Метод расчета нестационарного поля давления в смешанной потенциально-вихревой области, прилегающей к вращающемуся крылу
Показано, что используя усовершенствованный метод дискретных вихрей и интеграл Коши-Лагранжа, можно рассчитывать поле давления в области завихренности при наличии в ней вращающегося крыла. Получены расчетные формулы для случаев движения крыла в безграничной и ограниченной средах, а также при наличии...
Gespeichert in:
| Datum: | 2000 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2000
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5031 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод расчета нестационарного поля давления в смешанной потенциально-вихревой области, прилегающей к вращающемуся крылу / А.В. Шеховцов // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 1. — С. 79-87. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-5031 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-50312010-01-08T12:00:45Z Метод расчета нестационарного поля давления в смешанной потенциально-вихревой области, прилегающей к вращающемуся крылу Шеховцов, А.В. Показано, что используя усовершенствованный метод дискретных вихрей и интеграл Коши-Лагранжа, можно рассчитывать поле давления в области завихренности при наличии в ней вращающегося крыла. Получены расчетные формулы для случаев движения крыла в безграничной и ограниченной средах, а также при наличии и отсутствии внешнего потока. Апробация метода для случаев вращательного движения тонкого крыла (генератора завихренности) в безграничной среде и вблизи экрана показала, что он весьма экономичен и позволяет с высокой степенью точности рассчитывать поля с большими градиентами коэффициента давления. Показано, що використовуючи удосконалений метод дискретних вихорiв та iнтеграл Кошi-Лагранжа, можна обчислювати поле тиску в областi завихореностi при наявностi у нiй крила, що обертається. Отримано розрахунковi формули для випадкiв руху крила у безмежному та обмеженому середовищах, а також при наявностi та вiдсутностi зовнiшнього потоку. Апробацiя методу для випадкiв обертового руху тонкого крила (генератора завихореностi) у безмежному середовищi та поблизу екрану показала, що вiн досить економний та дозволяє з високим степенем точностi обчислювати поля з великими градiєнтами коефiцiєнту тиску. It is shown, that using the improved method of discrete vortices and Cauchy-Lagrange integral, it is possible to compute a field of pressure in area of a vorticity at presence rotating wing in it. The calculation formulas for cases of wing movement in unlimited and limited medium, and also at presence and absence of an external flow are obtained. Approbation of a method for cases of thin wing rotation (vorticity generator) in unlimited medium and close to the screen has shown, that it is very economic and allows with high degree of accuracy to compute fields with the large gradients of pressure coefficient. 2000 Article Метод расчета нестационарного поля давления в смешанной потенциально-вихревой области, прилегающей к вращающемуся крылу / А.В. Шеховцов // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 1. — С. 79-87. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5031 533.6.013.2:533.693+532.58.001.24:518.12 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Показано, что используя усовершенствованный метод дискретных вихрей и интеграл Коши-Лагранжа, можно рассчитывать поле давления в области завихренности при наличии в ней вращающегося крыла. Получены расчетные формулы для случаев движения крыла в безграничной и ограниченной средах, а также при наличии и отсутствии внешнего потока. Апробация метода для случаев вращательного движения тонкого крыла (генератора завихренности) в безграничной среде и вблизи экрана показала, что он весьма экономичен и позволяет с высокой степенью точности рассчитывать поля с большими градиентами коэффициента давления. |
| format |
Article |
| author |
Шеховцов, А.В. |
| spellingShingle |
Шеховцов, А.В. Метод расчета нестационарного поля давления в смешанной потенциально-вихревой области, прилегающей к вращающемуся крылу |
| author_facet |
Шеховцов, А.В. |
| author_sort |
Шеховцов, А.В. |
| title |
Метод расчета нестационарного поля давления в смешанной потенциально-вихревой области, прилегающей к вращающемуся крылу |
| title_short |
Метод расчета нестационарного поля давления в смешанной потенциально-вихревой области, прилегающей к вращающемуся крылу |
