Про один метод оцінки впливу параметрів в задачах геотехнічної механіки
Работа посвящена применению метода последовательной аппроксимации для оценки степени влияния параметров в задачах геотехнической механики. Оценка степени влияния параметров состоит в сравнении показателей степеней в представлении функции в окрестности точки произведением степенных функций, каждая и...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України
2012
|
| Назва видання: | Геотехническая механика |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/53650 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про один метод оцінки впливу параметрів в задачах геотехнічної механіки / Г.І. Ларіонов // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2012. — Вип. 97. — С. 134-145. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-53650 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-536502014-01-26T03:09:44Z Про один метод оцінки впливу параметрів в задачах геотехнічної механіки Ларіонов, Г.І. Работа посвящена применению метода последовательной аппроксимации для оценки степени влияния параметров в задачах геотехнической механики. Оценка степени влияния параметров состоит в сравнении показателей степеней в представлении функции в окрестности точки произведением степенных функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. Апробация метода осуществлена на ряде прикладных задач геотехнической механики. The paper devoted to sequence approximation method using for geotechnical mechanic influence parameters evaluating tasks. An anchor influence parameters evaluating consist of univariable function powers comparisons in point vicinity representation as univariable power function product. Method applied to some geotechnical mechanic tasks. 2012 Article Про один метод оцінки впливу параметрів в задачах геотехнічної механіки / Г.І. Ларіонов // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2012. — Вип. 97. — С. 134-145. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1607-4556 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/53650 519.65.001.57 uk Геотехническая механика Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Работа посвящена применению метода последовательной аппроксимации для оценки
степени влияния параметров в задачах геотехнической механики. Оценка степени влияния параметров состоит в сравнении показателей степеней в представлении функции в окрестности точки произведением степенных функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной. Апробация метода осуществлена на ряде прикладных задач геотехнической механики. |
| format |
Article |
| author |
Ларіонов, Г.І. |
| spellingShingle |
Ларіонов, Г.І. Про один метод оцінки впливу параметрів в задачах геотехнічної механіки Геотехническая механика |
| author_facet |
Ларіонов, Г.І. |
| author_sort |
Ларіонов, Г.І. |
| title |
Про один метод оцінки впливу параметрів в задачах геотехнічної механіки |
| title_short |
Про один метод оцінки впливу параметрів в задачах геотехнічної механіки |
| title_full |
Про один метод оцінки впливу параметрів в задачах геотехнічної механіки |
| title_fullStr |
Про один метод оцінки впливу параметрів в задачах геотехнічної механіки |
| title_full_unstemmed |
Про один метод оцінки впливу параметрів в задачах геотехнічної механіки |
| title_sort |
про один метод оцінки впливу параметрів в задачах геотехнічної механіки |
| publisher |
Інститут геотехнічної механіки імені М.С. Полякова НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/53650 |
| citation_txt |
Про один метод оцінки впливу параметрів в задачах геотехнічної механіки / Г.І. Ларіонов // Геотехническая механика: Межвед. сб. науч. тр. — Днепропетровск: ИГТМ НАНУ, 2012. — Вип. 97. — С. 134-145. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| series |
Геотехническая механика |
| work_keys_str_mv |
AT laríonovgí proodinmetodocínkivplivuparametrívvzadačahgeotehníčnoímehaníki |
| first_indexed |
2025-07-05T05:01:27Z |
| last_indexed |
2025-07-05T05:01:27Z |
| _version_ |
1836781863609303040 |
| fulltext |
134
2008. – С. 96.
6. Берч Ф. Справочник для геологов по физическим константам / Ф. Берч, Д. Шерер, Г. Спайсер. – М.: Изд-во
иностр. лит., 1949. – 303 с.
7. Пилоян Г.О. Введение в теорию термического анализа / Г.О. Пилоян. – М.: Наука,1964. – 232 с.
8. Определение кинетических констант разложения твердых тел дериватографическим методом в неизотер-
мическом режиме / Л.И. Толоконникова, Н.Д. Топор, Б.М. Каденаци, В.А. Мошкина // Физическая химия, деп.
№ 6386-73, 1973. – С. 20.
9. Topor N.D. Determination of the Kinetic constants of endothermic decomposition of the type Asoe-Bsoe+Cgas.
Kinetics of simultaneous reactions / N.D. Topor, L.I. Tolokonnikova, B.M. Kadenatsi // J. of Therm. Anal. – 1981. –
Vol. 22. – № 5. – Р. 221-230.
