Восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности

Предложен методологический и математический аппарат решения задач восстановления многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности взаимосвязей показателей области определения искомой функциональной зависимости. Восстановление многофакторных закономерностей базируется на разр...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2004
Автори:	Панкратова, Н.Д., Опарина, Е.Л.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України 2004
Назва видання:	Системні дослідження та інформаційні технології
Теми:	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50353
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности / Н.Д. Панкратова, Е.Л. Опарина // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2004. — № 3. — С. 103-114. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50353
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-503532013-10-11T12:19:18Z Восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности Панкратова, Н.Д. Опарина, Е.Л. Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Предложен методологический и математический аппарат решения задач восстановления многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности взаимосвязей показателей области определения искомой функциональной зависимости. Восстановление многофакторных закономерностей базируется на разработанной иерархической многоуровневой системе моделей в классе мультипликативных функций. Запропоновано методологічний та математичний апарат розв’язання задач відновлення багатофакторних закономірностей в умовах концептуальної невизначеності взаємозв’язків показників області визначення шуканої функціональної залежності. Відновлення багатофакторних закономірностей базується на розробленій ієрархічній багаторівневій системі моделей у класі мультиплікативних функцій. A methodological and mathematical apparatus for solution of problems of multifactorial regularities restoration under conditions of conceptual uncertainty for interrelations parameters in the definition range of target functional dependence is offered. The restoration of multifactorial regularities is based on the developed hierarchical multilevel system of models in the multiplicate functions class. 2004 Article Восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности / Н.Д. Панкратова, Е.Л. Опарина // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2004. — № 3. — С. 103-114. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1681–6048 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50353 519.9: 539.3: 681.3 ru Системні дослідження та інформаційні технології Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
spellingShingle	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень Панкратова, Н.Д. Опарина, Е.Л. Восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности Системні дослідження та інформаційні технології
description	Предложен методологический и математический аппарат решения задач восстановления многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности взаимосвязей показателей области определения искомой функциональной зависимости. Восстановление многофакторных закономерностей базируется на разработанной иерархической многоуровневой системе моделей в классе мультипликативных функций.
format	Article
author	Панкратова, Н.Д. Опарина, Е.Л.
author_facet	Панкратова, Н.Д. Опарина, Е.Л.
author_sort	Панкратова, Н.Д.
title	Восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности
title_short	Восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности
title_full	Восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности
title_fullStr	Восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности
title_full_unstemmed	Восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности
title_sort	восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности
publisher	Навчально-науковий комплекс "Інститут прикладного системного аналізу" НТУУ "КПІ" МОН та НАН України
publishDate	2004
topic_facet	Нові методи в системному аналізі, інформатиці та теорії прийняття рішень
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50353
citation_txt	Восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности / Н.Д. Панкратова, Е.Л. Опарина // Систем. дослідж. та інформ. технології. — 2004. — № 3. — С. 103-114. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Системні дослідження та інформаційні технології
work_keys_str_mv	AT pankratovand vosstanovleniemnogofaktornyhzakonomernostejvusloviâhkonceptualʹnojneopredelennosti AT oparinael vosstanovleniemnogofaktornyhzakonomernostejvusloviâhkonceptualʹnojneopredelennosti
first_indexed	2025-07-04T12:01:42Z
last_indexed	2025-07-04T12:01:42Z
_version_	1836717709479378944
fulltext	© Н.Д. Панкратова, Е.Л. Опарина, 2004 Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 103 TIДC НОВІ МЕТОДИ В СИСТЕМНОМУ АНАЛІЗІ, ІНФОРМАТИЦІ ТА ТЕОРІЇ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ УДК 519.9: 539.3: 681.3 ВОССТАНОВЛЕНИЕ МНОГОФАКТОРНЫХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ В УСЛОВИЯХ КОНЦЕПТУАЛЬНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Н.Д. ПАНКРАТОВА, Е.Л. ОПАРИНА Предложен методологический и математический аппарат решения задач вос- становления многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности взаимосвязей показателей области определения искомой функциональной зависимости. Восстановление многофакторных закономерно- стей базируется на разработанной иерархической многоуровневой системе мо- делей в классе мультипликативных функций. В практических приложениях, в частности в автоматических системах ис- пытаний летательных аппаратов, контроля функционирования сложных технических систем в реальном времени, автоматического управления про- странственными конструкциями, технического диагностирования сложных машин и механизмов различного назначения, требуется обнаружение зако- номерностей и восстановление функциональных зависимостей по дискрет- ным результатам измерений, наблюдений, испытаний. Для таких задач характерна концептуальная неопределенность взаимосвязей и взаимозави- симостей различных детерминированных процессов, а также неконтроли- руемых внешних условий и факторов. Непрерывно возрастает практическое значение и актуальность приклад- ных задач обнаружения закономерностей в реальных условиях неполноты, неопределенности, неточности и противоречивости исходной разнородной информации. Особенно актуальны такие задачи для новых сфер приложе- ний: во-первых, для слабо структурированных прикладных областей (ме- дицина, социология, техническое диагностирование нештатных ситуаций сложных систем и т.д.); во-вторых, для прикладных задач, трудно формали- зуемых в условиях искаженной и косвенной информации ограниченного объема или в условиях гигантских объемов информации. В этих случаях разнообразные оптимальные методы обработки данных (фильтрация, сгла- живание, оценивание параметров и т.д.) либо оказываются неработоспособ- ными, либо дают погрешности, неприемлемые на практике [1]. Поэтому для перечисленных областей практической деятельности при решении реальных задач построение адекватных математических моделей с целью выявления закономерностей исследуемых процессов связано с большими трудностями. В итоге модели оказываются либо избыточно упрощенными и потому не- Н.Д. Панкратова, Е.