Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходной период
Рассматривается построение моделей процессов инфляции и трансформирования отношений собственности. На основании разработанных моделей поставлены задачи оптимального управления данными процессами, для решения которых применяется метод динамического моделирования. Получены аналитические выражения для...
Збережено в:
| Дата: | 2003 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2003
|
| Назва видання: | Системні дослідження та інформаційні технології |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50261 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходной период / Н.Г. Гоголадзе // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 1. — С. 82-96. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-50261 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-502612013-10-09T03:06:47Z Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходной период Гоголадзе, Н.Г. Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Рассматривается построение моделей процессов инфляции и трансформирования отношений собственности. На основании разработанных моделей поставлены задачи оптимального управления данными процессами, для решения которых применяется метод динамического моделирования. Получены аналитические выражения для оптимальных управляющих воздействий и оптимальные траектории реализации процессов инфляции и трансформирования отношений собственности. У статті розглядається побудова моделей процесів інфляції і трансформування власності. На підставі розроблених моделей поставлені задачі оптимального керування даними процесами, для рішення яких застосовується метод динамічного моделювання. Отримані аналітичні співвідношення для оптимальних керуючих впливів і оптимальні траєкторії реалізації процесів інфляції і трансформування власності. The paper is devoted to construction of mathematical models for inflation and transforming the property form or privatization. The models constructed are used for the optimal control problem statement aiming to compute optimal trajectories for the processes implementation. To solve the optimal control problem dynamic programming method is applied. As a result of the problem solving analytical expressions were derived for optimal inputs, and respective optimal trajectories were computed for various initial conditions. 2003 Article Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходной период / Н.Г. Гоголадзе // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 1. — С. 82-96. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50261 519.86 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| spellingShingle |
Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах Гоголадзе, Н.Г. Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходной период Системні дослідження та інформаційні технології |
| description |
Рассматривается построение моделей процессов инфляции и трансформирования отношений собственности. На основании разработанных моделей поставлены задачи оптимального управления данными процессами, для решения которых применяется метод динамического моделирования. Получены аналитические выражения для оптимальных управляющих воздействий и оптимальные траектории реализации процессов инфляции и трансформирования отношений собственности. |
| format |
Article |
| author |
Гоголадзе, Н.Г. |
| author_facet |
Гоголадзе, Н.Г. |
| author_sort |
Гоголадзе, Н.Г. |
| title |
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходной период |
| title_short |
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходной период |
| title_full |
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходной период |
| title_fullStr |
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходной период |
| title_full_unstemmed |
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходной период |
| title_sort |
анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходной период |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| publishDate |
2003 |
| topic_facet |
Проблеми прийняття рішень і управління в економічних, технічних, екологічних і соціальних системах |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50261 |
| citation_txt |
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходной период / Н.Г. Гоголадзе // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 1. — С. 82-96. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT gogoladzeng analizimodelirovaniemakroékonomičeskihprocessovvperehodnojperiod |
| first_indexed |
2025-07-04T11:50:35Z |
| last_indexed |
2025-07-04T11:50:35Z |
| _version_ |
1836717006950236160 |
| fulltext |
© Н.Г. Гоголадзе, 2003
82 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1
УДК 519.86
АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ В ПЕРЕХОДНЫЙ ПЕРИОД
Н.Г. ГОГОЛАДЗЕ
Рассматривается построение моделей процессов инфляции и трансформирова-
ния отношений собственности. На основании разработанных моделей постав-
лены задачи оптимального управления данными процессами, для решения
которых применяется метод динамического моделирования. Получены анали-
тические выражения для оптимальных управляющих воздействий и оптималь-
ные траектории реализации процессов инфляции и трансформирования
отношений собственности.
ВВЕДЕНИЕ
Для повышения качества управления макроэкономическими процессами
необходимы современные методы системного анализа, моделирования,
идентификации и управления. Это особенно актуально в управлении эконо-
мическими процессами переходного периода, когда наблюдается высокая
динамика процессов в условиях их структурной и статистической неопреде-
ленности. В настоящее время практически отсутствуют модели и методы
управления экономическими процессами переходного периода. Работа по-
священа решению именно таких задач. В частности, здесь рассматривается
моделирование и управление двумя процессами — инфляции и трансфор-
мирования отношений собственности.
1. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ИНФЛЯЦИИ
Одним из самых значимых процессов экономики переходного периода явля-
ется процесс инфляции, требующий опыта и высокой квалификации для
управления им в реальном времени. Отметим, что он имеет достаточно сло-
жный характер, поэтому для управления этим процессом необходимы сов-
ременные методы оптимального управления.
Для моделирования процесса инфляции используются два макроэконо-
мических показателя: индекс потребительских цен (CPI) и объем выпуска
денежной массы (M2). Статистические данные этих макроэкономических
показателей Украины за 1996–2002 гг. показаны на рис.1 в виде темпов при-
роста к предыдущему месяцу.
Задача оценивания и анализа регрессионных моделей решается с по-
мощью пакета прикладных программ (ППП) E-views. В результате проведе-
ния анализа регрессионных моделей для управления выбрана модель,
адекватность которой подтверждается статистическими параметрами, при-
веденными в таблице.
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходный период
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 83
Результаты оценивания модели
LS//Dependent Variable: CPI
Sample(adjusted): 1996:03 2002:07
Included observations: 77 after adjusting endpoints
Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 0,352449 1,75E-16 2,02E+15 0,0000
CPI (-1) 0,593322 8,12E-17 7,31E+15 0,0000
CPI (-2) -0,152346 7,21E-17 2,11E+15 0,0000
M2 (-1) 0,101330 3,84E-17 2,64E+15 0,0000
E 1,000000 8,38E-17 1,19E+16 0,0000
1,000000 1,168831
1,000000 1,531963
9,28E-16 6,20E-29
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Durbin-Watson stat 1,985029
Mean dependent var
S.D. dependent var
Sum squared resid
Предложенная модель представляет собой стохастическую авторегрес-
сионую модель 2-го порядка и имеет вид
( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkukpakpaakp εβγ 11210 121 +−+−+−+′= , (1)
где ( )kp — индекс потребительских цен в момент k ; ( ) ( ) mkmku −= —
приращение денежной массы, которым можно воспользоваться как управ-
ляющим воздействием; ( )km — объем выпуска денежной массы; m —
среднее значение выпуска денежной массы; maa 100 γ+=′ , 0a , 1a , 2a ,
11, βγ — коэффициенты, которые определяются на основании статистиче-
ских данных для индекса цен ( )kp ; ( )kε — случайная компонента с нуле-
вым средним, обусловленная неучтенными регрессорами и возмущениями.
Возмущениями в данном случае являются случайные воздействия на цены в
-5
0
5
10
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
Рис. 1. Темпы прироста денежной массы и инфляции в Украине, 1996–2002 гг.:
1 — темпы прироста денежной массы;
2 — темпы прироста индекса потребительских цен
1
2
Н.Г. Гоголадзе
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 84
виде нерегулярных потоков импорта, утечки капитала, нестабильности за-
конодательства.
Уравнение (1) можно также представить в виде
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2112 11021 ++++′=−+−+ kkuakpakpakp εβγ . (2)
Чтобы исследовать асимптотику поведения процесса, найдем решение
полученного уравнения. Однородное решение ( )kpH находится из решения
соответствующего однородного уравнения (2) и имеет вид
( ) kk
H rCrCkp 2211 += ,
где 21,CC — константы;
2
4 2
2
11
1
aaa
r
++
= ;
2
4 2
2
11
2
aaa
r
+−
= .
Для нахождения частного решения уравнения (1) воспользуемся мето-
дом вариации параметров [1], известным в литературе так же, как и метод
Лагранжа вариации постоянных. Частное решение ищем в виде
( ) ( ) ( ) kk
p rkrkkp 2211 µµ += . (3)
Для нахождения ( )k1µ и ( )k2µ требуются два условия. Одно из них
состоит в том, что соотношение (3) должно удовлетворять уравнению (2).
Второе условие выбирается произвольно так, чтобы
( ) ( ) 02
1
21
1
1 =∆+∆ ++ krkr kk µµ , (4)
где
( ) ( ) ( )kkk iii µµµ −+=∆ 1 .
Подставляя уравнение (3) в (2), получаем
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]−+∆++∆+∆+∆ ++++ 11 2
2
21
2
12
2
21
2
1 krkrkrkr kkkk µµµµ
( ) ( )[ ] ( )[ ]+−−+∆+∆− ++++ kkkkk rararkkrkra 12
1
11
2
112
1
21
1
11 µµµ
( )[ ] ( ) ( )21 11022
1
21
2
22 ++++′=−−+ ++ kkuararark kkk εβγµ .
