Нелокальна задача Діріхлє для лінійних параболічних рівнянь з виродженням
В пространствах классических функций со степенным весом доказана корректная разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений с нелокальным интегральным условием по временной переменной и произвольному степенному порядку вырождения коэффициентов как по временной, так и по пространственным пер...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5514 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нелокальна задача Діріхле для лінійних параболічних рівнянь з виродженням / І.Д. Пукальський // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 109-121. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-5514 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-55142010-01-26T12:00:43Z Нелокальна задача Діріхлє для лінійних параболічних рівнянь з виродженням Пукальський, І.Д. В пространствах классических функций со степенным весом доказана корректная разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений с нелокальным интегральным условием по временной переменной и произвольному степенному порядку вырождения коэффициентов как по временной, так и по пространственным переменным. In the spaces of classical functions, we prove the correct solvability of the Dirichlet problem for parabolic equations with nonlocal integral condition for a time variable and with arbitrary power order of the degeneration of coefficients with respect to the time variable and space variables. 2007 Article Нелокальна задача Діріхле для лінійних параболічних рівнянь з виродженням / І.Д. Пукальський // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 109-121. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5514 517.946 uk Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
В пространствах классических функций со степенным весом доказана корректная разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений с нелокальным интегральным условием по временной переменной и произвольному степенному порядку вырождения коэффициентов как по временной, так и по пространственным переменным. |
| format |
Article |
| author |
Пукальський, І.Д. |
| spellingShingle |
Пукальський, І.Д. Нелокальна задача Діріхлє для лінійних параболічних рівнянь з виродженням |
| author_facet |
Пукальський, І.Д. |
| author_sort |
Пукальський, І.Д. |
| title |
Нелокальна задача Діріхлє для лінійних параболічних рівнянь з виродженням |
| title_short |
Нелокальна задача Діріхлє для лінійних параболічних рівнянь з виродженням |
| title_full |
Нелокальна задача Діріхлє для лінійних параболічних рівнянь з виродженням |
| title_fullStr |
Нелокальна задача Діріхлє для лінійних параболічних рівнянь з виродженням |
| title_full_unstemmed |
Нелокальна задача Діріхлє для лінійних параболічних рівнянь з виродженням |
| title_sort |
нелокальна задача діріхлє для лінійних параболічних рівнянь з виродженням |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5514 |
| citation_txt |
Нелокальна задача Діріхле для лінійних параболічних рівнянь з виродженням / І.Д. Пукальський // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 109-121. — Бібліогр.: 9 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT pukalʹsʹkijíd nelokalʹnazadačadíríhlêdlâlíníjnihparabolíčnihrívnânʹzvirodžennâm |
| first_indexed |
2025-07-02T08:36:31Z |
| last_indexed |
2025-07-02T08:36:31Z |
| _version_ |
1836523603655393280 |
| fulltext |
UDK 517.946
I. D. Pukal\s\kyj (Çerniv. nac. un-t)
NELOKAL|NA ZADAÇA DIRIXLE DLQ LINIJNYX
PARABOLIÇNYX RIVNQN| Z VYRODÛENNQM
In the spaces of classical functions, we prove the correct solvability of the Dirichlet problem for
parabolic equations with nonlocal integral condition for a time variable and with arbitrary power order of
the degeneration of coefficients with respect to the time variable and space variables.
V prostranstvax klassyçeskyx funkcyj so stepenn¥m vesom dokazana korrektnaq razreßymost\
zadaçy Dyryxle dlq parabolyçeskyx uravnenyj s nelokal\n¥m yntehral\n¥m uslovyem po vre-
mennoj peremennoj y proyzvol\nomu stepennomu porqdku v¥roΩdenyq koπffycyentov kak po
vremennoj, tak y po prostranstvenn¥m peremenn¥m.
U pracqx [1, 2] rozhlqdalos\ zastosuvannq pryncypu ekstremumu dlq linijnyx
eliptyko-paraboliçnyx rivnqn\ 2-ho porqdku z nevid’[mnog xarakterystyçnog
formog, koefici[nty qkyx magt\ stepenevi osoblyvosti obmeΩenoho porqdku
na meΩi oblasti. Metodom bar’[rnyx funkcij vstanovleno apriorni ocinky i
strohyj pryncyp maksymumu.
U praci [3] pobudovano teorig klasyçnyx rozv’qzkiv zadaçi Koßi i krajovyx
zadaç dlq rivnomirno paraboliçnyx rivnqn\, qki magt\ stepenevi osoblyvosti
obmeΩenoho porqdku na meΩi oblasti v koefici[ntax pry molodßyx poxidnyx.
Za dopomohog special\nyx funkcional\nyx prostoriv u praci [4] dlq paraboliç-
nyx rivnqn\ z nevid’[mnog kvadratyçnog formog, qka vyrodΩu[t\sq na meΩi
oblasti, vstanovleno rozv’qznist\ zadaçi Koßi. Vyvçennq krajovo] zadaçi dlq
system zi stalymy koefici[ntamy ta intehral\nog nelokal\nog umovog za çaso-
vog zminnog provedeno u [5].
Vstanovlenng korektno] rozv’qznosti zadaçi z skisnog poxidnog ta odnosto-
ronn\o] krajovo] zadaçi z nelokal\nog umovog za çasovog zminnog dlq parabo-
liçnyx rivnqn\, qki vyrodΩugt\sq na meΩi oblasti za sukupnistg zminnyx ste-
penevym çynom, prysvqçeno praci [6, 7].
Tut za dopomohog apriornyx ocinok i pryncypu maksymumu vyvça[t\sq zadaça
Dirixle dlq paraboliçnyx rivnqn\ zi stepenevymy osoblyvostqmy v koefici[ntax
na meΩi oblasti ta intehral\nog nelokal\nog umovog za çasovog zminnog. V
hel\derovyx prostorax zi stepenevog vahog vstanovleno isnuvannq i [dynist\
rozv’qzku nelokal\no] zadaçi Dirixle.