Л. Опарина ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 104 пригодными для получения количественных и качественных выводов, либо настолько сложными, что для преодоления вычислительных трудностей приходится их упрощать настолько, что возможная адекватность модели оказывается чисто теоретической гипотезой, не допускающей проверки на практике [2]. Цель данной работы — предложить методологический и математиче- ский аппарат решения задач выявления многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности, в том числе неопределенности взаимосвязей и взаимозависимостей показателей области определения ис- комой функциональной закономерности. Математическая постановка задачи. Известна исходная информация в виде дискретного массива 3210 ,,, 0 ΧΧΧΥΜ = , ( )miΥΥ i ,10 == , [ ]( )000 ,1 kqqΥΥ ii == , ( )1111 ,1 1 njΧΧ j == , [ ]( )11111 ,1 11 kqqΧΧ jj == , ( )2222 ,1 2 njΧΧ j == , [ ]( )22222 ,1 22 kqqΧΧ jj == , ( )3333 ,1 3 njΧΧ j == , [ ]( )33333 ,1 33 kqqΧΧ jj == , где множество 0Υ определяет дискретные численные значения [ ]⇔0qΥ i [ ] [ ] [ ]332211 321 ,, qΧqΧqΧ jjj⇔ неизвестных функциональных зависимо- стей ),,( 321 xxxfy ii = , mi ,1= , ),,1( 1111 1 njxx j == ),,1( 2222 2 njxx j == =3x ),1( 333 3 njx j == , которые должны отображать свойства многофакторных закономерностей. Априорно неизвестно, являются ли компоненты векторов 321 ,, xxx зависимыми или независимыми. Каждому значению [ ]00 ,1 kq ∈ со- ответствует определенный набор 3210 ,, qqqq ⇔ значений [ ]11 ,1 kq ∈ , [ ]22 ,1 kq ∈ , [ ]33 ,1kq ∈ . Множество 0Υ состоит из 0k различных значений [ ]0qΥ i . В множествах 321 ,, ΧΧΧ определенная часть величин [ ]11 1 qΧ j , [ ]22 2 qΧ j , [ ]33 3 qΧ j при некоторых значениях ],,1[ˆˆ 1111 kQqq ⊂∈= ⊂∈= 222 ˆˆ Qqq ],1[ 2k⊂ , ],1[ˆˆ 3333 kQqq ⊂∈= раздельно повторяется, но для различных [ ]00 ,1 kq ∈ не существует полностью совпадающих наборов [ ]11 1 qΧ j , [ ]22 2 qΧ j , [ ]33 3 qΧ j . Здесь задано 0321 nnnn =++ , 00 kn ≤ . Известно, что ,,, 332211 DxDxDx ∈∈∈ 332211 ˆ,ˆ,ˆ DΧDΧDΧ ∈∈∈ , где 3,1,,1, ==≤≤= +− snjdxdxD ssjsjsjsjss ssss , 3,1,,1,ˆˆˆ ==≤Χ≤Χ= +− snjddD ssjsjsjsjss ssss , Восстановление многофакторных закономерностей … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 105 .ˆ,ˆ ++−− ≥≤ ssss jsjsjsjs dddd Требуется найти такие функции ),,( 321 xxxiΦ , mi ,1= , которые с прак- тически приемлемой погрешностью будут характеризовать априорно неиз- вестные функциональные зависимости ),,( 321 xxxfy ii = , mi ,1= на множе- стве sD . Методологический и математический аппарат решения задачи. Выбор аппарата решения задачи зависит от ее особенностей и свойств. Дан- ная задача является развитием идей и усложнением условий задачи, иссле- дуемой в работе [3], где принято, что компоненты векторов 321 ,, xxx явля- ются независимыми. Она отличается принципиальной сложностью от типовых задач восстановления функциональной зависимости и задач обна- ружения закономерностей [4–6]. Отличие обусловлено не только разнород- ностью исходной информации, но и самих свойств рассматриваемых групп факторов, которые определяются соответственно векторами 321 ,, xxx . Важ- ной особенностью является также принципиальное различие факторов по уровню управляемости при принятии решений. Действительно, значения компонент вектора 1x — это собственный выбор Разработчика, и потому они могут изменяться в процессе проектиро- вания изделия. Значения компонент вектора 2x — требования, определяе- мые назначением изделия, и поэтому при его изменении могут корректиро- ваться Заказчиком изделия. В любом случае Разработчик обязан выполнить требования Заказчика. Значения компонент вектора 3x — требования, оп- ределяемые стандартами на условия эксплуатации изделия, и потому их вы- полнение обязательно для Разработчика. Перечисленные отличия свойств компонент векторов определяют прак- тическую необходимость оценивать раздельно степень влияния каждой группы факторов на свойства восстанавливаемых функций. Для этого иско- мые функции целесообразно формировать на основе иерархической много- уровневой системы моделей [3]. На верхнем уровне реализуется модель, оп- ределяющая зависимость от переменных 321 ,, xxx функций ),,( 321 xxxiΦ , mi ,1= , аппроксимирующих неизвестные функциональные закономерности ),,( 321 xxxfy ii = , mi ,1= . Особое значение имеет выбор структуры функ- ций ),,( 321 xxxiΦ , mi ,1= . В работе [3] эти функции формируются в классе аддитивных функций и представляются в виде суперпозиции функций от переменных 321 ,, xxx . Такой выбор вполне обоснован, поскольку принято, что компоненты векторов 321 ,, xxx независимы. Однако для многих практических задач та- кой выбор недопустим, поскольку неизвестно, являются ли компоненты векторов 321 ,, xxx зависимыми или независимыми. Наиболее сложным ока- зывается условие, в соответствии с которым компоненты векторов 321 ,, xxx зависимы. При этом условии формирование структуры ),,( 321 xxxiΦ , mi ,1= в классе аддитивных функций приведет к большим отклонениям получен- Н.