструктурных, нечетких). Выведено понятие изоморфизма ПН, которое затем использовано для опре...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2002
Автор:	Дидук, Н.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2002
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50250
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Пространства неопределенности и изоморфизм / Н.Н. Дидук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2002. — № 4. — С. 128-143. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50250
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-502502013-10-09T03:06:04Z Пространства неопределенности и изоморфизм Дидук, Н.Н. Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Рассмотрены некоторые свойства пространств неопределенности (ПН). Показано, как с помощью ПН можно осуществлять формализацию неформальных ситуаций неопределенности различных типов (вероятностных ситуаций, бесструктурных, нечетких). Выведено понятие изоморфизма ПН, которое затем использовано для определения однородных ПН. У роботі розглянуті деякі властивості просторів невизначеності (ПН). Показано, як за допомогою ПН здійснювати формалізацію неформальних ситуацій невизначеності різних типів (імовірнісних ситуацій, безструктурних, нечітких). Одержано поняття ізоморфізму ПН, яке далі використано для визначення однорідних ПН. Some properties of uncertainty spaces (US) have been considered. A way of formalization by means of US for informal uncertainty situations (probability situations, nonstructural, fuzzy situations) has been shown. The notion of US isomorphism has been derived and applied for defining homogeneous US. 2002 Article Пространства неопределенности и изоморфизм / Н.Н. Дидук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2002. — № 4. — С. 128-143. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50250 519.7 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
spellingShingle	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Дидук, Н.Н. Пространства неопределенности и изоморфизм Системні дослідження та інформаційні технології
description	Рассмотрены некоторые свойства пространств неопределенности (ПН). Показано, как с помощью ПН можно осуществлять формализацию неформальных ситуаций неопределенности различных типов (вероятностных ситуаций, бесструктурных, нечетких). Выведено понятие изоморфизма ПН, которое затем использовано для определения однородных ПН.
format	Article
author	Дидук, Н.Н.
author_facet	Дидук, Н.Н.
author_sort	Дидук, Н.Н.
title	Пространства неопределенности и изоморфизм
title_short	Пространства неопределенности и изоморфизм
title_full	Пространства неопределенности и изоморфизм
title_fullStr	Пространства неопределенности и изоморфизм
title_full_unstemmed	Пространства неопределенности и изоморфизм
title_sort	пространства неопределенности и изоморфизм
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2002
topic_facet	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50250
citation_txt	Пространства неопределенности и изоморфизм / Н.Н. Дидук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2002. — № 4. — С. 128-143. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT diduknn prostranstvaneopredelennostiiizomorfizm
first_indexed	2025-07-04T11:50:02Z
last_indexed	2025-07-04T11:50:02Z
_version_	1836716972750929920
fulltext	© Н.Н. Дидук, 2002 128 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4 УДК 519.7 ПРОСТРАНСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И ИЗОМОРФИЗМ Н.Н. ДИДУК Рассмотрены некоторые свойства пространств неопределенности (ПН). Пока- зано, как с помощью ПН можно осуществлять формализацию неформальных ситуаций неопределенности различных типов (вероятностных ситуаций, бес- структурных, нечетких). Выведено понятие изоморфизма ПН, которое затем использовано для определения однородных ПН. Понятие пространства неопределенности было введено впервые в 1983 – 1984 гг. в двух работах автора [1, 2]. В них, а также в двух других работах [3, 4] было показано следующее: • каждому пространству неопределенности можно поставить в соот- ветствие величину, аналогичную энтропии, введенной К. Шенноном для распределений вероятностей (эта величина была названа энтропией про- странства неопределенности); • энтропия пространств неопределенности удовлетворяет теореме ко- дирования, аналогичной одной из теорем Шеннона; • существует подкласс пространств неопределенности, описывающих ситуации вероятностного типа (эти пространства названы шенноновскими); • пространства неопределенности, не являющиеся шенноновскими, могут быть использованы для описания других типов неопределенности; • на всех пространствах неопределенности, удовлетворяющих одному (довольно слабому) дополнительному условию, можно определить также понятия количества информации