Postanovka zadaçi ta osnovnyj rezul\tat. Nexaj D — obmeΩena opukla
oblast\ v R
n
z meΩeg ∂D. Rozhlqnemo v oblasti Q = ( 0, T ] × D zadaçu zna-
xodΩennq funkci] u ( t, x ), qka pry t > 0, t ≠ t(
0
)
, t(
0
) ∈ ( 0, T ) zadovol\nq[ riv-
nqnnq
( L u ) ( t, x ) ≡ ∂ − ( )∂ ∂ − ( )∂ − ( )
( )
= =
∑ ∑t ij x
ij
n
x i x
i
n
A t x A t x A t x u t x
i j i
, , , ,
1 1
0 = f ( t, x )
(1)
i nelokal\nu umovu
u x q t u x d
T
( ) + ( ) ( )∫0
0
, , ,τ τ τ = ϕ ( x ), (2)
a na biçnij meΩi Γ = ( 0, T ] × ∂D — krajovu umovu
u | Γ = ψ ( t, x ) | Γ . (3)
© I. D. PUKAL|S|KYJ, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1 109
110 I. D. PUKAL|S|KYJ
Nexaj l( )1
, l( )2
— dovil\ni dijsni çysla, D = D ∪ ∂ D, | x – ξ | =
= inf
/
ξ
ξ
∈∂ =
( − )
∑
D
i i
i
n
x 2
1
1 2
, x ∈ D, Q(
0
) = Q \ { ( t, x ) ∈ Q | t = t(
0
)
, x ∈ D }.
Osoblyvosti koefici[ntiv dyferencial\noho vyrazu L budut\ xarakteryzu-
vaty taki funkci]: s1 ( l
(1), t ) = | t – t(
0
)
| l
(1)
pry | t – t(
0
)
| ≤ 1, s1 ( l
(1), t ) = 1 pry
| t – t( 0
)
| ≥ 1, s2 ( l
(2
), x ) = | x – ξ | l(2)
pry | x – ξ | ≤ 1, s2 ( l
(2
), x ) = 1 pry | x – ξ | ≥ 1.
Nexaj Q = [ 0, T ] × D , a P ( t, x ), P1 ( t(1), x(1)
), Bk ( t(1), x
(2
)
) i Pk
( )2 ( t(2
), x
(2
)
),
k ∈ { 1, … , n }, — toçky iz Q , x (1) = ( … )x xn1
1 1( ) ( ), , , x
(2
) = ( … −x xk1
1
1
1( ) ( ), , , xk
( )2 ,
x xk n+ … )1
1 1( ) ( ), , . Poznaçymo çerez β ν
k
( )
, γ ν( )
, µ ν
i
( )
, α dijsni çysla, taki, wo
β ν
k
( ) ∈ ( – ∞, ∞ ), γ ν( ) ≥ 0, µ ν
i
( ) ≥ 0, i ∈ { 0, 1, … , n }, α ∈ ( 0, 1 ), ν ∈ { 1, 2 }. Po-
klademo s ( l; P ) = s1 ( l
(1), t ) s2 ( l
(2
), x ). Oznaçymo funkcional\ni prostory, v qkyx
doslidΩu[t\sq zadaça.
C2
+
α
( γ, β; l; Q ) — prostir funkcij u, ( t, x ) ∈ Q , qki magt\ neperervni ças-
tynni poxidni v oblasti Q(
0
)
vyhlqdu ∂ ∂t
k
x
ju, 2k + | j | ≤ 2, dlq qkyx [ skinçen-
nog norma
|| u; γ, β; l; Q || 2 + α =
j=
∑
0
2
|| u; γ, β; l; Q || j + ||−
−
u; γ, β; l; Q ||−
−2 + α ,
de, napryklad,
|| u; γ, β; 0; Q || 0 = sup
P Q
u P
∈
( ) ≡ || u; Q || 0 ,
||−
−
u; γ, β; l; Q ||−
−2 + α =
i j k
n
P B Q
i j k
k
s l P
, , ,
sup ; ˜
= { }⊂
∑
[ ( + ( + ) − − − )
1
1
1
2 α γ β β αβ ×
× x x u P u B s l Pk k x x x x k
P B Q
ki j i j
k
( ) ( )
,
sup ; ˜1 2
1 1
1
2− ∂ ∂ ( ) − ∂ ∂ ( ) ] + [ ( + ( + ) − )
−
{ }⊂
α
α γ αβ ×
× x x u P u B s l Pk k t t k
P B Q
i j
k k
( ) ( )
,
sup ; ˜
( )
1 2
1 2
2
2− ∂ ( ) − ∂ ( ) ] + [ ( + ( + ) − − )
−
{ }⊂
α
α γ β β ×
× t t u P u B s l Px x k x x k
P B Q
i j i j
k k
( ) ( ) / ( )
,
sup ; ˜
( )
1 2 2 2
2
2
2− ∂ ∂ ( ) − ∂ ∂ ( ) ] + [ ( + ( + ) )
−
{ }⊂
α
α γ ×
× t t u P u Bt k t k
( ) ( ) / ( )1 2 2 2− ∂ ( ) − ∂ ( ) ]
−α
.
Tut s l P( ); 1̃ = min ( s ( l; P1 ); s ( l; Bk ) ), s l P( ); 2̃ = min ( s ( l; Pk
( )2 ); s ( l; Bk ) ).
Cr
( µj
; Q ) — mnoΩyna funkcij vj
, ( t, x ) ∈ Q , qki magt\ çastynni poxidni v
Q(
0
)
vyhlqdu ∂x
k
jv , | k | ≤ [ r ], dlq qkyx [ skinçennog norma
v vj j r
P Q
j x
k
j
k r
Q s k P P; , sup ;µ µ= +( ) ∂ ( )[ ]
∈≤[ ]
∑ +
+
i
n
k r P B Q
j i i
r
i
s k P s r x x x
= =[ ] { }⊂
−{ }∑ ∑
+( ) { } −( )
1
1 2
1 2
1
sup ; ˜ , ˜
,
( ) ( )µ ×
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
NELOKAL|NA ZADAÇA DIRIXLE DLQ LINIJNYX … 111
× ∂ ( ) − ∂ ( ) + ( )
−
{ }⊂
−{ }
x
k
j x
k
j i
B P Q
j
r
P B s P s r t t t
i i
v v1 2 1
1 2 2
2 2
sup ; ˜ , ˜
,
( ) ( ) /
( )
µ ×
×
v vj i j i
B P Q
jB P s k P
i i
( ) − ( ) + +( )
{ }⊂
( )
,
sup ; ˜
( )
2
2
2
µ ×
×
s r t t t B P
r
x
k
j i x
k
j i1
1 2 2 2
2
{ }
− ∂ ( ) − ∂ ( )
−{ }
, ˜ ( ) ( ) / ( )v v ,
de [ r ] — cila çastyna çysla r, { r } = r – [ r ], s l t1
1( )( ); ˜ = min ( s1 ( l
(1), t(1)
),
s1 ( l
(1), t(2
)
) ), s l x2
2( )( ); ˜ = min ( s2 ( l
(2
), x(1)
), s2 ( l
(2
), x
(2
)
) ).
