Минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей

Предложены методы гарантированного оценивания значений функционалов на решениях вырожденных эллиптических уравнений в условиях неполной информации по зашумленным наблюдениям, распределенным по системе поверхностей в областях, где заданы эти уравнения, и зависящими как от их решений, так и от их прои...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2004
Автори:	Подлипенко, Ю.К., Грищук, Н.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2004
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50344
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей / Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2004. — № 2. — С. 104-127. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50344
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-503442013-10-11T03:06:28Z Минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей Подлипенко, Ю.К. Грищук, Н.В. Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Предложены методы гарантированного оценивания значений функционалов на решениях вырожденных эллиптических уравнений в условиях неполной информации по зашумленным наблюдениям, распределенным по системе поверхностей в областях, где заданы эти уравнения, и зависящими как от их решений, так и от их производных. Запропоновано методи гарантованого оцінювання значень функціоналів на розв’язках вироджених еліптичних рівнянь в умовах неповної інформації за зашумленими спостереженнями, розподіленими на системі поверхонь в областях, де задані ці рівняння, залежними як від розв’язків, так і від їх похідних. Methods for guaranteed estimation of values of functionals are proposed for solutions to degenerate elliptic equations under noisy observations distributed over a system of surfaces located in the areas, where these equations are defined, and dependent on both solutions and their derivatives. 2004 Article Минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей / Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2004. — № 2. — С. 104-127. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50344 517.977 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор
spellingShingle	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Подлипенко, Ю.К. Грищук, Н.В. Минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей Системні дослідження та інформаційні технології
description	Предложены методы гарантированного оценивания значений функционалов на решениях вырожденных эллиптических уравнений в условиях неполной информации по зашумленным наблюдениям, распределенным по системе поверхностей в областях, где заданы эти уравнения, и зависящими как от их решений, так и от их производных.
format	Article
author	Подлипенко, Ю.К. Грищук, Н.В.
author_facet	Подлипенко, Ю.К. Грищук, Н.В.
author_sort	Подлипенко, Ю.К.
title	Минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей
title_short	Минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей
title_full	Минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей
title_fullStr	Минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей
title_full_unstemmed	Минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей
title_sort	минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2004
topic_facet	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50344
citation_txt	Минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей / Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2004. — № 2. — С. 104-127. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT podlipenkoûk minimaksnoeocenivanierešenijvyroždennyhkraevihzadačnejmanadlâélliptičeskihuravnenijponablûdeniâmraspredelennymnasistemepoverhnostej AT griŝuknv minimaksnoeocenivanierešenijvyroždennyhkraevihzadačnejmanadlâélliptičeskihuravnenijponablûdeniâmraspredelennymnasistemepoverhnostej
first_indexed	2025-07-04T12:00:56Z
last_indexed	2025-07-04T12:00:56Z
_version_	1836717659295580160
fulltext	© Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук, 2004 104 ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 УДК 517.977 МИНИМАКСНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕЙМАНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО НАБЛЮДЕНИЯМ, РАСПРЕДЕЛЕННЫМ НА СИСТЕМЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ Ю.К. ПОДЛИПЕНКО, Н.В. ГРИЩУК Предложены методы гарантированного оценивания значений функционалов на решениях вырожденных эллиптических уравнений в условиях неполной ин- формации по зашумленным наблюдениям, распределенным по системе по- верхностей в областях, где заданы эти уравнения, и зависящими как от их ре- шений, так и от их производных. ВВЕДЕНИЕ В работе предложены методы минимаксного среднеквадратического оцени- вания по неполным данным состояний систем, описываемых вырожденной краевой задачей Неймана для эллиптических уравнений второго порядка. Задачам минимаксного оценивания состояний систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в част- ных производных при условии их однозначной разрешимости, посвящено значительное число работ (например, [2] – [4]). Однако в ситуации, когда решения краевых задач не определены однозначно (как, например, для вы- рожденной задачи Неймана), вопросы их минимаксного оценивания остава- лись до сих пор не изученными. В данной статье по зашумленным наблюдениям решений и их конор- мальным производным на конечной системе поверхностей, принадлежащих рассматриваемой области, при специальных ограничениях на правые части уравнений и краевые условия, а также на шумы в наблюдениях найдены ми- нимаксные оценки функционалов на решениях вырожденных краевых задач Неймана. Нахождение минимаксных оценок сведено к решению некоторых систем интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с условиями сопряжения на системе поверхностей, на которых осуществля- ются наблюдения, и доказана однозначная разрешимость этих задач. В pаботе используются следующие обозначения: 1( )nx x … x= , , — пpостpанственная пеpеменная, изменяющаяся в огpаниченном откpытом множестве nRΩ⊂ с липшицевой гpаницей Γ ; 1 ndx dx dx= — мера Лебе- га в nR ; 1( )H Ω — пpостpанство Соболева поpядка 1 в области Ω; 1( ( ))H ′Ω — двойственное к 1( )H Ω пpостpанство; ( )L∞ Ω — пpостpанство измеpимых и почти всюду огpаниченных на множестве Ω функций; γ — замкнутая или незамкнутая )1( −n -мерная липшицева поверхность в nR ; Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 105 dγ — мера на поверхности γ , порожденная мерой dx ; 2 ( )L γ — пpостpанство функций, суммируемых с квадратом на поверхности γ ; ( )sH γ — пpостpанство Соболева нецелого порядка s на поверхности γ . Известно, что пространством, сопряженным к 1/ 2 ( )H γ , будет 1/ 2 ( )H γ− . При этом отношение двойственности , γ< ⋅ ⋅ > между пространствами 1/ 2 ( )H γ− и 1/ 2 ( )H γ удовлетворяет условию ,r w γ< > = rwd γ γ∫ , ∀ r 2 1/ 2 1/ 2( ) ( ), ( ),L H w Hγ γ γ−∈ ⊂ ∀ ∈ поэтому далее, если r 1/ 2 ( )H γ−∈ и 1/ 2 ( ),w H γ∈ выражение ,r w γ< > будем также обозначать rwd γ γ∫ . Обозначим ( )xρ функцию, эквивалентную расстоянию от точки x до границы γ∂ поверхности γ . Будем считать, что γ является частью гладкой замкнутой поверхности γ̂ , лежащей внутри области Ω. Определим, следуя [6] и [7], пространство 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 00 ( ) { ( ) ( )} { ( ) ( )}H u H u L u H u Hγ γ ρ γ γ γ/ / − / / /:= ∈ , ∈ = ∈ , ∈ с нормой 1 2 1 2 2 00 1 2 2 1 2 2 ( ) ( ) ( )H H L u u u γ γ γ ρ/ / /⎛ ⎞− / ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ \|\| \|\| = \|\| \|\| + \|\| \|\| , где u обозначено продолжение функции u нулем вне γ . Обозначим ( )1 2 00 ( )H γ/ ′ пространство, сопряженное с 1 2 00 ( )H γ/ . При этом [7] ( )1 2 1 2 1 2 2 00 0 1 0 1( ) { ( ) ( )}H f f f f H f Lγ γ ρ γ/ − / /′ = = + , ∈ , ∈ . Пусть ( )ija x — функции из ( )L∞ Ω ,; A — формальный диффеpе- нциальный опеpатоp, заданный в области Ω , вида ( ) 1 ( ) ( ) ( ) n i ij j i j A x x a x x xϕ ϕ , = = − ∂/∂ ∂ /∂ ,∑ (1) где ( ) jx xϕ∂ /∂ — частная производная по jx функции ( )xϕ в смысле рас- пределений в Ω, коэффициенты ( )ija x котоpого удовлетвоpяют условиям 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 ij n ij i j n i i j a L a x Rξ ξ α ξ ξ α ξ ∞ , = ∈ Ω , ≥ + + , > , ∀ ∈ ,∑ почти всюду в Ω. Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 106 Сопоставим оператору A пространство 1( )H AΩ, , определенное выра- жением 1 1 2( ) { ( ) ( )}H A u H Au LΩ, = ∈ Ω : ∈ Ω . (2) Пусть состояние ( )xϕ системы определяется как обобщенное решение задачи Неймана 1( )H Aϕ∈ Ω, , (3) ( ) ( ) вA x f xϕ = Ω, (4) на A hϕ ν ∂ = Γ, ∂ (5) где 2 ( )f L∈ Ω ,; 2 ( )h L∈ Γ ,; ν — единичная нормаль к Γ, внешняя по отно- шению к области Ω ; 1 cos( ) n ij i A ji j a x x ϕ ϕ ν ν , = ∂ ∂ = , ∂ ∂∑ — конормальная производ- ная по отношению к оператору A ; cos( )ixν, — i -й направляющий косинус нормали ν. Как известно [5], для существования решения задачи (3) – (5) необходимо и достаточно, чтобы ( ) 0f x dx h d Ω Γ + Γ = .∫ ∫ (6) Если это условие выполняется, то существует бесконечное множество решений данной задачи, причем любые два решения отличаются друг от друга на постоянную почти всюду в Ω. Обозначим 1( )H Ω подпространство таких функций ( )v x из пространства 1( )H Ω , для которых ( ) 0v x dx Ω = .∫ (7) Тогда, согласно условию 1( )Hϕ∈ Ω , решение задачи (3) – (5) опреде- ляется однозначно. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ МИНИМАКСНОГО ОЦЕНИВАНИЯ Пусть iγ , 1i N= , , — гладкие односвязные ориентируемые открытые (n-1)- мерные попарно-непересекающиеся поверхности в nR с гладкими граница- ми, содержащиеся в области Ω, i jγ γ∩ =∅, i j≠ , Ω⊂iγ ; ориентация по- верхности iγ определяется непрерывным семейством единичных нормалей ( ) ix xν γ, ∈ ; iΩ — такая открытая подобласть в Ω ( iΩ ⊂Ω ) с гладкой одно- связной границей i∂Ω , содержащей поверхность iγ , что нормальный век- тор ν к поверхности iγ направлен вне области iΩ ,; iγ − — та сторона по- верхности iγ , ориентация которой совпадает с ориентацией внешней стороны поверхности i∂Ω ,; iγ + — противоположная сторона iγ . Области i,Ω будем считать попарно-непересекающимися. Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 107 Пpедположим, что на поверхностях iγ наблюдаются функции (1) (11) (1 2) (1)( )( , ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) y yi i i ii i i i A yy x K x y y d K x y d x γ γ ϕϕ ξ ϕ γ γ ξ ν , , ∂ = , + , + , ∂∫ ∫ (8) (2) (2 1) (2 2) (2)( )( , ; ) ( ) ( ) ( ) ( ) y yi i i ii i i i A yy x K x y y d K x y d x γ γ ϕϕ ξ ϕ γ γ ξ ν , , ∂ = , + , + , ∂∫ ∫ (9) 1ix i Nγ∈ , = , , где ( )xϕ — решение краевой задачи (3) – (5); (1) ( )i xξ и (2) ( )i xξ — погрешно- сти наблюдений, которые являются выборочными функциями непpеpывных в сpеднеквадpатическом случайных полей, определенных соответственно на поверхностях iγ ,; ( ) 1 2r j iK r j, , , = , , — заданные на i iγ γ× функции такие, что (11) (2 1) 2 ( )i ii iK K L γ γ, ,, ∈ × и, кроме того, предполагается, что существует хотя бы одно число 0i , 01 i N≤ ≤ и хотя бы одно число 0j , 01 2j≤ ≤ такие, что 0 0 00 ( 1) ( ) 0 yi j iiK x y d γ γ, , ≠ ,∫ (10) (другими словами, не все интегральные операторы, определенные первыми слагаемыми в первых частях (8) и (9), переводят константы в нуль; условие (10) обеспечивает взаимно-однозначное соответствие между множеством решений краевой задачи (3) – (5) при фиксированных f и h и их наблюде- ниями), а интегральные операторы ( )j iG и ( )j iG , определяемые ядрами ( 2) ( )j iK x y, , , вида ( ) ( 2) ( ) ( 2)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y yi i j j j j i ii i i iG x K x y y d G x K y x y d γ γ ψ ψ γ ψ ψ γ, ,= , , = , ,∫ ∫ (11) где 1 2j = , , являются линейными ограниченными операторами, отобра- жающими пространства 1 2 ( )iH γ− / в 1 2 00 ( ) 1iH i Nγ/ , = , . Примерами таких ядер могут служить, например, вырожденные ядра ( 2) ( )j iK x y, , = ( ) ( ) 1 ( ) ( )l ij ij r rr a x b y = = ,∑ где ( ) ( ) 1 2 00 ( )ij ij r r ia b H γ/, ∈ . С физической точки зрения наблюдения вида (8), (9) позволяют, на- пример, в стационарных задачах теплопроводности независимо наблюдать на системе поверхностей iγ , 1i N= , , как температуру, так и поток тепла или их линейные комбинации. Обозначим 0G множество функций ( , ),F f h:= удовлетворяющих ус- ловиям 2 2 2 2 1( ) ( ) 1f x q x dx h q d Ω Γ + Γ ≤ ,∫ ∫ (12) ( ) 0,f x dx h d Ω Γ + Γ =∫ ∫ (13) Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 108 а 1G множество случайных функций (1) (1) (2) (2) 1 1( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))N N… …η η η η η⋅ = ⋅ , , ⋅ , ⋅ , , ⋅ , удовлетворяющих условиям (1) (2)( ) 0 ( ) 0 1i iM x M x i Nη η= , = , = , , (14) ( ) ( )2 2(1) (2)(1) (2)2 2 1 1 ( ( )) ( ( )) 1( ) ( ) i i N N i ii ii i i i M x d M x dr x r x γ γ η γ η γ = = + ≤ ,∑ ∑∫ ∫ (15) где (1) (2) 1( ) ( ) ( ) ( ) 1i iq x q x r x r x i N, , , , = , , — функции, непрерывные на множест- вах соответственно Ω, Γ, и iγ , не обращающиеся там в нуль. Будем также считать, что в уравнениях (3) – (5) функции ( )f x , ( )h x , а также втоpые моменты (1) 2( ( ))iM xξ и (2) 2( ( ))iM xξ случайных полей (1) ( )i xξ и (2) ( )i xξ не известны точно, а известно лишь, что 0: ( , )F f h G= ∈ и (1) (1) (2) (2) 11 1( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))N N… … Gξ ξ ξ ξ ξ⋅ = ⋅ , , ⋅ , ⋅ , , ⋅ ∈ . (16) Пусть в области Ω задана функция 2 0 ( )l L∈ Ω . Задача состоит в том, чтобы по наблюдениям вида (8), (9) за состоянием ( )xϕ системы, описы- ваемой краевой задачей Неймана (3) – (5), при условиях 0( , )F f h G= ∈ и 1( ) Gξ ⋅ ∈ оценить значение линейного функционала 0( ) ( ) ( )l l x x dxϕ ϕ Ω = ∫ (17) в классе линейных по наблюдениям оценок вида ( )(1) (1) (2) (2) 1 ˆ( ) ( ) ( , ; ) ( ) ( , ; ) i