| title_full |
Метод расчета нестационарного поля давления в смешанной потенциально-вихревой области, прилегающей к вращающемуся крылу |
| title_fullStr |
Метод расчета нестационарного поля давления в смешанной потенциально-вихревой области, прилегающей к вращающемуся крылу |
| title_full_unstemmed |
Метод расчета нестационарного поля давления в смешанной потенциально-вихревой области, прилегающей к вращающемуся крылу |
| title_sort |
метод расчета нестационарного поля давления в смешанной потенциально-вихревой области, прилегающей к вращающемуся крылу |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2000 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5031 |
| citation_txt |
Метод расчета нестационарного поля давления в смешанной потенциально-вихревой области, прилегающей к вращающемуся крылу / А.В. Шеховцов // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 1. — С. 79-87. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT šehovcovav metodrasčetanestacionarnogopolâdavleniâvsmešannojpotencialʹnovihrevojoblastiprilegaûŝejkvraŝaûŝemusâkrylu |
| first_indexed |
2025-07-02T08:13:47Z |
| last_indexed |
2025-07-02T08:13:47Z |
| _version_ |
1836522172628074496 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 79 { 87��� 533.6.013.2:533.693+532.58.001.24:518.12����� ������� ������������������� �������� � ���������������������{�������� �������,����������� � ������������ ������. �. ���������áâ¨âãâ £¨¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 24.11.99�®ª § ®, çâ® ¨á¯®«ì§ãï ãᮢ¥àè¥á⢮¢ ë© ¬¥â®¤ ¤¨áªà¥âëå ¢¨å३ ¨ ¨â¥£à « �®è¨{� £à ¦ , ¬®¦® à á-áç¨âë¢ âì ¯®«¥ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ®¡« á⨠§ ¢¨å८á⨠¯à¨ «¨ç¨¨ ¢ ¥© ¢à é î饣®áï ªàë« . �®«ãç¥ë à áç¥âë¥ä®à¬ã«ë ¤«ï á«ãç ¥¢ ¤¢¨¦¥¨ï ªàë« ¢ ¡¥§£à ¨ç®© ¨ ®£à ¨ç¥®© á। å, â ª¦¥ ¯à¨ «¨ç¨¨ ¨ ®âáãâá⢨¨¢¥è¥£® ¯®â®ª . �¯à®¡ æ¨ï ¬¥â®¤ ¤«ï á«ãç ¥¢ ¢à é ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï ⮪®£® ªàë« (£¥¥à â®à § ¢¨åà¥-®áâ¨) ¢ ¡¥§£à ¨ç®© á।¥ ¨ ¢¡«¨§¨ íªà ¯®ª § « , çâ® ® ¢¥áì¬ íª®®¬¨ç¥ ¨ ¯®§¢®«ï¥â á ¢ë᮪®© á⥯¥ìîâ®ç®á⨠à ááç¨âë¢ âì ¯®«ï á ¡®«ì訬¨ £à ¤¨¥â ¬¨ ª®íää¨æ¨¥â ¤ ¢«¥¨ï.�®ª § ®, é® ¢¨ª®à¨á⮢ãîç¨ ã¤®áª® «¥¨© ¬¥â®¤ ¤¨áªà¥â¨å ¢¨å®à÷¢ â ÷â¥£à « �®è÷{� £à ¦ , ¬®¦ ®¡ç¨-á«î¢ ⨠¯®«¥ â¨áªã ¢ ®¡« áâ÷ § ¢¨å®à¥®áâ÷ ¯à¨ áâ÷ ã ÷© ªà¨« , é® ®¡¥àâ õâìáï. �âਬ ® ஧à å㪮¢÷ä®à¬ã«¨ ¤«ï ¢¨¯ ¤ª÷¢ àãå㠪ਫ ã ¡¥§¬¥¦®¬ã â ®¡¬¥¦¥®¬ã á¥à¥¤®¢¨é å, â ª®¦ ¯à¨ áâ÷ â ¢÷¤áãâ®áâ÷§®¢÷è쮣® ¯®â®ªã. �¯à®¡ æ÷ï ¬¥â®¤ã ¤«ï ¢¨¯ ¤ª÷¢ ®¡¥à⮢®£® àãåã ⮪®£® ªà¨« (£¥¥à â®à § ¢¨å®à¥®áâ÷)ã ¡¥§¬¥¦®¬ã á¥à¥¤®¢¨é÷ â ¯®¡«¨§ã ¥ªà ã ¯®ª § « , é® ¢÷ ¤®á¨âì ¥ª®®¬¨© â ¤®§¢®«ïõ § ¢¨á®ª¨¬ á⥯¥¥¬â®ç®áâ÷ ®¡ç¨á«î¢ ⨠¯®«ï § ¢¥«¨ª¨¬¨ £à ¤÷õâ ¬¨ ª®¥ä÷æ÷õâã â¨áªã.It is shown, that using the improved method of discrete vortices and Cauchy{Lagrange integral, it is possible to compute a�eld of pressure in area of a vorticity at presence rotating wing in it. The calculation formulas for cases of wing movementin unlimited and limited medium, and also at presence and absence of an external
ow are obtained. Approbation ofa method for cases of thin wing rotation (vorticity generator) in unlimited medium and close to the screen has shown,that it is very economic and allows with high degree of accuracy to compute �elds with the large gradients of pressurecoe�cient.��������� áç¥â ¥áâ 樮 ண® ¯®«ï ¤ ¢«¥¨ï ¤«ï ¯®-â¥æ¨ «ì®© ¨¤¥ «ì®© áà¥¤ë ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥ââà㤮á⨠¨ ®á®¢ë¢ ¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¨-â¥£à « �®è¨{� £à ¦ .�᫨ ¦¥ ¢ ¥ª®â®à®© ®¡« á⨠¨¤¥ «ì®© áà¥-¤ë
( 2
) ¯à¨áãâáâ¢ã¥â § ¢¨å८áâì, â® ¢â®çª å, ¯à¨ ¤«¥¦ é¨å , ᪮à®áâì ¥ ¨¬¥¥â ¯®-â¥æ¨ « , ¨ ¥¯®á।á⢥®¥ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ 㪠-§ ®£® ¨â¥£à « áâ ®¢¨âáï ¥¢®§¬®¦ë¬.�«ï à áç¥â ¥áâ 樮 ண® ¯®«ï ¤ ¢«¥¨ï ¢â®çª å, ¯à¨ ¤«¥¦ é¨å , �¢®à ª ¨ �« ¯®¢ [1]¯à¥¤«®¦¨«¨ ç¨á«¥® ¨â¥£à¨à®¢ âì ãà ¢¥¨ï�©«¥à , ¬®¤¥«¨àãï ¯®«¥ § ¢¨å८á⨠¬¥â®¤®¬¤¨áªà¥âëå ¢¨å३ [2].�à®£à ¬¬ ï ॠ«¨§ æ¨ï «£®à¨â¬ , ¯®áâ஥-®£® ¢ [1], ¯®ª § « , çâ® ® âॡã¥â ¬®£® ¢à¥¬¥¨¤«ï ¢ëç¨á«¥¨© ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ¥ ᯮᮡ¥ 㤮¢«¥-⢮à¨â¥«ì® ®¯¨áë¢ âì ®¡« áâ¨ á ¡®«ì訬¨ £à -¤¨¥â ¬¨ ¤ ¢«¥¨ï.� «¨ç¨¥ ¢ ®¡« á⨠¨«¨ ¢¡«¨§¨ ¥¥ ¯®¤¢¨¦-ëå ⢥à¤ëå £à ¨æ ¯à¨¢®¤¨â ª ¥®¡å®¤¨¬®á⨬¥ïâì ¯ã⨠¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ª ¦¤®¬ à áç¥â-®¬ ¯à®¬¥¦ã⪥ ¢à¥¬¥¨, çâ® â ª¦¥ áãé¥á⢥®á¨¦ ¥â ¯à ªâ¨ç¥áªãî 楮áâì í⮣® ¬¥â®¤ .