Prypustymo, wo dlq zadaçi (1) – (3) vykonugt\sq taki umovy:
1°) koefici[nty Ai ∈ C
α
( µj
; Q ), i ∈ { 0, 1, … , n }, A0 ≤ K < + ∞, K — stala,
Aij ∈ C
α
( βi + βj
; Q ) i dlq dovil\noho vektora ξ ∈ { ξ1 , … , ξn } vykonu[t\sq ne-
rivnist\
c s P A P c
ij
n
i j ij i j1
2
1
2
2ξ β β ξ ξ ξ≤ ( + ) ( ) ≤
=
∑ ; ,
c1
, c1 — fiksovani dodatni stali;
2°) funkci] f ∈ C
α
( γ, β; µ0
; Q ), ϕ ∈ C2
+
α
( γ̃ , β̃ ; 0; D ), ψ ∈ C2
+
α
( γ, β; 0; Q ),
γ ν( ) = max max , max ,
i
i
i
i i( + ) ( − )
( ) ( ) ( )1
2
0β µ β µν ν ν
ν
, ν ∈ { 1, 2 }, i ∈ { 1, 2, … , n },
γ̃ = ( 0, γ
(2
)
), β̃ = ( 0, β
(2
)
);
3°) meΩa ∂D naleΩyt\ klasu C 2
+
α
, funkciq q ( t, x ) ∈ C2
+
α
( Q ),
sup ,
Q
T
q x e d( ) −∫ τ τλτ
0
≤ λ0 < 1, de λ — dovil\ne çyslo, qke zadovol\nq[ neriv-
nist\ λ < inf ,
Q
A t x( )− ( )0 , ψ τ ψ τ τ ϕ( ) + ( ) ( ) − ( )
∫
∂
0
0
, , ,x q x x d x
T
D
= 0.
Teorema 1. Nexaj dlq zadaçi (1) – (3) vykonano umovy 1° – 3° . Todi isnu[
[dynyj rozv’qzok zadaçi (1) – (3) u prostori C2
+
α
( γ, β; 0; Q ) i dlq n\oho sprav-
dΩu[t\sq ocinka
|| u; γ, β; 0; Q || 2 + α ≤ c ( || f; γ, β; µ0
; Q || α + || ϕ; γ̃ , β̃ ; 0; D || 2 + α +
+ || ψ; γ, β; 0; Q || 2 + α ). (4)
Dlq dovedennq teoremy 1 pobudu[mo poslidovnist\ rozv’qzkiv krajovyx za-
daçMz hladkymy koefici[ntamy, hranyçnym znaçennqm qko] bude rozv’qzok zadaçi
(1)M– (3).
Nexaj Qm = Q ∩ { ( t, x ) ∈ Q | s1 ( 1, t ) ≥ m1
1− , s2 ( 1, x ) ≥ m2
1−
} — poslidovnist\
oblastej, qka pry m1 → ∞, m2 → ∞ zbiha[t\sq do Q, D m = { x ∈ D | s2 ( 1, x ) ≥
≥ m2
1−
}, ∂Dm = { x ∈ D | s2 ( 1, x ) = m2
1−
}, Γm = ∂Dm × ( 0, T ], de m = ( m1
, m2 ),
m1
, m2 — natural\ni çysla, m1 > 1, m2 > 1.
Rozhlqnemo v oblasti Q krajovu zadaçu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
112 I. D. PUKAL|S|KYJ
( L1 um ) ( t, x ) = ∂ − ( )∂ ∂ − ( )∂ − ( )
( )
= =
∑ ∑t ij x
ij
n
x i x
i
n
ma t x a t x a t x u t x
i j i
, , , ,
1 1
0 =
= fm ( t, x ), (5)
u x q x u x dm m
T
( ) + ( ) ( )∫0
0
, , ,τ τ τ = ϕm ( x ), (6)
um ( t, x ) | Γ = ψm ( t, x ) | Γ . (7)
Koefici[nty aij
, ai
, a0
, funkci] fm , ϕm , ψm vyznaçagt\sq takym çynom.
Qkwo ( t, x ) ∈ ( 0, T ] × Dm i β βi j
( ) ( )1 1+ ≥ 0, to aij ( t, x ) = min ( Aij ( t, x ), Aij (m1
1− ,
x ) ) pry t(
0
) ∈ ( 0, m1
1− ] i
aij ( t, x ) =
= min , , , ,
( )
( )
( )
( )A t x
m t t
A t m x
m t t
A t m xij ij ij( ) ( − )+ ( − ) + ( − )+ ( + )
− −1
0
0
1
1 1
0
0
1
11
2
1
2
pry t(
0
) > m1
1−
. U vypadku β βi j
( ) ( )1 1+ < 0 vyberemo aij ( t, x ) = max ( Aij ( t, x ),
Aij (m1
1− , x ) ) pry t(
0
) ∈ ( 0, m1
1− ] i
aij ( t, x ) =
= max , , , ,
( )
( )
( )
( )A t x
m t t
A t m x
m t t
A t m xij ij ij( ) ( − )+ ( − ) + ( − )+ ( + )
− −1
0
0
1
1 1
0
0
1
11
2
1
2
pry t(
0
) > m1
1−
.
Koefici[nty ai ( t, x ) = min ( Ai ( t, x ), Ai (m1
1− , x ) ) pry t(
0
) ∈ ( 0, m1
1− ] i
ai ( t, x ) =
= min , , , ,
( )
( )
( )
( )A t x
m t t
A t m x
m t t
A t m xi i i( ) ( − )+ ( − ) + ( − )+ ( + )
− −1
0
0
1
1 1
0
0
1
11
2
1
2
pry t(
0
) ≥ m1
1−
, i ∈ { 0, 1, … , n }.
Funkci] fm ( t, x ) = min ( f ( t, x ), f (m1
1− , x ) ) pry t(
0
) ∈ ( 0, m1
1− ] i
fm ( t, x ) =
= min , , , ,
( )
( )
( )
( )f t x
m t t
f t m x
m t t
f t m x( ) ( − )+ ( − ) + ( − )+ ( + )
− −1
0
0
1
1 1
0
0
1
11
2
1
2
pry t(
0
) ≥ m1
1−
. Pry x ∈ Dm funkci] ϕm ( x ) = ϕ ( x ).
Dlq ( t, x ) = Q \ { ( 0, T ) × Dm } koefici[nty aij , ai
, a0 i funkci] fm , ψm [
rozv’qzkamy zovnißn\o] zadaçi
∂t u = ∆ u, u ( 0, x ) = 0, u
mΓ
= g ( t, x ),
de, napryklad, dlq ai g = ai | Γm
,
�
n — normal\ do Γm
. Dlq x ∈ D \ Dm funkciq
ϕm [ rozv’qzkom zovnißn\o] zadaçi Dirixle
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
NELOKAL|NA ZADAÇA DIRIXLE DLQ LINIJNYX … 113
∆ v = 0, v | ∂Dm
= ϕ | ∂Dm
.
