Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів
Розглянуто побудову функцій прогнозування для стаціонарних процесів авторегресії та авторегресії з ковзним середнім, процесів з детермінованими та стохастичними трендами, гетероскедастичних та коінтегрованих процесів. Наведено функції прогнозування, які отримані без розв'язку рівнянь та на осно...
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
2003
|
| Schriftenreihe: | Системні дослідження та інформаційні технології |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50316 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів / П.І. Бідюк // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 3. — С. 88-110. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-50316 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-503162013-10-11T03:05:39Z Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів Бідюк, П.І. Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Розглянуто побудову функцій прогнозування для стаціонарних процесів авторегресії та авторегресії з ковзним середнім, процесів з детермінованими та стохастичними трендами, гетероскедастичних та коінтегрованих процесів. Наведено функції прогнозування, які отримані без розв'язку рівнянь та на основі їх розв'язку. Для опису стохастичного тренду використано модель випадкового кроку з шумом та дрейфом, а також модель лінійного локального тренду. Розглянуто основні типи рівнянь для опису гетероскедастичних та коінтегрованих процесів. Рассмотрено построение функций прогнозирования для стационарных процессов авторегрессии и авторегрессии со скользящим средним, процессов с детерминированными и стохастическими трендами, гетероскедастических и коинтегрированных процессов. Приведены функции прогнозирования, полученные без решений и на основе решений разностных уравнений. Для описания случайного тренда использована модель случайного шага с шумом и дрейфом, а также модель линейного локального тренда. Рассмотрены основные типы уравнений для описания гетероскедастических и коинтегрированных процессов. Constructing of forecasting functions is considered for the following classes of processes: stationary autoregression and autoregression with moving average part, processes with deterministic and stochastic trends, heteroscedastic and cointegrated processes. The forecasting functions are given derived with and without the difference equation solution. To describe the stochastic trend, the random step model with noise and drift and the model of linear local trend are used. The basic types of equations are given for describing heteroscedastic and cointegrated processes. 2003 Article Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів / П.І. Бідюк // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 3. — С. 88-110. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50316 62-50 uk Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| spellingShingle |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем Бідюк, П.І. Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів Системні дослідження та інформаційні технології |
| description |
Розглянуто побудову функцій прогнозування для стаціонарних процесів авторегресії та авторегресії з ковзним середнім, процесів з детермінованими та стохастичними трендами, гетероскедастичних та коінтегрованих процесів. Наведено функції прогнозування, які отримані без розв'язку рівнянь та на основі їх розв'язку. Для опису стохастичного тренду використано модель випадкового кроку з шумом та дрейфом, а також модель лінійного локального тренду. Розглянуто основні типи рівнянь для опису гетероскедастичних та коінтегрованих процесів. |
| format |
Article |
| author |
Бідюк, П.І. |
| author_facet |
Бідюк, П.І. |
| author_sort |
Бідюк, П.І. |
| title |
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів |
| title_short |
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів |
| title_full |
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів |
| title_fullStr |
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів |
| title_full_unstemmed |
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів |
| title_sort |
системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів |
| publisher |
Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України |
| publishDate |
2003 |
| topic_facet |
Математичні методи, моделі, проблеми і технології дослідження складних систем |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50316 |
| citation_txt |
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів / П.І. Бідюк // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2003. — № 3. — С. 88-110. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Системні дослідження та інформаційні технології |
| work_keys_str_mv |
AT bídûkpí sistemnijpídhíddoprognozuvannânaosnovímodelejčasovihrâdív |
| first_indexed |
2025-07-04T11:54:53Z |
| last_indexed |
2025-07-04T11:54:53Z |
| _version_ |
1836717277527932928 |
| fulltext |
© П.І. Бідюк, 2003
88 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3
TIДC
МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ, МОДЕЛІ,
ПРОБЛЕМИ І ТЕХНОЛОГІЇ ДОСЛІДЖЕННЯ
СКЛАДНИХ СИСТЕМ
УДК 62-50
СИСТЕМНИЙ ПІДХІД ДО ПРОГНОЗУВАННЯ НА ОСНОВІ
МОДЕЛЕЙ ЧАСОВИХ РЯДІВ
П.І. БІДЮК
Розглянуто побудову функцій прогнозування для стаціонарних процесів авто-
регресії та авторегресії з ковзним середнім, процесів з детермінованими та
стохастичними трендами, гетероскедастичних та коінтегрованих процесів. На-
ведено функції прогнозування, які отримані без розв'язку рівнянь та на основі
їх розв'язку. Для опису стохастичного тренду використано модель випадкового
кроку з шумом та дрейфом, а також модель лінійного локального тренду. Роз-
глянуто основні типи рівнянь для опису гетероскедастичних та коінтегрованих
процесів.
ВСТУП
Прогнозування на основі часових рядів — один із самих популярних
підходів до аналізу розвитку економічних процесів, об’ємів торгових
операцій, виробництва та накопичення продукції на складах, оцінювання
альтернативних економічних стратегій, формування бюджетів підприємств
та держави, моделювання та менеджменту економічних і фінансових
ризиків та ін. Загалом методи прогнозування можна розділити на три широкі
класи: 1 — прогнозування на основі суджень, тобто прогнозування, яке ба-
зується на суб’єктивних судженнях (оцінках), інтуїції, поглиблених знаннях
конкретної області та іншій інформації, що має відношення до
прогнозованого процесу; 2 — методи прогнозування на основі використання
часового ряду однієї змінної, тобто на основі авторегресії, авторегресії з
ковзним середнім (АРКС) та АРКС плюс тренд; 3 — методи прогнозування
на основі використання часових рядів декількох змінних. В останньому
випадку ендогенна змінна, яка прогнозується, залежить від кількох
регресорів або екзогенних змінних в правій частині рівняння. Очевидно, що
в загальному випадку прогнозуюча система може поєднувати в собі 2 – 3
наведених вище методи.
На сьогодні в спеціальній літературі описано багато методів прогнозу-
вання на основі використання часових рядів. Найбільш поширені серед них:
метод групового врахування аргументів [1], авторегресія (АР), АРКС, АР з
інтегрованим ковзним середнім (АРІКС), лінійна та нелінійна множинна
регресія [2–5], квантильна регресія [7], регресійні дерева, нейромережі,
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 89
байєсівські мережі, нечіткі множини, нечіткі нейромережі тощо. Однак не
знайдено систематизованого підходу до вибору математичних моделей та
методів для прогнозування, а також не сформовані рекомендації щодо їх
застосування. Метою даної роботи є систематизація існуючих методів для
прогнозування на основі часових рядів та вироблення рекомендацій щодо їх
застосування. Основна увага буде приділена методам прогнозування на ос-
нові моделей АР, АРКС, АРІКС, моделей гетероскедастичних та коінтегро-
ваних процесів.
ПРОГНОЗУВАННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ РІВНЯНЬ АР ТА АРКС
Отримання функції прогнозування без знаходження розв'язку різницевого
рівняння типу АР та АРКС. Структура різницевого рівняння (РР) така, що
воно дозволяє виконувати прогнозування на один крок (один період
дискретизації вимірів) без додаткових перетворень. Але для того щоб знайти
оцінку прогнозу на більше число кроків, необхідно застосувати попередні
перетворення РР. Розглянемо деякі можливі підходи до обчислення
прогнозованих значень.
Як простий приклад розглянемо рівняння АР(1)
)()1()( 10 kkyaaky ε+−+= , 0)]([ =kE ε . (1)
У даному випадку будемо вважати, що )(kε — некорельована
випадкова величина, яка має скінченну постійну дисперсію. Коефіцієнт 0a
називають зміщенням або перетином. Збільшимо незалежну змінну k , яка
має зміст часу, на одиницю і запишемо рівняння знову
)1()()1( 10 +++=+ kkyaaky ε . (2)
Якщо коефіцієнти 10 , aa відомі, то можна знайти умовне математичне
сподівання на основі відомої інформації до моменту k включно.
=−−+=+ ]),...1(),(),...,1(),(|)1([)]1([ kkkykykyEkyE kk εε
)()]([ 1010 kyaakyEaa k +=+= , (3)
оскільки )(ky в момент k є теж відомою константою.
По аналогії запишемо рівняння (1) для моменту 2+k .
)2()1()2( 10 ++++=+ kkyaaky ε . (4)
Знайдемо умовне математичне сподівання.
=++=++=+ )]([)]1([)]2([ 101010 kyaaEaakyEaakyE kkk
)(2
1100 kyaaaa ++= .
П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 90
Для наступного моменту часу маємо
)()]3([ 3
1
2
10100 kyaaaaaakyEk +++=+ .
Таким чином, для загального випадку прогнозування на s кроків можна
записати
∑∑
−
=
−
=
+=+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=+
1
0
1101
1
0
10 )()()]([
S
i
SiS
S
i
i
k kyaaakyaaaskyE . (5)
Отримане рівняння називають функцією прогнозування на довільне
число кроків. Прогноз представляє собою збіжний процес, якщо 11 <a ,
тобто
1
0
1
)]([lim
a
a
skyEks −
=+
∞→
, (6)
де 1a — знаменник геометричної прогресії. Вираз (6) свідчить про те, що
для будь-якого стаціонарного процесу АР чи АРКС оцінка умовного
прогнозу асимптотично )( ∞→s збігається до безумовного середнього.
Знайдемо похибку прогнозування
)]([)()( skyEskysf kk +−+= . (7)
Похибка прогнозу на один крок складає
)1()()1()()]1([)1()1( 1010 +=−−+++=+−+= kkyaakkyaakyEkyf kk εε .
Похибка прогнозу на два кроки
=+−+= )]2([)2()2( kyEkyf kk
=+−++++++= )]2([)2()]1()([ 1010 kyEkkkyaaaa kεε
=−−−++++++= )()2()1()( 2
11001
2
1100 kyaaaakkakyaaaa εε
)1()2( 1 +++= kak εε .
Таким чином, можемо записати вираз для похибки при прогнозуванні
на довільне число кроків
)1(...)2()1()()( 1
1
2
11 +++−++−+++= − kaskaskasksf S
k εεεε . (8)
Враховуючи те, що ,0)]([ =sfE k оцінка прогнозу, яка обчислюється за
виразом (5), є незміщеною. Дисперсія похибки прогнозування
]...1[)]([ )1(2
1
6
1
4
1
2
1
2 −+++++= S
k aaaasfVar σ ,
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 91
тобто дисперсія є функцією s. Асимптотичне значення дисперсії похибки
прогнозу для стаціонарного процесу таке:
2
1
2
1
)]([lim
a
sfVar k
S −
=
∞→
σ , 11 <a , (9)
де −2
1a знаменник геометричної прогресії.
Узагальнення функції прогнозування для процесу АРКС ),( qp .
Знайдемо функцію прогнозування для процесу АРКС(2,1).
)1()()2()1()( 1210 −++−+−+= kkkyakyaaky εβε . (10)
Для наступного моменту часу запишемо
)()1()1()()1( 1210 kkkyakyaaky εβε +++−++=+ .
Умовне математичне сподівання для )1( +ky має вигляд
)()1()()]1([ 1210 kkyakyaakyEk εβ+−++=+ ,
де )(kε розглядається як відома константа на момент k включно. При цьому
0,0)]([ >∀=+ jjkEk ε .
Для моменту часу 2+k маємо
)1()2()()1()2( 1210 +++++++=+ kkkyakyaaky εβε
і умовне математичне сподівання
=+++=+ )]([)]1([)]2([ 210 kyEakyEaakyE kkk
=++−+++= )()]()1()([ 2121010 kyakkyakyaaaa εβ
=++−+++= )()()1()( 21121
2
1100 kyakakyaakyaaaa εβ
).()1()()()1( 11212
2
110 kakyaakyaaaa εβ+−++++=
Можна знайти також умовне математичне сподівання для оцінки
прогнозу на три кроки
=++++=+ )]1([)]2([)]3([ 210 kyEakyEaakyE kkk
++++++= )()2()1( 21
3
12
2
110 kyaaaaaaa
)()()1()( 2
2
11
2
22
2
1 kaakyaaa εβ ++−++ .
П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 92
З отриманих виразів для умовного математичного сподівання видно,
що рекурсивна формула для прогнозу на довільне число кроків має вигляд
)]2([)]1([)]([ 210 −++−++=+ skyEaskyEaaskyE kkk . (11)
Якщо корені характеристичного рівняння, записаного для (11),
знаходяться всередині одиничного кола, то оцінка прогнозу асимптотично
збігається до безумовного середнього значення
21
0
1
)]([lim
aa
askyE
S −−
=+
→∞
,
а для довільного процесу АРКС ),( qp оцінку умовного прогнозу можна
записати як
∑
=
−++=+
p
i
kik iskyEaaskyE
1
0 )]([)]([ .
Отримання функції прогнозування за допомогою розв'язку
різницевого рівняння. Розглянемо як приклад рівняння АРКС(1,1)
,1),1()()1()( 1110 <−++−+= akkkyaaky εβε (12)
де )(kε — білий шум з нульовим середнім; 0)0( yy = — відома початкова
умова. Для однорідного рівняння 0)1()( 1 =−− kyaky розв'язком є kAa1 , де
A — довільна константа, яка визначається за допомогою початкових
умов.