Учитывая соотношение (4) и что kk rr 21, являются решениями соответ-
ствующего однородного уравнения, имеем
( ) ( ) ( ) ( )21 1102
2
21
2
1 ++++′=∆+∆ ++ kkuakrkr kk εβγµµ . (5)
Решая уравнения (4) и (5), получаем
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходный период
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 85
( ) ( ) ( )
[ ] 1
112
110
1
21
+−
++++′
−=∆ krrr
kkua
k
εβγ
µ ,
( ) ( ) ( )
[ ] 1
212
110
2
21
+−
++++′
=∆ krrr
kkua
k
εβγ
µ ,
откуда
( ) ( ) ( )∑
=
+++′
−
−=
k
n
nr
nnua
rr
k
1 1
110
12
1
11 εβγ
µ ,
( ) ( ) ( )∑
=
+++′
−
=
k
n
nr
nnua
rr
k
1 2
110
12
2
11 εβγ
µ .
Таким образом, частное решение уравнения (2) имеет вид
( ) [ ] ( )+−−
−
+
−−
′
= ∑
−
=
nkurr
rraa
a
kp
k
n
nn
p
1
2
12
12
1
21
0
1
γ
[ ] ( )1
1
2
12
12
1 +−−
−
+ ∑
−
=
nkrr
rr
k
n
nn ε
β
.
Следовательно, общее решение принимает вид
( ) [ ] ( ) +−−
−
+
−−
′
++= ∑
−
=
nkurr
rraa
a
rCrCkp
k
n
nnkk
1
2
12
12
1
21
0
2211 1
γ
[ ] ( )1
1
2
12
12
1 +−−
−
+ ∑
−
=
nkrr
rr
k
n
nn ε
β
,
где 21,CC – константы, которые определяются из начальных условий.
Используя начальные условия ( ) ( )1,0 pp , получаем значения неизвест-
ных констант.
( ) ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
′
−
−
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
′
−
−
=
21
0
1221
0
12
2
1 1
11
1
0
aa
ap
rraa
ap
rr
rC ,
( ) ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
′
−
−
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
′
−
−
=
21
0
12
1
21
0
12
2 1
0
1
11
aa
a
p
rr
r
aa
a
p
rr
C .
Следовательно, общее решение уравнения (2) принимает вид
( ) [ ] ( )+−−
−
+
−−
′
= ∑
−
=
nkurr
rraa
a
kp
k
n
nn
1
1
12
12
1
21
0
1
γ
[ ] ( ) ++−−
−
+ ∑
−
=
1
1
1
12
12
1 nkrr
rr
k
n
nn ε
β
Н.Г. Гоголадзе
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 86
[ ] ( ) ( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
′
−
−
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
′
−
−
−
+
−−
21
0
12
12
21
0
12
1
1
1
221
1
1
1
0
aa
ap
rr
rr
aa
ap
rr
rrrr kkkk
.
Отметим, что полученное в таком виде решение удобно использовать
для прогнозирования процесса инфляции.
1.1. Представление модели инфляции в пространстве состояний.
Модель (1) может быть представлена в пространстве состояний следующим
образом:
( ) ( ) ( ) ( )11 ++++=+ kkkk GwaΨuΦxx , (6)
( ) ( ) ( )kkk vΗxz += , (7)
где ( )kx — 2-мерный вектор состояния; Φ — матрица динамики размерно-
сти [ ]22× ; ( )ku — одномерный вектор управления; Ψ — матрица коэффи-
циентов управления размерности [ ]12× ; a — матрица размерности [ ]12× ;
( )kz — одномерный вектор измерений; Η — матрица коэффициентов из-
мерений размерности [ ]21× ; G — матрица возмущений состояний размер-
ности [ ]12× ; fkkkk ,...,1, 00 += — дискретное время; ( ) ( )kk vw , —
некоррелированные гауссовские белые последовательности с нулевыми
средними и такими ковариациями:
{ }
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
jk
jk
jkE T
,0
,
)()(
Q
ww , { }
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
jk
jk
jkE T
,0
,
)()(
R
vv ,
{ } jkjkE T ,,0)()( ∀=vw ,
где {}⋅E — символ математического ожидания; ( )kTw — означает опера-
цию транспонирования вектора или матрицы; RQ, — ковариационные
матрицы соответственно возмущений состояния и шумов измерений раз-
мерности [ ]22× и [ ]11× .