и меры неопределенности (последняя в общем случае отличается от энтропии, но тоже удовлетворяет аналогичной теореме кодирования). Существование математической конструкции с такими свойствами по- зволило предположить, что можно создать новый математический аппарат, который обеспечил бы возможность оперировать ситуациями неопределен- ности произвольной природы аналогично тому, как сейчас принято опери- ровать ситуациями вероятностного типа. В связи с этим сразу возникает вопрос о требованиях, которым должен удовлетворять такой аппарат. Вот каковы минимальные требования: 1) аппарат должен быть применим ко всем типам неопределенности; 2) результаты применения аппарата к ситуациям неопределенности вероятностного типа должны совпадать с аналогичными результатами применения теории вероятностей или теории информации (требование преемственности нового аппарата). ПРОСТРАНСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Так как понимание дальнейшего материала статьи невозможно без знаком- ства с понятием «пространство неопределенности», напомним здесь его оп- ределение. Пространства неопределенности и изоморфизм Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 4 129 Пусть задано дискретное (конечное или счетно-бесконечное) множест- во X . И пусть R и +R — два числовых множества, образованных из мно- жеств R и +R (всех действительных чисел и неотрицательных действительных чисел) путем добавления «бесконечного числа» +∞. Рас- смотрим множество X +R всех функций, отображающих X в +R . И пусть на множестве X +R определен функционал T , который каждой функции Xf +∈R ставит в соответствие число )( fT из множества R . Функционал T называется критерием свертывания (КС) по множест- ву X , если он является возрастающим, т. е. если для любых функций Xgf +∈R, соотношение gf ≤ влечет соотношение )()( gf TT ≤ . Множест- во всех критериев свертывания по множеству X обозначается )(XT . Про- странством неопределенности (ПН) называется всякая пара T),(X , где X — дискретное множество (носитель ПН), а T (КС пространства) принадле- жит множеству )(XT . Такое определение ПН не дает никакого ключа к тому, каким образом пространства неопределенности можно было бы использовать по назначе- нию — для описания и изучения реальных ситуаций неопределенности. Действительно, в то время как пространства неопределенности представля- ют собой формальные математические конструкции, ситуация неопределен- ности — это содержательное понятие, к тому же довольно туманное и не имеющее в настоящее время однозначного толкования. Поэтому необходи- мо отдельно предусмотреть способы устанавливать связи между содержа- тельными ситуациями и формальными пространствами. Одним из таких способов является так называемое погружение. Под погружением данного типа неопределенности понимается однозначное (но не обязательно взаим- но) соответствие между конкретными ситуациями данного типа и простран- ствами неопределенности. При построении погружений подразумевается, что все рассматривае- мые ситуации неопределенности относятся к одному и тому же (дискрет- ному) множеству возможностей X . Так что все ПН, ставящиеся в соответствие этим ситуациям, будут иметь один и тот же носитель X . По- этому фактически любое погружение представляет собой функцию, которая каждой ситуации неопределенности заданного типа (на множестве X ) ставит в соответствие некоторый КС из множества )(XT . Ситуации неоп- ределенности, являющиеся аргументами такой функции-погружения, опи- сываются на том языке, который является общепринятым или считается удобным для данного типа неопределенности. Таким образом, области оп- ределения различных погружений различны, но все погружения рассматри- ваются как отображения в множество )(XT . ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ТИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В качестве первого примера мы рассмотрим погружение вероятностного типа неопределенности. Этот пример является очень ответственным в связи со вторым нашим требованием к аппарату неопределенности. Н.Н. Дидук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4 130 Ввиду предположения, что множество X дискретно, наиболее удоб- ным способом описания одиночных ситуаций вероятностного типа обычно является указание конкретного распределения вероятностей (РВ), заданно- го на множестве X . Другими словами, для любого дискретного множества X существует взаимно однозначное соответствие между вероятностными ситуациями неопределенности на множестве X и элементами множества )(XP всех РВ на множестве X . Таким образом, для того чтобы для множе- ства возможностей X построить погружение вероятностного типа неопре- деленности, достаточно каждому распределению вероятностей )(Xq P∈ на множестве X поставить в соответствие некоторый КС по множеству X . Иначе