Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье

Предложен новый метод время-частотного анализа. Показано, что новое преобразование имеет ряд общих свойств с непрерывным вейвлет-преобразованием. Произведено сравнение методов между собой....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
1. Verfasser:	Ласточкин, А.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем реєстрації інформації НАН України 2005
Schriftenreihe:	Реєстрація, зберігання і обробка даних
Schlagworte:	Технічні засоби отримання і обробки даних
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50725
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье / А.В. Ласточкин // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2005. — Т. 7, № 1. — С. 89-96. — Бібліогр.: 4 назв. — pос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-50725
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-507252013-10-30T03:07:41Z Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье Ласточкин, А.В. Технічні засоби отримання і обробки даних Предложен новый метод время-частотного анализа. Показано, что новое преобразование имеет ряд общих свойств с непрерывным вейвлет-преобразованием. Произведено сравнение методов между собой. Запропоновано новий метод часово-частотного аналізу. Показано, що нове перетворення має ряд загальних властивостей з неперервним вейвлет-перетворенням. Наведено порівняння методів між собою. New method for time-frequency analysis has been suggested. It has been shown that a new transform has some common properties with a continuous wavelet transform. The comparison between methods has been provided. 2005 Article Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье / А.В. Ласточкин // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2005. — Т. 7, № 1. — С. 89-96. — Бібліогр.: 4 назв. — pос. 1560-9189 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50725 621.391 ru Реєстрація, зберігання і обробка даних Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Технічні засоби отримання і обробки даних Технічні засоби отримання і обробки даних
spellingShingle	Технічні засоби отримання і обробки даних Технічні засоби отримання і обробки даних Ласточкин, А.В. Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье Реєстрація, зберігання і обробка даних
description	Предложен новый метод время-частотного анализа. Показано, что новое преобразование имеет ряд общих свойств с непрерывным вейвлет-преобразованием. Произведено сравнение методов между собой.
format	Article
author	Ласточкин, А.В.
author_facet	Ласточкин, А.В.
author_sort	Ласточкин, А.В.
title	Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье
title_short	Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье
title_full	Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье
title_fullStr	Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье
title_full_unstemmed	Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье
title_sort	новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования фурье
publisher	Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Технічні засоби отримання і обробки даних
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50725
citation_txt	Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье / А.В. Ласточкин // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2005. — Т. 7, № 1. — С. 89-96. — Бібліогр.: 4 назв. — pос.
series	Реєстрація, зберігання і обробка даних
work_keys_str_mv	AT lastočkinav novoevremâčastotnoeraspredelenienaosnoveokonnogopreobrazovaniâfurʹe
first_indexed	2025-07-04T12:31:05Z
last_indexed	2025-07-04T12:31:05Z
_version_	1836719554565242880
fulltext	ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 1 89 УДК 621.391 А. В. Ласточкин Киевский государственный университет им. Т.Г. Шевченко е-mail: andrey_v@mail.univ.kiev.ua Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье Предложен новый метод время-частотного анализа. Показано, что новое преобразование имеет ряд общих свойств с непрерывным вейв- лет-преобразованием. Произведено сравнение методов между собой. Ключевые слова: оконное преобразование Фурье, вейвлет-преобразо- вание, время-частотное распределение. Введение В настоящее время продолжается интенсивное развитие методов спектраль- ного оценивания, которое позволяет охарактеризовать частотные особенности сигналов, наблюдаемых на конечном промежутке времени (или пространства). В том случае, когда сигнал нестационарный, т.