Частковий розв'язок можна знайти за допомогою лагового оператора L
у такому вигляді:
La
k
La
k
a
aky
1
1
11
0
1
)1(
1
)(
1
)(
−
−
+
−
+
−
=
εβε . (13)
Використовуючи властивості лагового оператора, запишемо загальний
розв’язок як
∑∑
∞
=
∞
=
+−−+−+
−
=
0
111
0
1
1
0 )1()(
1
)(
i
ii
i
i Aaikaika
a
aky εβε . (14)
Значення довільної константи знайдемо з початкової умови 0)0( yy =
∑ ∑
∞
=
∞
=
+−−+−+
−
=
0 0
111
1
0
0 )1()(
1 i i
ii Aiaia
a
ay εβε .
Із врахуванням значення довільної константи розв’язок має вигляд
∑∑
∞
=
∞
=
+−−+−+
−
=
0
11
0
1
1
0 )1()(
1
)(
i
i
i
i ikaika
a
aky εβε
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 93
k
i i
ii aiaia
a
a
y 1
0 0
111
1
0
0 )1()(
1 ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−
−
−+ ∑ ∑
∞
=
∞
=
εβε
або
k
k
i
i
k
i
i a
a
a
yikaika
a
a
ky 1
1
0
0
1
0
11
1
0
1
1
0
1
)1()(
1
)( ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+−−+−+
−
= ∑∑
−
=
−
=
εβε . (15)
Запишемо рівняння для оцінки прогнозу відносно нульового моменту
часу із врахуванням того, що на момент 0=k відоме значення збурення
00 )]0([ εε =E . Таким чином, функція прогнозу приймає вигляд
kk a
a
aya
a
akyE 1
1
0
00
1
11
1
0
0 11
)]([ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−++
−
= − εβ . (16)
Рівняння (16) можна розглядати як функцію прогнозування на k кроків
на основі інформації, яка є в наявності на момент .0=k
Знайдемо функцію прогнозування на s кроків на основі інформації, яка
є в наявності на момент .k Спочатку замінимо індекси в рівнянні (16), тобто
sk = . Тоді
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−++
−
= − SS a
a
a
ya
a
a
syE 1
1
0
00
1
11
1
0
0 11
)]([ εβ
SSS ayaa
a
a
100
1
111
1
0 )1(
1
++−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
= − εβ .
Тепер обновимо часовий індекс для змінних y і ε на k одиниць
вперед, тобто зробимо заміну )(),( 00 kkyy εε == . Тоді
SSS
k akykaa
a
askyE 1
1
111
1
0 )()()1(
1
)]([ ++−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=+ − εβ . (17)
Отримане рівняння представляє собою функцію прогнозування на основі
наявної інформації про процес на момент k включно. Використовуючи
наведені вище викладки, можна записати функції прогнозування для різного
числа кроків.
)()()]1([:1 110 kyakakyEs k ++=+= εβ ,
)()()1(
1
)]2([:2 2
111
2
1
1
0 kyakaa
a
a
kyEs k ++−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=+= εβ ,
)()()1(
1
)]3([:3 3
1
2
11
3
1
1
0 kyakaa
a
a
kyEs k ++−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=+= εβ .
При цьому
П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 94
.
1
)]([lim
1
0
a
askyEkS −
=+
→∞
Досить просто можна перейти від моделі АРКС(1,1) до моделі АР(1),
якщо покласти 01 =β . Для АР(1) отримаємо функцію прогнозування у
вигляді
)()1(
1
)]([ 11
1
0 kyaa
a
askyE SS
k +−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=+ . (18)
По аналогії можна знайти функції прогнозування для моделей іншої
структури.
Примітка. Експериментально доведено, що модель може бути успішно
використана для прогнозування, якщо вона отримана (оцінена) на основі не
менше ніж 50 спостережень змінної.
Якщо модель побудована на основі вибірки даних довжиною N, то для
рівняння АРКС(2,1)
)1(ˆˆ)(ˆ)2(ˆ)1(ˆˆ)( 1210 −++−+−+= kkkyakyaaky εβε
функцію прогнозу можна записати таким чином:
)(ˆˆ)1(ˆ)(ˆˆ)]1([ 1210 kNyaNyaaNyEN εβ+−++=+ ,
)(ˆ)]1([ˆˆ)]2([ 210 NyaNyEaaNyE NN +++=+ ,
)]2([ˆ)]1([ˆˆ)]([ 210 −++−++=+ sNyEasNyEaasNyE NNN ,
2≥s .
Приклад 1. Побудувати функцію прогнозування для рівняння АР(2)
)()2(2,0)1(9,03)( kkykyky ε+−−−+= .
1. Знайдемо однорідний розв'язок ;02,09,02 =+− αα ;5,01 =α
.4,02 =α
.4,05,0)( 21
kkh AAky +=
2. Частковий розв'язок для детермінованої частини
ddd 2,09,03 −+= або 10
3,0
3
==d .
3. Частковий розв'язок для стохастичної частини
∑
∞
=
−=
0
),()(
i
i
ps ikky εα
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 95
де .1,2,09,0;9,0;1 2110 >∀−=== −− iiii ααααα
4. Повний розв'язок
∑
∞
=
−+++=
0
21 )(4,05,010)(
i
i
kk ikAAky εα .
Для того щоб знайти значення невідомих довільних констант,
скористаємось початковими умовами 10 , yy . В результаті отримаємо
∑
∞
=
−+++=
0
210 )(10
i
i iAAy εα ,
∑
∞
=
−+++=
0
211 )1(4,05,010
i
i iAAy εα ,
з яких можна легко визначити невідомі константи. Із врахуванням
початкових умов розв'язок прийме вигляд
+−−−+= )]10(10)10(5[4,010)( 10 yyky k
∑
−
=
−+−−−+
2
0
01 )1()]10(4)10(10[5,0
k
i
i
k iyy εα .
Прогноз на s періодів дискретизації вимірів можна записати як
+−−−−+=+ ]}10)([(10]10)1([5{4,010)( kykysky S
∑
−
=
−++−−−−+
1
0
)(]}10)1([4]10)(10{[5,0
S
i
i
S iskkyky εα , (19)
де )(),1( kyky − — початкові умови відносно k -го моменту часу. В рівнянні
(19) виконано заміну часової змінної k на sk + , але із врахуванням того,
що прогнозоване значення визначається відносно k -го моменту часу. Тому
верхнє граничне значення над знаком суми визначається як 22 −+=− skk ,
а із врахуванням того, що початковим моментом часу (на який відома
необхідна інформація) є 1=k , отримаємо 121 −=−+ ss . Перевірка
нижнього індексу свідчить, що )(0 ski +⇒= ε і )1(1 +⇒−= ksi ε , тобто
границі зміни часового індексу для збурення визначені правильно.
