О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей

Рассматриваются системы, описываемые начально-краевыми задачами для параболических уравнений второго порядка в частных производных. По наблюдениям на конечном временном интервале их решений на конечной системе поверхностей доказаны теоремы об общем виде минимаксных прогнозных оценок функционалов от...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2004
Автори:	Наконечный, А.Г., Подлипенко, Ю.К., Грищук, Н.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2004
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50347
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей / А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2004. — № 3. — С. 17-39. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50347
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-503472013-10-11T03:07:18Z О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей Наконечный, А.Г. Подлипенко, Ю.К. Грищук, Н.В. Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Рассматриваются системы, описываемые начально-краевыми задачами для параболических уравнений второго порядка в частных производных. По наблюдениям на конечном временном интервале их решений на конечной системе поверхностей доказаны теоремы об общем виде минимаксных прогнозных оценок функционалов от их решений. Предполагается, что правые части уравнений, граничные и начальные условия, а также погрешности измерений точно не известны, а известны лишь множества, которым они принадлежат. Установлено, что нахождение минимаксных прогнозных оценок сводится к решению некоторых систем интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с условиями сопряжения на упомянутых выше поверхностях. Розглядаються системи, якi описуються початково-крайовими задачами для параболiчних рiвнянь другого порядку в частинних похiдних. За спостереженнями на скiнченному часовому iнтервалi їх розв’язкiв на скiнченнiй системi поверхонь доведенi теореми про загальний вигляд мiнiмаксних прогнозних оцiнок функцiоналiв вiд цих розв’язкiв. При цьому робиться припущення, що правi частини рiвнянь, граничнi i початковi умови, а також похибки вимiрiв точно не вiдомi, а вiдомi лише множини, яким вони належать. Встановлено, що знаходження мiнiмаксних прогнозних оцiнок зводиться до розв’язання деяких систем iнтегро-диференцiальних рiвнянь у частинних похiдних за умов спряження на згаданих вище поверхнях. Systems described by initial-boundary problems for parabolic equations of the second order with partial derivatives are considered. Based on observations of the solutions to these problems distributed in a finite time interval over a system of surfaces, minimax prediction estimates of functionals from the solutions are found. It is assumed that the right hand sides of the equations, boundary and initial conditions and also errors of measurements are not determined exactly: only the sets to which they belong are known. It is established that the determination of these estimates is reduced to solving some systems of integro-differential equations with partial derivatives and transmission conditions on the surfaces. 2004 Article О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей / А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2004. — № 3. — С. 17-39. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50347 517.977 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор
spellingShingle	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор Наконечный, А.Г. Подлипенко, Ю.К. Грищук, Н.В. О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей Системні дослідження та інформаційні технології
description	Рассматриваются системы, описываемые начально-краевыми задачами для параболических уравнений второго порядка в частных производных. По наблюдениям на конечном временном интервале их решений на конечной системе поверхностей доказаны теоремы об общем виде минимаксных прогнозных оценок функционалов от их решений. Предполагается, что правые части уравнений, граничные и начальные условия, а также погрешности измерений точно не известны, а известны лишь множества, которым они принадлежат. Установлено, что нахождение минимаксных прогнозных оценок сводится к решению некоторых систем интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с условиями сопряжения на упомянутых выше поверхностях.
format	Article
author	Наконечный, А.Г. Подлипенко, Ю.К. Грищук, Н.В.
author_facet	Наконечный, А.Г. Подлипенко, Ю.К. Грищук, Н.В.
author_sort	Наконечный, А.Г.
title	О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей
title_short	О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей
title_full	О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей
title_fullStr	О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей
title_full_unstemmed	О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей
title_sort	о прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2004
topic_facet	Методи оптимізації, оптимальне управління і теорія ігор
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50347
citation_txt	О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей / А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2004. — № 3. — С. 17-39. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT nakonečnyjag oprognozirovaniirešenijparaboličeskihuravnenijponablûdeniâmraspredelennymnasistemepoverhnostej AT podlipenkoûk oprognozirovaniirešenijparaboličeskihuravnenijponablûdeniâmraspredelennymnasistemepoverhnostej AT griŝuknv oprognozirovaniirešenijparaboličeskihuravnenijponablûdeniâmraspredelennymnasistemepoverhnostej
first_indexed	2025-07-04T12:01:09Z
last_indexed	2025-07-04T12:01:09Z
_version_	1836717675086086144