е. его частотные характеристики из- меняются с течением времени, для его анализа уже не хватает обычного спектра той же размерности, что и размерность сигнала. Другими словами, для одномер- ного нестационарного сигнала его одномерный спектр не сможет передать ин- формацию о том, какие его частотные особенности как изменяются с течением времени [1]. Для того, чтобы преодолеть эти трудности, были предложены, так называемые время-частотные распределения (встречается также термин «время- частотные представления») сигналов. В случае одномерного сигнала его время- частотное распределение будет двумерным: по одной оси откладывается время, по другой — частота. Примерами таких время-частотных распределений являют- ся оконное преобразование Фурье, непрерывное вейвлет-преобразование и дру- гие, описанные в [2, 3]. Настоящая работа посвящена получению нового преобра- зования посредством предельного перехода от оконного преобразования Фурье. Показано, что новое преобразование имеет ряд общих свойств с непрерывным вейвлет-преобразованием, произведено их сравнение между собой. Предельный переход для оконного Фурье-преобразования Прямое преобразование Фурье записывается следующим образом: © А. В. Ласточкин А. В. Ласточкин 90 ò -= dttjtfF )exp()( 2 1)( w p w , (1) где f(t) — исследуемый сигнал. Модуль F(w) является обычным Фурье-спектром сигнала. Оконное преобразование Фурье имеет вид: ò --= dttjtgtfF )exp()()( 2 1),( wt p tw , (2) где g(t – t) — функция окна. Выражение (2), взятое по модулю и возведенное в квадрат, называется также спектрограммой сигнала. Спектрограмма позволяет видеть изменение частотных компонент сигнала с течением времени. Одной из особенностей такого представ- ления является зависимость время-частотной локализации от ширины окна, т.е. при узком окне хорошо видны высокочастотные (ВЧ) изменения в сигнале и не видны низкочастотные (НЧ) компоненты. При широком же окне видны часть НЧ- компонент (до некоторого предела, определяемого шириной окна), но в то же время ВЧ-компоненты становятся «расплывчатыми», и их быстрые изменения пе- рестают быть видимыми (рис. 2, 3). Естественно, что лучше видеть и то, и другое одновременно, для чего можно попытаться «собрать» некое время-частотное рас- пределение из нескольких спектрограмм, полученных с различной шириной окна, беря из них те области, в которых ширина окна этой спектрограммы обеспечивает наилучшее представление частотных компонент. Записать это можно следующим образом: ï ï ï ï î ï ï ï ï í ì Î-- Î- - Î- - = ò ò ò ),0,(,)exp()()( 2 1 ... ),,(,)exp()()( 2 1 ),,(,)exp()()( 2 1 ),( 21 22 1max 11 n nn dttj a tgtf c dttj a tgtf c dttj a tgtf c F wwwt p wwwwt p wwwwt p tw (3) где коэффициент an — параметр масштабирования, определяющий ширину окна. Поскольку в окна различной ширины попадают неодинаковые по длине участки сигнала, то и их энергия будет отличаться. Для того, чтобы скомпенсировать этот эффект, вводится коэффициент cn, который приводит к тому, что на итоговом изображении различные области не будут отличаться по яркости. Таким образом, получается, что представление (3) составлено как бы из «ряда частотных полос», взятых из соответствующих спектрограмм. Естественно пред- положить, что существует такое представление сигнала, где ширина этих полос стремится к нулю или, другими словами, для представления каждой конкретной частоты берется окно соответствующей длины. Такое представление можно полу- Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 1 91 чить из формулы (3) предельным переходом. При этом параметр масштабирова- ния определяется как w p2 =a (4) Таким образом, если рассмотреть тестовый синусоидальный сигнал произ- вольной частоты и построить для него окно с параметром масштабирования (4), то в этом окне всегда будет помещаться одно и то же количество периодов, вне зависимости от частоты. Коэффициент cn можно выразить из параметра масштабирования следующим образом. Рассмотрим стационарный сигнал длины L, его спектр Фурье будет иметь энергию P (ее можно найти, взяв выражение (1) по модулю, возведя в квад- рат и проинтегрировав по w). Найдем теперь некую «элементарную составляю- щую» энергии на частоте w1: [ ] .)exp()( 222 2 0 1 BAjBAdttjtfdP L +=+= ú ú û ù ê ê ë é -= ò w (5) Если теперь увеличить длину этого стационарного сигнала в 2 раза, «собрав» его из двух одинаковых сигналов длины L, то [ ] ).