Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств

Рассматривается подход к решению вариационных неравенств, сводящий исходную задачу к задаче оптимизации. Дальнейшее исследование позволяет построить функцию в пространстве исходных переменных, минимизация которой эквивалентна решению исходной задачи....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2003
Автори:	Данилин, Ю.М., Шубенкова, И.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2003
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50313
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств / Ю.М. Данилин, И.А. Шубенкова // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 3. — С. 66-74. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50313
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-503132013-10-11T03:05:12Z Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств Данилин, Ю.М. Шубенкова, И.А. Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Рассматривается подход к решению вариационных неравенств, сводящий исходную задачу к задаче оптимизации. Дальнейшее исследование позволяет построить функцию в пространстве исходных переменных, минимизация которой эквивалентна решению исходной задачи. Розглядається підхід до розв’язання варіаційних нерівностей, що зводить початкову задачу до задачі оптимізації. Подальше вивчення проблеми дозволяє побудувати функцію у просторі вихідних змінних, мінімізація яких еквівалентна розв’язанню початкової задачі. An approach to solving variational inequalities is considered. It reduces an input problem to solving an optimization problem. Further investigation of the problem makes it possible to construct a function in the space of initial variables, minimization of which is equivalent to the input problem solution. 2003 Article Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств / Ю.М. Данилин, И.А. Шубенкова // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 3. — С. 66-74. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50313 519.8 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор
spellingShingle	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Данилин, Ю.М. Шубенкова, И.А. Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств Системні дослідження та інформаційні технології
description	Рассматривается подход к решению вариационных неравенств, сводящий исходную задачу к задаче оптимизации. Дальнейшее исследование позволяет построить функцию в пространстве исходных переменных, минимизация которой эквивалентна решению исходной задачи.
format	Article
author	Данилин, Ю.М. Шубенкова, И.А.
author_facet	Данилин, Ю.М. Шубенкова, И.А.
author_sort	Данилин, Ю.М.
title	Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств
title_short	Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств
title_full	Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств
title_fullStr	Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств
title_full_unstemmed	Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств
title_sort	оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2003
topic_facet	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50313
citation_txt	Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств / Ю.М. Данилин, И.А. Шубенкова // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 3. — С. 66-74. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT danilinûm optimizaciâirešenievypuklyhvariacionnyhneravenstv AT šubenkovaia optimizaciâirešenievypuklyhvariacionnyhneravenstv
first_indexed	2025-07-04T11:54:37Z
last_indexed	2025-07-04T11:54:37Z
_version_	1836717260770639872