U zadaçi (5) – (7) vykona[mo zaminu
um ( t, x ) = vm ( t, x ) e–
λ
t + ψm ( t, x ),
de λ zadovol\nq[ umovu 3°. OderΩymo
( L2 vm ) ( t, x ) ≡
∂ − ( )∂ ∂ − ( )∂ − ( ) −
( )
= =
∑ ∑t ij x
ij
n
x i x
i
n
ma t x a t x a t x t x
i j i
, , , ,
1 1
0 λ v =
= fm ( t, x ) e–
λ
t – ( L ψm ) ( t, x ) ≡ F ( t, x ), (8)
v vm m
T
x q x e x d( ) + ( ) ( )−∫0
0
, , ,τ τ τλτ =
=
ϕ ψ τ ψ τ τm( ) − ( ) − ( ) ( )∫x x q x x dm m
T
0
0
, , , ≡ Φm ( x ), (9)
vm | Γ = 0. (10)
Znajdemo ocinku rozv’qzkiv krajovyx zadaç (8) – (10).
Teorema 2. Nexaj vm — klasyçnyj rozv’qzok zadaçi (8) – (10) v oblasti Q
i vykonano umovy 1° – 3°. Todi dlq vm vykonu[t\sq nerivnist\
| vm | ≤ max , ; , ;Φm
T
q t e d D F a Q1
0
1
0
0
1
0
− ( )
(− − )
−
−
−∫ τ τ λλτ
. (11)
Dovedennq. MoΩlyvi try vypadky: rozv’qzok vm [ nedodatnym v Q, abo
najbil\ße dodatne znaçennq vm dosqha[t\sq na D , abo ce najbil\ße znaçennq
dosqha[t\sq v toçci P1 ∈ Q.
U perßomu vypadku max
Q
vm ( t, x ) ≤ 0, u druhomu — 0 ≤ max
Q
vm ( t, x ) =
= max
D
vm ( t, x ) = vm ( 0, x(3)
). Todi z nelokal\no] umovy (9) ma[mo
Φm ( x(3)
) ≥ vm ( 0, x(3)
) 1 3
0
1
− ( )
−
−
∫ q x e d
T
τ τλτ, ( )
.
Tomu
vm ( 0, x(3)
) ≤ max , ( )
D
m
T
x q x e dΦ ( ) − ( )
−
−
∫1 3
0
1
τ τλτ
.
U tret\omu vypadku max
Q
vm ( t, x ) = vm ( P1 ), pryçomu v toçci P1 vykonugt\-
sq spivvidnoßennq
∂t vm ≥ 0, ∂xi
vm = 0, − ( )∂ ∂ ( )
=
∑a P Pij x
ij
n
x mi j1
1
1v ≥ 0. (12)
Nerivnist\ (12) ma[ misce, oskil\ky v toçci maksymumu druhi poxidni
∂ ∂y y mk k
v za bud\-qkym naprqmkom
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
114 I. D. PUKAL|S|KYJ
yk = α βki i i i
i
n
s P x x( )( − )
=
∑ ; ( )
1
1
1
, det || αki || ≠ 0,
nedodatni, a
α β β α αki x x m
ik
n
lj
n
i k ik kl ji
ik
n
y y mP P s P a P P
i k l j
( )∂ ∂ ( ) = ( + ) ( )
∂ ∂ ( )
= = =
∑ ∑ ∑1 1
1 1
1 1
1
1v v; =
=
λl y y m
l
n
l l
∂ ∂
=
∑ v
1
< 0.
Tomu, zhidno z obmeΩennqm 1°, xarakterystyçni çysla λ1
, … , λn kvadratyçno]
formy dodatni. Z uraxuvannqm (12) i rivnqnnq (8) u toçci P1 vykonu[t\sq ne-
rivnist\
vm ( P1 ) ≤ F ( P1 ) ( – a0 ( P1 ) – λ )
–
1
.
Analohiçno, rozhlqdagçy toçku najmenßoho vid’[mnoho znaçennq funkci] vm ,
ma[mo
vm ≥ min , min , , min0 1
0
1
0
1
D
m
T
Q
q x e d F aΦ − ( )
(− − )
−
−
−∫ ( )τ τ λλτ
.
OtΩe, dlq rozv’qzku zadaçi (8) – (10) spravdΩu[t\sq ocinka (11).
Rozhlqnemo odnoridnu zadaçu Dirixle
( L2 vm ) ( t, x ) = 0, vm ( 0, x ) = g ( x ), vm | Γ = 0. (13)
Nexaj Em ( t, x, τ, ξ ) — funkciq Hrina zadaçi (13) [8, s. 469].
ZauvaΩennq 1. Dlq funkci] Em ( t, x, τ, ξ ) vykonugt\sq nerivnosti
Em ( t, x, τ, ξ ) ≥ 0, 0 ≤
D
∫ Em ( t, x, 0, ξ ) dξ ≤ 1.
Vstanovymo isnuvannq rozv’qzku zadaçi (8) – (10).
Teorema 3. Qkwo vykonano umovy teoremy 1, to isnu[ [dynyj rozv’qzok za-
daçi (8) – (10), dlq qkoho spravdΩu[t\sq ocinka (11).
Dovedennq. Rozv’qzok zadaçi (8) – (10) ßuka[mo u vyhlqdi
vm ( t, x ) =
D
∫ Em ( t, x, 0, ξ ) vm ( 0, ξ ) dξ + ωm ( t, x ), (14)
de
ωm ( t, x ) =
D
∫ Em ( t, x, 0, ξ ) Φm ( ξ ) dξ + d
t
D
τ
0
∫ ∫ Em ( t, x, τ, ξ ) F ( τ, ξ ) dξ
— rozv’qzok zadaçi Dirixle (8) – (10) z poçatkovog umovog
ωm ( 0, x ) = Φm ( x ).
Zhidno z teoremog 2, dlq ωm ( t, x ) ma[ misce ocinka
| ωm | ≤ max ; ; ;Φm D F a Q
0 0
1
0
(− − )( )−λ .
Zadovol\nqgçy nelokal\nu umovu (9), ma[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
NELOKAL|NA ZADAÇA DIRIXLE DLQ LINIJNYX … 115
v vm
T
m
D
mx q x e d E x d( ) + ( ) ( ) ( )−∫ ∫0 0 0
0
, , , , , ,τ τ τ ξ ξ ξλτ =
= − ( ) ( )−∫ q x e x dm
T
τ ω τ τλτ, ,
0
≡ F2 ( x ). (15)
Rozv’qzok intehral\noho rivnqnnq ßuka[mo metodom poslidovnyx nablyΩen\.