Кроме того, начальное состояние ( )0x предполагается гауссовским
случайным вектором со следующими статистическими характеристиками:
( ){ } ( )00 xx =E , ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } 00000 Pxxxx =−− TE , (8)
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 000 == kEkE TT vxwx .
В модели (6), (7)
( ) ( )
( )⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
1kp
kp
kx , ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ′
=
0
0a
a , ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
01
21 aa
Φ , ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0
1γΨ , ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
0
1βG ,
( ) ( )[ ]11 +=+ kk εw , ( ) ( )[ ]11 +=+ kuku , [ ]01=Η .
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходный период
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 87
Отметим, что система полностью управляема и наблюдаема, т.е.
[ ] 2rank =ΦΨΨ , [ ] 2rank =TTT ΗΦΗ .
Предложенная модель (6), (7) используется далее для постановки и ре-
шения задачи оптимального управления процессом инфляции.
1.2. Постановка и решение задачи оптимального управления про-
цессом инфляции заключается в следующем: для системы (6), (7) с началь-
ными условиями (8) найти оптимальный закон управления ( )ku , который
минимизирует критерий качества.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] min
1
11
0
→
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
++= ∑
−
=
fk
kk
TT
ff
T kkkkkkEJ uRuxQxxSx ,
где S и 1Q — симметричные неотрицательно определенные матрицы, а
1R — симметричная положительно определенная матрица.
Отметим, что задача оптимального управления процессом инфляции
относится к классу линейно квадратичных гауссовских задач. Для ее реше-
ния используется теорема деления, согласно которой задача оптимального
управления стохастическим объектом делится на две задачи: оптимальное
оценивание состояния и оптимальное управление [2–5].
Сначала приведем уравнения дискретного фильтра Калмана для систе-
мы (6),(7), который обеспечивает оптимальную несмещенную оценку векто-
ра состояния с минимальной дисперсией при заданных измерениях.
( ) ( ) ( ) aΨuxΦx +−+−−=− 111ˆ1ˆ kkkkk ,
( ) ( ) ( )kkkkk Kνxx +−= 1ˆˆ ,
[ ] 1−
+= RHPHPHK TT ,
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } TTTkkkkkkEkk GQGΦΦPxxxxPP +=−−−−=−= *1ˆ1ˆ1 ,
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } [ ] [ ] TTTkkkkkkEkk KRKKHIPKHIxxxxPP +−−=−−== ˆˆ* ,
( ) ( ) ( )1ˆ −−= kkkk xHzν ,
где I — единичная матрица соответствующей размерности; ( )1ˆ −kkx —
оценка вектора состояния ( )kx , основанная на измерениях ),1( −kz
( ) ( )0,...,2 zz −k ; ( )kkx̂ — оценка ( )kx , основанная на измерениях ),(kz
( ) ( )0,...,1 zz −k ; K — оптимальная весовая матрица или коэффициент уси-
ления фильтра; P — априорная ковариационная матрица ошибки оценки
Н.Г. Гоголадзе
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 88
( )1ˆ −kkx ; *P — апостериорная ковариационная матрица ошибки оценки
( )kkx̂ ; ( )kν — невязка фильтра.
Предположим, что начальными условиями для фильтра являются сле-
дующие: ( ) 000ˆ xx = и ( ) 000 PP = .
Задачу оптимального управления процессом инфляции будем решать
методом динамического программирования. Введем функцию [6, 7], которая
представляет собой минимальное значение условного математического
ожидания стоимости решений, принимаемых между некоторыми текущими
значениями k и фиксированным конечным моментом fk , при заданной по-
следовательности результатов измерений ( ) ( ) ( )[ ]0,...,11 zzZ −=− kk .
( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ){ +=−
−
ff
T
kk
k kkEk
f
SxxZΓ
uu 1
minmin1~ …
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )}1
1
11 −++ ∑
−
=
ktttt
fk
kt
TT ZuRuxQx . (9)
Поскольку значения векторов ( )kx и ( )ku не зависят от будущих зна-
чений векторов ( ) ( )1,...,1 −+ fkk uu , выражение (9) принимает вид
( )[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }[ +−+=− 1min1~
11 kkkkkEk TT
k
k ZuRuxQxZΓ
u
( )[ ] ( ){ }]kkE k ZZΓ 1
~
++ . (10)
Отметим, что среднее значение { }MxxTE можно представить как
{ } [ ][ ]{ }[ ]TTT EtrE xxxxMxMxMxx −−+= , (11)
где x — среднее значение x . Тогда при fkk = из выражения (9) получаем
следующее граничное условие:
( )[ ] ( ) ( ) ( ){ }=−=− 11~
fff
T
fk kkkEk
f
ZSxxZΓ
( ) ( ) ( )[ ]11ˆ1ˆ −+−−= ffffff
T kktrkkkk SPxSx .
Кроме того, для каждого fkk ,...,1,0= существуют матрицы ( )kM , ска-
лярное число ( )km и функция kΓ , зависящая от ( )1ˆ −kkx , такие, что
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )kmkkkkkkkk T
kk +−−=−=− 1ˆ1ˆ1ˆ1~ xMxxΓZΓ . (12)
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходный период
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 89
Из соотношений (9) и (12) следует, что ( ) ( )[ ]1−= fff kktrkm SP и
( ) SM =fk .
Соотношение (11) для 1+= kk имеет вид
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )11ˆ11ˆ1ˆ~
11 +++++=+= ++ kmkkkkkkkk T
kk xMxxΓZΓ . (13)
Оценка экстраполяции ( )kk 1ˆ +x удовлетворяет уравнению фильтрации
типа Калмана.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkkkkkk νKaΨuxΦx +++−=+ 1ˆ1ˆ ,
где
[ ] 1−
+== RHPHΦPHΦKK TT .
Учитывая, что
( ){ } 0=kE ν , ( ) ( ){ } 0=− ikkE Tνν ,
( ) ( ){ } RHPHνν += TT kkE , ik,∀ ,
получаем выражения
( ) ( ){ } ( ) ( ) aΨuxΦZx ++−=−+ kkkkkkE 1ˆ11ˆ ,
( ) ( ){ } [ ] TTkkk KRHPHKZx +=−+ 11ˆcov .
Подставляя соотношения (11), (13) в выражение (10) и проводя преоб-
разования, имеем
( )[ ]
( )
( )[{ ( ) −++−=− ΦMΦQxZΓ
u
11ˆmin1~
1 kkkEk T
kk
( ) ( )[ ] ( ) ] ( )+−++− 1ˆ1 111 kkkkk TT xLΨMΨRL
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ×+−++ Tkkkkk 21 1ˆ LxLu
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ]++−+++× kkkkkkT
211 1ˆ1 LxLuΨMΨR
[ ] ( ) [ ][ ] ( ) =++++++ 111 kmktrtr TT KRHPHKMPQ
( ) ( ) ( ) ( )kmkkkkkT +−−= 1ˆ1ˆ xMx ,
Н.Г. Гоголадзе
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 90
где
( )[ ] ( )ΦMΨΨMΨRL 11
1
11 +++=
−
kk TT ,
( )[ ] ( )aMΨΨMΨRL 11
1
12 +++=
−
kk TT ,
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )kkkkk TTT
1111 11 LΨMΨRLΦMΦQM ++−++= ,
( ) [ ] ( ) [ ][ ] ( )111 +++++= kmktrtrkm TT KRHPHKMPQ .
Таким образом, получаем представление для оптимального управления
процессом инфляции.
( ) ( ) ( ) ( )kkkkk 21 1ˆ LxLu −−−= .
Значение управляющего воздействия ( ) ( )[ ]kuk =u , рассчитанное для
всего периода реализации процесса инфляции, представляет собой опти-
мальную траекторию реализации процесса во времени.
2. ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ТРАНСФОРМИРОВАНИЯ
ОТНОШЕНИЙ СОБСТВЕННОСТИ
В странах с переходной экономической системой одним из основных на-
правлений экономической реформы является процесс трансформирования
отношений собственности, т.е. переход от государственной к частной форме
собственности. Анализ процесса трансформирования отношений собствен-
ности как процесса управления показал, что в качестве входной управляю-
щей переменной можно выбрать скорость проведения трансформирования
отношений собственности, т.е. количество предприятий, которое трансфор-
мируется в единицу времени. В качестве выходных переменных выбраны
текущий объем производства в отрасли (или для m отраслей), текущая за-
нятость и текущая прибыль от продажи государственных предприятий.