fulltext	© Ю.М Данилин, И.А. Шубенкова, 2003 66 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 TIДC МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР УДК 519.8 ОПТИМИЗАЦИЯ И РЕШЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ Ю.М. ДАНИЛИН, И.А. ШУБЕНКОВА Рассматривается подход к решению вариационных неравенств, сводящий ис- ходную задачу к задаче оптимизации. Дальнейшее иcследование позволяет по- строить функцию в пространстве исходных переменных, минимизация кото- рой эквивалентна решению исходной задачи. Решение вариационного неравенства на множестве S n -мерного евклидова пространства nE заключается в определении точки Sx ∈* , для которой вы- полняется условие ( ) SxxxxF ∈∀≥− ,0, ** , (1) где оператор nn EExF →:)( . Символы ⋅⋅, и ⋅ обозначают скалярное произведение и норму в nE . Будем считать, что ( )xF — непрерывный оператор; ( ){ ≤= xgxS j: }tj ,...,1,0 =≤ , причем S ограничено и имеет непустую внутренность, а ( )xg j — выпуклые непрерывно дифференцируемые функции. Если x удовлетворяет неравенству (1), то, очевидно, ( )xfx minarg = , ( ) ( ) ** , xxxFxf −= , Sx∈ . В точке x выполняются следующие необходимые и достаточные ус- ловия минимума функции )(xf на множестве S : существуют такие множители 0 ≥ jλ , что ( ) ( ) ( ) tjxgxgxF j j t j j j ,...,1,0,0 1 * ===′+∑ = λλ . (2) С учетом (2) оказывается [1, 2], что решение вариационного неравенст- ва (1) может быть сведено к задаче ( ) ( ) Qxx ∈λλϕ ,,,min , (3) Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 67 ( ){ }tjSxxQ j ,...,1,0,:, =≥∈= λλ , ( ) ( ) ( ) ( )∑∑ == −′+= t j j j t j j j xgxgxFx 1 2 12 1, λλλϕ . (4) Функция ( )λϕ ,x (4) является двойственной к функции ( ) ( ) ( ) ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =≤′++= ∈ tjpxgxgppxFx jj Ep n ,...,1,0,: 2 1,min 2ψ , (5) и, в силу теоремы двойственности (при сделанных предположениях спра- ведлива теорема Куна-Таккера) ( ) ( ) ( )( )xxxx λϕλϕψ λ ,,min 0 == ≥ . (6) При Sx∈ выполняется неравенство ( ) 0≥xψ . Следовательно, при ( ) Qx ∈λ, ( )( ) ( )λϕλϕ ,,0 xxx ≤≤ , и для точки ( ) ,λx , удовлетворяющей соотношениям (2), ( )( ) ( ) 0,,0 =≤≤ λϕλϕ xxx , т.е. ( ) ( )( ) ( ) 0,, *** === λϕλϕψ xxxx . Таким образом, в точке x реализуется абсолютный минимум функции ( )xψ на множестве S , и ,как вытекает из (4), в точке ( )( )* , xx λ выполняют- ся условия (2). А это означает, что решение вариационного неравенства (1) эквивалентно задаче ( ) Sxx ∈,minψ . (7) Остановимся теперь на изучении некоторых свойств функции ( )xψ (6). Теорема 1. На произвольном ограниченном множестве nE⊂Ω функ- ция ( )xψ непрерывна. Доказательство. По предположению множество S имеет непустую внутренность, т.е. существует точка Sz∈ такая, что ( ) γ−≤zg j , 0>γ , tj ,...,1= . При этом задача (5) при любом x имеет единственное решение ( )xp , и выполняются следующие необходимые и достаточные условия экс- тремума: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) .,...,1,0, ,0,0 1 tjxpxgxgx xxgxxpxF jj j j t j j j ==′+ ≥=′++ ∑ = λ λλ (8) Ю.М. Данилин, И.А. Шубенкова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 68 Множители ( )xjλ , удовлетворяющие (8), одновременно реализуют и решение задачи ( )λϕ λ ,min 0 x ≥ , т.е. определяют функцию ( )xψ . В работе [3] доказана оценка ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 xzxFx t j j −+≤∑ = γ λ . С учетом непрерывности ( )xF это означает, что на ограниченном множестве Ω множители ( )xjλ также ограничены, т.