fulltext	© А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук, 2004 Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 17 TIДC МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ, ОПТИМАЛЬНЕ УПРАВЛІННЯ І ТЕОРІЯ ІГОР УДК 517.977 О ПРОГНОЗИРОВАНИИ РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО НАБЛЮДЕНИЯМ, РАСПРЕДЕЛЕННЫМ НА СИСТЕМЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ А.Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Ю.К. ПОДЛИПЕНКО, Н.В. ГРИЩУК Рассматриваются системы, описываемые начально-краевыми задачами для па- раболических уравнений второго порядка в частных производных. По наблю- дениям на конечном временном интервале их решений на конечной системе поверхностей доказаны теоремы об общем виде минимаксных прогнозных оценок функционалов от их решений. Предполагается, что правые части урав- нений, граничные и начальные условия, а также погрешности измерений точно не известны, а известны лишь множества, которым они принадлежат. Уста- новлено, что нахождение минимаксных прогнозных оценок сводится к реше- нию некоторых систем интегро-дифференциальных уравнений в частных про- изводных с условиями сопряжения на упомянутых выше поверхностях. ВВЕДЕНИЕ В работах [1], [2] изучались вопросы минимаксного прогнозирования по не- полным данным решений параболических уравнений как с детерминиро- ванными, так и со случайными коэффициентами. Эти же вопросы изучались в случае, когда физические процессы описываются параболическими урав- нениями с разрывными коэффициентами и неоднородными граничными ус- ловиями [3]. При этом рассматривались только точечные или распределен- ные в некоторых подобластях наблюдения. Отметим, что для важного класса наблюдений, распределенных на сис- теме поверхностей, прямое применение полученных ранее результатов для минимаксного прогнозного оценивания параметров параболических крае- вых задач не является возможным. Поэтому для такого класса наблюдений при исследовании проблем минимаксного прогнозного оценивания возника- ет необходимость в разработке и обосновании существенно новых методов и алгоритмов получения минимаксных прогнозных оценок, чему и посвя- щена данная статья. B работе рассматривается задача прогнозирования состояния систем, описываемых начально-краевыми задачами Неймана для параболических уравнений второго порядка в частных производных. По зашумленным на- блюдениям на конечном временном интервале решений на конечной систе- ме поверхностей, принадлежащих рассматриваемой области, и при специ- А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 18 альных ограничениях на правые части уравнений, краевые и начальные ус- ловия, а также на шумы в наблюдениях найдены минимаксные прогнозные оценки для функционалов от решений этих начально-краевых задач в любой момент времени в будущем. Нахождение минимаксных прогнозных оценок сведено к решению не- которых систем интегро-дифференциальных уравнений с условиями сопря- жения на поверхностях, на которых осуществляются наблюдения. Далее используются следующие обозначения: 1( )nx x … x= , , — пpостpанственная пеpеменная, изменяющаяся в огpаниченном откpытом множестве nRΩ⊂ с липшицевой гpаницей Γ ; 1 ndx dx dx= ⋅ ⋅ ⋅ — элемент меры Лебега в nR ; t — временная переменная; 1 2 1 2( )t tQ t t, = Ω× , — от- кpытый цилиндp; 1 2 1 2( )t t t t,Σ = Γ× , — боковая поверхность цилиндра; 1 2(( ))D t t, — пространство бесконечно дифференцируемых функций с ком- пактным носителем на интервале 1 2( )t t, ; 1( )H Ω — пpостpанство Соболева поpядка 1 в области Ω ; ( )1( )H Ω — двойственное к 1( )H Ω пpостpанство; 1 2 ( )t tL Q∞ , — пpостpанство измеpимых и почти всюду огpаниченных на множестве 1 2t tQ , функций; ( )sH γ — пространство Соболева нецелого по- рядка s на ( 1)n − -мерном сечении области Ω гладкой поверхностью γ ; элемент меры на поверхности обозначим dγ , ,...,dΓ если сама поверхность была обозначена γ , ,..Γ .; ( )2 1 1 2 ( )L t t H, ; Ω — пpостpанство функций, опреде- ленных и измеpимых (по отношению к меpе Лебега dt ) на интеpвале 1 2( )t t, со значениями в гильбеpтовом пpостpанстве 1( )H Ω и таких, что 2 11 2 ( ) ( , ) t t H f t dt Ω ⋅ < ∞∫ (аналогично определяется пpостpанство ( )2 1 1 2 ( ( )) )L t t H ′, ; Ω ; ( )L X Y; — пpостpанство линейных непрерывных операторов, отображающих гильбер- тово пpостpанство X в гильбертово пpостpанство Y . Если ( )2 1 1 2 ( )f L t t H∈ , ; Ω , то можно определить обобщенную частную производную f t∂ /∂ как единственный элемент пpостpанства 1 2(( )D t t′ , ;; 1 1 1 2( )) ( (( )) ( ))H L D t t HΩ = , ; Ω обобщенных функций со значениями в 1( )H Ω , удовлетворяющий соотношению 2 1 1 2 ( )( ) ( , ) , (( , )). t t f d tf t dt D t t t dt ϕϕ ϕ∂ = − ⋅ ∀ ∈ ∂ ∫ 1 2( )W t t, ;Ω обозначим пространство функций ( )2 1 1 2 ( )f L t t H∈ , ; Ω та- ких, что ( )2 1 1 2 ( ( ))kf t L t t H ′∂ /∂ ∈ , ; Ω . Это пространство является гильберто- вым относительно нормы. О прогнозировании решений параболических уравнений … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 19 ( )2 1 1 1 2 1 1/ 2 2 2 ( , ; ) ( ) ( ( ))( , ) ( , ) / . t W t t H Ht f f t f t t dt′Ω Ω Ω ⎛ ⎞= ⋅ + ∂ ⋅ ∂⎜ ⎟ ⎝ ⎠∫ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Пусть состояние ( )x tϕ , системы определяется как обобщенное решение на- чально-краевой задачи Неймана 0( )W t Tϕ∈ , ;Ω , (1) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) в t T x t A t x t f x t Q t ϕ ϕ , ∂ , + , = , , ∂ (2) 0 на t T A hϕ ν , ∂ = Σ , ∂ (3) 0 0( ) ( ) вx t xϕ ϕ, = Ω, (4) где 0 2 2( ) ( )t Tf L Q h L,∈ , ∈ Γ , 2 0 ( )Lϕ ∈ Ω , ( )A A t= — диффеpенциальный опеpатоp, заданный в области 0t TQ , вида ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n i ij j i j A t x t x a x t x t x a x t x tϕ ϕ ϕ , = , = − ∂/∂ , ∂ , /∂ + , , ,∑ коэффициенты ( )ija x t, и 0 ( )a x t, котоpого удовлетвоpяют условиям 00 0( ) ( ) const 0ij t Ta a L Q a x t c∞ ,, ∈ , , ≥ = > , 2 2 1 1 , 1 ( ) ( ), 0, n ij i j n i i j a x a a Rξ ξ ξ ξ ξ = ≥ + + > ∀ ∈∑ почти всюду в 0t TQ , . Здесь и далее ν — единичная нормаль к 0t T,Σ , внеш- няя по отношению к области 0t TQ , , а 1 cos( ) n ij i A ji j a x x ϕ ϕ ν ν , = ∂ ∂ = , ∂ ∂∑ — конормальная производная по отношению к оператору A ; cos( )ixν, — i -й направляющий косинус нормали ν. Под обобщенным решением задачи (1) – (4) будем понимать функцию 0( )W t Tϕ∈ , ;Ω , удовлетворяющую интегральному тождеству 0 0 ( , ) , ( , ) ( ; ( , ) ( , )) T T t t t t dt a t t t dt t ϕ ψ ϕ ψ∂ ⋅⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ 0 0 2 1 0, ( , ; ( )) T T t t f dx dt h d dt L t T Hψ ψ ψ Ω Γ = + Γ ∀ ∈ Ω∫ ∫ ∫ ∫ (1 )′ и начальному условию (4), где при каждом фиксированном t А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 20 0 1 ( ) ( ) ( ) n i j j ii j u va t u v a x t dx a x t uv dx x x,Ω Ω , = ∂ ∂ ; , = , + , ∂ ∂∑ ∫ ∫ — билинейная форма, определенная на пространстве 1( )H Ω , а ( )⋅,⋅ обозначено отношение двойственности