О счетности числа решений двумерной линейной системы Пфаффа с различными характеристическими множествами
Доведено, що двовимірна цілком інтегровна система Пфаффа має не більш ніж зліченне число розв'язків з усіма різними характеристичними множинами.
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5524 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О счетности числа решений двумерной линейной системы Пфаффа с различными характеристическими множествами / Н.А. Изобов // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 2. — С. 172-189. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-5524 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-55242020-11-05T20:17:43Z О счетности числа решений двумерной линейной системы Пфаффа с различными характеристическими множествами Изобов, Н.А. Статті Доведено, що двовимірна цілком інтегровна система Пфаффа має не більш ніж зліченне число розв'язків з усіма різними характеристичними множинами. We prove that a two-dimensional completely integrable Pfaffian linear system has at most countable number of solutions with all distinct characteristic sets. 2007 Article О счетности числа решений двумерной линейной системы Пфаффа с различными характеристическими множествами / Н.А. Изобов // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 2. — С. 172-189. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5524 517.956.4 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Изобов, Н.А. О счетности числа решений двумерной линейной системы Пфаффа с различными характеристическими множествами |
| description |
Доведено, що двовимірна цілком інтегровна система Пфаффа має не більш ніж зліченне число розв'язків з усіма різними характеристичними множинами. |
| format |
Article |
| author |
Изобов, Н.А. |
| author_facet |
Изобов, Н.А. |
| author_sort |
Изобов, Н.А. |
| title |
О счетности числа решений двумерной линейной системы Пфаффа с различными характеристическими множествами |
| title_short |
О счетности числа решений двумерной линейной системы Пфаффа с различными характеристическими множествами |
| title_full |
О счетности числа решений двумерной линейной системы Пфаффа с различными характеристическими множествами |
| title_fullStr |
О счетности числа решений двумерной линейной системы Пфаффа с различными характеристическими множествами |
| title_full_unstemmed |
О счетности числа решений двумерной линейной системы Пфаффа с различными характеристическими множествами |
| title_sort |
о счетности числа решений двумерной линейной системы пфаффа с различными характеристическими множествами |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5524 |
| citation_txt |
О счетности числа решений двумерной линейной системы Пфаффа с различными характеристическими множествами / Н.А. Изобов // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 2. — С. 172-189. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT izobovna osčetnostičislarešenijdvumernojlinejnojsistemypfaffasrazličnymiharakterističeskimimnožestvami |
| first_indexed |
2025-07-02T08:37:01Z |
| last_indexed |
2025-07-02T08:37:01Z |
| _version_ |
1836523634905055232 |
| fulltext |
УДК 517.956.4
Н. А. Изобов (Ин-т математики НАН Беларуси, Минск)
О СЧЕТНОСТИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ
ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПФАФФА
С РАЗЛИЧНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМИ
МНОЖЕСТВАМИ
We prove that a two-dimensional completely integrable Pfaffian linear system has at most countable
number of solutions with all distinct characteristic sets.
Доведено, що двовимiрна цiлком iнтегровна система Пфаффа має не бiльш нiж злiченне число
розв’язкiв з усiма рiзними характеристичними множинами.