10. Эвери Г. Основы кинетики и механизмы химических реакций / Г. Эвери. – М.: Мир,1978. – 214 с.
11. Дир У.А. Породообразующие минералы. Т.4. / У.А. Дир, Р.А. Хаун, Дж. Зусман. – М.: Мир, 1966. – 484 с.
12. Hey M.N. A new review of the chlorites / Hey M.N. // Mineral. – 1954. – 30. – 277. – Р.123-135.
13. Уэндландт У. Термические методы анализа / У. Уэндландт. – М. : Мир, 1978. – 526 с.
14. Предводителев А.А. Дислокации и точечные дефекты в гексагональных металлах/ А.А. Предводителев,
О.А. Троцкий. – М.: Атомиздат,1973. – 362 с.
15. Тер-Хаар. Элементарная термодинамика / Тер-Хаар, Г. Вергеланд. – М.: Мир, 1968. – 211 с.
16. Shumrikov V. Kinetic parameters of thermal processes taking in rocks under the action of plasma / V. Shum-
rikov, V. Osenniy // Progress in Plasma Processing of Materials. Eds. P. Fauchais, J. Amoroux. – N.Y.: Begell Housse,
2001. – P. 605-609.
УДК 519.65.001.57
Канд. техн. наук Г.І. Ларіонов
(ІГТМ НАН України)
ПРО ОДИН МЕТОД ОЦІНКИ ВПЛИВУ ПАРАМЕТРІВ В ЗАДАЧАХ
ГЕОТЕХНІЧНОЇ МЕХАНІКИ
Работа посвящена применению метода последовательной аппроксимации для оценки
степени влияния параметров в задачах геотехнической механики. Оценка степени влияния
параметров состоит в сравнении показателей степеней в представлении функции в окрестно-
сти точки произведением степенных функций, каждая из которых зависит лишь от одной пе-
ременной. Апробация метода осуществлена на ряде прикладных задач геотехнической меха-
ники..
ON ONE PARAMETERS INFLUENCE EVALUATING METHOD FOR
GEOTECHNICAL MECHANIC TASKS
The paper devoted to sequence approximation method using for geotechnical mechanic influ-
ence parameters evaluating tasks. An anchor influence parameters evaluating consist of univariable
function powers comparisons in point vicinity representation as univariable power function product.
Method applied to some geotechnical mechanic tasks.
Актуальність. Моделювання – один з найбільш розповсюджених засобів
вивчення процесів і явищ будь-якої природи. Розрізняють фізичне і математич-
не моделювання. За фізичного моделювання модель повторює процес, що до-
сліджується, і зберігає його фізичну природу [1]. Під математичним моделю-
ванням розуміють спосіб дослідження різних за природою процесів шляхом ви-
вчення явищ різної фізичної природи, але які описуються однаковими матема-
тичними співвідношеннями. У найпростіших випадках для цього використову-
ються відомі аналогії між механічними, електричними, тепловими та іншими
явищами. Метод імітаційного моделювання дозволяє отримати розв’язок задачі
виключної складності. Система, що досліджується, може одночасно вміщувати
135
елементи неперервної і дискретної дії та знаходитись під впливом чисельних
випадкових чинників складної природи. Але, маючи відмічені переваги, метод
імітаційного моделювання, як і будь який чисельний метод, має суттєвий недо-
лік – розв’язок завжди носить локальний характер. Він відповідає фіксованим
значенням параметрів системи і початкових умов. Зазвичай, для аналізу систе-
ми необхідно багаторазово моделювати її процес функціями, змінюючи вихідні
дані. Слід зауважити, що на тепер ми ще не в змозі представляти у потрібній
наочній формі характеристики складних об’єктів, і апарат якісних методів для
таких випадків ще не достатньо розвинутий [2, 3].
Узагальнено процес дослідження будь-яких процесів з використанням іміта-
ційних або математичних моделей (ММ) може бути представлено у вигляді
«чорної скриньки» ( рис.1).
Рис.1 Процес дослідження математичної моделі
Де, за звичай, X(x1,x2,…xn) - вектор керованих факторів або змінних ММ, а
Y результативна ознака або функція, аналітичний вираз якої ( )nxxxYY ,..., 21= не-
обхідно відтворити за даними обчислювального експерименту. Як правило, ма-
тематичну модель представляють сукупністю диференційних рівнянь, матема-
тичних формул тощо. Реалізація ММ найчастіше відбувається у вигляді про-
грамних модулів або Пакетів Прикладних Програм (ППП). Результати роботи
ППП, у більшості випадків, являють собою функції, задані у вигляді таблиць
числових даних отриманих за фіксованих початкових значень змінних або па-
раметрів.