говоря, достаточно задать отображение множества )(XP в множест- во )(XT . Покажем, как построить подходящее отображение. Пусть заданы РВ )(Xq P∈ и функция Xf +∈R . Рассмотрим сумму (которая всегда существу- ет, но может оказаться бесконечной) )()( xqf Xxdfq ∑ ∈ =∑ ⊙ )(xf , (1) где ⊙ — коммутативная ассоциативная операция, продолжающая на +R обычное умножение действительных чисел и удовлетворяющая соглашению 0 ⊙ ∞=∞ ⊙ 00 = . Каждому РВ )(Xq P∈ можно поставить в соответствие функционал )(xqf Xxdfq ∑ ∈ =∑ ⊙ )(xf ◊ X +R , (2) отображающий множество функций X +R в множество чисел R . Функцио- нал q∑ каждой функции Xf +∈R ставит в соответствие число )( fq∑ . Легко проверить, что функционал q∑ является возрастающим, т.е. представляет собой критерий свертывания по множеству X . В результате для каждого распределения )(Xq P∈ мы построили ПН ( )qX ∑, , т.е. фак- тически уже имеем погружение вероятностного типа неопределенности в пространства неопределенности. Для заданного X оно характеризуется функцией qdfPr q ∑=ϑ ◊ )(XP , (3) которая отображает множество )(XP в )(XT . Причем, как показано в [5] (предложение 1), функция Prϑ отображает )(XP в )(XT инъективно, т.е. построенное погружение оказалось взаимно однозначным. Все ПН вида ( )qX ∑, (где )(Xq P∈ ) в [3] были названы шенноновскими пространст- вами. Пространства неопределенности и изоморфизм Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 4 131 БЕССТРУКТУРНЫЙ ТИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Под ситуацией неопределенности бесструктурного типа понимается такая ситуация, когда задано только множество возможностей X и больше ниче- го. Каждая такая ситуация полностью характеризуется своим множеством возможностей X . Таким образом, при заданном множестве X погружение бесструктурного типа в множество )(XT сводится к построению некоторо- го конкретного ПН, которое будет сопоставлено бесструктурной ситуации на X . В работе [4] было принято решение бесструктурным ситуациям неоп- ределенности дать пессимистическую трактовку. Такое решение означает, что в бесструктурной ситуации предлагается действовать в расчете на са- мую неблагоприятную возможность. Пусть на множестве возможностей X задана некоторая функция Xf +∈R , отражающая какие-то убытки. Если мы хотим ориентироваться на самую неблагоприятную возможность, то функ- ции f нужно поставить в соответствие ее наибольшее значение, если оно су- ществует. А в общем случае вместо наибольшего значения нужно взять верхнюю грань области значений fVal функции f в множестве R (ко- торая существует всегда). Таким образом, мы пришли к заданию следующего функционала: fdfX =SUP )(sup xf Xx∈ ◊ X +R . (4) Легко показать, что функционал XSUP является возрастающим и что поэто- му пара ( )XX SUP, является пространством неопределенности. Это про- странство мы и ставим в соответствие бесструктурной ситуации неопределенности на множестве X . Пространства неопределенности вида ( )XX SUP, будем называть (допуская вольность речи) бесструктурными. ТИП НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ «НЕЧЕТКОЕ МНОЖЕСТВО» После того, как было построено погружение бесструктурного типа неопре- деленности, естественно сразу перейти к погружению нечетких множеств. При этом можно воспользоваться связью между обычными множествами и нечеткими, состоящей в том, что (с точки зрения теории нечеткости) первые считаются частным случаем вторых. Ввиду этой связи ситуациям неопреде- ленности, описываемым нечеткими множествами, в работе [4] тоже была дана пессимистическая трактовка. Пусть по-прежнему X — (обычное) дискретное множество. В этом разделе рассматриваются нечеткие подмножества множества X . Каждое такое нечеткое подмножество характеризуется своей функцией принадлеж- ности. Хотя сейчас известно много вариантов понятия «функция принад- лежности», мы здесь будем придерживаться самого раннего его толкования. Итак, здесь предполагается, что функция принадлежности любого не- четкого подмножества заданного множества X есть отображение множест- Н.Н. Дидук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4 132 ва X в единичный интервал [0, 1] множества +R (любая функция этого типа задает некоторое нечеткое подмножество множества X ). Множество всех таких функций принадлежности имеет вид X dfX ]1,0[)( =M . (5) Таким образом, для того чтобы построить погружение типа неопределенно- сти «нечеткое множество», достаточно каждой функции принадлежности из множества )(XM поставить в соответствие некоторый КС по множеству X . Иначе говоря, достаточно построить отображение множества )(XM в множество )(XT . Пусть задана некоторая функция принадлежности )(XM∈µ . Для ка- ждой функции Xf +∈R рассмотрим функцию )(xxf df µµ = ⊙ )(xf ◊ X . Так как имеет место Xf +∈Rµ , область значений µfVal функции µf имеет верхнюю