Rekurentni spivvidnoßennq dlq poslidovnyx nablyΩen\ magt\ vyhlqd
v vm
k
T
m
D
m
kx F x q x e d E x d( ) − ( − )( ) = ( ) + ( ) ( ) ( )∫ ∫0 0 02
0
1, , , , , ,τ τ τ ξ ξ ξλτ
,
vm x( )( )0 0, = F2 ( x ).
Vraxovugçy zauvaΩennq 1, otrymu[mo
q x e d E x d q x e d
T
m
D
T
( ) ( ) ≤ ( )− −∫ ∫ ∫τ τ τ ξ ξ τ τλτ λτ, , , , ,
0 0
0 ≤ λ0 < 1.
Tomu, ocinggçy riznyci miΩ poslidovnymy nablyΩennqmy, oderΩu[mo
v vm
k
m
k kx x F Q( ) ( − )( ) − ( ) ≤0 01
0 2 0, , ;λ .
OtΩe, rozv’qzok intehral\noho rivnqnnq (15) zobraΩu[t\sq rivnomirno zbiΩ-
nym funkcional\nym rqdom
vm ( 0, x ) = F2 ( x ) + ( )( ) ( − )
=
∞
( ) − ( )∑ v vm
k
m
k
k
x x0 01
1
, ,
i dlq n\oho spravdΩu[t\sq ocinka
| vm ( 0, x ) | ≤
λ
λ
0
0
2 01 −
F Q; . (16)
Pidstavlqgçy znaçennq vm ( 0, x ) u (14), oderΩu[mo rozv’qzok zadaçi (8) –
(10).
Znajdemo ocinky poxidnyx rozv’qzku krajovo] zadaçi
( L0 v ) ( t, x ) ≡
∂ − ( + ) ( )∂ ∂
( )
=
∑t i j ij x
ij
n
xs P A P t x
i j
β β ; ,1 1
1
v = F3 ( P ),
v v( ) + ( ) ( )−∫0
0
, , ,x q x e x d
T
τ τ τλτ = ϕ0 ( x ), (17)
v | Γ = 0.
Koefici[nty dyferencial\noho vyrazu L0 , zhidno z nakladenymy umovamy,
obmeΩeni stalymy, ne zaleΩnymy vid toçky P1 . Tomu isnugt\ taki stali c, cjk ,
wo dlq funkci] Hrina odnoridno] zadaçi Dirixle
( L0 v ) ( t, x ) = F3 ( P ), v ( 0, x ) = ϕ0 ( x ), v | Γ = 0
spravdΩu[t\sq ocinka [8, s. 469]
∂ ∂ ( ) ≤ ( − ) − −
−
−( + ) −
t
j
x
k
jk
n k jt x c t c
x
t
Γ , , , exp/τ ξ τ ξ
τ
2
2
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
116 I. D. PUKAL|S|KYJ
Ma[ misce taka teorema.
Teorema 4. Nexaj F3 ∈ C
α
( Q ), ϕ 0 ∈ C2
+
α
( D ) i vykonano umovy 1° , 3° .
Todi isnu[ [dynyj rozv’qzok zadaçi (17) u prostori C 2
+
α
( D ) i dlq n\oho vyko-
nu[t\sq ocinka
v C Q C Q C Dc F2 23 0+ +( ) ( ) ( )≤ +( )α α αϕ . (18)
Dovedennq. Rozv’qzok zadaçi (17) ßuka[mo u vyhlqdi
v ( t, x ) = Γ Γ( ) ( ) + ( ) ( )∫ ∫ ∫t x d d t x F d
D
t
D
, , , , , , , ,0 0
0
3ξ ξ ξ τ τ ξ τ ξ ξv +
+ Γ( ) ( )∫ t x d
D
, , ,0 0ξ ϕ ξ ξ. (19)
Zadovol\nqgçy nelokal\nu umovu zadaçi (17), oderΩu[mo intehral\ne riv-
nqnnq
v v( ) + ( ) ( ) ( ) = ( )−∫ ∫0 0 0
0
1, , , , , , ,( )x q x e d t x d t x
T
D
τ τ ξ ξ ξ ωλτ Γ , (20)
de
ω(
1
)
( t, x ) =
= − ( ) ( ) ( ) + ( ) ( )
−∫ ∫ ∫ ∫q x e d d t x F d t x d
T T
D D
τ τ β β ξ β ξ ξ ξ ϕ ξ ξλτ, , , , , , , ,
0 0
3 00Γ Γ .
Rozv’qzok rivnqnnq (20) ßuka[mo metodom poslidovnyx nablyΩen\. Povto-
rggçy mirkuvannq z dovedennq teoremy 3, ma[mo
| v ( 0, x ) | ≤ c F Q DC Q C D3 0 2; ;α αϕ( ) ( )+( )+ .
Vykorystovugçy ocinku funkci] Hrina i rivnist\ (20), znaxodymo
v( ) ≤ +( )+ +( ) ( ) ( )0 2 23 0, x c FC D C Q C Dα α αϕ . (21)
Vraxovugçy vlastyvosti funkci] Hrina Γ ( t, x, τ, ξ ), ocinku (21) i rivnist\ (19),
oderΩu[mo nerivnist\ (18).
Isnuvannq rozv’qzku nelokal\no] zadaçi Dirixle dlq rivnqnnq z vyrod-
Ωennqm. Vvedemo u prostori C2
+
α
( Q ) normu || vm ; γ, β; l; Q || 2 + α
, ekvivalent-
nu pry koΩnomu fiksovanomu m 1
, m2 hel\derovij normi, qka vyznaça[t\sq qk
|| u; γ, β; l; Q || 2 + α
, til\ky zamist\ funkcij s1 ( l
(1), t ), s2 ( l
(2
), x ) beremo vidpovid-
no d1 ( l
(1), t ), d2 ( l
(2
), x ), de d1 ( l
(1), t ) = max ( s1 ( l
(1), t ), m l
1
1− ( )
) pry l
(1) ≥ 0 i
d1 ( l
(1), t ) = min ( s1 ( l
(1), t ), m l
1
1− ( )
) pry l
(1) < 0; d2 ( l
(2
), x ) = max ( s2 ( l
(2
), x ),
m l
2
2− ( )
) pry l
(2
) ≥ 0 i d2 ( l
(2
), x ) = min ( s2 ( l
(2
), x ), m l
2
2− ( )
) pry l
(2
) < 0, d ( l; P ) =
= d1 ( l
(1), t ) d2 ( l
(2
), x ).