(4)2()2()()( )exp()()exp()( 22222 2 0 1 0 1 BABAjBAjBA dttjtfdttjtfdP LL +=+=+++= = ú ú û ù ê ê ë é -+-= òò ww (6) Понятно, что если длину сигнала увеличить в 3 раза, то выражение (6) будет равно 32(A2 + B2), а если в n раз, то соответственно n2(A2 + B2). Таким образом, ко- эффициент cn выражается как a и частота, на которой происходит определение энергии сигнала, обратно пропорциональна w. Формулу такого время-частотного распределения можно записать следующим образом (для того, чтобы отличать получающееся время-частотное распределение от оконного преобразования Фу- рье обозначим его «Lfmp»): .)2exp()()(1 2 1),( ò - - = dtt a j a tgtf a aLfmp pt p t (7) Подынтегральное выражение в формуле (7) можно воспринимать двояко: во- первых, как произведение «кусочка сигнала» f, вырезанного с помощью окна g на комплексную экспоненту, а, во-вторых, как произведение сигнала f на «кусочек комплексной экспоненты», вырезанный с помощью окна g. Необходимо отметить, А. В. Ласточкин 92 что во втором случае при изменении t изменяется фаза комплексной экспоненты относительно окна g (это обозначает подстрочный индекс mp (moving phase)). Для того, чтобы «зафиксировать» фазу комплексной экспоненты в окне (это ведет к ряду преимуществ, описанных далее), введем дополнительный множитель в вы- ражение (7) и получим: =- - = ò dtt a j a tgtf a j a aLf )2exp()()()2exp(1 2 1),( pt t p p t ò - - - = dt a tj a tgtf a )2exp()()(1 2 1 t p t p . (8) Далее в работе выражение, описываемое формулой (8), будет называться Lf– распределением. Сравнение оконного преобразования Фурье и Lf-распределения Основными параметрами Lf-распределения являются: количество периодов анализируемой частоты, которые попадают в окно (не обязательно целое количе- ство) — kpo, a — аналог периода, (то же самое, что и в случае непрерывного вейвлет-преобразования), определяет частоту, на которой производится анализ (а ³ 1). Необходимо отметить, что на практике не удобно работать с распределе- ниями, у которых частота или период меняются линейно (имеются в виду случаи, когда сигнал имеет много компонент, изменяющихся во времени и сильно отли- чающихся по частоте), вместо этого в данной работе будет использоваться сле- дующий масштаб по частоте: [ )¥Î= - ,1,1 n en pw (9) при условии того, что n изменяется линейно. Тестовый сигнал (по длине составляет 400 отсчетов) показан на рис. 1. Рис. 1. Тестовый сигнал Оконное преобразование Фурье тестового сигнала производится с шириной окна 15 отсчетов и 150 отсчетов, и прямоугольным окном. Получившиеся распре- Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 1 93 деления показаны на рис. 2, 3 (по вертикальной оси отложен параметр n, а частоту можно вычислить согласно формуле (9). Одно из свойств оконного преобразования Фурье состоит в том, что при ма- лой ширине окна хорошо «видны» высокочастотные компоненты, в то время как при большой ширине — низкочастотные компоненты, поэтому для исследования одного сигнала приходится многократно вычислять оконное преобразование Фу- рье. Lf-распределение тестового сигнала с прямоугольным окном показано на рис. 4, с гауссовым окном — на рис. 5. Из рисунков видно, что Lf-распределение позволяет получить более адекват- ную информацию о поведении сигнала в широком диапазоне частот, в то время как оконное преобразование Фурье позволяет получать в ряде случаев более узкие Рис. 3. Оконное Фурье-преобразование c длиной окна — 150 отсчетов Рис. 2. Оконное Фурье-преобразование c длиной окна — 15 отсчетов Рис. 4. Lf-распределение тестового сигнала, kpo = 2 (2 периода в окне), прямоугольное окно, частотная полоса — та же, что и в примерах на рис. 2, 3 Рис. 5. Lf-распределение тестового сигнала, kpo = 5 (5 периодов в окне), гауссово окно, частотная полоса — та же, что и в примерах на рис. 2, 3 А. В. Ласточкин 94 спектральные линии. Это объясняется тем, что при повышении частоты окно в Lf- распределении уменьшается, в то время как в оконном преобразовании Фурье оно остается постоянным. Сравнение Lf-распределения и непрерывного вейвлет-преобразования Формула непрерывного вейвлет-преобразования записывается следующим образом: ò - = - .)