Відтворення функцій заданих таблицями числових даних здійснюється ме-
тодами апроксимації на сітці параметрів. Для складних задач отримання таб-
лиць значень вихідної функції на сітці параметрів потребує значних обчислю-
вальних витрат, що іноді унеможливлює процес її відтворення
У практичній площині задача полягає не тільки у отриманні аналітичної фо-
рми функції, але й у певному вигляді. Представлення функцій добутком степе-
невих функцій є особливо зручним для здійснення оцінки впливу параметрів на
функцію.
Для визначення необхідного напрямку вирішення задачі оцінювання пара-
метрів розглянемо зведення до схеми «чорної скриньки» процесів дослідження
з використанням активного експерименту, як фізичних так і математичних мо-
делей.
Це означає, що для того щоб представити функцію задану у табличній формі
у мультиплікативному вигляді необхідно проводити дослідження за певним
136
планом. Аналіз недоліків існуючих методів планування активних експериментів
свідчить про актуальність розробки нових, більш ефективних методів плану-
вання і обробки даних багатофакторних експериментів, головною перевагою
яких повинні бути наочність і ефективність у сенсі раціонального використання
мірності простору факторів.
Метод, позбавлений більшості недоліків, розроблено А.А. Федорцем [4,5].
Так, за основу всіх своїх теоретичних досліджень і розв’язків практичних задач
ним обрано метод опису багатовимірної поверхні результативних ознак, який
отримав умовну назву «метод вузлових точок».
Використовуючи принцип індукції у представлених логічних роздумах ав-
тора, багатовимірна поверхня результативної ознаки Y складної системи опису-
ється, у мультиплікативному виді (1)
( )∏
=
−
=
n
i
iin xf
y
Y
1
1
0
1 (1)
Y – сукупність результативних ознак; ( )ii xf − одно параметричні функції.
Фактично автором задача побудови результативної функції на області визна-
чення замінюється визначенням її у околі «вузлової точки». При цьому розпо-
діл похибок на області визначення є невизначеним. Більш того, коефіцієнт, що
знаходиться перед добутком функцій, визначається величиною функції у вузло-
вій точці. Оскільки вузлова точка обирається із області довільним чином, то
стає зрозумілим некоректність його визначення.
У економетричних розрахунках функція виду (1) отримала назву функції
Кобба – Дугласа [6]. Але й у цьому випадку не вдалось уникнути проблем з ви-
значення коефіцієнта перед добутком ( мультиплікатором) та розподілом похи-
бки в області її визначення. Останнє є особливо важливим оскільки її найчасті-
ше використовують для екстраполяції виробничої функції і відсутність оцінки
похибок на межі області визначення може призводити до значних похибок.
Очевидно, що для правильного визначення цього коефіцієнта необхідно ви-
користовувати ні додаткові експерименти спеціально побудовані для цього, ні
аналогію , як це зроблено автором і , а застосовувати математичні методи.
Постановка задачі. Для вирішення проблем оцінки впливу параметрів на
результативну ознаку розробити метод, який дозволяє наближено відтворювати
функцію у вигляді добутку функцій, кожна з яких залежить від однієї змінної за
умов її існування у табличній формі. Нижче наведено теорему і дано оцінку по-
хибки наближеного представлення функції.
Розв’язок задачі. Нехай функція ( ) ( )nxxxFXF ..,., 21= − неперервна функ-
ція n незалежних змінних nxxx ,...,, 21 , означена у замкнутій області D. Вважає-
мо, що функція F має частинні похідні першого порядку, обмежені у області D.
Припустимо, що ( )00
2
0
10 ,....,, nxxxX = − деяка точка, що належить D.
Нехай 00
2
0
10
...
nxxxX Δ⊗⊗Δ⊗Δ=Δ , де [ ]iix ba
i
,=Δ , 02 iii xba =+ ),1( ni = ; ai
та bi – довільні дійсні числа; N і K – деякі додатні сталі. Символ ⊗ означає
137
декартів добуток множин. Іншими словами, ( ){ }00
:,..., 21
ixinx xxxxX Δ∈==Δ ,
ni ,1= .
Нехай DX ⊂Δ
0
(рис. 2.).
Рис. 2 – Вибір околу точки (x0,y0)
Умови обмеження функції F(X) можна записати у вигляді:
( ) NXF
XX
≤
Δ∈ 0
max ; (2)
( ) ( ) ( ) K
x
XF
x
XF
x
XF
nX X
≤
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Δ∈
,..,.,max
210
, (3)
де N та K – деякі сталі.
