О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного
Рассмотрен один метод упрощения решения дифференциального уравнения, определяющего такие нелинейные функции от гиперкомплексного переменного как гиперболические и тригонометрические....
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50848 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова, А.В. Федоренко // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2006. — Т. 8, № 3. — С. 20-23. — Бібліогр.: 8 назв. — pос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-50848 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-508482013-11-05T02:22:04Z О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Федоренко, А.В. Математичні методи обробки даних Рассмотрен один метод упрощения решения дифференциального уравнения, определяющего такие нелинейные функции от гиперкомплексного переменного как гиперболические и тригонометрические. Розглянуто один метод спрощення рішення диференціального рівняння, що визначає такі нелінійні функції від гіперкомплексного змінного як гіперболічні і тригонометричні. One method of simplification of differential equation, solution, determining such nonlinear functions of hypercomplex variable as hyperbolic and trigonometric ones is considered. 2006 Article О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова, А.В. Федоренко // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2006. — Т. 8, № 3. — С. 20-23. — Бібліогр.: 8 назв. — pос. 1560-9189 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50848 519.68; 620.179.15; 681.3 ru Реєстрація, зберігання і обробка даних Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математичні методи обробки даних Математичні методи обробки даних |
| spellingShingle |
Математичні методи обробки даних Математичні методи обробки даних Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Федоренко, А.В. О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| description |
Рассмотрен один метод упрощения решения дифференциального уравнения, определяющего такие нелинейные функции от гиперкомплексного переменного как гиперболические и тригонометрические. |
| format |
Article |
| author |
Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Федоренко, А.В. |
| author_facet |
Синьков, М.В. Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Федоренко, А.В. |
| author_sort |
Синьков, М.В. |
| title |
О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного |
| title_short |
О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного |
| title_full |
О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного |
| title_fullStr |
О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного |
| title_full_unstemmed |
О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного |
| title_sort |
о дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного |
| publisher |
Інститут проблем реєстрації інформації НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Математичні методи обробки даних |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/50848 |
| citation_txt |
О дифференциальных уравнениях, определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного / М.В. Синьков, Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова, А.В. Федоренко // Реєстрація, зберігання і оброб. даних. — 2006. — Т. 8, № 3. — С. 20-23. — Бібліогр.: 8 назв. — pос. |
| series |
Реєстрація, зберігання і обробка даних |
| work_keys_str_mv |
AT sinʹkovmv odifferencialʹnyhuravneniâhopredelâûŝihnekotoryefunkciigiperkompleksnogoperemennogo AT kalinovskijâa odifferencialʹnyhuravneniâhopredelâûŝihnekotoryefunkciigiperkompleksnogoperemennogo AT boârinovaûe odifferencialʹnyhuravneniâhopredelâûŝihnekotoryefunkciigiperkompleksnogoperemennogo AT fedorenkoav odifferencialʹnyhuravneniâhopredelâûŝihnekotoryefunkciigiperkompleksnogoperemennogo |
| first_indexed |
2025-07-04T12:42:22Z |
| last_indexed |
2025-07-04T12:42:22Z |
| _version_ |
1836720265317318656 |
| fulltext |
20
УДК 519.68; 620.179.15; 681.3
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский,
Ю. Е. Бояринова, А. В. Федоренко
Институт проблем регистрации информации НАН Украины
ул. Н. Шпака, 2, 03113 Киев, Украина
О дифференциальных уравнениях, определяющих
некоторые функции гиперкомплексного переменного
Рассмотрен один метод упрощения решения дифференциального
уравнения, определяющего такие нелинейные функции от гиперком-
плексного переменного как гиперболические и тригонометрические.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, гиперкомплексные
числа, нелинейная функция.
Гиперкомплексные числовые системы [1] находят все более широкое приме-
нение в науке и технике, что требует разработки методов эффективной обработки
информации, представленной в гиперкомплексной форме. В настоящее время
разработаны методы проведения арифметических и алгебраических операций над
гиперкомплексными числами построения нелинейностей [2], рассмотрены анали-
тические методы решения некоторых дифференциальных уравнений от гипер-
комплексного переменного и с гиперкомплексными коэффициентами [3–8]. По-
строение представления таких нелинейностей как гиперболические и тригономет-
рические функции требует решения системы линейных дифференциальных урав-
нений высокого порядка, что вызывает известные трудности. Поэтому очень важ-
ным является снижение размерности таких систем.
Дифференциальные уравнения, определяющие тригонометрические и гипер-
болические функции от гиперкомплексного переменного, имеют вид:
,2
2
2
XM
dt
Xd
±= (1)
где Х и М — гиперкомплексные величины.