е. ( ) tEx ⊂Λ⊂λ , где ( )xλ — вектор с компонентами ( )xjλ , а множество Λ — компакт. Таким образом, на ограниченном множестве Ω ( ) ( )λϕψ λ ,min xx Λ∈ = . В силу непрерывности ( )λϕ ,x (по переменным x и λ ) следует и не- прерывность функции ( )xψ (см., напр., [4], теорема 7.2). ■ При некоторых дополнительных предположениях можно установить дифференцируемость ( )xψ в локальной окрестности точки x . Предварительно докажем следующий результат. Лемма. Решение задачи (5) — вектор ( ) 0→xp при xx→ . Доказательство. На ограниченном множестве Ω величина ( )xp огра- ничена — это следует из (8) в силу ограниченности ( )xF , ( )xjλ , ( )xg j′ . Пусть { }kx — произвольная последовательность, сходящаяся к точке x , и { } ξkx — произвольная бесконечная подпоследовательность из { }kx . В силу ограниченности ( ){ } ξkxp , ( ){ } ξ λ kx существуют предельные точки этих по- следовательностей p~ , λ ~ . Переходя в (8) к пределу при xxk → ξ , получаем ( ) ( ) ,0~~ 1 =′++ ∑ = t j j j xgpxF λ ( ) ( )( ) tjpxgxg j jj j ,...,1,0~,0~,~ =≥=′+ λλ . (9) Условия (9) показывают, что p~ — решение задачи (5) в точке x . В силу единственности решения ( ) ~ xpp = . В силу непрерывности функций ( )xψ и ( )λϕ ,x ( ) ( ) ( )( ) ( )λϕλϕψψ ξξ ξ ξ ξ ~ ,,limlim ** xxxxx kk k k k === ∞→∞→ . Но ( ) 0* =xψ , т.е. ( ) 0 ~ ,* =λϕ x . Из этого следует (4), что ( ) ( ) 0 ~ 1 ** =′+∑ = t j j j xgxF λ . Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 69 Поэтому в силу (9) ( ) 0~ * == xpp . Итак, предельной точкой любой бесконечной последовательности ( ){ } ξkxp является нулевой вектор. Из этого следует, что ( ) 0→kxp , ∞→k . Поскольку { }kx — произвольная последовательность (сходящаяся к x ), то ( ) 0→xp при xx→ .■ Далее будем считать, что выполняются условия: а) оператор ( )xF дважды, а функции ( )xg j трижды непрерывно диф- ференцируемы; б) в точке x , удовлетворяющей (2), градиенты ( )xg j′ , ( )xJj∈ — линейно независимы и 0 > jλ , ( )xJj∈ . Здесь ( ) ( ){ }tjxgjxJ j ,...,1,0: * === . Теорема 2. Пусть выполняются условия а, б. Тогда в локальной окре- стности точки x функция ( )xψ дважды непрерывно дифференцируема, и ( ) ( )( ),, xxx x λϕψ ′=′ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ).,,,, 1 xxxxxxxxx xxxx λϕλϕλϕλϕψ λλλλ ′′′′′′−′′=′′ − (10) Доказательство. При выполнении условий б существует окрестность ( ) { }δδ ≤−=Ω * :, xxxx , для всех точек которой выполняется условие ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }.,...,1,0,: ,* tjxpxgxgjxJ xJxJ jj ==′+= = (11) Действительно, для ( )xJj∉ будет ( ) ( ) 0* <−=→ j jj xgxg β . В силу леммы ( ) 0→xp ( xx→ ). Следовательно, если окрестность ( )δ,xΩ доста- точно мала, в любой точке ( )δ,xx Ω∈ ( ) ( ) ( ) ( ),0, xJjxpxgxg jj ∉<′+ , (12) и в силу (8) ( ) 0=xjλ . Пусть { }kx — произвольная последовательность, сходящаяся к x . Предположим, что при сколь угодно больших номерах k может оказаться ( ) ( )xJxJ k ≠ . С учетом (12) это будет означать, что ( ) ( )xJxJ k ⊂ . Посколь- ку существует лишь конечное число различных множеств ( ) ( )xJxJ ⊂ , най- дется подпоследовательность { } ξkx из { }kx такая, что ( ) ( )xJJxJ k ⊂= ξ ( ( )xJJ ≠ ). При этом, переходя в (8) к пределу ( xxk → ξ , ( ) 0→ ξkxp , ( ) λλ ξ ~ →kx , получаем Ю.М. Данилин, И.А. Шубенкова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 70 ( ) ( ) 0 ~ * =′+∑ ∈Jj j j xgxF λ , что противоречит условию б ( 0* > jλ , ( )xJj∈ ). Поэтому условие ( ) ( )xJxJ k ≠ при ∞→k выполняться не может. В силу произвольного вы- бора { }kx следует справедливость (11). При выполнении (11) соотношения (8) представимы в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 * =′++ ∑ ⊂ xJj j j xgxxpxF λ , ( ) ( ) ( ) ( ),0, xJjxpxgxg jj ∈=′+ , (13) ( ) ( ),0 xJjxj ∉=λ . Полагая окрестность ( )δ,xΩ настолько малой, что градиенты ( )xg j′ , ( )xJj∈ — линейно независимы при любом ( )δ,xx Ω∈ , из (13) получаем ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , T 1T xxgxFxp xFxgxgxgxgx J J λ λ ′−−= ′−′′= − (14) где ( )xJλ — вектор-столбец с компонентами ( )xjλ , ( )xJj∈ ; ( )xg — век- тор-столбец с компонентами ( )xg j , ( )xJj∈ ; ( )xg ′ — матрица, строками которой являются векторы ( )xg j′ , ( )xJj∈ . Поскольку в окрестности ( )δ,xΩ множители ( ) 0≡xjλ , ( )xJj∉ , да- лее будем считать, что в этой окрестности Jλλ = и ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑ ∈∈ −′+= ** 2 2 1, xJj j j xJj j j xgxgxFx λλλϕ . Из (14), в силу условий а, следует, что ( )xJλ дважды непрерывно диф- ференцируемая функция, и поэтому функция ( ) ( )( )xxx λϕψ ,= также дважды непрерывно дифференцируема в окрестности ( )δ,xΩ . Установим теперь справедливость выражений (10). Если ( )xλ′ — матрица, строками которой являются векторы ( )( )′xjλ , то градиент функции ( )xψ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =′′+′=′ xxxxxx x λϕλλϕψ λ ,, T ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )′′+′= ∑ ∈ xxxxx j xJj x j λλϕλϕ λ ,, . (15) Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 71 Будем считать окрестность ( )δ,xΩ настолько малой, что множители ( ) 0>xjλ , ( )xJj∈ . При этом в силу необходимых условий экстремума (на множестве 0≥λ ) ( )( ) ( )( ) ,0,, =′= ∂ ∂ xxxx jj λϕ λ λϕ λ ( ) ( )** ,, xJjxx ∈Ω∈∀ δ . (16) Следовательно (15), ( ) ( )( )xxx x λϕψ ,′=′ . Определим теперь ( )xψ ′′ . Обозначим ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂∂ ∂ =′′ jixx xx xx λϕλϕ ,, 2 , ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂∂ ∂ =′′ ji xx λλ λϕλϕλλ ,, 2 , i , j — индексы строки и столбца, ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂∂ ∂ =′′ jix x xx λ λϕλϕ λ ,, 2 , ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂∂ ∂ =′′ jix x xx λ λϕλϕλ ,, 2 . Тогда ( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )xxxxxxxx xxxxx λλϕλϕλϕψ λ ′′′+′′=′′=′′ ,,, . (17) Далее, ( )( )[ ] ( )( ) ( )( ) ( )xxxxxxx xx λλϕλϕλϕ λλλλ ′′′+′′=′′ ,,, . (18) При выполнении (16) очевидно ( )( )[ ] ( )δλϕλ ,,0, xxxx x Ω∈∀=′′ . (19) В окрестности ( )δ,xΩ матрица ( )( ) ( ) ( )xgxgxx T, ′′=′′ λϕλλ является не- вырожденной, поэтому из (18), (19) следует ( ) ( )( ) ( )( )xxxxx x λϕλϕλ λλλ ,, 1 ′′′′−=′ − . Таким образом, выражение (17) можно представить в виде ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( )xxxxxxxxx xxxx λϕλϕλϕλϕψ λλλλ ,,,, 1 ′′′′′′−′′=′′ − . Итак, равенства (10) справедливы. ■ Теорема 3. Пусть ( )** ,λx — точка, удовлетворяющая соотношениям (2), и выполняются условия а, б. Тогда ( ) ( ) ( ) 0 * * =′+′ ∑ ∈ xJj j j xgx λψ . (20) Ю.М. Данилин, И.А. Шубенкова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 72 Если к тому же оператор ( )xF — сильно монотонный, т.е. ( ) ≥′ ppxF , ,2pm≥ nEp∈∀ , 0>m , то ( ) ( ) 0,* > ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′+′′ ∑ ppxgx j j jλψ (21) для любого вектора 0≠p такого, что ( ) ( )** ,0, xJjpxg j ∈=′ . (22) Доказательство. Поскольку x — точка минимума функции ( )xψ на множестве S , существуют такие множители 0 ≥jµ , ( )xJj∈ , что ( ) ( ) ( ) 0 *** =′+′ ∑ ∈ xJj j j xgx µψ . (23) Но, поскольку ( ) ( ) ( ) 0 * *** =′+ ∑ ∈ xJj j j xgxF λ , то (10) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ∑ ∈ ′−=′=′ * ***** , xJj j j x xgxxx λλϕψ . Следовательно (23), ( ) ( ) ( ) 0 * *** =′−∑ ∈ xJj j jj xgλµ . (24) В силу линейной независимости градиентов )( xg j′ , ( )xJj∈ из (24) следует, что jj ** λµ = , ( )xJj∈ , т.