Фіксуючи зазначеним нижче чином ( )1−n змінну, утворимо n наступних
функцій:
( ) ( )00
1111 ,..., nxxxFxf = ;
( ) ( )0
2
0
122 ,..., nxxxFxf = ;
………………………….
( ) ( )nnn xxxFxf ,..., 0
2
0
1= .
Вважаємо, що ( ) ),1()( 0 niCxf
ixii =Δ∈ , де )( 0
ix
C Δ − множина функцій, не-
перервних на відрізку 0
ix
Δ . Очевидно, що функція ( )nif i ,1= обмежена на від-
різку 0
ix
Δ , тобто
138
( ) ( )niMxf iiix
ixi
,1max
0
=≤
Δ∈
,
де M – довільна стала.
Нехай ( )niCG
ixi ,1),( 0 =Δ⊂ − деякий підпростір, що належить )( 0
ix
C Δ .
Вважаємо, що підпростір iG є зліченим і всюди щільним у просторі )( 0
ix
C Δ ,
тобто для довільної функції ( ) )( 0
ixii Cxf Δ∈ , ( )ni ,1= та будь-якого числа δ > 0
існує деяка функція iGg ∈ , така, що
( ) ( ) ( )nixgxf iiiiix
ixi
,1,max
0
=δ≤−
Δ∈
.
Розглянемо на множині Gi деякий скінченновимірний підпростір ( ) ii GnG ∈
такий, що ( ) ii nnG =dim . При цьому для довільної функції )( 0
ix
Cf Δ∈ маємо
( )
( )
( ) ( ) ( )ifiixnGgCn nCxgxffE
ixii
i
ϕ≤−=
Δ∈∈ 0
maxinf ,
де ( )Cn fE
i
− найкраще наближення функції ( )0
ix
Cf Δ∈ елементами скінченн-
вимірного підпростору G(ni); Cf – деяка стала, яка залежить від функції f та не
залежить від числа ni; φ(ni) – деяка спадна функція, яка визначається апрокси-
мативними характеристиками підпростору G(ni) і така, що ( ) 0→ϕ in при
∞→in .
Визначимо наступний підпростір ( )
0XΔΩ , який складається з функцій тако-
го виду
( ) ( )∏
=
α=ϕ
n
i
ii xgX
1
,
де α – довільна стала; ( )niGg ii ,1, =∈ − будь-які функції.
Позначимо через
( )( ) ( ) ( ) ( )XXFFE
XX XCX ϕ−=ΔΩ
Δ∈ΔΩ∈ϕ 00
0
maxinf,
найкраще наближення функції ( )DCF ∈ , де D – замикання множини D
елементами підпростору ( )
0XΔΩ , а ( )DC − клас всіх неперервних на D функ-
цій.
Теорема. Нехай ( )nδδδ=δ ,..., 21 − деяка точка n-вимірного простору, така,
що ( ) 0,,1,0 >ε=ε<δ< nii − довільна стала; функція ( )DCF ∈ має на множині
D частинні похідні першого порядку і задовольняє умовам (2), (3).
139
Тоді на множині ( )
0XΔΩ існує така функція ( ) ( )∏
=
α=ϕ
n
i
ii xgX
1
*
** , для якої
має місце наступна нерівність:
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ≤ϕ−≤ΔΩ ∑
=
n
i
xFX i
CFFE
1
*)(,
0
, (4)
де 0
ix
Δ − довжина відрізку ( )ni
ix
,1,0 =Δ ; CF – деяка стала, яка залежить від
функції F і не залежить від n. Так для n=2 стала має вигляд
( ) ( ) ⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++= N
xxF
N
xxF
KC F 3
,,
11 30
2
0
1
3
0
2
0
1
.
Метод представлення функції добутком функцій, кожна з яких залежить
лише від однієї змінної, названо методом послідовної апроксимації, що викли-
кано послідовним характером дій, які полягали в утворенні функцій ( )ii xf , зна-
ходженні їх апроксимацій ( )ii xg та представленні функцій ( )ii xϕ .