грань в множестве R . А это значит, что можно задать следующий функционал: )(supSUP xf Xx df µµ ∈ = ⊙ )(xf ◊ X +R . (6) Легко показать, что функционал µSUP является возрастающим и, следовательно, принадлежит множеству )(XT . Так что пара ( )µSUP,X представляет собой ПН. А это значит, что фактически уже построено по- гружение типа неопределенности «нечеткое множество» в пространства не- определенности. Для заданного X оно характеризуется функцией µµϑ SUPdfFS = ◊ )(XM , (7) которая отображает множество )(XM в )(XT . Можно показать, что это погружение тоже взаимно однозначно. Все ПН вида ( )µSUP,X будем назы- вать пространствами Заде. ПОНЯТИЕ ЭНТРОПИИ ПН Пусть заданы ПН ( )T,X и некоторая функция f из множества X +R . Результат )( fT применения функционала T к функции f записывается еще так: )()( xff Xx∈ = TT . (8) Для любого распределения вероятностей )(Xp P∈ на множестве X и числа 1>a введем обозначение Пространства неопределенности и изоморфизм Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 4 133 ( ) )( 1log, xp XpH adfa Xx∈ = TT . (9) Энтропией пространства неопределенности ( )T,X по основанию a в рабо- тах [1, 2] было названо число ( ) ( )TT ,inf, )( XpHXH aXpdfa P∈ = (10) (нижняя грань берется по всем распределениям вероятностей на множестве X ). В работе [6, теорема 1] было показано, что всякое пространство неоп- ределенности обладает энтропией, т.е. нижняя грань в (10) всегда существу- ет (но это не значит, что она всегда достигается на некотором РВ )(Xp P∈ ). Такое определение понятия «энтропия» может вызвать (и вызывало!) возражение, состоящее в том, что термин энтропия уже занят (он был ис- пользован К. Шенноном) и что поэтому величину, введенную с помощью дефиниции (10), нужно назвать как-то иначе. Однако это возражение не- справедливо, так как в работах [1, 2] было показано, что наше понятие эн- тропии не противоречит шенноновскому, а является его расширением. Кроме того, именно такое определение энтропии является существенным звеном в обеспечении той преемственности нового аппарата, которая под- разумевается нашим вторым требованием. ЭНТРОПИЯ ШЕННОНОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ Ввиду важности вопроса о преемственности, здесь еще раз покажем, каким образом наше определение энтропии оказалось расширением определения Шеннона. Для того чтобы ответ на этот вопрос стал очевидным, достаточно применить дефиницию (10) к шенноновскому пространству ( )qX ∑, . Дейст- вительно, согласно (10) энтропия ( )qXH ∑, шенноновского пространства ( )qX ∑, должна иметь вид ( ) ( ) ∑ ∈∈∈ =∑=∑ XxXpqXpq xqXpHXH )(inf,inf, )()( PP ⊙ )( 1log xp . (11) Для расшифровки правой части (11) достаточно вспомнить известное неравенство ∑ ∈Xx xq )( ⊙ ∑ ∈ ≤ Xx xq xq )( )( 1log ⊙ )( 1log xp , (12) которое справедливо для любых )(, Xqp P∈ . Проиллюстрируем неравенство (12) на простом примере. Покажем на- глядно, как величина ( ) ( )qdf XpHqpH ∑= , зависит от двух РВ: )(, Xqp P∈ . Н.Н. Дидук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4 134 Пусть множество X состоит из двух элементов: }2,1{=X . Тогда каждое из РВ p и q характеризуется единственным числом: )1,( aap −= и )1,( bbq −= , где числа a и b удовлетворяют условию 1,0 ≤≤ ba . На рис. 1 показана поверхность, отражающая зависимость величины ( )qpH от p и q. Хорошо видна характерная седловидная форма. Возвращаясь к применению понятия энтропии ПН к шенноновским пространствам, из выражения (11) на основании неравенства (12) получим следующий результат: ( ) ( ) ∑ ∈ =∑=∑ Xx qq xqXqHXH )(,, ⊙ )( 1log xq , (13) — который означает, что энтропия ( )qXH ∑, шенноновского пространства ( )qX ∑, совпадает с энтропией )(qH распределения вероятностей q, вве- денной К. Шенноном. Таким образом, требуемая преемственность понятия энтропии обеспечена. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА КОДИРОВАНИЯ Теперь покажем, что упомянутая преемственность обеспечена еще в одном смысле, а именно, что энтропия ПН удовлетворяет теореме кодирования, которая в применении к шенноновским пространствам совпадает с одной из известных теорем кодирования Шеннона. Приведем здесь упрощенную формулировку основной теоремы кодирования (полный вариант этой тео- ремы опубликован в [6]). 