Будем рассматривать линейные вполне интегрируемые системы Пфаффа
∂x
∂ti
= Ai(t)x, x ∈ Rn, t = (t1, t2) ∈ R2
+, i = 1, 2, (1)
с ограниченными непрерывно дифференцируемыми матрицами A1 и A2 n-го по-
рядка. Для аналогов характеристического показателя Ляпунова функции одной
переменной — характеристического вектора [1, с. 108; 2, 3] λ = (λ1, λ2) ∈ R2 не-
тривиального решения x : R2
+ → Rn \ {0} системы (1), определяемого условиями
Lx(λ) ≡ lim
t→∞
ln ‖x(t)‖ − (λ, t)
‖t‖
= 0,
Lx(λ− (2− i, i− 1)ε) > 0 ∀ε > 0, i = 1, 2
(векторное стремление t → ∞ эквивалентно стремлению ‖t‖ ≡
√
t21 + t22 → +∞)
и обозначаемого символом λ[x], и характеристического множества [2, 3] Λx =
= ∪λ[x] ⊂ R2 этого решения оставался открытым существенный вопрос о числе
различных* характеристических множеств Λx решений x рассматриваемой систе-
мы (для обыкновенных n-мерных линейных систем их, как хорошо известно, не
более n). В [4] доказано существование вполне интегрируемой линейной систе-
мы Пфаффа с ограниченными бесконечно дифференцируемыми коэффициентами
и счетным числом решений x со всеми различными характеристическими мно-
жествами Λx. Отметим, что полное описание множества Λx каждого отдельного
решения x системы (1) дано в [2, 3, 5]. Отметим также, что число различных
нижних характеристических множеств [6] Px = ∪p[x] решений x 6= 0 системы (1),
которые являются объединением всех нижних характеристических векторов [6]
p[x] = p решения x, определяемых условиями
lx(p) ≡ lim
t→∞
ln ‖x(t)‖ − (p, t)
‖t‖
,
lx(p + (2− i, i− 1)ε) < 0 ∀ε > 0, i = 1, 2,
*Характеристические множества Λx1 и Λx2 нетривиальных решений x1 и x2 системы (1) счи-
таем различными, если ∩iλxi 6= ∪iΛxi .
c© Н. А. ИЗОБОВ, 2007
172 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
О СЧЕТНОСТИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПФАФФА ... 173
и служащих аналогами нижнего показателя Перрона функции одной переменной,
вообще говоря, несчетно [6], а нижнее характеристическое множество P = ∪x6=0Px
системы (1) имеет положительную плоскую меру Лебега.
Основной результат настоящей статьи — доказательство того, что любая дву-
мерная система Пфаффа (1) имеет не более чем счетное число решений x с попарно
различными характеристическими множествами Λx. Этому предшествуют форму-
лировки и доказательство четырех вспомогательных лемм.
Определение. Ограниченную монотонно убывающую выпуклую вниз функцию
fx : [αx, βx] → [ax, bx] будем называть характеристической функцией характерис-
тического множества Λx решения x : R2
+ → Rn \ {0} системы (1) (или просто
характеристической функцией этого решения), если оно имеет вид [2, 3]
Λx =
{
(λ1, fx(λ1)) ∈ R2 : λ1 ∈ [αx, β2]
}
.
Справедлива следующая лемма.
Лемма. Пусть существуют нетривиальные решения u и v системы (1) и либо
точка λ1,
min
w
αw < λ1 ∈ ∩w[αw, βw], w = u, v, (2)
в которой выполнено неравенство fu(λ1) < fv(λ1), либо точка λ1 ∈ (βu, βv], для
которой имеет место неравенство fv(λ1) > au. Тогда для любой последователь-
ности {tv(k)} ↑ ∞, реализующей предел
Lv(λv) = 0, λv = (λ1, fv(λ1)) ∈ Λv, (3)
справедливо равенство
lim
k→∞
u(tv(k))/
∥∥v(tv(k))
∥∥ = 0. (4)
Доказательство. Рассмотрим сначала первый случай λ1 ∈ ∩w[αw, βw], w =
= u, v, и первый подслучай λ1 > αu. Возьмем число λ′1 ∈ (αu, λ1) настолько
близким к λ1, чтобы в силу непрерывности функций fu(µ) на отрезке [αu, λ1] и
оценки fv(λ1) > fu(λ1) выполнялось неравенство fv(λ1) > fu(λ′1). Предположим
противное, т. е.
