Взаимовлияние объектов малых размеров в микросхеме
Предлагается метод расчета потенциала поля единичного точечного заряда и источника конечных размеров в слоистой среде. Получены формулы для расчета напряжения наведенной помехи....
Gespeichert in:
| Datum: | 2006 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України
2006
|
| Schriftenreihe: | Технология и конструирование в электронной аппаратуре |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/53389 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Взаимовлияние объектов малых размеров в микросхеме / И.А. Конников // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 2006. — № 6. — С. 9-14. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-53389 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-533892014-01-20T03:12:15Z Взаимовлияние объектов малых размеров в микросхеме Конников, И.А. Электронные средства: исследования, разработки Предлагается метод расчета потенциала поля единичного точечного заряда и источника конечных размеров в слоистой среде. Получены формулы для расчета напряжения наведенной помехи. 2006 Article Взаимовлияние объектов малых размеров в микросхеме / И.А. Конников // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 2006. — № 6. — С. 9-14. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 2225-5818 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/53389 ru Технология и конструирование в электронной аппаратуре Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Электронные средства: исследования, разработки Электронные средства: исследования, разработки |
| spellingShingle |
Электронные средства: исследования, разработки Электронные средства: исследования, разработки Конников, И.А. Взаимовлияние объектов малых размеров в микросхеме Технология и конструирование в электронной аппаратуре |
| description |
Предлагается метод расчета потенциала поля единичного точечного заряда и источника конечных размеров в слоистой среде. Получены формулы для расчета напряжения наведенной помехи. |
| format |
Article |
| author |
Конников, И.А. |
| author_facet |
Конников, И.А. |
| author_sort |
Конников, И.А. |
| title |
Взаимовлияние объектов малых размеров в микросхеме |
| title_short |
Взаимовлияние объектов малых размеров в микросхеме |
| title_full |
Взаимовлияние объектов малых размеров в микросхеме |
| title_fullStr |
Взаимовлияние объектов малых размеров в микросхеме |
| title_full_unstemmed |
Взаимовлияние объектов малых размеров в микросхеме |
| title_sort |
взаимовлияние объектов малых размеров в микросхеме |
| publisher |
Інститут фізики напівпровідників імені В.Є. Лашкарьова НАН України |
| publishDate |
2006 |
| topic_facet |
Электронные средства: исследования, разработки |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/53389 |
| citation_txt |
Взаимовлияние объектов малых размеров в микросхеме / И.А. Конников // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. — 2006. — № 6. — С. 9-14. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| series |
Технология и конструирование в электронной аппаратуре |
| work_keys_str_mv |
AT konnikovia vzaimovliânieobʺektovmalyhrazmerovvmikrosheme |
| first_indexed |
2025-07-05T04:48:08Z |
| last_indexed |
2025-07-05T04:48:08Z |
| _version_ |
1836781025681735680 |
| fulltext |
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2006, ¹ 6
9
ÝËÅÊÒÐÎÍÍÛÅ ÑÐÅÄÑÒÂÀ: ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß, ÐÀÇÐÀÁÎÒÊÈ
Äàòà ïîñòóïëåíèÿ â ðåäàêöèþ
05.07 2006 ã.
Îïïîíåíò ä. ò. í. Â. Â. ÁÀÐÀÍÎÂ
(ÁÃÓÈÐ, ã. Ìèíñê)
Ê. ò. í. È. À. ÊÎÍÍÈÊÎÂ
Ðîññèÿ, ã. Ñ.-Ïåòåðáóðã, Ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò êóëüòóðû
E-mail: konnikov@peterstar.ru
ÂÇÀÈÌÎÂËÈßÍÈÅ ÎÁÚÅÊÒΠÌÀËÛÕ ÐÀÇÌÅÐÎÂ
 ÌÈÊÐÎÑÕÅÌÅ
Ïðåäëàãàåòñÿ ìåòîä ðàñ÷åòà ïîòåíöè-
àëà ïîëÿ åäèíè÷íîãî òî÷å÷íîãî çàðÿäà
è èñòî÷íèêà êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ â ñëîè-
ñòîé ñðåäå. Ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ ðàñ-
÷åòà íàïðÿæåíèÿ íàâåäåííîé ïîìåõè.
Öåëûé ðÿä çàäà÷ ýëåêòðîìàãíèòíîé ñîâìåñòèìîñ-
òè ìîæåò áûòü ñâåäåí ê âû÷èñëåíèþ ïîëÿ ýëåìåíòàð-
íîãî (òî÷å÷íîãî) èñòî÷íèêà â ñëîèñòîé ñðåäå. Äëÿ
çàìåíû ðåàëüíîãî èñòî÷íèêà ïîëÿ òî÷å÷íûì íåîáõî-
äèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ðàçìåðû ðåàëüíîãî èñòî÷-
íèêà ïîëÿ áûëè ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèåì
äî èñòî÷íèêà. Ïðè èññëåäîâàíèè âíóòðèàïïàðàòóð-
íîé ýëåêòðîìàãíèòíîé ñîâìåñòèìîñòè â îáëàñòè ìèê-
ðîýëåêòðîíèêè íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî èñòî÷íè-
êîì ïîìåõè ìîæåò áûòü íå òîëüêî ïðîâîäíèê, íî è
áåñêîðïóñíûé ýëåìåíò ïîëóïðîâîäíèêîâîé èëè ãèá-
ðèäíîé èíòåãðàëüíîé ìèêðîñõåìû, íàïðèìåð ñâåòî-
äèîä èëè òðàíçèñòîð, ðàáîòàþùèé â ðåæèìå êëþ÷à
èëè â ðåæèìå óñèëåíèÿ.
 äàííîé ðàáîòå ïðåäëàãàþòñÿ îðèåíòèðîâàííûå
íà èñïîëüçîâàíèå â ñèñòåìàõ àâòîìàòèçèðîâàííîãî
ïðîåêòèðîâàíèÿ: à) ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëà ïîëÿ
ýëåìåíòàðíîãî èñòî÷íèêà â ñëîèñòîé ñðåäå, â çíà÷è-
òåëüíîé ñòåïåíè ñâîáîäíûé îò íåäîñòàòêîâ òðàäèöè-
îííîãî ìåòîäà, á) ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëà ïîëÿ
èñòî÷íèêà ìàëûõ, íî êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, à òàêæå
â) ìåòîä ðàñ÷åòà ïîòåíöèàëüíûõ êîýôôèöèåíòîâ äëÿ
îöåíêè ïîìåõè, íàâåäåííîé â îáúåêòå ìàëûõ ðàçìå-
ðîâ.
Ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà
äëÿ ïîòåíöèàëà åäèíè÷íîãî ýëåìåíòàðíîãî èñòî÷íè-
êà ïîëÿ â ñëîèñòîé ñðåäå (ò. å. ôóíêöèÿ Ãðèíà), êàê
èçâåñòíî [1, 2], îïèñûâàåòñÿ ôîðìóëîé
0 0
0
( ) ( , )d ,iG K J r z z
∞
= λ Φ λ − λ∫ (1)
Ôóíêöèè g(λ) è q(λ) îïðåäåëÿþòñÿ ïðè ðåøåíèè
ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷è òåîðèè ïîòåíöèàëà èç ãðà-
íè÷íûõ óñëîâèé. Ìåòîä ïîëó÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî
âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè Φi(λ, z�z0) â ñòðîãîì êëàñ-
ñè÷åñêîì âàðèàíòå èçëîæåí â [1, 2], ñîîòâåòñòâóþ-
ùàÿ èíæåíåðíàÿ ìåòîäèêà èçëîæåíà â [3, 4].