0 0, 15 0, 3 0, 45 0, 6 0, 75 0, 9 0,1 0,4 0,7 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 b a Рис. 1. Зависимость )\|( qpH от p и q : )1,(),1,( bbqaap −=−= Пространства неопределенности и изоморфизм Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 4 135 Пусть задан некоторый (конечный) алфавит L. Множество всех (конеч- ных) слов в алфавите L обозначается L . Кодом для множества X над ал- фавитом L называется всякая функция γ, инъективно (взаимно однозначно) отображающая множество X в множество L . Множество всех кодов для множества X над алфавитом L обозначим ),( LXΓ . Если γ — код из ),( LXΓ , а x — элемент множества X , то элемент )(xγ множества *L на- зывается кодовым словом для x при коде γ. Решение типичной задачи кодирования начинается с того, что в множе- стве ),( LXΓ всех кодов выделяется некоторое подмножество допустимых кодов. Однако чаще всего на роль допустимых выбираются дешифруемые или префиксные коды [2, 6, 7] (префиксные коды являются частным случаем дешифруемых). Это объясняется тем, что те и другие обладают следующим свойством полной самостоятельности. Если с помощью любого кода из ),( LXΓ закодировать произвольную конечную последовательность элемен- тов множества X , то в результате получится последовательность букв из алфавита L. Дешифруемые коды (в отличие от всех остальных) позволяют по этой последовательности букв однозначно восстановить исходную по- следовательность элементов множества X (и для этого не требуется ника- ких дополнительных разделителей или знаков препинания). Дешифруемые коды не содержат пустых кодовых слов. Для кода ),( LXΓ∈γ и элемента Xx∈ длина кодового слова )(xγ (общее число букв) обозначается )(xγχ . Для формулировки теоремы коди- рования потребуются следующие две числовые функции: )(xxdf γγ χχ = ◊ X и 1)(1 −=− xxdf γγ χχ ◊ X . Функция γχ (калибровочная функция кода γ), очевидно, не принимает отрицательных значений. Если же код γ является дешифруемым, то и функция 1−γχ тоже не принимает отрицательных зна- чений. Так что в этом случае, если задано некоторое ПН ( )T,X , то обе функции γχ и 1−γχ относятся к области определения критерия T . Теперь до формулировки теоремы кодирования осталось напомнить еще одно поня- тие. ПН ( )T,X называется собственным по основанию 1>a [3, 6], если в выражении (10) нижняя грань достигается на некотором распределении p из )(XP . Теорема 1. Пусть заданы ПН ( )T,X и алфавит L. Тогда: 1) для каждого дешифруемого кода ),( LXΓ∈γ имеет место неравенство ( )TT( ,) \|\| XH L≥γχ (14) (где ( )T,\|\| XH L — энтропия пространства ( )T,X по основанию ⎪L⎪, а ⎪L⎪ — мощность алфавита L ); 2) если пространство ( )T,X является собственным (по основанию ⎪L⎪), то существует префиксный код ),( LXΓ∈γ , удовлетворяющий неравенству ( )TT( ,)1 \|\| XH L≤−γχ . ■ (15) Н.Н. Дидук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4 136 ЭНТРОПИЯ ПРОСТРАНСТВ ЗАДЕ Теорема 1 показывает, что энтропия ПН — серьезное понятие. Поэтому ин- тересно рассмотреть, как вычисляется энтропия для нашего третьего приме- ра формализованных типов неопределенности — для пространств Заде. Пусть задана функция принадлежности )(XM∈µ некоторого нечет- кого подмножества множества X . Применив к пространству Заде ( )µSUP,X общее определение энтропии, получим ( ) )(supinfSUP, )( xXH XxXp µµ ∈∈ = P ⊙ )( 1 log xp . (16) Это выражение не годится для непосредственного вычисления энтро- пии, поэтому придется специально искать способ ее вычисления. Рассмот- рим следующее равенство: 1)( 1 = − ∈ ∑ x Xx y µ . (17) Если множество X конечно (а функция µ принимает хотя бы одно ненуле- вое значение), то равенство (17) (рассматриваемое как уравнение) имеет единственное решение по букве y. Если же множество X бесконечно, то существование решения будет зависеть от вида функции µ . Например, если функция µ постоянна и принимает значения 1 во всех точках X , то (при бесконечном X ) решение не существует. Энтропия пространства Заде вида ( )µSUP,X будет конечной тогда и только тогда, когда решение уравнения (17) существует (в этом случае оно единственно). Это решение (если оно существует) будем обозначать µd (в этом случае выполняются условия ∞<≤ µd1 ). Подставив решение µd в (17), получим равенство 1)( 1 = − ∈ ∑ x Xx d µ µ , (18) из которого следует, что функция )( 1 x df dxp µ µµ − = ◊ X (19) представляет собой распределение вероятностей на множестве X . Можно показать, что нижняя грань в выражении (17) достигается на распределении µp , т.е. что ( ) ( ) )(supSUP,SUP, xXpHXH Xx µµµµ ∈ == ⊙ µ µ d xp log )( 1log = , (20) причем µp — единственное РВ, на котором достигается эта нижняя грань [4]. Пространства неопределенности и изоморфизм Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 4 137 Таким образом, очевидно, что способы вычисления энтропии для про- странств Заде и пространств Шеннона совершенно непохожи. В связи с этим было бы интересно как-то сравнить поведение энтропии тех и других про- странств. ВОЗМОЖНО ЛИ СРАВНЕНИЕ? Вопрос фактически сводится к тому, можно ли найти для пространств Шен- нона и Заде некий общий масштаб, в котором сравнение их энтропии ока- залось бы осмысленным. Здесь понадобится одно новое понятие. Пусть задано ПН ( )T,X и некоторая постоянная функция rx ◊ X , где +∈Rr . Введем обозначение ( rxrr Xxdf TT T == ∈ ◊ )X . (21) Будем говорить, что КС T сохраняет число +∈Rr , если имеет место ра- венство rr =T . ПН ( )T,X будем называть равномерным, если КС T со- храняет все числа из +R . Легко заметить, что все шенноновские ПН являются равномерными. Но нельзя то же самое сказать о пространствах Заде: для того чтобы ПН ( )µSUP,X было равномерным, необходимо и достаточно, чтобы функция принадлежности µ хотя бы в одной точке принимала значение 1. Если мы хотим энтропию шенноновского пространства ( )qX ∑, сравнить с энтропи- ей некоторого пространства Заде, то, вероятно, нужно взять для этого рав- номерное пространство Заде. Существует очень простое преобразование, которое каждому РВ )(Xq P∈ на множестве X ставит в соответствие та- кую функцию принадлежности qβµ = нечеткого подмножества множества X , что соответствующее пространство Заде ( ) q X βSUP, равномерно: qxqxdfq )(=β ◊ X , (22) где q — максимальное значение функции q (оно всегда существует). Таким образом, мы будем сравнивать энтропию двух ПН ( )qX ∑, и ( ) q X βSUP, . Предложение 1. Пусть заданы: действительное число 1>a и РВ )(Xq P∈ . Тогда имеет место неравенство ( ) ( )qaa XHXH q ∑≤ ,SUP, β . ■ (23) Доказательство этого предложения опубликовано в [8, часть II, теоре- ма 3]. А здесь мы проиллюстрируем неравенство (23) на простом примере. Пусть снова множество X состоит из двух элементов: }2,1{=X . Тогда РВ q характеризуется единственным числом b: )1,( bbq −= . Соответствующая же Н.Н. Дидук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4 138 ему функция принадлежности qβµ = (22) тоже характеризуется единствен- ным числом: ),1( m=µ . Причем, число m, ввиду дефиниции (22), определя- ется из условия }1,{ }1,{ max min bb bbm − − = . На рис. 2 показаны три кривые, отражающие зависимость от b следую- щих величин: 1) энтропии ( )qXHShH ∑= ,)( шенноновского пространства ( )qX ∑, ; 2) числа m; 3) энтропии ( )µSUP,)( XHZH = пространства Заде ( )µSUP,X (где ),1( m=µ ). ПРОСТРАНСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ КАК РОД МАТЕМАТИЧЕСКИХ СТРУКТУР Следующая (и последняя) тема настоящей статьи — понятие изоморфизма пространств неопределенности (это понятие является основой дальнейшего развития математического аппарата). При рассмотрении этой темы нам при- дется опереться на теорию математических структур Н. Бурбаки [9] (гл. IV), так как Бурбаки впервые предложил самое общее определение по- нятие изоморфизма, применимое ко всем математическим теориям. Фактически задача сводится к тому, чтобы просто применить теорию структур. Однако ввиду очень специфического характера изложения этой теории, мы даем перевод необходимых здесь понятий теории структур на доступный язык и объясняем все свои действия. Согласно теории структур понятие изоморфизма может быть выведено, если задан конкретный род математических структур (РМС). Таким образом, наша первая задача состоит в построении РМС, соответствующего понятию «пространство не- определенности». В пространствах неопределенности вида ( )S,X матема- тической структурой, заданной на множестве X , является критерий 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 b H(Sh) m H(Z) Рис. 2. Сравнение энтропии )(ShH ПН Шеннона для РВ )1,( bbq −= с энтропией )(ZH пространства Заде для функции принадлежности ),1( m=µ Пространства неопределенности и изоморфизм Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 4 139 свертывания S. Поэтому интересующий нас род структур был назван родом «критерии свертывания» или более кратко — родом КС. Согласно [9, гл. IV, § 1, п. 4 и Сводка результатов, § 8] для построения произвольного рода математических структур необходимо задать два объек- та: универсум данного рода и его родовой признак (отметим, что терминов универсум и родовой признак у Бурбаки нет, но они удобны для более дос- тупного, чем у Бурбаки, изложения теории структур). Универсум — это множество, содержащее все математические структуры данного рода (а также и некоторые структуры, не принадлежащие этому роду). Назначение родового признака состоит в том, чтобы отличать структуры данного рода от остальных структур, принадлежащих тому же универсуму. Построение универсума опирается на понятие шкалы множеств, кото- рая по терминологии Х. Карри [10, гл. 2, п. А.5] представляет собой пример индуктивного класса, порождаемого из фиксированного набора заранее за- данных объектов, называемого базисом, по некоторым фиксированным пра- вилам порождения. Базис каждой шкалы множеств представляет собой набор из одного или нескольких множеств. Правил же порождения при по- строении шкалы множеств всегда два: 1) образование булеана (множества всех подмножеств) от одного из ранее построенных множеств и 2) образование произведения одного из ранее построенных множеств на дру- гое (в частном случае оба сомножителя могут совпадать). Любое множество, принадлежащее данной шкале множеств (т.