�®ª ¦¥¬, ç⮠ᮢ¬¥á⮥ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ ãá®-¢¥àè¥á⢮¢ ®£® ¬¥â®¤ ¤¨áªà¥âëå ¢¨å३(����) [3] ¨ ¨â¥£à « �®è¨{� £à ¦ ¤«ï à¥-è¥¨ï § ¤ ç 㪠§ ®£® ⨯ ¤ ¥â ¢®§¬®¦®áâìãá¯¥è® ¯à¥®¤®«¥¢ âì ¨¬¥î騥áï âà㤮áâ¨.�â¥à¥á® ®â¬¥â¨âì, çâ® � ௪ ©ï [4] ¢ ᢮¥©®¡§®à®© �ਬ ®¢áª®© «¥ªæ¨¨ 1988 £®¤ ¢¥áì¬ á®¬¨â¥«ì® ®â§ë¢ «áï ® ᯮᮡ®áâïå ¢ëç¨á«¨-⥫ìëå ¬¥â®¤®¢ ¢¨å३ 㤮¢«¥â¢®à¨â¥«ì® à¥-è âì § ¤ ç¨ â ª®£® ã஢ï á«®¦®áâ¨.1. ������ �������� ������ ������������ ������ãáâì ¢ ¥ª®â®à®© ®¡« á⨠¨¤¥ «ì®© ¥á¦¨-¬ ¥¬®© ¥¢¥á®¬®© á।ë
, ¯®ª®ï饩áï ¢ ¡¥áª®-¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥, 室¨âáï § ¢¨å८áâì,ª®â®à ï ¯à¨¡«¨¦¥® ¯à¥¤áâ ¢«¥ ª®¥ç®© á®-¢®ªã¯®áâìîM ¤¢ã¬¥àëå ¤¨áªà¥âëå ¢¨åॢëåèã஢ (à áᬠâਢ ¥âáï ¯«®áª¨© á«ãç ©). �à®-¬¥ í⮣®, ¯ãáâì ¢ ®¡« á⨠室¨âáï ⥫® S {£¥¥à â®à § ¢¨å८áâ¨. �«ï ¯à®áâ®âë ¯à¥¤¯®-«®¦¨¬, ç⮠⥫® S ï¥âáï ¡á®«îâ® ¦¥á⪨¬,¥¯à®¨æ ¥¬ë¬ ¨ ¯àאַ«¨¥©ë¬.� ᮮ⢥âá⢨¨ á £¨¯®â¥§®© �㪮¢áª®£® ® ¦¨¤-ª®¬ ªàë«¥, ª®â®à ï ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ����, ⥫®c
öáâ¨âãâ £÷¤à®¬¥å ¨ª¨ ��� �ªà ù¨, 2000 79
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 79 { 87S â ª¦¥ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ª®¥ç®© ᮢ®ªã¯®áâìî N¯à¨á®¥¤¨¥ëå ¤¨áªà¥âëå ¢¨å३.� ᨫ㠮£®¢®à¥ëå ᢮©á⢠á।ë
, ¤«ï ¥¥¯®â¥æ¨ «ìëå ®¡« á⥩
n ¡ã¤¥â á¯à ¢¥¤«¨¢®ãà ¢¥¨¥ � ¯« á ¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨â¥£à « �®è¨{� £à ¦ .�á«¥¤á⢨¥ «¨¥©®á⨠ãà ¢¥¨ï � ¯« á , ¯®-â¥æ¨ « ¢®§¬ã饮£® ¤¢¨¦¥¨ï ¢ ¯à®¨§¢®«ì®©â®çª¥ (x; y) 2
n ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥áã¬¬ë ¯®â¥æ¨ «®¢ ᪮à®á⥩, ¨¤ãæ¨à®¢ ëåN ¯à¨á®¥¤¨¥ë¬¨ ¨ M ᢮¡®¤ë¬¨ ¤¨áªà¥âë-¬¨ ¢¨åàﬨ:�(x; y; t) = NXi=1��i (x; y; t) + MXi=1 �i(x; y; t); (1)£¤¥ ��i { ¯®â¥æ¨ « ¯à¨á®¥¤¨¥®£® ¤¨áªà¥â®£®¢¨åàï; �i { ¯®â¥æ¨ « ᢮¡®¤®£® ¤¨áªà¥â®£® ¢¨-åàï.�®£« á® \ �{¯à¨æ¨¯ã " ���� (¯à¨æ¨¯ã ¬¨-¨¬ «ì®£® ¨áª ¦¥¨ï âà ¥ªâ®à¨© ¤¢¨¦¥¨ï ᢮-¡®¤ëå ¢¨å३), § ª® �¨®{� ¢ à 㦮 ¢ë¯®«-ïâì ¢áî¤ã, § ¨áª«î票¥¬ ªà㣮¢ ¢®ªà㣠¤¨á-ªà¥âëå ¢¨å३ á à ¤¨ãá ¬¨, à ¢ë¬¨ ¯®«®¢¨¥¬¥àë ¤¨áªà¥â®áâ¨:Rs = �=2 = 1=(2N ): (2)�ãâਠª ¦¤®£® ¨§ íâ¨å ªà㣮¢ ( «®£®¢ 拉મ¥ç®¬¥àëå ¢¨å३), ¢® ¨§¡¥¦ ¨¥ íä䥪⮢ᨣã«ïà®áâ¨, ¡ã¤¥¬ § ¤ ¢ âì «¨¥©®¥ ã¡ë¢ -¨¥ ¨¤ãæ¨à®¢ ®© ᪮à®áâ¨.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ᪮à®áâ¨, ¨¤ãæ¨à®¢ ®©¢¨å६ á æ¨àªã«ï樥© ~� ¢ â®çª¥, à ᯮ«®¦¥®© à ááâ®ï¨¨ j~Rj, ¨¬¥¥¬:~W (~�; ~R) = 8>>>>><>>>>>: ~� � ~R2�j~Rj2 ; ¯à¨ j~Rj � RS ;~� � ~R2�R2S ; ¯à¨ j~Rj < RS: (3)�⬥⨬, çâ® ¢ë¡®à § ª® ᣫ ¦¨¢ ¨ï ¨¤ã-æ¨à®¢ ®© ᪮à®á⨠¢ãâਠ¢¨åॢëå ï¤¥à ¤«ï¡®«ìè¨á⢠§ ¤ ç ¥áãé¥á⢥® ¢«¨ï¥â à¥-§ã«ìâ âë à áç¥â®¢, â ª ª ª ¯®£à¥è®áâì, ¢®á¨-¬ ï ¯à¨ í⮬, ¥ ¯à¥¢ëè ¥â ¢¥«¨ç¨ã ¯®£à¥è-®á⨠¤¨áªà¥â¨§ 樨 ¢¨åॢ®£® á«®ï ¨ ¢¨åॢ®©®¡« áâ¨. �믮«¥¨¥ ¢á¥å ®áâ «ìëå ¥®¡å®¤¨-¬ëå ãá«®¢¨© á室¨¬®á⨠���� ®¡¥á¯¥ç¨¢ ¥â, ¯à¨N ! 1, ¢ë¯®«¥¨¥ § ª® �¨®{� ¢ à ¢áî¤ã,§ ¨áª«î票¥¬ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ®ªà¥áâ®á⨠¢®-ªà㣠ª ¦¤®£® ¨§ ¤¨áªà¥âëå ¢¨å३.�à® «¨§¨à㥬 ⥯¥àì ¢®§¬®¦®áâì ¨ æ¥-«¥á®®¡à §®áâì ¯à¨¬¥¥¨ï ¨â¥£à « �®è¨{� £à ¦ ¤«ï à¥è¥¨ï ¯®áâ ¢«¥®© § ¤ ç¨.
�㤥¬ à áᬠâਢ âì ¡á®«î⮥ ¤¢¨¦¥¨¥ â®-祪 á।ë
. � ª ª ª ⥫® S ï¥âáï ¯®¤¢¨¦ë¬,㤮¡® ¢á¥ à áç¥âë ¯à®¨§¢®¤¨âì ¢ ¥ª®â®à®© á¨-á⥬¥ ª®®à¤¨ â, á¢ï§ ®© á ⥫®¬ S. �«ï í⮣®á«ãç ï ¨â¥£à « �®è¨{� £à ¦ ¨¬¥¥â á«¥¤ãî-騩 ¢¨¤ [5]:@ 0�(x; y; t)@t + ~W 2a (x; y; t)2 � ~Wa(x; y; t) � ~W �(x; y; t)++V (x; y; t) + Z dp(x; y; t)�(x; y; t) = F (t); (4)£¤¥ ~Wa { ¡á®«îâ ï ᪮à®áâì; ~W � { ¯¥à¥®á ï᪮à®áâì; V { ¯®â¥æ¨ « ¢¥è¨å ¬ áᮢëå ᨫ;p { ¤ ¢«¥¨¥; � { ¯«®â®áâì. �âà¨å ¯à¨ ç áâ-®© ¯à®¨§¢®¤®© ®§ ç ¥â, çâ® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ -¨¥ ᮢ¥àè ¥âáï ¢ ¯®¤¢¨¦®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â.� ᨫã ᢮©á⢠á।ë
¤«ï F (t) ¯®«ã稬:F (t) = p1=�;£¤¥ p1 { ¤ ¢«¥¨¥ ¢ ¡¥áª®¥ç® 㤠«¥®© â®çª¥.�®« £ ï, çâ® à áᬠâਢ ¥¬ë¥ á¨«ë ¯à¨«®¦¥ëª ¥¤¨¨æ¥ ¬ ááë á।ë
, ç¨á«® ¥§ ¢¨á¨¬ëå à §-¬¥à®á⥩ ᮪à â¨âáï ¤® ¤¢ãå { ¤«¨ë ¨ ¢à¥¬¥¨.� ª ç¥á⢥ å à ªâ¥à®£® «¨¥©®£® à §¬¥à ¢®§ì¬¥¬ ¤«¨ã ⥫ b, ¢ ª ç¥á⢥ å à ªâ¥à®©áª®à®á⨠{ ¬ ªá¨¬ «ìãî «¨¥©ãî ¯¥à¥®áãî᪮à®áâì ~W �M ⥫ S § à áç¥âë© ¯à®¬¥¦ã⮪¢à¥¬¥¨.�®£¤ ¢ ¡¥§à §¬¥à®¬ ¢¨¤¥ ¬®¦® § ¯¨á âì: ª®-®à¤¨ âë �x = x=b, �y = y=b; ¢à¥¬ï � = tj ~W �M j=b; «¨-¥©ãî ᪮à®áâì ~w = ~W=j ~W �M j; 㣫®¢ãî ᪮à®áâì~! = ~
b=j ~W �M j; ¯®â¥æ¨ « ' = �=(j ~W �M jb), æ¨àªã-«ïæ¨î ~�� = ~�=(j ~W �M jb). (�¥àâ®çª¨ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬¡ã¤¥¬ ®¯ã᪠âì).� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¢®¤ï ¢ à áᬮâ२¥ ª®íää¨-樥⠤ ¢«¥¨ï ª ª CP = 2(p � p1)=(�j ~W �M j2), ¢¡¥§à §¬¥à®¬ ¢¨¤¥ ¨¬¥¥¬:CP (x; y; � ) = 2~wa(x; y; � ) � ~w�(x; y; � )��~w2a(x; y; � )� 2@ 0'(x; y; � )@� : (5)�ãáâì ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ � = 0 á¨áâ¥-¬ ª®®à¤¨ â O 0X 0Y 0, á¢ï§ ï á ⥫®¬ S, ¡ë« ᮢ¬¥é¥ á ¥¯®¤¢¨¦®© á¨á⥬®© OXY , ¯®á«¥ç¥£® ç « ¤¢¨£ âìáï á ¯¥à¥®á®© ᪮à®áâìî ~w�(á¬. à¨á. 1.).�â® ¤¢¨¦¥¨¥ ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª á㬬㠯®-áâ㯠⥫쮣® ¨ ¢à é ⥫쮣® ¤¢¨¦¥¨ï:~w�(x; y; � ) = ~w0(� ) + ~!(� )� (~r(x; y)� ~r0(� )); (6)80 �. �. �¥å®¢æ®¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 79 { 87