N ii i i i i l u x y x u x y x d c γ ϕ ϕ ξ ϕ ξ γ = = + + ,∑ ∫ (18) где (1) (2) 2 1, ( ) 1ii iu u L i N c Rγ∈ , = , , ∈ . Определение 1. Оценку ( )(1) (1) (2) (2) 1 ˆ̂ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( , ; ) ( ) ( , ; ) i N ii i i i i l u x y x u x y x d c γ ϕ ϕ ξ ϕ ξ γ = = + + ,∑ ∫ в которой функции (1)ˆ ( )iu x , (2)ˆ ( )iu x и число ĉ определяются из условия (1) (2) 2 1, ( ) 0 1 11 2ˆinf sup sup [ ( ) ( )] u u L ii i i N c R F G G Fa R M l a l a γ η ψ ψ ∈ , = , , ∈ ∈ , ∈ ∈ + − + = 10 1 2ˆ̂sup sup [ ( ) ( )] F G G a R M l a l a η ψ ψ ∈ , ∈ ∈ = + − + , (19) где ( )(1) (1) (2) (2) 1 ˆ( ) ( ) ( , ; ) ( ) ( , ; ) i N ii i i i i l u x y x u x y x d c γ ψ ψ η ψ η γ = = + + ,∑ ∫ (20) Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 109 а ( )xψ — некоторое решение краевой задачи Неймана 1( )H Aψ ∈ Ω, , (3а) ( ) ( ) вA x f xψ = Ω, (4а) на A hψ ν ∂ = Γ, ∂ (5а) назовем минимаксной оценкой выражения (17). Величину { }1/ 2 2ˆ̂( ) : [ ( ) ( )]M l lσ ϕ ϕ ϕ= − (21) назовем погрешностью минимаксного оценивания. Очевидно, что 10 1 2 1 2ˆ̂( ) : { sup sup [ ( ) ( )] } . F G G a R M l a l a η σ ϕ σ ψ ψ / ∈ , ∈ ∈ ≤ = + − + (22) В формуле (19), когда константа a под знаком супремума изменяется от −∞ до +∞, функция ( )x aψ + пробегает множество всех решений задачи (3а) – (5а) при фиксированных ( )f x и ( )h x , откуда легко следует, что этот супремум будет конечной величиной в том и только в том случае, если век- тор-функция (1) (1) 1( Nu u … u= , , , (2) (2) 1 )Nu … u, , принадлежит гиперплоскости ( )(1) (11) (2) (2 1) 0 1 { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0} xi i N i ii i i i i U u H l x dx u K x u K x d d ξγ γ ξ ξ ξ ξ γ γ, , Ω = := ∈ : − , + , = =∑∫ ∫ ∫ (1) (1,1) (2) (2,1) 0 1 { ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0} i N ii i i i i u H l x dx u K u K d ξγ ξ ξ ξ ξ γ Ω = = ∈ : − + =∑∫ ∫ (23) в гильбертовом пространстве ( )22 2 1( ) ( )NH L … Lγ γ:= ,× × где (1,1) (11) (2,1) (2 1)( ) ( ) x xi i i ii i i iK K x d K K x d γ γ ξ γ ξ γ, ,:= , , := , .∫ ∫ Поэтому можно дать следующее эквивалентное определение мини- максной оценки и погрешности оценивания. Определение 1'. Оценку ˆ( )l ϕ , в которой функции (1)ˆ ( )iu x , (2)ˆ ( )iu x и число ĉ определяются из условия 1 0 1 0 1 2 2 2ˆˆ ˆinf sup [ ( ) ( )] sup [ ( ) ( )] : u U c R F G G F G G M l l M l l η η ψ ψ ψ ψ σ ∈ , ∈ ∈ , ∈ ∈ , ∈ − = − = , (24) где ψ — некоторое решение краевой задачи Неймана (3a) – (5a), назовем минимаксной оценкой выражения (17), а величину ( )σ ϕ , определенную формулой (21) — погрешностью минимаксного оценивания. Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 110 Ясно, что ( )σ ϕ ≤ 0 1 2 1 2ˆ̂{ sup [ ( ) ( )] } F G G M l l η σ ψ ψ / ∈ , ∈ = − . (25) СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ МИНИМАКСНОГО ОЦЕНИВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ Далее установим эквивалентность задачи минимаксного оценивания неко- торой задаче оптимального управления системой, описываемой эллиптиче- ским уравнением с условиями сопряжения на поверхностях iγ , 1i N= , . Ре- зультат существенным образом будет опираться на условия разрешимости следующих двух краевых задач сопряжения. 1. Для заданного дифференциального оператора A вида (1), в котором частные производные понимаются как распределения в области ′Ω = Ω \ \( )1 N i iγ=∪ , и заданных функций 2 ( )g L ′∈ Ω , 1 2 ( )Hα − /∈ Γ , (1) 1 2 00 ( )ii Hω γ/∈ , (2) 1 2 ( )ii Hω γ− /∈ , 1i N= , найти функцию u, являющуюся решением краевой задачи вида 1( )u H A′∈ Ω , , (26) ( ) ( ) вAu x g x ′= Ω , (27) на A u α ν ∂ = Γ, ∂ (28) (1) (2)[ ] на 1 i i ii i A uu i Nγ γ ω ω γ ν ⎡ ⎤∂ = , = , = , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ (29) где [ ( )] ( ) ( ) i u x u x u xγ + −= − ,; ( ) ( ) ( ) A A i u x u x u x A γ ν νν + − ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ,⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ; через ( )u x+ , ( )u x− и ( ) A u x ν + ∂⎛ ⎞ ,⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ( ) A u x ν − ∂⎛ ⎞ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ обозначены следы i u γ + \| , i u γ − \| и ( ) A i u x γν + ∂ ,∂ ( ) A i u x γν − ∂ ∂ функций u и ( ) A u x ν ∂ ∂ на различных сторонах iγ + и iγ − поверхно- сти iγ , причем вследствие теоремы о следах (для случая многообразий с краем) 1 2 ( ) i iu Hγ γ + / +\| ∈ , 1 2 ( ) i iu Hγ γ − − /\| ∈ и 1 2 00[ ( )] ( ) i iu x Hγ γ/∈ , ( )′∈ ∂ ∂ + + )()( 2/1 00 i A H v xu i γ γ , ( )′∈ ∂ ∂ − − )()( 2/1 00 i A H v xu i γ γ и −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ +AA v xu v xu i )()( γ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − Av xu )( 1 2 ( )iH γ− /∈ , а равенства (26) – (29) понимаются как равенства Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 111 элементов из пространств соответственно 2 ( )L ′Ω , 1 2 ( )H − / Γ , 1 2 00 ( )iH γ/ , 1 2 ( )iH γ− / , 1i N= , ,. 2. Для дифференциального оператора A∗ вида ( ) 1 ( ) ( ) ( ) n i ji j i j A v x x a x v x x∗ , = = − ∂/∂ ∂ /∂ ,∑ и заданных функций 2 ( )g L ′∈ Ω , 2 ( )Lα∈ Γ , (1) 1 2 ( )ii Hω γ/∈ , (2) 2 ( )ii Lω γ∈ найти функцию v, являющуюся решением краевой задачи вида 1( )v H A∗′∈ Ω , , (30) ( ) ( ) вA v x g x∗ ′= Ω , (31) 0 на A v ν ∗ ∂ = Γ, ∂ (32) (1) (2)[ ] на 1 i i ii i A vv i Nγ γ ω γω ν ∗ ⎡ ⎤∂ = , = , = , .⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ (33) Можно показать с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в работе [5], стр. 420 – 426, что для существования решений задач (26) – (29) и (30) – (33), определяемых с точностью до константы, необходимо и доста- точно, чтобы выполнялись условия (2) 1 0 i N ii i g dx d d γ α ω γ ′Ω Γ = + Γ + =∑∫ ∫ ∫ — для задачи (26) – (29) (34) и (2) 1 0 i N ii i g dx d d γ α γω′Ω Γ = + Γ + =∑∫ ∫ ∫ — для задачи (30) – (33). (35) Решения ( )u x и ( )v x задач (26) – (29) и (30) – (33), принадлежащие подпространству 1( )H ′Ω пространства 1( )H ′Ω , определяются единствен- ным образом и имеют место оценки 1 2 1 21( ) ( ) ( ) \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| H L H u C g α − / ⎡ ⎢ ⎢ ′Ω Ω Γ⎢ ⎢⎣ ≤ + + 1 2 1 2 00 1 2 1 2 (2) (1)2 2 ) ( ) ( ) 1 1 \|\| \|\| \|\|\|\| i i N N i iH H i i γ γ ω ω− / / / / ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ + + ,∑ ∑ (36) 1 2 1 22( ) ( ) ( ) \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| \|\| H L H v C g α − / ⎡ ⎢ ⎢ ′Ω Ω Γ⎢ ⎢⎣ ≤ + + Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 112 1 2 1 2 00 1 2 1 2 (2) (1)2 2 ( ) ( ) 1 1 \|\| \|\|\|\| \|\| i i N N i iH H i i γ γω ω− / / / / ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦ + + ,∑ ∑ (37) где 1C и 2C — положительные константы, не зависящие от функций, вхо- дящих в правые части равенств соответственно (27) – (29) и (31) – (33). Введем в рассмотрение при каждом фиксированном (1) (1) 1( Nu u … u= , , , (2) (2) 1 )Nu … u, , ( )22 2 1( ) ( )NU H L … Lγ γ∈ ⊂ := × × функции ( ...,;);( )1( 1uxzuxz = ))2()2( 1 )1( ,...,,,... NN uuu как pешение задачи 1 ( , )z H A′∈ Ω , (38) 0( ) ( ) вA z x u l x∗ ′; = Ω , (39) 0 на A z ν ∗ ∂ = Γ, ∂ (40) (1 2) (1) (2 2) (2)[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) i i ii i i iz x u K x u K x u d ξγ γ ξ ξ ξ ξ γ, ,⎡ ⎤; = , + , ,⎣ ⎦∫ (11) (1) (2 1) (2)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i ii i i i A z x u K x u K x u d ξγ γ ξ ξ ξ ξ γ ν ∗ , , ⎡ ⎤∂ ; ⎡ ⎤= − , + ,⎢ ⎥ ⎣ ⎦∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ на Nii ,1, =γ , (41) 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0q x z x u dx q x z x u d− − ′Ω Γ ; + ; Γ = .∫ ∫ (42) Функция ( )z x u; определяется из уравнений (38) – (42) единственным образом. Условие u U∈ в силу (35) совпадает с условием разрешимости краевой задачи (38) – (41) в классе функций 1( ')H Ω . Пусть 1 0 ( ) ( ')z x u H; ∈ Ω — единственное решение задачи (38) – (41). Положим 2 2 0 02 2 1 1 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) c q x z x u dx r x z x u d q x dx q x d − − − − Ω Γ Ω Γ = − ; + ; Γ . + Γ ∫ ∫∫ ∫ Тогда функция 0( ) ( )z x u z x u c; = ; + — единственное решение задачи (38) – (42). Имеет место следующее утверждение. Лемма 1. Задача нахождения минимаксной оценки функционала ( )l ϕ эквивалентна задаче оптимального управления системой, описываемой краевой задачей (38) – (42) с функцией стоимости вида (1) (1) (2) (2) 1 1( )N NI u … u u … u, , , , , = 2 2 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )q x z x u dx q x z x u d− − ′Ω Γ = ; + ; Γ∫ ∫ + Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 113 (1) (1) (2) (2)2 2 2 2 1 1 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) min i i N N i ii i i i u Ui i r x u x d r x u x d γ γ γ γ− − ∈= = + + → .∑ ∑∫ ∫ (43) Доказательство. Пусть iΩ , 1i N= , , — области, введенные выше. По- ложим Ω =Ω \ ( )1 N i i=∪ ,Ω ˆ iiγ = ∂Ω . Учитывая соотношения (8), (9), в которых ( )xϕ , (1) ( )i xξ и (2) ( )i xξ сле- дует заменить соответственно на ( )xψ , (1) ( )i xη и (2) ( )i xη , где ( )xψ — неко- торое решение задачи (3а) – (5а); (1) (1) (2) (2) 1 1( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))N N… …η η η η η⋅ = ⋅ , , ⋅ , ⋅ , , ⋅ — произвольная случайная вектор-функция, принадлежащая множеству 1G , а также (17), (18), (38) – (42), и применяя к функциям ( )xψ и ( )z x u; в облас- тях iΩ , 1i N= , , и Ω вторую формулу Грина (законность ее применения вы- текает из );( uz ⋅ , )(1 Ω′∈Hψ и )(, 2 Ω′∈LAzA ψ ), в силу того, что ˆ \[ ] i γγψ 0 \ˆ =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ = γγ ψ i v , получаем 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i N i l l l x x dx l x x dxψ ψ ψ ψ Ω Ω = − = + −∑∫ ∫ ( )(1) (1) (2) (2) 1 ( ) ( , ; ) ( ) ( , ; ) i N ii i i i i u x y x u x y x d c γ ψ η ψ η γ = − + − =∑ ∫ −+= ∑∫∫ = ΩΩ N i dxuxxzAdxxxzA i1 ** );()()()( ψψ (1) (11) (1 2) 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) xi i i N i i ii i i i A u x K x d K x d d ξ ξγ γ γ ψ ξξ ψ ξ γ ξ γ γ ν ∗ , , = ⎡ ⎤∂ − , + ,⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∫ ∫ ∫ – (2) (2 1) (2 2) 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) xi i i N i i ii i i i A u x K x d K x d d ξ ξγ γ γ ψ ξξ ψ ξ γ ξ γ γ ν ∗ , , = ⎡ ⎤∂ − , + ,⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ∑ ∫ ∫ ∫ – (1) (1) (2) (2) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i i N N i ii i i i i i u x x d u x x d c γ γ η γ η γ = = − − −∑ ∑∫ ∫ = −+Γ ∂ ∂ += ∑∫∫∫ = ΩΓΩ N iA i dxxAuxzd v zdxxAuxz 1 )();()();( ψψψ ˆ 1 ( ) ( )( ) ( ) i N i Ai A x z x uz x u x d γ ψ ψ γ ν ν ∗ − = − ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ;⎜ ⎟⎜ ⎟− ; − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ ∫ + ˆ 1 ( ) ( )( ) ( ) i N i Ai A x z x uz x u x d γ ψ ψ γ ν ν ∗ + = + ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ;⎜ ⎟⎜ ⎟+ ; − ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ ∫ – Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 114 (11) (1) (2 1) (2) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xi i N i ii i i i i K x u x K x u x d d ξγ γ ψ ξ ξ ξ γ γ, , = ⎡ ⎤− , + ,⎣ ⎦∑ ∫ ∫ – (1 2) (1) (2 2) (2) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xi i N i ii i i i Ai K x u x K x u x d d ξγ γ ψ ξ ξ ξ γ γ ν , , = ∂ ⎡ ⎤− , + ,⎣ ⎦∂∑ ∫ ∫ – (1) (1) (2) (2) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i i N N i ii i i i i i u x x d u x x d c γ γ η γ η γ = = − − −∑ ∑∫ ∫ = ( ) ( )z x f x dx zh d ′Ω Γ = + Γ∫ ∫ 1 ( ) ˆ( ( ) ( )) i N i Ai xz x u z x u d γ ψ γ ν+ − = ∂ + , − , − ∂∑ ∫ 1 ( ) ( ) ˆ( ) i N i i A A z x u z x u x d γ ψ γ ν ν∗ ∗= + − ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ , ∂ ,⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ∑ ∫ – (11) (1) (2 1) (2) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xi i N i ii i i i i K x u x K x u x d d ξγ γ ψ ξ ξ ξ γ γ, , = ⎡ ⎤− , + ,⎣ ⎦∑ ∫ ∫ – (1 2) (1) (2 2) (2) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xi i N i ii i i i Ai K x u x K x u x d d ξγ γ ψ ξ ξ ξ γ γ ν , , = ∂ ⎡ ⎤− , + ,⎣ ⎦∂∑ ∫ ∫ – (1) (1) (2) (2) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i i N N i ii i i i i i u x x d u x x d c γ γ η γ η γ = = − − −∑ ∑∫ ∫ = ( ) ( )f x z x u dx hz d Ω Γ = ; + Γ −∫ ∫ (1) (1) (2) (2) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i i N N i ii i i i i i u x x d u x x d c γ γ η γ η γ = = − − − ,∑ ∑∫ ∫ где ( ) ( )z x u z x u; = ; , если x ′∈Ω , и продолжена произвольным образом на множество нулевой меры Ω′Ω \ , а обозначения ( )z x u− ; и ( )z x u+ ; в инте- гралах по поверхностям ˆ iγ , 1i N= , , имеют тот же смысл, что и в постановке краевой задачи сопряжения 1. Отсюда, учитывая условия (14), (15) и известное соотношение 2 2( )D M Mξ ξ ξ= − между дисперсией Dξ случайной величины ξ и ее ма- тематическим ожиданием Mξ, получаем 1 1 0 1 0 2 2ˆinf sup [ ( ) ( )] inf sup { ( ) ( ) } c R c RF G G F G M l l f x z x u dx hz d c η ψ ψ Ω Γ∈ ∈∈ , ∈ ∈ − = ; + Γ −∫ ∫ + 1 (1) (1) (2) (2) 2 1 1 sup { ( ) ( ) ( ) ( ) } i i N N i i i i G i i M u x x dx u x x dx γ γη η η ∈ = = + + .