на 1 1( ( )) ( )H H′Ω × Ω , согласованное со скаляр- ным произведением в 2 ( )L Ω . Существование и единственность решения задачи (1) – (4) следует из теоремы 1.2 в работе [4]. Пpедположим, что на попарно-непересекающихся незамкнутых ( 1)n − - мерных гладких ориентированных поверхностях iγ , расположенных внутри области Ω , в течение промежутка времени от момента tα до момента tβ наблюдаются функции ( ) ( ) ( ) ( ) yi i i i iy x t K x y y t d x t γ ϕ γ ξ, = , , + ,∫ , (5) 1ix i N t t tα βγ∈ , = , , < < , где 0t tα ≥ , t Tβ < , ( )i x tξ , — погрешности наблюдений, которые являются выборочными функциями непpеpывных в сpеднеквадpатическом случайных полей, с нулевыми математическими ожиданиями ( ) 0 1iM x t i Nξ , = , = , , (6) определенных соответственно на поверхностях ( )i t tα βγ × , ; iK ∈ 2 ( )i iL γ γ∈ × — заданные функции. Будем также далее считать, что в уравнениях (1)–(4) функции ( )f x t, , ( )h x t, , а также втоpые моменты 2( ( ))iM x tξ , случайных полей ( )i x tξ , не известны точно, а известно лишь, что они удовлетворяют неравенствам 0 0 2 2 2 2 1( , ) ( , ) T T t t f x t q x t dx dt h q d dt Ω Γ + Γ +∫ ∫ ∫ ∫ 22 0 0( ( ) ( )) ( ) 1x a x r x dxϕ Ω + − ≤∫ , (7) 2 2 1 ( ( , )) ( , ) 1, i N t i i it i M x t r x t d dtβ α γ ξ γ = ≤∑∫ ∫ (8) где 2 ( )a L∈ Ω , 1 0( ) ( ) ( ) 1 ( )iq x t q x t r x t i N r x, , , , , , = , , — функции, непрерывные на множествах 0[ ]t TΩ× , , 0[ ]t TΓ× , , [ ]i t tα βγ × , и Ω , соответственно, не об- ращающиеся там в нуль. Обозначим 0G множество функций 0( )f f h ϕ:= , , , удовлетворяющих условию (7), а 1G множество случайных функций 1( ) ( ( ) ( ))Nt t tξ ξ ξ⋅, = ⋅, ,..., ⋅, , удовлетворяющих условиям (6) и (8). О прогнозировании решений параболических уравнений … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 21 Пусть в области Ω задана функция 2 0 ( )l L∈ Ω . Задача оценивания со- стоит в том, чтобы по наблюдениям вида (5) за состоянием системы, описы- ваемой начально-краевой задачей Неймана (1)–(4) при условиях (6)–(8), оценить линейный функционал 0( ( )) ( ) ( )l T l x x T dxϕ ϕ Ω ⋅, = ,∫ (9) от решения ( )x tϕ , в произвольный момент времени t T= , βtT > в классе линейных по наблюдениям оценок вида 1 ˆ( ( , )) ( , ) ( , ) , i N t i i it i l T u x t y x t d dt cβ α γ ϕ γ = ⋅ = +∑∫ ∫ (10) где 2 1( ( )) 1i iu L t t i N c Rα βγ∈ × , , = , , ∈ . Обозначим ( )1( ) ( ) ( )Nu t u t … u t⋅, = ⋅, , , ⋅, вектор-функцию, принадлежащую пространству 2 2 1( ( , )) ( ( , )).NH L t t L t tα β α βγ γ= × × × × Оценку ˆ̂( ( , ))l Tϕ ⋅ , которая определяется, как решение экстремальной задачи 1 0 1 inf sup [ ( ( )) u H c R f G G M l T ξ ϕ ∈ , ∈ ∈ , ∈ ⋅, − ˆ( ( , )l Tϕ ⋅ 2)] = 0 1 sup [ ( ( )) f G G M l T ξ ϕ ∈ , ∈ = ⋅, − ˆ̂( ( , )l Tϕ ⋅ 2 2)] σ:= (11) назовем минимаксной прогнозной оценкой функционала (9), а величину σ — минимаксной погрешностью оценивания. Таким образом, как следует из формулы (11), минимаксной прогнозной оценкой функционала (9) называется оценка, на которой достигается мини- мум максимальной среднеквадратической погрешности оценивания, рассчи- танной на наихудшую реализацию возмущений. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ МИНИМАКСНОГО ОЦЕНИВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В этом разделе будет показана эквивалентность задачи минимаксного оце- нивания некоторой задаче оптимального управления системой, описывае- мой параболическим уравнением с условиями сопряжения на поверхностях ( ) ( )i it t t t α β α βγ,Σ = × , , 1i N= , , расположенных внутри цилиндра 0t TQ , . При этом под обобщенным решением начально-краевой задачи сопряжения вида ( ) ( ) ( ) ( ) в t t x t A t x t g x t Q t α β ϕ ϕ , ∂ , ′+ , = , , ∂ (12) А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 22 на t t A α β ϕ α ν , ∂ = Σ , ∂ (13) ( ) ( ) ( )[ ] 0 на 1i it t t t i i t t A i N α β α β α β ϕϕ ω ν, , ,Σ Σ ⎡ ⎤∂ = , = Σ , = , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ (14) (0)( ) ( ) вx t xαϕ ϕ ′, = Ω , (15) где 1' \ ,N i iγ=Ω = Ω ∪ ( )t t t tQ α β α β, ′′ = Ω × , , 2 ( )t tg L Q α β, ′∈ , 2 ( )t tL α β α ,∈ Σ , ( )2 ( )i i t tL α β ω ,∈ Σ , (0) 2 ( )Lϕ ′∈ Ω — заданные элементы соответствующих про- странств, будем понимать функцию ( )W t tα βϕ ′∈ , ;Ω , удовлетворяющую на поверхностях ( )i t tα β, Σ , 1i N= , , условию сопряжения ( )[ ] 0i t tα β ϕ ,Σ = , начальному условию (15) и интегральному тождеству ( , ) , ( , ) ( ; ( , ) ( , )) t t t t t t dt a t t t dt t β β α α ϕ ψ ϕ ψ ′∂ ⋅⎛ ⎞ ′⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ 1 ( , ) ( , ) i Nt t t i it t t i g x t x t dxdt d dt d dtβ β β α α α γ ψ αψ ω ψ γ ′Ω Γ = = + Γ + ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ , (16) 1 2 1 , , ( , ; ( ')) : N L t t Hγ γ α βψ∀ ∈ Ω =… ( ) , 2 1: ( , ; ( ')) : [ ] 0, 1, .i t t L t t H i N α β α βψ ψ Σ ⎧ ⎫⎪ ⎪= ∈ Ω = =⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎩ ⎭ Здесь ( )[ ( )] ( ) ( )i t t x t x t x t α β ϕ ϕ ϕ , + −Σ , = , − , , −⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ +∑ AA v yx v yx i tt ),(),( )( , ϕϕ βα − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − Av yx ),(ϕ а ( )x tϕ− , и − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Av yx ),(ϕ обозначены соответственно следы функций ϕ и ее конормальной производной по отношению к оператору A на поверхности ( )i t tα β, Σ с той стороны области t tQ α β, ′ , в которую направлен единичный вектор нормали ν к ( )i t tα β, Σ , а ( )x tϕ+ , и + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ Av yx ),(ϕ — следы этих функций с противоположной стороны области 0t TQ ,′ , примыкающей к поверхности ( )i t tα β, Σ ; ( )′⋅,⋅ обозначено отношение двойственности на 1 1( ( )) ( )H H′ ′ ′Ω × Ω , и при каждом фиксированном t 0 1 ( ) ( ) ( ) n i j j ii j u va t u v a x t dx a x t uv dx x x,′ ′Ω Ω , = ∂ ∂′ ; , = , + , ∂ ∂∑ ∫ ∫ — О прогнозировании решений параболических уравнений … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 23 билинейная форма, определенная на пространстве 1( )H ′Ω . Под обобщенным решением сопряженной к (12)–(15) краевой задачи вида ( ) ( ) ( ) ( ) в ( )x t A t x t g x t W t t t α β ψ ψ∗∂ , ′− + , = , , ;Ω , ∂ (17) на t t A α β ψ α ν ∗ , ∂ = Σ , ∂ (18) ( )[ ] 0i t tα β ψ ,Σ = , (19) ( ) ( )на 1 i t t i i t t A i N α β α β ψ ω ν ∗ , , Σ ⎡ ⎤∂ = Σ , = , ,⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ (20) (0)( ) ( ) вx t xβψ ψ ′, = Ω , (21) где ( )A A t∗ ∗= — линейный оператор, формально сопряженный к оператору ( )A A t= и определяемый по формуле ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n i ji j i j A t x t x a x t x t x a x t x tψ ψ ψ∗ , = , = − ∂/∂ , ∂ , /∂ + , , ,∑ 2 ( )t tg L Q α β, ′∈ , 2 ( )t tL α β α ,∈ Σ , ( )2 ( )i i t tL α β ω ,∈ Σ , (0) 2 ( )Lψ ′∈ Ω — заданные эле- менты, будем понимать функцию ( )W t tα βψ ′∈ , ;Ω , удовлетворяющую на поверхностях ( )i t tα β, Σ , 1i N= , , условию сопряжения (19), начальному условию (21) и интегральному тождеству ( , ) , ( ) ( ; ( , ) ( , )) ( , ) ( ) t t t t t t t dt a t t t dt g x t x dxdt t β β β α α α ψ ϕ ϕ ψ ϕ Ω ∂ ⋅⎛ ⎞ ′− ⋅ + ⋅ ⋅ = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 1 , , 1 , ( , ; ( )). Ni Nt t i it t i d dt d dt L t t Hβ β α α γ γ α βγ αϕ ω ϕ γ ϕ Γ = ′+ Γ + ∀ ∈ Ω∑∫ ∫ ∫ ∫ … Покажем, например, что решение уравнения (16) с начальным услови- ем (15) действительно можно интерпретировать как обобщенное решение задачи (12)–(15). Для этого обозначим iΩ , 1i N= , , такие открытые попарно-непере- секающиеся подмножества в замкнутой области Ω с гладкими границами i∂Ω , содержащими поверхности iγ , что нормальные векторы ν к поверх- ностям iγ , направлены вне областей iΩ . Положим 1\ ( ) ,N i i=Ω = Ω ∪ Ω i ii γγ = ∂Ω . Обозначим ( )t tD Q α β, множество бесконечно дифференцируемых в области t tQ α β, функций с ком- пактными носителями. Считая сначала, что в тождестве (16) ( )t tD Q α β ψ ,∈ , А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 24 получаем, что ( )x tϕ , удовлетворяет уравнению (12) в смысле распределе- ний в t tQ α β, . Кроме того, имеют место условия (13) и (14), которые содер- жатся в (16), правда, формально. Чтобы это показать, умножим обе части уравнения (12) на 1 2 1( ( )) N…L t t Hγ γ α βψ , , ′∈ , ; Ω , результат проинтегрируем по цилиндру ( )t tQ t t α β α β, = Ω× , и затем при каждом фиксированном ( )t t tα β∈ , применим формально первую формулу Грина в областях iΩ , 1i N= , , и Ω . Тогда, c учетом того, что 0][ )( , )( , ~~ =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∂ ∂ = ΣΣ i tt i tt v βαβα ϕ ϕ на ( ) ( )i it t t t α β α βγ, = × , ,Σ 1i N= , , получаем ( , ) ( , )( ) ( , ) , ( , ) t t t t x t tA t x t dx dt t dt t t β β α α ϕ ϕϕ ψ ′Ω ′∂ ∂ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ( ) ,( ), , , ( ) , 1 i t tit t t t t t N i t t i d d α β α βα β α β α β ϕ ϕψ ψ ν νΣ Σ Σ= ∂ ∂⎡ ⎤− Σ − Σ +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ∑∫ ∫ ( ; ( , ) ( , )) ( , ) ( , ) . t t t t a t t t dt g x t x t dxdtβ β α α ϕ ψ ψ ′Ω ′+ ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ Сравнивая это равенство с (16), получаем, что ( ) ,( ), , , ( ) , 1 0i t tit t t t t t N i t t i i d d α β α βα β α β α β ϕ ϕ α ψ ω ψ ν νΣ Σ Σ= ⎛ ⎞ ∂ ∂⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎡ ⎤− + Σ + − + Σ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥∂ ∂⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑∫ ∫ для любого 1 2 1( ( )) N…L t t Hγ γ α βψ , , ′∈ , ; Ω , откуда следует выполнимость усло- вий (13) и (14). Существование и единственность решений задач сопряжения (12)–(15) и (17) – (21), а также их непрерывная зависимость от правых частей и усло- вий сопряжения, следует из результатов, например, работы [1]. C целью сведения задачи нахождения минимаксной прогнозной оценки к решению некоторой задачи оптимального управления представим функ- ционал (9) в виде 0 1( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )l T l x x T dx z x t x t dxβ βϕ ϕ ϕ Ω Ω ⋅, = , = , ,∫ ∫ + 1 1( , ) ( , ) , T T t t z x t f x t dx dt hz d dt β βΩ Γ + + Γ∫ ∫ ∫ ∫ (22) где 1( )z x t, — единственное обобщенное решение следующей начально- краевой задачи: 1 ( )z W t Tβ∈ , ;Ω , (23) 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 в t T z x t A t z x t Q t β ∗ , ∂ , − + , = , ∂ (24) О прогнозировании решений параболических уравнений … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 25 1 0 на t T A z βν ∗ , ∂ = Σ , ∂ (25) 1 0( ) ( ) вz x T l x, = Ω. (26) Обобщенное решение 1 ( )z W t Tβ∈ , ;Ω этой задачи удовлетворяет тож- деству 1 1 ( , ) , ( , ) ( ; ( , ) ( , )) 0 T T t t z t t dt a t t z t dt tβ β θ θ∂ ⋅⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ , 2 1( , ; ( ))L t T Hβθ∀ ∈ Ω (27) и начальному условию (26). Справедливость представления (22) следует из таких рассуждений. Поскольку ( )x tϕ , — решение задачи (1)–(4), то в силу ее вариаци- онной формулировки (1’), (4) для любой функции ( )2 1( )L t T Hβψ ∈ , ; Ω вы- полняется тождество ( , ) , ( , ) ( ; ( , ) ( , )) T T t t t t dt a t t t dt tβ β ϕ ψ ϕ ψ∂ ⋅⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ = ( , ) ( , ) . T T t t f x t x t dx dt h d dt β β ψ ψ Ω Γ = + Γ∫ ∫ ∫ ∫ Положив в последнем равенстве 1( ) ( )x t z x tψ , = , , получаем 1 1 ( , ) , ( , ) ( ; ( , ) ( , )) T T t t t z t dt a t t z t dt tβ β ϕ ϕ∂ ⋅⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ = 1 1( , ) ( , ) . T T t t z x t f x t dx dt hz d dt β βΩ Γ = + Γ∫ ∫ ∫ ∫ (28) С другой стороны, так как 1( )z x t, — решение задачи (23)–(26), то 2 1( ( ))L t T Hβθ∀ ∈ , ; Ω имеет место тождество (27), положив в котором ( ) ( )x t x tθ ϕ, = , , получаем 1 1 ( , ) , ( , ) ( ; ( , ), ( , )) 0. T T t t z t t dt a t t z t dt tβ β ϕ ϕ∂ ⋅⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ Интегрируя первый член этого равенства по частям, что является за- конным, поскольку 1 ( )z W t Tβϕ, ∈ , ;Ω ([1], стр. 113), в силу (26) имеем 0 1( ( ) ( )) ( ( ) ( ))l T z t tβ βϕ ϕ− ⋅ , ⋅, + ⋅, , ⋅, + 1 1 ( , ) ( , ), ( ; ( , ), ( , )) 0. T T t t tz t dt a t t z t dt tβ β ϕ ϕ∂ ⋅⎛ ⎞+ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ (29) Из равенств (28) и (29) следует (22). А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 26 Введем теперь в рассмотрение при каждом фиксированном 1( )Nu u … u H= , , ∈ функции 2 2 1( ) ( )Nz x t u z x t u … u, ; = , ; , , и 3 ( )z x t u, ; = 3 1( )Nz x t u … u= , ; , , , которые определяются из pешения задачи 2 ( )z W t tα β ′∈ , ;Ω , (30) 2 2 ( ) ( ) 0 в t t z x t u A z x t u Q t α β ∗ , ∂ , ; ′− + , ; = , ∂ (31) 2 0 на t t A z α βν ∗ , ∂ = Σ , ∂ (32) ( )2[ ( )] 0i t t z x t u α β, Σ , ; = , ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ii