Д. Панкратова, Е.Л. Опарина ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 106 ных зависимостей от истинных многофакторных закономерностей, посколь- ку не будут учитываться взаимные воздействия компонент векторов 321 ,, xxx на свойства ),,( 321 xxxiΦ . При формировании структуры моделей будем учитывать влияния на свойства искомых функций ),,( 321 xxxiΦ , mi ,1= не только группы компо- нент каждого вектора 321 ,, xxx , но и взаимные воздействия компонент раз- ных векторов 321 ,, xxx . Поэтому для выявления многофакторных законо- мерностей предлагается формировать иерархическую многоуровневую систему моделей в классе мультипликативных функций. Представим систе- му моделей в виде последовательности следующих уровней: ( )[ ] ( )[ ]∏ = Φ+=Φ+ 0 1 11 K k c kiki ikxx , (1) ( )[ ] ( )[ ] kikjk k kk an j kjkjkik xx ∏ = Ψ+=Φ+ 1 11 , (2) ( )[ ] ( ) kkj kkj kj kkjkk P p kjpkjkj xx λ ϕ∏ = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ +=Ψ+ 1 11 . (3) Для удобства дальнейших исследований и вычислений после неслож- ных преобразований представим модели каждого уровня в форме аддитив- ных функций ( ) ( )[ ] 11lnexp 0 1 − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Φ+=Φ ∑ = K k kikiki xcx , (4) ( )[ ] 11lnexp 1 − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Ψ+=Φ ∑ = kk k k k kjkj n j ikjik xa , (5) ( ) ( )[ ] 11lnexp 1 − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +=Ψ ∑ = kk kkj kj kkk kjp P p kjkjkj xx ϕλ . (6) Здесь на высшем иерархическом уровне (4) реализуются модели, опре- деляющие зависимость каждой функции )(xiΦ , mi ,1= от переменных 0,1, Kkxk = . На среднем уровне (5) формируются модели, определяющие раздельно зависимость каждой функции )( kik xΦ соответственно от компо- нент kkkj njKkx k ,1,,1, 0 == переменных 0,1, Kkxk = . На третьем уров- не (6) формируются модели, определяющие функции ( ) kk kjkj xΨ , kkjx , kk njKk ,1,,1 0 == . Далее в примере полагаем 3,1=k . Решение задачи. Для выявления многофакторных закономерностей на основе заданной в массиве 0Μ дискретной информации, прежде всего, не- обходимо решить задачи формирования функций, определяющих модели (4), (5), (6). Перейдем к формализации и решению этих задач. Для системы Восстановление многофакторных закономерностей … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 107 моделей главное — это выбор структуры и компонент функций. При выборе функций kpϕ необходимо учитывать такие требования. Во-первых, эти функции являются основными структурообразующими функциональными элементами всех моделей [3]. Поэтому они должны об- ладать экстремальными свойствами для соответствующих переменных 3,1,,1, == snjx sssjs , которые определяются на заданных отрезках дис- кретным массивом 0Μ . Во-вторых, функции должны обеспечить возможность реализации рав- номерного приближения истинных функциональных зависимостей на мно- жестве sD и взаимные соответствия экстремальных свойств функций ),,( 321 xxxiΦ и ),,( 321 xxxfi , mi ,1=∀ [7,8] на границах интервалов 1D , 32 , DD . Принимаем во внимание, что для большинства введенных перемен- ных физически выполняется условие 0≥ ssjx , поэтому переменные ssjx , 3,1,,1 ==∀ snj ss можно нормировать к [0,1]. В соответствии с принятой структурой системы моделей исходными элементами для функций ( ) kk kjkj xΨ являются функции ( ) kjkkp xϕ . Поэтому задачу построения функ- ций )(xiΦ , mi ,1= на основе информации массива 