Алгоритм роботи методу полягає у виконанні наступних етапів:
Етап 1. Обираємо точку ( ) DMxxxMM n ∈= 00
2
0
1 ,...,, ;
Етап 2. Утворюємо функцію ( ) ( )00
2111 ,...,, nxxxFxf = ;
Етап 3. Знаходимо функцію ( )11 xg , яка апроксимує отриману функцію
( )11 xf найкращим чином;
Етап 4. Знаходимо функцію ( )11 xϕ згідно формули, запропонованої наведе-
ною теоремою
( ) ( ) ( )njxgxxx
j
i
iijjj ,1,,...,,
1
21 =α=ϕ ∏
=
або для x1
( ) ( )11111 xgx α=ϕ ,
де α1 – коефіцієнт апроксимації.
Для x2 формула набуває вигляду
( ) ( ) ( )22112212 , xgxgxx α=ϕ ,
де ( )
( )
( )
( )0
11
00
2
0
1
0
11
0
11
2
,...,
xg
xxxF
xg
x n=
ϕ
=α .
Для x3 будемо мати
( ) ( ) ( ) ( )33221133213 ,., xgxgxgxxx α=ϕ ,
140
( )
( )
( )
( )0
12
00
2
0
1
0
12
0
12
3
,...,
xg
xxxF
xg
x n=
ϕ
=α .
Повторюючи етапи 2–4 послідовно для змінних ( )njx j ,1= , отримаємо:
( ) ( ) ( ) ( )nnnnn xgxgxgxxx ...,., 221121 α=ϕ , де значення коефіцієнтів апроксимації
визначатимуться за формулою
( )11
1
−−
−α
=α
jj
j
j xg
.
Враховуючи, що ( ) ( )nnn xxxxxxF ,...,,,...,, 2121 ϕ= остаточно отримаємо
( ) ( ) ( ) ( )nnnn xgxgxgxxxxF ...,...,,, 221121 α= .
Зауваження. Розташування точки ( ) DMxxxMM n ∈= ,,...,, 00
2
0
1 у області ви-
значення істотним чином залежить від її топології і тому впливає на вид її
представлення. Вибір точки на області визначення визначається попереднім
знанням її особливостей і визначається кваліфікацією дослідника. У випадку
складних функцій і відсутності попередніх знань поведінки результативної фу-
нкції пропонується обирати її у центрі області визначення, тобто координати
визначати за формулою
2
jj
j
ab
x
−
= ,
де aj, bj являють собою початок і кінець інтервалу змін параметра xj.
Для апробації запропонованого методу відтворення функції використовува-
лася відома методика. Згідно з якою для апробації методів відтворення функцій
обирають функцію, задану в аналітичній формі. Згідно з цією формулою розра-
ховується ряд точок. Маючи точки (тобто функцію, задану вже у табличній фо-
рмі), використовують запропонований метод і отримують відтворену функцію.
За результатами порівняння значень функцій в обраних точках роблять висно-
вок про ефективність роботи методу. Апробація методу на елементарних функ-
ціях показала працездатність методу і хорошу точність у представленні функції
околі точки [7].
Практичне значення методу послідовної апроксимації полягало у тому, що
похибка у представлення функцій не тільки у околі точ-
ки ( ) DMxxxMM n ∈= ,,...,, 00
2
0
1 була мінімальною, але й задовільною на всій об-
ласті визначення. Таким чином, маючи прозорий алгоритм, залишається лише
застосувати його у практичній діяльності.
Метод використовувався для аналізу результатів імітаційного моделювання
роботи бункера-перевантажувача [8]. В результаті представлення результатів у
вигляді добутку степеневих функцій, кожна з яких залежала від одного параме-
тру і аналізу величин показників степенів вдалося знизити кількість параметрів
141
необхідних для проведення моделювання. Більш того, оцінка степені впливу на
результативну функцію дозволила правильно визначити множину параметрів
керування вихідним вантажопотоком бункера - перевантажувача.
Використання методу послідовної апроксимації для перетворення таблиць
чисельних розв’язків складного рішення задачі про нестаціонарне деформуван-
ня пружного середовища під дією змінного внутрішнього навантаження дозво-
лило отримати просту формулу, що зв’язує пружні характеристики масиву гір-
ських порід, геометричні параметри свердловини та параметри навантаження.
[9].
Найбільшої апробації в інженерній практиці набули розрахункові схеми для
обчислень технічних систем в машинобудуванні. У зв’язку з цим виникла ідея
скористатися напрацьованими розрахунковими схемами для оцінки конструк-
тивних параметрів метало полімерного анкеру.
Для виконання оцінки впливу конструктивних параметрів анкера на його
потужність необхідно щоб його параметри ввійшли до розрахункової схеми.