Teorema 5. Qkwo vykonano umovy 1° – 3°, to dlq rozv’qzku zadaçi (8) – (10)
spravdΩu[t\sq ocinka
|| vm ; γ, β; 0; Q || 2 + α ≤
c F Q D Qm m; , ; ; ; ˜ , ˜; ; ;γ β γ γ βα α
2 0
2 0+ +( )+
Φ v .
(22)
Stala c ne zaleΩyt\ vid m.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
NELOKAL|NA ZADAÇA DIRIXLE DLQ LINIJNYX … 117
Dovedennq. Vykorystovugçy oznaçennq normy j interpolqcijni nerivnosti
iz [9, s. 176], ma[mo
|| vm ; γ , β; 0; Q || 2 + α ≤ ( 1 + εα ) ||−
−
vm ; γ , β; 0; Q ||−
−2 + α + c ( ε ) || vm ; Q || 0 .
Tomu dosyt\ ocinyty pivnormu ||−
−
vm ; γ, β; 0; Q ||−
−2 + α
.
Iz vyznaçennq normy vyplyva[ isnuvannq v Q toçok P1
, Br
, Pr
( )2
, dlq qkyx
vykonu[t\sq odna z nerivnostej
1
2
||−
−
vm ; γ, β; 0; Q ||−
−2 + α ≤ Ek
, k ∈ { 1, 2, 3, 4 }, (23)
E1 ≡ d P x xi j r
i j r
n
r r( )− − + ( − ) −
=
−∑ 2 1
1
1 2γ β β α γ β
α
; ˜
, ,
( ) ( ) ×
×
∂ ∂ ( ) − ∂ ∂ ( )x x m x x m ri j i j
P Bv v1 ,
E2 ≡ d P t ti j
i j r
n
( )− − + −
=
−∑ 2 2
1
1 2 2
γ β β αγ
α
; ˜
, ,
( ) ( ) /
×
×
∂ ∂ ( ) − ∂ ∂ ( )x x m r x x m ri j i j
B Pv v ( )2
,
E3 ≡ d P x x P Br
r
n
r r t m t m r( )+ ( − ) − ∂ ( ) − ∂ ( )
=
−∑ 2 1
1
1 2
1γ α γ β
α
; ˜ ( ) ( ) v v ,
E4 ≡ d P t t B P
r
n
t m r t m r( )( + ) − ∂ ( ) − ∂ ( )
=
−∑ 2 2
1
1 2 2 2α γ
α
; ˜ ( ) ( ) / ( )v v .
Qkwo t t( ) ( )1 2− ≥ d P( )2
16
2
γ ρ
; ˜ ≡ T1
, ρ — dovil\na stala, ρ ∈ ( 0, 1 ), d ( γ, P̃ ) =
= min ( d ( γ, P̃1), d ( γ, P̃2) ), to
Ek ≤ 2ρ–
α
|| vm ; γ , β; 0; Q || 2 , k ∈ { 2, 4 }.
Vraxovugçy interpolqcijni nerivnosti, ma[mo
Ek ≤ εα ||−
−
vm ; γ , β; 0; Q ||−
−2 + α + c ( ε ) || vm ; Q || 0 . (24)
Vybyragçy ε dostatn\o malym ( ε = 4–
α
/
2
), z nerivnostej (23) znaxodymo
||−
−
vm ; γ , β; 0; Q ||−
−2 + α ≤ c || vm ; Q || 0 . (25)
Qkwo x xi i
( ) ( )1 2− ≥ n d Pi
− ( − )1
4
γ β ρ
; ˜ ≡ T2
, to
Ek ≤ 2ρ–
α
|| vm ; γ , β; 0; Q || 2 , k ∈ { 1, 3 }.
Vykorystovugçy interpolqcijni nerivnosti, otrymu[mo ocinku (25) i u vypadku
k ∈ { 1, 3 }.
Nexaj x xi i
( ) ( )1 2− ≤ T2 i t t( ) ( )1 2− ≤ T1
. Budemo vvaΩaty, wo d ( γ, P̃ ) ≡
≡ d ( γ, P1
). Zapyßemo zadaçu (8) – (10) u vyhlqdi
( L3 vm ) ( t, x ) ≡
∂ − ( )∂ ∂
= ( ) − ( ) ∂ ∂
= =
∑ ∑( )t ij x
ij
n
x m ij ij x
ij
n
x ma P a t x a P
i j i j1
1
1
1
v v, +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
118 I. D. PUKAL|S|KYJ
+
a t x a t x F t xi x
i
n
m mi
( )∂ + ( ) + + ( )
=
∑ ( ), , ,
1
0v vλ ≡ F4 ( t, x ),
v vm m
T
x q x e x d( ) + ( ) ( )−∫0
0
, , ,τ τ τλτ = Φm ( x ), (26)
vm | Γ = 0.
Nexaj V1 ∈ Q, V1 — kub iz centrom u toçci P1
, Vr = { ( t, x ) ∈ Q | | t – t(1)
| ≤
≤ 16r2 T1
, t(1) ≥ 0, | xi
( )1 – xi | ≤ 4r T2
, i ∈ { 1, … , n } }.
U zadaçi (26) vykona[mo zaminu vm ( t, x ) = ωm ( t, y ), yi = d ( βi
, P1
) xi , i ∈ { 1, …
… , n }. Oblast\ vyznaçennq ωm ( t, y ) poznaçymo çerez Q0
. Todi funkciq
Wm ( t, y ) = ωm ( t, y ) η ( t, y ) zadovol\nq[ krajovu zadaçu
∂ − ( + ) ( )∂ ∂
=
∑t i j ij y y
ij
n
md P a P W
i j
β β ; 1 1
1
=
= d P a Pi j ij y m y y m y
ij
n
i j j i
( + ) ( ) ∂ ∂ + ∂ ∂[ ]
=
∑ β β ω η ω η; 1 1
1
+
+ ω β β η η ηm i j ij y y t
ij
n
d P a P F t Y
i j
( + ) ( )∂ ∂ − ∂
+ ( )
=
∑ ; ,1 1
1
4 ≡ F5 ( t, y ),
W y q Y e W y dm m
T
( ) + ( ) ( )−∫0
0
, , ,τ τ τλτ =
= q Y e y y y d Ym
T
m( ) ( ) ( ) − ( ) + ( )− [ ]∫ τ ω τ η τ η τλτ, , , ,0
0
Φ ≡ Ψm ( y ), (27)
Wm | Γ = 0,
de
η ( τ, y ) =
1 2
0 0 1
1 4
1
1
3 4
, , , , ; ,
, , , , ,
/
/
( ) ∈ ∂ ∂ ( ) ≤ ( + )
( ) ∉ ≤ ( ) ≤
− ( )t y H t y c d j k P
t y H t y
t
j
y
k
kjη γ
η
Hr =
( t, y ) ∈ Q0 | | t – t(1)
| ≤ r T1
, | yi – yi
( )1
| ≤ r d ( γ, P1
) ρ
4
n–
1, yi
( )1 =
= d ( βi
, P1
) xi
( )1
, Y = ( d
–
1
( β1
, P1
) y1 , … , d
–
1
( βn
, P1
) yn
).