0Μ целесообразно выпо- лнять на основе последовательности ,,1,,,,,1 321321 miPp iiiikp =Φ→ΦΦΦ→ΨΨΨ→=ϕ (7) а конечный результат формировать путем агрегирования соответствующих решений. Такой подход позволяет процедуру формирования искомых функ- циональных зависимостей свести к последовательности чебышевских задач приближения для несовместных систем линейных уравнений [3]. Методы решения таких задач известны [9, 10]. В частности, такие чебышевские за- дачи сводятся к задаче линейного программирования [10]. Рассмотрим задачу формирования функций pϕ . Данная задача являет- ся наиболее ответственной и наиболее сложной. Ответственной по значимо- сти, поскольку допущенные недостатки не могут в полной мере устраняться на последующих уровнях системы моделей, и, более того, могут усугуб- ляться, например, неудачным выбором для pϕ количества и степени сме- щенных полиномов Чебышева. Сложной для описания, поскольку к иско- мым функциям предъявляются противоречивые требования. Во-первых, функции должны отражать с достаточной точностью экст- ремальные свойства, характерные в целом для множества искомых функци- ональных зависимостей. Во-вторых, они должны в достаточной степени учитывать индиви- дуальные особенности экстремальных свойств каждой функции и обеспечи- вать возможность адаптации к ним на последующих уровнях. Для реализации указанных выше требований и особенностей функций )( kk jkp xϕ целесообразно применять смещенные полиномы Чебышева [11]. Тогда модель (6) преобразуется к виду Н.Д. Панкратова, Е.Л. Опарина ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 108 ( ) ( )[ ] 11lnexp 1 0 − ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ++=Ψ ∑ = kk kkj kj kkkk kjp P p kjjkjkj xx ϕλϕ , (8) где ;5,1ln)1ln( 0000 kkk jjj λλϕ =Τ+= ∗ 5,00 =∗Τ ; kk nj ,1= ; ( ) ( ) kkk jkpjkkp xx ∗Τ=ϕ ; kkjk Pp ,1= . Функции )(),(),( 332211 321 jjjjjj xxx ΨΨΨ должны быть согласованы с моделями (5). Для этого требуется обеспечить следующее соответствие: ,,1,,1,,1 332211 mimimi iii =Φ→Ψ=Φ→Ψ=Φ→Ψ .,1,,1,,1 333322221111 321 njnjnj jjj =Ψ=Ψ=Ψ=Ψ=Ψ=Ψ Функции )( kik xΦ должны быть согласованы с моделями (4). Полагаем, что ],1[ mi∈∀ и 3,1=k степень влияния функций )(),(),( 332211 xxx iii ΦΦΦ на свойства соответствующей функции ),,( 321 xxxiΦ одинакова. Такое до- пущение обусловлено отсутствием априорной информации. Вместе с тем допущение позволяет раздельно формировать функции )(),( 2211 xx ii ΦΦ , )( 33 xiΦ . Тогда степень влияния каждой из них на уровне (4) иерархии мо- делей можно определять на основе условий mixxxmixxx iiii ,1),,(,1)(),(),( 321332211 =Φ→=ΦΦΦ . Отметим, что количество и состав функций ( ) kjkkp xϕ в модели (8) за- висит от особенностей конкретной задачи. В частности, для функциональ- ных зависимостей с медленно изменяющимися переменными 321 ,, xxx до- статочно принять [ ]4,2∈ kjkP . Для быстро изменяющихся переменных 321 ,, xxx может потребоваться в (8) достаточно широкий интервал для зна- чений 8,1=kp . Построение моделей (4), (5) и (8) сводится к определению соответственно коэффициентов kk kjikjki ac λ,, из несовместных систем ли- нейных уравнений в соответствии с последовательностью (7) в обратном порядке ikikjkj ca kk ,,λ . Метод решения таких уравнений в классе аддитив- ных функций предложен в работе [3]. Используя модели (4), (5) и (8), дан- ный метод адаптируется для класса мультипликативных функций. В качестве примера рассмотрим задачу выявления закономерностей 4,1),,,( 321 =ixxxyi по заданным дискретным значениям 3,1, =sΧ s и 4,1],,,[ 321 =iΧΧΧYi выборки, приведенным в таблице. В данном примере заданы: размерности векторов 321 ,, ΧΧΧ соответственно 2,2 21 == nn , 33 =n ; объем выборки 45,10 =q ; количество целевых функций 4=m . Восстановление многофакторных закономерностей … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 109 Исходные дискретные данные ],,[],,[ 2221212111 ΧΧΧΧΧΧ ],,[ 3332313 ΧΧΧΧ и 4,1,],,[ 321 =iΧΧΧYi 0q 11Χ 12Χ 21Χ 22Χ 31Χ 32Χ 33Χ 