u(tv(k))/‖ϑ(tv(k))‖ 6→ 0 при k →∞. (5)
Тогда без нарушения общности существует такая постоянная c > 0, что неравен-
ство ∥∥u(tv(k))
∥∥ ≥ c‖v(tv(k))‖ (6)
выполняется для всех k ∈ N. В силу выбора числа λ′1 и предположения (5), (6) для
характеристического вектора λ′u = (λ′1, fu(λ′1)) решения u имеют место следующие
противоречивые неравенства:
0 = Lu(λ′u) ≥ lim
k→∞
‖tv(k)‖−1[ln ‖u(tv(k))‖ − (λv, tv(k)) + (λv − λ′u, tv(k))]
(6)
≥
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
174 Н. А. ИЗОБОВ
(6)
≥ Lv(λv) + (λ1 − λ′1)T1 + [fv(λ1)− fu(λ′1)]
√
1− T 2
1
(3)
≥
(3)
≥ (T1 +
√
1− T 2
1 ) min{λ1 − λ′1, fv(λ1)− fu(λ′1)} > 0,
в которых
T1 ≡ lim
k→∞
[tv,1(k)/‖tv(k)‖] ∈ [0, 1], tv(k) =
(
tv,1(k), tv,2(k)
)
∈ R2
+,
и без нарушения общности существуют все используемые пределы. Таким обра-
зом, в рассматриваемом подслучае равенство (4) доказано.
Во втором подслучае λ1 > αv согласно [7] существующий без нарушения
общности предел T2 ≡ lim
k→∞
[
tv,2(k)/‖tv(k)‖
]
является положительным и поэтому,
снова предположив выполненным (5), получим противоречивое неравенство
0 = Lu(λu)
(6)
≥ lim
k→∞
∥∥tv(k)
∥∥−1[ ln ‖v(tv(k))‖ − (λu, tv(k))
]
≥
≥ Lv(λv) +
[
fv(λ1)− fu(λ1)
]
T2
(3)
> 0.
Таким образом, в первом случае необходимое равенство (4) доказано.
Во втором случае λ1 ∈ (βu, βv] для характеристических векторов λ◦u = (βu, au) ∈
∈ Λu и λv = (λ1, fv(λ1)) ∈ Λv выполнено строгое неравенство λ◦u < λv, которое
используем при вычислении и оценке следующего предела:
lim
k→∞
∥∥tv(k)
∥∥−1 ln
[
‖u(tv(k))‖/‖v(tv(k))‖
]
=
= lim
k→∞
‖tv(k)‖−1
{
[ln ‖u(tv(k))‖ − (λ◦u, tv(k))]−
−
[
ln ‖v(tv(k))‖ − (λv, tv(k))
]
+ (λ◦u − λv, tv(k))
}
≤
≤ Lu(λ◦u)− Lv(λv) + (λ◦u − λv, T ) < 0;
в этих неравенствах существующий без нарушения общности двумерный вектор
T = lim
k→∞
tv(k)/
∥∥tv(k)
∥∥ ≥ 0 имеет единичную длину.
Лемма доказана.
С помощью этой леммы докажем еще несколько предварительных анонсиро-
ванных в [8, 9] утверждений.
Лемма 1. Пусть существуют нетривиальные решения u и v системы (1) с
характеристическими функциями fw : [αw, βw] → [aw, bw], w = u, v, и точка γ ∈
∈ ∩w=u,v[αw, βw], для которой выполнены равенство fu(γ) = fv(γ) и неравенство
fu(λ1) < fv(λ1) при любом
λ1 ∈ [ max
w=u,v
αw, γ) ≡ [α, γ) 6= ∅ (λ1 ∈ (γ, min
w=u,v
βw] ≡ (γ, β] 6= ∅).
Тогда характеристическая функция fx(λ1) любого решения
x(t) = c1u(t) + c2v(t), ci = const 6= 0, t ∈ R2
+, (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
О СЧЕТНОСТИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПФАФФА ... 175
этой системы определена на отрезке [αx, γ] ⊃ [α, γ] с левым концом αx = α в
случае αu 6= αv (на отрезке [γ, βx] ⊃ [γ, β] с правым концом βx ≥ δ ≡ sup{λ1 ∈
∈ [γ, βv] : fv(λ1) ≥ au}, равным δ в случае au 6= av) и совпадает с функцией fv(λ1)
на отрезке [α, γ] (на отрезке [γ, δ]).