�¨á. 1. �¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â
�¨á. 2. �¤ãªâ¨¢ë¥ ᪮à®á⨠®â ¢¨åàï ¢¡«¨§¨ íªà �. �. �¥å®¢æ®¢ 81
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 79 { 87£¤¥ ~w0 { ¯®áâ㯠⥫ì ï ᪮à®áâì ç « O 0; ~! {㣫®¢ ï ᪮à®áâì á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â O 0X 0Y 0; ~r{ à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à â®çª¨ (x; y) ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ âOXY ; ~r0 { à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à ç « O 0.� á«ãç ¥, ¥á«¨ â®çª (x; y) ¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â ⥫ãS, ᪮à®áâì ~w� 㦮 ¯®¨¬ âì, ª ª ᪮à®áâì â -ª®© â®çª¨ ¯®¤¢¨¦®© ¯«®áª®á⨠O 0X 0Y 0, ¦¥á⪮á¢ï§ ®© á ⥫®¬ S, ª®â®à ï ¢ ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨� ᮢ¯ « á â®çª®© (x; y) ¥¯®¤¢¨¦®© ¯«®áª®áâ¨OXY .�®£¤ ä®à¬ã« (5) ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ¤ ¢«¥¨ï¯à¨¬¥â ¢¨¤:CP (x; y; � ) = 2~wa(x; y; � ) � ~w0(� ) + 2~!(� )� (~r(x; y)��~r0(� ))� ~wa(x; y; � )� ~w2a(x; y; � )�2@ 0'(x; y; � )@� : (7)� ª ª ª ¢ëç¨á«¥¨¥ ᪮à®á⥩ ~wa ¢ ¯à¥¤¥« åᨣã«ïàëå à ¤¨ãᮢ ¢¨å३ rS ¬®¦® ¯à®¨§¢®-¤¨âì, ¨á¯®«ì§ãï § ª® ᣫ ¦¨¢ ¨ï (3), â® ¤«ï ¢ë-ïá¥¨ï ¢®§¬®¦®á⨠¯à¨¬¥¥¨ï ¢ëà ¦¥¨ï (7)¢ ®¡« á⨠©¤¥¬ ç áâãî ¯à®¨§¢®¤ãî ®â ' ¢¯®¤¢¨¦®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â.�ãáâì ¢ â®çª¥ (x`; y`) ®¡« á⨠á।ë
å®-¤¨âáï ¤¨áªà¥âë© ¢¨åàì á æ¨àªã«ï樥© ~�`(� ) =�`(� )(�~k) (à¨á. 2). � ©¤¥¬ ¯®â¥æ¨ « '` ᪮à®áâ¨~w`, ¨¤ãæ¨à®¢ ®© í⨬ ¢¨å६ ¢ â®çª¥ (x; y).�®áâ஥ ï ¬®¤¥«ì ®¡« á⨠¢áî¤ã ¢¥ ¡¥á-ª®¥ç® ¬ «ëå ªà㣮¢ ¢®ªà㣠ª ¦¤®£® ¨§ N +M¤¨áªà¥âëå ¢¨å३ ï¥âáï ¯®â¥æ¨ «ì®©. �®-í⮬ã, ãç¨âë¢ ï çâ® grad'` ï¥âáï ¨¢ ਠ-⮬, ¨¬¥¥â ¬¥áâ® à ¢¥á⢮~w`(x 0; y 0; � ) = grad'`(x 0; y 0; � ); (8)£¤¥ (x 0; y 0) { ª®®à¤¨ âë â®çª¨ (x; y) ¢ á¨á⥬¥ª®®à¤¨ â O 0X 0Y 0.�¬®¦ ï ®¡¥ ç á⨠¢ëà ¦¥¨ï (8) ᪠«ïà® ¢¥ªâ®à d~r 0 ¨ ¨â¥£à¨àãï ¯® ¥ª®â®à®¬ã ªà¨¢®«¨-¥©®¬ã ª®âãà㠮⠯ந§¢®«ì®© 䨪á¨à®¢ ®©â®çª¨ (~x 0; ~y 0) ¤® â®çª¨ (x 0; y 0), ¯®«ãç ¥¬:'`(x 0; y 0; � ) = (x 0;y 0)Z(~x 0;~y 0) ~w`(x 0; y 0; � ) � d~r 0(x; y; � ) +C1;(9)£¤¥ C1 { ¯à®¨§¢®«ì ï ª®áâ â .� ¬¥ ®¡« á⨠§ ¢¨å८á⨠ᮢ®ªã¯-®áâì N + M ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå ªà㣮¢, ᮤ¥à-¦ é¨å § ¢¨å८áâì ¨ ®¤ã ¢¥èîî ¯®â¥æ¨- «ìãî ®¡« áâì, ¯à¨¢¥«® ª ⮬ã, çâ® ¤¢ãá¢ï§ ﯮâ¥æ¨ «ì ï ®¡« áâì
n ¯à¥®¡à §®¢ « áì ¢N +M + 1-á¢ï§ãî. �®íâ®¬ã ¨â¥£à « ¢ ¢ëà ¦¥-¨¨ (9) ï¥âáï ¬®£®§ çë¬, â® ¥áâì § ¢¨á¨â
®â ¢ë¡®à ¯ã⨠¨â¥£à¨à®¢ ¨ï. �¤ ª®, â ª ª ª¯®â¥æ¨ « '` ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á â®ç®áâìî ¤® ª®-áâ âë, ¢ ª ç¥á⢥ ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¬®¦-® ¢§ïâì «î¡®©.�ç¨âë¢ ï, ç⮠⥫® S ¨ ®¡« áâì ¬®¤¥«¨àã-îâáï ª®¥çë¬ ç¨á«®¬ ¢¨å३ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®£®á¥ç¥¨ï, ¢ ª ç¥á⢥ ª®âãà ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¢®§ì-¬¥¬ ¯à®¨§¢®«ìë© «ãç, ¯à¨¬¥à à ᯮ«®¦¥ë©¢ ¯®«ã¯«®áª®á⨠y 0 > 0 ¨ ¯ à ««¥«ìë© ¯®¤¢¨¦®©®á¨ O 0Y 0. �¥¬ á ¬ë¬, ¨§ ¡¥áª®¥ç®£® ¬®¦¥-á⢠§ 票© à áᬠâਢ ¥¬®£® ªà¨¢®«¨¥©®£®¨â¥£à « ¡ã¤ã⠮⡨à âìáï ⮫쪮 ¯à¨ ¤«¥¦ -騥 ®¤®¬ã ¨ ⮬㠦¥ ®¤®§ 箬ã ãç áâªã. �®¥áâì ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë k` ¯à¨ 横«¨ç¥áª¨å ¯®áâ®-ïëå �` 0 (æ¨àªã«ïæ¨ïå ¤¨áªà¥âëå ¢¨å३) ¢ ¢ë-à ¦¥¨¨(x 0;y 0)Z(~x 0;~y 0) ~w`(x 0; y 0; � ) � d~r 0(x 0; y 0; � ) == '`0(x 0; y 0; � ) + N+MX̀=1 �` 0(� )k`; (10)£¤¥ '`0 { ¯®«ë© ®¤®§ çë© ãç á⮪ '`, ¡ã¤ãâà ¢ë¬¨ ã«î.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ᪠«ï஠㬮¦ ï ®¡¥ ç á⨠à -¢¥á⢠(8) ®àâ ~j 0(� ) ¯®¤¢¨¦®© ®á¨ O 0Y 0, ¯®-«ãç ¥¬: w`y 0 (x 0; y 0; � ) = @ 0'`(x 0; y 0; � )@y 0 (11)®âªã¤ ¤«ï ¯®â¥æ¨ « '` ¨¬¥¥¬'`(x 0; y 0; � ) = � 1Zy 0 w`y 0(x 0; y 0; � )dy 0 + C1: (12)� ©¤¥¬ w`y 0 { ª®¬¯®¥âã ᪮à®á⨠~w` ¢ ¯®-¤¢¨¦®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â O 0X 0Y 0. � ᮮ⢥â-á⢨¨ á § ª®®¬ �¨®{� ¢ à ,w`y 0(x 0; y 0; � ) = (13)= (~�` 0(� ) � (~r(x 0; y 0) � ~r`(x` 0(� ); y` 0(� )))) �~j 0(� )2� j (~r(x 0; y 0) � ~r`(x` 0(� ); y` 0(� ))) j2 ;®âªã¤ w`y 0 (x 0; y 0; � ) == � �` 0(� )(x 0 � x` 0(� ))2�((x 0 � x` 0(� ))2 + (y 0 � y` 0(� ))2) : (14)82 �. �. �¥å®¢æ®¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 79 { 87�®¤áâ ¢«ïï ¢ëà ¦¥¨¥ (14) ¢ (12), ¯®á«¥ ¨â¥-£à¨à®¢ ¨ï ¯®«ãç ¥¬:'`(x 0; y 0; � ) = �` 0(� )2� ��2�� arctg y 0 � y` 0(� )x 0 � x` 0(� )�+C1: (15)�âáî¤ ä®à¬ã« ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ᪮à®áâ¨, ¨-¤ãæ¨à®¢ ®© ¢¨å६ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x`; y`) ¢â®çª¥ (x; y) ¯à¨ ¡á®«î⮬ ¤¢¨¦¥¨¨ á।ë