Кроме того, процесс трансформирования отношений собственности должен
быть реализован за определенный конечный промежуток времени. Безрабо-
тицу необходимо удержать на уровне, определяемом социально-политической
обстановкой, накопить капитал от продажи государственных предприятий, а
также не допустить спада производства ниже некоторого критического
уровня. Для трансформирования отношений собственности можно выделить
три группы предприятий: первая — государственные, вторая — уже транс-
формируемые частные предприятия на начало временного интервала, третья —
вновь создаваемые частные предприятия.
Рассмотрим стохастическую модель процесса трансформирования от-
ношений собственности для m отраслей, в каждой из которых производит-
ся p продуктов, учитывая также совместное влияние внешних возмущений
состояний.
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходный период
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 91
( ) =∑∑
= =
m
i
p
j
ij Tx
1 1
= ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ){ }∑ ∑ ∫
= =
+−+−
m
i
p
j
T
xijijijijijijijij dtttyKNttvtgtf
ij
1 1 0
εαγ , (14)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ){ }∑∑ ∫∑∑
= == =
+−+−−=
m
i
p
j
T
yijijijijijijij
m
i
p
j
ij dtttyKNttvnNTy
ij
1 1 01 1
εα , (15)
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ){ }∑∑ ∫∑∑
= == =
++=
m
i
p
j
T
sijijijij
m
i
p
j
ij dtttvttccTs
ij
1 1 0
0
1 1
εβ , (16)
где [ ]{ }miTT i ,1,max ∈= , iT — промежуток времени, в течение которого
должно быть выполнено трансформирование отношений собственности
предприятий в i -й отрасли, [ ]mi ,1∈ ; ijK , [ ]pj ,1∈ — количество предпри-
ятий j -го типа в отрасли i , которые должны быть трансформированы в те-
чение запланированного срока iT ; ijN — количество работающих на одном
государственном предприятии j -го типа в отрасли i ; ( )tvij — количество
предприятии j -го типа в отрасли i , которые трансформируются за единицу
времени (скорость трансформирования отношений собственности); ( )tgij —
производительность одного государственного предприятия j -го типа в от-
расли i в момент времени t ; ( )tf ij — производительность одного частного
предприятия j -го типа в отрасли i в момент времени t ; ijn — количество
работающих на одном частном предприятии j -го типа в отрасли i ; ( )tijγ —
производительность одного работника вновь создаваемого частного пред-
приятия j -го типа в отрасли i ; ( )tyij — текущая занятость на государст-
венных предприятиях j -го типа в отрасли i в момент времени t ; ( )txij —
текущий объем производства для предприятий j -го типа всех видов собст-
венности в отрасли i в момент времени t ; 0
ijc — начальная стоимость одно-
го трансформируемого государственного предприятия j -го типа в отрасли
i ; ( )tcij — текущий прирост стоимости одного государственного предпри-
ятия j -го типа в отрасли i в момент времени t ; ( )tijβ — коэффициент, оп-
ределяющий число предприятий j -го типа в отрасли i , трансформируемых
путем продажи; ( )tsij — прибыль от продажи государственных предпри-
ятий j -го типа в отрасли i в момент времени t ; ( )tijα — часть персонала,
который теряет работу на государственных предприятиях j -го типа в от-
расли i и находит ее на вновь создаваемых частных предприятиях в момент
Н.Г. Гоголадзе
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 92
времени t ; ( )t
ijxε , ( )t
ijyε , ( )t
ijsε — случайные возмущения на процессы,
которые удовлетворяют условиям
( ) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ 2,0~
ijxij
Ntx εσε , ( ) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ 2,0~
ijyij
Nty εσε , ( ) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ 2,0~
ijsij
Nts εσε ,
т.е. это нормально распределенные случайные гауссовские процессы с нуле-
выми средними и соответствующими дисперсиями.
