Построение некоторых функций функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка
Рассмотрены вопросы построения таких обратных функций как логарифм, гиперболические и тригонометрические арксинус и арккосинус. Приведены примеры построения обратных функций для гиперкомплексной числовой системы 4-го порядка....
Збережено в:
| Дата: | 2006 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2006
|
| Назва видання: | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50824 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Построение некоторых функций функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова, А.В. Федоренко // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 9-16. — Бібліогр.: 9 назв. — pос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-50824 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-508242013-11-04T20:34:03Z Построение некоторых функций функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Федоренко, А.В. Математичні методи обробки даних Рассмотрены вопросы построения таких обратных функций как логарифм, гиперболические и тригонометрические арксинус и арккосинус. Приведены примеры построения обратных функций для гиперкомплексной числовой системы 4-го порядка. Розглянуто питання побудови таких обернених функцій як логарифм, тригонометричні та гіперболічні арксинус і арккосинус. Наведено приклади побудови обернених функцій для гіперкомплексної системи 4-го порядку. Questions of construction of such inverse functions as the logarithm, hyperbolic and trigonometrical arc sine and arc cosine are considered. Examples of construction of inverse functions for the 4th order hypercomplex numerical system are given. 2006 Article Построение некоторых функций функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова, А.В. Федоренко // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 9-16. — Бібліогр.: 9 назв. — pос. 1560-9189 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50824 004.942 ru Реєстрація, зберігання і обробка даних Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математичні методи обробки даних Математичні методи обробки даних |
| spellingShingle |
Математичні методи обробки даних Математичні методи обробки даних Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Федоренко, А.В. Построение некоторых функций функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| description |
Рассмотрены вопросы построения таких обратных функций как логарифм, гиперболические и тригонометрические арксинус и арккосинус. Приведены примеры построения обратных функций для гиперкомплексной числовой системы 4-го порядка. |
| format |
Article |
| author |
Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Федоренко, А.В. |
| author_facet |
Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Федоренко, А.В. |
| author_sort |
Синьков, М.В. |
| title |
Построение некоторых функций функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка |
| title_short |
Построение некоторых функций функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка |
| title_full |
Построение некоторых функций функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка |
| title_fullStr |
Построение некоторых функций функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка |
| title_full_unstemmed |
Построение некоторых функций функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка |
| title_sort |
построение некоторых функций функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка |
| publisher |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Математичні методи обробки даних |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50824 |
| citation_txt |
Построение некоторых функций функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова, А.В. Федоренко // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2006. — Т. 8, № 1. — С. 9-16. — Бібліогр.: 9 назв. — pос. |
| series |
Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| work_keys_str_mv |
AT sinʹkovmv postroenienekotoryhfunkcijfunkcijvgiperkompleksnojčislovojsisteme4goporâdka AT kalinovskijâa postroenienekotoryhfunkcijfunkcijvgiperkompleksnojčislovojsisteme4goporâdka AT boârinovaûe postroenienekotoryhfunkcijfunkcijvgiperkompleksnojčislovojsisteme4goporâdka AT fedorenkoav postroenienekotoryhfunkcijfunkcijvgiperkompleksnojčislovojsisteme4goporâdka |
| first_indexed |
2025-07-04T12:40:25Z |
| last_indexed |
2025-07-04T12:40:25Z |
| _version_ |
1836720142215544832 |
| fulltext |
Математичні методи обробки даних
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2006, Т. 8, № 1 9
УДК 004.942
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский,
Ю. Е. Бояринова, А. В. Федоренко
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
Построение некоторых функций в гиперкомплексной
числовой системе 4-го порядка
Рассмотрены вопросы построения таких обратных функций как лога-
рифм, гиперболические и тригонометрические арксинус и арккосинус.
Приведены примеры построения обратных функций для гиперком-
плексной числовой системы 4-го порядка.
Ключевые слова: гиперкомплексная числовая система, обратные
функции, логарифм, гиперболические и тригонометрические арксинус
и арккосинус.
Многочисленные работы отечественных и зарубежных ученых показывают,
что во многих случаях использование гиперкомплексных числовых систем дает
новые возможности в решении различных практических задач. К ним относятся
задачи ориентации и навигации подвижных тел [1, 2], задача разделения секрета
[3, 4], цифровая фильтрация [5, 6] и др.