е. построенное по указанным правилам) называется ступенью этой шкалы. Множества, составляющие базис каждой шкалы множеств, должны быть разделены на две группы: основные множества и вспомогательные. При этом хотя бы одно из множеств базиса должно быть названо основным, в то время как вспомогательных множеств может не быть вообще. Здесь сразу сделаем одно допущение, которое приведет к отказу от максимальной степени общности в объяснении основных понятий теории структур: будем рассматривать только такие случаи, когда базис шкалы множеств содержит одно основное множество (и любое количество вспомогательных мно- жеств). Универсум строящегося рода структур при основном базисном множе- стве X будем обозначать E┊ X ┊, где ┊┊ — специальные скобки для под- становок, которыми Бурбаки широко пользуется в [9] (объяснения даются в гл. I, § 1, п. 1). Использование таких скобок позволяет легко перейти к ана- логичной шкале множеств, которая отличается от исходной только основ- ным базисным множеством (все вспомогательные базисные множества остаются теми же). Для рода КС шкала множеств строится на базисе, состоящем из трех множеств: основное множество X и два вспомогательных множества R и +R . Найдем универсум для рода КС. Если задано ПН ( )S,X , то функционал S отображает множество X +R в множество R . Следовательно, выполняется соотношение F∈S ┊ X ┊ ( )X df += RR . (24) Н.Н. Дидук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4 140 Легко понять, что множество F ┊ X ┊ не является ступенью никакой шкалы множеств. Но в нашей шкале множеств (с базисом { }+RR,,X ) суще- ствует единственная ступень E┊ X ┊, такая, что выполнится включение F ┊ X ┊ E⊂ ┊ X ┊. Эта ступень E┊ X ┊ и будет нашим универсумом. Легко показать, что универсум для рода КС имеет вид E┊ X ┊ ( )RR ××= + )(XBB , (25) где )(ZB — булеан (множество всех подмножеств) множества Z. Для завершения формального построения рода КС осталось задать ро- довой признак, который выражается в виде аксиомы данного рода структур [9, гл. IV, § 1, п. 4]. Аксиома обычно представляет собой конъюнкцию не- скольких требований, предъявляемых к основному множеству X и к родо- вой структуре S. (К самой аксиоме тоже предъявляется некое требование: она должна быть переносимым соотношением, но этот вопрос мы здесь за- трагивать не будем.) Фактически все требования, составляющие аксиому рода КС, содержатся в определении понятия «пространство неопределенно- сти». Они таковы: 1) множество X дискретно; 2) структура S является функционалом, отображающим X +R в R ; 3) функционал S является возрас- тающим, т.е. для любых двух функций Xgf +∈R, соотношение gf ≤ вле- чет соотношение )()( gf SS ≤ . ИЗОМОРФИЗМ ПРОСТРАНСТВ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Теперь, когда род структур КС построен, наша задача состоит в том, чтобы вывести понятие изоморфизма, соответствующее роду КС. Для этого ис- пользуется аппарат распространения функций. Если на основном базисном множестве X задана некоторая функция ϕ, то ее можно распространить на любую ступень шкалы множеств, в том числе и на универсум данного рода структур (при этом подразумевается, что на каждом из вспомогательных базисных множеств тоже задано по одной функции: это тождественное ото- бражение данного множества на себя). Для распространения функций ис- пользуются следующие два правила. 1. Пусть на некотором множестве U задана функция f . Способ рас- пространения этой функции на булеан )(UB характеризуется следующим выражением: { }WuufWf df ∈= :)( ◊ )(UB , (26) где f — функция, определенная уже на булеане )(UB [9, гл. II, § 5, п. 1]. 2. Пусть теперь, кроме того, на некотором множестве V определена функция g. Тогда из функций f и g получаем следующую функцию, опреде- ленную на произведении VU × : Пространства неопределенности и изоморфизм Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 4 141 ( ))(),(),(, vgufvugf df = ◊ VU × (27) (значением ),(, vugf функции gf , является пара ( ))(),( vguf , там же, § 3, п. 9). Применяя эти два правила по мере надобности, можно распространить любую функцию, заданную на основном базисном множестве (совместно с тождественными отображениями вспомогательных множеств), на любую ступень шкалы. Результат распространения определенной на X функции ϕ на универсум E┊ X ┊ обозначается ϕ . Если обозначить тождественные ото- бражения вспомогательных множеств R и +R на себя соответственно че- рез i и +i , то из соотношения (25) можно получить следующую схему построения функции ϕ для рода КС: 〉〉〈〈= + ii ,,ϕϕ . Ниже приводится формулировка теоремы, касающейся распростране- ния функций на универсум. Затем мы даем определение изоморфизма для ПН, которое является частным случаем общего определения изоморфизма Н. Бурбаки. И дальше приводятся еще одна теорема и ее следствие (послед- нее содержит необходимые и достаточные