Начальные условия для базовых переменных и ограничения модели
определены как
( ) 00 =ijs , ( ) ( ) ijijij Kgx 00 = , ( ) ijijij KNy =0 , [ ]mi ,1∈ , [ ]pj ,1∈ (17)
и
( ) 0≥tvij , ( ) ij
T
ij Kdttv ≤∫
0
, ( ) ( ) ijijiij KNrTy −≥ 1 , 10 ≤≤ ir ,
( ) 10 ≤≤ tijα , ( ) min,iij sTs ≥ , ( ) 10 ≤< tijβ , [ ]mi ,1∈ , [ ]pj ,1∈ , (18)
где ir — уровень безработицы для i -й отрасли; min,is — ограничение снизу
на объем ожидаемой прибыли в i -й отрасли. Первое из приведенных огра-
ничений означает, что скорость трансформирования отношений собственно-
сти не может быть отрицательной. Второе — накладывает ограничение на
число предприятий, которые могут быть трансформированы в течение за-
планированного срока. Остальные неравенства касаются уровня занятости и
прибыли от продажи предприятий.
Для удобства представим предложенную модель (14)–(16) в стандарт-
ной форме пространства состояний в дискретном времени, при переходе к
которому производная аппроксимируется разностью первого порядка, а пе-
реходная матрица — экспонентой. Дискретная модель процесса трансфор-
мирования отношений собственности для отдельной отрасли в пространстве
состояний имеет вид
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )kkkkkkk wDuΨxΦx +′++=+1 , (19)
( ) ( ) ( )kkk vxz += , (20)
где ( )kx — 3-мерный вектор состояния; ( )kΦ — переходная матрица со-
стояния размерности [ ]33× ; ( )ku — одномерный вектор управления;
( )kΨ — матрица управления размерности [ ]13× ; ( )kD′ — матрица размер-
ности [ ]13× ; ( )kz — 3-мерный вектор измерений; 1,...,1,0 1 −= Nk — дис-
кретное время, где 1N положительное целое число; ( )kw и ( )kv —
некоррелированные гауссовские белые последовательности соответственно
с нулевыми средними и ковариационными матрицами ( )kQ и ( )kR .
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходный период
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 93
Кроме того, начальное состояние ( )0x предполагается гауссовским
случайным вектором со следующими статистическими характеристиками:
( ){ } ( )00 xx =E , ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } 00000 Pxxxx =−− TE , (21)
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 000 == kEkE TT vxwx .
Векторы и матрицы уравнения (19) определяются как
( )
( )
( )
( )⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
ks
ky
kx
kx , ( )
( )
( )
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
100
010
01
k
k
k α
γα
Φ , ( ) ( )[ ]kvk =u ,
( )
( )
( )
( )[ ] ( )⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−−
−
=
kkcc
nN
kgkf
k
β0
)(
Ψ , ( )
( )
( )
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=′
0
NKk
NKk
k α
γα
D .
Отметим, что шум состояния ( )kw обусловлен случайными воздейст-
виями на процесс трансформирования отношений собственности в виде из-
менений законодательства, налоговой системы, курса валют, спроса и
другими факторами. Шум измерений ( )kv вызван тем, что статистические
данные, поступающие из разных источников, имеют, как правило, различ-
ные значения и зачастую эти различия существенны.
Задача оптимального управления процессом трансформирования отно-
шений собственности заключается в следующем: для систем (19), (20) с на-
чальными условиями (17) и ограничениями (18) необходимо найти
оптимальный закон управления ( )ku , который минимизирует критерий ка-
чества
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) min
1
0
1111
1
→
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
++= ∑
−
=
N
k
TTT kkkkkkNNEJ uRuxQxxSx ,
где S и ( )k1Q — симметричные неотрицательно определенные матрицы;
( )k1R — симметричная положительно определенная матрица.
Уравнения дискретного фильтра Калмана имеют вид
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11111ˆ11ˆ −′+−−+−−−=− kkkkkkkk DuΨxΦx ,
( ) ( ) ( ) ( )kkkkkk νKxx +−= 1ˆˆ ,
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 111 −+−−= kkkkkk RPPK ,
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }=−−−−=− TkkkkkkEkk 1ˆ1ˆ1 xxxxP
( ) ( ) ( ) ( )11111 −+−−−−= kkkkk T QΦPΦ ,
Н.Г. Гоголадзе
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 94
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ] ( ) =−−=−−= 1ˆˆ kkkkkkkkkEkk T PKIxxxxP
( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )kkkkkkk TT KRKKIPKI +−−−= 1 ,
( ) ( ) ( )1ˆ −−= kkkk xzν ,
где I — единичная матрица соответствующей размерности; ( )1ˆ −kkx —
оценка вектора состояния ( )kx , основанная на измерениях ( ),1−kz
( ) ( )0,...,2 zz −k ; ( )kkx̂ — оценка ( )kx , основанная на измерениях
( ) ( ) ( )0,...,1, zzz −kk ; ( )kK — оптимальная весовая матрица или коэффици-
ент усиления фильтра; ( )1−kkP — априорная ковариационная матрица
ошибки оценки ( )1ˆ −kkx ; ( )kkP — апостериорная ковариационная матрица
ошибки оценки ( )kkx̂ ; ( )kν — невязка фильтра.