Èçâåñòíûå ðåøåíèÿ
Äëÿ ëþáîé ïëîñêîñòè z=z0 ôóíêöèÿ Φi(λ, z�z0)=
=Φ(λ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äðîáíî-ðàöèîíàëüíóþ ôóíê-
öèþ ýêñïîíåíò [3, 4], ïîýòîìó íåñîáñòâåííûé èí-
òåãðàë (1) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïåðâîîáðàçíûå ëèøü â
ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ, ïðåäñòàâëÿþùèõ âåñüìà îãðà-
íè÷åííûé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ. Èçâåñòíûå ñïîñî-
áû ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (1) îñíî-
âàíû íà èñïîëüçîâàíèè òîæäåñòâà Âåáåðà�Ëèïøèöà
0 2 2
0
1
( )exp( )dJ r
r
∞
λ − λτ λ =
+ τ∫ (τ≥0). (2)
Äëÿ ýòîãî ôóíêöèÿ Φ(λ) àïïðîêñèìèðóåòñÿ ýêñ-
ïîíåíöèàëüíûì ïîëèíîìîì
0
( ) exp( ) ( ),B
ϒ
υ
υ=
Λ λ = − λ τυ ϒ ≤ ∞∑ (3)
âûðàæåíèå (3) ïîäñòàâëÿåòñÿ â (1), è òîãäà ñ ó÷åòîì
ñîîòíîøåíèÿ (2) ôîðìóëà (1) äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà
óïðîùàåòñÿ:
2 2
00
1
( ) .
4 ( )
B
G r
r
ϒ
υ
υ=
=
πε + υτ
∑ (4)
Çäåñü τ � íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü; Bυ � êîýôôè-
öèåíòû àïïðîêñèìàöèè. Ïðè ϒ = ∞ ðàâåíñòâî (4) ÿâ-
ëÿåòñÿ òî÷íûì.
Òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà ïî ôîðìóëå
(4), êàê ïðàâèëî, ëèáî îöåíèâàåòñÿ ýâðèñòè÷åñêè,
ëèáî íå ðàññìàòðèâàåòñÿ âîîáùå: îöåíèâàåòñÿ ëèøü
òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèè Φ(λ). Ðåäêèì èñ-
êëþ÷åíèåì ÿâëÿþòñÿ ðàáîòû [1, 5], ãäå ïðè ðåøåíèè
îñíîâíîé çàäà÷è ýëåêòðîðàçâåäêè ôóíêöèþ Φ(λ) óäà-
åòñÿ ïðåäñòàâèòü ðÿäîì Ìàêëîðåíà, êîòîðûé çàòåì
èíòåãðèðóåòñÿ; â ðåçóëüòàòå ôóíêöèÿ Ãðèíà ïîëó÷àåò-
ñÿ ïðåäñòàâëåííîé ìåäëåííî ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì. Ïðè
íåêîòîðûõ ñî÷åòàíèÿõ çíà÷åíèé ïðîâîäèìîñòè ñëî-
åâ ðÿä ÿâëÿåòñÿ çíàêîïåðåìåííûì, è òîãäà íåòðóäíî
îöåíèòü ïîãðåøíîñòü, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðè çàìåíå
ðÿäà åãî îòðåçêîì. Âñëåäñòâèå ìåäëåííîé ñõîäèìîñ-
ãäå K =
K =
ε0, µ0 �
J0 �
r �
z0�z �
Φ(λ, z�z0) =
1/4πε0 ïðè ðàñ÷åòå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà,
µ0/4π ïðè ðåøåíèè ìàãíèòîñòàòè÷åñêîé çàäà÷è;
àáñîëþòíûå äèýëåêòðè÷åñêàÿ è ìàãíèòíàÿ ïðîíèöà-
åìîñòè ñâîáîäíîãî ïðîñòðàíñòâà, ñîîòâåòñòâåííî;
ôóíêöèÿ Áåññåëÿ ïåðâîãî ðîäà íóëåâîãî ïîðÿäêà;
ðàäèóñ â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò;
ðàçíîñòü àïïëèêàò èñòî÷íèêà ïîëÿ è òî÷êè, ãäå âû-
÷èñëÿåòñÿ ïîëå;
exp(�λz�z0)+g(λ)exp[λ(z�z0)]+q(λ)exp[λ(z�z0)].
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2006, ¹ 6
10
ÝËÅÊÒÐÎÍÍÛÅ ÑÐÅÄÑÒÂÀ: ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß, ÐÀÇÐÀÁÎÒÊÈ
òè òàêèõ ðÿäîâ ïðàêòè÷åñêîå èõ èñïîëüçîâàíèå ÿâëÿ-
åòñÿ ïðîáëåìàòè÷íûì; ñïîñîáû óëó÷øåíèÿ èõ ñõî-
äèìîñòè îáñóæäàþòñÿ â [6]. Â ðàáîòå [3] ïðåäëàãàåò-
ñÿ àïïðîêñèìèðîâàòü ôóíêöèþ Φ(λ) ïîëèíîìàìè Ëå-
æàíäðà ïî ñòåïåíÿì ïåðåìåííîé u=exp(�λτ), ãäå τ �
íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü, ïðè÷åì òðóäîåìêîñòü âû-
÷èñëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ àïïðîêñèìàöèè ñðàâíèìà ñ
òðóäîåìêîñòüþ âû÷èñëåíèÿ ñàìîãî èíòåãðàëà (1). Â
[4] ïðåäëàãàåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ èíòåðïîëÿöèîííûì
ìíîãî÷ëåíîì � ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ôóíêöèé ×å-
áûøåâà ïåðâîãî ðîäà � ñ îïòèìàëüíûì âûáîðîì óç-
ëîâ íà èíòåðâàëå [0,1] òàêæå ïî ñòåïåíÿì ïåðåìåí-
íîé u=exp(�λτ). Ó÷èòûâàÿ ïðîñòîòó ïðîöåäóðû ïî-
ëó÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ èíòåðïîëÿöèè [7] è èçâåñò-
íûå âîçìîæíîñòè àïïðîêñèìàöèè â áàçèñå ôóíêöèé
×åáûøåâà ïåðâîãî ðîäà, ïðåäëàãàåìûé â [4] âàðèàíò
ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðåäïî÷òèòåëüíûì; íîðìèðóþùèé
ìíîæèòåëü ïðè ýòîì ïðèíèìàåòñÿ ðàâíûì óäâîåííîé
òîëùèíå ïîäñòèëàþùåãî ñëîÿ (óäâîåííîé òîëùèíå
ïîäëîæêè).
Îäíàêî ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè
Ãðèíà âèäà (3), ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîð-
ìóëû Âåáåðà�Ëèïøèöà, îáëàäàþò òðåìÿ íåóñòðàíè-
ìûìè íåäîñòàòêàìè. Âî-ïåðâûõ, èíòåãðèðîâàíèå ýòèõ
âûðàæåíèé ïî îáúåìó èñòî÷íèêà èëè ïðèåìíèêà ïîëÿ
ïðèâîäèò ê âåñüìà ãðîìîçäêèì âûðàæåíèÿì [3, 4 è
äð.], à èíòåãðàëû îò ôóíêöèè Ãðèíà ñ âåñîì, ðàâíûì
ïëîòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ èñòî÷íèêîâ ïîëÿ, íåðåäêî
÷åðåç ïåðâîîáðàçíûå íå âûðàæàþòñÿ. Âî-âòîðûõ, â
îòñóòñòâèå ìåòîäîâ òî÷íîãî âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (1)
îöåíêó ïîãðåøíîñòè åãî âû÷èñëåíèÿ ìîæíî ïðîâî-
äèòü ëèøü ïî âíóòðåííåé ñõîäèìîñòè; òàêàÿ îöåíêà
íå âñåãäà íàäåæíà è íå âñåãäà âîçìîæíà. Â-òðåòüèõ,
êàê ïîêàçûâàåò âû÷èñëèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì ïðåäëàãàåìîãî íèæå ìåòîäà, ïðè òðà-
äèöèîííîì ìåòîäå âû÷èñëåíèé, ïðåäïîëàãàþùåì
àïïðîêñèìàöèþ ôóíêöèè Φ(λ) ñóììîé ýêñïîíåíò è
èñïîëüçîâàíèå ôîðìóëû Âåáåðà�Ëèïøèöà, ïîãðåø-
íîñòü ðàñ÷åòà ôóíêöèè Ãðèíà ñóùåñòâåííî çàâèñèò
îò ðàññòîÿíèÿ r è ïðè åãî óâåëè÷åíèè, ñîõðàíÿÿ çíàê,
áûñòðî ðàñòåò ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå.