Доказательство. Покажем сначала, что часть области определения — отре-
зок [αx, γ] функции fx(λ1) — содержит сегмент [α, γ] и для любого λ1 ∈ [α, γ]
выполнено равенство fx(λ1) = fv(λ1).
Пусть векторная последовательность {tv(k)} ↑ ∞ реализует предел Lv(λv) = 0
для характеристического вектора λv = (λ1, fv(λ1)) решения v(t) с первой ком-
понентой λ1 ∈ (α, γ) (и тем самым внутренней точки λv характеристического
множества Λv этого решения). Поэтому для этой последовательности выполнено
как свойство [7]
tv,2(k)/tv,1(k) → θ ∈ (0,+∞), (8)
так и равенство (4). В силу последнего равенства имеем неравенство
Lx(λv) ≥ lim
k→∞
∥∥tv(k)
∥∥−1
[
ln
∥∥v(tv(k))
∥∥+
+ ln | 1− d
∥∥u(tv(k))
∥∥/
∥∥v(tv(k))
∥∥ | − (λv, tv(k))
]
=
= Lv(λv) = 0, d = const > 0. (91)
Противоположная же оценка Lx(λv) ≤ 0 вытекает из очевидных неравенств
‖x(t)‖ ≤ C(ε)
[
exp(λu, t) + exp(λv, t)
]
exp ε‖t‖ ≤
≤ 2C(ε) exp
[
(λv, t) + ε‖t‖
]
∀ε > 0 ∀t ∈ R2
+. (10)
Поэтому из неравенств (91) и (10) имеем первое свойство Lx(λv) = 0 определения
характеристического вектора. Выполнение же второго свойства
Lx(λv − εei) > 0, ei ∈ R2
+, ∀ε > 0, i = 1, 2,
следует из свойства (8) последовательности {tv(k)}:
Lx(λv − εei) ≥ Lx(λv − εei)|{tv(k)} =
= Lx(λv) + ε[1 + (θ − 1)(i− 1)]
√
1 + θ2 > 0 ∀ε > 0, i = 1, 2. (92)
Таким образом, равенство fx(λ1) = fv(λ1) доказано для всех внутренних точек
отрезка [α, γ]. Справедливость его на концах этого отрезка следует из свойства
непрерывности функции fx(λ1).
Докажем теперь равенство αx = max{αu, αv} в случае αu 6= αv. В первом
подслучае αv < αu рассмотрим последовательность {tu(k)} ↑ ∞ со свойством
tu,2(k)/tu,1(k) → 0 при k →∞, (11)
реализующую равенство Lu((αu, bu)) = 0 (существование этой последовательнос-
ти {tu(k)} установлено в [7]). Воспользовавшись оценками
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
176 Н. А. ИЗОБОВ∥∥v(t)
∥∥ ≤ C(ε) exp(αvt1 + bvt2 + ε‖t‖) ∀ε > 0 ∀t ≥ 0,∥∥u(tu(k))
∥∥ ≥ C−1(ε) exp
[
((αu, bu), tu(k))− ε‖tu(k)‖
]
∀ε > 0, k ∈ N,
(12)
справедливыми по определению характеристического вектора, для рассматривае-
мой последовательности в силу (11) получим неравенство∥∥v(tu(k))
∥∥/
∥∥u(tu(k))
∥∥ ≤
≤ C2(ε) exp
{
(αv − αu + 2ε)tu,1(k) +
[
fv(αv)− fu(αu) + 2ε
]
tu,2(k)
}
=
= O
(
exp(αv − αu + 3ε)tu,1(k)
)
→ 0, k →∞.