1Y 2Y 3Y 4Y 1 5,050 2,015 7,050 8,015 10,000 1,000 5,100 254,621 98,145 119,406 117,683 2 5,150 2,100 7,150 9,109 15,800 2,100 4,200 198,163 73,368 92,651 90,123 3 5,200 2,125 7,192 9,125 22,500 2,500 3,500 187,411 71,084 87,691 83,576 4 5,250 2,175 7,250 9,175 25,000 3,510 2,720 167,197 63,567 78,793 74,789 5 5,325 2,200 7,325 9,198 32,500 4,200 2,530 166,547 63,813 79,497 74,316 6 5,350 2,250 7,350 9,251 35,000 5,020 2,100 153,789 61,378 77,082 72,817 7 5,400 2,400 7,411 9,395 40,700 8,200 1,150 110,926 55,579 67,758 77,425 8 5,500 2,500 7,505 9,498 51,800 10,100 0,720 151,381 60,432 71,956 89,519 9 5,600 2,600 7,610 9,598 65,000 12,800 0,540 187,364 76,283 91,123 121,374 10 5,700 2,700 7,695 9,699 72,000 14,400 0,120 236,123 93,657 112,859 149,173 11 5,750 2,750 7,750 9,748 75,400 14,700 1,250 292,341 118,624 153,717 184,136 12 5,800 2,775 7,804 9,775 82,800 15,500 1,760 288,324 114,324 117,965 179,152 13 5,850 2,800 7,850 9,798 85,000 16,300 2,230 326,939 128,926 155,912 201,239 14 5,907 2,850 8,050 9,850 90,780 16,700 2,610 377,128 148,675 169,359 225,482 15 5,910 2,855 7,910 9,855 91,000 16,900 4,160 405,327 159,367 192,924 240,976 16 5,925 2,865 7,925 9,865 92,500 17,500 5,250 458,386 180,567 218,549 275,846 17 5,929 2,885 8,011 9,875 92,900 17,700 6,370 518,859 183,932 247,354 316,124 18 5,933 2,915 7,933 9,899 93,500 18,200 7,260 595,737 235,124 284,167 363,928 19 5,935 2,950 7,935 9,951 94,580 19,100 7,510 506,168 261,946 316,375 403,153 20 5,950 2,975 7,950 9,975 95,400 19,500 7,740 685,761 281,387 341,326 431,195 21 5,010 1,995 6,950 9,015 11,500 21,000 8,140 790,639 310,519 375,651 471,588 22 5,050 2,975 7,108 9,975 10,500 19,560 8,350 723,784 285,142 344,856 436,847 23 5,150 2,950 7,151 9,950 15,800 19,300 8,580 731,438 288,125 348,314 441,842 24 5,200 2,900 7,204 9,915 21,500 18,700 8,740 721,321 283,435 344,716 439,425 25 5,250 2,875 7,248 9,875 26,400 17,560 8,850 691,845 272,834 329,942 422,147 26 5,325 2,865 7,325 9,865 32,500 17,100 9,210 708,614 280,562 349,316 435,954 27 5,350 2,855 7,351 9,855 35,300 16,700 9,520 729,956 287,987 348,231 450,492 28 5,400 2,850 7,408 9,850 41,700 16,200 9,750 730,129 288,951 347,987 454,897 29 5,500 2,775 7,495 9,775 50,200 15,700 10,100 717,152 285,494 342,967 458,289 30 5,600 2,750 7,607 9,750 62,700 15,360 0,100 278,654 111,209 132,856 172,164 31 5,700 2,710 7,697 9,697 69,800 14,700 1,150 242,145 96,197 115,632 153,356 32 5,750 2,603 7,750 9,605 75,100 13,340 1,360 186,243 77,325 93,135 127,168 33 5,800 2,495 7,798 9,495 80,520 11,720 1,750 162,345 64,615 77,824 106,123 34 5,850 2,394 7,850 9,415 85,200 8,900 2,130 132,879 52,534 63,453 82,659 35 5,907 2,245 7,913 9,255 90,760 7,740 2,570 167,156 65,178 79,167 93,834 36 5,910 2,192 7,910 9,205 91,100 6,360 2,750 170,531 66,176 80,836 91,345 37 5,925 2,175 7,925 9,175 92,500 5,700 3,260 184,243 70,364 87,192 96,841 38 5,929 2,125 7,929 9,125 92,900 3,750 3,790 181,956 70,428 85,834 93,952 39 6,010 2,105 7,933 9,091 93,300 3,650 4,120 216,829 83,475 101,985 109,463 40 5,935 2,010 7,935 8,985 94,500 3,520 4,360 273,329 104,924 128,591 133,415 41 5,950 2,110 7,950 9,115 98,600 2,720 3,850 219,421 84,183 102,861 108,613 42 5,020 2,115 6,995 9,115 110,00 2,340 2,340 225,356 86,324 105,817 107,319 43 6,050 2,128 7,950 9,120 95,260 2,560 1,680 176,578 66,457 78,473 82,263 44 5,935 2,131 7,935 9,130 93,520 2,760 1,320 170,948 65,814 81,417 84,132 45 5,925 2,135 7,925 9,135 92,800 2,980 1,160 168,334 64,549 78,653 81,953 Н.Д. Панкратова, Е.