Íåîáõîäèì íîâûé ìåòîä, ïîçâîëÿþùèé êîíòðîëè-
ðîâàòü òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé è ïðèâîäÿùèé ê ïðîñòûì
âûðàæåíèÿì äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà, ïðèãîäíûì äëÿ äàëü-
íåéøåãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàêîé ìåòîä ïðåäëàãàåòñÿ
íèæå.
Ïðåäëàãàåìûé ìåòîä
Ïðåäñòàâèì âûðàæåíèå (1) â âèäå
G=K(I1+I2),
ãäå 1 0
0
( ) ( )d ;I J r
β
= λ Φ λ λ∫ 2 0( ) ( )d ;I J r
∞
β
= λ Φ λ λ∫
β � ïðîèçâîëüíûé ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ, âûáèðà-
åìûé èç óñëîâèÿ
( ) ( ).Φ β ≈ Φ ∞ (5)
Ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííûé õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ôóíê-
öèè Φ(λ), óñëîâèå (5) ïðè âû÷èñëåíèè ôóíêöèè Φ(λ)
ìîæåò áûòü âûïîëíåíî ñ ëþáîé òðåáóåìîé ñòåïåíüþ
òî÷íîñòè, îãðàíè÷åííîé ëèøü îñîáåííîñòÿìè ÿçûêà
ïðîãðàììèðîâàíèÿ è òåõíè÷åñêèìè âîçìîæíîñòÿìè
êîìïüþòåðà. Òîãäà
2 0( ) ( )d ( ) ( ),I J r r
∞
β
≈ Φ ∞ λ λ = Φ ∞ ⋅ Θ β∫ (6)
ãäå àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå ôóíêöèè Θ(βr) èìååò
âèä
0 0 1 1 0( )=1 ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )].
2
J J J
πξΘ ξ − ξ ξ + ξ Η ξ − ξ Η ξ (7)
 âûðàæåíèè (7) Jκ � ôóíêöèÿ Áåññåëÿ ïåðâîãî
ðîäà κ-ãî ïîðÿäêà; Hκ � ôóíêöèÿ Ñòðóâå κ-ãî ïî-
ðÿäêà; ξ=βr; κ=0,1; π=3,14159... [8].
Ôóíêöèÿ Θ(ξ) èìååò êîëåáàòåëüíûé õàðàêòåð (ñì.
ðèñ. 1). Ïåðâûå íóëè θκ (κ=1, 20) ýòîé ôóíêöèè ïðåä-
ñòàâëåíû â òàáëèöå. Ïðè âû÷èñëåíèè íóëåé ñ ïîìî-
ùüþ âûðàæåíèÿ (7) ôóíêöèè Áåññåëÿ ðàññ÷èòûâà-
ëèñü ïî èíòåãðàëüíîé ôîðìóëå Áåññåëÿ [9, ñ. 182],
ôóíêöèè Ñòðóâå � ïî èíòåãðàëüíîé ôîðìóëå Ïóàñ-
ñîíà [9, ñ. 182]. Óêàçàííûå èíòåãðàëüíûå ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ õîðîøî âåðèôèöèðîâàíû è äîïóñêàþò ïðîñòîé
êîíòðîëü ïîãðåøíîñòè. Ïîâûøåííûé, ïî ñðàâíåíèþ,
íàïðèìåð, ñ [10], ðàñõîä ìàøèííîãî âðåìåíè ïðè ïðî-
âåäåíèè äàííîãî èññëåäîâàíèÿ çíà÷åíèÿ íå èìåë. Äëÿ
ñíèæåíèÿ âëèÿíèÿ ïîãðåøíîñòè îêðóãëåíèÿ âñå âû-
÷èñëåíèÿ ïðîâîäèëèñü ñ ó÷åòîì 32 äåñÿòè÷íûõ çíà-
êîâ ìàíòèññû êàæäîãî îïåðàíäà. Ïðè ÷èñëåííîì èí-
òåãðèðîâàíèè èñïîëüçîâàëàñü êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà
Ãàóññà äëÿ òðåõ óçëîâ [7, ðàçäåë 20.7-3], ïðè÷åì äëÿ
κ Íóëè θκ κ Íóëè θκ
1 1,108364661 11 32,220662040
2 4,062644472 12 35,360546791
3 7,151557848 13 38,500708053
4 10,269381067 14 41,641083834
5 13,397636191 15 44,781629355
6 16,530742102 16 47,922311469
7 19,666476075 17 51,063105122
8 22,803787326 18 54,203991027
9 25,942117194 19 57,344954096
10 29,081142112 20 60,485982359
Íóëè Θ-ôóíêöèè
Θ(ξ)
0,75
0,5
0,25
0
�0,25
�0,5
0 5 10 15 20 ξ
Ðèñ. 1. Θ-ôóíêöèÿ
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2006, ¹ 6
11
ÝËÅÊÒÐÎÍÍÛÅ ÑÐÅÄÑÒÂÀ: ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß, ÐÀÇÐÀÁÎÒÊÈ
ñíèæåíèÿ âëèÿíèÿ ìåòîäè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè èíòåð-
âàë èíòåãðèðîâàíèÿ áûë ðàçáèò íà 104 øàãîâ. Ïðè
òàêîì ñïîñîáå âû÷èñëåíèé ðåçóëüòàò ñîäåðæèò ïî
ìåíüøåé ìåðå 11 âåðíûõ äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ. Ïîãðåø-
íîñòü ðàñ÷åòà èíòåãðàëîâ êîíòðîëèðîâàëàñü ìåòîäîì
Ðóíãå [11, ñ. 203], íå òðåáóþùèì âû÷èñëåíèÿ ïðîèç-
âîäíîé âûñîêîãî ïîðÿäêà îò ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíê-
öèè.
Ñîîòíîøåíèå (5) ñ çàäàííîé îòíîñèòåëüíîé ïî-
ãðåøíîñòüþ íå áîëåå δΦ îáåñïå÷èâàåòñÿ ëþáûì ïðå-
äåëîì èíòåãðèðîâàíèÿ [ , ]κβ ∈ β ∞ . ×òîáû âûáðàòü
íèæíèé ïðåäåë èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ èíòåãðàëà I2, íå-
îáõîäèìî ðåøèòü îòíîñèòåëüíî β óðàâíåíèå
1 ( ) / ( ) Φ− Φ β Φ ∞ = δ . Îïðåäåëÿåìûé ïî òàáëèöå äëÿ
íàèáîëüøåãî ðàññòîÿíèÿ1 rmax áëèæàéøèé áîëüøèé
íóëü Θ-ôóíêöèè θκ äàñò âåëè÷èíó ïðîèçâåäåíèÿ
βminrmax, êîòîðîå îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ
âñåõ ðàññòîÿíèé r≤rmax ìîæåò áûòü âçÿò îäèí è òîò
æå íóëü Θ-ôóíêöèè θκ, ò. ê. îí ñîîòâåòñòâóåò çíà÷å-
íèþ ïðåäåëà βκ=θκ / r≥βmin, à βκ çàâåäîìî îáåñïå÷è-
âàåò ñîîòíîøåíèå (5). Äëÿ âñåõ r≤rmax ïðè âûáðàí-
íîì θκ=βminrmax ïðåäåë βκ âñåãäà îáåñïå÷èâàåò ðà-
âåíñòâî I2=0 ñ òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ, è äëÿ âñåõ r≤rmax
ïðè ðàñ÷åòå I1 ìîæåò áûòü ïðèíÿòà âåëè÷èíà βκ=θκ / r.
