Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками
В линейной постановке задачи построена математическая модель плоскопараллельного движения твердого тела с полостью в форме прямоугольного параллелепипеда, которая содержит идеальную жидкость и упругие перегородки. Сформулированы основные краевые задачи гидроупругости, решения которых определяют пара...
Збережено в:
| Дата: | 2000 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут гідромеханіки НАН України
2000
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5060 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками / Д.А. Галицын, В.А. Троценко // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 4. — С. 11-23. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-5060 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-50602010-01-11T12:00:53Z Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками Галицын, Д.А. Троценко, В.А. В линейной постановке задачи построена математическая модель плоскопараллельного движения твердого тела с полостью в форме прямоугольного параллелепипеда, которая содержит идеальную жидкость и упругие перегородки. Сформулированы основные краевые задачи гидроупругости, решения которых определяют параметры такой модели. Предложена методика построения приближенных решений полученных краевых задач, которая учитывает дифференциальные свойства искомых функций на кромках перегородок. Приведен анализ динамического взаимодействия упругих перегородок с жидкостью при свободных и вынужденных колебаниях рассматриваемой системы. В лiнiйнiй постановцi задачi побудовано математичну модель плоскопаралельного руху твердого тiла iз порожниною у формi прямокутного паралелепiпеду, яка мiстить iдеальну рiдину та пружнi перегородки. Сформульовано основнi граничнi задачi гiдропружностi, розв'язки яких визначають параметри такої моделi. Запропоновано методику для побудови наближених розв'язкiв одержаних задач, яка враховує диференцiальнi властивостi шуканих функцiй на кромках перегородок. Наведено аналiз гiдродинамiчної взаємодiї пружнiх перегородок iз рiдиною при вiльних та вимушених коливаннях системи, що розглядається. In linear definition of the problem mathematical model of plane-parallel motion of a solid body with cavity in the shape of a rectangular parallelepiped which contains ideal liquid and elastic partitions is carried out. The main hydroelasticity boundary problems with solutions that determine the parameters of such model are formulated. The technique of approximate solutions of the obtained boundary problems construction is suggested. This technique takes into account differential properties of the sought-for functions on the edges of the partitions. The analysis of dynamic interaction of elastic partitions with liquid by free and forced vibrations of the system under consideration is given. 2000 Article Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками / Д.А. Галицын, В.А. Троценко // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 4. — С. 11-23. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1561-9087 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5060 532.595 ru Інститут гідромеханіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В линейной постановке задачи построена математическая модель плоскопараллельного движения твердого тела с полостью в форме прямоугольного параллелепипеда, которая содержит идеальную жидкость и упругие перегородки. Сформулированы основные краевые задачи гидроупругости, решения которых определяют параметры такой модели. Предложена методика построения приближенных решений полученных краевых задач, которая учитывает дифференциальные свойства искомых функций на кромках перегородок. Приведен анализ динамического взаимодействия упругих перегородок с жидкостью при свободных и вынужденных колебаниях рассматриваемой системы. |
| format |
Article |
| author |
Галицын, Д.А. Троценко, В.А. |
| spellingShingle |
Галицын, Д.А. Троценко, В.А. Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками |
| author_facet |
Галицын, Д.А. Троценко, В.А. |
| author_sort |
Галицын, Д.А. |
| title |
Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками |
| title_short |
Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками |
| title_full |
Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками |
| title_fullStr |
Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками |
| title_full_unstemmed |
Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками |
| title_sort |
колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками |
| publisher |
Інститут гідромеханіки НАН України |
| publishDate |
2000 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5060 |
| citation_txt |
Колебания жидкости в подвижном прямоугольном контейнере с упругими перегородками / Д.А. Галицын, В.А. Троценко // Прикладна гідромеханіка. — 2000. — Т. 2, № 4. — С. 11-23. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT galicynda kolebaniâžidkostivpodvižnomprâmougolʹnomkontejneresuprugimiperegorodkami AT trocenkova kolebaniâžidkostivpodvižnomprâmougolʹnomkontejneresuprugimiperegorodkami |
| first_indexed |
2025-07-02T08:15:09Z |
| last_indexed |
2025-07-02T08:15:09Z |
| _version_ |
1836522259270860800 |
| fulltext |
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 23��� 532.595��������� �������� � ���������������������� ���������� � ����������������������. �. ��������. �. ���������áâ¨âãâ ¬ ⥬ ⨪¨ ��� �ªà ¨ë, �¨¥¢�®«ã祮 06.06.2000� «¨¥©®© ¯®áâ ®¢ª¥ § ¤ ç¨ ¯®áâ஥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì ¯«®áª®¯ à ««¥«ì®£® ¤¢¨¦¥¨ï ⢥म£® ⥫ ᯮ«®áâìî ¢ ä®à¬¥ ¯àאַ㣮«ì®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ª®â®à ï ᮤ¥à¦¨â ¨¤¥ «ìãî ¦¨¤ª®áâì ¨ ã¯à㣨¥ ¯¥à¥£®à®¤-ª¨. �ä®à¬ã«¨à®¢ ë ®á®¢ë¥ ªà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨ £¨¤à®ã¯à㣮áâ¨, à¥è¥¨ï ª®â®àëå ®¯à¥¤¥«ïîâ ¯ à ¬¥âàë â ª®©¬®¤¥«¨. �।«®¦¥ ¬¥â®¤¨ª ¯®áâ஥¨ï ¯à¨¡«¨¦¥ëå à¥è¥¨© ¯®«ãç¥ëå ªà ¥¢ëå § ¤ ç, ª®â®à ï ãç¨âë¢ ¥â¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ á¢®©á⢠¨áª®¬ëå äãªæ¨© ªà®¬ª å ¯¥à¥£®à®¤®ª. �ਢ¥¤¥ «¨§ ¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¢§ ¨¬®-¤¥©á⢨ï ã¯àã£¨å ¯¥à¥£®à®¤®ª á ¦¨¤ª®áâìî ¯à¨ á¢®¡®¤ëå ¨ ¢ë㦤¥ëå ª®«¥¡ ¨ïå à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬ë.� «÷÷©÷© ¯®áâ ®¢æ÷ § ¤ ç÷ ¯®¡ã¤®¢ ®¬ ⥬ â¨çã ¬®¤¥«ì ¯«®áª®¯ à «¥«ì®£®àãåã ⢥म£® â÷« ÷§ ¯®à®¦¨®îã ä®à¬÷ ¯àאַªã⮣® ¯ à «¥«¥¯÷¯¥¤ã, ïª ¬÷áâ¨âì ÷¤¥ «ìã à÷¤¨ã â ¯àã¦÷ ¯¥à¥£®à®¤ª¨. �ä®à¬ã«ì®¢ ® ®á®¢÷£à ¨ç÷ § ¤ ç÷ £÷¤à®¯à㦮áâ÷, ஧¢'離¨ ïª¨å ¢¨§ ç îâì ¯ à ¬¥âਠ⠪®ù ¬®¤¥«÷. � ¯à®¯®®¢ ® ¬¥â®¤¨ªã ¤«ï¯®¡ã¤®¢¨ ¡«¨¦¥¨å ஧¢'離÷¢ ®¤¥à¦ ¨å § ¤ ç, ïª ¢à 客ãõ ¤¨ä¥à¥æ÷ «ì÷ ¢« á⨢®áâ÷ è㪠¨å äãªæ÷© ªà®¬ª å ¯¥à¥£®à®¤®ª. � ¢¥¤¥® «÷§ £÷¤à®¤¨ ¬÷ç®ù ¢§ õ¬®¤÷ù ¯àã¦÷å ¯¥à¥£®à®¤®ª ÷§ à÷¤¨®î ¯à¨ ¢÷«ì¨å â ¢¨¬ãè¥¨å ª®«¨¢ ïå á¨á⥬¨, é® à®§£«ï¤ õâìáï.In linear de�nition of the problem mathematical model of plane-parallel motion of a solid body with cavity in the shapeof a rectangular parallelepiped which contains ideal liquid and elastic partitions is carried out. The main hydroelastic-ity boundary problems with solutions that determine the parameters of such model are formulated. The technique ofapproximate solutions of the obtained boundary problems construction is suggested. This technique takes into accountdi�erential properties of the sought-for functions on the edges of the partitions. The analysis of dynamic interaction ofelastic partitions with liquid by free and forced vibrations of the system under consideration is given.