условия изоморфизма ПН). Теорема 2. Пусть X и Y — равномощные множества и ϕ — биекция X на Y. Тогда функция ϕ является биекцией универсума E┊ X ┊ на уни- версум E┊Y┊. ■ Определение 1. Пусть ( )S,X и ( )T,Y — два ПН, причем множества X и Y равномощны. Биекция ϕ множества X на множество Y называется изо- морфизмом пространства ( )S,X на пространство ( )T,Y , если TS =)(ϕ . Пространства ( )S,X и ( )T,Y называются изоморфными, если существует изоморфизм одного из них на другое. ■ Теорема 3. Пусть ( )S,X и ( )T,Y — два ПН, причем множества X и Y равномощны. И пусть ϕ — биекция X на Y. Тогда: 1) применение функции ϕ к критерию S дает КС из )(YT вида )()( ϕϕ gg SS = ◊ Y +R ; (28) 2) применение обратной функции 1−ϕ к критерию T дает КС из )(XT вида )()( 11 −− = ϕϕ ff TT ◊ X +R . ■ (29) Следствие 1. Пусть ( )S,X и ( )T,Y — два ПН с равномощными носите- лями X и Y. Для того, чтобы биекция ϕ множества X на множество Y была изоморфизмом ПН ( )S,X на ПН ( )T,Y , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих условий: Н.Н. Дидук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2002, 4 142 1) для любой функции Yg +∈R имеет место (g))( TS =ϕg ; (30) 2) для любой функции Xf +∈R имеет место )()( 1−= ϕff TS . ■ (31) Из следствия 1 ясно, что, например, шенноновское пространство может быть изоморфно только другому шенноновскому пространству (но не может быть изоморфно пространству Заде). Пусть заданы два дискретных равно- мощных множества X и Y и два РВ )(Xp P∈ и )(Yq P∈ . Это значит, что мы получили два шенноновских пространства ( )pX ∑, и ( )qY ∑, . И пусть ϕ — биекция X на Y. Ввиду следствия 1, функция ϕ тогда и только тогда яв- ляется изоморфизмом ( )pX ∑, на ( )qY ∑, , когда для каждой функции Xf +∈R имеет место ∑ ∈Xx xp )( ⊙ )()( yqxf Yy ∑ ∈ = ⊙ ))(( 1 yf −ϕ . (32) Можно показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы распреде- ление q имело следующий вид: ))(( 1 ypyq −= ϕ ◊Y . (33) ПОНЯТИЕ ОДНОРОДНОГО ПН Определенный самостоятельный интерес представляют такие ПН, все точки которых “равноправны”. Такие пространства естественно было бы назвать однородными. Для пространств Шеннона или Заде более или менее понятно, что значит “равноправие” точек. Например, для ПН Заде ( )µSUP,X это должно означать, что функция принадлежности µ должна принимать одно и то же значение во всех точках множества X . Но в общем случае для опре- деления однородных ПН нужно привлечь понятие автоморфизма (частный случай изоморфизма). Биекция ϕ множества X на себя называется авто- морфизмом пространства ( )S,X , если она есть изоморфизм пространства ( )S,X на себя. Определение 2. ПН ( )S,X будем называть однородным, если каждая биекция ϕ множества X на себя является автоморфизмом пространства ( )S,X . ■ Пусть X — конечное множество. Тогда шенноновское пространство ( )pX ∑, будет однородным, если p — равномерное РВ. Пространство Заде ( )µSUP,X будет однородным и притом равномерным, если функция µ во Пространства неопределенности и изоморфизм Системні дослідження та інформаційні технології, 2002, 4 143 всех точках множества X принимает значение 1, т.е. если оно совпадает с бесструктурным пространством ( )XX SUP, . Заметим, что энтропия обоих пространств равна ( ) ( ) XXHXH XX logSUP,, eq ==∑ , (34) где Xeq — равномерное РВ на X . Заметим также, что многие другие (но не все) однородные равномерные ПН будут иметь такую же энтропию. Однако свойства этих пространств (в частности, реакция на различные преобразова- ния) могут сильно различаться. ЛИТЕРАТУРА 1. Дидук Н.Н. Энтропия дискретных пространств неопределенности // Докл. АН УССР. Сер. А. — 1983. — № 1. — С. 63–65. 2. Дидук Н.Н. Пространства неопределенности. Энтропия и теорема кодирования // Кибернетика. — 1984. — № 2. — С. 69–73. 3. Дидук Н.Н. Информационные пространства. Понятия собственной информации и неопределенности // Там же. — 1986. — № 4. — С. 74–80. 4. Дидук Н.Н. Нечеткость с точки зрения теории информации // Там же. — 1987. — № 2. — С. 80–86. 5. Дидук Н.Н. Примеры вероятностной семантики основной теоремы кодирования для пространств неопределенности // Кибернетика и системный анализ. — 1994. — № 4. — С. 129–140. 6. Дидук Н.Н. Свойства дискретных пространств неопределенности. Уточнение основной теоремы кодирования // Там же. — 1994. — № 1. — С. 14–24. 7. Дидук Н.Н. Экономное префиксное кодирование пространств неопределен- ности // Там же. — 1994. — № 5. — С. 168–178. 8. Дидук Н.Н. Теоретико-информационное сравнение нечеткости с вероятностной неопределенностью. I, II // Кибернетика. — 1988. — № 1. — С. 84–90; — № 2. — С. 78–83. 9. Бурбаки Н. Теория множеств. — М.: Мир, 1965. — 456 с. 10. Карри Х. Основания математической логики. — М.: Мир, 1969. — 568 с. Поступила 18.07.2002

Пространства неопределенности и изоморфизм

Репозитарії

Схожі ресурси