Среди различных нелинейностей, встречающихся в моделировании, обратные
функции играют всегда важную роль [7]. Суть метода нахождения обратных
функций [8] состоит в следующем: для известной прямой функции )(XF от ги-
перкомплексного аргумента å
=
×=
n
i
ii exX
1
можно построить обратную функцию
)(1 YF - , которая будет определяться соотношением:
XXFFYF == -- ))(()( 11 . (1)
Изображения таких нелинейностей как экспонента, гиперболические и триго-
нометрические функции представляют собой гиперкомплексные функции [9]. То-
гда изображение обратной функции имеет вид:
i
n
i
ii
n
i
ni exexxfF ×=× åå
==
-
11
1
1 )),..,(( . (2)
© М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, А. В. Федоренко
Построение некоторых функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка
10
Таким образом, для получения обратной функции достаточно выполнения то-
го, что аргумент соотношения (2) будет гиперкомплексной переменной:
i
n
i
ii
n
i
ni eyexxf ×=× åå
== 11
1 ),..,( . (3)
Соотношение (3) можно записать в виде системы уравнений:
ï
î
ï
í
ì
=
=
,),...,(
,),...,(
1
111
nnn
n
yxxf
yxxf
K (4)
которую можно решить относительно переменных nxx ,...,1 . Подставив в (2) полу-
ченные значения (4), получим изображение обратной функции:
i
n
i
nii
n
i
i eyyeyF ×=× åå
==
-
1
1
1
1 ),...,()( j . (5)
Рассмотрим построение некоторых обратных функций для гиперкомплексной
числовой системы 31GÅR , которая соответствует следующей таблице умноже-
ния:
В системе гиперкомплексных чисел 31GÅR экспонента имеет вид:
Ехр 44332144332211
2221)( eemeemeeeeemememem mmmm +++×=+++ . (6)
Построив систему уравнений (4)
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=
=
=
,
,
,
,
44
34
1
1
2
2
2
1
xem
xem
xe
xe
m
m
m
m
(7)
получим ее решение:
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, А. В. Федоренко
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2006, Т. 8, № 1 11
.
,
,ln
,ln
2
4
4
2
3
3
22
11
x
xm
x
xm
xm
xm
=
=
=
=
(8)
Необходимо выполнение следующего условия: 02 ¹x .
Тогда изображение логарифмической функции в системе 31GÅR можно за-
писать как:
4
2
4
3
2
3
221144332211 lnln)(Ln e
x
xe
x
xexexexexexex +++×=+++ . (9)
В системе гиперкомплексных чисел 31GÅR синус имеет вид:
Sin =+++ )( 44332211 emememem
443343221121 sincoscossinsincoscossin emmemmemmemm +++= . (10)
Строим систему уравнений (4):
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=
=
=
.sincos
,cossin
,sincos
,cossin
343
343
221
121
xmm
xmm
xmm
xmm
(11)
Решением системы (11) являются следующие выражения:
.
1
1
arctg
,
11
)1(arctg
,
112
)1(arctg
,
1
1
arctg
2
4
2
3
2
4
2
3
4
2
4
2
3
2
4
2
34
2
4
2
33
3
2
1
2
2
2
1
2
21
2
1
2
22
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
xx
xx
m
xxxxx
xxxm
xxxxx
xxxm
xx
xx
m
-+-
+-+
±=
+-+×-++
+-+-
±=
+-+×-++
+-+-
±=
-++
+-+
±=
b
b
bb
b
aa
a
a
a
(12)
где
Построение некоторых функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка
12
1222 2
1
4
1
2
2
2
2
2
1
4
2 +-+--= xxxxxxa ,
(13)
1222 2
4
4
4
2
3
2
3
2
4
4
3 +-+--= xxxxxxb .
В качестве главных возьмем значения со знаком «+». С учетом обозначений
(13) арксинус будет иметь вид:
.
1
1
arctg
11
)1(arctg
112
)1(arctg
1
1
arctg
)sin(Arc
42
4
2
3
2
4
2
3
32
4
2
3
2
4
2
34
2
4
2
33
22
1
2
2
2
1
2
21
2
1
2
22
12
1
2
2
2
1
2
2
44332211
e
xx
xx
e
xxxxx
xxx
e
xxxxx
xxxe
xx
xx
emememem
-+-
+-+
+
+-+×-++
+-+-
+
+
+-+×-++
+-+-
+
-++
+-+
=
=+++
b
b
bb
b
aa
a
a
a
(14)
В системе гиперкомплексных чисел 31GÅR косинус имеет вид:
Cos =+++ )( 44332211 emememem
.sinsincoscossinsincoscos 443343221121 emmemmemmemm -+-= (15)
Строим систему уравнений (4):
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=-
=
=-
=
.sinsin
,coscos
,sinsin
,coscos
343
343
221
121
xmm
xmm
xmm
xmm
(16)
Решением системы (16) являются выражения:
.
