Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом

Досліджено структуру множини неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом в околах станів рівноваги.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2007
Автор:	Пелюх, Г.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут математики НАН України 2007
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5515
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом / Г.П. Пелюх // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 99-108. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-5515
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-55152010-01-26T12:00:43Z Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом Пелюх, Г.П. Досліджено структуру множини неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом в околах станів рівноваги. We study the structure of the set of continuous solutions for a certain class of systems of nonlinear difference equations with a continuous argument in neighborhoods of equilibrium states. 2007 Article Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом / Г.П. Пелюх // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 99-108. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5515 517.962.2 ru Інститут математики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Досліджено структуру множини неперервних розв'язків одного класу систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом в околах станів рівноваги.
format	Article
author	Пелюх, Г.П.
spellingShingle	Пелюх, Г.П. Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом
author_facet	Пелюх, Г.П.
author_sort	Пелюх, Г.П.
title	Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом
title_short	Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом
title_full	Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом
title_fullStr	Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом
title_full_unstemmed	Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом
title_sort	исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом
publisher	Інститут математики НАН України
publishDate	2007
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5515
citation_txt	Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом / Г.П. Пелюх // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 1. — С. 99-108. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT pelûhgp issledovaniestrukturymnožestvanepreryvnyhrešenijsistemnelinejnyhraznostnyhuravnenijsnepreryvnymargumentom
first_indexed	2025-07-02T08:36:34Z
last_indexed	2025-07-02T08:36:34Z
_version_	1836523606627057664
fulltext	УДК 517.962.2 Г. П. Пелюх (Ин-т математики НАН Украины, Киев) ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ МНОЖЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ C НЕПРЕРЫВНЫМ АРГУМЕНТОМ We study the structure of the set of continuous solutions for a certain class of systems of nonlinear difference equations with a continuous argument in neighborhoods of equilibrium states. Дослiджено структуру множини неперервних розв’язкiв одного класу систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом в околах станiв рiвноваги. В современной теории разностных уравнений с непрерывным аргументом имеется ряд хорошо разработанных направлений. К ним, в частности, относятся направ- ления, основными целями которых является построение представления общего непрерывного решения в окрестности особой точки [1 – 7] и исследование пове- дения непрерывных при t ≥ 0 решений таких уравнений при t → +∞ [8 – 12]. B настоящей работе получены новые результаты, касающиеся этих направлений, которые существенно дополняют и развивают полученные ранее результаты. 