¢¯®¤¢¨¦®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â O 0X 0Y 0, § ¯¨á - ï ç¥à¥§ ¯¥à¥¬¥ë¥ ¥¯®¤¢¨¦®© á¨áâ¥¬ë ª®®à-¤¨ â OXY , ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤'`(x; y; � ) = � �`(� )2� arctg (y � y`(� )) cos �(� )�(x� x`(� )) cos �(� )+�(x � x`(� )) sin �(� )+(y � y`(� )) sin �(� ) + C: (16)(� ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ ¯®« £ âì C = 0).�¥®¡å®¤¨¬® ¯®¤ç¥àªãâì, çâ® ¢ ãà ¢¥¨¨ (16) àªâ £¥á ¥®¡å®¤¨¬® ¢ëç¨á«ïâì ª ª äãªæ¨î¤¢ãå à£ã¬¥â®¢ { § ¬¥ ⥫ï x̂ ¨ ç¨á«¨â¥«ï ŷ,§ ç¥¨ï ª®â®àëå § ¢¨áïâ ®â à ᯮ«®¦¥¨ï â®ç-ª¨ (x; y) ¯® ®â®è¥¨î ª `-⮬㠢¨åàî ¢ á¨áâ¥-¬¥ ª®®à¤¨ â O 0X 0Y 0. � ª ï äãªæ¨ï Z(x̂; ŷ) ¢á¥¬ ¬®¦¥á⢥ ᢮¨å § 票© ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â á®-¡®© ®¤¨ ¢¨â®ª á¯¨à «¥¢¨¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨, ®¡à -§®¢ ®© ¯à¨ ®¤®¢à¥¬¥®¬ ¯®¢®à®â¥ 360�¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨ ¨ ¯®áâ㯠⥫쮬 ¯¥à¥-¬¥é¥¨¨ ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ¢¥ªâ®à ~k «ãç , ¢ë室ïé¥-£® ¨§ ¢¨åàï ¨ ¯ à ««¥«ì®£® ¯«®áª®á⨠O 0X 0Y 0.�¥¯¥àì ¬®¦® ¢§ïâì ¯à®¨§¢®¤ãî @ 0'`=@� ¢ ¯®-¤¢¨¦®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â O 0X 0Y 0 :@ 0'`(x; y; � )@� = � 12� @ 0�`(� )@� �� arctg (y � y`(� )) cos �(� ) � (x� x`(� )) sin �(� )(x� x`(� )) cos �(� ) + (y � y`(� )) sin �(� )++�` 0(� )2� @ 0�(� )@� �� (y � y`(� ))@ 0x`(�)@� � (x� x`(� ))@ 0y`(�)@�(x� x`(� ))2 + (y � y`(� ))2 ! : (17)� áªàë¢ ï ᪮¡ª¨ ¢ í⮬ ¢ëà ¦¥¨¨ ¨ «¨-§¨àãï 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá« á« £ ¥¬ëå, ¬®¦® § ¬¥-â¨âì, çâ® á।¨ ¨å ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ¯®â¥æ¨ « ¢¨-åàï '`, ç áâ®â ¢à 饨ï �(� ) = !(� )=(2�), ª®¬-¯®¥âë ᪮à®á⨠~w`, ¨¤ãæ¨à®¢ ®© `-âë¬ ¢¨-å६ ¢ â®çª¥ (x; y) ¨ ª®¬¯®¥âë ®â®á¨â¥«ì®©áª®à®á⨠~w`o = ~w`a � ~w�̀ í⮣® ¢¨åàï.
�ç¨âë¢ ï íâ®, â ª¦¥, çâ® � ¨ �` ïîâá諸 ਠ⠬¨, ¢ëà ¦¥¨¥ (17) ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥@ 0'`(x; y; � )@� = '`(x; y; � )�`(� ) @�`(� )@� ��w`x(x; y; � )(w`ax(x`(� ); y`(� ); � )��w�̀x(x`(� ); y`(� ); � ))��w`y(x; y; � )(w`ay(x`(� ); y`(� ); � )��w�̀y(x`(� ); y`(� ); � )) + �`(� )!(� )2� : (18)�«¨, ¢ ¢¥ªâ®à®© ä®à¬¥, ¨¬¥¥¬'` 0(x; y; � )@� = '`(x; y; � )~�`(� ) � @~�`(� )@� � ~�`(� ) � ~!(� )2� ��~w`(x; y; � ) � ~w`o(x`(� ); y`(� ); � ): (19)�âáî¤ ¢¨¤®, ç⮠⥠ç á⨠᫠£ ¥¬ëå, ª®â®àë¥á®¤¥à¦ â ᨣã«ïà®áâì, ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ᪮-à®áâì, ¨¤ãæ¨à®¢ ãî ¤¨áªà¥âë¬ ¢¨å६. �ë-ç¨á«¥¨¥ ¥¥ ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¯à ¢¨«®¬~w`(x; y; � ) = 8>>>><>>>>: ~�`(� ) ��~r2� j �~r j2 ; ¯à¨ j �~r j� rs;~�`(� ) ��~r2�r3s ; ¯à¨ j �~r j< rs; (20)£¤¥ �~r � ~r(x; y)� ~r`(x`(� ); y`(� )), ¤ ¥â £« ¤ª®¥ ¯®-¢¥¤¥¨¥ ~w` ¢® ¢á¥å â®çª å ®¡« á⨠.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨á¯®«ì§ãï ����, ¨â¥£à « �®-è¨{� £à ¦ ¬®¦® ¯à¨¬¥ïâì ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï¯®«ï ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¢¨åॢ®© ®¡« á⨠¯à¨ «¨ç¨¨ ¢¥© ¤¢¨¦ã饣®áï ⥫ , ¥ ¢®áï ¯à¨ í⮬ ¯®£à¥è-®á⨠¡®«ìè¥ â®©, ª®â®à ï § ª« ¤ë¢ ¥âáï ¯à¨¤¨áªà¥â¨§ 樨 ¢¨åॢ®£® á«®ï S, § ¬¥ïî饣® ¯®-¢¥àå®áâì ⥫ , ¨ ¢¨åॢ®© ®¡« á⨠.�ᯮ«ì§ãï @ 0'`=@� ¢ ¢¨¤¥ (19) ¨ ¯à¥¤áâ ¢«ïﯥ८áãî ᪮à®áâì ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ¢ëà ¦¥¨-¥¬ (6), ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¯à®¨§¢®«ì®©â®çª¥ (x; y) ¨§ ®¡« á⨠§ ¢¨å८á⨠, ¬®¤¥«¨-à㥬®© M ¤¨áªà¥â묨 ¢¨åàﬨ, ¯à¨ à áᬮâà¥-¨¨ ¡á®«î⮣® ¤¢¨¦¥¨ï á।ë
¢ ¯®¤¢¨¦®©á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â O 0X 0Y 0, á¢ï§ ®© á ⥫®¬ S,¬®¤¥«¨àã¥¬ë¬ N ¤¨áªà¥â묨 ¢¨åàﬨ, ¨¬¥¥¬:CP (x; y; � ) = 2N+MX̀=1 ~w`(x; y; � ) � (~!(� )� (~r(x; y)��~r`(x`(� ); y`(� )))+~w`a(x`(� ); y`(� ); � ))+~!(� )2� �~�`(� )��'`(x; y; � )~�`(� ) � @~�`(� )@� !� N+MX̀=1 ~w`(x; y; � )!2 ; (21)£¤¥ '` ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (16), ~w` { ¯® ä®à-¬ã«¥ (20).�. �. �¥å®¢æ®¢ 83
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 79 { 872. ������ �������� ����� ������������� áᬮâਬ ¢ ¦ë© á ¯à¨ª« ¤®© â®çª¨ §à¥-¨ï á«ãç ©, ª®£¤ à áᬠâਢ ¥¬ ï ®¡« áâì § ¢¨-å८á⨠¨ ¯®¤¢¨¦®¥ ⥫® S 室ïâáï ¢¡«¨§¨â¢¥à¤®© ¥¯à®¨æ ¥¬®© ¯®¢¥àå®á⨠G (íªà ).� í⮬ á«ãç ¥, ª ª ¨§¢¥áâ®, «¨ç¨¥ íªà ¬®-¤¥«¨àã¥âáï ¢¢¥¤¥¨¥¬ ¢ ®¡« áâì â¥ç¥¨ï ¨¢¥àᨢ-ëå ¢¨å३ (á¬. à¨á. 2), ¤«ï ª®â®àëå á¯à ¢¥¤«¨¢®:x�̀(� ) = x`(� ); y�̀(� ) = �y`(� );~��̀(� ) = �~�`(� ): (22)�«ï ᪮à®á⨠~̂w, ¨¤ãæ¨à®¢ ®© `{âë¬ ¢¨å६¢ â®çª¥ (x; y) ¯à¨ «¨ç¨¨ íªà , ¯®«ã稬:~̂w`(x; y; � ) = ~w`(x; y; � ) + ~w�̀(x; y; � ) == ~�`(� )� (~r(x; y) � ~r`(x`(� ); y`(� )))2� j ~r(x; y)� ~r`(x`(� ); y`(� )) j2 ++~� �̀(� ) � (~r(x; y) � ~r �̀(x�̀(� ); y�̀(� )))2� j ~r(x; y) � ~r �̀(x�̀(� ); y�̀(� )) j2 : (23)�¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ ¢¥à娥 ¨¤¥ªáë \�" ®§ ç îâ âਡãâ ¨¢¥àᨢ®£® ¢¨åàï.