���������«ï 㬥ìè¥¨ï ¢«¨ï¨ï ª®«¥¡ ⥫ìëå ¥-¨© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠ãá⮩-稢®áâì ¤¢¨¦¥¨ï á¨á⥬ë "⥫®{¦¨¤ª®áâì" ¯à ªâ¨ª¥ ¯à¨¬¥ïîâáï à §«¨ç®£® த ª®áâàãª-â¨¢ë¥ ãáâனá⢠. �¨à®ª®¥ à á¯à®áâà ¥¨¥¯®«ã稫¨ ãáâனá⢠¢ ¢¨¤¥ ¦¥áâª¨å ¨«¨ ã¯àã-£¨å ॡ¥à{¯¥à¥£®à®¤®ª. � «¨ç¨¥ ¯¥à¥£®à®¤®ª ¢¥¬ª®á⨠®ª §ë¢ ¥â áãé¥á⢥®¥ ¢«¨ï¨¥ ¤¨- ¬¨ç¥áª¨¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨ ¦¨¤ª®á⨠[1]. �ªá-¯¥à¨¬¥â «ì®¬ã ¨§ãç¥¨î ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨢ ¯®«®áâïå á ã¯à㣨¬¨ ¯¥à¥£®à®¤ª ¬¨ ¯®á¢ïé¥-ë à ¡®âë [2{4]. �ਠí⮬ ¡ë«® ãáâ ®¢«¥®,çâ® § áç¥â ¢ë¡®à ¯ à ¬¥â஢ ã¯àã£¨å ¯¥à¥-£®à®¤®ª ¬®¦® ¯®«ãç¨âì § ç¨â¥«ì®¥ 㢥«¨ç¥-¨¥ ¤¥¬¯ä¨à®¢ ¨ï ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¯® áà ¢-¥¨î á ¦¥á⪨¬¨ ¯¥à¥£®à®¤ª ¬¨. �¥®à¥â¨ª®-íªá¯¥à¨¬¥â «ì®¬ã ¨§ã票î í⮣® ¥¨ï ¯®-á¢ïé¥ à ¡®â [5], ¢ ª®â®à®© à áᬮâॠ¬¥â®-¤¨ç¥áª ï § ¤ ç ® ¢ë㦤¥ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¦¨¤-ª®á⨠¢ ¯àאַ㣮«ì®¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤¥ ¯à¨ «¨-稨 ¢ ¥¬ ¯®¤¢¥è¥®© ¯à㦨 å ¯àאַ㣮«ì-®© ¯¥à¥£®à®¤ª¨ ¬ «®© è¨à¨ë. � १ã«ìâ ⥠¡ë-«® ¯®ª § ®, ç⮠㢥«¨ç¥¨¥ ¤¥¬¯ä¨à®¢ ¨ï ª®«¥-¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠®¡ãá«®¢«¥® ⥬, çâ® ¯à¨ ®¯à¥¤¥-
«¥ëå ०¨¬ å £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©-á⢨ï ã¯à㣨å í«¥¬¥â®¢ á ¦¨¤ª®áâìî ¡«î¤ -¥âáï ¢®§à áâ ¨¥ ᪮à®á⨠¯®â®ª ®â®á¨â¥«ì®¯¥à¥£®à®¤®ª, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ¡®«¥¥ ¨â¥á¨¢®¬ãà áá¥ï¨î í¥à£¨¨ ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®áâ¨.�®áâ஥¨î ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¬®¤¥«¨ £¨¤à®¤¨- ¬¨ç¥áª®£® ¢§ ¨¬®¤¥©á⢨ï ã¯à㣮© ª®«ì楢®©¯¥à¥£®à®¤ª¨ ¨ ¨¤¥ «ì®© ¦¨¤ª®áâ¨, 室ïé¨åáï ¢¯®¤¢¨¦®¬ ®á¥á¨¬¬¥âà¨ç®¬ á®á㤥, ¨ à §à ¡®â-ª¥ ¬¥â®¤®¢ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯ à ¬¥â஢ í⮩ ¬®¤¥«¨¯®á¢ïé¥ à ¡®â [6].� áâ®ï饩 áâ âì¥ ¨§« £ îâáï १ã«ìâ âë â¥-®à¥â¨ç¥áª¨å ¨áá«¥¤®¢ ¨© ¯® ¯®áâ ®¢ª¥ ¨ à¥-è¥¨î § ¤ ç¨, á¢ï§ ®© á ¨§ã票¥¬ ¯®¢¥¤¥-¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯®¤¢¨¦®© ¯®«®á⨠¢ ä®à¬¥ ¯àï-¬®ã£®«ì®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ á ª®áâàãªâ¨¢ë¬¨ãáâனá⢠¬¨ ¢ ¢¨¤¥ ¯à®¤®«ìëå ã¯àã£¨å ¯« -áâ¨. �ਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ᢮¡®¤ëå ª®«¥¡ ¨©¦¨¤ª®á⨠¢ à áᬠâਢ ¥¬®© ¯®«®á⨠ãáâ ®¢«¥-ë ¯ à ¬¥âàë á¨á⥬ë, ¯à¨ ª®â®àëå á«¥¤ã¥â ®¦¨-¤ âì 㢥«¨ç¥¨¥ à áá¥ï¨ï í¥à£¨¨ ª®«¥¡«î饩-áï ¦¨¤ª®á⨠¯® áà ¢¥¨î á à áá¥ï¨¥¬ í¥à£¨¨ ¢¯®«®áâ¨ á ¦¥á⪨¬¨ ¯¥à¥£®à®¤ª ¬¨. �§ãç¥ë ¢ë-㦤¥ë¥ ª®«¥¡ ¨ï à áᬠâਢ ¥¬®© ¬¥å ¨ç¥-᪮© á¨áâ¥¬ë ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨, çâ® ¯®«®áâì ᮢ¥à-è ¥â ¯®áâ㯠⥫ìë¥ £ ମ¨ç¥áª¨¥ ª®«¥¡ ¨ï ¢c
�. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª®, 2000 11
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 23£®à¨§®â «ì®© ¯«®áª®áâ¨. �ਠí⮬ ãáâ ®¢«¥-®, çâ® ã¯à㣨¥ ¯¥à¥£®à®¤ª¨ ¬®£ãâ áë£à âì ஫줨 ¬¨ç¥áª®£® £ á¨â¥«ï ¢®«®¢ëå ¤¢¨¦¥¨© ¦¨¤-ª®áâ¨.1. ��������� ��������� ��������� ������� ������������ãáâì ¢ ¯®«¥ ¬ áᮢëå ᨫ 室¨âáï ¥¯®¤¢¨¦-ë© ¡ ª, ç áâ¨ç® § ¯®«¥ë© ¨¤¥ «ì®© ¨¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâìî ¯«®â®á⨠�. �ãáâì¡ ª ¨¬¥¥â ä®à¬ã ¯àאַ㣮«ì®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥-¤ ¤«¨ë l ¨ è¨à¨ë 2b, ¯à®¤®«ìëå á⥪ 媮â®à®£® ¦¥á⪮ § ªà¥¯«¥ë ¯¥à¥£®à®¤ª¨ ¢ ä®à-¬¥ ¯àאַ㣮«ìëå ¯« á⨠®¤¨ ª®¢®© è¨à¨ë ¢¯«®áª®áâ¨, ¯ à ««¥«ì®© ¥¢®§¬ã饮© ᢮¡®¤-®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®áâ¨. �¡®§ 稬 ç¥à¥§ h1¨ h2 à ááâ®ï¨ï ¯¥à¥£®à®¤®ª ¤® ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå-®á⨠¦¨¤ª®á⨠¨ ¤® ¤¨é á®á㤠ᮮ⢥âá⢥-®, ç¥à¥§ 2a { à ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ªà®¬ª ¬¨ ¯¥-ॣ®à®¤®ª. � ¤ «ì¥©è¥¬ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ¯®-«¥ ¬ áᮢëå ᨫ ¨¬¥¥â ¯®â¥æ¨ «ìãî äãªæ¨î,£à ¤¨¥â ª®â®à®© ®¡®§ 稬 ç¥à¥§ ~g. �롥६®áì Oz â ª, çâ®¡ë ® ¡ë« ª®««¨¥ à ¢¥ªâ®àã ~g¨ ¯à ¢«¥ ¢ áâ®à®ã, ¯à®â¨¢®¯®«®¦ãî ~g. �¢ï-§ ãî á ⥫®¬ á¨á⥬㠪®®à¤¨ â Oxyz ¢ë¡¥à¥¬â ª, çâ®¡ë ¥¥ ª®®à¤¨ âë¥ ¯«®áª®á⨠Oxz ¨ Oyzᮢ¯ ¤ «¨ á ¯«®áª®áâﬨ £¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ᨬ¬¥-âਨ ¯®«®áâ¨. �à¨ç¥¬ ®áì Oz ᮢ¬¥á⨬ á «¨¨¥©¯¥à¥á¥ç¥¨ï íâ¨å ¯«®áª®á⥩, ®áì Oy ¯à ¢¨¬¢¤®«ì ¯®«®áâ¨. � ç «® á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â Oxyz¯®¬¥á⨬ ¢ ¯«®áª®á⨠à ᯮ«®¦¥¨ï ¯¥à¥£®à®¤®ª.�㤥¬ áç¨â âì ¢ ¤ «ì¥©è¥¬, çâ® á⥪¨ ¡ ª ¡á®«îâ® ¦¥á⪨¥, ¯¥à¥£®à®¤ª¨ ã¯à㣨¥. �à¨-¬¥¬ â ª¦¥, çâ® ¯à®£¨¡ë ¯¥à¥£®à®¤®ª 㤮¢«¥â¢®-àïî⠢ᥬ âॡ®¢ ¨ï¬ ⥮ਨ «¨¥©®£® ¨§£¨¡ ⢥à¤ëå ¯« áâ¨, ᬥ饨ï, ᪮à®á⨠¨ ã᪮à¥-¨ï ç áâ¨æ ¦¨¤ª®á⨠á⮫쪮 ¬ «ë, çâ® ¨å ¯à®-¨§¢¥¤¥¨ï¬¨ ¨ ª¢ ¤à â ¬¨ ¬®¦® ¯à¥¥¡à¥çì ¯®áà ¢¥¨î á á ¬¨¬¨ ¢¥«¨ç¨ ¬¨.�¡®§ 稬 ®¡« áâì, § ïâãî ¦¨¤ª®áâìî, ç¥à¥§Q; ᬮç¥ãî ¯®¢¥àå®áâì ¥¬ª®á⨠{ ç¥à¥§ S; ᢮-¡®¤ãî ¯®¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨠¢ ¥¢®§¬ã饮¬¯®«®¦¥¨¨ { ç¥à¥§ �.� á«ãç ¥ ¬ «ëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢¬¥áâ® ¯®-â¥æ¨ « ᪮à®á⥩ 㤮¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯®â¥æ¨- « ᬥ饨© � [7]. �®â¥æ¨ « ᬥ饨© 㤮¢«¥-⢮àï¥â ãà ¢¥¨î � ¯« á ¢ ®¡« á⨠Q ¨ ®¯à¥¤¥-«ï¥â ¢¥ªâ®à®¥ ¯®«¥ ¬ «ëå ᬥ饨© ç áâ¨æ ¦¨¤-ª®áâ¨. �ਠ¨§¢¥á⮬ ¯®â¥æ¨ «¥ ᬥ饨© ¨§¨â¥£à « � £à ¦ { �®è¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ®¯à¥¤¥-«¥® ¯®«¥ ¤ ¢«¥¨© ¢ ¦¨¤ª®áâ¨:p = ���@2�@t2 + gz� : (1)
�¨ ¬¨ç¥áª®¥ £à ¨ç®¥ ãá«®¢¨¥, ¢ëà ¦ î饥ᮡ®© ãá«®¢¨¥ ¯®áâ®ïá⢠¤ ¢«¥¨ï ᢮¡®¤®©¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®áâ¨, ¨¬¥¥â ¢¨¤�@2�@t2 + g@�@z �� = 0: (2)�£à ¨ç¨¬áï à áᬮâ२¥¬ â¨á¨¬¬¥âà¨ç-ëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯«®áª®á⨠Oxz, ¤«ïª®â®àëå £« ¢ë© ¢¥ªâ®à £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨å ᨫ,¤¥©áâ¢ãîé¨å á⥪¨ á®á㤠, ®â«¨ç¥ ®â ã«ï.� í⮬ á«ãç ¥ ¯à®£¨¡ ª ¦¤®£® à¥¡à ¬®¦® ®â®-¦¤¥á⢨âì á ¯à®£¨¡®¬ í«¥¬¥â ன ¯®«®áª¨, ¢ë-१ ®© ¨§ ¯« á⨪¨ ¤¢ã¬ï ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë-¬¨ ª ®á¨ Oy ¯«®áª®áâﬨ. � १ã«ìâ ⥠¨á室 ï¯à®áâà á⢥ ï § ¤ ç £¨¤à®ã¯à㣮á⨠᢮¤¨â-áï ª ¯«®áª®© § ¤ ç¥ ¢ ®¡« á⨠G, ª®â®à ï ï¥âáïᨬ¬¥âà¨ç®© ¯®«®¢¨®© ®¡« á⨠¯®¯¥à¥ç®£® á¥-票ï á®á㤠. �à ¨ç ï § ¤ ç ¨¬¥¥â á«¥¤ãî騩¢¨¤: �� = 0; (x; z) 2 G;�@2�@t2 + g@�@z ������L0 = 0; (�)x=0 = 0;@�@n �����L = 0; @�@z �����
= �w(x; t); (3)D@4w@x4 + �0�0 @2w@t2 = ���@2�+@t2 � @2��@t2 � ;w(b) = �@w@x�x=b = �@2w@x2 �x=a = �@3w@x3 �x=a = 0;£¤¥ w(x; t){¯à®£¨¡ ¯¥à¥£®à®¤ª¨; D; �0; �0 { á®®â-¢¥âá⢥® 樫¨¤à¨ç¥áª ï ¦¥á⪮áâì, ¯«®â®áâì¨ â®«é¨ ¯« á⨮ª; L0 : f0 � x � b; z = h1g;