1. Представление непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений. Рассмотрим систему разностных уравнений вида x(t + 1) = Λx(t) + f(t, x(t)), (1) где t ∈ R+ = [0,+∞), Λ — постоянная вещественная (n × n)-матрица, f : R+ × ×Rn → Rn, и исследуем структуру множества ее непрерывных решений в окрест- ности тривиального решения x(t) = 0 (f(t, 0) ≡ 0). При различных предполо- жениях относительно матрицы Λ и вектор-функции f(t, x) эта задача изучалась многими математиками [1 – 7] и в настоящее время достаточно хорошо исследова- на. Тем не менее здесь имеется ряд вопросов, которые ждут своего решения. В настоящей работе рассматривается один из них — исследуется структура общего непрерывного решения системы уравнений (1). Для простоты в дальнейшем будем считать, что собственные числа λi, i = = 1, . . . , n, матрицы Λ являются вещественными и матрица Λ имеет вид Λ = = diag ( Λ1(λ1), . . . ,Λk(λk ) , 1 ≤ k ≤ n, где Λi, i = 1, . . . , k, — квадратные (ni×ni)- матрицы, Λi = ∣∣∣∣∣∣∣∣ λi ε 0 . . . 0 0 λi ε . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . λi ∣∣∣∣∣∣∣∣ , причем ∑k i=1 ni = n и ε — сколь угодно малое положительное число (в противном случае систему уравнений (1) можно привести к указанному виду с помощью линейной неособой вещественной замены переменных). c© Г. П. ПЕЛЮХ, 2007 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1 99 100 Г. П. ПЕЛЮХ Теорема 1. Пусть выполняются условия: 1) вектор-функция f(t, x) непрерывна в области D : t ≥ 0, \|x\| = max 1≤i≤n \|xi\| ≤ b и f(t, 0) ≡ 0; 2) для произвольных точек (t, x), (t, x̂) ∈ D выполняется неравенство∣∣f(t, x)− f(t, x̂) ∣∣ ≤ L ( \|x\|+ \|x̂\| )α\|x− x̂\|, где L,α = const > 0; 3) 0 < \|λi\| < 1, i = 1, . . . , k, \|Λ−1\|\|Λ\|1+α = δ < 1. Тогда в некоторой области D∗ ⊂ D существует замена переменных x(t) = κ(t, y(t)) = y(t) + γ(t, y(t)), (2) где вектор-функция γ(t, y) является непрерывной, удовлетворяет условию ∣∣γ(t, y)− γ(t, ŷ) ∣∣ ≤ L̃ 1−∆ ( \|y\|+ \|ŷ\| )α\|y − ŷ\|, (t, y), (t, ŷ) ∈ D∗, (3) L̃ = L∆, δ < ∆ < 1, и γ(t, 0) ≡ 0, приводящая систему уравнений (1) к виду y(t + 1) = Λy(t). (4) Для доказательства теоремы достаточно, очевидно, доказать, что в некоторой области D∗ ⊂ D система уравнений κ(t + 1,Λy) = Λκ(t, y) + f ( t, κ(t, y) ) (5) имеет решение κ(t, y) = y + γ(t, y), удовлетворяющее указанным в теореме усло- виям. Решение системы уравнений (5) построим с помощью метода последовательных приближений. При этом последовательные приближения κm(t, y), m = 0, 1, . . . , определим соотношениями κ0(t, y) = y, κm(t, y) = Λ−1κm−1(t + 1,Λy)− Λ−1f(t, κm−1(t, y)), m = 1, 2, . . . . (6) Сначала покажем, что при всех t ≥ 0 и достаточно малых \|y\| выполняются нера- венства ∣∣κm(t, y) ∣∣ ≤ \|y\|+ L̃ 1−∆ \|y\|1+α, m = 0, 1, . . . . (7) Существует положительное число b∗ (b∗ < b) такое, что при \|x\| ≤ b∗, \|y\| ≤ b∗ имеем ( 1 + 2L̃ 1−∆ (\|x\|+ \|y\|)α )1+α ≤ 1− δ 1−∆ , \|y\|+ L̃ 1−∆ \|y\|1+α ≤ b, (8) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1 ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ МНОЖЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ... 