Запишемо умовне математичне сподівання або прогноз на короткий
проміжок часу
+−−−−+=+ ]}10)([(10]10)1([5{4,010)]([ kykyskyE S
k
]}10)1([4]10)(10{[5,0 −−−−+ kykyS . (20)
Безумовне середнє або асимптотичний прогноз приймає значення
П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 96
10)]([lim =+
→∞
skyEk
S
,
тобто прогноз на нескінченності дорівнює безумовному середньому.
Приклад 2. Побудувати функцію прогнозування для рівняння
АРІКС(1,1,2)
)2()1()()1()( 210 −+−+++−= kkkakyky εβεβε .
Введемо позначення: )2()1()()( 21 −+−+= kkkke εβεβε і перепишемо
задане рівняння як )()1()( 0 kekyaky +−+= , розв’язок якого має вигляд
∑
=
++=
k
i
ieykaky
1
00 )()( .
Знайдемо звідси
∑
=
−−=
k
i
iekakyy
1
00 )()( .
Розв’язок для моменту sk +
∑
+
=
+++=+
sk
i
ieskaysky
1
00 )()()( .
Підставимо в цей розв’язок отриманий вище вираз для 0y . Тоді
∑∑
+
==
=+++−−=+
sk
i
k
i
iesakaiekakysky
11
000 )()()()(
∑
=
+++=
s
i
ikesaky
1
0 )()( .
Оскільки ∑ ∑ ∑∑
= = ==
−++−+++=+
s
i
s
i
s
i
s
i
ikeikikike
1 1 1
21
1
)2()1()()( βεβε , то
∑ ∑∑
= ==
−++−+++++=+
s
i
s
i
s
i
ikeikiksakysky
1 1
21
1
0 )2()1()()()( βεβε .
На основі останнього рівняння запишемо функцію прогнозування на
один крок
)1()()()]1([ 210 −+++=+ kkkyakyEk εβεβ ,
оскільки 1,0)]([ ≥∀=+ iikEk ε .
Функція прогнозування на два кроки
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 97
)1()()()(2)]2([ 2210 −++++=+ kkkyakyEk εβεββ ,
і для довільного числа кроків прогнозування маємо
)1()()()()]([ 2210 −++++=+ kkkysaskyEk εβεββ .
Отримане рівняння — це рівняння прямої (її нахил визначається коефі-
цієнтом 0a ), на яку накладається зважений випадковий процес.
ПРОГНОЗУВАННЯ ПРОЦЕСІВ З ТРЕНДОМ
Поширеним підходом до опису тренду є використання детермінованої фун-
кції від часу типу
2
210)( kdkdaky ++= , (21)
де k — дискретний час; id — коефіцієнти рівняння. Тренд, який
описується такою функцією, називають детермінованим або глобальним
трендом [3]. Однак на сьогодні існує тенденція формування більш загально-
го підходу до опису тренду, а саме, використання локальних моделей замість
глобальних. При цьому тренд розглядають як стохастичну функцію часу.
Одним із підходів до опису локального тренду є введення залежності коефі-
цієнтів моделі від часу [6].
kkdkaky )()()( 1+= , (22)
де )(ka — локальна константа; )(1 kd — коефіцієнт, що визначає локальний
нахил тренду. Отримано результати моделювання, які показують: функції
типу (22) є більш робастними ніж функції типу (21).
Альтернативним підходом до опису локального тренду є використання
рекурсивних рівнянь типу )1()( 0 −+= kyaky або в ускладненому варіанті
)()1()()( 0 kkykaky ε+−+= , (23)
де )(kε — випадкова змінна, яку для простоти можна вважати послідовніс-
тю білого шуму з відомою дисперсією. Це співвідношення є рівнянням ви-
падкового кроку із змінним в часі перетином )(0 ka . Модель (23) необхідно
доповнити рівнянням, яке описує зміну в часі перетину, тобто )(ka . Напри-
клад, )()1()( kvkaka +−= , де )(kv випадковий збурюючий процес. Зазна-
чимо, що рівень )(ky та швидкість зростання )(ka безпосередньо не спо-
стерігаються. Наприклад, в моделі лінійного зростання спостереження
часового ряду визначається сумою ))()(( keky + , де )(ke — похибка моделі,
зумовлена рядом факторів, які виникають при її побудові. Зокрема, це обчи-
слювальні похибки та такі, що виникають при вимірюваннях.
Запишемо функцію прогнозування для рівняння випадкового кроку
)()1()( kkyky ε+−= , 0)]([ =kE ε . Для початкової умови 0)0( yy = , повний
П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 98
розв’язок цього рівняння має вигляд ∑
=
+=
k
i
kyky
1
0 )()( ε . Математичне спо-
дівання 0)]([)]([ yskyEkyE =−= . Таким чином, середнім значенням
випадкового кроку є константа. Умовне математичне сподівання
відносно моменту k
)()]1()([)]1([ kykkyEkyE kk =++=+ ε .
Аналогічно умовне математичне сподівання для 0),( >∀+ ssky можна
отримати із рівняння ∑
=
++=+
s
i
ikkysky
1
)()()( ε . Таким чином, маємо
)()1()()]([
1
kykEkyskyE
s
i
kk =
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++=+ ∑
=
ε . (24)
Тобто, умовне середнє дорівнює )(ky для всіх значень )( sky + . Проте
випадкова величина )(kε впливає на послідовність )}({ ky на протязі всього
часу спостережень, а тому дисперсія цього процесу є функцією часу
2)]1(...)1()(var[)](var[ σεεε kkkky =++−+= (25)
або
2)()]1(...)1()(var[)](var[ σεεε sksksksky −=++−−+−=− . (26)
Таким чином, ∞→)](var[ ky при ∞→k . Якщо позначити коваріацію для
)(ky та )( sky − через )( sk −γ , то можна записати
×++−+=−−−==− )]1(...)1()({[]})([])({[)()( εεεγγ kkEyskyykyEssk
=++−−+−× )}1(...)1()([ εεε sksk
2222 )(})]1([...)]1([)]({[ σεεε skskskE −=++−−+−= . (27)
Автокореляційна функція (АКФ) для цього процесу має вигляд
k
sk
skk
sk
skyky
ss −
=
−
−
=
−
=
22
2
)(
)(
)](var[)](var[
)()(
σσ
σγρ . (28)
Тобто АКФ для процесу випадкового кроку є повільно спадаючою функцією.
Модель випадкового кроку плюс дрейф (зміщення або перетин).