t t i i i A z x t u K x u t d ξ α β γ ξ ξ γ ν ∗ ,Σ ⎡ ⎤∂ , ; = − , , ,⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ( )на 1i t t i N α β, Σ , = , , (33) 2 1( ) ( ) вz x t u z x tβ β ′, ; = , Ω , (34) 3 0( )z W t tα∈ , ;Ω , (35) 0 3 3 ( ) ( ) 0 в t t z x t u A z x t u Q t α ∗ , ∂ , ; − + , ; = , ∂ (36) 0 3 0 на t t A z αν ∗ , ∂ = Σ , ∂ (37) 3 2( ) ( ) вz x t u z x t uα α, ; = , ; Ω. (38) Имеет место следующее утверждение. Лемма 1. Задача нахождения минимаксной оценки функционала ( ( ))l Tϕ ⋅, эквивалентна задаче оптимального управления системой, описы- ваемой начально-краевой задачей (30) – (38) с функцией стоимости вида 1( )NI u … u, , = +Γ+= ∫ ∫∫ ∫ Γ − Ω′ − β α β α t t t t dtdutxztxqdtdxutxztxq );,(),();,(),( 2 2 2 1 2 2 2 ∫ ∫∫ ∫ +Γ++ Γ − Ω − αα t t t t dtdutxztxqdtdxutxztxq 00 );,(),();,(),( 2 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 0 3 0 1 ( ) ( , ; ) ( , ) ( , ) i N t i it i r x z x t u dx r x t u x t dβ α γ − − Ω = + +∑∫ ∫ ∫ dtiγ . (39) Доказательство. Принимая во внимание представление (22), находим ∫ ∫ ∫Ω Ω ++=⋅−⋅ T t dtdxtxftxzdxtxtxzTlTl β ββ ϕϕϕ ),(),(),(),()),((ˆ)),(( 11 ∑∫ ∫∫∫ ∫ = Γ −−Γ+ N i t t iiii T t dtddtxKtxudtdhz i xi1 1 ),(),(),(β α ξβ γγ γγξϕξ О прогнозировании решений параболических уравнений … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 27 ∑∫ ∫ = −− N i t t iii cdtdtxtxu i x 1 .),(),(β α γ γξ (40) Далее, поскольку ( )x tϕ , — решение краевой задачи (1)–(4), то ( )( , ) , ( , ) ; ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) t t t t t t t t dt a t t t dt f x t x t dxdt t β β β α α α ϕ ψ ϕ ψ ψ ′Ω ′∂ ⋅⎛ ⎞ ′⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫ + 1 2 1( ( )) N t …t h d dt L t t Hβ α γ γ α βϕ ψ , ,Γ ′+ Γ , ∀ ∈ , ; Ω .∫ ∫ Положив в последнем равенстве 2( ) ( )x t z x t uψ , = , ; , =⋅⋅′+ ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∂ ⋅∂ ∫∫ dtutzttadtutz t t t t t t ));,(),,(;();,(,),( 22 ϕϕ ββ α α .);,(),();,(),( 22 ∫ ∫∫ ∫ ΓΩ′ Γ+= β α β α t t t t dtdutxztxhdtdxutxztxf Отсюда, интегрируя по частям первое слагаемое в левой части, получаем 2 2( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; )x t z x t u dx x t z x t u dxβ β α αϕ ϕ ′ ′Ω Ω − −∫ ∫ 2 2 ( , ; )( , ), ( ; ( , ), ( , ; )) t t t t z t ut dt a t t z t u dt t β β α α ϕ ϕ ′∂ ⋅⎛ ⎞ ′− ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ .);,(),();,(),( 22 ∫ ∫∫ ∫ ΓΩ Γ+= β α β α t t t t dtdutxztxhdtdxutxztxf (41) Из (30)–(34) следует =⋅⋅′+ ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ∂ ⋅∂ − ∫∫ dtutzttadtt t utz t t t t β α β α ϕϕ ));,(),,(;(),(, );,( 2 2 .),(),( 1 ∫ ∑∫ ∫ = −= β α ξγ γ γγξξ t t N i iiii i i x dtddtuxK (42) Из (41) и (42) имеем 2 2( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; ) t t t t f x t z x t u dx dt h x t z x t u d dtβ β α α′Ω Γ + Γ +∫ ∫ ∫ ∫ 2 2( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; )x t z x t u dx x t z x t u dxα α β βϕ ϕ ′ ′Ω Ω + − =∫ ∫ .),(),( 1 ∫ ∑ ∫∫ = −= β α ξγγ γγξξ t t N i iiii dtddtuxK i xi (43) Аналогично, из (35) – (38) и (1) – (4) следуют соотношения 0 0 3 3 ( , ; ) , ( , ) ( ; ( , ), ( , ; )) 0, t t t t z t u t dt a t t z t u dt t α αϕ ϕ ∂ ⋅⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ (44) А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 28 0 0 3 3 ( , ) , ( , ; ) ( ; ( , ), ( , ; )) t t t t t z t u dt a t t z t u dt t α αϕ ϕ∂ ⋅⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ 0 0 3 3( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; ) t t t t f x t z x t u dx dt h x t z x t u dα α Ω Γ = + Γ∫ ∫ ∫ ∫ dt . (45) Интегрируя по частям первое слагаемое в левой части (45), имеем 3 0 3 0( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; )x t z x t u dx x t z x t u dxα αϕ ϕ Ω Ω − −∫ ∫ 0 0 3 3 ( , ; ) , ( , ) ( ; ( , ), ( , ; )) t t t t z t u t dt a t t z t u dt t α αϕ ϕ∂ ⋅⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ 0 0 3 3( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; ) t t t t f x t z x t u dx dt h x t z x t u dα α Ω Γ = + Γ∫ ∫ ∫ ∫ dt . (46) Из (44) и (46) получаем 0 3 0 3( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; )x t z x t u dx x t z x t u dxα αϕ ϕ Ω Ω − +∫ ∫ 0 0 3 3( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; ) 0. t t t t f x t z x t u dxdt h x t z x t u d dtα α Ω Γ + + Γ =∫ ∫ ∫ ∫ (47) Вычитая из равенства (40) почленно равенства (43) и (47), с учетом условий (34) и (38) находим ∫ ∫ +=⋅−⋅ Ω′ T t dtdxtxztxfTlTl β ϕϕ ),(),()),((ˆ)),(( 1 ∫ ∫∫ ∫ +++ ΩΩ αα β t t t t dtdxutxztxfdtdxutxztxf 0 );,(),();,(),( 32 +Γ+Γ+ ∫ ∫∫ ∫ ΓΓ β αβ t t T t dtdutxztxhdtdutxztxh );,(),();,(),( 21 ∫∫ ∫ ΩΓ −+Γ+ dxtxztxdtdutxztxh t t ),(),();,(),( 0303 0 ϕα ∫∑∫ ∫ Ω = −=−− dxutxztxcdtdtxtxu N i t t iii i x );,(),(),(),( 030 1 ϕγξβ α γ −Γ+− ∫ ∫∫ ∫ ΓΩ T t T t dtdutxztxhdtdxutxztxf 00 );,(~),();,(~),( ,),(),( 1 cdtdtxtxu N i t t iii i x −−∑∫ ∫ = β α γ γξ где 0 1 , 2 , 3 , ( , ) в , ( , ; ) ( , ; ) в , ( , ; ) в , t T t t t t z x t Q z x t u z x t u Q z x t u Q β α β α ⎧ ⎪⎪= ⎨ ⎪ ⎪⎩ (48) О прогнозировании решений параболических уравнений … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 29 а функция 2 ( )z x t u, ; продолжена произвольным образом на множество βαβα tttt QQ ,, \ ′ , которое имеет нулевую меру dxdt . Отсюда, учитывая условия (6) – (8), а также известное соотношение 2 2( )D M Mξ ξ ξ= − между дисперсией Dξ случайной величины ξ и ее ма- тематическим ожиданием Мξ и воспользовавшись обобщенным неравенст- вом Коши-Буняковского, получаем 1 0 1 2 , ˆinf sup [ ( ( , )) ( ( , ))] c R f G G M l t l t ξ ϕ ϕ ∈ ∈ ∈ ⋅ − ⋅ = {1 00 3 0 0inf sup ( , ; ) ( ) ( , ) ( , ; ) T tc R f G z x t u x dx f x t z x t u dx dtϕ Ω Ω∈ ∈ = +∫ ∫ ∫ + } 0 1 22 1 sup ( , ) ( , ) i NT t i it tf G i hzd dt C M u x t x t dxdtβ α γ ξ Γ ∈ = ⎧ ⎫⎪ ⎪+ Γ − + =⎨ ⎬ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ∑∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 1 2( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; ) t t t t q x t z x t u dx dt q x t z x t u dβ β α α − − ′Ω Γ = + Γ∫ ∫ ∫ ∫ +dt 0 0 2 2 2 2 3 1 3( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; ) t t t t q x t z x t u dx dt q x t z x t u dα α− − Ω Γ + + Γ∫ ∫ ∫ ∫ +dt ∑∫ ∫∫ = − Ω − ++ N i t t iii dtdtxutxrdxutxzxr i1 22 0 2 3 2 0 ),(),();,()( β α γ γ + ∫ ∫∫ ∫ Γ − Ω − Γ++ T t T t dtdtxztxqdtdxtxztxq ββ ),(),(),(),( 2 1 2 1 2 1 2 . (49) Нижняя