101 2αL̃ ( \|y\|+ L̃ 1−∆ \|y\|1+α )α ≤ ∆− δ. Поскольку ∣∣κm(t, y) ∣∣ ≤ \|y\| + ∣∣κm(t, y) − y ∣∣, для доказательства (7) достаточно доказать справедливость соотношений ∣∣κm(t, y)− y ∣∣ ≤ L̃ 1−∆ \|y\|1+α, m = 0, 1, . . . . (9) Соотношение (9) выполняется, очевидно, при m = 0. Пусть оно доказано для некоторого m ≥ 0. Taк кaк в силу (6) κm+1(t, y)− y = Λ−1κm(t + 1,Λy)− Λ−1f(t, κm(t, y))− Λ−1Λy, отсюда с учетом условий 1 – 3 и неравенств (7), (8) имеем∣∣κm+1(t, y)− y ∣∣ ≤ \|Λ−1\| ∣∣κm(t + 1,Λy)− Λy ∣∣+ \|Λ−1\|L ∣∣κm(t, y) ∣∣1+α ≤ ≤ \|Λ−1\| L̃ 1−∆ \|Λy\|1+α + \|Λ−1\|L ( \|y\|+ L̃ 1−∆ \|y\|1+α )1+α ≤ ≤ L̃ 1−∆ δ + (1−∆) ( 1 + L̃ 1−∆ \|y\|α )1+α  \|y\|1+α ≤ L̃ 1−∆ \|y\|1+α. Следовательно, соотношения (9) выполняются при t ≥ 0, \|y\| ≤ b∗ и всех m ≥ 0. Теперь покажем, что при t ≥ 0, \|y\| ≤ b∗ и всех m ≥ 1 имеет место оценка∣∣κm(t, y)− κm−1(t, y) ∣∣ ≤ L̃∆m−1\|y\|1+α. (10) Действительно, в силу условий 1 – 3 и соотношений (6) – (8) имеем∣∣κ1(t, y)− κ0(t, y) ∣∣ = ∣∣Λ−1Λy − Λ−1f(t, y)− y ∣∣ ≤ L̃\|y\|1+α, т. е. оценка (10) имеет место при m = 1. Предположим, что она доказана для некоторого m ≥ 1. Тогда, принимая во внимание условия теоремы и (6) – (8), получаем ∣∣κm+1(t, y)− κm(t, y) ∣∣ = = ∣∣∣Λ−1κm(t + 1,Λy)− Λ−1f ( t, κm(t, y) ) − −Λ−1κm−1(t + 1,Λy) + Λ−1f ( t, κm−1(t, y) ) \| ≤ ≤ \|Λ−1\| ∣∣κm(t + 1,Λy)− κm−1(t + 1,Λy) ∣∣+ +\|Λ−1\| ∣∣f(t, κm(t, y))− f(t, κm−1(t, y)) ∣∣ ≤ ≤ \|Λ−1\|L̃∆m−1\|Λ\|1+α\|y\|1+α+ +\|Λ−1\|L2α ( \|y\|+ L̃ 1−∆ \|y\|1+α )α L̃∆m−1\|y\|1+α ≤ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1 102 Г. П. ПЕЛЮХ ≤ L̃∆m−1 [ δ + L̃2α ( \|y\|+ L̃ 1−∆ \|y\|1+α )α ] \|y\|1+α ≤ L̃∆m\|y\|1+α. Таким образом, оценка (10) имеет место при t ≥ 0, \|y\| ≤ b∗ и всех m ≥ 1. Из (10) непосредственно вытекает, что при t ≥ 0, \|y\| ≤ b∗ ряд κ0(t, y) + + ∑∞ i=1 [ κi(t, y) − κi−1(t, y) ] и, следовательно, последовательность функций (6) равномерно сходятся к некоторой непрерывной функции κ(t, y). Переходя в (6) к пределу при m → ∞, можно показать, что κ(t, y) является решением системы уравнений (5). Обозначим γm(t, y) = κm(t, y)− y, m = 0, 1, . . . . (11) Тогда, очевидно, lim m→∞ γm(t, y) = κ(t, y)− y = γ(t, y) и γ(t, 0) ≡ 0 (следует из (7), (11)). Покажем, что вектор-функция γ(t, y) удовлетворяет условию (3). Действительно, пусть (t, x), (t, x̂) — произвольные точки из D∗ : t ≥ 0, \|y\| ≤ ≤ b∗. Тогда, использовав соотношения (6) – (8), (11), докажем, что при всех m ≥ 0 выполняются неравенства∣∣γm(t, y)− γm(t, ŷ) ∣∣ ≤ L̃ 1−∆ ( \|y\|+ \|ŷ\| )α\|y − ŷ\|. (12) При m = 0 неравенство (12), очевидно, имеет место. Тогда, предположив его справедливость для некоторого m ≥ 0, докажем, что оно сохранится при переходе от m к m+1. Действительно, в силу условий теоремы, (6) – (8), (11), (12) получаем∣∣γm+1(t, y)− γm+1(t, ŷ) ∣∣ = = ∣∣∣Λ−1γm(t + 1,Λy)− Λ−1f ( t, y + γm(t, y) ) − − Λ−1γm(t + 1,Λŷ) + Λ−1f ( t, ŷ + γm(t, ŷ) )∣∣∣ ≤ ≤ \|Λ−1\| L̃ 1−∆ \|Λ\|1+α ( \|y\|+ \|ŷ\| )α\|y − ŷ\|+ + \|Λ−1\|L ( \|y\|+ \|γm(t, y)\|+ \|ŷ\|+ \|γm(t, ŷ)\| )α× × ( \|y − ŷ\|+ \|γm(t, y)\| − \|γm(t, ŷ)\| ) ≤ ≤ L̃ 1−∆ δ ( \|y\|+ \|ŷ\| )α\|y − ŷ\|+ L̃ ( \|y\|+ \|ŷ\|+ 2 L̃ 1−∆ ( \|y\|+ \|ŷ\| )1+α )α × × ( \|y − ŷ\|+ L̃ 1−∆ ( \|y\|+ \|ŷ\| )α\|y − ŷ\| ) ≤ ≤ L̃ 1−∆ [ δ + (1−∆) ( 1 + 2 L̃ 1−∆ ( \|y\|+ \|ŷ\| )α)α × × ( 1 + L̃ 1−∆ ( \|y\|+ \|ŷ\| )α)](\|y\|+ \|ŷ\|)α\|y − ŷ\| ≤ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1 ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ МНОЖЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ... 