: fa � x � b; z = 0g ;L : f(x = b;�h2 � z � h1)[(0 � x � b; z = �h2)g.�®áâ஥¨¥ â®ç®£® à¥è¥¨ï § ¤ ç¨ (3) ¥¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢®§¬®¦ë¬. �®í⮬㠨¦¥ ᢥ-¤¥¬ íâã § ¤ çã ª á¨á⥬¥ ®¡ëª®¢¥ëå ¤¨ää¥-à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©, ¥§ ¢¨á¨¬®© ¯¥à¥¬¥®©¢ ª®â®àëå ï¥âáï ¢à¥¬ï. �ਢ¥¤¥¨¥ ãà ¢¥-¨© ¢ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå (3) á ãç¥â®¬ ᮮ⢥â-áâ¢ãîé¨å 䨧¨ç¥áª¨å ãá«®¢¨© ª á¨á⥬¥ ®¡ëª®-¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© ¬®¦® ®áã-é¥á⢨âì á ¯®¬®éìî ¬¥â®¤ �ã¡®¢ { � «¥àª¨- , ¤«ï ॠ«¨§ 樨 ª®â®à®£® ¥®¡å®¤¨¬® à ᯮ« -£ âì ¥ª®â®à묨 á¨á⥬ ¬¨ ª®®à¤¨ âëå äãª-権. � ª ç¥á⢥ â ª¨å á¨á⥬ äãªæ¨© ¢ à áᬠ-âਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ¨¡®«¥¥ ¥áâ¥á⢥® ¢ë¡à âìᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ á«¥¤ãîé¨å § ¤ ç:�'n = 0; (x; z) 2 G; (4)12 �. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 23@'n@� �����L[
= 0;�@'n@� � �2ng 'n�L0 = 0; ('n)x=0 = 0;� i = 0; (x; z) 2 G; (5)@ i@� �����L[L0 = 0; @ i@z �����
= �wi; ( i)x=0 = 0;d4widx4 �
2iD ��0�0wi + � � +i � �i �� = 0;£¤¥ +i ¨ �i { § 票ï äãªæ¨© i ¢¥à奩 ¨¨¦¥© áâ®à® å ®â१ª
ᮮ⢥âá⢥®.�஬¥ í⮣®, äãªæ¨¨ wi ª« ¤ë¢ îâáï®£à ¨ç¥¨ï ¢ ¢¨¤¥ £à ¨çëå ãá«®¢¨© w ¨§(3).�¤®à®¤ë¥ § ¤ ç¨ (4){(5) ®¯¨áë¢ î⠥ᨬ-¬¥âà¨çë¥ á¢®¡®¤ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¢ ¯«®áª®á⨠Oxz¦¨¤ª®á⨠¢ ¥¯®¤¢¨¦®© ¯®«®áâ¨ á ¦¥á⪨¬¨ ¯¥-ॣ®à®¤ª ¬¨ ¨, ᮮ⢥âá⢥®, ã¯àã£¨å ¯¥à¥£®-த®ª ¢ ¯®«®áâ¨ á ¦¨¤ª®áâìî ¯à¨ § ªàë⮩ ¥¥ ᢮-¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨.�à ¥¢ ï § ¤ ç (4) ¨¬¥¥â, ª ª ¨§¢¥áâ® [8],áç¥â®¥ ¬®¦¥á⢮ ᮡá⢥ëå § 票© ¨ ᮡ-á⢥ëå äãªæ¨©, ®¡« ¤ îé¨å ᢮©á⢮¬ ¯®«®-âë ¨ ®à⮣® «ì®á⨠«¨¨¨ L0:ZL0 'n'mdS = 0; ZL0 @'n@z @'m@z dS = 0; 8m 6= n: (6)� «®£¨çë¥ ª ç¥á⢠¯à¨áãé¨ ¨ á¨á⥬¥ ᮡ-á⢥ëå äãªæ¨© ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ (5) ®â१ª¥
. �á«®¢¨ï ®à⮣® «ì®á⨠¤«ï ¨å ¨¬¥îâ ¢¨¤bZa ��0�0wiwj + � � +i � �i �wj� dx = 0; 8i 6= j: (7)�।áâ ¢¨¬ ¯®â¥æ¨ « ᬥ饨© ¦¨¤ª®á⨠¢á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:�(x; z; t) = 1Xn=1pn(t)'n(x; z) + 1Xm=1 qm(t) m(x; z):(8)� í⮬ ¢ëà ¦¥¨¨ ¯¥à¢ ï á㬬 ®¯¨áë¢ ¥â ¤¢¨-¦¥¨¥ ¦¨¤ª®á⨠¢ á®á㤥 á ¦¥á⪨¬¨ ¯¥à¥£®à®¤-ª ¬¨, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¢â®à ï á㬬 ᮮ⢥âáâ¢ã¥âá¬¥é¥¨ï¬ ¦¨¤ª®á⨠§ áç¥â ã¯àã£¨å ¤¥ä®à¬ 権¯¥à¥£®à®¤®ª.� á¢®î ®ç¥à¥¤ì, ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ã¯àã£¨å ¯« áâ¨-®ª ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ®à¬ «¨ ª ¨å á।¨ë¬ ¯®-¢¥àå®áâï¬ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ à §«®¦¥¨ï ¯® ᮡ-áâ¢¥ë¬ äãªæ¨ï¬ § ¤ ç¨ (5):w(x; t) = 1Xm=1 qm(t)wm(x; z): (9)
� ¤ «ì¥©è¥¬ äãªæ¨¨ 'n(x; z) ¨ wm(x; z) ¡ã¤¥¬®à¬¨à®¢ âì â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë@'n@z ����� x=bz=h1 = 1; wm(a) = 1: (10)�à¨ïâ ï ®à¬¨à®¢ª ¯®§¢®«ï¥â à áᬠâà¨-¢ âì ®¡®¡é¥ë¥ ª®®à¤¨ âë pn(t) ª ª ᬥé¥-¨ï â®çª¨ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®áâ¨ á ª®®à¤¨ â ¬¨(b; h1) ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ®á¨ Oz ¯à¨ n-®© ä®à¬¥ ᮡ-á⢥ëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®áâ¨, qm(t) { ª ª ᬥ-饨ï ᢮¡®¤®£® â®àæ ã¯à㣮© ¯« á⨪¨ ¯à¨m-®© ä®à¬¥ ¥¥ ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨© ¢ ¦¨¤ª®-áâ¨.�¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® ¢¢¥¤¥ë审®¡é¥ëå ª®®à¤¨ â ¬®¦® ¯®«ãç¨âì, ¥á«¨ ¢®á-¯®«ì§®¢ âìáï ¤¨ ¬¨ç¥áª¨¬ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨¥¬¤«ï ¯®â¥æ¨ « ᬥ饨© ¦¨¤ª®á⨠«¨¨¨ L0.�®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢ ¥£® ¢ëà ¦¥¨ï (8), 㬮¦¥-¨ï 2l� (@'n=@z) ¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® x ®â 0 ¤®b, á ãç¥â®¬ ãá«®¢¨© ®à⮣® «ì®á⨠(6) ¯®«ãç -¥¬:�n ��pn + �2npn�+ 1Xm=1 �qm�nm = 0; (n = 1; 2; : : :);(11)£¤¥�n = � Z� 'n @'n@z dS; �nm = � Z� @'n@z mdS:�â®à®¥ ãà ¢¥¨¥ ®â®á¨â¥«ì® ®¡®¡é¥ë媮®à¤¨ â pn(t) ¨ qm(t) ¯®«ã稬, ¯®¤áâ ¢¨¢ à §-«®¦¥¨ï (8) ¨ (9) ¢ ãà ¢¥¨¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¯« áâ¨-ª¨. �®á«¥ 㬮¦¥¨ï ¯®«ã祮£® ¢ëà ¦¥¨ï 2lwm(x) ¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¥£® ¯® x ¢ ¯à¥¤¥« å ®âa ¤® b ¡ã¤¥¬ ¨¬¥âì:�m ��qm +
2mqm�+ 1Xn=1 �pn�nm = 0; (m = 1; 2; : : :);(12)£¤¥ �m = 2l bZa ��0�0wm + � � +m � �m��wmdx:�ਠ¢ë¢®¤¥ ãà ¢¥¨© (12) ¡ë«¨ ¨á¯®«ì§®¢ ëãá«®¢¨ï ®à⮣® «ì®á⨠(7) ¨ ä®à¬ã« �ਠ¤«ï£ ମ¨ç¥áª¨å äãªæ¨© ¢ ®¡« á⨠G.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨áá«¥¤®¢ ¨¥ ᢮¡®¤ëå ª®«¥¡ -¨© ¦¨¤ª®á⨠¨ ã¯àã£¨å ¯¥à¥£®à®¤®ª ¢ à áᬠâà¨-¢ ¥¬®© ¯®«®á⨠ᢥ«®áì ª à¥è¥¨î á¨áâ¥¬ë ®¡ëª-®¢¥ëå ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨© (11), (12)�. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª® 13
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 23¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç «ìëå ãá«®¢¨ïå ᢮-¡®¤ãî ¯®¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨠¨ ¯à®£¨¡ë ¯¥à¥£®-த®ª. �ਠí⮬ ª®íää¨æ¨¥âë íâ¨å ãà ¢¥¨©¢ëà ¦ îâáï ç¥à¥§ ¨â¥£à «ìë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨®â à¥è¥¨© ®¤®à®¤ëå £à ¨çëå § ¤ ç (4) ¨(5). �®áâ஥¨¥ à¥è¥¨© § ¤ ç¨ (4), ®¯¨áë¢ î-饩 ᢮¡®¤ë¥ ª®«¥¡ ¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ à áᬠâà¨-¢ ¥¬®¬ á®á㤥 á ¡á®«îâ® ¦¥á⪨¬¨ ¯¥à¥£®à®¤-ª ¬¨, ¡ë«® ®áãé¥á⢫¥® ¢ à ¡®â¥ [9].�«ï à¥è¥¨ï £¨¤à®ã¯à㣮© § ¤ ç¨ (5), á®-®â¢¥âáâ¢ãî饩 ¯ àæ¨ «ì®© á¨á⥬¥ "ã¯à㣠ﯫ á⨪ {¦¨¤ª®áâì", ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ᮡá⢥ë¥äãªæ¨¨ wm(x) ¨ m(x; z) ¢ ¢¨¤¥ à §«®¦¥¨©wm(x) = 1Xk=1y(m)k uk(x); m(x; z) = 1Xk=1 y(m)k Vk(x; z);(13)£¤¥ äãªæ¨¨ Vk(x; z) ïîâáï à¥è¥¨ï¬¨ á«¥¤ãî-é¨å § ¤ ç: �Vk = 0; (x; z) 2 G;(Vk)x=0 = 0;�@Vk@� �L0[L = 0; (14)�@Vk@z �
= �uk(x); (k = 1; 2; : : :); äãªæ¨¨ uk(x){ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ § ¤ ç¨ ®á¢®¡®¤ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¡ «ª¨ á § 饬«¥ë¬ ª®-殬 ¯à¨ x = b ¨ ᢮¡®¤ë¬ ¯à¨ x = a. �«ï íâ¨åäãªæ¨© ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祮 â®ç®¥ à¥è¥¨¥ ¢¢¨¤¥ [10]uk(x) = ch pk(b� x)� cos pk(b � x)��Qk [sh pk(b� x)� sin pk(b� x)] ;£¤¥ ᮡáâ¢¥ë¥ ç¨á« �k = pkd (¯à¨ç¥¬ d = b�a{è¨à¨ ¯¥à¥£®à®¤ª¨) ¨ ª®íää¨æ¨¥âë Qk ¯à¨¢¥-¤¥ë ¢ ª¨£¥ [10].�®áâ®ïë¥ y(m)k ®¯à¥¤¥«¨¬ ¨§ ãà ¢¥¨ï ¤«ï¯à®£¨¡ ¯« á⨪¨ ¢ (5). �«ï í⮣® ¯®¤áâ ¢¨¬ ¢¥£® ¢ëà ¦¥¨ï (13), ¯®ç«¥® 㬮¦¨¬ ul(x)¨ ¯à®¨â¥£à¨à㥬 ¯®«ã祮¥ á®®â®è¥¨¥ ¯® x®â a ¤® b. �ਠí⮬ ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî ®¤®à®¤-ãî «£¥¡à ¨ç¥áªãî á¨á⥬㠮â®á¨â¥«ì® ¯ à -¬¥â஢
2m ¨ ¯®áâ®ïëå y(m)l :p4lN2l y(m)l �
2mD "�0�0N2l y(m)l + � 1Xk=1 y(m)k bkl# = 0;(15)£¤¥ bkl = bZa �V +k � V �k �ul(x)dx; N2l = d4u2k(a):
� ¬¥â¨¬, çâ® ¨¤¥ªá m 㪠§ë¢ ¥â ®¬¥à ç -áâ®â®£® ¯ à ¬¥âà
2m ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¥¬ãà¥è¥¨¥ y(m)k .�áâ ®¢¨¬áï ⥯¥àì ¯®áâ஥¨¨ ¯à¨¡«¨-¦¥®£® à¥è¥¨ï ¥®¤®à®¤ëå £à ¨çëå § ¤ ç(14), ¢®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ¯à¨ í⮬ ¯®¤å®¤®¬, ¯à¥¤-«®¦¥ë¬ ¤«ï à¥è¥¨ï «®£¨çëå § ¤ ç ¢ à ¡®-⥠[6].� §®¡ì¥¬ ®¡« áâì G ®â१ª®¬
0 : f0 � x � a;z = 0g ¤¢¥ ¯®¤®¡« á⨠G1 ¨ G2. �®«®¦¨¬ ¤ -«¥¥, çâ® à¥è¥¨ï £à ¨çëå § ¤ ç (14) ¯à¨¨¬ -îâ § 票ïVk(x; z) = 8<:V (1)k = V (1)k1 + V (1)k2 ; (x; z) 2 G1V (2)k = V (2)k1 + V (2)k2 ; (x; z) 2 G2: (16)�«ï £ ମ¨ç¥áª¨å äãªæ¨© V (j)k1 (x; z) ¨V (j)k2 (x; z) (j = 1; 2) £à ¨æ å ¯®¤®¡« á⥩ G1 ¨G2 áä®à¬ã«¨à㥬 á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï �¥©¬ : @V (1)k1@n !L1[L0 = 0; @V (1)k1@z !
0 = �vk(x); @V (1)k1@z !
= �uk(x); @V (1)k2@n !L1[L0[
= 0; @V (1)k2@z !
0 = 1Xp=1Z(k)p fp(x) = Nk(x); @V (2)k1@n !L2 = 0; @V (2)k1@z !
0 = �vk(x); (17) @V (2)k1@z !
= �uk(x); @V (2)k2@n !L2[
= 0; @V (2)k2@z !