�ª®à®áâì ~̂w ¢ à §«®¦¥¨¨ ¯® ®àâ ¬ ¥¯®¤¢¨¦-®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â OXY ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤~̂w`(x; y; � ) = �`(� )2� � y � y`(� )(x� x`(� ))2 + (y � y`(� ))2 �� y + y`(� )(x� x`(� ))2 + (y + y`(� ))2�~i++ �`(� )2� � x� x`(� )(x� x`(� ))2 + (y + y`(� ))2 �� x� x`(� )(x� x`(� ))2 + (y � y`(� ))2�~j: (24)�«ï ¯®â¥æ¨ « '�̀ ®â ¨¢¥àᨢ®£® `-£® ¢¨åàï,¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á ä®à¬ã«®© (16), ãç¨âë¢ ï (22),¯®«ãç ¥¬:'�̀(x; y; � ) = �`(� )2� arctg (y + y`(� )) cos �(� )�(x� x`(� )) cos �(� )+�(x � x`(� )) sin �(� )+(y + y`(� )) sin �(� ) : (25)�®£¤ , ¤«ï ¯®â¥æ¨ « '̂` ᪮à®á⨠~̂w`, ¨¤ãæ¨-à㥬®© `-âë¬ ¢¨å६ ¢¡«¨§¨ íªà ¢ â®çª¥ (x; y),¯à¨ à áᬮâ२¨ ¡á®«î⮣® ¤¢¨¦¥¨ï á।ë
¢ ¯®¤¢¨¦®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â, ¨¬¥¥¬'̂`(x; y; � ) = '`(x; y; � ) + '�̀(x; y; � ); (26)
£¤¥ '` ¢ëç¨á«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥ (16); '�̀ { ¯® ä®à-¬ã«¥ (25).�ç¨âë¢ ï ¢ëà ¦¥¨ï (23), (24) ¨ (25), ¤«ï ¯à®-¨§¢®¤®© ®â ¯®â¥æ¨ « '�̀ ¨¢¥àᨢ®£® ¢¨åàï ¢¯®¤¢¨¦®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â O 0X 0Y 0 ¯®«ãç ¥¬¢ëà ¦¥¨¥@ 0'�̀(x; y; � )@� = '�̀(x; y; � )~�`(� ) � @~�`(� )@� + ~�`(� ) � ~!(� )2� ++w�̀y(x; y; � )w`oy(x`(� ); y`(� ))��w�̀x(x; y; � ) �w`ox(x`(� ); y`(� )): (27)�®£¤ , á ãç¥â®¬ ãà ¢¥¨© (19) ¨ (27), ¤«ï ¯à®-¨§¢®¤®© ®â ¯®â¥æ¨ « `-£® ¢¨åàï, à ᯮ«®¦¥-®£® ¢¡«¨§¨ íªà , ¨¬¥¥¬@ 0'̂`(x; y; � )@� = '`(x; y; � ) + '�̀(x; y; � )~�`(� ) � @~�`@� ��~w`(x; y; � )~w`o(x`(� ); y`(� ))++w�̀y(x; y; � )w`oy(x`(� ); y`(� ))��w�̀ox(x; y; � )w`ox(x`(� ); y`(� )): (28)�ç¨âë¢ ï ä®à¬ã«ë (6), (23) ¨ (28), ¤«ï ª®íää¨-樥⠤ ¢«¥¨ï CP ¢ ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¥ (x; y) ¨§®¡« á⨠§ ¢¨å८á⨠, ¬®¤¥«¨à㥬®© M ¤¨á-ªà¥â묨 ¢¨åàﬨ ¨ à ᯮ«®¦¥®© ¢¡«¨§¨ íªà - , ¯à¨ à áᬮâ२¨ ¡á®«î⮣® ¤¢¨¦¥¨ï áà¥-¤ë
¢ ¯®¤¢¨¦®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â O 0X 0Y 0,á¢ï§ ®© á ⥫®¬ S, ¬®¤¥«¨àã¥¬ë¬ N ¤¨áªà¥â-묨 ¢¨åàﬨ, ¯®«ãç ¥¬:CP (x; y; � ) = 2N+MX̀=1 ~w`(x; y; � ) � (~!(� ) � (~r(x; y)��~r`(x`(� ); y`(� ))) + ~w`a(x`(� ); y`(� ); � ))++~w�̀(x; y; � ) � (~w0(� ) + ~!(� )� (~r(x; y)� ~r0(� )))++w�̀x(x; y; � )� (w`ax(x`(� ); y`(� ); � )��w0x(� ) + !(� )(y`(� )� y0(� )))��w�̀y(x; y; � ) (w`ay(x`(� ); y`(� ); � )��w0y(� ) � !(� )(x`(� ) � x0(� )))��'`(x; y; � ) + '�̀(x; y; � )~�`(� ) � @~�`(� )@� !�� N+MX̀=1 (~w`(x; y; � ) + ~w�̀(x; y; � ))!2 : (29)� á«ãç ¥, ¥á«¨ ~w1 6= 0, ä®à¬ã« (21) ¯à¨®¡à¥-⠥⠢¨¤CP (x; y; � ) = 2(~i cos�+~j sin�) � (~w0(� ) + ~!(� )�84 �. �. �¥å®¢æ®¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 79 { 87
¡
¢�¨á. 3. �§®¡ àë ¯à¨ ¨§®«¨à®¢ ®¬¢à 饨¨ ªàë«
¡
¢�¨á. 4. �§®¡ àë ¯à¨ ¢à 饨¨ªàë« ¢¡«¨§¨ íªà �. �. �¥å®¢æ®¢ 85
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 79 { 87�(~r(x; y) � ~r0(� ))) + 2N+MX̀=1 ~w`(x; y; � ) � (~!(� )��(~r(x; y)� ~r`(x`(� ); y`(� ))) � (~i cos�+~j sin�)++~w`a(x`(� ); y`(� ); � )) + ~!(� )2� � ~�`(� )��'`(x; y; � )~�`(� ) � @~�`(� )@� !� N+MX̀=1 ~w`(x; y; � )!2 ; (30)£¤¥ � { 㣮« ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à®¬ ~w1 ¨ ®à⮬ ~i. �®à-¬ã« (29) ¯à¨ � = 0 ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤:CP (x; y; � ) = 2(w0x(� )� !(� )(y � y0(� )))++2N+MX̀=1 ~w`(x; y; � ) � ~!(� )� (~r(x; y)��~r`(x`(� ); y`(� ))) + ~w�̀(x; y; � ) � (~w0(� ) + ~!(� )��(~r(x; y)�~r0(� )))+ ~w`(x; y; � ) � ~w`a(x`(� ); y`(� ); � )++w�̀x(x; y; � )(w`ax(x`(� ); y`(� ); � )��w0x(� ) + !(� )(y`(� )� y0(� ))� 1)��w`x(x; y; � )� w�̀y(x; y; � )(w`ay(x`(� ); y`(� ); � )��w0y(� )� !(� )(x`(� ) � x0(� )))��'`(x; y; � ) + '�̀(x; y; � )~�`(� ) � @~�`(� )@� !�� N+MX̀=1 (~w`(x; y; � ) + ~w�̀(x; y; � ))!2 : (31)3. ��������� �������।« £ ¥¬ë© ¬¥â®¤ à áç¥â ¥áâ 樮 ண®¯®«ï ¤ ¢«¥¨ï ¢ ®¡« á⨠§ ¢¨å८á⨠¯à®¡¨à®-¢ ¤«ï ®¡®¨å á«ãç ¥¢ { ¤¢¨¦¥¨ï ⥫ ¢ ¡¥§£à -¨ç®© á।¥ (¯à¨¬¥ï« áì ä®à¬ã« (21); १ã«ì-â âë ¯à¥¤áâ ¢«¥ë à¨á. 3) ¨ ¤¢¨¦¥¨ï ⥫ ¢¡«¨§¨ íªà (¯à¨¬¥ï« áì ä®à¬ã« (29); १ã«ì-â âë ¯à¥¤áâ ¢«¥ë à¨á. 4). � ®¡®¨å á«ãç ïå¢ ª ç¥á⢥ ⥫ S ¡à « áì ¡¥áª®¥ç® ⮪ ï, ¡-᮫î⮠⢥ठï, ¥¯à®¨æ ¥¬ ï ¯àאַ«¨¥© ﯫ á⨠.� ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ � = 0 ¯à¥¤¯®« £ «®áì, çâ®á।
¯®ª®¨âáï, ¢¨åਠ®âáãâáâ¢ãîâ, ¯« áâ¨- à ᯮ«®¦¥ ¯ à ««¥«ì® ®á¨ OY , ¯®á«¥ 祣® ç¨ ¥â ¬£®¢¥ë© 㣫®¢®© áâ àâ á ¥¤¨¨ç®©ã£«®¢®© ᪮à®áâìî ¢à 饨ï ~! ¢®ªà㣠᢮¥© «¥¢®©ªà®¬ª¨ ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨.�ਠ«¨ç¨¨ íªà G, ¢ ¬®¬¥â � = 0 ¯« áâ¨- à ᯮ« £ « áì ®â ¥£® à ááâ®ï¨¨ 0.1 ᢮¥©¤«¨ë.