103 ≤ L̃ 1−∆ [ δ + (1−∆) 1− δ 1−∆ ] ( \|y\|+ \|ŷ\| )α\|y − ŷ\| ≤ ≤ L̃ 1−∆ ( \|y\|+ \|ŷ\| )α\|y − ŷ\|. Teм самым доказано, что неравенство (12) имеет место при t ≥ 0, \|y\| ≤ b∗, \|ŷ\| ≤ b∗ и всех m ≥ 0. Переходя в (12) к пределу при m →∞, получаем условие (3). Teopeмa 1 доказана. Таким образом, с помощью взаимно однозначной (следует из (3), (8)) заме- ны переменных (2) исследование системы уравнений (1) в области D∗ сводится к исследованию линейной системы уравнений (4). B свою очередь, построение решений системы уравнений (4) сводится к построению решений подсистем урав- нений вида yi(t + 1) = Λiyi(t), (13) где yi = col ( yi 1, . . . , y i ni ) , i = 1, . . . , k. Общее непрерывное решение системы урав- нений (13) можно легко построить. Например, в случае, когда λi > 0, i = 1, . . . , k, оно имеет вид yi 1(t) = λt iωni (t) + c1 i,ni−1tλ t iω i ni−1(t) + . . . + ni−1∑ j=1 cj i,1t j λt iω i 1(t), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . yi ni (t) = λt iω i 1(t), i = 1, . . . , k, где cj i1i2 — некоторые постоянные и ωi j(t), j = 1, . . . , ni, i = 1, . . . , k, — произволь- ные непрерывные 1-периодические функции. Принимая во внимание представление общего непрерывного решения систе- мы (4) и замену переменных (2), можно получить представление общего непре- рывного решения системы уравнений (1) при достаточно больших t > 0. Из этого представления непосредственно вытекает ряд интересных результатов, имеющих важное значение для теории разностных уравнений. При исследовании системы уравнений (1) в случае, когда собственные числа λi, i = 1, . . . , n, матрицы Λ удовлетворяют условию 0 < \|λi\| < 1 < \|λp+j \|, i = 1, . . . , p, j = 1, . . . , q, p + q = n, запишем ее в виде x(t + 1) = Λx(t) + f ( t, x(t), y(t) ) , y(t + 1) = Λ̂y(t) + ϕ ( t, x(t), y(t) ) , (14) где = col ( x1, . . . , xp ) , y = col ( y1, . . . , yq ) , f = col ( f1, . . . , fp ) , ϕ = col ( ϕ1, . . . . . . , ϕq ) , Λ = diag ( Λ1, . . . ,Λr ) , 1 ≤ r ≤ p, Λ̂ = diag ( Λ̂1, . . . , Λ̂s ) , 1 ≤ s ≤ q, и Λi, i = 1, . . . , r, Λ̂j , j = 1, . . . , s, — квадратные соответственно (pi × pi)- и (qj × qj)-матрицы, Λi = ∣∣∣∣∣∣∣∣ λi ε 0 . . . 0 0 λi ε . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . λi ∣∣∣∣∣∣∣∣ , ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1 104 Г. П. ПЕЛЮХ Λ̂j = ∣∣∣∣∣∣∣∣ λ̂j ε 0 . . . 0 0 λ̂j ε . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . λ̂j ∣∣∣∣∣∣∣∣ , причем ∑r i=1 pi = p, ∑s j=1 qj = q. Имеет место следующая теорема. Теорема 2. Пусть выполняются условия: 1) 0 < \|λi\| < 1 < \|λ̂j \|, i = 1, . . . , r, j = 1, . . . , s; 2) вектор-функции f(t, x, y), ϕ(t, x, y) являются непрерывными в области D : t ≥ 0, \|x\| = max 1≤i≤p \|xi\| ≤ b, \|y\| = max 1≤j≤q \|yj \| ≤ b, удовлетворяют условию Липшица ∣∣f(t, x, y)− f(t, x̂, ŷ) ∣∣ ≤ l1 ( \|x− x̂\|+ \|y − ŷ\| ) ,∣∣ϕ(t, x, y)− ϕ(t, x̂, ŷ) ∣∣ ≤ l2 ( \|x− x̂\|+ \|y − ŷ\| ) , (t, x, y), (t, x̂, ŷ) ∈ D, где l1, l2 — достаточно малые положительные постоянные и f(t, 0, 0) ≡ 0, ϕ(t, 0, 0) ≡ 0. Тогда в некоторой области D∗ ⊂ D существует замена переменных x(t) = u(t), y(t) = v(t) + γ(t, u(t)), (15) где вектор-функция γ(t, u) является непрерывной, удовлетворяет условию ∣∣γ(t, u)− − γ(t, û) ∣∣ ≤ l\|u − û\| (l — достаточно малая положительная постоянная) и γ(t, 0) ≡ 0, приводящая систему уравнений (14) к виду u(t + 1) = Λu(t) + f̃ ( t, u(t), v(t) ) , v(t + 1) = Λ̂v(t) + ϕ̃ ( t, u(t), v(t) ) , (16) где вектор-функции f̃(t, u, v), ϕ̃(t, u, v) непрерывны в области D∗, удовлетворяют условию Липшица по u, v и ϕ̃(t, u, 0) ≡ 0. Для доказательства теоремы достаточно в качестве вектор-функции γ(t, u) ис- пользовать решение системы уравнений γ ( t + 1,Λu + f(t, u, γ(t, u)) ) = Λ̂γ(t, u) + ϕ ( t, u, γ(t, u) ) , (17) удовлетворяющее указанным в теореме условиям. Решение системы уравнений (17) можно построить с помощью метода после- довательных приближений. При этом последовательные приближения γm(t, u), m = 0, 1, . . . , определяются следующими соотношениями: γ0(t, u) = 0, γm(t, u) = Λ̂−1γm−1(t + 1,Λu) + f(t, u, γm−1(t, u))− −Λ̂−1ϕ(t, u, γm−1(t, u)), m = 1, 2, . . . . Поскольку для системы уравнений ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1 ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ МНОЖЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ... 105 u(t + 1) = Λu(t) + f̃(t, u(t), 0) можно доказать теорему, аналогичную теореме 1, и, следовательно, построить ее общее непрерывное решение в некоторой области D∗ ⊂ D, используя замену пе- ременных (15), можно построить множество непрерывных решений системы урав- нений (14), зависящее от произвольных непрерывных периодических функций. 2. Исследование свойств непрерывных решений систем нелинейных раз- ностных уравнений при t → +∞. Рассмотрим теперь систему нелинейных разностных уравнений вида x(t + 1) = x(t) + ∞∑ i=0 fi(t, x(t + i)), (18) где t ∈ R+, fi : R+ ×Rn → Rn, и исследуем поведение ее непрерывных и ограни- ченных решений при t → +∞. Поскольку свойства непрерывных и ограниченных при t ∈ R+ решений системы (18) достаточно хорошо характеризуются наличием у нее непрерывного при t ∈ R+, 1-периодического асимптотического равновесия, то основной нашей целью является установление достаточных условий существо- вания такого равновесия. Определение 1. Будем говорить, что система уравнений (18) имеет непре- рывное при t ∈ R+, 1-периодическое асимптотическое равновесие, если: а) произвольное непрерывное и ограниченное при t ∈ R+ решение x(t) удовлет- воряет при t → +∞ соотношению x(t) = ω(t) + o(1), (19) где ω(t) — непрерывная при t ∈ R+, 1-периодическая вектор-функция; б) для произвольной непрерывной при t ∈ R+, 1-периодической вектор-функции ω(t) существует непрерывное и ограниченное при t ∈ R+ решение x(t) системы уравнений (18), удовлетворяющее при t → +∞ соотношению (19). Условия, гарантирующие справедливость утверждения а), устанавливаются в следующей теореме. Теорема 3. Пусть выполняются условия: 1) вектор-функции fi(t, x), i = 0, 1, . . . , являются непрерывными при t ∈ R+, x ∈ Rn, fi(t, 0) ≡ 0, i = 0, 1, . . . , и удовлетворяют соотношениям∣∣fi(t, x)− fi(t, y) ∣∣ ≤ ηi(t)\|x− y\|, i = 0, 1, . . . , где ηi(t) — некоторые