0 = 1Xp=1Z(k)p fp(x) = Nk(x);vk(x) = S(1)k x+ S(2)k x3;�V (1)k �x=0 = �V (2)k �x=0 = 0;S(1)k = 12a [3uk(a) � au0k(a)] ;S(2)k = 12a3 [au0k(a) � uk(a)] ;£¤¥ L1 : f(x = b; 0 � z � h1) [ (a � x � b; z = 0)g ;L2 :f(x = b;�h2 � z � 0) [ (a � x � b; z = 0) [ (0 �� x � b; z = �h2)g ; ffp(x)g { ¥ª®â®à ï á¨á⥬ ¡ §¨áëå äãªæ¨©
0; Z(k)p { ¯®áâ®ïë¥, ¯®¤-«¥¦ 騥 ®¯à¥¤¥«¥¨î ¢ ¤ «ì¥©è¥¬.�¯¥æ¨ «ì® ¢¢¥¤¥ë¥ ¢ à áᬮâ२¥ äãªæ¨¨vk(x) ®¡¥á¯¥ç¨¢ îâ £« ¤ª®¥ ¯à®¤®«¦¥¨¥ ãá«®¢¨ï14 �. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 23�¥©¬ «¨¨¨
¢áî £à ¨æã z = 0 ¯®¤-®¡« á⥩ G1 ¨ G2. �ਠí⮬ ¢ â®çª¥ x = a ¢ë¯®«-ïîâáï á«¥¤ãî騥 ãá«®¢¨ï ᮯà殮¨ï:vk(a) = uk(a); v0k(a) = u0k(a);çâ® ¯®§¢®«¨â ¯®«ãç¨âì ®á®¢¥ ¬¥â®¤ �ã-àì¥ à¥è¥¨ï £à ¨çëå § ¤ ç ¤«ï äãªæ¨©V (j)k1 (x; z); (j = 1; 2) ¢ ¢¨¤¥ ¡ëáâà®á室ïé¨åáï àï-¤®¢.�«ï ¯®áâ஥¨ï ä ªâ¨ç¥áª¨å à¥è¥¨© áä®à¬ã-«¨à®¢ ëå ¢ëè¥ ¢á¯®¬®£ ⥫ìëå ªà ¥¢ëå § -¤ ç ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï äãªæ¨ï¬¨ �ਠKj(p; p0) ¤«ï¯®¤®¡« á⥩ Gj:K1(p; p0) = 2 1Xs=0 g2s+1(x)g2s+1(x0)b�2s+1sh (�2s+1h1)��ch [�2s+1(z � h1)] ch (�2s+1z0) ; 8z � z0; (18)K2(p; p0) = 2 1Xs=0 g2s+1(x)g2s+1(x0)b�2s+1sh (�2s+1h2)��ch [�2s+1(z + h2)] ch (�2s+1z0) ; 8z � z0;£¤¥�2s+1 = �(2s + 1)2b ; g2s+1(x) = cos [�2s+1(x+ b)] :� §«®¦¥¨ï ¤«ï äãªæ¨© Nk(x) ®â१ª¥ [0; a]¢ë¡¥à¥¬ â ª¨¬¨, çâ®¡ë ®¨ ãç¨âë¢ «¨ å à ªâ¥à®á®¡¥®á⥩ ¨áª®¬ëå à¥è¥¨© ¢ ¯¥à¢ëå ¯à®¨§-¢®¤ëå ªà®¬ª å ¯¥à¥£®à®¤®ª, ¨¬¥® [9]:Nk(x) = xr1� �xa�2 �Z(k)1 + Z(k)2 �1� �xa�2�++Z(k)3 �1� �xa�2�2 + � � �);¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®®à¤¨ âë¥ äãªæ¨¨ fp(x) ¢à áᬠâਢ ¥¬®¬ á«ãç ¥ ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¢¨¤fp(x) = x �1� �xa�2�p�3=2; (p = 1; 2; : : :): (19)�ᯮ«ì§ãï ¨â¥£à «ì®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ à¥è¥-¨© ªà ¥¢ëå § ¤ ç á ¯®¬®éìî äãªæ¨© �ਠ, £ à-¬®¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ V (j)k (x; z) á ãç¥â®¬ £à ¨ç-ëå ãá«®¢¨© (17) ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì á«¥¤ãî騬®¡à §®¬: V (j)k1 = (�1)j+1 1Xs=0 f (j)s (x; z)I(k)s ; (20)
V (j)k2 = (�1)j 1Xs=0 f (j)s (x; z)C(k)s ; (j = 1; 2);£¤¥f (j)s (x; z) = g2s+1(x)ch ��2s+1 �z + (�1)jhj��b�2s+1sh (�2s+1hj) ;I(k)s = 28<: aZ0 vk(x)g2s+1(x)dx+ bZa uk(x)g2s+1(x)dx9=;;C(k)s = 1Xp=1Z(k)p ap;2s+1;ap;2s+1 = (�1)s+1 2a2p�� (p+ 1=2)(2p� 1)�z2s+12 �p�1 Jp(z2s+1);z2s+1 = �a(2s+ 1)2b :�¤¥áì �(x) { £ ¬¬ -äãªæ¨ï, Jp(x) { äãªæ¨ï �¥á-á¥«ï ¯¥à¢®£® த ¨ p{®£® ¯®à浪 .�ਠ¢ë¢®¤¥ ¢ëà ¦¥¨©, áâ®ïé¨å ¢ (20), ¡ë« ¨á-¯®«ì§®¢ ®¯à¥¤¥«¥ë© ¨â¥£à « �ã áá® [11].�«ï ¨â¥£à «®¢ I(k)s ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ï¢ë¥ ¢ëà -¦¥¨ï, ª®â®àë¥ §¤¥áì ¥ ¯à¨¢®¤ïâáï ¢ á¨«ã ¨å £à®-¬®§¤ª®áâ¨.�§ ãá«®¢¨ï ¥¯à¥à뢮á⨠äãªæ¨© V (1)k (x; z) ¨V (2)k (x; z) ᬥ¦®© «¨¨¨
0 ¯®¤®¡« á⥩ G1 ¨G2 ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãîéãî ¥®¤®à®¤ãî «£¥¡à ¨-ç¥áªãî á¨á⥬㠮â®á¨â¥«ì® ¯®áâ®ïëå Z(k)p :1Xp=1Z(k)p �pq =
(k)q ; (q = 1; 2; : : :); (21)£¤¥ �pq = 1Xs=0 ap;2s+1aq;2s+1b�2s+1 �� [cth (�2s+1h1) + cth (�2s+1h2)] ;
(k)q = 1Xs=0 I(k)s aq;2s+1b�2s+1 [cth (�2s+1h1) + cth (�2s+1h2)]:� ª¨¬ ®¡à §®¬, à¥è¥¨¥ ªà ¥¢ëå § ¤ ç (14) ¤«ïäãªæ¨© Vk(x; z) ᢥ«®áì, ¢ ®á®¢®¬, ª à¥è¥¨îk ¥®¤®à®¤ëå «£¥¡à ¨ç¥áª¨å á¨á⥬ á ®¤¨ -ª®¢®© ¬ âà¨æ¥© ¯à¨ ¥¨§¢¥áâëå ¨ á k ¯à ¢ë¬¨ç áâﬨ.�®¡¨à ï ¯®«ãç¥ë¥ १ã«ìâ âë, â ª¦¥ ãç¨-âë¢ ï à¥è¥¨¥ ¤«ï ¢®«®¢ëå äãªæ¨© 'n(x; z), ¯®-«ã祮¥ ¢ à ¡®â¥ [9], ©¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ¢ëà ¦¥-¨ï ¤«ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ ãà ¢¥¨© (11) ¨ (12):�m = 2l24�0�0 1Xi=1 �y(m)i �2N2i + � 1Xi;j=1 y(m)i y(m)j bij35 ;�. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª® 15
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 23�nm = ��nl 1Xk=1y(m)k 24 1Xs=0 �C(k)s � I(k)s �a(n)2s+1b�2s+1sh (�2s+1h1)d(n)2s+135;�n = l�n2b 1Xs=0"a(n)2s+1d(n)2s+1#2; a(n)2s+1 = 1Xp=0X(n)p ap;2s+1;(22)d(n)2s+1 = �2s+1sh (�2s+1h1)� �nch (�2s+1h1);bkl = 12 1Xs=0 I(k)sb�2s+1 [cth (�2s+1h1)++cth (�2s+1h2)]�I(l)s �C(l)s � :�®íää¨æ¨¥âë bkl ¡ë«¨ ¯à¨¢¥¤¥ë ª ¢¨¤ã, ¯®§¢®-«ïî饬㠯஢®¤¨âì ¡®«¥¥ íä䥪⨢®¥ ¨å ¢ëç¨-á«¥¨¥.2. ����������� ��������� �����-������� ������� ��� ��������-������ �������� ��������ãáâì à áᬠâਢ ¥¬ë© á®áã¤, ç áâ¨ç® § ¯®«-¥ë© ¨¤¥ «ì®© ¨ ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâìî, á®-¢¥àè ¥â § ¤ ®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¢ ¯®áâ®ï®¬ ¯®«¥¬ áᮢëå ᨫ. �® ᢮¥¬ã ᮤ¥à¦ ¨î à áᬠ-âਢ ¥¬ ï § ¤ ç ®â®á¨âáï ª ¯¥à¢®© § ¤ ç¥ ¤¨- ¬¨ª¨ ¬¥å ¨ç¥áª®© á¨á⥬ë "⥫®{¦¨¤ª®áâì"¨ á®á⮨⠢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ á¢ï§ ëå ¤¢¨¦¥¨©¦¨¤ª®á⨠¨ ã¯àã£¨å ¯¥à¥£®à®¤®ª, ¢ë§ë¢ ¥¬ë夢¨¦¥¨¥¬ á®á㤠, â ª¦¥ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨åᨫ ¨ ¬®¬¥â®¢, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ¯à¨ í⮬ á®-áã¤. �¥âà «ìë¬ ¢®¯à®á®¬ §¤¥áì ï¥âáï ¢®-¯à®á ®¡ ®âë᪠¨¨ ¯®â¥æ¨ « ᬥ饨© ¦¨¤ª®-á⨠¨ ã¯àã£¨å ¯¥à¥¬¥é¥¨© ¯¥à¥£®à®¤®ª ¢ à áᬠ-âਢ ¥¬®¬ á®á㤥.�ਠ®¯¨á ¨¨ ¤¢¨¦¥¨ï à áᬠâਢ ¥¬®© ¬¥å -¨ç¥áª®© á¨á⥬ë, ª ª ¨ à ¥¥, ¡ã¤¥¬ ¯®«ì§®¢ âì-áï £¨¯®â¥§ ¬¨ ¬ «®á⨠¯ à ¬¥â஢ ¤¢¨¦¥¨ï. � -àï¤ã á á¨á⥬®© ª®®à¤¨ â Oxyz, ¥¨§¬¥® á¢ï-§ ®© á á®á㤮¬, ¢¢¥¤¥¬ ¢ à áᬮâ२¥ ¡á®-«îâãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â O�x�y�z�. � ç «ì-ë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ®¡¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â á®-¢¯ ¤ îâ. �¢¨¦¥¨¥ ¥¬ª®á⨠¡ã¤¥¬ å à ªâ¥à¨§®-¢ âì ¢¥ªâ®à®¬ ¬ «®£® ¯¥à¥¬¥é¥¨ï ~u(t) â®çª¨ O®â®á¨â¥«ì® O� ¨ ¢¥ªâ®à®¬ ¬ «®£® ¯®¢®à®â ~�¯®¤¢¨¦®© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ®â®á¨â¥«ì® ¥-¯®¤¢¨¦®©.�ਠ¬ «ëå ¤¢¨¦¥¨ïå ç áâ¨æ ¦¨¤ª®á⨠¨ áâ¥-®ª ¯®«®á⨠£à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ᬥ饨© ¦¨¤ª®á⨠¢ § ¤ ç¥ ® ¢ë㦤¥ëå ª®-«¥¡ ¨ïå ¬¥å ¨ç¥áª®© á¨áâ¥¬ë ¬®¦® áä®à¬ã«¨-
஢ âì ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥:�@2�@t2 + g@�@z �� = 0; (23)@�@� �����S = ~u � ~� + �~�� ~r� � ~�; (24)@�@� �����S(j)0 = ~u � ~� + �~� � ~r� � ~� � w(j); (j = 1; 2);£¤¥ ~r { à ¤¨ãá-¢¥ªâ®à ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¨ ¢ ¯®-¤¢¨¦®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â; S(j)0 (j = 1; 2) { ¯®-¢¥àå®á⨠ã¯àã£¨å ¯¥à¥£®à®¤®ª. � ª¨ ¯à¨ ¯à®-£¨¡ å ¯¥à¥£®à®¤®ª w(j) ¢ë¡¨à îâáï ¢ § ¢¨á¨¬®á⨮â ⮣®, ᮢ¯ ¤ ¥â ¨«¨ ¥â ¯à ¢«¥¨¥ ®àâ ~� ᯮ«®¦¨â¥«ìë¬ ¯à ¢«¥¨¥¬ ®á¨ Oz. � ¯¥à¢®¬á«ãç ¥ ¡¥à¥âáï ¢¥à娩 § ª, ¢® ¢â®à®¬ { ¨¦¨©(§ ¯®«®¦¨â¥«ìë© ¯à®£¨¡ ¯« á⨪¨ ¯à¨ïâ ¥¥¯à®£¨¡ ¢ ®âà¨æ ⥫ìãî áâ®à®ã ®á¨ Oz).� áᬮâਬ ¤ «¥¥ § ¤ çã ® ¢ë㦤¥ëå ª®-«¥¡ ¨ïå ¦¨¤ª®á⨠¨ ¯¥à¥£®à®¤®ª ¯à¨ ¤¢¨¦¥¨¨¥¬ª®á⨠¢ ¯«®áª®á⨠O�x�z�. �®áâ㯠⥫ì륨 ¢à é ⥫ìë¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¥¬ª®á⨠¡ã¤¥¬ å à ª-â¥à¨§®¢ âì § ¤ 묨 ¢¥ªâ®à ¬¨ ~u fu(t); 0; 0g ¨~� f0;�; 0g ᮮ⢥âá⢥®. �®£¤ ª¨¥¬ â¨ç¥áª¨¥£à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ᬥ饨© ¦¨¤-ª®á⨠� ¯à¨¬ãâ ¢¨¤:@�@� �����S = u(t) cos(�; x)+�(t) (z cos(�; x)� x cos(�; z)) ;(25)@�@z �����S(j)0 = u(t) cos(�; x) + �(t) (z cos(�; x)��x cos(�; z))�w(j) (j = 1; 2):�।áâ ¢¨¬ ¨áª®¬ë© ¯®â¥æ¨ « ᬥ饨© ¦¨¤-ª®á⨠� ¢ ¢¨¤¥� = u(t)x+ �(t)