∑ ∑∫ ∫ (44) Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 115 Для вычисления точных верхних граней в правой части (44) воспользу- емся обобщенным неравенством Коши-Буняковского [8], которое мы здесь приведем в удобном для дальнейшего использования виде. Предложение 1. Для любых (1) (2) 2 1 1 ( )w w L, ∈ Ω , (1) (2) 2 2 2 ( )w w L, ∈ Γ имеет место обобщенное неравенство Коши-Буняковского (1) (2) (1) (2) 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )w x w x dx w x w x d Ω Γ \| + Γ \|≤∫ ∫ ( ) ( )1 2 2 22(1)(1) (2)2 2 2 1 21 1{ ( ) } { ( )( ) ( )q x dx q w d q x dxw x w x− − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠Ω Γ Ω ≤ + Γ +∫ ∫ ∫ 1 2 2(2)2 1 2 )}q w d⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠Γ + Γ ,∫ в котором знак равенства достигается при (2) (1) (2) (1)2 2 1 11 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )w q w w q w Rλ λ λ− −= ⋅ ⋅ , = ⋅ ⋅ ∀ ∈ . Полагая теперь в обобщенном неравенстве Коши-Буняковского (1) (1) (2) (2) 1 2 1 2( ) ( ) \| ( ) ( )w z u w z u w f w hΓ= ⋅; , = ⋅; , = ⋅ , = ⋅ , и вводя обозначение ( ) ( )y f x z x u dx hz d Ω Γ = ; + Γ∫ ∫ , получаем, принимая во внимание соотношения (6), (42) и (12), что справедливо неравенство 1 22 2 2 2 22 1{ ( ) ( ) ( ) ( ) } { ( ) ( )y q x x u dx q x z x u d f x q x dxz− − Ω Γ Ω \| \|≤ ; + ; Γ +∫ ∫ ∫ 1 22 2 1 }h q d Γ + Γ∫ 1 22 2 22 1{ ( ) ( ) ( ) ( ) }q x x u dx q x z x u d az− − Ω Γ ≤ ; + ; Γ := ,∫ ∫ в котором знак равенства достигается при 0( )f f h G= , ∈ , где 22 1 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) iq z uq z uf h a a −− Γ⋅ ⋅;⋅ ⋅; ⋅ = ± , ⋅ = ± . (45) Поэтому 1 0 2inf sup { ( ) ( ) ( ) } c R F G f x z u dx hz u d c Ω Γ∈ ∈ ⋅; + ⋅; Γ −∫ ∫ = 1 2 2 2 2 2 2 1inf sup( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i c R y a y c a q x z x u dx q x z x u d− − ′Ω Γ∈ \| \|≤ = − = = ; + ; Γ∫ ∫ при 0c = . Аналогично находим 1 (1) (1) (2) (2) 2 1 1 (1) (1) (2) (2)2 2 2 2 1 1 sup { ( )) ( ) ( )) ( ) } ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) i i i i N N i i i i G i i N N i i i i i i M u x x dx u x x dx r x u x dx r x u x dx γ γη γ γ η η ∈ = = − − = = + . ≤ + . ∑ ∑∫ ∫ ∑ ∑∫ ∫ , ≤ Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 116 в котором, как легко убедиться непосредственно, знак равенства достигается на случайной вектор-функции ξ с компонентами (1) (1) (1) 1/ 2 (1) (1) (2) (2)2 2 2 2 1 1 ( ) ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) i i i i i N N i i i ii i i i r x u xx r x u x d r x u x d γ γ η ξ γ γ− − = = = ⎡ ⎤Σ + Σ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ , (46) (2) (2) (2) 1/ 2 (1) (1) (2) (2)2 2 2 2 1 1 ( ) ( )( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) i i i i i N N i i i ii i i i r x u xx r x u x d r x u x d γ γ η ξ γ γ− − = = = ⎡ ⎤Σ + Σ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ , где η — случайная величина такая, что 0Mη = , 2 1Mη = . Отсюда и из по- следнего равенства следует 1 21 0 1 (1) (1) (2) (2)2 1 1 ˆinf sup [ ( ) ( )] ( )m m c R F G G M l l I u … u u … u η ψ ψ ∈ ∈ , ∈ − = , , , , , , где функционал I определяется формулой (43), а нижняя грань по c дости- гается при 0c = . Лемма доказана. МИНИМАКСНЫЕ ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДЕННЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕЙМАНА ПРИ КВАДРАТИЧНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ПАРАМЕТРЫ Решая задачу оптимального управления (38) – (43), придем к следующему результату. Теорема 1. Минимакснaя оценка функционала ( )l ϕ имеет вид ( )(1) (1) (2) (2) 1 ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ i N ii i i i i l x y x x y x d cu u γ ϕ γ = = + + ,∑ ∫ (47) где ˆ 0c = , (1) (1) (11) (1 2)2 (2) (2) (2 1) (2 2)2 ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )ˆ ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 1ˆ i i ii i i i A ii i i i A px r x K x p K x du px r x K x p K x d i Nu ξ ξ γ γ ξξ ξ ξ γ ν ξξ ξ ξ γ ν , , , , ⎡ ⎤∂ = , + , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎡ ⎤∂ = , + , , = , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∫ ∫ (48) а функция ( )p x находится из решения задачи 1 ( , )z H A′∈ Ω , (49) 0( ) ( ) вA z x l x∗ ′= Ω , (50) 0 на A z ν ∂ = Γ, ∂ (51) Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 117 (1 2) (1) (2 2) (2)ˆ ˆ[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) i i ii i i iz x K x u K x u d ξγ γ ξ ξ ξ ξ γ, ,⎡ ⎤= , + , ,⎣ ⎦∫ (11) (1) (2 1) (2)( ) ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) i i ii i i i A z x K x u K x u d ξγ γ ξ ξ ξ ξ γ ν ∗ , , ⎡ ⎤∂ ⎡ ⎤= − , + ,⎢ ⎥ ⎣ ⎦∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ на Nii ,1, =γ (52) 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0q x z x dx q x z x d− − ′Ω Γ + Γ = .∫ ∫ (53) 1( , )p H A′∈ Ω , (54) 2( ) ( ) ( ) вAp x q x z x− ′= Ω , (55) 2 1 на A p q z ν −∂ = Γ, ∂ (56) [ ] 0 0 1 i iA pp i Nγ γν ⎡ ⎤∂ = , = , = , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ (57) (1) (2)(1,1) (2,1) 0 1 ˆ ˆ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) 0 i N ii ii i i l x dx K K du u ξγ ξ ξ ξ ξ γ Ω = − + = ,∑∫ ∫ (58) где в соотношениях (48) через ( )p y и Av yp ∂ ∂ )( обозначены общие значения следов функции p и предельных значений ее конормальных производных на различных сторонах поверхностей iγ . Задача (49) – (58) однозначно раз- решима. Для погрешности минимаксного оценивания функционала ( )l ϕ спра- ведлива оценка 1 21 2 0( ) [ ( )] ( ) ( )l p l x p x dxσ ϕ / / ′Ω ⎡ ⎤≤ = .⎣ ⎦∫ (59) Эта оценка является точной в том смысле, что существуют функции f и h, 0( , )f h G∈ и такая случайная вектор-функция 1Gξ∈ , описывающая помехи в наблюдениях(8), (9), на которых в неравенстве (59) достигается знак ра- венства. Доказательство. Зафиксируем произвольный элемент ( (1)(1) 1 Nu u … u= , , , )(2)(2) 1 Nu … Uu, , ∈ и положим u u v= + . Тогда задача минимизации функцио- нала ( )I u на множестве U сведется к задаче нахождения минимума функ- ционала ( ) ( )VI v I u v:= + (60) на линейном подпространстве Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 118 ( )(1) (11) (2) (2 1) 1 { : ( ) ( ) ( ) ( ) 0} xi i N i ii i i i i V u H u K x u K x d d ξγ γ ξ ξ ξ ξ γ γ, , = := ∈ , + , =∑ ∫ ∫ гильбертова пространства H , снабженном нормой пространства H . Покажем, что ( )VI v – квадратичная функция на V . Действительно, по- скольку решение ( )z x u; задачи (38) – (42) можно представить в виде ( ) ( ) ( )z x u z x v z x u; = ; + ; , где ( )z x u; обозначено решение этой задачи при u u= , а ( )z x v; — при ( ) 0l x ≡ , и u v= , то функционал ( )VI v можно пред- ставить в виде 2 2 2 2 1 (1) (1) (2) (2)2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) i i V N N i ii i i i i i I v I v L v q x z x u dx q x z x u d r x x d r x x du u γ γ γ γ − − ′Ω Γ − − = = = + + ; + ; Γ + + , ∫ ∫ ∑ ∑∫ ∫ + где 2 22 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )I v q x x v dx q x x v dz z− − ′Ω Γ = ; + ; Γ∫ ∫ + (1) (1) (2) (2)2 2 2 2 1 1 ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) i i N N i ii i i i i i r x v x d r x v x d γ γ γ γ− − = = + + ,∑ ∑∫ ∫ 2 2 1( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )L v q x z x v z x u dx q x z x v z x u d− − ′Ω Γ = ; ; + ; ; Γ∫ ∫ + (1) (1) (1) (2) (2) (2)2 2 1 1 2 ( ( )) ( ) ( ) 2 ( ( )) ( ) ( ) i i N N i ii i i i i i i i r x x v x d r x x v x du u γ γ γ γ− − = = + + .