Такими параметрами можна вважати [10,11]: попереднє навантаження анкерної
штанги; глибину розташування виробки, довжину та діаметри анкера та шпуру,
відстань між періодичними виступами штанги анкера і поверхні шпуру; модулі
пружності анкера, фіксуючої суміші та гірської породи, інтенсивність дотичних
напружень та відстань між анкерами.
Зусилля на витках анкерної штанги і втулки позначено як р0, р1, ...,
рп, а на витках втулки і гірської породи – t0, t1, ..., tп. У подальшому
під полем анкера будемо розуміти частину тіла, що знаходиться між
двома витками.
Після модифікації узагальненої задачі М. Є. Жуковського та нескладних, але
громіздких перетворень, отримаємо вираз для tk і рk:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
β
−
ββ−ββ+β
λλ
=
β⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−
β+−
2
sh
2
sh
2
sh
2
sh8 1
2
1
2
)1(
2121
31
1
2
k
k
k
eeQt ;
k
k
k
k teeQp +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ β
−
β
β−ββ+β
λ
=
β⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−
β+− 2
1 2
1
2)1(1
2121
1
2
sh
2
sh
2
sh
2
sh2
, (5)
де
)chch(2chch4 212131321 β+β−ββ=λλ+λ+λ+λ ;
44
1
4
1ch 21
2
321321
1
λλ
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ λ+λ+λ
++
λ+λ+λ
+=β ;
44
1
4
1ch 21
2
321321
2
λλ
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ λ+λ+λ
+−
λ+λ+λ
+=β .
142
Так спрощення формул, що відображають залежність між силовими параме-
трами на контактуючих поверхнях досить просто відтворюється із застосуван-
ням методу послідовної апроксимації. Представлення функції у вигляді добутку
степеневих функцій дозволило б не тільки виконувати обчислення у більш про-
стий спосіб, але й оцінити ступінь впливу параметрів на контактні зусилля.
Тобто, метод оцінювання впливу параметрів полягає у порівнянні показників
степеневих функцій, якими представляються функції апроксимації.
Враховуючи особливу важливість шару ФС у механізмі передачі наванта-
жень від анкерної штанги до гірського масиву, розглянемо у якості функції ве-
личину зусиль, що виникають в оболонці з ФС:
∫ ξξσ=σ
L
vt
p
vy d
L 0
)(1 . де ( )∑
−
=
−=σ=σ
1
1
),,,,,,,(
k
i
iivtavtavtavt tphhEEddqL ;
де L – довжина ділянки оболонки із ФС, у поперечному перерізі якої знахо-
дяться зусилля; q – величина попереднього навантаження анкерної штанги; da,
dvt, діаметри анкерної штанги та анкерного шпуру; Ea, Evt – модулі пружності
матеріалу анкерної штанги та ФС; ha, hvt – кроки періодичних виступів на пове-
рхнях анкерної штанги та оболонки із ФС.
Для вирішення поставленої задачі скористаємось розробленим методом. На-
вантаження на контактних поверхнях «анкерна штанга – ФС» – pk та «ФС – гір-
ська порода» – tk визначаються згідно формул (5). Використання методу до вка-
заної задачі дозволило отримати залежність функції vtσ від параметрів q, da, dvt,
Ea, Ev, ha, hvt і L , а саме::
998028,056405,1
54292,2
455547,0
861906,0
08821,4
94531,3 1
Lh
h
E
E
d
d
qa
vt
a
a
vt
a
vt
Lvt =σ , (6)
де La коефіцієнт апроксимації. У більш зручному вигляді формулу (6) мож-
на представити як:
( )
Lh
h
E
E
d
dqaLhhEEddq
vt
a
a
vt
a
vt
Lvtavtavtavt
1,,,,,,, 2
3
1
1
4
4
=ϕ=σ .
Зрозуміло, що для зменшення похибки на границі області визначення необ-
хідно зменшити або область визначення, або крок розбиття інтервалів зміни па-
раметрів згідно формули (4).