Koefici[nty rivnqnnq (27) obmeΩeni stalymy, ne zaleΩnymy vid P1
. Tomu
na pidstavi teoremy 4 dlq dovil\nyx toçok M1 ( t(1), ξ(1)
) ∈ H1 / 4 i M2 ( τ(2
), ξ
(2
)
) ∈
∈ H1 / 4 vykonu[t\sq nerivnist\
d M M M Mj k
m
j k
m
− ( ) ∂ ∂ ( ) − ∂ ∂ ( )α
τ ξ τ ξω ω1 2 1 2, ≤
≤ c F C H m C H t5 03 4
2
3 4
α α( ) ( { = })+( )+
/ /
Ψ ∩ , (28)
de d ( M1, M2 ) — paraboliçna vidstan\ miΩ toçkamy M1
, M2 , 2j + | k | = 2.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
NELOKAL|NA ZADAÇA DIRIXLE DLQ LINIJNYX … 119
Vykorystovugçy vlastyvosti funkci] η ( t, y ), oznaçennq prostoru C2
+
α
( γ,
β; 0; Q ) i povertagçys\ do zminnyx ( t, x ), znaxodymo
Ek ≤
c V F V Vm m( + +v v; , ; ; ; , ; ; ;/ / /γ β γ β γ
α
0 23 4 2 4 3 4 3 4 0
+
+
Φm V t; ˜ , ˜; ; /γ β
α
0 03 4 2
∩ { = } )
+
. (29)
Znajdemo ocinku F V4 3 42; , ; ; /γ β γ
α
. Vraxovugçy interpolqcijni nerivnos-
ti, dosyt\ ocinyty pivnormu koΩnoho dodanka vyrazu F4 ( t, x ). Napryklad,
||−
−
( ai ( t, x ) – aij ( P1 ) ) ∂xi
∂xj
vm ; γ, β; 2γ, V3 / 4 ||−
− α ≤
≤
k
n
A B A V
i j m
k k
i j
d A A
= { }⊂
−∑
(( − − ) ∂ ∂ ( )
−
1
1
1 2 2
1
2
3 4
2sup ; ˜
, ,
( ) ( ) /
( )
/
γ β β τ τξ ξ
α
v ×
× d A a A a Bi j ij k ij k( + + ) ( ) − ( )β β αγ; ˜ ( )2 +
+
l
n
i j l l l ij ij ld A a A a B
=
−∑ ( )+ + ( − ) − ( ) − ( )
1
1 2
1β β α γ β ξ ξ
α
; ˜ ( ) ( ) +
+
k
n
A B A V
i j ij ij k
k k
d A a A a B
= { }⊂
∑ ( + ) ( ) − ( )
1
1
1
2
3 4
sup ; ˜
, , ( )
/
β β ×
×
− − + ( − ) ) − ∂ ∂ ( ) − ∂ ∂ ( )
=
−∑ ( )
l
n
i j l l l m m ld A A B
i j i j
1
1 2
12γ β β α γ β ξ ξ
α
ξ ξ ξ ξ; ˜ ( ) ( ) v v +
+
d A B Ai j m l m li j i j
( − − + ) − ∂ ∂ ( ) − ∂ ∂ ( )
−
2 1 2 2 2γ β β αγ τ τ
α
ξ ξ ξ ξ; ˜ ( ) ( ) / ( )v v ≤
≤ c ρα ||−
−
vm ; γ, β; 0; V3 / 4 ||−
− 2 + α + c1
|| vm ; γ, β; 0; V3 / 4 || 2
.
OtΩe, dlq normy || F4 ; γ, β; 2γ; V3 / 4 || α dista[mo ocinku
|| F4 ; γ, β; 2γ; V3 / 4 || α ≤
≤
c F V V Vm m( + ) + +
; , ; ; ; ; , ; ;/ / /γ β γ ε γ β
α α
2 03 4 3 4 0 1 3 4 2
v v , (30)
de ε1 = n2 ρα + εα, ε ∈ ( 0, 1 ), ρ ∈ ( 0, 1 ), ρ, ε — dovil\ni fiksovani çysla.
Pidstavlqgçy (30) v (29), znaxodymo
Ek ≤
c F Q V Dm m( + + )
+
; , ; ; ; ; ˜ , ˜; ;/γ β γ γ βα α
2 03 4 0 2
v Φ +
+
ε γ β α1 20vm Q; , ; ; + , k ∈ { 1, 2, 3, 4 }. (31)
Vykorystovugçy nerivnosti (23), (25), (31) i vybyragçy ρ i ε dosyt\ maly-
my, otrymu[mo nerivnist\ (22).
Teper dovedemo teoremu 1, vykorystavßy teoremy 2, 5.
Oskil\ky
|| F ; γ, β; 2γ; Q || α ≤ c f Q Q( + )+; , ; ; ; , ; ;γ β µ ψ γ βα α0 20 ,
(32)
Φm D c D Q; ˜ , ˜; ; ; ˜ , ˜; ; ; , ; ;γ β ϕ γ β ψ γ β
α α α0 0 0
2 2 2+ + +≤ +( ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
120 I. D. PUKAL|S|KYJ
to na pidstavi nerivnosti (22) ma[mo
vm Q c f Q; , ; ; ; , ; ;γ β γ β µα α0
2 0+ ≤ ( +
+ ϕ γ β ψ γ βα α; ˜ , ˜; ; ; , ; ;0 02 2D Q+ ++ ). (33)
Prava çastyna nerivnosti (33) ne zaleΩyt\ vid m i poslidovnosti { }Vm
( )0 =
= { | vm ( P ) | }, { }Vm
( )1 = { d ( γ – β i
, P ) | ∂xi
vm ( P ) | }, { }Vm
( )2 = { d ( 2γ – βi – β j ,
P ) | ∂xi
∂xj
vm ( P ) | }, { }Vm
( )3 = { d ( 2γ, P ) | ∂t vm ( P ) | }, P ∈ Q, rivnomirno obmeΩeni i
odnostajno neperervni. Za teoremog Arçela isnugt\ pidposlidovnosti { }( )
( )Vm r
k ,
k ∈ { 0, 1, 2, 3 }, rivnomirno zbiΩni v Q. Perexodqçy v zadaçi (8) – (10) do hranyci
pry r → ∞, oderΩu[mo, wo u = ve–
λ
t + ψ — [dynyj rozv’qzok zadaçi (1) – (3), u
∈ C2
+
α
( γ, β; 0; Q ), i spravdΩu[t\sq ocinka (4).