1
1
arctg
,
)1(
11
arctg
,
1
1
arctg
,
)1(
11
arctg
2
3
2
4
2
3
2
4
4
2
3
2
43
2
3
2
4
2
3
2
44
3
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
21
2
1
2
2
2
1
2
22
1
xx
xx
m
xxx
xxxxx
m
xx
xx
m
xxx
xxxxx
m
+-±
-++±
±=
±+--
+-±-+±
±=
+-±
-++±
±=
±+--
+-±-++±
±=
b
b
b
bb
a
a
a
aa
(17)
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, А. В. Федоренко
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2006, Т. 8, № 1 13
В качестве главных возьмем значения со знаком «+». С учетом обозначений
(13) арккосинус будет иметь вид:
.
1
1
arctg
)1(
11
arctg
1
1
arctg
)1(
11
arctg
)cos(Arc
42
4
2
3
2
4
2
3
32
3
2
43
2
3
2
4
2
3
2
44
22
1
2
2
2
1
2
2
12
1
2
21
2
1
2
2
2
1
2
22
44332211
e
xx
xx
e
xxx
xxxxx
e
xx
xx
e
xxx
xxxxx
emememem
-++
+-+
+
++--
+-+-++
+
+
+-+
-++
+
++--
+-+-++
=
=+++
b
b
b
bb
a
a
a
aa
(18)
В системе гиперкомплексных чисел 31GÅR гиперболический синус имеет
вид:
.)cos)(sin)(( )sin)(cos)((
sin)( cos)()(
42142133214213
22112144332211
emmchmmmchmemmshmmmchm
emmchemmshememememSh
++-+
+×+×=+++
(19)
Аналогично строим систему уравнений (4):
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=×+
=×-
=
=
.)(cossin)(
,)(sincos)(
,sin)(
,cos)(
4124213
3124213
221
121
xmchmmmmchm
xmshmmmmchm
xmmch
xmmsh
(20)
Решением системы (20) являются:
,
)1()1(
)1()1(
,
)1()1(
)1()1)(1(
,
)1(
)1(arctg
),ln(
2
1
32
2
3
32
23
41
23
4
2
1
32
2
3
31
2
42
2
3
1
2
2
1
xx
xxxxm
xx
xxxxm
x
xm
m
++-
+-----+
=
++-
++--
=
+
-
=
=
ff
ffffff
ff
fff
f
f
f
(21)
где введены обозначения:
2
2
2
1
4
2
2
2
2
1
4
1 2212 xxxxxx -++++=c , (22)
2
2
2
1
2
2
4
2
2
1
2
2
2
1
4
1
2
2
2
1 2222242 xxxxxxxxxx -++++++++= cccf . (23)
Построение некоторых функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка
14
Тогда гиперболический арксинус, с учетом обозначений (22), (23) имеет вид:
.
)1()1(
)1()1(
)1()1(
)1()1)(1(
)1(
)1(arctg)ln()(Arc
42
1
32
2
3
32
23
41
23
32
1
32
2
3
31
2
42
2
2
1
2
144332211
e
xx
xxxx
e
xx
xxxx
e
x
xeememememsh
++-
+-----+
+
+
++-
++--
+
+
+
-
+=+++
ff
ffffff
ff
fff
f
ff
(24)
В системе гиперкомплексных чисел 31GÅR гиперболический косинус имеет
вид:
.)cos)( sin)( ()sin)( cos)( (
sin)( cos)( )(
42142133214213
22112144332211
emmshmmmchmemmchmmmshm
emmshemmchememememCh
×++×-+
+×+×=+++
(25)
Как и в предыдущих случаях строим систему уравнений (4):
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=×+
=×-
=
=
.)(cossin)(
,)(sincos)(
,sin)(
,cos)(
4124213
3124213
221
121
xmshmmmmchm
xmchmmmmshm
xmmsh
xmmch
(26)
Решением системы (26) являются выражения:
,
,
,
)1(
)1(arctg
),ln(
4
3
1
2
2
1
D
Cm
B
Am
x
xm
m
=
=
+
-
=
=
g
g
g
(27)
где
2
2
2
1
22
2
2
1 221)( xxxx +-++=d ; (28)
))()((2 2
2
2
1
2
2
2
1
22
2
2
1
2
2
2
1 xxxxxxxx +-++++++= ddg ; (29)
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, А. В. Федоренко
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2006, Т. 8, № 1 15
;1622449
)1(4)32(8)(8)1()1(
)17(2)21(4
)1()1(8)23(8
)1144(4)427(2)1(2
8)1()1()323(8)15(3
)332(8)3016122()13(
3
6
21
2
42
4
14
3
2
4
142
2
13
2
2
3
1
3
1
3
4
3
2
2
1
2
4
5
2
2
13
7
142
6
1
2
3
2
21
3
4
5
2
2
4
5
2
4
3
2
2
4
7
2
2
4
3
2
4
1
2
3
2
2
3
1
23
42
4
1
2
3
4
21
2
3
6
21
2
42
2
1
2
3
4
2
3
1
2
3
3
1
2
3
2
2
5
1
223
3
5
131
23
xxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxx
xxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxA
ggg
gggggg
ggg
ggggg
ggggggg
ggggggggg
ggggggggg
+-++-+
++-++---++
+-+++
+-+++-+
++++---++-
-++--++++--
-++++---+-++-=
(30)
;)1(32)1(32
)282246()201446(
))1()1((8)2163820(
)822212()264()41082(
)1(48)264()482816(