Слід зауважити, що проблема вибору класів функцій апроксимації є однією
з найважливіших проблем не тільки прикладної математики, а й технічних за-
стосувань. Як свідчать роботи [6, 12], коефіцієнт варіації апроксимуючих фун-
кцій не може виступати у якості критерію вибору функцій. У якості критерію,
який обмежує вибір класу апроксимуючих функцій обрано розмірність вихідної
функції. Використання цієї теорії для обмеження класу апроксимуючих функ-
цій є вкрай важливим для показників степеневих функцій. Для визначення на-
пружено-деформованого стану в околі анкерного шпуру скористаємось
відомим підходом [7] до розв’язку подібних задач. Розподіл напружень в околі
143
анкера описується основними рівняннями теорії пружності, які в осесиметрич-
ному випадку мають вигляд [7]:
,0)(1)(
;0)(1)(
2
2
2
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
μ+λ+∇μ
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
μ+λ+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −∇μ
z
WrU
rrz
W
z
WrU
rrrr
UU
(7)
де U, W − відповідно радіальна та осьова компоненти вектора переміщення;
μ, λ − коефіцієнти Ламе; r, z − циліндричні координати;
2
2
2
2
22
2
2 11
zrrrr ∂
∂
+
ϕ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ − оператор Лапласа.
Зробивши заміну змінних ρ = r/r0, ς = z/r0, будемо шукати розв’язок рівнянь
(7) у формі Папковича-Нейбера:
,1)1(4
;1)1(4
0
0
0
0
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ς+ρ
ς∂
∂
−ν−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ς+ρ
ρ∂
∂
−ν−=
B
r
BBBW
B
r
BBBU
zrz
zrr
де B0 − гармонічний скаляр; Br, Bz − компоненти гармонічного вектора, які
задовольняють рівнянням Лапласа:
( ) 0;0;0 22
0
2 =∇=∇=∇ ϕ
z
i
r BeBB .
Крім того, гармонічні функції ),(),,(),,(0 ςρςρςρ zr BBB повинні бути вибра-
ні таким чином, щоб задовольнити граничним умовам:
⎩
⎨
⎧
>ς
≤ςςτ−
=τ
⎩
⎨
⎧
>ς
≤ς−
=σ
=ρ
=ρ
, ,0
; ),(
; ,0
; ,
0
1
0
1
b
b
b
bp
rz
r
(8)
де σr, τrz − радіальний та дотичний компоненти тензору напружень; b=l/r0 −
відносна довжина зафіксованої ділянки; p0 = γH − тиск гірської породи на глибині
H.
Для визначення напружено-деформованого стану у околі анкерного шпуру з
врахуванням конструктивних параметрів анкера використовувалось послідовне
рішення двох задач. Розв’язок першої задачі дозволив визначати зусилля і доти-
чні напруження на контактних поверхнях оболонки із ФС (5). Використання фу-
144
нкції розподілу дотичних напружень у якості граничної умови (8) для другої за-
дачі (7-8 ), дозволило визначати компоненти тензора напружень в околі анкер-
ного шпуру.
З використанням методу послідовної апроксимації виявлено закономірності
впливу вихідних параметрів, зокрема, величини попереднього навантаження P,
глибини розташування виробки H, робочої довжини L та діаметрів шпуру dvt,
анкерної штанги da та інтенсивності дотичних напружень на радіус впливу ан-
кера ),,,,,( a
r
pvt dIdLHPf=ρ , де z
pI − середньо інтегральне значення інтенсив-
ності дотичних напружень [7]. Радіус впливу ρ є неперервною відносно перелі-
чених параметрів функцією. Для оцінки степені впливу параметрів метало по-
лімерного анкеру на радіус його впливу отримано наступну формулу:
( ) 3,,,, r
p
a
da
r
p LI
PHd
adILHP
vt
=ρ ,
де
ada коефіцієнт апроксимації. Визначитись з проблемою вибору функції
допомагає згадуваний раніше критерій – теорія розмірності.
Максимальні значення відносних похибок у визначенні функції на границі
області її визначення і не перевищували 7 %. Мінімальні ж значення похибок
знаходились в центральній частині області визначення.
Висновки:
1. Метод послідовної апроксимації, запропонований для визначення степені
впливу параметрів на результативну функцію, підтвердив свою працездатність.
Максимальні відносні похибки для більшості параметрів не перевищують 5 %,
що дає можливість користування спрощеними формулами для інженерних роз-
рахунків.
2. Використання методу дозволяє істотно зменшити кількість експериментів
на фізичних і математичних моделях для отримання аналітичних форм резуль-
тативних функцій у околі обраної точки.
3. Встановлено, що для систем математичного моделювання, які можуть бу-
ти представлені у вигляді «чорної скриньки», можна застосовувати розробле-
ний метод.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Налимов В.В. Теория эксперимента. Физико-математическая библиотека инженера / В.В. Налимов. – М.:
Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971. – 208 с.
2. Адлер Ю.П. Теория эксперимента: прошлое, настоящее, будущее / Ю.П. Адлер, Ю.В. Грановский, Е.В.