Л. Опарина ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 110 Задача решается для случая, когда априорно неизвестно, являются ли переменные 321 ,, xxx зависимыми или независимыми величинами. При этом условии целесообразно иерархическую многоуровневую систему мо- делей (7) формировать на основе мультипликативных функций (4), (5), (8), где функции ( ) kk kjp xϕ строятся на базе смещенных полиномов Чебышева. Восстановленные в классе мультипликативных функций функциональ- ные закономерности 4,1),,,( 321 =Φ ixxxi получены агрегированием соот- ветствующих решений на основании выражений (4), (5), (8) и представлены в следующем виде: +++= 11 2 11 0,114941 11 0,0777295 1111 5072,867344,9(15,03),12(3,5)(1)( xxxxψ 1)28,306529,2114628,4851205,37()831,192 118541,0 11 2 11 3 11 146933,0 −++++ xxx ; +++= 12 2 12 602141,0 12 0777295,0 1212 3318,286436,8()985,594,2()5,1()( xxxxψ ;1)869,112983,220545,1440593,31()8552,23 079337,0 12 2 12 3 12 329136,0 −++++ −xxx +++= − 21 2 21 32523,0 21 103405,0 2121 91,12989,10()85,203,3()5,1()( xxxxψ ;1)01,894041,4562671,775923,43()073,388 0834892,0 21 2 21 3 21 389109,0 −++++ −xxx +++= 22 2 22 392262,0 22 103405,0 2222 049,2695744,34()045,2488,5()5,1()( xxxxψ ;1)2,141247,110257,2867475,248()057,524 197783,0 22 2 22 3 22 370097,0 −++++ xxx +++= 31 2 31 085386,0 31 0351869,0 3131 1730090000()30300()5,1()( xxxxψ 1)2849089790006,007,0()832 0280712,0 31 2 31 3 31 0502533,0 −++++ xxx ; +++= 32 2 32 47717,0 32 0351869,0 3232 2203600()360()5,1()( xxxxψ ;1)540820800264000()4 00681945,0 32 2 32 3 32 0268206,0 −++++ −xxx +−+= 33 2 33 582053,0 33 0351869,0 3333 52900()3,030()5,1()( xxxxψ ;1)463,19,105371033000()39,1 0215009,0 33 2 33 3 33 0204128,0 −++−+ −− xxx 1)1()1()( 0930169,0 12 637338,0 11111 −++=Φ ψψx ; 1)1()1()( 066333,0 22 107742,0 21212 −++=Φ −ψψx ; 1)1()1()1()( 74188,0 33 5654043,0 32 106661,0 31313 −+++=Φ ψψψx ; Восстановление многофакторных закономерностей … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 111 1)1()1()( 173249,0 12 4387406,0 11121 −++=Φ ψψx ; 1)1()1()( 448568,0 22 0599518,0 21222 −++=Φ −ψψx ; 1)1()1()1()( 792533,0 33 566331,0 32 132208,0 31323 −+++=Φ ψψψx ; 1)1()1()( 188974,0 12 46741,0 11131 −++=Φ ψψx ; 1)1()1()( 46837,0 22 074937,0 21232 −++=Φ −ψψx ; 1)1()1()1()( 806946,0 33 529878,0 32 115089,0 31333 −+++=Φ ψψψx ; 1)1()1()( 0591671,0 12 125671,0 11141 −++=Φ ψψx ; 1)1()1()( 00753406,0 22 0508546,0 21242 −++=Φ −ψψx ; 1)1()1()1()( 838657,0 33 707902,0 32 0850168,0 31343 −+++=Φ ψψψx ; [ ] [ ] ×+Φ+Φ=Φ 46359,1 212 06018,1 1113211 1)(1)(713,679),,( xxxxx [ ] 926,1091)( 961271,0 313 ++Φ× x ; [ ] [ ] ×+Φ+Φ=Φ 4494,1 222 28673,1 1213212 1)(1)(985,257),,( xxxxx [ ] 534,511)( 946762,0 323 ++Φ× x ; [ ] [ ] ×+Φ+Φ=Φ 49631,1 232 28158,1 1313213 1)(1)(198,312),,( xxxxx [ ] 453,621)( 951132,0 333 ++Φ× x ; [ ] [ ] ×+Φ+Φ=Φ 75381,1 242 56375,1 1413214 1)(1)(771,398),,( xxxxx [ ] 817,711)( 889233,0 343 ++Φ× x . Восстановленная в классе мультипликативных функций функциональ- ная зависимость ),,( 3212 xxxΦ и график функции ],,[ 3212 ΧΧΧY , построен- ной по дискретным значениям ее выборки, показаны на рис. 1. Дополнительно по данным таблицы вычислен вариант восстановлен- ных функциональных закономерностей 4,1),,,( 321 =Φ ixxxi на основе сис- темы моделей в классе аддитивных функций, предложенных в работе [3]. Эти функциональные закономерности, реализованные на базе смещенных полиномов Чебышева, имеют вид Н.Д. Панкратова, Е.Л. Опарина ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 112 ++−−=Φ )(012,0)(007,0)(008,0)(013,0),,( 12 * 011 * 211 * 111 * 03211 xTxTxTxTxxx −+−++ )(006,0)(003,0)(027,0)(019,0 21 * 121 * 012 * 212 * 1 xTxTxTxT +−−−− )(004,0)(010,0)(003,0)(005,0 22 * 222 * 122 * 021 * 2 xTxTxTxT +++++ )(132,0)(020,0)(028,0)(166,0 32 * 031 * 231 * 131 * 0 xTxTxTxT ;)(107,0)(325,0)(137,0)(099,0)(210,0 33 * 233 * 133 * 032 * 232 * 1 xTxTxTxTxT +++++ ++−−=Φ )(021,0)(010,0)(012,0)(020,0),,( 12 * 011 * 211 * 111 * 03212 xTxTxTxTxxx −+−++ )(020,0)(010,0)(046,0)(034,0 21 * 121 * 012 * 212 * 1 xTxTxTxT +−−−− )(013,0)(033,0)(009,0)(016,0 22 * 222 * 122 * 021 * 2 xTxTxTxT +++++ )(148,0)(016,0)(023,0)(136,0 32 * 031 * 231 * 131 * 0 xTxTxTxT ;)(110,0)(334,0)(141,0)(111,0)(236,0 33 * 233 * 133 * 032 * 232 * 1 xTxTxTxTxT +++++ Рис. 1. Восстановленная функциональная зависимость ],,[ 3212 xxxΦ в классе мультипликативных функций и график