грань по c достигается при 3 0( ) ( )c z x t u a x dx Ω = , ;∫ . Этим лемма доказана, поскольку два последних слагаемых в правой части равенства (49) не зависят от 1( )Nu u u= ,..., . МИНИМАКСНЫЕ ПРОГНОЗНЫЕ ОЦЕНКИ ФУНКЦИОНАЛОВ ОТ РЕШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ПРИ КВАДРАТИЧНЫХ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ПАРАМЕТРЫ Решая задачу оптимального управления (30) – (39), приходим к следующему результату. Теорема 1. Минимакснaя прогнозная оценка функционала ( ( ))l Tϕ ⋅, имеет вид ,ˆ),(),(ˆ)),((ˆ̂ 1 cdtdtxytxuTl N i t t iii i +=⋅ ∑∫ ∫ = β α γ γϕ (50) где 3 0ˆ ( ) ( )c z x t a x dx Ω = , ,∫ 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 1ˆ i i i i ix t r x t K x p t d i Nu ξγ ξ ξ γ, = , , , , = , ,∫ (51) А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 30 а функции 2 ( )p x t, и 3( )z x t, единственным образом находятся из решения задачи 2 ( )z W t tα β ′∈ , ;Ω , (52) 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 в t t z x t A t z x t Q t α β ∗ , ∂ , ′− + , = , ∂ (53) 2 0 на t t A z α βν ∗ , ∂ = Σ , ∂ (54) ( )2[ ( )] 0i t t z x t α β, Σ , = , (55) ( ) 22 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 yi ii t t i i i i i A z x t K x r x t K y p y t d d i N ξ α β γ γ ξ ξ γ γ ν ∗ ,Σ ⎡ ⎤∂ , = − , , , , , = , ,⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ (56) 2 1( ) ( ) вz x t z x tβ β ′, = , Ω , (57) 03 ( )t tz W Q α,∈ , (58) 0 3 3 ( ) ( ) ( ) 0 в t t z x t A t z x t Q t α ∗ , ∂ , − + , = , ∂ (59) 0 3 0 на t t A z αν ∗ , ∂ = Σ , ∂ (60) 3 2( ) ( ) вz x t z x tα α, = , Ω, (61) 2 ( )t tp W Q α β, ′∈ , (62) 22 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) в t t p x t A t p x t q x t z x t Q t α β − , ∂ , ′+ , = , , , ∂ (63) 22 1 2 на t t A p q z α βν − , ∂ = Σ , ∂ (64) ( ) ( ) 2 2[ ] 0 0 1i it t t t A pp i N α β α β ν, , Σ Σ ⎡ ⎤∂ = , = , = , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ (65) 2 3( ) ( ) вp x t p x tα α ′, = , Ω , (66) 03 ( )t tp W Q α,∈ , (67) 0 23 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) в t t p x t A t p x t q x t z x t Q t α − , ∂ , + , = , , , ∂ (68) 0 23 1 3 на t t A p q z αν − , ∂ = Σ , ∂ (69) 2 3 0 0 3 0( ) ( ) ( ) вp x t r x z x t−, = , Ω, (70) О прогнозировании решений параболических уравнений … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 31 где в соотношениях (50) и (56) через 2 ( )p y t, обозначены общие значения следов функции 2p на различных сторонах поверхностей ( )i t tα β, Σ . Задача (52)–(70) однозначно разрешима. Доказательство. В силу того что решения 2 ( )z x t u, ; и 3( )z x t u, ; задач (30)–(34) и (35)–(38) можно представить в виде 0 22 2( ) ( ) ( )z x t u x t u z x tz, ; = , ; + , и 0 33 3( ) ( ) ( )z x t u x t u z x tz, ; = , ; + , , где через 2( )x t uz , ; обозначено решение за- дачи (30) – (33), удовлетворяющее условию 2( ) 0x t uz β, ; = , через 0 2 ( )z x t, — решение задачи (30) – (34) при однородных условиях сопряжения (33), через 3( )x t uz , ; — решение задачи (35)– (38), удовлетворяющее условию 3 2( ) ( )x t u x t uz zα α, ; = , ; , а через 0 3 ( )z x t, — решение этой же задачи, удовле- творяющее условию 0 0 3 2( ) ( )z x t z x tα α, = , , функционал (39) можно предста- вить в виде ( ) +++= ∫ ∫ Ω′ −β α t t dtdxtxztxquLuIuI 20 2 2 ),(),()()(~)( ( ) ( ) ++Γ+ ∫ ∫∫ ∫ Ω − Γ − αβ α t t t t dtdxtxztxqdtdtxztxq 0 20 3 220 2 2 1 ),(),(),(),( ( ) ( ) ,),()(),(),( 2 0 0 3 2 0 20 3 2 1 0 ∫∫ ∫ Ω − Γ − +Γ+ dxtxzxrdtdtxztxq t t α (71) где ( ) ( ) +Γ+= ∫ ∫∫ ∫ Γ − Ω′ − β α β α t t t t dtdutxztxqdtdxutxztxquI 2 2 2 1 2 2 2 );,(~),();,(~),()(~ ( ) ( ) 0 0 2 22 2 3 1 3( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; ) t t t t q x t z x t u dxdt q x t z x t u d dtα α− − Ω Γ + + Γ +∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 ( , ) ( , ) i N t i i it i r x t u x t d dtβ α γ γ− = +∑∫ ∫ , += ∫ ∫ Ω′ −β α t t dtdxtxzutxztxquL ),();,(~),(2)( 0 22 2 +Γ+ ∫ ∫ Γ −β α t t dtdutxztxztxq );,(~),(),(2 2 0 2 2 1 ++ ∫ ∫ Ω −αt t dtdxtxzutxztxq 0 ),();,(~),(2 0 33 2 +Γ+ ∫ ∫ Γ −αt t dtdutxztxztxq 0 );,(~),(),(2 3 0 3 2 1 .),();,(~)(2);,(~),(),(2 10 0 0 30 0 3 2 03 0 3 2 1 ∫∫ ∫ Ω − Γ − +Γ+ dxtxzutxzxrdtdutxztxztxq t t α В силу непрерывной зависимости решения начально-краевой задачи (30)–(34) от условий сопряжения, а также того факта, что решение задачи А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 32 (35)–(38) непрерывно зависит от начальных условий, функция →u →( )2 3( ) ( )u uz z⋅,⋅; , ⋅,⋅; представляет собой линейный ограниченный оператор, отображающий пространство H в 0( ) ( )W t t W t tα β α′, ;Ω × , ;Ω , откуда следует, что ( )I u — непрерывная квадратичная форма, соответствующая симмет- ричной непрерывной билинейной форме += ∫ ∫ Ω′ −β α π t t dtdxvtxzutxztxqvu );,(~);,(~),(:),( 22 2 +Γ+ ∫ ∫ Γ −β α t t dtdvtxzutxztxq );,(~);,(~),( 22 2 1 ++ ∫ ∫ Ω −αt t dtdxvtxzutxztxq 0 );,(~);,(~),( 33 2 ∫ ∫ +Γ+ Γ −αt t dtdvtxzutxztxq 0 );,(~);,(~),( 33 2 1 ,),(),(),();,(~);,(~)( 1 22 0303 2 0∫ ∑∫ ∫Ω = −− ++ N i t t iiii dtdtxvtxutxrdxvtxzutxzxr i β α γ γ а ( )L u — линейный непрерывный функционал, заданные на H . Кроме того, поскольку 22 2 1 1 ( ) ( , , ) ( , ) ( , ) , const, i N t N k k Ht k I u I u u r x t u x t dxdt c u cβ α γ − = = ≥ ≥ =∑∫ ∫… то на основании теоремы 1.1 в работе [1] следует существование единствен- ного элемента 1ˆ ( )ˆ ˆ Nu … Hu u= , , ∈ такого, что ˆ( ) inf ( )u HI u I u∈= . Поэтому 0ˆ( ) 0d d I u vτ ττ =+ = , 1( )Nv v … v H∀ = , , ∈ . Отсюда и из (39) находим 0 0 1 1ˆ ˆ ˆ0 ( ) lim ( ( ) ( )) 2 2 d I u v I u v I u d τ τ τ τ τ τ= → = + = + − = ( )∫ ∫ Ω′ − → −+= β α τ ττ t t dtdxutxzvutxztxq )ˆ;,()ˆ;,(),( 2 1lim 2 2 2 2 2 0 + ( ) +Γ−++ ∫ ∫ Γ − → β α τ ττ t t dtdutxzvutxztxq )ˆ;,()ˆ;,(),( 2 1lim 2 2 2 2 2 10 ( ) +−++ ∫ ∫ Ω − → α τ ττ t t dtdxutxzvutxztxq 0 )ˆ;,()ˆ;,(),( 2 1lim 2 3 2 3 2 0 ( ) +Γ−++ ∫ ∫ Γ − → α τ ττ t t dtdutxzvutxztxq 0 )ˆ;,()ˆ;,(),( 2 1lim 2 3 2 3 2 10 ( ) +−++ ∫Ω − → dxutxzvutxzxr )ˆ;,()ˆ;,()( 2 1lim 0 2 30 2 3 2 00 τ ττ ( )[ ] .),(ˆ),(),(ˆ),( 2 1lim 1 222 0 ∑∫ ∫ = − → −++ N i t t iiiii dtdtxutxvtxutxr i β α γτ γτ τ (72) О прогнозировании решений параболических уравнений … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 33 Вычислим первый предел в правой части последнего соотношения. Имеем ( ) =−+∫ ∫ Ω′ − → β α τ ττ t t dtdxutxzvutxztxq )ˆ;,()ˆ;,(),( 2 1lim 