неотрицательные непрерывные и ограниченные при t ∈ R+ функции, x, y ∈ Rn, \|x\| = max 1≤i≤n \|xi\|; 2) ряды H(t) = ∞∑ i=0 ηi(t), H̃(t) = ∞∑ i=0 η̃i(t), где ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1 106 Г. П. ПЕЛЮХ η̃i(t) = i∑ j=0 ηi−j(t + j), равномерно сходятся при всех t ∈ R+ и H̃(t) ≤ θ < 1 при всех t ∈ R+. Тогда для произвольного непрерывного и ограниченного при t ∈ R+ решения x(t) системы уравнений (18) существует непрерывная при t ∈ R+, 1-периодическая вектор-функция ω(t) такая, что при t → +∞ выполняется соотношение (19). Доказательство. Предположим, что x(t) — непрерывное и ограниченное при t ∈ R+ решение системы уравнений (18). Тогда в силу условий 1, 2 теоремы имеем x(t) = ω(t)− ∞∑ i=0 f̃i(t, x(t + i)), (20) где f̃i(t, x(t + i)) = i∑ j=0 fi−j(t + j, x(t + i)), ω(t) = x(t) + ∞∑ i=0 f̃i(t, x(t + i)). Отсюда вследствие условий 1, 2 непосредственно следует, что таким образом опре- деленная вектор-функция ω(t) является непрерывной и ограниченной при t ∈ R+. Kpoмe этого, поскольку в силу условий 1, 2 имеем H̃(t) → 0 при t → +∞, из (20) следует, что при t → +∞ имеет место соотношение (19). Покажем, что вектор-функция ω(t) = x(t) + ∑∞ i=0 f̃i(t, x(t + i)) является 1- периодической. Действительно, поскольку x(t + 1) ≡ x(t) + ∞∑ i=0 fi ( t, x(t + i) ) и f̃i ( t, x(t + i) ) = f̃i−1 ( t + 1, x(t + i) ) + fi ( t, x(t + i) ) , то ω(t + 1) = x(t + 1) + ∞∑ i=0 f̃i ( t + 1, x(t + 1 + i) ) = = x(t) + ∞∑ i=0 fi ( t, x(t + i) ) + ∞∑ i=0 f̃i ( t + 1, x(t + 1 + i) ) = = x(t) + ∞∑ i=0 fi ( t, x(t + i) ) + ∞∑ i=1 f̃i−1 ( t + 1, x(t + i) ) = = x(t) + ∞∑ i=0 f̃i ( t, x(t + i) ) = ω(t). Поскольку H̃(t)→ 0 при t→ +∞, соотношение H̃(t) ≤ θ < 1 всегда имеет место при t ≥ T, где T достаточно велико. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1 ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ МНОЖЕСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ... 107 Teopeмa 3 доказана. Теперь докажем, что для произвольной непрерывной при t ∈ R+, 1-периодичес- кой вектор-функции ω(t) существует непрерывное и ограниченное при t ∈ R+ ре- шение системы уравнений (18), удовлетворяющее условию (19). Поскольку произ- вольное непрерывное и ограниченное при t ∈ R+ решение системы уравнений (20) удовлетворяет системе уравнений (18) (в этом можно убедиться непосредственной подстановкой (20) в (18)), для этого достаточно показать, что такое решение имеет система уравнений (20). Теорема 4. Если выполняются условия теоремы 1, то система уравнений (20) имеет непрерывное и ограниченное при t ∈ R+ решение x(t), удовлетворяющее при t → +∞ условию (19). Доказательство. С помощью соотношений x0(t) = ω(t), xm(t) = ω(t)− ∞∑ i=0 f̃i (t, xm−1(t + i)) , m = 1, 2, . . . , (21) определим последовательность вектор-функций xm(t), m = 0, 1 . . . , и докажем, что она равномерно сходится при t ∈ R+ к непрерывному и ограниченному при t ∈ R+ решению системы уравнений (20). Принимая во внимание условия 1, 2, можно по индукции показать, что вектор- функции m(t), m = 0, 1 . . . , являются непрерывными при t ∈ R+ и при всех m ≥ 0, t ∈ R+ выполняется соотношение \|xm(t)\| ≤ M 1− θ , (22) где M = max t \|ω(t)\|. Более того, покажем, что при всех m ≥ 1, t ∈ R+ имеет место оценка ∣∣xm(t)− xm−1(t) ∣∣ ≤ Mθm. (23) Действительно, в силу (21) и условия 2 при m = 1 имеем ∣∣x1(t)− x0(t) ∣∣ ≤ ∞∑ i=0 ∣∣∣f̃i (t, ω(t + i)) ∣∣∣ ≤ M ∞∑ i=0 η̃i(t) ≤ Mθ и, следовательно, оценка (23) имеет место при m = 1. Рассуждая по индукции, предположим, что она доказана для некоторого m ≥ 1. Тогда в силу (21), условия 2 и (23) получаем ∣∣xm+1(t)− xm(t) ∣∣ ≤ ∞∑ i=0 ∣∣∣f̃i (t, xm(t + i))− f̃i (t, xm−1(t + i)) ∣∣∣ ≤ ≤ ∞∑ i=0 η̃i(t) ∣∣∣xm(t + i)− xm−1(t + i) ∣∣∣ ≤ Mθm ∞∑ i=0 η̃i(t) ≤ Mθm+1. Таким образом, оценка (23) имеет место при всех t ∈ R+ и m ≥ 1. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1 108 Г. П. ПЕЛЮХ Непосредственно из (22), (23) следует, что последовательность вектор-функций xm(t), m = 0, 1, . . . , равномерно сходится к некоторой непрерывной при t ∈ R+ вектор-функции x(t), удовлетворяющей условию \|x(t)\| ≤ M 1− θ . Если теперь перейти в (21) к пределу при m → +∞, то можно убедиться, что вектор-функция x(t) = lim m→+∞ xm(t) удовлетворяет системе уравнений (20). Teм самым теорема 4 доказана. Непосредственным следствием теорем 3, 4 является следующая теорема. Теорема 5. Если для системы уравнений (18) выполняются условия теоре- мы 3, то она имеет непрерывное при t ∈ R+, 1-периодическое асимптотическое равновесие. 1. Birkhoff G. D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. – 1911. – 12. – P. 243 – 284. 2. Birkhoff G. D. Formal theory of irregular linear difference equations // Acta math. – 1930. – 54. – P. 205 – 246. 3. Tokano B. K. Solutions containing arbitrary periodic functions of systems of nonlinear difference equations // Funkc. ekvacioj. – 1973. – 16, № 2. – P. 137 – 164. 4. Пелюх Г. П. О структуре непрерывных решений одного класса нелинейных разностных урав- нений // Дифференц. уравнения. – 1994. – 30, № 6. – С. 1083 – 1085. 5. Пелюх Г. П. Представление решений разностных уравнений с непрерывным аргументом // Там же. – 1996. – 32, № 2. – С. 304 – 312. 6. Пелюх Г. П. Общее решение систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргу- ментом // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 7. – С. 936 – 953. 7. Быков Я. В., Линенко В. Г. О некоторых вопросах качественной теории систем разностных уравнений. – Фрунзе: Илим, 1968. – 127 с. 8. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И., Самойленко А. М. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно-периодическими коэффициентами. – Киев: Наук. думка, 1984. – 216 с. 9. Stević S. Asymptotic behaviour of solutions of systems of a nonlinear difference equations with a continuous argument // Укр. мат. журн. – 2004. – 56, № 8. – С. 1095 – 1100. 10. Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах непрерывных решений систем нелинейных функционально-разностных уравнений // Докл. РАН. – 2002. – № 1. – С. 14 – 16. 11. Пелюх Г. П. Асимптотическое поведение решений нелинейных разностных уравнений с не- прерывным аргументом // Укр. мат. журн. – 2002. – 54, № 1. – С. 138 – 141. 12. Пелюх Г. П. О структуре множества непрерывных решений систем нелинейных функцио- нально-разностных уравнений // Нелiнiйнi коливання. – 2004. – 7, № 1. – С. 115 – 120. Получено 20.09.2006 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 1

Исследование структуры множества непрерывных решений систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргументом

Репозитарії

Схожі ресурси