функции ],,[ 3212 ΧΧΧY Восстановление многофакторных закономерностей … Системні дослідження та інформаційні технології, 2004, № 3 113 ++−−= )(022,0)(011,0)(013,0)(021,0),,( 12 * 011 * 211 * 111 * 03213 xTxTxTxTxxxФ −+−++ )(021,0)(010,0)(049,0)(036,0 21 * 121 * 012 * 212 * 1 xTxTxTxT +−−−− )(014,0)(035,0)(010,0)(017,0 22 * 222 * 122 * 021 * 2 xTxTxTxT +++++ )(145,0)(016,0)(023,0)(139,0 32 * 031 * 231 * 131 * 0 xTxTxTxT ;)(112,0)(338,0)(143,0)(109,0)(231,0 33 * 233 * 133 * 032 * 232 * 1 xTxTxTxTxT +++++ −−++−=Φ )(004,0)(002,0)(002,0)(004,0),,( 12 * 011 * 211 * 111 * 03214 xTxTxTxTxxx +−+−− )(004,0)(002,0)(009,0)(007,0 21 * 121 * 012 * 212 * 1 xTxTxTxT +++++ )(003,0)(008,0)(002,0)(003,0 22 * 222 * 122 * 021 * 2 xTxTxTxT +++++ )(174,0)(015,0)(022,0)(129,0 32 * 031 * 231 * 131 * 0 xTxTxTxT .)(116,0)(350,0)(148,0)(131,0)(277,0 33 * 233 * 133 * 032 * 232 * 1 xTxTxTxTxT +++++ Восстановленная в классе аддитивных функций функциональная зави- симость ),,( 3212 xxxΦ и график функции ],,[ 3212 ΧΧΧY , построенной по дискретным значениям ее выборки, показаны на рис. 2. Незначительное различие функциональных зависимостей, полученных в классе мультипликативных функций (рис. 1) и в классе аддитивных функ- ций (рис. 2), свидетельствует о независимости компонент векторов 321 ,, xxx и о достоверности восстановленных функциональных закономерностей. Рис. 2. Восстановленная функциональная зависимость ],,[ 3212 xxxΦ в классе ад- дитивных функций и график функции ],,[ 3212 ΧΧΧY Н.Д. Панкратова, Е.Л. Опарина ISSN 1681–6048 System Research & Information Technologies, 2004, № 3 114 В заключение отметим, что предложенный подход восстановления функциональных закономерностей на основе системы моделей в классе мультипликативных функций позволяет оценивать и корректировать досто- верность восстановления по дискретным данным, независимо от свойств показателей области определения искомых функций. Приведенные примеры показывают, что возможно обеспечить практи- чески необходимую достоверность восстановления функциональных зави- симостей по дискретным данным на основе предлагаемых систем моделей, реализованных на базе мультипликативных (1)–(3) и аддитивных [3] функ- ций. ЛИТЕРАТУРА 1. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Робастная устойчивость линейных систем // Итоги науки и техники. Техническая кибернетика. Т. 32. Информационные систе- мы и управление. — М.: ВИНИТИ, 1991. — 316, № 4. — С. 842–846. 2. Журавлев Ю.И., Рудаков К.В., Гуров С.И. и др. Состояние и перспективы раз- вития исследований в области обработки и распознавания видеоинформа- ции // Информационные технологии. — 1998. — № 4. — С. 22–26. 3. Панкратова Н.Д Формирование целевых функций в системной задаче кон- цептуальной неопределенности // Доповіді НАНУ. — 2000. — № 9. — С. 68–73. 4. Вапник В.Н. Восстановление зависимости по эмпирическим данным. — М.: Наука, 1979. — 448 с. 5. Васильев В.И., Суровцев И.В. Индуктивные методы обнаружения закономер- ностей, основанные на теории редукции // УСиМ. — 1998. — № 5. — С. 3–13. 6. Васильев В.И. Единство задач обучения распознаванию образов, восстановле- нию зависимостей и функций принадлежности // УСиМ. — 2002. — № 6. — С. 3–9. 7. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких пере- менных в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и сложения //Доклады АН СССР. — 1957. — 114, № 5. — С. 953–956. 8. Корнейчук Н.П. О методах исследования экстремальных задач теории наилуч- шего приближения // Успехи матем. наук. — 1974. — 29, № 3. — С. 9–41. 9. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. — Киев: Наук. думка. — 1969. — 624 с. 10. Зуховицкий С.И. Авдеева А.И. Линейное и выпуклое программирование. — М.: Наука, 1967. — 460 с. 11. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. — М.: Физматгиз, 1961. — 524 с. Поступила 26.02.2004

Восстановление многофакторных закономерностей в условиях концептуальной неопределенности

Репозитарії

Схожі ресурси