Решение задачи оптимального управления процессом трансформирова-
ния отношений собственности методом динамического моделирования по-
лучаем в виде
( ) ( ) ( ) ( )kkkkk 21 1ˆ LxLu −−−= ,
где
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )kkkkkkkk TT ΦMΨΨMΨRL 11
1
11 +++=
−
,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )kkkkkkkk TT DMΨΨMΨRL ′+++=
−
11
1
12 ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )kkkkkkkkkkk TTT
1111 11 LΨMΨRLΦMΦQM ++−++= .
В результате выполнения компьютерного моделирования при определен-
ных начальных условиях и значениях параметров получены оптимальные тра-
ектории реализации процессов трансформирования собственности и инфляции.
Пример 1. Пусть процесс трансформирования отношений собственности
должен быть выполнен в течение двух лет (24 месяцев), т. е. 241 =N . Кроме
того, примем следующие значения параметров: 580=K , 120=f , 120=n ,
200=N , ( ) 1100 =g , 8,0=γ , 15,0=r , 2,01 =g , 2,0=α , 10 =c , 05,0=c ,
1,0=β .
Этот пример показывает оптимальную траекторию процесса трансформи-
рования отношений собственности и изменения занятости (рис. 2, 3). В конце
запланированного срока все предприятия будут трансформированы, и уровень
безработицы уменьшится до нуля.
Пример 2. Пусть начальное значение индекса потребительских цен
( ) 7,40 =p , а период времени 12=fk .
Анализ и моделирование макроэкономических процессов в переходный период
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 1 95
Этот пример показывает, что уменьшение прироста денежной массы
24 k
v(k)
0
Рис. 2. Оптимальная траектория процесса трансформирования отношений собст-
венности )(kv в течение 24 месяцев
Y(k)
4
3
2
1
24 k0
Рис. 3. Области изменения занятости на предприятиях в период выполнения
трансформирования отношений собственности: 1 — государственные предпри-
ятия; 2 — частные предприятия; 3 — вновь создаваемые частные предприятия; 4 —
уровень безработицы (оптимальная политика)
Рис. 4. Оптимальная траектория прироста денежной массы
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0 12
u (k)
k 12
Н.Г. Гоголадзе
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 1 96
уменьшает инфляцию к заданному значению (рис. 4, 5).
Разработанные модели и алгоритмы управления использованы в каче-
стве базовых при построении системы поддержки принятия решений
(СППР) для прогнозирования и управления рассмотренными процессами.
СППР с открытой архитектурой — очень удобный инструмент решения за-
дач прогнозирования и управления, которая позволяет оперативно получать,
анализировать и выбирать решение относительно траектории реализации
процессов трансформирования отношений собственности и инфляции, а
также прогнозировать развитие процессов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления:
Пер. с англ. — М.: Наука, 1970. — 620 с.
2. Аоки М. Оптимизация стохастических систем: Пер. с англ. — М.: Наука,
1971. — 424 с.
3. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления: Пер. с англ. —
М.: Мир, 1973. — 320 с.
4. Бідюк П.І., Половцев О.В. Аналіз та моделювання економічних процесів пере-
хідного періоду. — Київ: НТУУ «КПІ», 1999. — 210 с.
5. Ли Р. Оптимальные оценки, определение характеристик и управление: Пер. с
англ. — М.: Наука, 1966. — 176 с.
6. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. — М.: Ма-
шиностроение, 1976. — 184 с.
7. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления: Пер. с
англ. — М.: Мир, 1972. — 544 с.
8. Сейдж Э.П., Уайт Ч.С. Оптимальное управление системами: Пер. с англ. —
М.: Радио и связь, 1982. — 392 с.
Поступила 09.12.2002
0
1
2
3
4
12
p(k)
k
Рис. 5. Оптимальная траектория значений инфляции
|