У даному випадку до моделі випадкового кроку додається константа 0a
)()1()( 0 kkyaky ε+−+= . (29)
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 99
При відомій початковій умові 0)0( yy = розв’язок рівняння (29) має
вигляд
∑
=
++=
k
i
kkayky
1
00 )()( ε . (30)
Таким чином, на )(ky впливають дві нестаціонарні компоненти: ліній-
ний детермінований тренд ka0 і стохастичний тренд ∑ )(kε . Математичне
сподівання і умовне математичне сподівання мають вигляд
kaykyE 00)]([ += , )()]([ 00 skayskyEk ++=+ .
Для того щоб отримати функцію прогнозування, запишемо рівняння
(30) для моменту )( sk +
∑∑
=
+
=
+++=+++=+
s
i
sk
i
iksakykskaysky
1
0
1
00 )()()()()( εε
і умовне математичне сподівання
sakykskyEk 0)(]|)([ +=+ . (31)
Таким чином, отримана функція прогнозу відрізняється від функції
прогнозу для випадкового кроку (24) тим, що містить складову sa0 .
Модель випадкового кроку з додатковою шумовою складовою.
У цій моделі залежна змінна )(ky визначається сумою стохастичного трен-
ду та випадкової компоненти, тобто
)()()( kkky ηµ += , (32)
)()1()( kkk εµµ +−= , (33)
де )}({)},({ kk εη — незалежні процеси білого шуму з дисперсіями відповід-
но 2
ησ та 2
εσ ; skskkE ,,0)]()([ ∀=−ηε . Для початкової умови 0)0( µµ =
розв’язок рівняння (33) має вигляд ∑
=
+=
k
i
kk
1
0 )()( εµµ , що представляє со-
бою випадковий тренд для )(ky . Тепер ∑
=
++=
k
i
kkky
1
0 )()()( ηεµ .
Використовуючи початкову умову 000)0( ηµ +== yy , запишемо
розв’язок
∑
=
++−=
k
i
kkyky
1
00 )()()( ηεη . (34)
Таким чином, безумовне середнє процесу )}({ ky є константою
00)]([)]([ η−=+= yskyEkyE . У кожний момент часу на цей процес впли-
П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 100
ває чисто шумова компонента )}({ kη . Дисперсія процесу )}({ ky залежить
від часу, оскільки 22)](var[ ηε σσ += kky і 22)()](var[ ηε σσ +−=− sksky . Так
само, як і у випадку інших моделей із стохастичним трендом, ∞→)](var[ ky
при ∞→k . Наявність шумової компоненти свідчить про те, що в даному
випадку коефіцієнт кореляції між )(ky та )( sky − є меншим, ніж у випадку
моделі чисто випадкового кроку, тобто автокореляційна функція буде спа-
дати швидше, ніж для моделі чисто випадкового кроку. Так, коваріація між
)(ky і )( sky − визначається як
=−−−−−=− ]})([])({[)]()(cov[ 0000 ηη yskyykyEskyky
=−+−+++++++= )]}()(...)2()1([)]()(...)2()1({[ skskkkE ηεεεηεεε
2)( εσsk −= ,
оскільки )}({ kε і −)}({ kη незалежні послідовності. Таким чином, автокоре-
ляційна функція )(sρ визначається за виразом
])[()(
)()(
2222
2
ηεηε
ε
σσσσ
σ
ρ
+−+
−
=
skk
sks . (35)
Із порівняння (35) з виразом (28) для коефіцієнта автокореляції процесу
чисто випадкового кроку можна сказати, що коефіцієнти автокореляції для
процесу випадкового кроку з додатковим шумом є завжди меншими при
02 >ησ .
Для того щоб записати функцію прогнозування на s кроків, скориста-
ємось рівнянням (34).
=+++−=+ ∑
+
=
)()()(
1
00 skiysky
sk
i
ηεη
∑
=
++++−=
s
i
skikkky
1
)()()()( ηεη .
Умовне математичне сподівання для )( sky + : =+ )]([ skyEk
)()( kky η−= .
Таким чином, модель випадкового кроку з шумом містить тренд та не-
регулярну компоненту, а прогноз складається з поточного значення )(ky ,
яке зменшується на випадкову величину )(kη . Постійною складовою )}({ ky
є стохастичний тренд у вигляді ∑ )(kε .
Модель випадкового кроку з шумом та дрейфом. Така модель має
вигляд
)()()( kkky ηµ += ,
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 101
)()1()( 0 kkak εµµ +−+= , (36)
де 0a — константа; )}({)},({ kk ηε — незалежні процеси білого шуму.
В даному випадку тренд )(kµ містить випадкову складову )(kε та
детерміновану 0a . Запишемо розв’язок для )(kµ .
∑
=
++=
k
i
ikak
1
00 )()( εµµ ,
що після підстановки дає
∑
=
+++=
k
i
kikaky
1
00 )()()( ηεµ . (37)
Враховуючи початкову умову 000 ηµ +=y , запишемо
)()()(
1
000 kikayky
k
i
ηεη +++−= ∑
=
. (38)
Таким чином, )(ky представляє собою суму детермінованого і стохас-
тичного трендів, а також чисто випадкової складової )(kη . Шумова складо-
ва не обов’язково повинна бути білим шумом. Рівняння (38) можна перепи-
сати у вигляді
)()()()(
1
00 kLAikaky
k
i
ηεµ +++= ∑
=
, (39)
де )(LA — поліном відносно оператора затримки L ; )()( kLA η — стаціона-
рний шумовий процес. Рівняння (39) називають моделлю узагальненого тре-
нду з нерегулярною складовою.
Модель локального лінійного тренду. Модель локального лінійного
тренду (ЛЛТ) поєднує у собі кілька процесів випадкового кроку з шумом:
)()()( kkky ηµ += ,
)()()1()( kkkk ελµµ ++−= , (40)
)()1()( kvkk +−= λλ ,
де )}({)},({)},({ kvkk εη — незалежні процеси білого шуму. В даному випа-
дку зміни тренду є наслідком процесу випадкового кроку та шумової ком-
поненти, тобто )(kµ∆ складається з процесу випадкового кроку )(kλ та бі-
лого шуму )(kε . Можна легко показати, що розглянуті вище процеси
(випадковий крок плюс шум та випадковий крок плюс дрейф і шум) пред-
ставляють собою окремі випадки ЛЛТ.
Знайдемо розв’язок для )(ky . Спочатку запишемо його для )(kλ
∑
=
+=
k
i
kvk
1
0 )()( λλ ,
П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 102
а також для )(kµ
∑
=
+++−=
k
i
kivkk
1
0 )()()1()( ελµµ
або
∑
=
++−+−++++=
k
i
kvvkvkvkik
1
00 )(...)3()2()2()1())1(()()( λεµµ .