()(),( 2/1 dt a bttfabaW yy (10) Если в формуле (8) функцию окна и комплексную экспоненту обозначить од- ной буквой, то формально это будет то же, что записано в виде (10). Действитель- но, налагая ограничения на функцию окна, можно добиться того, чтобы ее произ- ведение с комплексной экспонентой удовлетворяло свойствам вейвлета. В то же время есть много случаев, когда это произведение свойствам вейвлета не удовле- творяет, но на практике оказывается очень полезным. Таким образом, есть неко- торые частные случаи Lf-распределения, которые являются частными случаями непрерывного вейвлет преобразования. Теперь распишем экспоненту из формулы (8) следующим образом: ò ò -- - -- ´ ´= dt a t a tgtfjdt a t a tgtf a aLf )2sin()()()2cos()()( 1 2 1),( tpttpt p t (11) и рассмотрим только ее реальную часть ( ReLf ): .)()(1 2 1 )2cos()()(1 2 1),(Re dt a ttf a dt a t a tgtf a aLf ò ò - = = -- = tg p tpt p t (12) Ниже на рис. 6 показано как выглядит функция g при различных значениях kpo и гауссовом, а также прямоугольном окне. Следует отметить, что функция g в случае гауссова окна при значении kpo = 2 практически повторяет форму вейвлет-функции под названием «mexh», а в случае kpo = 7 повторяет форму вейвлет-функции «morlet» (рис. 6, б,г). В то же время функция g при значении kpo = 2 и прямоугольном окне имеет вид, показанный на рис. 6,в. LfRe-распределение тестового сигнала согласно формулы (12), взятое по модулю, показано на рис. 7. Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2005, Т. 7, № 1 95 Частота компонент сигнала в случае LfRe-распределения определяется через период, который ищется как расстояние между пересечениями нулевого уровня (минимумами в случае модуля LfRe-распределения (рис. 7)). Кроме того, хорошо локализуются особенности формы сигналов. Ничего подобного не представляется возможным сделать в случае оконного преобразования Фурье. Реальная часть от него показана на рис. 8. Из-за того, что фаза комплексной экспоненты, помножен- ной на окно, не фиксирована относительно сигнала, особенности формы сигнала не выделяются, что было показано в [4]. Пример LfRe-распределения тестового сигнала с другим параметром kpo показан на рис. 9. Рис. 6. Примеры функции g при различных значениях kpo и функциях окна: а — kpo = 0,8; б — kpo = 2; в — kpo = 2; г — kpo = 7; д — kpo = 14 (в случае «в» окно — прямоугольное, в остальных случаях — гауссово) а б в г д Рис. 7. LfRe-распределение тестового сигнала с параметром kpo = 7 (оно же — вейвлет- преобразование тестового сигнала с помощью функции «morlet») Рис. 8. Реальная часть оконного преобра- зования Фурье тестового сигнала (размер окна — 15 отсчетов) А. В. Ласточкин 96 На практике в непрерывном вейв- лет-анализе осциллирующих сигналов наиболее часто используются две вы- шеупомянутые функции: «mexh» и «morlet», поскольку они дают наибо- лее интуитивно понятные результаты. Lf-распределение содержит в себе эти функции как частный случай, предос- тавляя к тому же возможность полу- чать неограниченное количество ана- лизирующих функций того же типа. Это дает возможность подстраивать анализирующую функцию преобразо- вания для выделения особенностей каждого конкретного сигнала. Метод анализа сигналов, проводимый с по- мощью формулы (12) практически идентичен непрерывному вейвлет-анализу и хорошо описан в [3]. Заключение Предложено новое время-частотное распределение, позволяющее получать информацию о поведении различных, изменяющихся во времени, компонент сиг- нала в намного более широком частотном диапазоне, чем это позволяет обычное оконное преобразование Фурье. Показано, что при рассмотрении отдельно реаль- ной и мнимой частей предложенного преобразования некоторые вейвлет-функции являются его частным случаем, а также отмечено сходство в анализе сигналов с помощью непрерывного вейвлет-преобразования и предложенного время-частот- ного распределения. 1. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. — М.: Мир, 1990. 2. Коэн Л. Время-частотные распределения: обзор // ТИИЭР. — 1989. — Т. 77, № 10. 3. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и применения // Успехи физических наук. — 1996. — № 11. — С. 166. 4. Рыбальский О.В. К экспериментальной проверке достоверности положений теории выяв- ления следов цифровой обработки фонограмм // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2004. — Т.6, № 3. — С. 85–98. Поступила в редакцию 21.02.2005 Рис. 9. LfRe-распределение тестового сигнала с параметром kpo = 0,8 Киевский государственный университет им. Т.Г. Шевченко Киевский государственный университет им. Т.Г. Шевченко

Новое время-частотное распределение на основе оконного преобразования Фурье

Institution

Ähnliche Einträge