Òîãäà ïî ôîðìóëå (1) ïðè I2=0
0
0
( ) ( ) ( ) d .G r K J r
κβ
= λ Φ λ λ∫ (8)
Âû÷èñëåíèå ñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ñ êîíå÷íû-
ìè ïðåäåëàìè â (8) íå ïðåäñòàâëÿåò ïðèíöèïèàëüíûõ
òðóäíîñòåé ïðè ÷èñëåííîì èíòåãðèðîâàíèè. Îöåíêó
ïîãðåøíîñòè èíòåãðèðîâàíèÿ ìîæíî ïðîâîäèòü íå
òîëüêî ïî âíóòðåííåé ñõîäèìîñòè: òî÷íîñòü ïðèáëè-
æåííûõ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë õîðîøî èçó÷åíà. Ó÷è-
òûâàÿ âîçìîæíîñòü ðàçáèåíèÿ èíòåðâàëà èíòåãðèðî-
âàíèÿ íà øàãè, çíà÷åíèå ôóíêöèè Ãðèíà â ïðîèçâîëü-
íîé òî÷êå íà ïëîñêîñòè z=z0 ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàíî
ïî ôîðìóëå (8) ñ ëþáîé òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ, êîòî-
ðàÿ ïðèíöèïèàëüíî îãðàíè÷èâàåòñÿ ëèøü âîçìîæíî-
ñòÿìè êîìïüþòåðà è ÿçûêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ñëå-
äîâàòåëüíî, ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ðàâåíñòâî
(8) ÿâëÿåòñÿ ïðàêòè÷åñêè òî÷íûì: ñ åãî ïîìîùüþ
ìîæíî ïîëó÷èòü ïðàêòè÷åñêè òî÷íîå çíà÷åíèå ïîòåí-
öèàëà òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà ïîëÿ â ïðåäåëàõ ôèçè÷å-
ñêèõ äîïóùåíèé, ïðèíÿòûõ ïðè ìàòåìàòè÷åñêîé ôîð-
ìàëèçàöèè çàäà÷è.
Ýòî ïîçâîëÿåò ïðè âû÷èñëåíèè ïîòåíöèàëà â ñëî-
èñòîé ñðåäå ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (8) çíà-
÷åíèå óñëîâíî ñ÷èòàòü òî÷íûì è èñïîëüçîâàòü åãî äëÿ
êîíòðîëÿ òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà ïðè-
áëèæåííûìè ìåòîäàìè, â òîì ÷èñëå äëÿ êîíòðîëÿ
ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèé ïî ôîðìóëå (4), ò. å. ïî-
ãðåøíîñòè, êîòîðàÿ îáóñëîâëåíà àïïðîêñèìàöèåé ôóíê-
öèè Φ(λ). Êðîìå òîãî, âûðàæåíèå (8) ìîæåò áûòü èñ-
ïîëüçîâàíî äëÿ ïðÿìûõ ðàñ÷åòîâ ïîëÿ ïðè îöåíêå
ñêîðîñòè óáûâàíèÿ ïîòåíöèàëà â ñëîèñòîé ñðåäå ïî
ìåðå óäàëåíèÿ îò èñòî÷íèêà, åñëè ðàçìåðû èñòî÷íè-
êà ïîçâîëÿþò ñ÷èòàòü åãî òî÷å÷íûì. Ýòî ìîæåò ïî-
òðåáîâàòüñÿ, íàïðèìåð, ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäèêè
ðàñ÷åòà ðàäèóñà çîíû ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîâëè-
ÿíèÿ îáúåêòîâ [12] èëè îöåíêè çíà÷åíèÿ íàâåäåííîé
ïîìåõè.
Ïðè íåîáõîäèìîñòè âû÷èñëåíèÿ ïîëÿ â ïëîñêîñòè
z≠z0 ôóíêöèÿ Ãðèíà èç ñâîåé îáû÷íîé ôîðìû ïðåä-
ñòàâëåíèÿ [1, 3�5]
0 0
0
( )exp( )d{G K J r z z
∞
= λ − λ − λ +∫
0 0
0
( ) ( )exp ( ) d[ ]J r g z z
∞
+ λ λ λ − λ +∫
0 0
0
( ) ( ) exp ( ) d[ ] }J r q z z
∞
+ λ λ λ − λ∫
ïðåîáðàçóåòñÿ â àïïðîêñèìèðóþùóþ ôóíêöèþ:
0 0
0
( ) ( ) exp d ,[ ]G K J r z z
∞
= λ Ω λ − λ − λ∫ (9)
è òîãäà çíà÷åíèå βκ îïðåäåëÿåòñÿ íå äëÿ ôóíêöèè Φ, à
äëÿ ôóíêöèè 0( ) exp[ ]z zΩ λ − λ − ïðè ìàêñèìàëü-
íîì çíà÷åíèè |z�z0|, èçâåñòíîì ïî óñëîâèþ çàäà÷è. Â
ýòîì ñëó÷àå ïîòåíöèàë òî÷å÷íîãî èñòî÷íèêà òàêæå
îêàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåííûì âûðàæåíèåì, àíàëîãè÷-
íûì (8):
0 0
0
( ) ( ) exp d .[ ]G K J r z z
κβ
= λ Ω λ − λ − λ∫ (10)
Íåóñòðàíèìûì, íà ïåðâûé âçãëÿä, íåäîñòàòêîì
ôîðìû ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè Ãðèíà (8), (10) ÿâëÿ-
åòñÿ òðóäíîñòü èíòåãðèðîâàíèÿ ïî îáúåìó ðåàëüíîãî
èñòî÷íèêà ïîëÿ ñ âåñîì, ðàâíûì ïëîòíîñòè ðàñïðå-
äåëåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ èñòî÷íèêîâ. Óêàçàííûé íåäî-
ñòàòîê ëåãêî âîçìåùàåòñÿ ïðîñòîòîé è äîñòóïíîñòüþ
ïîëó÷åíèÿ òî÷íûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè Ãðèíà ïî ôîð-
ìóëàì (8), (10), ÷òî îáåñïå÷èâàåò âîçìîæíîñòü èñ-
ïîëüçîâàíèÿ ýòèõ ôîðìóë íå òîëüêî äëÿ êîíòðîëÿ òî÷-
íîñòè.  ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ìîæíî ïðîâåñòè àï-
ïðîêñèìàöèþ âûðàæåíèé (8), (10), ïðè÷åì âèä àï-
ïðîêñèìàöèè ìîæíî ïîäîáðàòü ñ ó÷åòîì âîçìîæíîñ-
òè ïîñëåäóþùåãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Ýòî ìîæåò áûòü,
íàïðèìåð, îòðåçîê ñòåïåííîãî ðÿäà ïî ÷åòíûì ñòåïå-
íÿì ðàäèóñà r èëè îòðåçîê ðÿäà Äèðèõëå è ò. ä.2
Ïîëå ìàëîãî èñòî÷íèêà êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ
Ðîëü ïàðàçèòíûõ åìêîñòíûõ (ò. å. îáóñëîâëåííûõ
ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì) ñâÿçåé íåîäíîêðàòíî ïîä÷åð-
êèâàëàñü â ñïåöèàëüíûõ ðàáîòàõ, ïîñâÿùåííûõ ïðî-
åêòèðîâàíèþ ìèêðîñõåì (ñì. [13, 14] è äð.). Òàê, â
[14, ñ. 270] c ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî èåðàðõè÷åñêî-
ãî ïîäõîäà ìåòîäàìè ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè ïîêà-
çàíà äîìèíèðóþùàÿ ðîëü ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
ñîñåäíèõ îáúåêòîâ.1  êà÷åñòâå íàèáîëüøåãî ðàçìåðà rmax, íåîáõîäèìîãî äëÿ
ïðÿìûõ ðàñ÷åòîâ ïîëÿ èëè ïîñëåäóþùåãî èíòåãðèðîâàíèÿ ôóíê-
öèè Ãðèíà, ìîæåò áûòü ïðèíÿòà, íàïðèìåð, äëèíà ñàìîãî äëèííî-
ãî ïðÿìîóãîëüíîãî ïðîâîäíèêà íà ïîäëîæêå èëè äèàãîíàëü ðàáî-
÷åãî ïîëÿ ïîäëîæêè.