6
2
2
1
22
2
6
1
2
2
2
4
1
324
2
2
1
32
8
1
28
2
26
1
23
6
2
232
1
232
1
2
2
32
24
2
4
1
4
2
234
1
23
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxB
++++-+
+-+--+--+-+
+-+++--+-+
++-++-+-+++++
+++-++++-=
gggggg
gggggg
gggggg
gggggggg
ggggggg
(31)
);)(1(
))(242())(242(
3241
32
32
2
14
3
1
32
3
3
241
2
2
32
xxxx
xxxxxxxxxxC
--++-+
+-+-+-++=
ggg
gggggg
(32)
))()1()1()1(2( 2
1
2
2
4
2
24
1
222
1
2
2 xxxxxxD -+++-++= gggg . (33)
Тогда гиперболический арккосинус, с учетом введенных обозначений, имеет
вид:
432
1
2
144332211 )1(
)1(arctg)ln()(Arc e
D
Ce
B
Ae
x
xeememememch ++
+
-
+=+++
g
gg ,
где DCBA ,,, определяются из (30)–(33).
Как видно из текста статьи, математические выражения для нахождения об-
ратных функций достаточно сложны. Это говорит о том, что в дальнейшем необ-
ходимо искать пути построения более простых выражений для обратных функ-
ций.
Работа выполнена благодаря поддержке Государственного фонда фундамен-
тальных исследований Украины.
1. Будьонний М.Ф., Каліновський Я.О., Панов А.П., Петренко А.І., Постнікова Т.Г., Синьков
М.В., Синькова Т.В. Про автоматизоване проектування системи програмно-апаратних засобів на
базі гіперкомплексних чисел для задач орієнтації твердого тіла. Ч. 1 // Реєстрація, зберігання і об-
роб. даних. — 2001. — Т. 3, № 4. — С. 73–83.
Построение некоторых функций в гиперкомплексной числовой системе 4-го порядка
16
2. Будьонний М.Ф., Калиновский Я.А., Панов А.П., Петренко А.І., Постнікова Т.Г., Синьков
М.В., Синькова Т.В. Про автоматизоване проектування системи програмно-апаратних засобів на
базі гіперкомплексних чисел для задач орієнтації твердого тіла. Ч. 2 // Реєстрація, зберігання і об-
роб. даних. — 2001. — Т. 4, № 4. — С. 69–77.
3. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е., Трубников П.В. Развитие задачи разде-
ления секрета // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2003. — Т. 5, № 4. — С. 90–96.
4. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Бояринова Ю.Е., Трубников П.В. Расширение возможно-
стей постановки задачи разделения секрета. Тезисы докладов 7-й Междунар. практической конф.
«Безопасность информации в информационно-телекоммуникационных системах». — Киев, 2004.
5. Синьков М.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В. Повышение эффективности цифровых
фильтров с помощью гиперкомплексного представления информации: Сб. науч. тр. 8-й Междуна-
родной научной конференции «Теория и техника передачи, приема и обработки информации»
ИИИСТ-2002, Харьков, 2002. — С. 503–504.
6. Синьков М.В., Трубников П.В., Калиновский Я.А., Синькова Т.В., Бояринова Ю.Е. Новые
применения гиперкомплексных квадриплексных чисел. Ч. 2 // Реєстрація, зберігання і оброб. да-
них. — 2003. — Т. 5, № 3. — С. 4–7.
7. Синьков М.В., Каліновський Я.О., Боярінова Ю.Є. Розробка та дослідження алгоритмів по-
будови зображення обернених функцій від гіперкомплексного змінного // Реєстрація, зберігання і
оброб. даних. — 2005. — Т. 7, № 1. — С. 32–42.
8. Калиновский Я.А., Роенко Н.В., Синьков М.В. Методы построения нелинейностей в расши-
рениях комплексных чисел // Кибернетика и системный анализ. — 1996. — № 4. — C. 178–181.
9. Развитие и исследование методов гиперкомплексных числовых систем применительно к
моделированию систем уравнений для широкого класса задач. Отчет о НИР / Ин-т проблем регис-
трации информации НАН Украины; № ГР 0193V002137. — К., 1993. — 192 с.
Поступила в редакцию 01.03.2006
Построение некоторых функций в гиперкомплексной
числовой системе 4-го порядка
|