ZobraΩennq rozv’qzku zadaçi (1) – (3).
Teorema 6. Nexaj vykonano umovy 1° – 3°, f ∈ C
α
( γ, β ; 0; Q ). Todi [dynyj
rozv’qzok zadaçi (1) – (3) u prostori C2
+
α
( γ, β; 0; Q ) vyznaça[t\sq intehrala-
my Stil\t\[sa z borelivs\kog mirog
u ( t, x ) = u1 + u2 + u3 ≡ Γ1( ) ( )∫ t x d d f
Q
, ; , ,τ ξ τ ξ +
+ Γ Γ
Γ
2 3( ) ( ) + ( ) ( )∫ ∫t x d t x d d S
D
, ; , ; , ,ξ ϕ ξ τ ψ τ ξξ (34)
i dlq komponent ( Γ1 , Γ2 , Γ3 ) vykonugt\sq nerivnosti
0 ≤ Γ1 0
1
0
( ) ≤ (− ( ) − )∫ −t x d d e A t x Q
Q
t, ; , , ;τ ξ λλ
,
0 ≤ Γ
Γ
3( ) ≤∫ t x d d S e T, ; ,τ ξ
λ
, (35)
0 ≤ Γ2
0
1
0
1( ) ≤ − ( )
∫ ∫ −
−
t x d q x e d D
D
T
, ; , ;ξ τ τλτ
.
Dovedennq. Oskil\ky C
k
( γ, β; 0; Q ) ⊂ Ck
( γ, β; µ0
; Q ), to dlq f ∈ C
α
( γ, β;
0; Q ) vykonu[t\sq nerivnist\
f Q c f Q; , ; ; ; , ; ;γ β µ γ β α0 0
0≤ .
OtΩe, na pidstavi teoremy 1 dlq rozv’qzku zadaçi (1) – (3) spravdΩu[t\sq
ocinka
u Q c f Q; , ; ; ; , ; ;γ β γ βα α0 02+ ≤ ( + ϕ γ β ψ γ βα α; ˜ , ˜; ; ; , ; ;0 02 2D Q+ ++ ).
(36)
Rozhlqdatymemo u ( t, x ) pry fiksovanyx ( t, x ) qk linijnyj neperervnyj
funkcional Φ ( f, ϕ, ψ ) na normovanomu prostori Cα ≡ C α
( γ, β; 0; Q ) × C2
+
α
( γ̃ ,
β̃ ; 0; D ) z normog, wo dorivng[ pravij çastyni nerivnosti (36).
Beruçy do uvahy vklgçennq Cα ⊂ C i teoremu Rissa, moΩna vvaΩaty, wo u ( t,
x ) porodΩu[ borelivs\ku miru Γ ( t, x, Z ), qka vyznaçena na σ-alhebri pidmno-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
NELOKAL|NA ZADAÇA DIRIXLE DLQ LINIJNYX … 121
Ωyn Z oblasti Q , vklgçagçy Q i vsi ]] vidkryti pidmnoΩyny taki, wo
znaçennq funkcionala vyznaça[t\sq fomulog (34).
Z teoremy 2 vyplyva[ vykonannq dlq rozv’qzkiv zadaçi (1) – (3) nerivnostej
0 ≤ u1 ≤ fe A Qtλ λ(− − )−0
1
0
; , 0 ≤ u3 ≤ ψ λe t ; Γ
0
,
(37)
0 ≤ u2 ≤ ϕ τ τλτ1
0
1
0
− ( )
−
−
∫ q x e d D
T
, ; ,
de u1 — rozv’qzok krajovo] zadaçi (1) – (3) pry ϕ ≡ 0, ψ ≡ 0, u2 — rozv’qzok
krajovo] zadaçi (1) – (3) pry f ≡ 0, ψ ≡ 0 i u3 — rozv’qzok zadaçi (1) – (3) pry f ≡
≡ 0, ϕ ≡ 0.
Pidstavlqgçy v nerivnosti (37) vidpovidno f ( t, x ) ≡ 1, ϕ ( x ) ≡ 1 i ψ ≡ 1,
oderΩu[mo nerivnosti (35).
1. Kam¥nyn L. Y., Xymçenko B. N. Ob apryorn¥x ocenkax reßenyq parabolyçeskoho uravnenyq
2-ho porqdka vblyzy nyΩnej kr¥ßky parabolyçeskoj hranyc¥ // Syb. mat. Ωurn. – 1981. –
22, # 4. – S. 94 – 113.
2. Kam¥nyn L. Y., Xymçenko B. N. O pryncype maksymuma dlq πllyptyko-parabolyçeskoho
uravnenyq vtoroho porqdka // Tam Ωe. – 1972. – 13, # 4. – S. 777 – 789.
3. Matijçuk M. I. Paraboliçni synhulqrni krajovi zadaçi. – Ky]v: In-t matematyky NAN Uk-
ra]ny, 1999. – 176 s.
4. Babyn A. V., Kabakbaev S. Û. O hladkosty vplot\ do hranyc¥ reßenyj parabolyçeskyx
uravnenyj s v¥roΩdagwymsq operatorom // Mat. sb. – 1994. – 185, # 7. – S. 13 – 38.
5. Borok V. M., Perel\man M. A. O klassax edynstvennosty reßenyq mnohotoçeçnoj kraevoj
zadaçy v beskoneçnom sloe // Yzv. vuzov. Matematyka. – 1973. – # 8. – S. 29 – 34.
6. Pukal\s\kyj I. D. Nelokal\na zadaça Nejmana dlq paraboliçnoho rivnqnnq z vyrodΩennqm
// Ukr. mat. Ωurn. – 1999. – 51, # 9. – S. 1232 – 1244.
7. Pukal\s\kyj I. D. Odnostoronnq nelokal\na krajova zadaça dlq synhulqrnyx paraboliçnyx
rivnqn\ // Tam Ωe. – 2001. – 53, # 11. – S. 1521 – 1531.
8. Lad¥Ωenskaq O. A., Solonnykov V. A., Ural\ceva N. N. Lynejn¥e y kvazylynejn¥e uravne-
nyq parabolyçeskoho typa. – M.: Nauka, 1967. – 736 s.
9. ∏jdel\man S. D. Parabolyçeskye system¥. – M.: Nauka, 1964. – 444 s.
OderΩano 23.05.2005
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 1
|