е. равенство (20) справедливо. Установим справедливость (21). Поскольку ( )( ) ( ) ( ) T **, xgxgxx ′′=′′ λϕλλ , ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′+′′=′′ ∑ ∈ IxgxFxgxx xJj j j x **** , λλϕλ , где I — единичная матрица; ( )( ) ( )( )[ ]T,, xxxx xx λϕλϕ λλ ′′=′′ , тогда ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) =′′′′′′ − 1 **** ,,, xxxxxx xx λϕλϕλϕ λλλλ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )×′′′′ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′+′= − ∈ ∑ * 1 * T T T * * xgxgxgxgIxgxF xJj j jλ ( ) ( ) ( ) . * *** ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′+′× ∑ ∈ IxgxF xJj j jλ Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 73 Обозначим ( ) ( ) ( ) ∑ ∈ ′′+′= * **** xJj j j xgxFA λ , ( ) ( ) ( )[ ] ( )* 1 * T ** T * xgxgxgxgG ′′′′= − . Тогда [ ] [ ] T * T * T * GGAAGAGAIAGIA +−−=−− . (25) Заметим, что G — оператор проектирования на подпространство, об- разованное векторами )( xg j′ , ( )xJj∈ . В силу свойств оператора проек- тирования, если вектор p такой, что выполняются условия (22), то ,0,0 ,0,, * T * ** == == pGpGA pGpAppAG (26) === pApAGGpApAGppAGA ******* T * ,,, 2 ****** , pAGpAGpAG == . (27) По предположению, оператор ( )xF — сильно монотонный, а функции ( )xg j — выпуклы, поэтому матрица A положительно определена, т.е. 0, >ppA , nEp∈∀ , 0≠p . Если для вектора p выполняются условия (22), то вектор pA* не может принадлежать подпространству, образован- ному векторами )( xg j′ , ( )xJj∈ , в противном случае оказалось бы, что 0,* =ppA . Из этого следует pApAG *** < . (28) Учитывая, что ( ) ( ) ( ) ∑ ∈ ′′−=′′ * * T , xJj j xx xgAAx λλϕ , в силу второго из ра- венств (10) получаем ( ) ( ) [ ] [ ]IAGIAAAxgx j j j −−−=′′+′′ ∑ T T ** λψ . Из (25) с учетом (26), (27) следует, что для любого вектора p , удовле- творяющего условиям (22), [ ] [ ] 2 ** T * , pAGppIAGIA =−− . Следовательно, Ю.М. Данилин, И.А. Шубенкова ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 74 ( ) ( ) 2 2 ** , pAGpAppxgx j j j −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′+′′ ∑λψ . С учетом (28) это означает справедливость (21). ■ Поскольку при выполнении условий а, б справедливо равенство (20), а при условии, что ( )xF — сильно монотонный оператор, и неравенство (21), то точка *x реализует невырожденный минимум функции ( )xψ . Итак, решение вариационного неравенства (1) может быть сведено к решению задачи минимизации функции ( )xψ на множестве S (т.е. к опти- мизационной задаче в пространстве исходных переменных). Изученные в данной работе свойства функции ( )xψ (теоремы 1, 2, 3) показывают, что, по крайне мере, в локальной окрестности решения может быть использован весь хорошо развитый аппарат численных методов оптимизации. В частнос- ти, возможно использование ньютоновских и квазиньютоновских процес- сов, базирующихся на методах последовательного квадратичного програм- мирования [2, 5]. ЛИТЕРАТУРА 1. Danilin Yu. M. On an approach to solution of variational inequalities // II Укр. конф. «Автоматика-95». — Львів, 1995. — 1. — С. 20. 2. Данилін Ю.М., Шубенкова І.А. Про розв’язання варіаційних нерівностей в скінченновимірних просторах // Праці міжнар. конф. «Питання оптимізації обчислень». Київ. — 1997. — С. 86–89. 3. Пшеничный Б.Н., Калжанов М.У. Метод решения вариационных неравенств // Кибернетика и системный анализ. — 1992. — №6. — С. 48–55. 4. Зангвилл У.И. Нелинейное программирование. — М.: Сов. радио, 1973. — 307 с. 5. Данилин Ю.М. Последовательное квадратичное программирование и модифи- цированные функции Лагранжа // Кибернетика и системный анализ. — 1994. — №5. — С. 51–67. Поступила 25.07.2003

Оптимизация и решение выпуклых вариационных неравенств

Репозитарії

Схожі ресурси