Из него же, в свою очередь, следует и неравенство
0 = Lx((αx, bx)) ≥ lim
k→∞
∥∥tu(k)
∥∥−1
[
ln ‖u(tu(k))‖ −
(
(αx, bx), tu(k)
)]
=
= Lu
(
(αu, bu)
)
+ lim
k→∞
∥∥tu(k)
∥∥−1
[
(αu − αx)tu,1(k) + (bu − bx)tu,2(k)
]
(11)
=
(11)
= αu − αx,
т. е. неравенство αx ≥ αu, которое вместе с доказанным ранее неравенством
αx ≤ αu устанавливает необходимое равенство αx = αu. Аналогичным образом
доказывается равенство αx = αv в подслучае αv > αu.
Докажем теперь второе утверждение леммы 1. Как и при доказательстве пер-
вого утверждения, покажем сначала, что функция fx(λ1) определена и совпадает с
функцией fv(λ1) на отрезке [γ, δ].
Рассмотрим случай βv ≤ βu. Пусть, как и ранее, последовательность {tv(k)} ↑
↑ ∞ реализует предел Lv(λv) = 0 с вектором λv, имеющим теперь первую ком-
поненту λ1 ∈ (γ, βv) ⊂ (αv, βv). Для этой последовательности выполнены как
равенство (4), так и свойство (8). С помощью этих свойств последовательности
{tv(k)}, как и при доказательстве неравенств (91), (92) и (10), устанавливаем, что
λv = (λ1, fv(λ1)) является характеристическим вектором решения x(t) при любом
λ1 ∈ [γ, β] в случае β = βv. Доказательство совпадения характеристических функ-
ций fx(λ1) и fv(λ1) соответственно решений x(t) и v(t) системы (1) на отрезке
[γ, β] в случае β = βu < βv не отличается от приведенного выше доказательства
такого совпадения для случая β = βv ≤ βu.
Таким образом, осталось рассмотреть промежуток ∅ 6= (βu, δ] ⊂ (βu, βv]
возможного изменения аргумента λ1 характеристической функции fx(λ1). Возь-
мем λ1 ∈ (βu, δ), для которого по определению числа δ выполнено неравенство
fv(λ1) > au, и соответствующую ему последовательность {tv(k)} ↑ ∞, реализую-
щую предел Lv(λv) = 0. Для этой последовательности снова выполнены условия
леммы, и поэтому для нее справедливо равенство (4). Поскольку λ1 ∈ (αv, βv), для
последовательности {tv(k)} выполнено и свойство (8). С помощью равенства (4)
получаем оценку Lx(λv) ≥ 0 для вектора λv = (λ1, fv(λ1)) (см. неравенство (91)).
Противоположная оценка Lx(λv) ≤ 0 является следствием строгого векторного
неравенства (βu, au) < (λ1, fv(λ1)) = λv и следующих неравенств:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
О СЧЕТНОСТИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПФАФФА ... 177
∥∥x(t)
∥∥ ≤ C(ε)
[
exp
(
(βu, au), t
)
+ exp(λv, t)
]
exp ε‖t‖ ≤
≤ 2C(ε) exp
[
(λv, t) + ε‖t‖
]
∀ε > 0 ∀t ∈ R2
+.
Тем самым необходимое равенство Lx(λv) = 0 доказано. При доказательстве же
неравенств
Lx(λv − εei) > 0, ei = (i− 1, 2− i) ∈ R2
+, ∀ε > 0, i = 1, 2,
аналогичном доказательству неравенств (92), используется свойство (8) последо-
вательности {tv(k)}.
Итак, функция fx(λ1) в случае δ ∈ (βu, βv] определена на интервале (βu, δ) и
совпадает на нем с функцией fv(λ1). В силу же непрерывности функции fx(λ1)
и замкнутости ее области определения она определена и совпадает с функцией
fv(λ1) на всем отрезке [γ, δ].
Докажем, наконец, последнее утверждение леммы 1: βx = δ в случае au 6= av.