�á«®¢¨¥ �ãââ {�㪮¢áª®£®{� ¯«ë£¨ ¢ë¯®«-ï«®áì ⮫쪮 ¯®¤¢¨¦®© ®áâன ªà®¬ª¥.� ª ª ª ¢ ¯à®æ¥áᥠ¢à é¥¨ï ¯« áâ¨ë S ®¡à -§ã¥âáï ᢮¡®¤ ï ¢¨åॢ ï ¯¥«¥ , ä®à¬ã ª®â®à®©¥®¡å®¤¨¬® ®¯à¥¤¥«ïâì ¢ ¯à®æ¥áᥠà¥è¥¨ï, ¤ -ë¥ § ¤ ç¨ ï¢«ïîâáï ¥«¨¥©ë¬¨, â ª ª ª à á-ᬠâਢ ¥âáï ¬£®¢¥ë© áâ àâ { ¨ ¢ë᮪®¥áâ -樮 à묨.�áá«¥¤®¢ ¨î íâ¨å ¨ ¯®¤®¡ëå § ¤ ç ¯®á¢ïé¥-ë à ¡®âë [6{22], ®¤ ª® ¯®«ï ¤ ¢«¥¨ï ¢ ¨å ¥¨§ãç «¨áì.� à¨á. 3 ¨ 4 è £ ¬¥¦¤ã § 票ﬨ á®á¥¤¨å¨§®¡ à à ¢¥ 0.5. �¯«®èë¥ «¨¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ã-îâ ®âà¨æ ⥫ìë¬ § ç¥¨ï¬ CP , èâà¨å®¢ë¥ {¯®«®¦¨â¥«ìë¬. � ª ç¥á⢥ ¤®¯®«¨â¥«ì®© ¨-ä®à¬ 樨 ¤«ï «¨§ ¯à®â¥ª îé¨å ¯à®æ¥áᮢ, ¯à¥¤áâ ¢«¥ëå à¨á㪠å â ª¦¥ ¯®ª § £« ¢-ë© ¢¥ªâ®à ¢¥è¨å ᨫ, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯« áâ¨-ã. �£® ç «® ¯®¬¥é «®áì ¢ â®çªã æ¥âà ¤ ¢«¥-¨ï ¯« áâ¨ã, ¤«¨ ¤«ï 㤮¡á⢠¯à¥¤áâ ¢«¥-¨ï १ã«ìâ ⮢ ¡ë« 㬥ìè¥ ¢ ¤¥áïâì à §.� à¨á. 3,a ¨ 4, ¯®ª § ë ª àâ¨ë ¨§®¡ à¤«ï ¯¥à¢®£® à áç¥â®£® ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨, ª®£¤ ¯« á⨠ᮢ¥à訫 áâ àâ ¢ ¯®â¥æ¨ «ì®© áà¥-¤¥, â® ¥áâì ª®£¤ ¥é¥ ¥ á®è¥« ¨ ®¤¨ ¤¨áªà¥â-ë© ¢¨åàì; à¨á. 3,¡ ¨ 4,¡ { ¢â®à®© à áç¥â멬®¬¥â ¢à¥¬¥¨; ¤¢¥ ¯®á«¥¤ãî騥 ª àâ¨ë ¡ë«¨¯®«ãç¥ë ¯à¨ § 票ïå 㣫 ¯®¢®à®â 60�.�§ ¯à¥¤áâ ¢«¥ëå १ã«ìâ ⮢ ¢¨¤®, ç⮯।«®¦¥ë© ¬¥â®¤ ¯®§¢®«ï¥â à ááç¨âë¢ âì ¥-áâ 樮 ஥ ¯®«¥ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ®¡« á⨠§ ¢¨åà¥-®á⨠¯à¨ «¨ç¨¨ ¯®¤¢¨¦ëå £à ¨æ á § ¤ ®©á⥯¥ìî â®ç®á⨠(¬¥à ¤¨áªà¥â®á⨠¢ ®¡®¨åá«ãç ïå à ¢ï« áì 0.0125).�®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âë ᮮ⢥âáâ¢ãî⠢ᥬ§ «®¦¥ë¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬: ¢®ªà㣠¥¯®-¤¢¨¦®© ªà®¬ª¨ ¯« áâ¨ë, £¤¥ à §à¥è îâáï ¡¥á-ª®¥çë¥ à §à¥¦¥¨ï, á£ãá⨫¨áì ®âà¨æ ⥫ì륨§®¡ àë, â® ¥áâì ¨¬¥îâáï ¡®«ì訥 ®âà¨æ ⥫ì-ë¥ £à ¤¨¥âë; å®à®è® ¢¨¤¥ ¯¥à¥¯ ¤ ¤ ¢«¥¨ï ¯« á⨥, ®¡ãá«®¢«¥ë© ¥¥ ¥¯à®¨æ ¥¬®áâìî; ¯à ¢«¥¨¥ £« ¢®£® ¢¥ªâ®à ¢¥è¨å ᨫ á®®â-¢¥âáâ¢ã¥â ®¡é¥© ª à⨥ à á¯à¥¤¥«¥¨ï ª®íää¨-樥⠤ ¢«¥¨ï ¢¡«¨§¨ ¯« áâ¨ë, å®âï ® à á-áç¨â ¯® ¤à㣮© ¬¥â®¤¨ª¥; ª ¯®¤¢¨¦®© ªà®¬-ª¥, ª®â®à®© ¢ë¯®«ï¥âáï ãá«®¢¨¥ �ãââ {�ã-ª®¢áª®£®{� ¯«ë£¨ , ¢ ¯¥à¢ë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨¡«¨§ª® ¯®¤å®¤¨â ã«¥¢ ï ¨§®¡ à , ¢ ¯®á«¥¤ãî-騥, ª®£¤ ¯« á⨠㦥 ¤¢¨¦¥âáï á ¯®áâ®ï®©ã£«®¢®© ᪮à®áâìî, «¨¨ï ã«¥¢ëå § 票© CP ç¨ ¥âáï ®â ¯®¤¢¨¦®© ªà®¬ª¨ ¯« áâ¨ë. �®¡®¨å á«ãç ïå «¨¨ï CP = 0 ã室¨â ¢ ¡¥áª®¥ç-®áâì, ®¤ ª® ¢ á«ãç ¥ ¢à é¥¨ï ¯« áâ¨ë ¢¡«¨§¨á⥪¨, ª ª ¨ ®¦¨¤ «®áì, ¢®ªà㣠¯« áâ¨ë ¢®§¨-86 �. �. �¥å®¢æ®¢
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 1. �. 79 { 87ª ¥â £®à §¤® ¡®«ì襥 à §à¥¦¥¨¥, ¯¥à¥à á¯à¥¤¥-«ïî饥 ¨§®¡ àë. �â® å®à®è® § ¬¥â® ¢ ®ªà¥áâ-®á⨠¥¯®¤¢¨¦®© ªà®¬ª¨ ¨ ¢ ï¤à¥ á室ï饣® ¢¨-åàï, ¯à¨ç¥¬ ¢ á«ãç ¥ ¯à¨áãâá⢨ï á⥪¨ ¢¨åàì¡®«¥¥ ¯à¨¡«¨¦¥ ª ¯« á⨥, ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥âíªá¯¥à¨¬¥â «ìë¬ à¥§ã«ìâ â ¬ [9, 13].�����������।«®¦¥ë© ¬¥â®¤ ¯®§¢®«ï¥â à ááç¨âë¢ âì¥áâ 樮 ஥ ¯®«¥ ¤ ¢«¥¨ï ¢ ®¡« á⨠§ ¢¨åà¥-®áâ¨, ¯à¨«¥£ î饩 ª ¢à é î饬ãáï ªàë«ã, ª ª¢ ¡¥§£à ¨ç®© á।¥, â ª ¨ ¯à¨ «¨ç¨¨ ¯®¤¢¨¦-ëå £à ¨æ, á ¢ë᮪®© á⥯¥ìî â®ç®áâ¨.1. �¢®à ª �. �., �« ¯®¢ �. �. �ëç¨á«¥¨¥ ¤ ¢«¥-¨© ¨ ¯à®¨§¢®¤ëå ª®¬¯®¥â ᪮à®á⨠¢ ®¡« áâïå§ ¢¨å८á⨠¤¢ã¬¥àëå â¥ç¥¨© // �¨á«¥ë¥¬¥â®¤ë à¥è¥¨ï ¨â¥£à «ìëå ãà ¢¥¨© ¨ ¨å¯à¨«®¦¥¨ï.{ �.: ���� ¨¬. �.�. �㪮¢áª®£®.{1988.{ �. 135{152.2. �¥«®æ¥àª®¢áª¨© �. �., �¨èâ �. �. �âà뢮¥ ¨¡¥§®âà뢮¥ ®¡â¥ª ¨¥ ⮪¨å ªàë«ì¥¢ ¨¤¥ «ì®©¦¨¤ª®áâìî.