2 Ðàçðàáîòêà è èññëåäîâàíèå êîíêðåòíûõ âèäîâ àïïðîêñèìè-
ðóþùèõ âûðàæåíèé, ó÷èòûâàþùèõ ñïåöèôèêó êîíêðåòíûõ çàäà÷,
âûõîäèò çà ðàìêè äàííîé ñòàòüè.
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2006, ¹ 6
12
ÝËÅÊÒÐÎÍÍÛÅ ÑÐÅÄÑÒÂÀ: ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß, ÐÀÇÐÀÁÎÒÊÈ
Ðàññìîòðèì ïàðó êîìïëàíàðíûõ îáúåêòîâ, ôîðìà
êîòîðûõ àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåäîì: ðàñ-
ïîëîæåííûé â íà÷àëå ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîð-
äèíàò èñòî÷íèê ïîëÿ äëèíîé l, øèðèíîé b è âûñîòîé
t è âòîðîé îáúåêò äëèíîé l0, øèðèíîé b0 è âûñîòîé t0,
êîòîðûé ïîäâåðãàåòñÿ âîçäåéñòâèþ ïîëÿ èñòî÷íèêà è
â ýòîì îòíîøåíèè ÿâëÿåòñÿ ïðèåìíèêîì ïîìåõè (ñì.
ñõåìàòè÷íûé ïðèìåð èññëåäóåìîé êîíñòðóêöèè íà
ðèñ. 2). Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòî-
ÿíèåì îò èñòî÷íèêà äî ïðèåìíèêà ïîìåõè ðàçìåðû
èñòî÷íèêà ìàëû, íî êîíå÷íû.
Àïïðîêñèìàöèÿ ôóíêöèè Ω(λ) â (10) ïðèâîäèò ê
âûðàæåíèþ äëÿ ôóíêöèè Ãðèíà, íåñêîëüêî îòëè÷àþ-
ùåìóñÿ îò (4):
2 2 2 2
10 0
,
( )
TK
G K
r z z r z z
Υ
υ
υ=
= +
+ − + υτ + −
∑ (11)
ãäå ïåðâîå ñëàãàåìîå îïèñûâàåò ïîòåíöèàë ïîëÿ â
ïóñòîì ïðîñòðàíñòâå, à âòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ïîïðàâêó, êîòîðàÿ ó÷èòûâàåò íàëè÷èå ñëîèñòîé ñðåäû.
Ïðè ðàñ÷åòå ïîëÿ â äàëüíåé çîíå (ò. å. íà ðàññòîÿ-
íèÿõ, çíà÷èòåëüíî ïðåâûøàþùèõ ðàçìåðû èñòî÷íè-
êà) ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèåìîì, êîòîðûé íåðåä-
êî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðàñ÷åòå ïîòåíöèàëà ìåòîäîì
ìîìåíòîâ [15] (ñì., íàïðèìåð, [16]). Ïðè èñïîëüçî-
âàíèè ýòîãî ìåòîäà ïîâåðõíîñòü èñòî÷íèêà ïîëÿ ðàç-
áèâàåòñÿ íà ó÷àñòêè, â ïðåäåëàõ êàæäîãî èç êîòîðûõ
ïëîòíîñòü çàðÿäîâ îïèñûâàåòñÿ àïïðîêñèìèðóþùåé
ôóíêöèåé; âèä ôóíêöèè ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûì: åãî
çàäàþò, èñõîäÿ èç ñïåöèôèêè ðåøàåìîé çàäà÷è.
Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ðàçìåðû l, b è t èñòî÷íèêà
ïîëÿ äîñòàòî÷íî ìàëû, è ïîýòîìó íåò íóæäû ðàçáè-
âàòü åãî ïîâåðõíîñòü íà ó÷àñòêè. Ïëîòíîñòü ðàñïðå-
äåëåíèÿ çàðÿäà η(x0, y0, z0) ïî ïîâåðõíîñòè áóäåì îïè-
ñûâàòü èìïóëüñíûìè ôóíêöèÿìè Äèðàêà (δ-ôóíêöè-
ÿìè):
0 0 0 0 0 0( , , ) ( ) ( ) ( ).x y z x y zη = δ ⋅δ ⋅δ (12)
Âûðàæåíèå (12) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèå íîðìèðîâêè
/ 2 / 2 / 2
0 0 0 0 0 0
/ 2 / 2 / 2
d d ( , , ) d 1.
l b t
l b t
x y x y z z
− − −
η =∫ ∫ ∫
Òîãäà ïîòåíöèàë, ñîçäàâàåìûé òàêèì èñòî÷íèêîì
ïîëÿ â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè x , y , z:
0
0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , )d ,
V
x y z K x y z G x y z Vϕ = η∫∫∫ (13)
ãäå V0 � îáúåì ïðîñòðàíñòâà, çàíèìàåìûé èñòî÷íè-
êîì.
Ïî ôîðìóëå (13) ñ ó÷åòîì (11) è (12):
2 2 2
2 2 2
1
( , , )
.
( )
K
x y z
x y z
T
K
x y z
ϒ
υ
υ=
ϕ = +
+ +
+
+ + υτ +
∑
(14)
Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ãðàíèöû ïðèåìíèêà ïîìåõè
èìåþò êîîðäèíàòû x1, x1+l0, y1, y1+b0, z1 è z1+t0.
Óñðåäíÿÿ ïîòåíöèàë ϕ(x, y, z) ïî ïëîùàäè ïðèåìíèêà
ïîìåõè â ïëîñêîñòè x0y, ïîëó÷èì:
1 0 1 0
1 1
0
0 0
( ) d ( , , ) d
y b x b
x y
y x
K
z y x y z x
l b
+ +
ϕ = ϕ =∫ ∫
1 0 1 0 1 1 0
00 0
[ ( , ) ( , )
K
T x l y b x y b
l b
ϒ
υ υ υ
υ=
= ψ + + − ψ + −∑
1 0 1 1 1( , ) ( , )] ,x l y x yυ υ− ψ + + ψ
ãäå 2 2
( , ) Arsh
( | |)
x
x y y
y z
υψ = +
+ υτ +
2 2
Arsh ( | |)
( | |)
y
x z
x z
+ − υτ + ×
+ υτ +
2 2 2
arctg .