Оскільки 000 ηµ +=y , то розв’язок для )(ky має вигляд
)(...)2()1())1(()(])([)( 0
1
00 kvvkvkikyky
k
i
++−++++−+= ∑
=
λεηη .
У даному рівнянні можна спостерігати об’єднані властивості всіх ін-
ших моделей. Кожний елемент послідовності )}({ ky містить детермінова-
ний ( ))1(2...)2()1())1(( 0 −++−++ kvvkvk λ , стохастичний ( )∑ )(iε тренди
та нерегулярну компоненту ( ))(kη . Звичайно, що в узагальненій формі мо-
делі ЛЛТ нерегулярна компонента визначатиметься членом )()( kLA η . Дете-
рмінований тренд залежить у даному випадку від поточних та минулих зна-
чень послідовності )}({ kv . Якщо в момент k сума ( ))(...)1(0 kvv +++λ буде
додатньою, то коефіцієнт при k теж буде додатнім. Очевидно, що в загаль-
ному випадку ця сума може бути додатньою для деяких k , а для інших —
від’ємною, а тому тренд може мати ділянки з додатнім та від’ємним
нахилами.
Функція прогнозування на s кроків для ЛЛТ
+++++−++=+ ∑
+
=
))1()(()(])([)( 0
1
00 vskiskysky
sk
i
λεηη
)(...)3()2()2()1( skvvskvsk +++−++−++
або
+++++++−++=+ ∑
=
)](...)2()1([)()]()([)()( 0
1
kvvvsikskkysky
k
i
λεηη
∑
=
+−++
s
i
ikvis
1
)()1( .
Умовне математичне сподівання
)](...)2()1([)]()([)]([ 0 kvvvskkyskyEk +++++−=+ λη .
Нахил тренду визначається сумою )](...)3()2()1([ 0 kvvvvs +++++λ .
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 103
ПРОГНОЗУВАННЯ ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНИХ ПРОЦЕСІВ
Гетероскедастичними називають процеси із змінною в часі дисперсією, а
гомоскедастичними — із сталою. Процеси даного класу є досить пошире-
ними, зокрема в нестійкій економіці, наприклад, в перехідний період. По-
ширеною економічною інтерпретацією дисперсії та стандартного відхилен-
ня є величина ризику, пов’язаного з реалізацією відповідного процесу, який
моделюється.
Простим підходом до опису змінної дисперсії є застосування моделі
типу АР(q) до квадратів оцінок залишків, отриманих на попередньому етапі
моделювання процесу. Наприклад,
),()(ˆ...)2(ˆ)1(ˆ)(ˆ 22
2
2
10
2 kvqkkkk q +−++−+−+= εαεαεααε (41)
де )(kv — процес білого шуму. Це рівняння можна використовувати для
прогнозування умовної дисперсії на один крок, записавши
)1(ˆ...)2(ˆ)1(ˆ)]1(ˆ[ 22
2
2
10
2 qkkkkE qk −+++−+−+=+ εαεαεααε .
З цієї причини рівняння (41) називають авторегресійним умовно гете-
роскедастичним (АРУГ). Збурення можна ввести у мультиплікативній формі
)],1()[()( 2
10
22 −+= kkvk εααε (42)
де )(kv — мультиплікативне збурення у формі білого шуму, причому для
спрощення опису покладають )1,0(~})({ kv , тобто воно має нульове середнє
і одиничну дисперсію; змінні )1( −kε і )(kv — статистично незалежні вели-
чини.
Якщо )(kv і )1( −kε — незалежні величини і ,0)]([ =kvE то умовне се-
реднє для )(kε можна знайти як
.0)]1([)]([...]),2(),1(|)([ 2/12
10 =−+=−− kEkvEkkkE εααεεε
Оскільки дисперсія ,12 =vσ то умовна дисперсія для )(kε визначається
у такий спосіб:
).1(...]),2(),1(|)([ 2
10
2 −+=−− kkkkE εααεεε (43)
Для того щоб забезпечити додатність дисперсії, обидва коефіцієнти
10 ,αα повинні бути додатніми. Крім того, для забезпечення стійкості проце-
су авторегресії необхідне виконання такої умови: .10 1 <<α
Модель (42) може бути розширена до довільного порядку
.)()()(
2/1
1
2
10 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+= ∑
=
q
i
ikkvk εααε (44)
П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 104
Наступним розширенням АРУГ моделі є описання умовної дисперсії як
процесу АРКС. Нехай похибки описуються рівнянням ,)]([)()( 2/1khkvk =ε
де ,12 =vσ і
∑ ∑
= =
−+−+=
q
i
p
i
ii ikhikkh
1 1
2
0 ).()()( βεαα (45)
Оскільки процес )}({ kν визначено як білий шум, некорельований із
значеннями )( ik −ε , то умовне і безумовне середнє для )(kε дорівнюють
нулю. Очевидно, що безумовне математичне сподівання
.0]))(()([)]([ 2\1 == khkvEkE ε
Умовна дисперсія змінної )(kε визначається як ).()]([ 2
1 khkEk =− ε
Узагальнена модель АРУГ, яку називають УАРУГ ),( qp , складається
із двох компонент — авторегресії та ковзного середнього відносно дисперсії
процесу.Основним характерним моментом УАРУГ моделі є те, що збурення,
яке діє на процес )},({ ky є процесом АРКС. Тому можна очікувати, що за-
лишки (похибки) моделі АРКС (попередньої моделі процесу) будуть відпо-
відати за своїми характеристиками гетероскедастичному процесу. Це твер-
дження можна пояснити таким чином. Нехай )}({ ky — процес АРКС. Якщо
модель АРКС адекватна процесу )}({ ky , то АКФ і часткова автокореляційна
функція (ЧАКФ) залишків повинні вказувати на те, що це процес білого
шуму. З іншого боку, АКФ квадратів залишків можна використати для по-
переднього визначення порядку процесу УАРУГ. Оскільки =− )]([1 kEk ε
2/1))(( kh= , то рівняння (45) можна записати у вигляді
∑ ∑
= =
− −+−+=
q
i
p
i
iik ikhikkE
1 1
2
0
2
1 ).()()]([ βεααε
Для прогнозування дисперсії існують інші моделі гетероскедастичних
процесів. Зокрема, експоненціальна модель УАРУГ (умовна дисперсія як
асиметрична функція ε , тобто моделювання впливу попередніх значень
)( ik −ε на волатильність):
∑ ∑∑
= ==
−+
−
−
+
−
−
+=
p
i
q
i
ji
p
i
i ikh
ikh
ik
ikh
ik
kh
1 1
2
1
0
2 ))(log(
)(
)(
)(
)(
))(log( βεγ
ε
αα .