{ �.: � 㪠, 1978.{ 352 á.3. �®¢£¨© �. �., �¥å®¢æ®¢ �. �. �ᮢ¥àè¥á⢮-¢ ë© ¬¥â®¤ ¤¨áªà¥âëå ¢¨å३ ¤«ï ¥áâ æ¨-® àëå § ¤ ç // �¡ç¨á«î¢ «ì ⠯ਪ« ¤ ¬ ⥬ ⨪ .{ 1997.{ N2(82).{ �. 30{44.4. Sarpkaya T. Computational Methods With Vortices{ The 1988 Freeman Scholar Lecture // J. of FluidEng.{ 1989.{ N1.{ P. 5{56.5. �®ç¨ �. �., �¨¡¥«ì �. �., �®§¥ �. �. �¥®à¥â¨-ç¥áª ï £¨¤à®¬¥å ¨ª , ç.1.{ �.: �����, 1963.{584 á.6. Lighthill M. J. On the Weis{Fogh mechanism of liftgeneration // J. Fluid Mech.{ 1973.{ 60, N1.{ P. 1{17.7. �¥«®æ¥àª®¢áª¨© �. �., �ã«ï¥¢ �. �., �¨èâ �. �.� ¨§ãç¥¨î ¯®«¥â ᥪ®¬ëå ¨ ¯â¨æ // �������.{ 1974.{ 219, N3.{ �. 567{570.8. Weis{Fogh T. Flapping
ight and power in birdsand insects, conventional and novel mechanisms //Swimming and Flying in Nature. { N.Y.{L.: PlenumPress.{ 1975.{ 2.{ P. 729{762.9. Maxworthy T. Experiments on the Weis{Fogh mech-anism of lift generation by insects in hovering
ight.Part I. Dynamics of the \
ing" // J. Fluid Mech.{1979.{ 93, N1.{ P. 47{63.
10. Haussling H. J. Boundary{�tted coordinates for ac-curate numerical solution of multibody
ow prob-lems // J. Comp. Phys.{ 1979.{ 30.{ P. 107{124.11. Edwards R. H., Cheng H. K. The separation vor-tex in the Weis{Fogh circulation generetion mecha-nism // J. Fluid Mech.{ 1982.{ 120.{ P. 463{473.12. Ellington C. P. The aerodynamics of
apping animal
ight // Amer. Zool.{ 1984.{ 24, N1.{ P. 95{105.13. Spedding G. R., Maxworthy T. The generation ofcirculation and lift in a rigid two{dimensional
ing //J. Fluid Mech.{ 1986.{ 165.{ P. 247{272.14. Tsutahara M., Kimura T. Aerodynemic character-istics of the Weis{Fogh mechanism (II) NumericalComputations by the Discrete Vortex Method // �¨-å® ª®ªã ãâî £ ©ªª ©á¨. J. Jap. Soc. Aeronaut. andSpace Sci.{ 1987.{ 35, N407.{ P. 596{604.15. Sohn M. H., Wu J. C. A numerical stady of theWeis{Fogh mechanism // AIAA Pap.{ 1987.{ N238.{P. 1{11.16. �®¢£¨© �. �., �¥å®¢æ®¢ �. �. �®¤¥«¨à®¢ ¨¥íâ ¯®¢ ¢§«¥â ¨ ¯®á ¤ª¨ ᥪ®¬®£® ¯à¨ ¬ èã-饬 ¯®«¥â¥ // �¥â®¤ë ¤¨áªà¥âëå ®á®¡¥®á⥩¢ § ¤ ç å ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨, ç.1.{ � à쪮¢.{1989.{ �. 98.17. �®¢£¨© �. �., �¥å®¢æ®¢ �. �. � ¢®¯à®áã ® ç¨á«¥-®¬ ¬®¤¥«¨à®¢ ¨¨ ¬ èã饣® ¯®«¥â ¢ âà¥å¬¥à-®© ¯®áâ ®¢ª¥ // �¨á«¥ë¥ ¬¥â®¤ë ¬¥å ¨ª¨á¯«®è®© á।ë, ç.1.{ �à á®ïàáª.{ 1989.{ �. 44{45.18. �®¢£¨© �. �., �¥å®¢æ®¢ �. �. �¨á«¥®¥ ¬®¤¥-«¨à®¢ ¨¥ ç «ì®£® íâ ¯ à áªàëâ¨ï ªàë«ì¥¢®áë "Encarsia formosa" // �¨®¨ª . { �¨¥¢: � -ãª. ¤ã¬ª .{ 1992.{ �ë¯.25.{ �. 17{24.19. �®¢£¨© �. �., �¥å®¢æ®¢ �. �. �¡ ®¤®¬ ¬¥å -¨§¬¥ ®¡à §®¢ ¨ï ¢ë᮪®© ¯®¤ê¥¬®© á¨«ë ¯à¨â९¥éã饬 ¯®«¥â¥ ᥪ®¬ëå // �¨®¨ª . { �¨-¥¢: � ãª. ¤ã¬ª .{ 1993.{ �ë¯. 26.{ �. 74{83.20. �¥å®¢æ®¢ �. �. �®¤¨ä¨æ¨à®¢ ë© ¬¥å ¨§¬\¡à®áª " ¤«ï á«ãç ï £¨¡ª¨å ªàë«ì¥¢ // �¨®¨ª . {�¨¥¢: � ãª. ¤ã¬ª .{ 1997.{ �ë¯. 27.{ �. 33{40.21. Shekhovtsov A. V. Investigation of an initial stageof vortex formation near a surface // E�ects of or-ganized vortex motion on heat and mass transfer.{Kiev.{ 1994.{ P. 62.22. Shekhovtsov A. V. Inertial{vortical principle of an-imal
ight // BIONA{report 12.{ Stuttgart, Jena,Lubeck: G. Fischer, Akad. Wiss. u. Lit., Mainz.{1998.{ P. 307{316.
�. �. �¥å®¢æ®¢ 87
|