( | |) ( | |)
x y
z x y z
×
υτ + + + υτ + (15)
Äàëüíåéøåå èíòåãðèðîâàíèå íåìèíóåìî ïðèâåäåò
ê ÷ðåçìåðíîìó óñëîæíåíèþ ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà
ïîòåíöèàëà, ïîýòîìó âûðàæåíèå (15) íóæäàåòñÿ â
óïðîùåíèè. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò ó÷åñòü, ÷òî ðàññòîÿ-
íèå ìåæäó ïëîñêîñòÿìè, ãäå ðàñïîëîæåíû èñòî÷íèê
è ïðèåìíèê ïîìåõè, ðàâíî íóëþ èëè ìàëî ïî ñðàâíå-
íèþ ñ ðàññòîÿíèåì ìåæäó íàçâàííûìè îáúåêòàìè,
ò. å. z≈z0; z2<<x2; z2<<y2; x∈[x1, x1+l0]; y∈[y1, y1+b0];
z∈[z1, z1+t0].
Êðîìå òîãî, îáû÷íî υτ>>|z|, ïîýòîìó ïðè υ≠0
ìîæíî ëèáî ïðåíåáðå÷ü |z| ïî ñðàâíåíèþ ñ υτ, ò. å.
ïðèíÿòü
2 2 2
2 2 2
( | |) arctg
( | |) ( | |)
arctg ,
( )
x y
z
z x y z
x y
x y
υτ + ≈
υτ + + + υτ +
≈ υτ
υτ + + υτ
ëèáî ïîñëåäóþùåå èíòåãðèðîâàíèå ïðîâåñòè ÷èñëåí-
íî è èñïîëüçîâàòü ïðè ýòîì ïðîñòåéøóþ êâàäðàòóð-
íóþ ôîðìóëó ñ îäíèì óçëîì.
Ïðè υ=0 ôóíêöèþ arctg ìîæíî ïðåäñòàâèòü îò-
ðåçêîì ðÿäà [17]. Åñëè îãðàíè÷èòüñÿ ëèíåéíûì îòíî-
ñèòåëüíî z ÷ëåíîì ðÿäà, òî
1 22
3
3
4
z
Ðèñ. 2. Ãèáðèäíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìèêðîñõåìà êàê ïðèìåð
èññëåäóåìîé êîíñòðóêöèè, àäåêâàòíîé ñëîèñòîé ñðåäå:
1 � áåñêîðïóñíûé òðàíçèñòîð; 2 � ïðîâîäíèêè; 3 � âåðõíÿÿ è
íèæíÿÿ êðûøêè ìåòàëëè÷åñêîãî êîðïóñà; 4 � äèýëåêòðè÷åñêàÿ
ïîäëîæêà
0
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2006, ¹ 6
13
ÝËÅÊÒÐÎÍÍÛÅ ÑÐÅÄÑÒÂÀ: ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß, ÐÀÇÐÀÁÎÒÊÈ
2 2 2
2 2
arctg .
2
z z x yx y
z
xyz x y
π +
≈ −
+
Òîãäà, óñðåäíÿÿ ïîòåíöèàë ( , , )x y zϕ ïî îáúåìó
ïðèåìíèêà ïîìåõè, ïîëó÷èì:
1 0
1
ï 0
( )d
z t
x y
z
z z
+
ϕ = ϕ =∫
1 0 1 0 1 1 0
00 0 0
[ ( , ) ( , )
K
T x l y b x y b
l b t
ϒ
υ υ υ
υ=
= ϕ + + −ϕ + −∑
1 0 1 1 1( , ) ( , )],x l y x yυ υ−ϕ + + ϕ (16)
ãäå
0 2 2
2 2
( , ) Arsh
( | |)
Arsh ;
( | |)
[
]
x
x y t y
y z
y
x
x z
υ
υ
ϕ = +
+ υτ +
+ + χ
+ υτ +
ïðè υ=0
2 2
3 3 2 2
0 1 0 1 1 0 1[( ) ] / 3 [( ) ] / 4;
x y
z t z z t z
x y
+
χ = + − − π + −
ïðè υ≠0
0
2 2 2
( | | / 2)
arctg .
( | | / 2) ( | | / 2)
t z
xy
z x y z
υχ = υτ+ ×
×
υτ+ + + υτ+
Âûðàæåíèå (16) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ
ïðÿìûõ ðàñ÷åòîâ ïîëÿ â äàëüíåé çîíå ïðè îöåíêå ñêî-
ðîñòè óáûâàíèÿ ïîòåíöèàëà â ñëîèñòîé ñðåäå ïî ìåðå
óäàëåíèÿ îò èñòî÷íèêà ïîìåõè, èìåþùåãî ìàëûå, íî
êîíå÷íûå ðàçìåðû. Ýòî ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ, íàïðè-
ìåð, ïðè ðàñ÷åòå ðàäèóñà çîíû ýëåêòðîìàãíèòíîãî
âçàèìîâëèÿíèÿ îáúåêòîâ [12].
Ïðè ðàñ÷åòå ïîëÿ â áëèæíåé çîíå èñïîëüçîâàí-
íûå âûøå ñïîñîáû óïðîùåíèÿ ïîëó÷àåìûõ âûðàæå-
íèé íåïðèåìëåìû.  ýòîì ñëó÷àå çíà÷èòåëüíî óïðîñ-
òèòü ðàáî÷èå ôîðìóëû ìîæíî ñ ïîìîùüþ êóáàòóð-
íîé ôîðìóëû Ìàêñâåëëà, èçâåñòíîé â îòå÷åñòâåííîé
ëèòåðàòóðå êàê ìåòîä ñðåäíèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ðàñ-
ñòîÿíèé (ÑÃÐ). Ìåòîä áûë ïðåäëîæåí Ìàêñâåëëîì
â ðàáîòå [18, § 691]. Êàê èçâåñòíî, îí ïðèâîäèò ê
òî÷íîìó ðåçóëüòàòó ëèøü â ñëó÷àå áåñêîíå÷íî äëèí-
íûõ ïðÿìîëèíåéíûõ ïðîâîäîâ ïîñòîÿííîãî ïîïåðå÷-
íîãî ñå÷åíèÿ. Îäíàêî, â îòëè÷èå îò [3], ìåòîä ÑÃÐ
öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ òîëü-
êî ïî âûñîòå, à íå ïî ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ.
Ó÷èòûâàÿ âûñîêóþ òî÷íîñòü ìåòîäà ÑÃÐ [19], ìîæ-
íî îæèäàòü, ÷òî òàêîé ïðèåì ïîçâîëèò îáåñïå÷èòü
âïîëíå ïðèåìëåìóþ ïîãðåøíîñòü.