Маркова. – М.: Знание, 1982. – 64 с.
3. Круг Г.К. Планирование эксперимента в задачах нелинейного оценивания и распознавания образов / Г.К.
Круг, В.А. Кабанов, Г.А. Фомин, Е.С. Фомина. – М.: Наука, 1981. – 172 с.
4. Федорец В.А. Применение метода узловых точек при исследовании потерь на трение в двигателях / В.А.
Федорец // Двигателестроение. – 1981. – №7. – С. 50-51.
5. Федорец В.А. Метод многофакторного исследования параметров процесса топливоподачи / В.А. Федо-
рец // Двигателестроение. – 1982. – №11. – С. 34-36.
6. Марюта А.Н. Статистические методы и модели в экономике / А.Н. Марюта, Н.Е. Бойцун. – Дніпропет-
ровськ: Пороги, 2002. – 384 с.
7.Ларіонов Г.І. Оцінювання конструктивних параметрів анкерного кріплення.
Дніпропетровськ :Національна металургійна академія України,2011.–286с.
145
8. Ларіонов Г.І.. До аналізу результатів математичного та імітаційного моделювання роботи бункера-
перевантажувача/ Ларіонов Г.І., Брагінець Д.Д., Р.В. Кірія/ Сист. технодлгії. Дніпропетровськ: НМетАУ, 2011.–
с.122-128.
9.. Сапегин, В.Н. К анализу решения задачи о нестационарном деформировании упругой среды/ Сапегин,
В.Н., Ларионов Г.И. / Наукові вісті. Сучасні проблеми металургії. № 14: Дніпропетровськ: НМетАУ, 2011.–
с.39-49.
10. Ismet Canbulat. Evaluation and design of optimum support systems in South African collieries using the prob-
abilistic design approach / Ismet Canbulat // Dissertation submitted to the Fuculty of Engineering Built Environment
and Technology for the degree Philosophy Doctor/ University of Pretiria. – Pretoria, 2008. – 340 p.
11. Mark C. Design of roof bolt systems / C. Mark // New technology for coal mine roof support. Pittsburgh,PA.
U.S. Department of Health and Human Services, Public Health Service. Centres for Disease Control and Prevention.
National Institute for Occupational Safety and Health, 2000, DHHS,(NIOSH) Publication №2000-151, IC 9453, 2000–
P.280. .
12. Ивахненко А.Г. Моделирование сложных систем по экспериментадьным данням / А.Г. Ивахненко,
Ю.П. Юрачковский. – М.: Радио и связь,1987. – 118 с.
УДК 622.831.322
Д-р техн. наук Д.М. Житленок,
инж. А.С. Крышнев,
(ГП «Дзержинскуголь»)
ФИЗИЧЕСКАЯ СУЩНОСТЬ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
УПРАВЛЕНИЯ СОСТОЯНИЕМ ПРЕДЕЛЬНО-НАПРЯЖЕННОГО
ГОРНОГО МАССИВА ВИБРАЦИОННЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ НА НЕГО
Формується фізична сутність способу вібраційного впливу на вугільний пласт через вмі-
щуючі породи, а також наводиться рішення аналітичної задачі визначення додаткових нор-
мальних і дотичних напружень на контакті вугільний пласт - вміщуючі породи при одиноч-
ному і подвійному імпульсах дії.
PHYSICAL ESSENCE AND MATHEMATICAL MODEL CONTROLLING
THE STATE OF MAXIMUM STRESS IN ROCK MASSIF AT IT
VIBRATION INFLUENCE
Generated physical essence of vibration influence on the method coal bed through host rocks,
and perform solution to analytical the objectives of determining additional normal and shear
stresses at the contact between coal bed - host rocks at single and double-pulse influenсe.
Теоретическими исследованиями, проведенными в ИГТМ НАН Украины
установлено [1], что максимальное значение опорного давления и ширина зоны
отжима угля при увеличении размеров выработанного пространства, угла паде-
ния, коэффициента сцепления и угла трения пласта с боковыми породами –
убывает. После выемки очередной заходки напряжения вблизи кромки забоя
практически мгновенно принимают свои предельные значения. При достаточно
высокой скорости подвигания очистного забоя сближение пород кровли и поч-
вы позади забоя значительно уменьшается, чем при малой.
В этих условиях при небольших пригрузках, действующих в течение срав-
нительно небольшого промежутка времени, угольный массив, не успевая прой-
ти стадию пластического деформирования попадает в стадию интенсивного от-
жима в сторону обнаженной забоем поверхности.
|