+ 1Xn=1 pn(t)'n + ; (26)£¤¥ 'n { ᮡáâ¢¥ë¥ äãªæ¨¨ ®¤®à®¤®© £à ¨ç-®© § ¤ ç¨ (4). � í⮬ ¢ëà ¦¥¨¨ âਠ¯¥à¢ëåá« £ ¥¬ëå ¯à¥¤ § ç¥ë ¤«ï ®¯¨á ¨ï ¤¢¨¦¥¨ï¦¨¤ª®á⨠¢ ¯®¤¢¨¦®¬ á®á㤥 á ¦¥á⪨¬¨ ¯¥à¥£®-தª ¬¨, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¯®á«¥¤¥¥ á« £ ¥¬®¥ á¢ï-§ ® ᮠᬥ饨ﬨ ¦¨¤ª®á⨠§ áç¥â ã¯àã£¨å ¤¥-ä®à¬ 権 ¯¥à¥£®à®¤®ª.�®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ãà ¢¥¨ï (26) ¢ (25) ¤«ïäãªæ¨©
¨ ¬®¦® áä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãî騥ªà ¥¢ë¥ § ¤ ç¨:�
(x; y; z) = 0; (x; y; z) 2 Q; (27)16 �. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 23@
@� �����S[�[S(j)0 = z cos(�; x)� x cos(�; z);� (x; y; z) = 0; (x; y; z) 2 Q; (28)@ @� �����S[� = 0; @ @z �����S(j)0 = �w(j):� ª ª ª £à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï äãªæ¨¨
¥§ ¢¨áï⠮⠪®®à¤¨ âë y, â®
¬®¦® à áᬠ-âਢ âì ª ª ¤¢ã¬¥àãî £ ମ¨ç¥áªãî äãªæ¨î,®¯à¥¤¥«¥ãî ¢ ®¡« á⨠¯®¯¥à¥ç®£® á¥ç¥¨ï ¯®-«®áâ¨. � á¢®î ®ç¥à¥¤ì ¯à¨ à áᬠâਢ ¥¬ëå ¤¢¨-¦¥¨ïå á®á㤠£¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ ¯¥-ॣ®à®¤ª¨ ¡ã¤¥â ¥ç¥â®© äãªæ¨¥© ¯® ª®®à¤¨ -⥠x ¨ ¥ ¡ã¤¥â § ¢¨á¥âì ®â ª®®à¤¨ âë y. � á¢ï§¨á í⨬ ¯¥à¥£®à®¤ª¨ ¡ã¤ãâ ¤¥ä®à¬¨à®¢ âìáï ¤à㣠ª¤àã£ã â¨á¨¬¬¥âà¨çë¬ ®¡à §®¬ ¨ ¯à®£¨¡ ®¤®©¯« á⨪¨ ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«ïâìáï ¨§ ãà ¢¥¨ïD@4w@x4 + �0�0 @2w@t2 = ���@2�+@t2 � @2��@t2 �; (29)£¤¥ �+ ¨ �� { § ç¥¨ï ¯®â¥æ¨ « ᬥ饨© ¦¨¤-ª®á⨠¢¥à奩 ¨ ¨¦¥© áâ®à® å ¯¥à¥£®à®¤ª¨.� ãà ¢¥¨ï¬ (29) ¥®¡å®¤¨¬® ¥é¥ ¤®¡ ¢¨âì£à ¨çë¥ ãá«®¢¨ï ¦¥á⪮£® § 饬«¥¨ï ªà ï ¯« -áâ¨ë ¯à¨ x = b ¨ ᢮¡®¤®£® ªà ï ¯à¨ x = a.� ª ¨ à ¥¥, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ á®áâ ¢«ïîéãî ¯®â¥-æ¨ « ᬥ饨© ¦¨¤ª®áâ¨, ®¡ãá«®¢«¥ãî ã¯àã-£¨¬¨ ¤¥ä®à¬ æ¨ï¬¨ ¯¥à¥£®à®¤®ª, ¨ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï¯« á⨪¨ ¢ ¢¨¤¥ à §«®¦¥¨ï ¯® ᮡá⢥ë¬äãªæ¨ï¬ § ¤ ç¨ (5): = 1Xm=1 qm(t) m(x; z);w = 1Xm=1 qm(t)wm(x): (30)�®«ã祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ᬥé¥-¨© ¦¨¤ª®á⨠¤®«¦® 㤮¢«¥â¢®àïâì ¤¨ ¬¨ç¥áª®-¬ã £à ¨ç®¬ã ãá«®¢¨î ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨦¨¤ª®á⨠(23), ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ¯à®£¨¡ë ¯« á⨮ª{ ãà ¢¥¨î (29). �®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ¢ëà ¦¥¨©(26) ¨ (30) ¢ 㪠§ ë¥ ãà ¢¥¨ï ¨ ¢ë¯®«¥¨ï «®£¨çëå ®¯¥à 権, çâ® ¨ ¯à¨ ¯®«ã票¨ ãà ¢-¥¨© (11) ¨ (12), ¯®«ã稬 á«¥¤ãîéãî ¥®¤®à®¤-ãî á¨á⥬ã ãà ¢¥¨© ®â®á¨â¥«ì® ¯ à ¬¥â஢pn(t) ¨ qm(t):�n ��pn + �2npn�+ 1Xm=1 �qm�nm = ��n�u��0n ��+g��n;(31)�m � �qm +
2mqm� + 1Xn=1 �pn�nm = ��0m ��;
£¤¥ �n = � Z� x@'n@z dS; �0n = � Z�
@'n@z dS;�0m = 2l� bZa �
+ �
��wmdx = 2l� Z
+[
�
@ m@� dS:�¤¥áì
+ ;
� { ãá«®¢® ¢¢¥¤¥ë¥ ¢¥àåïï ¨ ¨¦-ïï áâ®à®ë ®â१ª
.�®íää¨æ¨¥âë ãà ¢¥¨© �n; �m ¨ �nm à ¥¥®¯à¥¤¥«ï«¨áì ä®à¬ã« ¬¨ ¨§ (11) ¨ (12).� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ á«ãç ¥ § ¤ ®£® ¤¢¨¦¥¨ï¥¬ª®á⨠¤¢¨¦¥¨¥ ¦¨¤ª®á⨠¨ ã¯àã£¨å ¯¥à¥£®à®-¤®ª ¢ ¥© ¢ «¨¥©®¬ ¯à¨¡«¨¦¥¨¨ ¬®¦® à á-áç¨â âì, ¨â¥£à¨àãï á¨á⥬㠤¨ää¥à¥æ¨ «ìëåãà ¢¥¨© (31) ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç «ìëåãá«®¢¨ïå ¨«¨ ãá«®¢¨ïå ¯¥à¨®¤¨ç®áâ¨. �®íää¨-樥âë íâ¨å ãà ¢¥¨© ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨áå®¤ï ¨§à¥è¥¨© «¨¥©®© ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ® ᮡá⢥ë媮«¥¡ ¨ïå ¦¨¤ª®á⨠¢ á®á㤥 á ¦¥á⪨¬¨ ¯¥à¥£®-தª ¬¨, ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¯®â¥æ¨- « �⮪á {�㪮¢áª®£® (27) ¨ § ¤ ç¨ ® ᮡá⢥-ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¯¥à¥£®à®¤®ª ¢ ¥¬ª®á⨠¯à¨ § 饬-«¥®© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠(5).�®íää¨æ¨¥âë �n ¨ �0n ¡ë«¨ ©¤¥ë à ¥¥ ¢à ¡®â¥ [9]. �®í⮬㠮¯à¥¤¥«¥¨î ¯®¤«¥¦¨â ⮫쪮ª®íää¨æ¨¥â �0m. � ãç¥â®¬ ä®à¬ã« (13) ¨ ¯à¥¤-áâ ¢«¥¨ï ¤«ï ¯®â¥æ¨ « �⮪á {�㪮¢áª®£® ¨§[9] ¯®«ãç ¥¬:�0m = �4l�b 1Xk=1y(m)k 1Xs=0 �I(k)s �C(k)s ��32s+1 �� �ch (�2s+1h1)� 1sh (�2s+1h1) + ch (�2s+1h2)� 1sh (�2s+1h2) �: (32)�®á«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï á¨áâ¥¬ë ¤¨ää¥à¥æ¨ «ì-ëå ãà ¢¥¨© (31) ¬®¦® ¯¥à¥©â¨ ª ®¯à¥¤¥«¥¨îᨫ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¬¥¦¤ã á®á㤮¬ ¨ ç áâ¨ç® § -¯®«ïî饩 ¥£® ¦¨¤ª®áâìî.� ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ᨫ®¢ë¥ ¢§ ¨¬®¤¥©áâ¢¨ï ¦¨¤ª®-á⨠¨ ¥¬ª®á⨠᢮¤ïâáï ª á㬬 ன £¨¤à®¤¨ ¬¨-ç¥áª®© ᨫ¥ ~P ¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®¬ã ¬®¬¥âã ~M®â®á¨â¥«ì® ç « ª®®à¤¨ â [12]:~P = ZS p~�dS; ~M = ZS (~r � p~�)dS; (33)£¤¥ ~� { ®àâ ¢¥è¥© ®à¬ «¨ ª ᬮ祮© ¯®¢¥àå-®á⨠S.�ਠ¬ «ëå ¤¢¨¦¥¨ïå á®á㤠¢ ¯«®áª®áâ¨O�x�z� ¢¥«¨ç¨ë ¯®¯¥à¥ç®© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®©�. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª® 17
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 23ᨫë Px� ¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¬®¬¥â My ®â-®á¨â¥«ì® ®á¨ Oy, ¢ëà ¦¥ë¥ ¢ ¯®¤¢¨¦®© á¨-á⥬¥ ª®®à¤¨ â, á â®ç®áâìî ¤® ¬ «ëå ¢¥«¨ç¨¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¢¨¤Px� = ZS p cos(�; x)dS; (34)My = ZS p [z cos(�; x)� x cos(�; z)] dS:�¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ p, ¢å®¤ï饥 ¢ ¢ëà ¦¥-¨ï (34), ¬®¦® ¥¯®á।á⢥® ©â¨ ¨§ ¨â¥-£à « � £à ¦ {�®è¨ (1):p = ��@2�@t2 = �� �ux+ ��
+ 1Xn=1 �pn'n++ 1Xm=1 �qm m! : (35)�®¤áâ ¢«ïï ¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ¤ ¢«¥¨¥ (35) ¢ ¢ëà -¦¥¨¥ (34) ¤«ï Px� , ¯®«ãç ¥¬:Px� = ��u� ZS x cos(�; x)dS � ��� ZS
cos(�; x)dS��� 1Xn=1 �pn ZS 'n cos(�; x)dS� (36)�� 1Xm=1 �qm ZS m cos(�; x)dS:�â¥£à «ë, ¢å®¤ï騥 ¢ (36), á ¯®¬®éìî ä®à¬ã-«ë � ãáá {�áâà®£à ¤áª®£® ¬®¦® ¯à¥®¡à §®¢ âìª á«¥¤ãî饬㠢¨¤ã:� ZS x cos(�; x)dS = � ZS[� x@x@� dS = � ZQ dQ = m;� ZS
cos(�; x)dS = � ZQ zdQ = mzG;� ZS 'n cos(�; x)dS = � ZS[� x@'n@� dS = �n;� ZS m cos(�; x)dS = � ZS[� x@ m@� dS = 0;£¤¥ zG = RQ zdQQ
{ª®®à¤¨ â æ¥âà ¬ áá § ⢥थ¢è¥© ¦¨¤ª®áâ¨;m { ¬ áá ¦¨¤ª®áâ¨.� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®¯¥à¥ç ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª ïᨫ Px� , ¤¥©áâ¢ãîé ï ¥¬ª®áâì, ¯à¨¬¥â ¢¨¤Px� = ��um� ��mzG � 1Xn=1�n�pn: (37)� ãç¥â®¬ ¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¤ ¢«¥¨ï (35) ¤«ï My¯®«ã稬My = ��u� ZS[� x [~r � ~�]y dS � ��� ZS[�
[~r � ~�]y dS��� 1Xn=1 �pn ZS[� 'n [~r � ~�]y dS� (38)�� 1Xm=1 �qm ZS[� m [~r � ~�]y dS;£¤¥ [~r � ~�]y { ¯à®¥ªæ¨ï ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ®áì Oy.�â¥£à «ë, ¢å®¤ï騥 ¢ ãà ¢¥¨¥ (38), ¯à¥-®¡à §ãîâáï ª á«¥¤ãî饬㠢¨¤ã:� ZS[� x [z cos(�; x)� x cos(�; z)]dS = mzG;� ZS[�
[~r � ~�]y dS = � ZS[�
@
@� dS = I;� ZS[� 'n [~r � ~�]y dS = � Z�
@'n@� dS = �0n;� ZS[� m [~r � ~�]y dS = � ZS[� m @
@� dS = �0m:� ãç¥â®¬ íâ¨å ¢ëà ¦¥¨© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª¨©¬®¬¥â ®â®á¨â¥«ì® ®á¨ Oy ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤My = ��umzG � ��I � 1Xn=1 �pn�0n� 1Xm=1 �qm�0m: (39)�®¦¨â¥«ì ¯à¨ �� ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯à¨á®-¥¤¨¥ë© ¬®¬¥â ¨¥à樨 ¦¨¤ª®áâ¨, ¢¢¥¤¥ë©�. �. �㪮¢áª¨¬ [13].� ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®á«¥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï £¨¤à®¤¨ ¬¨-ç¥áª¨å ª®íää¨æ¨¥â®¢ �n; �0n; �n; I; �m; �0m; �nm¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï á¨áâ¥¬ë ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëåãà ¢¥¨© (31) ¯à¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç «ìëåãá«®¢¨ïå ®âªàë¢ ¥âáï ¢®§¬®¦®áâì ®¯à¥¤¥«¥¨ïᨫ®¢®£® ¨ ¬®¬¥â®£® ¢®§¤¥©áâ¢¨ï ¦¨¤ª®á⨠¥¬ª®áâì ¯à¨ § ¤ ®¬ ¤¢¨¦¥¨¨ ¯®á«¥¤¥©.18 �. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 233. ��������� ���������� �����-��� ���� � ��������, �������� ��-�������������������ãáâì ¨¬¥¥âáï ⢥म¥ ⥫® á ¤¢ã¬ï ¯«®áª®áâﬨ£¥®¬¥âà¨ç¥áª®© ¨ ¬ áᮢ®© ᨬ¬¥âਨ Oxz ¨ Oyz,ª®â®àë¥ ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ᮢ¯ ¤ îâ á ¯«®á-ª®áâﬨ O�x�z� ¨ O�y�z� ¥¯®¤¢¨¦®© á¨á⥬몮®à¤¨ â O�x�y�z�. �ãáâì ⢥म¥ ⥫® ¨¬¥¥â¯®«®áâì ¢ ä®à¬¥ ¯àאַ㣮«ì®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥-¤ á ã¯à㣨¬¨ ¯¥à¥£®à®¤ª ¬¨, ª®â®à ï ç áâ¨ç®§ ¯®«¥ ¨¤¥ «ì®© ¨ ¥á¦¨¬ ¥¬®© ¦¨¤ª®áâìî.�।¯®«®¦¨¬, ç⮠⢥म¥ ⥫® ¤¥©áâ¢ã¥â ¢ -¯à ¢«¥¨¨ ®á¨ O�x� á㬬 à ï ¢¥èïï ᨫ P (0)x�¨ á㬬 àë© ¯®¯¥à¥çë© ¬®¬¥â M (0)Oy ¢¥è¨åᨫ ®â®á¨â¥«ì® ®á¨ Oy. �ॡã¥âáï ®¯à¥¤¥«¨â줢¨¦¥¨¥ à áᬠâਢ ¥¬®© ¬¥å ¨ç¥áª®© á¨áâ¥-¬ë ¢ ¯à¥¤¯®«®¦¥¨¨, çâ® ¢ë¯®«ïîâáï ¢á¥ ¢¢¥¤¥-ë¥ ¢ëè¥ ¤®¯ãé¥¨ï ®â®á¨â¥«ì® ᢮©á⢠¦¨¤-ª®á⨠¨ å à ªâ¥à ¤¢¨¦¥¨ï ¯®«®áâ¨, ¯¥à¥£®à®¤®ª¨ ¦¨¤ª®áâ¨. � áᬠâਢ ¥¬ ï § ¤ ç ®â®á¨âá类 ¢â®à®© § ¤ ç¥ ¤¨ ¬¨ª¨ ⥫ á ¦¨¤ª®áâìî.� ª ¨ à ¥¥, ¤¢¨¦¥¨¥ ⥫ ¡ã¤¥¬ å à ªâ¥à¨-§®¢ âì ¬ «ë¬¨ ¯¥à¥¬¥é¥¨ï¬¨ â®çª¨ O ®â®á¨-â¥«ì® â®çª¨ O� ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ®á¨ O�x� ¨ ¬ «ë¬ã£«®¬ ¯®¢®à®â � ⥫ ®â®á¨â¥«ì® ®á¨ Oy, ª®-â®àë¥ ¯®¤«¥¦ â ®¯à¥¤¥«¥¨î ¢ ¤ «ì¥©è¥¬. �®-â¥æ¨ « ᬥ饨© ¦¨¤ª®á⨠� ¤®«¦¥ 㤮¢«¥â¢®-àïâì ⥬ ¦¥ ãà ¢¥¨ï¬ ¨ £à ¨çë¬ ãá«®¢¨ï¬,çâ® ¨ ¢ á«ãç ¥ ¢ë㦤¥ëå ¤¢¨¦¥¨© ¯®«®áâ¨.�®í⮬㠯।áâ ¢¨¬ ¥£® ¢ á«¥¤ãî饩 ä®à¬¥:� = u(t)x+�(t)
+ 1Xn=1 pn(t)'n+ 1Xm=1 qm(t) m: (40)�¢ á®®â®è¥¨ï ®â®á¨â¥«ì® ¨áª®¬ëå ®¡®¡-é¥ëå ª®®à¤¨ â ¬®¦® ¯®«ãç¨âì, ¨á¯®«ì§®¢ ¢¤¨ ¬¨ç¥áª®¥ ãá«®¢¨¥ ¤«ï ¯®â¥æ¨ « ᬥ饨©¦¨¤ª®á⨠¥¥ ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¨ ãà ¢¥-¨¥ ¤«ï ¯¥à¥¬¥é¥¨© ¯¥à¥£®à®¤®ª. �¨ ¯®«®-áâìî ᮢ¯ ¤ îâ á à ¥¥ ¯®«ãç¥ë¬¨ á®®â®è¥-¨ï¬¨ (31).�®á«¥¤¨¥ ¤¢ ãà ¢¥¨ï ¬®¦® ¯®«ãç¨âì à §-«¨ç묨 ᯮᮡ ¬¨ ®á®¢ ¨¨ ®¡é¨å ⥮६ «¨â¨ç¥áª®© ¬¥å ¨ª¨. �¤ ª® ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥,ª®£¤ ¨¬¥îâáï ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®©á¨«ë P (0)x� (37) ¨ £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥áª®£® ¬®¬¥â My(39), ¨¡®«¥¥ 㤮¡® ¡ã¤¥â ¯®«ãç¨âì ãà ¢¥¨ï¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ â¥®à¥¬ë ®¡ ¨§¬¥¥¨¨ ª®«¨ç¥-á⢠¤¢¨¦¥¨ï ¨ ª¨¥â¨ç¥áª®£® ¬®¬¥â . � «¨¥©-®© ¯®áâ ®¢ª¥ § ¤ ç¨ í⨠ãà ¢¥¨ï ¨¬¥îâ ¢¨¤dK0dt = Px� + P (¢)x� ; dN0dt = M0 +My +M (¢)y +M (á)y ;(41)
£¤¥ Px� ¨ P (¢)x� { á㬬 à ï ¯®¯¥à¥ç ï £¨¤à®¤¨- ¬¨ç¥áª ï ᨫ , ¤¥©áâ¢ãîé ï á⥪¨ ¯®«®áâ¨,¨ á㬬 à ï ¯®¯¥à¥ç ï ¢¥èïï ᨫ , ¯à¨«®¦¥- ï ª ⥫ã; M0;My; M (¢)y ;M (á)y { áâ â¨ç¥áª¨© ¬®-¬¥â ⢥म£® ⥫ , ¯®¯¥à¥çë© £¨¤à®¤¨ ¬¨ç¥-᪨© ¬®¬¥â, ¯®¯¥à¥çë© ¬®¬¥â ¢¥è¨å ᨫ,£¨¤à®áâ â¨ç¥áª¨© ¬®¬¥â ®â®á¨â¥«ì® ®á¨ Oy.�¥à¢®¥ ãà ¢¥¨¥ (41) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ãà ¢-¥¨¥ ᨫ ¢ ¯à®¥ªæ¨¨ ®áì Ox�, ¢â®à®¥ { ãà ¢-¥¨¥ ¬®¬¥â®¢ ®â®á¨â¥«ì® ¯à®¤®«ì®© ®á¨ Oy.� ¯¥à¢®© ä®à¬ã«¥ (41) ¡ë«® ãç⥮, çâ® ¯à¨à -饨¥ ¢¥ªâ®à £¨¤à®áâ â¨ç¥áª¨å ᨫ § áç¥â ¨§-¬¥¥¨ï ª®®à¤¨ âë z� â®ç¥ª á⥮ª ¯®«®á⨠¯à¨¥¥ ¯®¢®à®â¥ ¨ ¤¥ä®à¬ 樨 ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨦¨¤ª®áâ¨ à ¢® ã«î.�®«¨ç¥á⢮ ¤¢¨¦¥¨ï K0 ¨ ª¨¥â¨ç¥áª¨© ¬®-¬¥â N0 ⢥म£® ⥫ ®â®á¨â¥«ì® ®á¨ Oy ¡ã¤ãâK0 = m0 _u+m0zC _�; N0 = I0 _� +m0zC _u; (42)£¤¥ m0; I0; zC { ¬ áá , ¬®¬¥â ¨¥à樨 ¨ ª®®à¤¨ -â æ¥âà â殮á⨠⢥म£® ⥫ ᮮ⢥âá⢥®.� á¢®î ®ç¥à¥¤ì,M (á)y =M (á)y1 +M (á)y2 ; (43)£¤¥ M (á)y1 ¨ M (á)y2 { ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ¬®¬¥âë ®â®-á¨â¥«ì® ®á¨ Oy £¨¤à®áâ â¨ç¥áª¨å ᨫ, ¤¥©áâ¢ãî-é¨å ⥫® ᮮ⢥âá⢥® § áç¥â ¤¥ä®à¬ 樨᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠¨ ¯à¨ ¥£® ¬ «®¬¯®¢®à®â¥ 㣮« �.�«ï ⮣®, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¬®¬¥â M (á)y1 , ¤®-áâ â®ç® § ¯¨á âì í«¥¬¥â àë© ¬®¬¥â ®â ¢¥á 樫¨¤à á ¯«®é ¤ìî ®á®¢ ¨ï dS ¨ ¢ëá®â®©� = 1Xn=1pn(t)@'n@x®â®á¨â¥«ì® ®á¨ Oy ¨ ¯à®¨â¥£à¨à®¢ âì ¯® ¥-¢®§¬ã饮© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®áâ¨. �ਠí⮬¯®«ã稬 M (á)y1 = g 1Xn=1pn(t)�n: (44)�®¯®«¨â¥«ìë© ¬®¬¥â ®â®á¨â¥«ì® ®á¨ Oy£¨¤à®áâ â¨ç¥áª¨å ᨫ ¯à¨ ¯®¢®à®â¥ ⥫ ¢®ªà㣮ᨠOy ¬ «ë© 㣮« � ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥M (á)y2 = �gmzG�: (45)�®¤áâ ¢«ïï ¢ ãà ¢¥¨ï (41) ¢ëà ¦¥¨ï (42){(45), (37) ¨ (39), â ª¦¥ áâ â¨ç¥áª¨© ¬®¬¥â⢥म£® ⥫ ®â®á¨â¥«ì® ®á¨ OyM0 = �gm0z��; (46)�. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª® 19
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 23¯®«ã稬(m0 +m) �u+ 1Xn=1 �pn�n + (m0 +m) z(s)C �� = P (¢)x� ;(I0 + I) �� + (m0 +m) z(s)C (�u+ g�) + 1Xn=1 �pn�0n+(47)+ 1Xm=1 �qm�0m � g 1Xn=1 �pn�n = M (¢)y ;£¤¥ z(s)C = m0zC +mzGm0 +m{ ª®®à¤¨ â æ¥âà ¬ áá á¨á⥬ë "⥫®{§ ⢥थ¢è ï ¦¨¤ª®áâì".� «ì¥©è¥¥ ã¯à®é¥¨¥ ãà ¢¥¨© (47) ¬®¦®¯à®¢¥á⨠§ áç¥â ¢ë¡®à ç « á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨- â. �®¢¬¥á⨢ ç «® ª®®à¤¨ â á æ¥â஬ ¬ áá¢á¥© á¨áâ¥¬ë ¨ ¤®¡ ¢¨¢ ª ãà ¢¥¨ï¬ (47) ãà ¢-¥¨ï (31), á¨á⥬ ãà ¢¥¨©, ®¯¨áë¢ îé ï ¯®-¯¥à¥çë¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¢ ¯«®áª®á⨠O�x�z� ¬¥å ¨ç¥-᪮© á¨á⥬ë "⥫®{¦¨¤ª®áâì{ã¯à㣨¥ ¯¥à¥£®à®¤-ª¨", ¯à¨¬¥â ¢¨¤(m0 +m) �u+ 1Xn=1 �pn�n = P (¢)x� ;(I0 + I) �� + 1Xn=1 �pn�0n + 1Xm=1 �qm�0m � g 1Xn=1 �pn�n =(48)=M (¢)y ;�n ��pn + �2npn�+ 1Xm=1 �qm�nm+�n�u+�0n ���g�n� = 0;�m ��qm +
2mqm�+ 1Xn=1 �pn�nm + �0m �� = 0:�⬥⨬, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë ãà ¢¥¨© (48)®¯à¥¤¥«ïîâáï ç¥à¥§ ¨â¥£à «ìë¥ å à ªâ¥à¨-á⨪¨ ªà ¥¢ëå § ¤ ç ¤«ï ¯®â¥æ¨ « �⮪á {�㪮¢áª®£®, ® ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨ïå ¦¨¤ª®á⨢ ¯®«®á⨠¯à¨ ¡á®«îâ® ¦¥áâª¨å ¯¥à¥£®à®¤ª å ¨® ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨ïå ã¯àã£¨å ¯« á⨠¢ ¯®«®-á⨠¯à¨ § 饬«¥®© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤-ª®áâ¨. �ਠí⮬ ®¨ ¨¬¥îâ á«¥¤ãî騥 ¢ëà ¦¥-¨ï: �n = � Z� x@'n@� dS;�0n = � Z�
@'n@� dS;�n = � Z� 'n @'n@� dS; I = � ZS[�
@
@� dS;
�0m = 2l� Z
+[
�
@ m@� dS;�nm = � Z� @'n@� mdS;�m = 2l bZa ��0�0wm + � � +m � �m��wmdx:�®«ãç¥ë¥ ãà ¢¥¨ï ïîâáï ®¯à¥¤¥«¥ë¬®¡®¡é¥¨¥¬ ¨§¢¥áâëå ãà ¢¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï ⢥à-¤®£® ⥫ á ¦¨¤ª®áâìî [14] á«ãç © ¯®«®á⨢ ä®à¬¥ £®à¨§®â «ì® à ᯮ«®¦¥®£® 樫¨¤à á ã¯à㣨¬¨ à¥¡à ¬¨{¯¥à¥£®à®¤ª ¬¨ ¯à¨ ¤¢¨¦¥-¨¨ ¥¥ ¢ ¯®¯¥à¥ç®© ¯«®áª®á⨠O�x�z�. �¨ ¯®-§¢®«ïî⠯ਠ§ ¤ ¨¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ç «ì-ëå ãá«®¢¨© ®¯à¥¤¥«ïâì ¯ à ¬¥âàë ¤¢¨¦¥¨ï â¥-« , ¦¨¤ª®á⨠¨ ã¯àã£¨å ¯¥à¥£®à®¤®ª, ª®£¤ á¨áâ¥-¬ ᨫ, ¤¥©áâ¢ãîé¨å ⥫® ¢ ¯®¯¥à¥ç®© ¯«®á-ª®áâ¨, ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï § ¤ ®©.4. ���������� ���������ਠ¯à®¢¥¤¥¨¨ à áç¥â®¢ 㤮¡® ¯®«ì§®¢ âìáï¡¥§à §¬¥à묨 ¢¥«¨ç¨ ¬¨. �«ï í⮣®, ®¡®§ -稢 ç¥à¥§ R å à ªâ¥àë© «¨¥©ë© à §¬¥à ¯®-«®áâ¨, ¢¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騥 ¡¥§à §¬¥àë¥ ¢¥«¨ç¨ë,ª®â®àë¥ ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ç¥àâ®çª®© ᢥàåã:(x; y; z) = (�x; �y; �z)R; t = �tsRg ;(�2n;
2m) = (��2n; �
2m) gR ;� = ��R2;'n = �'nR;w = �wR;
= �
R2; = � R2:�®£¤ á¢ï§ì à §¬¥àëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ãà ¢¥-¨© (48) á ¡¥§à §¬¥à묨 ¡ã¤¥â ®áãé¥â¢«ïâìáï ¯®ä®à¬ã« ¬�n = �R3��n;�n = �R3��n;�0n = �R4��0n;I = �R5 �I ; �0m = �R5��0m; �nm = �R4 ��nm; (49)�m = �R5��m:� á¢®î ®ç¥à¥¤ì, «£¥¡à ¨ç¥áª ï á¨á⥬ (15)¤«ï ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯ à ¬¥â஢
2m ¨ ¯®áâ®ïëåy(m)l ¢ ¡¥§à §¬¥àëå ¢¥«¨ç¨ å ¯à¨¬¥â ¢¨¤�D�p4l �N2l y(m)l � �
2m "�0�0�R �N2l y(m)l + � 1Xk=1 y(m)k �bkl# = 0;(50)20 �. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 23!21;22.01.00.02.0 3.5 5.0 �0 � 104!22 !21
21�21�¨á. 1. � ¢¨á¨¬®áâì ®à¬ «ìëå ç áâ®â á¨á⥬ë®â ®â®á¨â¥«ì®© ⮫é¨ë ¯¥à¥£®à®¤®ª£¤¥ �D = E�gR ��0R�3 112(1� �2) ; �pl = Rpl;N2k = R3 �N2k ;Vk = �VkR2; bkl = R4�bkl:� å à ªâ¥àë© à §¬¥à ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬¯à¨¨¬ âì ¢¥«¨ç¨ã b.� ¡«¨æ 1k
21
221 0.001547 |2 0.001527 0.1103523 0.001526 0.1064584 0.001526 0.1063975 0.001526 0.106313� ¡«¨æ 2m
21
221 0.012357 |2 0.012193 0.8787943 0.012192 0.8479974 0.012191 0.8475155 0.012191 0.846850�ãáâì á¨á⥬ ¨¬¥¥â á«¥¤ãî騥 ¬¥å ¨ç¥áª¨¥¯ à ¬¥âàë: b = 1:0; d = 0:3; � = 0:34; �0=� = 2:7.� â ¡«. 1 ¯à¨¢¥¤¥ë १ã«ìâ âë à áç¥â®¢ ¯¥à¢ë夢ãå ç áâ®â
2m ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ª®«¨ç¥á⢠童-®¢ k ¢ à §«®¦¥¨ïå (13) ¯à¨ h1 = 0:5; �0 = 5�10�5.� ë¥ â ¡«. 2 ¯®ª §ë¢ îâ á室¨¬®áâì
2m ¢ § -¢¨á¨¬®á⨠®â ¯®à浪 m à¥è ¥¬®© «£¥¡à ¨ç¥-᪮© á¨á⥬ë (21) (h1 = 0:5; �0 = 10�5). �ë-áâà ï á室¨¬®áâì ç áâ®â ®¡êïáï¥âáï, ¢ ¯¥à¢ãî®ç¥à¥¤ì, ⥬ ®¡áâ®ï⥫ìá⢮¬, çâ® ¯à¨ ¯®áâ஥-¨¨ à¥è¥¨© ªà ¥¢ëå § ¤ ç (14) ãç¨âë¢ «¨áì ¨å¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ á¢®©á⢠¢¡«¨§¨ ®á®¡ëå â®ç¥ª£à ¨æë ®¡« áâ¨.� áᬮâਬ á ç « ᢮¡®¤ë¥ ¯®¯¥à¥çë¥ ª®-«¥¡ ¨ï ¦¨¤ª®á⨠¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¥¯®¤¢¨¦-®¬ á®á㤥 á ã¯à㣨¬¨ ¯¥à¥£®à®¤ª ¬¨. �¢ï§ -
ë¥ ¤¢¨¦¥¨ï ¦¨¤ª®á⨠¨ ã¯àã£¨å ¤¨ äà £¬ ®¯¨-áë¢ îâáï á¨á⥬®© ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©(11){(12). � «¥¥ ¡ã¤¥¬ ãç¨âë¢ âì «¨èì ®á®¢®©â® ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¨ ¯¥à¥£®à®¤®ª. �®£¤ ª¢ -¤à âë ç áâ®â à áᬠâਢ ¥¬®© ¬¥å ¨ç¥áª®© á¨-áâ¥¬ë ¡ã¤ãâ ®¯à¥¤¥«ïâìáï ¯® ä®à¬ã« ¬!21;2 = 12(1� �2)"��21 +
21���q(�21 +
21)2 � 4(1� �2)�21
21#; (51)£¤¥ �2 = �211=�1�1.� à¨á. 1 ¯à¨¢¥¤¥ë १ã«ìâ âë à áç¥â ª¢ -¤à ⮢ ®à¬ «ìëå ç áâ®â !21;2 ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â⮫é¨ë ¯¥à¥£®à®¤®ª �0. �§ à¨á㪠¢¨¤®, ç⮯ àæ¨ «ìë¥ ç áâ®âë 室ïâáï ¬¥¦¤ã ®à¬ «ì-묨. �ਠ�0 ! 0 ç áâ®â !1 áâ६¨âáï ª ¯¥à¢®©ç áâ®â¥ ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ ¨© ¯« á⨪¨ ¢ ¯®-«®áâ¨ á ¦¨¤ª®áâìî ¯à¨ § 饬«¥®© ¥¥ ᢮¡®¤®©¯®¢¥àå®áâ¨, !2 { ª ¯¥à¢®© ç áâ®â¥ ᮡá⢥ë媮«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯®«®áâ¨ á ¡á®«îâ® ¦¥áâ-ª¨¬¨ ¯¥à¥£®à®¤ª ¬¨.�¡é¥¥ à¥è¥¨¥ á¨á⥬ë ãà ¢¥¨© (11){(12)¯à¨ n = 1;m = 1 ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥p1(t) = P (1)1 sin(!1t+�1) +P (2)1 sin(!2t+�2); (52)q1(t) = Q(1)1 sin(!1t+ �1) +Q(2)1 sin(!2t+ �2):�®¤áâ ¢¨¢ ¢ëà ¦¥¨ï (52) ¤«ï ®¡®¡é¥ëå ª®-®à¤¨ â ¢ á¨á⥬ã (11){(12), ®¯à¥¤¥«¨¬ ®â®è¥-¨¥ ¬¯«¨â㤠P (1)1 =Q(1)1 ¨ P (2)1 =Q(2)1 , ᮮ⢥âáâ¢ã-îé¨å § ç¥¨ï¬ ç áâ®â £« ¢ëå ä®à¬ ª®«¥¡ ¨©:P (i)1Q(i)1 = (
21 � !2i )�1!2i �11 = !2i �11(�21 � !2i )�1 = 1ki (i = 1; 2):(53)�ç¨âë¢ ï, çâ® ¯ àæ¨ «ìë¥ ç áâ®âë á¨á⥬ë 室ïâáï ¬¥¦¤ã ®à¬ «ì묨, ¨§ ä®à¬ã« (53)§ ª«îç ¥¬, çâ® k1 > 0, k2 < 0. �«¥¤®¢ ⥫ì-®, ª®£¤ á¨á⥬ ᮢ¥àè ¥â ª®«¥¡ ¨ï á ç áâ®-⮩ !1 ¦¨¤ª®áâì ¨ ã¯à㣨¥ ¯« á⨪¨ ¤¢¨£ îâáï¢á¥ ¢à¥¬ï ¢ ®¤®© ä §¥. �®£¤ á¨á⥬ ᮢ¥àè -¥â ª®«¥¡ ¨ï á ç áâ®â®© !2, ¦¨¤ª®áâì ¨ ã¯à㣨¥à¥¡à ¤¢¨£ îâáï ¢á¥ ¢à¥¬ï ᮠᤢ¨£®¬ ä §ë 180�. �â®¡ë ¢ë§¢ âì ª ª¨¥-«¨¡® £« ¢ë¥ ª®«¥¡ -¨ï á¨á⥬ë, ¥®¡å®¤¨¬® § ¤ âì ¢ ç «¥ ®â®è¥-¨¥ ¬¥¦¤ã ¬¯«¨â㤠¬¨, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ®¤®-¬ã ¨§ ¢ëà ¦¥¨© (53), ¨ § ⥬ á¨á⥬ ¤®«¦ ¡ëâì ¯à¥¤®áâ ¢«¥ á ¬®© ᥡ¥ ¯à¨ ã«¥¢ëå -ç «ìëå ᪮à®áâïå.�. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª® 21
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 23k1.91.61.31.00.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 �0 � 104�21
21�¨á. 2. � ¢¨á¨¬®áâì ª®íää¨æ¨¥â k ®â®â®á¨â¥«ì®© ⮫é¨ë ¯¥à¥£®à®¤®ª
�P1; �Q1 �P1 �Q10 �P1�Q1!21 !22 !2�P1 �Q1
�¨á. 3. �¬¯«¨â㤮-ç áâ®âë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨¢ë㦤¥ëå ª®«¥¡ ¨©� áᬮâਬ ¤ «¥¥ ¥ª®â®àãî § ¤ çã �®è¨ ¨ãáâ ®¢¨¬ ¯à¨¬¥à¥ í⮩ § ¤ ç¨ £¥®¬¥âà¨-ç¥áª¨¥ ¨ 䨧¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë á¨á⥬ë, ¯à¨ª®â®àëå á«¥¤ã¥â ®¦¨¤ âì 㢥«¨ç¥¨¥ à áá¥ï¨ïí¥à£¨¨ ª®«¥¡«î饩áï ¦¨¤ª®á⨠¯® áà ¢¥¨î ᥥ à áá¥ï¨¥¬ ¢ ¯®«®áâ¨ á ¦¥á⪨¬¨ à¥¡à ¬¨{¯¥à¥£®à®¤ª ¬¨.�ãáâì ¢ ç «ìë© ¬®¬¥â ¢à¥¬¥¨ ¯¥à¥£®à®¤-ª¨ 室¨«¨áì ¢ ¯®«®¦¥¨¨ à ¢®¢¥á¨ï, ᢮¡®¤- ï ¯®¢¥àå®áâì ¦¨¤ª®á⨠¨¬¥« ä®à¬ã, á®®â-¢¥âáâ¢ãîéãî ¯¥à¢®© ä®à¬¥ ᮡá⢥ëå ª®«¥¡ -¨© ¦¨¤ª®á⨠¯à¨ ¡á®«îâ® ¦¥áâª¨å ¯¥à¥£®à®¤-ª å. � ç «ìë¥ ãá«®¢¨ï ¤«ï ®¡®¡é¥ëå ª®®à¤¨- â p1(t) ¨ q1(t), á«¥¤®¢ ⥫ì®, â ª®¢ë:p1(0) = 0:1; _p1(0) = 0; q1(0) = 0; _q1(0) = 0:�®£¤ , ¯®¤ç¨ïï ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ (52) í⨬ -ç «ìë¬ ãá«®¢¨ï¬ ¨ ãç¨âë¢ ï ¢ëà ¦¥¨ï (53),¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騥 ¢ëà ¦¥¨ï ¤«ï ®¡®¡é¥ë媮®à¤¨ â:p1(t) = 0:1k1 � k2 [k1 cos(!2t) � k2 cos(!1t)] ; (54)q1(t) = 0:2k1k2k1 � k2 sin !1 + !22 t sin !1 � !22 t:�¢¥¤¥¬ ¢ à áᬮâ२¥ ¥ª®â®àë© ª®íää¨æ¨¥âk: k = TR0 jvp(t)� vq(t)jdtTR0 jvg(t)jdt ; (55)£¤¥ vp(t) ¨ vg(t) { ᪮à®á⨠¦¨¤ª®á⨠㠪஬ª¨¯¥à¥£®à®¤ª¨ ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ®á¨ Oz ¯à¨ ã¯à㣮©¨ ¡á®«îâ® ¦¥á⪮© ¯« á⨠å ᮮ⢥âá⢥®;vq(t) { ᪮à®áâì ¤¢¨¦¥¨ï ªà®¬ª¨ ¯¥à¥£®à®¤ª¨;T = 2�=�1.