Ïîòåíöèàë, ñîçäàâàåìûé âñåì îáúåìîì èñòî÷íè-
êà ïîëÿ V0 è óñðåäíåííûé ïî ýòîìó îáúåìó (V=V0),
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû:
0
è 0 0 0 0 0 0 0
0
d ( , , ) ( , , )d
,
V V
K
V x y z G x y z V
lbt
ϕ = η =
= ϕ + ∆ϕ
∫∫∫ ∫∫∫
(17)
×òî êàñàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà, òî ïðè ðàñ÷å-
òàõ ïîòåíöèàëà â îáúåìå èñòî÷íèêà ïî ôîðìóëå (17)
àïïðîêñèìàöèÿ (12) ìîæåò îêàçàòüñÿ íåóäîâëåòâîðè-
òåëüíîé. Íåðåäêî çàðÿä ïî îáúåìó V0 ðàñïðåäåëåí
ñëîæíûì îáðàçîì íåðàâíîìåðíî è ê òîìó æå ñóùå-
ñòâåííî ìåíÿåòñÿ â ïðîöåññå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ èñ-
òî÷íèêà (íàïðèìåð, òðàíçèñòîðà). Âûõîäîì èç ïîëî-
æåíèÿ ìîæåò ñëóæèòü èñïîëüçîâàíèå ñïåöèàëüíîé
ïðîãðàììû ýëåêòðîôèçè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, áà-
çèðóþùåéñÿ íà ðåøåíèè ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû
óðàâíåíèé ïîëóïðîâîäíèêîâ; ýòî ïðèåìëåìî ëèøü ïðè
ïðîâåäåíèè íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé èëè ïðè ìàëîé
ðàçìåðíîñòè ïðîåêòíîé çàäà÷è. Äðóãèì âûõîäîì ÿâ-
ëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå äâóõñòîðîííåé îöåíêè ïîòåíöèà-
ëà, êàê ýòî ñäåëàíî, íàïðèìåð, â [19].
Ïðè ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòè çàðÿäà ïî îáúåìó V0
0 0 0( ) 1 ; ( ) 1/ ; ( ) 1/ .z t y b x lη = η = η = (18)
Òîãäà, âûïîëíÿÿ øåñòèêðàòíîå èíòåãðèðîâàíèå ïî
ôîðìóëå (17) ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (11) ïðè ðàñïðåäå-
ëåíèè çàðÿäà (18), ïîëó÷èì:
2 2 2 2
0 2
2
( )Arsh ( )Arsh
( )
[K b l
b l s l b s
l b A D
ϕ = − + − +
2 ( Arsh Arsh )
b l
s b l E A D
s s
+ + + − − +
3 3 3 32
2 arctg ,
3
]s D A E l b
s
sE
+ + −+ − (19)
ãäå 2 2 ;A l s= + 2 2 ;D b s= + 2 2 2;E l b s= + +
s=t·exp(�3/2) � ñðåäíåå ãåîìåòðè÷åñêîå ðàññòîÿíèå
îòðåçêà ïðÿìîé, êîòîðûé èìååò äëèíó t, îò ñàìîãî
ñåáÿ.
Äëÿ èñòî÷íèêîâ, íå ñëèøêîì ïðîòÿæåííûõ âäîëü
îñè àïïëèêàò (ò. å. ïðè s<<τ, ÷òî îáû÷íî ñîáëþäàåò-
ñÿ), ïîïðàâêà ∆ϕ, ïîçâîëÿþùàÿ ó÷åñòü âëèÿíèå ñëî-
èñòîé ñðåäû, îò âûñîòû îáúåêòà (íàïðèìåð, ïðîâîä-
íèêà) íå çàâèñèò. Òîãäà
2 2
2
0
2
( )Arsh
( )
[K b
T b l
t bl A
ϒ
υ υ
υ=
∆ ϕ = − τ +∑
2 2 2( )Arsh ( Arsh
l b
l b b
Dυ υ
υ
+ − τ + τ +
τ
33 3 32
Arsh )
3
D A El
l E A D υ
υ
τ + + −
+ + − − + −
τ
2 arctg ],bl
b l
Eυ
υ
− τ
τ (20)
ãäå 2 2 2 ;E l b υ= + + τ 2 2 ;A l υ= + τ 2 2 ;D b υ= + τ
.υτ = υτ
Åñëè ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè çàðÿäà îïèñûâàåò-
ñÿ ñîîòíîøåíèÿìè
ãäå ϕ0 �
∆ϕ0 �
óñðåäíåííûé ïîòåíöèàë, ñîçäàâàåìûé â ïóñòîì ïðî-
ñòðàíñòâå îáúåìîì V0;
ïîïðàâêà, ó÷èòûâàþùàÿ íàëè÷èå ñëîèñòîé ñðåäû.
Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå, 2006, ¹ 6
14
ÝËÅÊÒÐÎÍÍÛÅ ÑÐÅÄÑÒÂÀ: ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß, ÐÀÇÐÀÁÎÒÊÈ
0 0 0 0 0( ) 1 ; ( , ) ( ) ( ),z t x y x yη = η = δ ⋅δ (21)
òî øåñòèêðàòíîå èíòåãðèðîâàíèå ïî ôîðìóëå (17) ñ
ó÷åòîì ôîðìóëû (11) ïðè ðàñïðåäåëåíèè çàðÿäà (21)
è èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ÑÃÐ äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî
z è z0 äàåò:
è 2 2
0
Arsh
( )
K l
T b
lb b s
ϒ
υ
υ=
ϕ = +
+ υτ +
∑
2 2
Arsh
( )
b
l
l s
+ −
+ υτ +
2 2 2
( ) arctg
( ) ( )
.bl
s
s l b s
− υτ +
υτ + + + υτ +
(22)
Êàê ïîêàçûâàåò âû÷èñëèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò,
àíàëîãè÷íûé îïèñàííîìó â [19], ôîðìóëû (19), (20),
(22) äàþò äâóõñòîðîííþþ îöåíêó ïîòåíöèàëà ïðè íå-
èçâåñòíîì, â òîì ÷èñëå ìåíÿþùåìñÿ, ðàñïðåäåëåíèè
çàðÿäà â îáúåìå èñòî÷íèêà. Ïðè K=1/4πε0 ôîðìóëû
(16), (19), (20), (22) ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü êîýôôè-
öèåíò çàòóõàíèÿ α ïîòåíöèàëà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ,
ñîçäàâàåìîãî èñòî÷íèêîì ïîëÿ ìàëûõ ðàçìåðîâ (êî-
ýôôèöèåíò ïåðåäà÷è êàíàëà ïàðàçèòíîé ñâÿçè ïî íà-
ïðÿæåíèþ):
ï è
/ .α = ϕ ϕ (23)
Íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà âçàèìíîñòè [1] ìîæíî
óòâåðæäàòü, ÷òî ôîðìóëà (23) ïîçâîëÿåò îöåíèòü â
êâàçèñòàöèîíàðíîì ïðèáëèæåíèè ñòåïåíü âçàèìíîãî
âëèÿíèÿ äâóõ îáúåêòîâ íà ðàññòîÿíèè, çíà÷èòåëüíî
ïðåâûøàþùåì ðàçìåðû èñòî÷íèêà ïîìåõè, â ñëîèñ-
òîé ñðåäå.
Îäíàêî ïðèíÿòàÿ ïðè èññëåäîâàíèè ìàòåìàòè÷å-
ñêàÿ ìîäåëü ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé íå ó÷èòûâàåò ÷àñòîò-
íóþ çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ïåðåäà÷è, à òàêæå
ðåàëüíî ñóùåñòâóþùèõ â ìèêðîñõåìå ñâÿçåé ÷åðåç
ýëåìåíòû ýëåêòðè÷åñêîé ïðèíöèïèàëüíîé ñõåìû. Ýòîò
íåäîñòàòîê ëåãêî óñòðàíèòü, åñëè âû÷èñëèòü ñîáñòâåí-
íûå è âçàèìíóþ åìêîñòè íàçâàííûõ âûøå îáúåêòîâ
è âêëþ÷èòü ýòè åìêîñòè â ýêâèâàëåíòíóþ ñõåìó, ïî
êîòîðîé ìîæíî ðàññ÷èòàòü òîêè è íàïðÿæåíèÿ â ìèê-
ðîñõåìå âî âñåì äèàïàçîíå ðàáî÷èõ ÷àñòîò èëè âî
âðåìåííîé îáëàñòè. Íóæíûå åìêîñòè, êàê èçâåñòíî
[20, ñ. 7], ðàññ÷èòûâàþòñÿ ÷åðåç ïîòåíöèàëüíûå êî-
ýôôèöèåíòû; ñîîòíîøåíèå (15) ôàêòè÷åñêè ïðåäñòàâ-
ëÿåò ñîáîé ôîðìóëó äëÿ ðàñ÷åòà âçàèìíîãî ïîòåíöè-
àëüíîãî êîýôôèöèåíòà, à ñîîòíîøåíèå (16) � ôîð-
ìóëó äëÿ ðàñ÷åòà ñîáñòâåííîãî ïîòåíöèàëüíîãî êî-
ýôôèöèåíòà ìåòîäîì Õîó [20, ñ. 21].