2 2 2 2 2 0 ( ) =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −++= ∫ ∫ Ω′ − → β α τ ττ t t dtdxutxzvutxztxztxq )ˆ;,()ˆ;,(~),(),( 2 1lim 2 2 2 2 0 2 2 0 ( )∫ ∫ =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −++= Ω′ − → β α τ ττ t t dtdxutxzvtxzutxztxztxq )ˆ;,();,(~)ˆ;,(~),(),( 2 1lim 2 2 2 22 0 2 2 0 ( )[ ] =−+= ∫ ∫ Ω′ − → β α τ ττ t t dtdxutxzvtxzutxztxq )ˆ;,();,(~);,(),( 2 1lim 2 2 2 22 2 0 ( )[ ] =+= ∫ ∫ Ω′ − → β α ττ ττ t t dtdxvtxzvtxzutxztxq 2 2 2 22 2 0 );,(~);,(~)ˆ;,(2),( 2 1lim ∫ ∫ Ω′ −= β α t t dtdxvtxzutxztxq .);,(~)ˆ;,(),( 22 2 Аналогично вычисляя остальные пределы в правой части (72), получаем ∫ ∫ += Ω′ −β α t t dtdxvtxzutxztxq );,(~)ˆ;,(),(0 22 2 +Γ+ ∫ ∫ Γ −β α t t dtdvtxzutxztxq );,(~)ˆ;,(),( 22 2 1 ∫ ∫ ++ Ω −αt t dtdxvtxzutxztxq 0 );,(~)ˆ;,(),( 33 2 ++Γ+ ∫∫ ∫ Ω − Γ − dxvtxzutxzxrdtdvtxzutxztxq t t );,(~)ˆ;,()();,(~)ˆ;,(),( 0303 2 033 2 1 0 α ∑∫ ∫ = −+ N i t t iiii dtdtxvtxutxr i1 2 .),(),(ˆ),(β α γ γ (73) Введем функции 2 ( )p x t, и 3( )p x t, как единственные решения задач (74) – (79) и (80) – (82) 2 ( )p W t tα β ′∈ , ;Ω , (74) 22 2 2 ( ) ˆ( ) ( ) ( ) ( ) в t t p x t A t p x t q x t z x t u Q t α β − , ∂ , ′+ , = , , ; , ∂ (75) 22 1 2 на t t A p q z α βν − , ∂ = Σ , ∂ (76) ( ) ( ) 2 2[ ] 0 0 1i it t t t A pp i N α β α β ν, , Σ Σ ⎡ ⎤∂ = , = , = , ,⎢ ⎥∂⎣ ⎦ (77) 2 3( ) ( ) вp x t p x tα α ′, = , Ω , (78) 3 0( )p W t tα∈ , ;Ω , (79) А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 34 0 23 3 3 ( ) ˆ( ) ( ) ( ) ( ) в t t p x t A t p x t q x t z x t u Q t α − , ∂ , + , = , , ; , ∂ (80) 0 23 1 3 на t t A p q z αν − , ∂ = Σ , ∂ (81) 2 3 0 0 3 0 ˆ( ) ( ) ( ) вp x t r x z x t u−, = , ; Ω. (82) Из определения обобщенного решения первой из этих задач следует, что имеет место соотношение 2 2 ( , ) , ( , ) '( ; ( , ), ( , )) t t t t p t t dt a t p t t dt t β β α α ψ ψ ′∂ ⋅⎛ ⎞⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ 2 2( , ) ( , ; ) ( , ) t t q x t z x t u x t dxdtβ α ψ− ′Ω = ∫ ∫ , 1 2 2 1 1 2 , ,( , ) ( , ; ) ( , ) , ( , ) ( , ; ( )). N t t q x t z x t u x t dxdt x t L t t Hβ α γ γ α βψ ψ− Γ ′∀ ∈ Ω∫ ∫ … Положим здесь 2( ) ( )x t x t vzψ , = , ; и первое слагаемое проинтегрируем по частям, что законно, так как 22 ( )p W t tz α β ′, ∈ , ,Ω . В результате получаем 2 2 2 2' ' ( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; )p x t z x t v dx p x t z x t v dxβ β α αΩ Ω − −∫ ∫ 0 2 2 2 2 ( , ; )( , ); '( ; ( , ), ( , ; )) t t t t z t vp t dt a t p t z t v dt t β α α ′∂ ⋅⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ 2 2 2ˆ( , ) ( , ; ) ( , ; ) t t q x t z x t u z x t v dxdtβ α − ′Ω = +∫ ∫ 2 1 2 2ˆ( , ) ( , ; ) ( , ; ) . t t q x t z x t u z x t v d dtβ α − Γ + Γ∫ ∫ (83) Из уравнений (30) – (33) при u v= , условия 2( ) 0x t vz β, ; = и определе- ния функций 2( )x t vz β, ; , получаем 2 2 ( , ; ) , ( , ) '( ( , ), ( , ; )) t t t t z t v t dt a t z t v dt t β β α α ψ ψ ′∂ ⋅⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ ∑∫ ∫ ∫ = −= N i t t iiii dtdtxdtvxK i xi1 .),(),(),(β α ξγ γ γψγξξ Полагая в последнем тождестве 2( ) ( )x t p x tψ , = , , получаем 2 2 2 2 ( , ; ) , ( , ) '( ( , ), ( , ; )) t t t t z t v p t dt a p t z t v dt t β β α α ′∂ ⋅⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ ∑∫ ∫ ∫ = −= N i t t iiii dtdtxpdtvxK i xi1 2 .),(),(),(β α ξγ γ γγξξ (84) О прогнозировании решений параболических уравнений … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 35 Из (35)–(37) и условия 2 3( ) ( )x t v x t vz zα α, ; = , ; , аналогично предыдущим рассуждениям получаем 0 3 3 2 3 0 3 0 3 ( , ; )( , ) ( , ; ) ( , ) ( , ; ) ( , ), t t z t vp x t z x t v dx p x t z x t v dx p t dt t α α α Ω Ω ⎛ ⎞∂ ⋅ − − ⋅ +⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ 0 0 2 3 3 3 3ˆ( ; ( , ), ( , ; )) ( , ) ( , ; ) ( , ; ) t t t t a t p t z t v dt q x t z x t u z x t v dxdtα α − Ω + ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫ + 0 2 1 3 3ˆ( , ) ( , ; ) ( , ; ) , t t q x t z x t u z x t v d dtα − Γ + Γ∫ ∫ (85) и 0 0 3 3 3 3 ( , ; ) , ( , ) ( ( , ), ( , ; )) 0. t t t t z t v p t dt a p t z t v dt t α α∂ ⋅⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ ⋅ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ ∫ (86) Из (83)–(86) следует 2 2 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) xi i N t i i i it i p x t z x t dx K x p t d v x t d dtβ ξα α α γ γ ξ ξ γ γ Ω = − − =∑∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 2ˆ( , ) ( , ; ) ( , ; ) t t q x t z x t u z x t v dxdtβ α − ′Ω = +∫ ∫ 2 1 2 2ˆ( , ) ( , ; ) ( , ; ) t t q x t z x t u z x t v d dtβ α − Γ + Γ∫ ∫ , (87) 2 2 2 0 3 0 3 0ˆ( , ) ( , ; ) ( ) ( , ; ) ( , ; )p x t z x t v dx r x z x t u z x t v dxα α − Ω Ω − =∫ ∫ 0 2 3 3ˆ( , ) ( , ; ) ( , ; ) t t q x t z x t u z x t v dxdtα − Ω = +∫ ∫ 0 2 1 3 3ˆ( , ) ( , ; ) ( , ; ) t t q x t z x t u z x t v d dtα − Γ + Γ∫ ∫ . (88) Из (87), (88) и (73) следует 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) xi i N t i i i it i K x p t d v x t d dtβ ξα γ γ ξ ξ γ γ = =∑∫ ∫ ∫ 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) , i N t i i i it i r x t u x t v x t d dtβ α γ γ− = =∑∫ ∫ откуда 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 1ˆ i i i i ix t r x t K x p t d i Nu ξγ ξ ξ γ, = , , , , = , .∫ Подставляя эти значения в соотношения (30) и (33) и вводя обозначе- ния 2 2 ˆ( ) ( )z x t z x t u, = , ; , 3 3 ˆ( ) ( )z x t z x t u, = , ; , приходим к задаче (52)–(70) и равенствам (51). Однозначная разрешимость этой задачи следует из единственности точки минимума û функционала (39) и из самого способа, которым эта за- дача получена. Теорема доказана. А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 36 Теорема 2. Погрешность минимаксного прогнозного оценивания функционала ( ( ))l Tϕ ⋅, определяется равенством 1 21 2 1 0 1[ ( ( ))] ( ) ( )l p T l x p x T dxσ / / Ω ⎡ ⎤= ⋅, = , ,⎣ ⎦∫ (89) где функция 1( )p x t, единственным образом определяется из решения сле- дующей начально-краевой задачи: 1 ( )p W t Tβ∈ , ;Ω , (90) 21 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) в t T p x t A t p x t q x t z x t Q t β − , ∂ , + , = , , , ∂ (91) 21 1 1 на t T A p q z βν ∗ − , ∂ = Σ , ∂ (92) 1 2( ) ( ) вp x t p x tβ β, = , Ω. (93) Доказательство. Подставляя выражения (51) в (49), получаем =Γ++= ∫ ∫∫ ∫ Γ − Ω − T t T tN dtdzqdtdxtxztxquuI ββ σ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ),(),()ˆ,,ˆ( … +Γ+= ∫ ∫∫ ∫ Γ − Ω′ − β α β α t t t t dtdzqdtdxtxztxq 2 2 2 1 2 2 2 ),(),( +Γ++ ∫ ∫∫ ∫ Γ − Ω − αα t t t t dtdzqdtdxtxztxq 00 2 3 2 1 2 3 2 ),(),( +Γ+++ ∫ ∫∫ ∫∫ Γ − Ω − Ω − T t T t dtdzqdtdxtxztxqdxtxzxr ββ 2 1 2 1 2 1 2 0 2 3 2 0 ),(),(),()( ∑∫ ∫ ∫ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ N i t t iiii dtddtpxKtxr i xi1 2 2 2 .),(),(),(β α ξγ γ γγξξ (94) Учитывая (74) – (79), (80) – (82) и рассуждая так же, как и при доказа- тельстве теоремы 1, получаем следующие соотношения: 2 2 2 2( , ) ( , ) ( , ) ( , )p x t z x t dx p x t z x t dxβ β α αΩ Ω − −∫ ∫ =−∑∫ ∫ ∫ = N i t t iii dtdtxudtpxK i xi1 2 ),(ˆ),(),(β α ξγ γ γγξξ 2 2 2 2 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , t t t t q x t z x t dxdt q x t z x t d dtβ β α α − − Ω Γ = + Γ∫ ∫ ∫ ∫ 3 3 3 0 3 0( , ) ( , ) ( , ) ( , )p x t z x t dx p x t z x t dxα αΩ Ω − =∫ ∫ 0 2 2 2 2 3 1 3( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . t t t t q x t z x t dxdt q x t z x t d dtα β α − − Ω Γ = + Γ∫ ∫ ∫ ∫ Откуда 2 2 2 2 0 3 0( , ) ( , ) ( ) ( , )p x t z x t dx r x z x t dxβ β − Ω Ω − −∫ ∫ О прогнозировании решений параболических уравнений … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 37 ( )22 2 1 ( ) ( , ) ( , ) i i N t i i i i xt i r x K x p t d d dtβ ξα γ γ ξ ξ γ γ = − =∑∫ ∫ ∫ 2 2 2 2 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) t t t t q x t z x t dxdt q x t z x t d dtβ β α α − − Ω Γ = + Γ +∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 1 2 2 2 2 3 1 3( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . t t t t q x t z x t dxdt q x t z x t d dtα β− − Ω Γ + + Γ∫ ∫ ∫ ∫ (95) Из уравнений (90) – (93) так же, как и в предыдущем случае, находим 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )p x T z x T dx p x t z x t dxβ βΩ Ω , , − , ,∫ ∫ = 2 2 2 2 1 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . T T t t q x t z x t dxdt q x t z x t d dt α α − − Ω Γ = + Γ∫ ∫ ∫ ∫ (96) Из (95), (96) и (94) следует, что 2 0 1( ) ( )l x p x T dxσ Γ = , .∫ Теорема доказана. АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ПPЕДСТАВЛЕНИЕ ДЛЯ МИНИМАКСНЫХ ПРОГНОЗНЫХ ОЦЕНОК Альтернативное пpедставление для минимаксных прогнозных оценок функ- ционалов от решений начально-краевых задач через решения систем интег- ро-дифференциальных уравнений специального вида, которые могут быть использованы также и для оценок самих решений исходных начально- краевых задач Неймана, найдено в приведенной ниже теоpеме. Теорема 3. Минимаксная прогнозная оценка функционала (9) имеет вид ˆ̂( ( , ))l Tϕ ⋅ = 01 1ˆ ˆ( ( )) ( ) ( )l T l x x T dxϕ ϕ Ω ⋅, = ,∫ , где функция 1ˆ ( )x tϕ , представляет собой единственное решение начально- краевой задачи 1ˆ ( )W t Tβϕ ∈ , ,Ω , 1 1 ˆ ( ) ˆ( ) ( ) 0 в t T x t A t x t Q t β ϕ ϕ , ∂ , + , = , ∂ 1ˆ 0 на t T A β ϕ ν , ∂ = Σ , ∂ 1 2ˆ ˆ( ) ( ) вx t x tβ βϕ ϕ, = , Ω, а функция 2ˆ ( )x tϕ , единственным образом определяется из решения сле- дующей задачи: А.Г. Наконечный, Ю.К. Подлипенко, Н.В. Грищук ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 38 2ˆ ( )W t tp α β ′∈ , ,Ω , 2 2 ˆ ( ) ˆ( ) ( ) 0 в t t x tp A t x tp Q t α β ∗ , ∂ , ′− + , = , ∂ 2ˆ 0 на t t A p α βν ∗ , ∂ = Σ , ∂ ( )2ˆ[ ( )] 0i t t x tp α β, Σ , = , ( ) 22 2 ˆ ( ) ˆ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ) 1 yi ii t t i i i i i i A x tp r t K x y t y t K y d d i N ξ α β γ γ ξ ξ ξ ξ γ γϕ ν ∗ ,Σ ⎡ ⎤∂ , = , , , − , , , = , ,⎢ ⎥ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ 2ˆ ( ) 0 вx tp β ′, = Ω , 03ˆ ( )W t tp α∈ , ,Ω , 0 3 3 ˆ ( ) ˆ( ) ( ) 0 в t t x tp A t x t Qp t α ∗ , ∂ , − + , = , ∂ 0 3ˆ 0 на t t A p αν ∗ , ∂ = Σ , ∂ 3 2ˆ ˆ( ) ( ) вx t x tp pα α, = , Ω, 2ˆ ( )W t tα βϕ ′∈ , ,Ω , 22 22 ˆ ( ) ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) в t t x t A t x t q x t x tp Q t α β ϕ ϕ − , ∂ , ′+ , = , , , ∂ 22 1 2 ˆ ˆ на t t A q p α β ϕ ν − , ∂ = Σ , ∂ ( ) , ( ) , 2 2 ˆˆ 0, 0, 1,i t t i t t A i N vα β α β ϕϕ Σ Σ ⎡ ⎤∂ = = =⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ∂⎣ ⎦ , 2 3ˆ ˆ( ) ( ) вx t x tα αϕ ϕ ′, = , Ω , 03ˆ ( )W t tαϕ ∈ , ,Ω , 0 23 33 ˆ ( ) ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) в t t x t A t x t q x t x t Qp t α ϕ ϕ − , ∂ , + , = , , , ∂ 0 23 1 3 ˆ ˆ на t t A q p α ϕ ν − , ∂ = Σ , ∂ 2 0 0 033ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) вx t r x x t a xpϕ −, = , + Ω. О прогнозировании решений параболических уравнений … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 39 Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Отметим, что аналогичным образом могут быть исследованы задачи минимаксного прогнозного оценивания состояния систем, описываемых на- чально-краевыми задачами Дирихле, Неймана или смешанными начально- краевыми задачами для параболических уравнений в случае наблюдений, распределенных на системе поверхностей, расположенных внутри и на гра- нице области Ω. ВЫВОДЫ Для задач наблюдения в условиях неопределенности получены выражения прогнозных оценок и ошибок оценивания значений линейных функциона- лов на решениях параболических начально-краевых задач по данным с по- грешностями на системе поверхностей. Показано, что такие оценки выра- жаются через обобщенные решения систем интегро-дифференциальных уравнений параболического типа. Результаты работы могут быть использованы при построении систем автоматизированной обработки результатов наблюдений нестационарных процессов фильтрации, теплопроводности, при решении задач локализации источников, создающих наблюдаемые физические поля. ЛИТЕРАТУРА 1. Наконечный А.Г. Минимаксные оценки в системах с распределенными пара- метрами / ИК АН УССР. — Препр. — Киев, 1979. — № 79. — 55 с. 2. Наконечный А.Г., Подлипенко Ю.К. Минимаксное прогнозирование решений параболических уравнений по неполным данным // Доповiдi НАН Ук- раїни. — 1997. — № 9. — С. 107–112. 3. Наконечный А.Г., Подлипенко Ю.К., Зайцев Ю.А. Минимаксное прогнозное оценивание по неполным данным решений начально-краевых задач для па- раболических уравнений с разрывными коэффициентами // Кибернетика и системный анализ. — 2000. — № 6. — C. 68–78. 4. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 414 с. Поступила 24.11.2003

О прогнозировании решений параболических уравнений по наблюдениям распределенным на системе поверхностей

Репозитарії

Схожі ресурси