Для опису премії за ризик використовують УАРУГ-М (модифіковану):
)()()( 1 kkhky εγβ ++= ,
)()()()( 2
1 1
22
0
2 kkhikaakh
p
i
q
i
εε ++−+= ∑ ∑
= =
.
У зв’язку із необхідністю моделювання, прогнозування та менеджменту
ризиків клас моделей гетероскедастичних процесів швидко розширюється.
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 105
Приклад 3. Побудуємо прогноз поведінки ряду, який описує дисперсію
вартості акцій УКРНАФТА. Модель дисперсії
)()3(0369,0)2(0495,0)1(1180,01738,0)( 2
2
1
2
1
2
1
2
1 kkkkk εεεεε +−+−−−+= .
Характеристичне рівняння: 00369,00495,0118,0 23 =−+− ααα . Оскі-
льки рівняння має один дійсний корінь ( 4311,01 −=a ) та два комплексні,
повний розв’язок має вигляд
pskkpd ykrAyk ++++= )(cos)( 21
2
1 βθβαε ,
де 2ar ′= ;
2
1
2
)cos(
a
a
′
′
=θ ; 535,0=r ; 11,2=θ .
Частковий розв’язок детермінованої і стохастичної частин
pdpdpdpd yyyy 0369,00495,01180,01738,0 −+−=
або 2634,0=pdy ,
∑
∞
=
−=
0
),(
i
i
ps iky εβ
де ...,2,1,0;1 == iai
iβ .
Значення невідомих констант 21,, ββA знайдемо за допомогою почат-
кових умов: 450,0)2(;659,1)1(;809,4)0( 2
1
2
1
2
1 === εεε . У результаті отри-
маємо 0041,1;8771,3;6272,6 21 =−== ββA . Повний розв’язок має вигляд
++⋅−−+= )0041,111,2(cos535,08771,3)4311,0(6272,62634,0)(2
1 kk kkε
∑
∞
=
−−+
0
)()8513,0(
i
i ikε .
Отриманий розв’язок свідчить про присутність гармонійного коливаль-
ного процесу, що відповідає реальним коливанням цін акцій компанії
УКРНАФТА. Загалом розв’язок має збіжний характер, оскільки
4311,0−=α ; 535,0=r , тобто обидва значення є меншими одиниці за мо-
дулем.
Прогнозоване значення дисперсії на s періодів дискретизації
[ ] [ ]0227,6)1()4311,0(1858,028,0)(2634,0)(2
1 +−−−++=+ kykysk kε
[ ]+−−−⋅⋅ 8771,3)8906,6)2((arccos11,2cos535,05348,0 kyss
∑
−
=
−+−+
1
0
)()8513,0(
s
i
i iskε .
П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 106
Графік прогнозу на п’ять кроків наведено на рис. 1, статистичні пара-
метри — у табл. 1.
Т а б л и ц я 1. Статистичні параметри прогнозу
Максимальне відхилення Мінімальне відхилення Метод прогнозу-
вання Абсолютне Відносне, % Абсолютне Відносне, %
Сума
квадратів
похибок
На основі прогно-
зуючої функції 0,2418 39,19 0,0465 6,95 0,1068
На основі
повного розв’язку 0,2494 40,24 0,0316 9,47 0,1682
ПРОГНОЗУВАННЯ КОІНТЕГРОВАНИХ ПРОЦЕСІВ
Коінтегрованими називають процеси, нестаціонарні відносно тренду, які
мають однаковий порядок інтегрованості. У свою чергу порядок інтегрова-
ності процесу визначається числом одиничних коренів характеристичного
рівняння.
Концепція коінтегрованості змінних передбачає існування довгостро-
кового зв’язку між значеннями змінних. Тобто припускається існування спі-
льної врівноваженої траєкторії руху цих змінних, від якої вони можуть від-
хилятися на коротких проміжках часу, але економічні механізми в цілому
діють таким чином, що рівновага відтворюється і зберігається на довгих ча-
сових інтервалах шляхом корегування відповідних відхилень від врівнова-
женого стану.
Якщо процеси, що розглядаються спільно, коінтегровані, то можна по-
будувати відповідну модель корегування похибки, яка матиме такі характе-
ристики: 1) одночасно відображатиме короткострокові та довгострокові ас-
пекти динаміки досліджуваних показників; 2) забезпечуватиме побудову
коректної регресії; 3) не буде потребувати попереднього розподілу змінних
на ендогенні та екзогенні; 4) відповідатиме основним припущенням еконо-
метрики.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1 2 3 4 5
ε2(k)
Рис. 1. Порівняльний графік прогнозу дисперсії вартості акцій УКРНАФТА:
істинні значення; на основі повного розв’язку; прогнозуючої
функції; методу подібних траєкторій
k
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 107
Після перевірки рядів на нестаціонарність визначають порядок їх інтег-
рованості та наявність коінтегрованості. У випадку коінтегрованості змін-
них )(kx і )(ky , для них може бути побудована модель корегування похиб-
ки, яка поєднує динаміку змінних на коротких проміжках часу з
довгостроковим врівноваженим зв’язком та має вигляд
∑ ∑
= =
+−+−∆+−∆+=∆
p
i
p
i
xii kkeikycikxbakx
1 1
111110 )()1()()()( ελ , (46)
∑
=
+−∆+=∆
p
i
i ikybaky
1
220 )()(
∑
=
+−+−∆+
p
i
i kkeikxc
1
222 )()1()( ελ , (47)
де )(),( kykx ∆∆ — перші різниці змінних )(kx і )(ky ; )(),( keke yx — по-
хибки рівнянь парних регресій, побудованих для змінних )(kx і )(ky у ви-
падку, коли )(kx і )(ky — ендогенні змінні.
Коефіцієнти 21, λλ в наведених рівняннях називають швидкістю при-
стосування (корегування). Вони показують, на скільки відсотків відхилення
від рівноваги корегується у поточний момент часу (миттєво) і, відповідно,
решта похибок %100)1( 1 ×+ λ та %100)1( 2 ×+ λ (при 0,0 21 << λλ ) коре-
гуються в інших періодах. Необхідні умови забезпечення динамічної стійко-
сті моделей (46) та (47) такі: 01,01 21 ≤≤−≤≤− λλ .
Модель (46), (47) завжди коректна, тому що попередні етапи її
побудови забезпечують виконання припущень щодо стаціонарності її
змінних, тобто
)(kx∆ ∼ )0(I , )(ky∆ ∼ )0(I , )1( −kex ∼ )0(I , )1( −key ∼ )0(I ,
)(1 kε ∼ )0(I , )(2 kε ∼ )0(I за припущенням.
Наведену модель використовують для прогнозування врівноваженого
розвитку процесів, а також для керування ними. Значення похибок
)(),( keke yx та їх знаки вказують на величину та знак необхідних керую-
чих впливів, які сприятимуть зменшенню цих похибок.