Рассмотрим сначала случай au < av, для которого δ = βv. Согласно [7], для
граничной точки (βv, av) характеристического множества Λv существует последо-
вательность {η(k)} ↑ ∞, реализующая предел Lv[(βv, av)] = 0 и удовлетворяющая
условию
η1(k)/η2(k) → 0 при k →∞. (13)
С помощью оценок∥∥u(t)
∥∥ ≤ C(ε) exp
[
(βut1 + aut2 + ε‖t‖
)
∀ε > 0 ∀t ≥ 0,∥∥v(η(k))
∥∥ ≥ C−1(ε) exp
(
βvη1(k) + avη2(k)− ε‖η(k)‖
)
∀ε > 0, k ∈ N,
вытекающих из определения характеристических векторов решений u и v, для
последовательности {η(k)} в силу (13) будем иметь неравенство∥∥u(η(k))
∥∥/
∥∥v(η(k))
∥∥ ≤
≤ C2(ε) exp
[
(βu − βv)η1(k) + (au − av)η2(k) + 2ε‖η(k)‖
]
=
= O
[
exp(au − av + 3ε)η2(k)
]
→ 0 при k →∞.
Из этой оценки следуют также неравенства
0 = Lx
(
(βx, ax)
)
≥ lim
k→∞
∥∥η(k)
∥∥−1
[
ln ‖v(η(k))‖ −
(
(βx, ax), η(k)
)]
=
= Lv
(
(βv, av)
)
+ lim
k→∞
∥∥η(k)
∥∥−1
[
(βv − βx)η1(k) + (av − ax)η2(k)
]
(13)
= av − ax,
в которых без нарушения общности существуют все используемые пределы и из
которых следует неравенство ax ≥ av. В рассматриваемом случае au < av ранее
было доказано как равенство fx(δ) = av, так и неравенство βx ≥ δ. Если теперь
предположить, что βx > δ, то в силу строгого убывания функции fx(λ1) было бы
справедливо неравенство av = fx(δ) > fx(βx) ≡ ax, противоречащее доказанному
выше ax ≥ av.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
178 Н. А. ИЗОБОВ
Доказательство равенства βx = δ во втором случае av < au совпадает с доказа-
тельством этого равенства в первом случае au < av с единственным изменением —
заменой всюду решения v на решение u и u на v.
Лемма 1 доказана.
С помощью рассуждений, содержащихся в доказательстве леммы 1, для реше-
ний u и v системы (1) с произвольными характеристическими функциями можно
доказать такое следствие.
Следствие 1. Если для характеристических функций fw : [αw, βw] → [aw, bw]
решений w = u, v системы (1) выполнено неравенство αu 6= αv (неравенство
au 6= av), то характеристическая функция fx решения x = c1u + c2v, ci =
= const 6= 0, i = 1, 2, этой системы имеет свойство αx = max{αu, αv} (свойство
ax = max{au, av}).
Доказательство. В определение решения x системы (1) решения u и v входят
равноправно, симметрично. Поэтому для определенности достаточно рассмотреть
лишь случаи αu < αv и au < av. В первом из них рассмотрим последовательность
{tv(k)} ↑ ∞, реализующую предел Lv((αv, bv)) = 0 с левой граничной точкой
(αv, bv) множества Λv и удовлетворяющую условию [7]
tv,2(k)/tv,1(k) → 0 при k →∞. (111)
По определению характеристического вектора справедливы оценки∥∥u(t)
∥∥ ≤ C(ε) exp
(
αu t1 + bu t2 + ε‖t‖
)
∀ε > 0 ∀t ≥ 0,∥∥v(tv(k))
∥∥ ≥ C−1(ε) exp
[
αvtv,1(k) + bvtv,2(k)− ε
∥∥tv(k)
∥∥]
∀ε > 0 k ∈ N,
из которых в силу свойства (111) и предположения αu < αv вытекает равенство (4).