∑ ∑∫ ∫ Далее заметим, что функция ( )z x v; представима в виде ( ) ( ) ( )z x v z x v c v; = ; + , где 0( )x vz ; обозначено единственное решение крае- вой задачи 1 1 * 0( ) ( ) ( ),v H H Az ′ ′⋅, ∈ Ω ∩ Ω , (61) 0 ( ) 0 вA z x v∗ ′; = Ω , (62) 0( ) 0 на A vz ν ∗ ∂ ⋅, = Γ, ∂ (63) (1 2) (1) (2 2) (2) 0[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) i i ii i i iz x v K x v K x v d ξγ γ ξ ξ ξ ξ γ, ,⎡ ⎤; = , + , ,⎣ ⎦∫ (11) (1) (2 1) (2)0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) н i i ii i i i A z x v K x v K x v d ξγ γ ξ ξ ξ ξ γ ν ∗ , , ⎡ ⎤∂ ; ⎡ ⎤= − , + ,⎢ ⎥ ⎣ ⎦∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ на Nii ,1, =γ , (64) Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 119 удовлетворяющее в силу (37) и наших предположений относительно опера- торов вида (11) неравенству 10 ( ) \|\| ( ) \|\| ( H z v ′Ω ⋅; ≤ 1/ 2 00 (1,2) (1) (2,2) (2) 2 1/ 2 ( ) 1 ( \|\| [ ( , ) ( ) ( , ) ( )] \|\| ) ii N ii i i i H i K x v x K x v x d ξ γγ ξ ξ γ = ≤ +∑ ∫ + 1/ 2 (1,1) (1) (2,1) (2) 2 1/ 2 1( ) 1 ( \|\| [ ( , ) ( ) ( , ) ( )] \|\| ) \|\| \|\| ii N i Hi i i i H i K x v x K x v x d c v ξ γγ ξ ξ γ − = + + ≤∑ ∫ ,(65) где 1 constc = , c не зависит от v, а 2 2 10 02 2 1 1( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) c v q x x v dx q x x v dz z q x dx q x d − − − − ′Ω Γ ′Ω Γ = ; + ; Γ . + Γ ∫ ∫∫ ∫ Учитывая неравенство (65) и теорему 3.2 (о следах) из [1], для ( )c v по- лучаем оценку 1 1 20 02 3( ) ( ) ( ) \|\| ( ; ) \|\| \|\| ( ) \|\| H H c v c v c vz z /′Ω Γ \| \|≤ ⋅ + ⋅; ≤ 1 1 10 0 02 4 2 4 5( ) ( ) ( ) \|\| ( ) \|\| \|\| ( ) \|\| ( ) \|\| ( ) \|\| \|\| \|\|HH H H c v c v c c v c vz z z′ ′ ′Ω Ω Ω ≤ ⋅; + ⋅; = + ⋅; ≤ , (66) где 2 5ic i, = , , — константы, не зависящие от v. Из неравенств (65) и (66) вытекает, что для ( )z x v; справедлива оценка 1 10 6 6( ) ( ) \|\| ( ) \|\| \|\| ( ) ( ) \|\| \|\| \|\| constHH H z v v c v c v cz′ ′Ω Ω ⋅; = ⋅; + ≤ , = , из которой следует: функция ( )v z v→ ⋅; является линейным ограниченным оператором, отображающим гильбертово пространство V в 1( )H Ω . Отсюда ( )V vI — квадратичная форма, соответствующая симметричной непрерыв- ной билинейной форме 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v w q x z x v z x w dx q x z x v z x w dπ − − ′Ω Γ , := ; ; + ; ; Γ∫ ∫ + (1) (1) (1) (2) (2) (2)2 2 1 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) i i N N i ii i i i i i i i r x v x w x d r x u x w x d γ γ γ γ− − = = + + ,∑ ∑∫ ∫ а ( )L v — линейный непрерывный функционал, заданные на V . Кроме того, поскольку (1) (1) (2) (2)2 2 2 2 1 1 ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) \|\| \|\| i i N N i i Vi i i i i i I v r x v x d r x v x d c v γ γ γ γ− − = = ≥ + ,≥∑ ∑∫ ∫ const, =∈∀ cVv , Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 120 то на основании замечания 1.1 к теореме 1.1 из работы [1] следует сущест- вование единственного элемента (1) (1) (2) (2) 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ( ) uN Nv … … Vν ν ν ν ν= , , , , , = ∈ (зави- сящего от u ) такого, что ˆ( ) inf ( ) inf ( ) inf ( ) inf ( ) inf ( )V V v V v V u u V u u V u U I v I v I u v I u I u I u ∈ ∈ − ∈ ∈ + ∈ = ,= + = = = . Полагая ˆ ˆu u v= + , и учитывая ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )VI v I u v I u= + = , заключаем, что существует единственный элемент ,ˆ,...,ˆ(ˆ )1()1( 1 Nuuu = (2) (2) 1̂ ˆ )Nu … u U, , ∈ , пред- ставимый в виде ˆ ˆ ,u u v= + на котором достигается минимум функционала ( )I u при u U∈ . Поэтому для любого фиксированного v V∈ и 1Rτ ∈ функ- ция ˆ( ) ( )s I u vτ τ:= + имеет единственную точку минимума при 0τ = , так что 0ˆ( ) \| 0d I u v d ττ τ =+ = . Отсюда, учитывая (43), находим 0 1 ˆ0 ( ) \| 2 d I u v d ττ τ == + = ( )2 2 2 0 0 1 1ˆ ˆ ˆ ˆlim ( ( ) ( )) lim ( ) ( ) ( ) 2 2 I u v I u q x z x u v z x u dx τ τ τ τ τ τ − ′Ω→ → = + − = ; + − ;∫ + ( )2 2 2 0 1 ˆ ˆlim ( ) ( ) ( ) 2 q x z x u v z x u d τ τ τ − Γ→ + ; + − ; Γ∫ + ( )2(1) (1)(1) (1)2 2 0 1 1lim ( ( )) ( ( ))( ) ( ) ˆˆ 2 i N ii ii i i r x x dx v x uu γτ γτ τ ⎡ ⎤− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ ⎣ ⎦= + −+∑ ∫ + ( )2(2) (2)(2) (2)2 2 0 1 1lim ( ( )) ( ( ))( ) ( ) ˆˆ 2 i N ii ii i i r x x dx v x uu γτ γτ τ ⎡ ⎤− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥→ ⎣ ⎦= + − .+∑ ∫ (67) Вычислим первый предел в правой части последнего соотношения. Принимая во внимание соотношение ˆ ˆ( ) ( ) ( )z x u v z x u z x vτ τ; + = ; + ; , а также определение функции ( )z x v; , имеем ( )2 2 2 0 1 ˆ ˆlim ( ) ( ) ( ) 2 q x z x u v z x u dx τ τ τ − ′Ω→ ; + − ;∫ = 2 2 2 0 1 ˆ ˆlim ( ) ( ( ) ( )) ( )) 2 q x z x u z x v z x u dx τ τ τ − ′Ω→ ⎡ ⎤= ; + ; − ;⎣ ⎦∫ = 2 2 22 0 1 ˆ ˆlim ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 q x z x u z x v x v dx q x z x u z x v dxz τ τ τ τ − − ′ ′Ω Ω→ ⎡ ⎤= ; ; + ; = ; ; .⎣ ⎦∫ ∫ Аналогично, вычисляя остальные пределы в правой части (67), получаем 2 2 1ˆ ˆ0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )q x z x u z x v dx q x z x u z x v d− − ′Ω Γ = ; ; + ; ; Γ∫ ∫ + (1) (1) (1) (2) (2) (2)2 2 1 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )ˆ ˆ i i N N i ii i i i i i i i r x x v x d r x x v x du u γ γ γ γ− − = = + + ,∑ ∑∫ ∫ . (68) Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 121 Введем функцию ( )p x как единственное решение следующей краевой задачи: 1( , )p H A′∈ Ω , (69) 2 ˆ( ) ( ) ( ) вAp x q x z x u− ′= ; Ω , (70) 2 1 на A p q z ν −∂ = Γ, ∂ (71) [ ] 0 0 1 i iA pp i Nγ γν ⎡ ⎤∂ = , = , = , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ (72) ∫Ω −dxxl )(0 (11) (1) (11) (1 2)2 1 ( )( ( )( ( )) ( ) ( ) ( ) i i i N ii i i i Ai pK x r K p K d ηγ γ γ ηξ ξ ξ η η ξ η γ ν , , , = ⎡ ⎤∂ − , , + , +⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∑ ∫ ∫ ∫ (2 1) (2) 2( )( ( ))i iK x rξ ξ,+ , × × (2 1) (2 2)2 ( )( ) ( ) ( ) ) 0 xi i i ii i A pK p K d d d η ξγ ηξ η η ξ η γ γ γ ν , ,⎡ ⎤∂ , + , = .⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∫ (73) Нетрудно видеть, что задача (69) – (73) однозначно разрешима. В са- мом деле, обозначим 0 ( )p x решение задачи (69) – (72), принадлежащее подпространству 1( )H Ω . Оно существует в силу соотношения (42), которое представляет собой согласно (34) условие разрешимости этой задачи. Оно единственно, так как 0 ( ) 0p x dx Ω = .∫ При этом функция 0 ( )p x λ+ будет удовлетворять уравнениям (69) – (72) при любом 1Rλ∈ . Подбе- рем константу λ таким образом, чтобы вектор-функция ( ))(,...),(),(,...),()(~ )2()2( 1 )1()1( 1 xuxuxuxuxu NN= с компонентами (1) (1) (11) (1 2)2 0 0 ( )( ) ( )) ( )( ( ) ) ( ) i ii i i i A px r x K x p K x du ξγ ξ ξ ξ λ ξ γ ν , ,⎡ ⎤∂ := , + + , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∫ (2) (2) (2 1) (2 2)2 0 0 ( )( ) ( )) ( )( ( ) ) ( ) i ii i i i A px r x K x p K x du ξγ ξ ξ ξ λ ξ γ ν , ,⎡ ⎤∂ := , + + , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∫ 1i N= , ,, принадлежала множеству U . Подставляя в соотношение (23) вместо компонент вектора ( ))(,...),(),(,...),()( )2()2( 1 )1()1( 1 xuxuxuxuxu NN= соответст- вующие компоненты вектора ( )u x , приходим к следующему выражению для λ : Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 122 0 1 ( )l x dx c λ Ω ⎧⎪= −⎨ ⎪⎩ ∫ ( )2 (11) (11) (1 2)(1) 0 0 1 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) i i i N ii i ii Ai pK x K p K dr ηγ γ γ ηξ ξ η η ξ η γξ ν ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ , , , = ⎛ ⎞∂ − , , + ,⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ∑ ∫ ∫ ∫ + ( )2 (2 1) (2 1)(2) 0( ) ( ) ( )( ) i i ii K x K pr γ ξ ξ η ηξ , ,⎛ + , , +⎜ ⎝ ∫ (2 2) 0 ( )( ) xi i ii A pK d d d η ξ ηξ η γ γ γ ν , ⎫⎤⎞∂ ⎪+ , ,⎬⎥⎟∂ ⎠ ⎪⎦ ⎭ где ( ) 22 (11)(1) 1 ( )( ) xi i N iii i c K x dr γ γ ξ γξ ⎡ ⎛ ⎞⎢ ⎜ ⎟⎢ ⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎢⎣ , = = , +∑ ∫ ∫ ( ) 22 (2 1)(2) ( ) 0( ) xi i iii K x d dr ξγ ξ γ γξ ⎤⎛ ⎞ ⎥⎜ ⎟ ⎥⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎥⎦ ,+ , >∫ согласно предположению (10). Тогда при этом значении λ функция 0( ) ( )p x p x λ= + удовлетворяет условию (73), которое означает, что вектор- функция ( )u x с компонентами (1) (1) (11) (1 2)2 ( )( ) ( )) ( ) ( ) ( ) i ii i i i A pu x r x K x p K x d ξγ ξξ ξ ξ γ ν , ,⎡ ⎤∂ := , + , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∫ (74) (2) (2) (2 1) (2 2)2 ( )( ) ( )) ( ) ( ) ( ) i ii i i i A pu x r x K x p K x d ξγ ξξ ξ ξ γ ν , ,⎡ ⎤∂ := , + , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∫ (75) 1i N= , , принадлежит множеству U , а задача (69) – (73) имеет единственное решение. Преобразуя первое слагаемое в правой части (68), применяя равенства (69) – (73), а также вторую формулу Грина и обозначая ( )p y и Av yp ∂ ∂ )( об- щие значения следов функции p и предельных значений ее конормальных производных на различных сторонах поверхностей ˆ iγ ., имеем 2 ˆ( ) ( ) ( )q x z x u z x v dx− ′Ω ; ; =∫ 2 2 1 ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i N i q x z x u z x v dx q x z x u z x v dx− − Ω Ω = = ; ; + ; ;∑∫ ∫ = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i N i Ap x z x v dx Ap x z x v dx Ω Ω = = ; + ;∑∫ ∫ = Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 123 ( )( ) ( ) ( ) A p xA z x v p x dx z x v d ν ∗ Ω Γ ∂ = ; − ; Γ ∂∫ ∫ + ˆ 1 1 ( )( ) ˆ( ) ( ) ( ) ( ) i i N N i i Ai i A p xz x vA z x v p x dx p x x v dz γ γ ν ν∗ ∗ −Ω = = − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ;⎜ ⎟⎜ ⎟+ ; − − ; ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ ∑∫ ∫ + ˆ 1 ( ) ( ) ˆ( ) ( ) i N i Ai A z x v p xp x x v dz γ γ ν ν∗ + = + ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ; ∂⎜ ⎟⎜ ⎟+ − ; ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ ∫ = ( )( ) ( ) ( ) A p xA z x v p x dx z x v d ν ∗ Ω Γ ∂ = ; − ; Γ ∂∫ ∫ – ( ) 1 ( ) ˆ( ) ( ) i N i Ai p xx v x v dz z γ γ ν+ − = ∂ − ; − ; + ∂∑ ∫ 1 ( ) ( ) ( ) i N i i A A z x v z x v p x d γ γ ν ν∗ ∗= + − ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ; ∂ ;⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ ∫ = 1 ˆ( ) ( ) ( )z x v q x z x u d Γ = − ; ; Γ −∫ [ ](11) (1) (2 1) (2) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xi i N i i ii i i i i p x K x v K x v d d ξγ γ ξ ξ ξ ξ γ γ, , = − , + ,∑ ∫ ∫ – [ ](1 2) (1) (2 2) (2) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xi i N i i ii i i i Ai p x K x v K x v d d ξγ γ ξ ξ ξ ξ γ γ ν , , = ∂ − , + , ∂∑ ∫ ∫ . Отсюда с учетом (68) получаем (1) (1) (1) (2) (2) (2)2 2 1 1 ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( )ˆ ˆ i i N N i ii i i i i i i i r x x v x d r x x v x du u γ γ γ γ− − = = +∑ ∑∫ ∫ = (1) (11) (1 2) 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) xi N i i i ii i i Ai pv x K x p K x d d ξγ ξ ξ ξ ξ γ γ ν , , = ⎡ ⎤∂ = , + ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∑ ∫ + (2) (2 1) (2 2) 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) xi N i i i ii i i Ai pv x K x p K x d d ξγ ξ ξ ξ ξ γ γ ν , , = ⎡ ⎤∂ + , + , .⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∑ ∫ Последнее равенство перепишем в виде (1) (1) (1) (11)2 2 1 ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )ˆ i i N ii i i i i r x x r x K x p Ku γ γ ξ ξ,− = ⎡ ⎛ − , +⎢ ⎜ ⎝⎣ ∑ ∫ ∫ (1 2) (1)( )( ) ( ) x i i ii i A pK x d v x d ξ ξ ξ γ γ ν , ⎤⎞∂ + , ⎥⎟∂ ⎠ ⎦ + (76) Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 124 (2) (2) (2) (2 1)2 2 1 ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )ˆ i i N ii i i i i r x x r x K x pu γ γ ξ ξ,− = ⎡ ⎛ + − , +⎢ ⎜ ⎝⎣ ∑ ∫ ∫ (2 2) (2)( )( ) ( ) 0. x i i ii i A pK x d v x d ξ ξ ξ γ γ ν , ⎤⎞∂ + , =⎥⎟∂ ⎠ ⎦ Поскольку вектор-функция ( )u x U∈ , то вектор-функция ˆ( ) ( )u x u x V− ∈ . По- этому, полагая в (76) (1)(1) (1)ˆ( ) ( ) ( )i i iv x u x xu= − , (2)(2) (2)ˆ( ) ( ) ( )i i iv x u x xu= − , 1i N= , , где компоненты (1)( )i xu , (2)( )i xu , 1i N= , , и вектор-функции ( )u x определяются формулами (74) и (75), получаем (1) (1) (1) (11)2 2 1 ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )ˆ i i N ii i i i i r x x r x K x pu γ γ ξ ξ,− = ⎡ ⎛ − , +⎢ ⎜ ⎝⎣ ∑ ∫ ∫ 2 (1 2) ( )( ) x i i ii A pK x d d ξ ξξ γ γ ν , ⎤⎞∂ + , +⎥⎟∂ ⎠ ⎦ (2) (2) (2) (2 1)2 2 1 ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )ˆ i i N ii i i i i r x x r x K x pu γ γ ξ ξ,− = ⎡ ⎛ + − , +⎢ ⎜ ⎝⎣ ∑ ∫ ∫ 2 (2 2) ( )( ) 0, x i i ii A pK x d d ξ ξξ γ γ ν , ⎤⎞∂ + , =⎥⎟∂ ⎠ ⎦ откуда находим (1) (1) (11) (1 2)2 (2) (2) (2 1) (2 2)2 ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )ˆ ( )( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 1ˆ i i i i ii i i i A i i ii i i i A px r x K x p K x du px r x K x p K x d i Nu ξ ξ γ γ ξξ ξ ξ γ ν ξξ ξ ξ γ ν , , , , ⎡ ⎤∂ = , + , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎡ ⎤∂ = , + , , = , .⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∫ ∫ Полагая теперь в соотношениях (38) – (42) ˆu u= и вводя обозначения ˆ( ) ( )z x z x u= ; , с учетом (69) – (73) придем к задаче (49) – (58). Подставляя теперь ˆu u= в (43) и используя соотношения (48), (25), по- сле преобразований придем к неравенству (59). При этом, как следует из рассуждений, приведенных в доказательстве леммы 1, знак равенства в не- равенстве (59) достигается на решении ( )xϕ задачи (3) – (5), в которой функции f и h определяются правыми частями равенств (45), и на случай- ной вектор-функции ξ , описывающей шумы в наблюдениях (8), (9), c ком- понентами, определяемыми по формулам (46). Теорема доказана. Альтернативное пpедставление для минимаксных оценок в виде реше- ния систем интегро-дифференциальных уравнений специального вида, не зависящее от конкретного вида функционала (15), найдено в приведенной ниже теоpеме. Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 125 Теорема 2. Минимаксная оценка выражения (17) имеет вид 0 ˆ̂ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )l l l x x dxϕ ϕ ϕ ′Ω = = ∫ , (77) где функция ˆ ( )xϕ определяется из решения задачи (78) – (87): 1 ˆ ( , )p H A′∈ Ω , (78) ˆ ( ) 0 вA p x∗ ′= Ω , (79) ˆ 0 на A p ν ∂ = Γ, ∂ (80) ˆ[ ( )] i p x γ (1 2) (1) (1) (1)2( ) ( ( )) ( ) ( )ˆ i ii i i iK x r y dv ξγ ξ ξ ξ ξ γ, ⎡ ⎤=− , − −⎣ ⎦∫ (2 2) (2) (2) (2)2( ) ( ( )) ( ) ( )ˆ i ii i i iK x r y dv ξγ ξ ξ ξ ξ γ, ⎡ ⎤− , − ,⎣ ⎦∫ ˆ ( ) iA p x γ ν ∗ ⎡ ⎤∂ =⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ (11) (1) (1) (1)2( ) ( ( )) ( ) ( )ˆ i ii i i iK x r y dv ξγ ξ ξ ξ ξ γ, ⎡ ⎤, − +⎣ ⎦∫ (2 1) (2) (2) (2)2( ) ( ( )) ( ) ( )ˆ i ii i i iK x r y dv ξγ ξ ξ ξ ξ γ, ⎡ ⎤+ , −⎣ ⎦∫ на 1i i Nγ , = , , (81) 2 2 1ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) 0q x p x dx q x p x d− − ′Ω Γ + Γ = ,∫ ∫ (82) 1ˆ ( , )H Aϕ ′∈ Ω , (83) 2ˆ ˆ( ) ( ) ( ) вA x q x p xϕ − ′= Ω , (84) 2 1 ˆ ˆ на A q pϕ ν −∂ = Γ, ∂ (85) ˆˆ[ ] 0 0 1 i iA i Nγ γ ϕϕ ν ⎡ ⎤∂ = , = , = , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ (86) ( )(11) (1) (2 1) (2) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0ˆ ˆ i i N N i i ii ii i i i d x d dv vK K ξγ γ γ ξ ξ ξ ξ γ, , = = − + = ,∑ ∑∫ ∫ (87) (1) (1) (11) (1 2)2 ˆ ( )ˆ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )ˆ i ii i i i A r K K dv ηγ ϕ ηξ ξ ξ η ϕ η ξ η γ ν , ,⎡ ⎤∂ = , + , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∫ (88) (2) (2) (2 1) (2 2)2 ˆ ( )ˆ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) i ii i i i A v r K K d ηγ ϕ ηξ ξ ξ η ϕ η ξ η γ ν , ,⎡ ⎤∂ = , + , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ∫ (89) где (11) (1) (1) (2 1) (2) (2)2 2( ) [ ( )( ( )) ( ) ( )( ( )) ( )] i i ii i i i i id x K x r y K x r y d ξγ ξ ξ ξ ξ ξ ξ γ, ,= , + , .∫ Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 2 126 Задача (78) – (87) имеет единственное решение. Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 1. Следствие. Функция ˆ ( )xϕ , определяемая из решения задачи (78) – (87), может быть принята за оценку наблюдаемого решения ( )xϕ исходной зада- чи Неймана (3) – (5). Отметим, что все результаты работы получены в предположении (10). Если отказаться от этого предположения, так что ( 1) ( ) 0 1 , 1,2 yi j iiK x y d i N j γ γ, , = ∀ = , =∫ , (90) то любым двум решениям краевой задачи (3) – (5) будут отвечать одни и те же наблюдения, т.е. такой класс наблюдений отождествляет все решения данной задачи и, как вытекает из определения 1 минимаксной оценки ˆ̂( )l ϕ значения функционала ( )l ϕ , погрешность оценивания будет конечной вели- чиной только в том случае, когда 0 ( ) 0l x dx ′Ω =∫ , (91) т. е., если функционал ( )l ϕ принимает одинаковые значения на всех реше- ниях краевой задачи (3) – (5). При этом множество U, входящее в определе- ние 1', совпадает со всем пространством H. Тогда в рассматриваемом случае (в предположениях (90) и (91)), моди- фицируя рассуждения, содержащиеся при доказательстве сформулирован- ных выше утверждений, приходим к следующему. Лемма 1'. В предположениях (90) и (91) задача нахождения минимакс- ной оценки значения функционала ( )l ϕ эквивалентна задаче оптимального управления системой, описываемой краевой задачей (38) – (42) с функцией стоимости, определенной формулой (43), в которой множество U следует заменить на H . Заметим, что условие (90) обеспечивает разрешимость с точностью до произвольной постоянной краевой задачи (38) – (41) и, следовательно, одно- значную разрешимость задачи (38) – (42). Теорема 1'. В предположениях (90) и (91) минимаксная оценка значе- ния функционала ( )l ϕ определяется по формулам (47) и (48), а погрешность оценивания удовлетворяет неравенству (59). Функция )(xp , входящая в формулы (48) и (59), определяется из решения задачи (49) – (57) c точно- стью до произвольной константы (а функция )(xz — единственным обра- зом). При этом функции (1)ˆ ( )iu x и (2)ˆ ( )iu x , 1i N= , в силу условия (90) опре- деляются однозначно. Теорема 2'. В предположениях (90) и (91) минимаксная оценка выра- жения (17) определяется по формуле (77), в которой функция ˆ ( )xϕ опреде- ляется из решения задачи (78) – (86) c точностью до произвольной постоян- ной (а функция ˆ ( )p x — единственным образом). Отметим, что в соответствии с условием (91) величина ˆ( )l ϕ = 0 ˆ( ) ( )l x x dxϕ ′Ω = ∫ будет определяться однозначно. Минимаксное оценивание решений вырожденных краевых задач Неймана … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 2 127 В заключение сделаем следующие замечания. 1. Проведенный анализ показывает, что все доказанные утверждения справедливы также и в случае, когда некоторые или все iγ — замкнутые попарно-непересекающиеся поверхности, расположенные внутри области Ω (например, iγ — сферические поверхности). При этом, если поверхность iγ замкнутая, то следует считать, что операторы ( )j iG , 1 2j = , , вида (11) яв- ляются линейными ограниченными операторами, отображающими 1 2 ( )iH γ− / в 1 2 ( )iH γ/ , 1i N= , . 2. В случае, если ( ) ( )A x xϕ = −∆ в области Ω и в предположении, что правая часть f(x) уравнения (2) задана точно (в частности, равна нулю), мож- но показать, используя теорию потенциала, что полученные в теоремах 1 и 2 системы интегро-дифференциальных уравнений, через решения которых определяются минимаксные оценки, сводятся к системе граничных инте- гральных уравнений Фредгольма. В общем случае эти системы могут быть решены с помощью метода конечных элементов. 3. Предложенные в данной работе методы открывают возможность минимаксного оценивания по неполным данным параметров краевых задач, для которых имеет место неоднозначность их решений (например, для ли- нейных эллиптических уравнений, содержащих параметры, для линеаризо- ванных уравнений Навье-Стокса и др). 4. Полученные в статье результаты могут быть использованы при по- строении систем автоматизированной обработки результатов наблюдений стационарных процессов фильтрации, теплопроводности и т.д., при реше- нии задач локализации источников, создающих наблюдаемые физические поля. ЛИТЕРАТУРА 1. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с. 2. Наконечный А.Г. Минимаксное оценивание функционалов от решений вариа- ционных уравнений в гильбертовых пространствах. — Киев: КГУ, 1985. — 82 с. 3. Наконечный А.Г. Минимаксные оценки в системах с распределенными пара- метрами / Ин-т кибернетики АН УССР. — Препр. — Киев, 1979. — № 79. — 55 с. 4. Ковалюк А., Наконечный А.Г., Подлипенко Ю.К. Минимаксное оценивание ре- шений краевых задач Неймана для эллиптических уравнений в условиях неопределенности // Проблемы управления и информатики. — 2001. — № 6. — С. 77–95. 5. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. — М.: Мир, 1985. — 589 с. 6. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их примене- ние. — М.: Мир, 1971. — 372 с. 7. Cessenat M. Mathematical methods in electromagnetism. Linear theory and applica- tions. — World Scientific, Singapore, New Jersey, London, Hong Kong, 1996. — 376 p. 8. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операто- ров. — М.:Мир, 1983. — 431 с. Поступила 8.09.2003

Минимаксное оценивание решений вырожденных краевих задач Неймана для эллиптических уравнений по наблюдениям, распределенным на системе поверхностей

Репозитарії

Схожі ресурси