Приклад 4. Для оцінювання моделі корегування похибки скориста-
ємось такими економічними показниками України: кредити, видані бан-
ками України у 1994 – 1998 рр., індекс оптових цін (ІОЦ) і внутрішній
валовий продукт. Нормоване графічне представлення цих даних наведено
на рис. 2.
П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 108
Першим кроком є попереднє тестування змінних із метою визначення
порядку їхньої інтегрованості. Для цього скористаємося розширеним
рівнянням Дикі-Фулера для { })(ky .
)()()1()(
1
110 keikykyky
n
i
i +−∆+−+=∆ ∑
=
+ααα .
Результати тестування кожного ряду за допомогою тесту Дикі-Фулера і
розширеного тесту з використанням трьох затримок наведені у табл. 2.
Т а б л и ц я 2 . Оцінки коефіцієнта 1α і їхніх t -статистиків
Одна затримка Чотири запізнювання
)(ky∆ –0,288598
(–2,238925)
–0,362336
(–2,434746)
)(kz∆ –6,395796
(–2,832851)
–0,676695
(–3,499754)
)(kw∆ –0,175951
(–1,971222)
–0,186959
(–1,633217)
При 95%-ному рівні значимості критична величина тесту Дикі-Фулера
склала 2,89. Оскільки всі t -статистики за абсолютним значенням знахо-
дяться нижче знайденого критичного рівня, то нуль-гіпотеза про наявність
одиничного кореня у всіх рядах приймається. На другому кроці оцінюємо
співвідношення довгострокової рівноваги методом найменших квадратів.
)()(324641,0)(054211,0428626,1)(
)160480,2()008761,1()716336,1(
kekwkzky y+++= ,
Y
W
Z
Рис. 2. Графіки модельованих змінних: Y – кредити; Z – ВВП; W – ІОЦ
Y,W,Z
k
Системний підхід до прогнозування на основі моделей часових рядів
Системні дослідження та інформаційні технології, 2003, № 3 109
)()(791822,0)(426444,0213764,5)(
)120196,2()008761,1()288293,2(
kekwkykz z+−+=
−
,
)()(119529,0)(385500,0702979,2)(
)120196,2()480166,2()209705,3(
kekzkykw w+−+=
−
,
де )(),(),( kekeke wzy — залишки регресійних рівнянь рівноваги; у дужках
наведено значення t -статистики.
Суть тестування полягає у тому, щоб визначити чи є ці залишки
стаціонарними. При тестуванні всі три залишки розглядаються як
рівнозначні послідовності. Для цього оцінювалися рівняння розглянутого
вище типу.
)()1(ˆ)(ˆ 1 kkeake ε+−=∆ ,
)()1(ˆ)1(ˆ)(ˆ
1
11 kkeakeake
n
i
i ε+−∆+−=∆ ∑
=
+ .
Оцінки коефіцієнта 1a наведені у табл. 3.
Т а б л и ц я 3 . Оцінки коефіцієнта 1a та їхні t -статистики
Одна затримка Три запізнювання
)(key∆ –0,363456
(–2,271555)
–0,316095
(–1,735291)
)(kez∆ –0,366089
(–2,527032)
–0,651516
(–4,057714)
)(kew∆ –0,308641
(–2,184676)
–0,279614
(–1,255703)
У роботі [7] наведено критичне значення t -статистики, яке дорівнює
–3,93. У даному випадку коінтеграція підтверджується при використанні
другого рівняння. Побудуємо для нього модель корегування похибки.
−−∆−−−−=∆
−−
)1(256136,0)1(345694,0026563,0)(
)708525,0()291171,2()016761,0(
kykekz z
)()1(656149,0)1(143067,0
)237071,1()881745,0(
kkwkz zε+−∆−−∆−
−−
.
Таким чином, в результаті комбінування трьох розглянутих нестаціо-
нарних процесів побудовано рівняння стаціонарного процесу, яке свідчить
про існування довгострокової рівноваги між ними. Отриманою моделлю
можна скористатись для прогнозування спільного розвитку цих процесів.
ВИСНОВКИ
У роботі розглянуто математичні моделі та побудову функцій прогнозуван-
ня на основі цих моделей для таких характерних класів економічних проце-
сів: стаціонарних процесів авторегресії та авторегресії з ковзним середнім,
П.І. Бідюк
ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2003, № 3 110
нестаціонарних процесів із детермінованими та стохастичними трендами,
гетероскедастичних та коінтегрованих процесів.
Наведено структури математичних моделей та приклади їх застосуван-
ня для короткострокового та середньострокового прогнозування. При цьому
довгостроковий прогноз визначається як безумовне математичне сподівання
розв'язку різницевого рівняння, а короткостроковий і довгостроковий — че-
рез умовне математичне сподівання.
Показано, що для опису випадкового тренду можна застосовувати мо-
дель випадкового кроку з дрейфом та шумом, а у складніших випадках не-
обхідно скористатись моделлю лінійного локального тренду.
Для моделювання гетероскедастичних процесів існує досить широкий
вибір структур рівнянь, які дають можливість прогнозувати дисперсію про-
цесу з досить високою точністю. Для класу коінтегрованих процесів також
існує напрацьована методика їх побудови, яку можна застосовувати у випа-
дку двох та більше змінних.
Однією із основних проблем при моделюванні часових рядів залиша-
ється створення процедури правильного вибору класу та структури рівнянь
для їх опису. Для прискорення цієї процедури необхідні системи підтримки
прийняття рішень при моделюванні та прогнозуванні динаміки часових ря-
дів.
ЛІТЕРАТУРА
1. Ивахненко А.Г. Индуктивный метод самоорганизации моделей сложных сис-
тем. — Киев: Наук. думка, 1982. — 296 с.
2. Лук'яненко І., Краснікова Л. Економетрика. — Київ: Знання, 1998. — 494 с.
3. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. 2. — М.: Финансы и
статистика, 1986. — 366 с.
4. Бідюк П.І., Половцев О.В. Аналіз та моделювання економічних процесів пере-
хідного періоду. — Київ: НТУУ «КПІ», 1999. — 230 с.
5. Бидюк П.И., Баклан И.В., Рифа В.Н. Системный подход к построению регрес-
сионной модели по временным рядам // Системні дослідження та інформа-
ційні технології. — 2002. — № 3. — С. 114–131.
6. Enders W. Applied econometric time series. — New York: John Wiley & Sons, Inc.,
1995. — 434 p.
7. Johnston J., DiNardo J. Econometric methods. — New York: McGraw-Hill, Inc.,
1997. — 530 p.
Надійшла 21.07.2003
|