�祢¨¤®, çâ® ª®íää¨æ¨¥â k ¤®á⨣ ¥â ᢮¥£®¬ ªá¨¬ «ì®£® § ç¥¨ï ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ ¯« -á⨪ ¨ ¦¨¤ª®áâì § ¯¥à¨®¤ ¢à¥¬¥¨ T ¯à¥¨¬ã-é¥á⢥® ¤¢¨£ îâáï ¢ ¯à®â¨¢®ä §¥ ¤à㣠ª ¤àã£ã.� à¨á. 2 ¯®ª § § ¢¨á¨¬®áâì ª®íää¨æ¨¥â k ®â ⮫é¨ë ¯¥à¥£®à®¤ª¨ �0, ¨§ ª®â®à®© ¢¨¤®,çâ® ¯à¨ § 票ïå
1, ¡«¨§ª¨å ª �1, ®â®á¨â¥«ì- ï ᪮à®áâì ç áâ¨æ ¦¨¤ª®á⨠㠪஬ª¨ à¥¡à ¢¯®«®á⨠á ã¯à㣮© ¯« á⨪®© 㢥«¨ç¨¢ ¥âáï ¯®áà ¢¥¨î á® á«ãç ¥¬ ¦¥á⪮© ¯« á⨪¨. �à¨í⮬ ¥áâ¥á⢥® ®¦¨¤ âì ¡®«¥¥ ¨â¥á¨¢®¥ à á-ᥨ¢ ¨¥ í¥à£¨¨ ª®«¥¡«î饩áï ¦¨¤ª®áâ¨.�।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® à áᬠâਢ ¥¬ ï ¯®-«®áâì, ç áâ¨ç® § ¯®«¥ ï ¦¨¤ª®áâìî ¨ ¨¬¥î-é ï ã¯à㣨¥ ¯¥à¥£®à®¤ª¨, ᮢ¥àè ¥â £ ମ¨ç¥-᪨¥ ª®«¥¡ ¨ï ¢ ¯à ¢«¥¨¨ ®á¨ Ox ¯® § ª®ãu(t) = F sin!t:�®£¤ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®¡®¡é¥ëå ª®®à¤¨ â pn(t)¨ qm(t), ᮣ« á® (31), ᢮¤¨âáï ª ¨â¥£à¨à®¢ -¨î á«¥¤ãî饩 ¥®¤®à®¤®© á¨áâ¥¬ë ¤¨ää¥à¥-æ¨ «ìëå ãà ¢¥¨©:�n ��pn + �2npn� + 1Xm=1 �qm�nm = !2F�n sin!t; (56)�m ��qm +
2mqm�+ 1Xn=1 �pn�nm = 0:�«ï ãáâ ®¢¨¢è¨åáï ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¨ ¯¥-ॣ®à®¤®ª ®£à ¨ç¨¬áï, ª ª ¨ ¢ëè¥, à áᬮâà¥-¨¥¬ ⮫쪮 ¯¥à¢ëå ä®à¬ ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¨¯« á⨮ª. � á⮥ à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨© (56) ¡ã¤¥¬¨áª âì ¢ ¢¨¤¥p1(t) = P1 sin!t; q1(t) = Q1 sin!t:�®£¤ ¨§ á¨á⥬ë (56) ¯®«ã稬 á«¥¤ãî騥 § -ç¥¨ï ¤«ï ¬¯«¨â㤠P1 ¨ Q1:�P1 = P1F = !2�1�1(
21 � !2)(�1�1 � �211)(!2 � !21)(!2 � !22) ; (57)22 �. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª®
ISSN 1561 -9087 �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª . 2000. �®¬ 2 (74), N 4. �. 11 { 23�Q1 = Q1F = !4�1�11(�1�1 � �211)(!2 � !21)(!2 � !22) :£¤¥ !1 ¨ !2 { १® áë¥ ç áâ®âë à áᬠâਢ -¥¬®© ¬¥å ¨ç¥áª®© á¨á⥬ë.� à¨á.3 ¯à¥¤áâ ¢«¥ë ¬¯«¨âã¤ë¥ ªà¨¢ë¥ �P1¨ �Q1 ¢ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ª¢ ¤à â ¡¥§à §¬¥à®© ç -áâ®âë ¢®§¡ã¦¤¥¨ï !2. �§ à¨á㪠¢¨¤®, ç⮥᫨ ¢ë¡à âì ¯ à ¬¥âàë à áᬠâਢ ¥¬®© ¬¥å -¨ç¥áª®© á¨á⥬ë â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¯¥à¢ ïç áâ®â ᢮¡®¤ëå ª®«¥¡ ¨© ã¯àã£¨å ¯¥à¥£®à®-¤®ª ¢ ¯®«®á⨠¯à¨ § 饬«¥®© ᢮¡®¤®© ¯®¢¥àå-®á⨠¦¨¤ª®á⨠ᮢ¯ ¤ « á ç áâ®â®© ¯®áâ㯠-⥫쮣® £ ମ¨ç¥áª®£® ¢®§¡ã¦¤¥¨ï ¯®«®á⨠¢ ¯à ¢«¥¨¨ ®á¨ Ox, â® ã¯à㣨¥ à¥¡à ¬®£ãâ áë-£à âì à®«ì ¤¨ ¬¨ç¥áª®£® £ á¨â¥«ï ¯¥à¢®© ä®à¬ë¢®«®¢ëå ¤¢¨¦¥¨© ¦¨¤ª®áâ¨.����������� à ¡®â¥ ¯®áâ஥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª ï ¬®¤¥«ì¤¢¨¦¥¨ï ⢥म£® ⥫ á ¯®«®áâìî ¢ ä®à¬¥ ¯àï-¬®ã£®«ì®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , ᮤ¥à¦ 饩 ¨¤¥- «ìãî ¦¨¤ª®áâì ¨ ã¯à㣨¥ ¯à®¤®«ìë¥ ¯¥à¥£®-தª¨, ¢ ¯®¯¥à¥ç®© ¯«®áª®á⨠¥¥ ᨬ¬¥âਨ ¨¯à¥¤«®¦¥ ¯à¨¡«¨¦¥ë© ¬¥â®¤ ®¯à¥¤¥«¥¨ï £¨-¤à®ã¯àã£¨å ¯ à ¬¥â஢ í⮩ ¬®¤¥«¨.�ਠ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ᢮¡®¤ëå â¨á¨¬¬¥âà¨ç-ëå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¤ ®© ¯®«®á⨠¯®ª -§ ®, çâ® ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ¢®§à áâ ¨¥ ᪮à®á⨠¯®-⮪ ®â®á¨â¥«ì® ¯¥à¥£®à®¤®ª ¨¬¥¥â ¬¥áâ® â®-£¤ , ª®£¤ ¯¥à¢ ï ç áâ®â ᢮¡®¤ëå ª®«¥¡ ¨© ¯¥-ॣ®à®¤®ª ¢ ¯®«®á⨠¯à¨ § 饬«¥®© ᢮¡®¤®©¯®¢¥àå®á⨠¦¨¤ª®á⨠¡«¨§ª ª ᮮ⢥âáâ¢ãî饩ç áâ®â¥ ª®«¥¡ ¨© ¢ ¯®«®áâ¨ á ¦¥á⪨¬¨ ¯¥à¥£®-தª ¬¨. �ਠíâ¨å ¯ à ¬¥âà å à áᬠâਢ ¥¬®©¬¥å ¨ç¥áª®© á¨á⥬ë á«¥¤ã¥â ®¦¨¤ âì 㢥«¨ç¥-¨¥ ¤¥¬¯ä¨à®¢ ¨ï ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¯® áà ¢-¥¨î á ¤¥¬¯ä¨à®¢ ¨¥¬ ¢ ¯®«®áâ¨ á ¦¥á⪨¬¨¯¥à¥£®à®¤ª ¬¨. �â®â ¢ë¢®¤ ¯®«®áâìî ᮣ« áã-¥âáï á ¢ë¢®¤ ¬¨ à ¡®â [3] ¨ [5], ¯®«ãç¥ë¬¨ ®á®¢ ¨¨ ¤ ëå ¯® ¢¨§ã «¨§ 樨 ¯®â®ª ¢¡«¨§¨¦¥áâª¨å ¨ ã¯àã£¨å ¯¥à¥£®à®¤®ª ¨ ¯® ¨áá«¥¤®¢ ¨î¥ª®â®à®© ¬®¤¥«ì®© § ¤ ç¨ á®®â¢¥âá⢥®.� á«ãç ¥ ¢ë㦤¥ëå £ ମ¨ç¥áª¨å ª®«¥¡ -¨© ¯®«®á⨠¢ ¯®¯¥à¥ç®© ¯«®áª®á⨠¥¥ ᨬ¬¥âਨ¯®ª § ®, çâ® ã¯à㣨¥ ¯¥à¥£®à®¤ª¨ ¬®£ãâ áë£à âìà®«ì ¤¨ ¬¨ç¥áª®£® £ á¨â¥«ï â¨á¨¬¬¥âà¨çë墮«®¢ëå ¤¢¨¦¥¨© ¦¨¤ª®á⨠¯® ¥¥ ®á®¢®¬ã â®-ã.
�¥§ã«ìâ âë à ¡®âë ¬®£ãâ ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ -ë ¯à¨ ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨¨ ®¢ëå âà ᯮàâëåá।áâ¢, ᮤ¥à¦ é¨å ¡®«ì訥 ¬ ááë ¦¨¤ª®áâ¨.�« £®¤ à®áâ¨�¢â®àë ¯à¨§ ⥫ìë DFG § ç áâ¨çãî ä¨ -ᮢãî ¯®¤¤¥à¦ªã.1. �¨ª¨è¥¢ �. �., � ¡¨®¢¨ç �. �. �¨ ¬¨ª â®-ª®áâ¥ëå ª®áâàãªæ¨© á ®âᥪ ¬¨, ᮤ¥à¦ 騬¨¦¨¤ª®áâì.{ �: � 訮áâp®¥¨¥, 1971.{ 563 á.2. Garza L. R., Dodge F. T.A comparison of
exible andrigid battles for damping tank sloshing // J. Space-craft and Rockets.{ 1967.{ 4,N 6.{ P. 805{806.3. Schwind R. G., Scotti R. S., Skogh J.Analysis of
exi-ble battles for damping tank sloshing // J. Spacecraftand Rockets.{ 1967.{ 4,N 1.{ P. 47{53.4. Stephens D. G. Flexible battles for slosh damping //J. Spacecraft and Rockets.{ 1966.{ 3,N 5.{ P. 765{766.5. �¥«ì¨ª®¢ �. �., �¨ª¨è¥¢ �. �. � ¥ª®â®-àëå ®á®¡¥®áâïå ª®«¥¡ ¨© ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯®«®áâïåá ã¯à㣨¬¨ ¤¥¬¯ä¨àãî騬¨ ¯¥à¥£®à®¤ª ¬¨ //�ਪ«. ¬¥å ¨ª .{ 1972.{ 8, �ë¯. 3.{ �. 106{112.6. �à®æ¥ª® �. �. � ¢®§¬ã饮¬ ¤¢¨¦¥¨¨ ⥫ ,ᮤ¥à¦ 饣® ¯®«®áâì á ã¯à㣮© ª®«ì楢®© ¯¥à¥-£®à®¤ª®© // �§¢. �� ����. �¥å ¨ª ⢥म£®â¥« .{ 1975.{ N 4.{ �. 78{88.7. �å®æ¨¬áª¨© �. �. � ⥮ਨ ¤¢¨¦¥¨ï ⥫ á ¯®-«®áâﬨ, ç áâ¨ç® § ¯®«¥ë¬¨ ¦¨¤ª®áâìî //�ਪ«. ¬ ⥬ ⨪ ¨ ¬¥å ¨ª .{ 1956.{ 20,¢ë¯. 1.{ �. 3{20.8. �¥é¥ª® �. �., �㪮¢áª¨© �. �., � ¡¨®¢¨ç �. �.,�®ªãç ¥¢ �. �. �¥â®¤ë à áç¥â ¯à¨á®¥¤¨¥ëå¬ áá ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯®¤¢¨¦ëå ¯®«®áâïå.{ �¨¥¢: � -㪮¢ ¤ã¬ª , 1969.{ 251 á.9. � «¨æë �. �., �à®æ¥ª® �. �. � à áç¥âã ç áâ®â ¨¯à¨á®¥¤¨¥ëå ¬ áá ¦¨¤ª®á⨠¢ ¯àאַ㣮«ì®¬ª®â¥©¥à¥ á ¯¥à¥£®à®¤ª ¬¨ ¢ ¯®¯¥à¥ç®© ¯«®áª®-á⨠¥£® ᨬ¬¥âਨ // �ਪ« ¤ £÷¤à®¬¥å ÷ª .{2000.{ 2(74), N 2.{ �. 20{27.10. �¨¬®è¥ª® �. �. �®«¥¡ ¨ï ¢ ¨¦¥¥à®¬ ¤¥«¥.{�.: � 㪠, 1967.{ 444 á.11. � âá® �. �. �¥®à¨ï ¡¥áᥫ¥¢ëå äãªæ¨©.{ �.:�§¤{¢® ¨®áâà.«¨â., 1949.{ 798 á.12. �®ç¨ �. �., �¨¡¥«ì �. �., �®§¥ �. �. �¥®à¥â¨ç¥-áª ï £¨¤à®¬¥å ¨ª .{ �.-�.: �®áâ¥å¨§¤ â, 1948. {�. 1.{ 535 á.13. �㪮¢áª¨© �. �. � ¤¢¨¦¥¨¨ ⢥म£® ⥫ , ¨¬¥-î饣® ¯®«®áâ¨, § ¯®«¥ë¥ ®¤®à®¤®© ª ¯¥«ì-®© ¦¨¤ª®áâìî.{ �.-�.: �®áâ¥å¨§¤ â, 1949.{ 762 á.(�®¡à.á®ç. ¢ 7 â.;�.2)14. �¨ª¨è¥¢ �. �., � ¡¨®¢¨ç �. �. �¨ ¬¨ª ⢥à-¤®£® ⥫ á ¯®«®áâﬨ, ç áâ¨ç® § ¯®«¥ë¬¨¦¨¤ª®áâìî.{ �.: � 訮áâp®¥¨¥, 1968.{ 532 á.�. �. � «¨æë, �. �. �à®æ¥ª® 23
|