Если проделать все операции в правой части уравнения (1) в соответствии с
законом композиции гиперкомплексной числовой системы, то она может быть
представлена в виде:
© М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, А. В. Федоренко
О дифференциальных уравнениях,
определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2006, Т. 8, № 3 21
,)(
1 1
2 å å
= =
=
n
i
i
n
j
jij exaXM (2)
а уравнение (1) можно представить в виде системы :
.,...,1 ,
1
2
2
nixa
dt
xd n
j
jij
i ==å
=
(3)
При этом знаки в правой части (1) учтены знаками при ija .
Система (3) линейных дифференциальных уравнений второй степени пре-
вращается в систему уравнений первой степени путем введения фиктивных пере-
менных:
ï
ï
î
ïï
í
ì
=
==
å
=
n
j
jij
i
i
i
xa
dt
dy
niy
dt
dx
1
.
,,...1 ,
(4)
Однако при таком преобразовании размерность системы увеличивается вдвое
и равна 2n.
Для решения (4) необходимо составить характеристическую матрицу правой
части. Она будет иметь вид:
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
ç
è
æ
-
-
-
-
-
-
l
l
l
l
l
l
KK
KKKKKKKK
KK
KK
KK
KKKKKKKK
KK
KK
00
00
00
10000
01000
00100
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
. (5)
Для вычисления определителя этой матрицы каждую k-ю строку ( nk ££1 )
умножим на l и добавим к (k + n)-й строке:
М. В. Синьков, Я. А. Калиновский, Ю. Е. Бояринова, А. В. Федоренко
22
000
000
000
100000
01000
00100
2
21
2
2
2221
112
2
11
KK
KKKKKKKK
KK
KK
KK
KKKKKKKK
KK
KK
l
l
l
l
l
-
-
-
-
-
=D
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
. (6)
Раскрытием этого определителя по последним n столбцам можно придти к
определителю:
2
21
2
2
2221
112
2
11
)1(
l
l
l
-
-
-
-=D
nnnn
n
n
N
aaa
aaa
aaa
K
KKKK
K
K
. (7)
Если ввести обозначение:
ml =2 ,
то уравнение
0=D (8)
будет иметь степень n и его решение гораздо проще, чем решение уравнения (6).
Работа выполнена благодаря поддержке Государственного фонда фундамен-
тальных исследований Украины.
1. Синьков М.В., Губарени Н.М. Непозиционные представления в многомерных числовых
системах. — К.: Наук. думка., 1979. — 138 с.
2. Синьков М.В., Калиновский Я.А, Роенко Н.В. Методы построения нелинейностей в расши-
рениях комплексных чисел // Кибернетика и системный анализ. — 1996. — № 4. — С. 178–181.
3. Калиновский Я.А. Разработка алгоритмов решения однородных линейных дифференци-
альных уравнений первого порядка от гиперкомплексного переменного // Реєстрація, зберігання і
оброб. даних. — 2001. — Т. 3, № 1. — С. 22–29.
4. Patrick Reany. Complex Clifford Algebra and Nth-Оrder Linear Differential Equations // Ap-
plied Clifford Algebras. — 1993. — 3, N 2. — Р. 121–127. On line: www.ajnpx.com/pdf/math/Clifford/
CAA&LIN_DIFF.pdf.
http://www.ajnpx.com/pdf/math/Clifford/%20CAA&LIN_DIFF.pdf
http://www.ajnpx.com/pdf/math/Clifford/%20CAA&LIN_DIFF.pdf
О дифференциальных уравнениях,
определяющих некоторые функции гиперкомплексного переменного
ISSN 1560-9189 Реєстрація, зберігання і обробка даних, 2006, Т. 8, № 3 23
5. Kähler U. Die Anwendung der Hyperkomplexen Funktionentheorie auf Die Losung Partieller
Differentialgleichungen. — 1998. On line: www.tu-chemnitz.de/mathematik/prom_habil/promint.pdf.
6. Kähler U. Clifford Analysis and the Navier-Stokes Equations over Unbounded Domains // Ap-
plied Clifford Аlgebras. — 2001. — 11 (S2). — Special issue «Clifford analysis». — Р. 305–318. On
line: www.mat.ua.pt/uwek/publications.html.
7. Gibbon J.D. A Quaternionic Structure in the Three-Dimensional Euler and Ideal MHD Equa-
tions. On line: www.ma.ic.ac.uk/~jdg/quat2.pdf. 2001.
8. S. De Leo, Ducati C.C. Solving Simple Quaternionic Differential Equations // J. Math. Physic.
— 2003. — 44. — Р. 2224-2233.
Поступила в редакцию 04.09.2006
|