***
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü ïîëåçíû ïðè
ðàçðàáîòêå ìàòåìàòè÷åñêîãî è ïðîãðàììíîãî îáåñ-
ïå÷åíèÿ ÑÀÏÐ, à òàêæå íà ñòàäèè ïðåäïðîåêòíûõ èñ-
ñëåäîâàíèé ïðè ÷èñëåííî-ýâðèñòè÷åñêîé îïòèìèçà-
öèè ñõåìîòåõíè÷åñêèõ è êîíñòðóêòîðñêèõ ðåøåíèé.
ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÍÛÅ ÈÑÒÎ×ÍÈÊÈ
1. Òèõîíîâ À. Í., Ñàìàðñêèé À. À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷å-
ñêîé ôèçèêè.� Ì.: Íàóêà, 1977.
2. Ïàíîâñêèé Â., Ôèëèïñ Ì. Êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìè-
êà.� Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963.
3. Ñåìåíöîâ Â. È. Ðàñ÷åò åìêîñòåé ïëîñêèõ ïðîâîäíèêîâ â
ñëîèñòûõ ñðåäàõ // Ðàäèîòåõíèêà.� 1973.� Ò. 28, ¹ 10.�
Ñ. 84�90.
4. Êîííèêîâ È. À. Ðàñ÷åò åìêîñòåé ïðÿìîóãîëüíûõ ïëåíî÷-
íûõ ïðîâîäíèêîâ ñ ïðîèçâîëüíûì êîýôôèöèåíòîì ôîðìû // Ñóäî-
ñòðîåíèå.� 1980.� ¹ 8.� C. 32�33.
5. Çàáîðîâñêèé À. È. Ýëåêòðîðàçâåäêà.� Ì.: Ãîñòîïòåõèçäàò,
1963.
6. Ìîðñ Ô. Ì., Ôåøáàõ Ã. Ìåòîäû òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè.
Ò. 1.� Ì.: ÈË, 1958.
7. Êîðí Ã. À., Êîðí Ò. Ì. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ
íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæåíåðîâ.� ÑÏá: Ëàíü, 2003.
8. Ãðàäøòåéí È. Ñ., Ðûæèê È. Ì. Òàáëèöû èíòåãðàëîâ, ñóìì,
ðÿäîâ è ïðîèçâåäåíèé.� Ì.: Ôèçìàòãèç, 1971.
9. Ñïðàâî÷íèê ïî ñïåöèàëüíûì ôóíêöèÿì // Ïîä ðåä. Ì. Àá-
ðàìîâèöà, È. Ñòèãàí.� Ì.: Íàóêà, 1979.
10. Ñêîáëî Â. Ñ. Ìåòîäèêà àïïðîêñèìàöèè öèëèíäðè÷åñêèõ
ôóíêöèé // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ïðèáîðîñòðîåíèå.� 2005.� ¹ 7.�
Ñ. 61�63.
11. Õåììèíã Ð. Â. ×èñëåííûå ìåòîäû äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíè-
êîâ è èíæåíåðîâ.� Ì.: Íàóêà, 1972.
12. Êîííèêîâ È. À., Ñîêîëîâ Ñ. À., ßí÷óê Å. Ñ. Ðàíæèðîâàíèå
ýëåêòðîìàãíèòíûõ ñâÿçåé â êîììóíèêàòîðàõ ìèêðîñáîðîê ñóäî-
âîé ÐÝÀ // Ñóäîñòðîåíèå.� 1986.� ¹ 10.� Ñ. 32�34.
13. Ìóðîãà Ñ. Ñèñòåìíîå ïðîåêòèðîâàíèå ÑÁÈÑ. Ò. 1.� Ì.:
Ìèð, 1986.
14. Ôåððè Ä., Ýéêåðñ Ë., Ãðèíè÷ Ý. Ýëåêòðîíèêà óëüòðàáîëü-
øèõ èíòåãðàëüíûõ ñõåì.� Ì.: Ìèð, 1991.
15. Êàíòîðîâè÷ Ë. Â., Àêèëîâ Ã. Ï. Ôóíêöèîíàëüíûé àíà-
ëèç.� ÑÏá.: Íåâñêèé äèàëåêò, 2004.
16. Cao Wei, Harrington R. F., Mautz J. R., Sarcar T. K.
Multiconductor transmission lines in multilayered dielectric media //
IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques.� 1984.�
Vol. 32, N 4.� P. 439�450.
17. Äâàéò Ã. Â. Òàáëèöû èíòåãðàëîâ è äðóãèå ìàòåìàòè÷åñêèå
ôîðìóëû.� Ì.: Íàóêà, 1978.
18. Ìàêñâåëë Äæ. Ê. Òðàêòàò îá ýëåêòðè÷åñòâå è ìàãíåòèçìå.
T. 2.� Ì.: Íàóêà, 1989.
19. Êîííèêîâ È. À. Åìêîñòü òîíêîãî ïðîâîäíèêà ïðÿìîóãîëü-
íîãî ñå÷åíèÿ â ìèêðîñõåìå // Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â
ýëåêòðîííîé àïïàðàòóðå.� 2006.� ¹ 4.� C. 18�23.
20. Èîññåëü Þ. ß., Êî÷àíîâ Ý. Ñ., Ñòðóíñêèé Ì. Ã. Ðàñ÷åò
ýëåêòðè÷åñêîé åìêîñòè.� Ë.: Ýíåðãèÿ, 1969.
â
ï
îð
òô
åë
å
ðå
äà
ê
ö
è
è
Ø
â ïîðòôåëå ðåäàêöèè â ïîðòôåëå ðåäàêöèè â ïîðòôåëå ðåäàêöèè â ïîðòôåëå ðåäàêöèè
Êîíäåíñîð òåïëîâîé òðóáû íà îñíîâå àäèàáàòè÷åñêîãî ðàçìàãíè÷èâàíèÿ ïàðàìàãíèòíîãî âåùåñòâà.
(Ðîññèÿ, ã. Òàãàíðîã)
Ìåòîäèêà îïðåäåëåíèÿ ýôôåêòèâíîé ïëîùàäè ôîòî÷óâñòâèòåëüíîãî ýëåìåí-
òà ôîòîäèîäà. (Óêðàèíà, ã. ×åðíîâöû)
Ïîâûøåíèå òåïëîâîé íàäåæíîñòè ÈÑ íà ýòàïå ðàçìåùåíèÿ ýëåìåíòîâ. (Àð-
ìåíèÿ, ã. Åðåâàí)
Ïðîåêòèðîâàíèå è àíàëèç ñóììàòîðîâ â ñðåäå Active-HDL. (Óêðàèíà,
ã. Îäåññà)
Ø
Ø
Ø
â ïîðòôåëå ðåäàêöèè â ïîðòôåëå ðåäàêöèè â ïîðòôåëå ðåäàêöèè â ïîðòôåëå ðåäàêöèè â
ï
îð
òô
åë
å
ðå
äà
ê
ö
è
è
|