Поэтому имеют место неравенства
0 = Lx
(
(αx, bx)
) (4)
≥ lim
k→∞
∥∥tv(k)
∥∥−1[ ln ‖v(tv(k))‖ − ((αx, bx), tv(k))
]
=
= Lv
(
(αv, bv)
)
+ lim
k→∞
∥∥tv(k)
∥∥−1[(αv − αx)tv,1(k) + (bv − bx)tv,2(k)
] (111)=
(111)= αv − αx,
из которых следует необходимая оценка αx ≥ αv. Тем самым в рассматриваемом
случае справедлива и оценка αx > αu. Поскольку постоянные ci отличны от 0,
решение v можно представить в виде v = d1u + d2x с некоторыми ненулевыми
постоянными d1 и d2. Поэтому решения v и x по сравнению с исходной ситуацией
поменялись ролями. Применяя доказанное выше утверждение для разложения v
на составляющие u и x, получаем неравенство αv ≥ αx, устанавливающее необ-
ходимое свойство αx = max{αu, αv}.
Второе утверждение ax = max{au, av} этого следствия доказывается анало-
гично.
В общем же случае, допускающем выполнение и равенств αu = αv или au = av,
справедливо такое утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
О СЧЕТНОСТИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПФАФФА ... 179
Следствие 2. Для характеристических функций fu и fv линейно независи-
мых решений u и v системы (1) и характеристической функции fx ее решения (7)
выполнены неравенства
αx ≤ max{αu, αv}, ax ≤ max{au, av}, (14)
превращающиеся в равенства соответственно в случаях αu 6= αv и au 6= av.
Доказательство. Если предположить выполненными неравенства αx > αu =
= αv, противоположные первому из неравенств (14), то согласно следствию 1,
примененному к исходным решениям u и x с параметрами αu < αx и их линей-
ной комбинации v = c′1u + c′2x с постоянными c′i 6= 0, будем иметь равенство
αv = max{αu, αx} = αx, противоречащее предположенному αv = αu < αx. Ана-
логичным образом устанавливается и второе неравенство (14).
Замечание 1. Следствия 1 и 2 уточняют и обобщают теорему 2.1 Э. И. Гру-
до [2].
Замечание 2. Условия αu 6= αv и au 6= av следствия 1 являются существен-
ными: существуют линейная система Пфаффа (1) и ее решения u, v и x = u + v,
для характеристических функций fw, w = u, v, x, которых выполнены условия
αx < αu = αv, ax < au = av.
Доказательство. Для доказательства этого утверждения зафиксируем произ-
вольный двумерный вектор r = (r1, r2) > 0 и определим функции
ϕ1(t) = (e−r1t1 + e−r2t2)−1, ϕ2(t) = ert, t ∈ R2
+,
а с их помощью двумерную линейную диагональную систему Пфаффа
∂x
∂t1
= diag[a1(t), a2(t)]x,
∂x
∂t2
= diag[b1(t), b2(t)]x, x ∈ R2, t ∈ R2
+,
(15)
с ограниченными непрерывно дифференцируемыми коэффициентами
ai(t) = ϕ−1
i (t)
∂ϕi(t)
∂t1
, bi(t) = ϕ−1
i (t)
∂ϕi(t)
∂t2
, i = 1, 2, t ∈ R2
+,
очевидно, удовлетворяющими условию полной интегрируемости системы (15). В
качестве ее решений u, v и x используем решения
u(t) = (ϕ1(t),−ϕ2(t)), v(t) = (0, ϕ2(t)), x(t) = (ϕ1(t), 0), t ∈ R2
+.
Традиционными несколько усовершенствованными рассуждениями покажем, что
характеристическим множеством Λϕ1 функции ϕ1 является отрезок
∆ =
{
λ ∈ R2
+ :
λ1
r1
+
λ2
r2
= 1
}
прямой плоскости λ1Oλ2. Действительно, справедливы оценки
lnϕ1(t) ≤ min{r1t1, r2t2} ≤ θr1t1 + (1− θ)r2t2 ≡ (λ, t),
λ = (λ1, λ2) = (θr1, (1− θ)r2), θ ∈ [0, 1], t ∈ R2
+,
(16)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
180 Н. А. ИЗОБОВ
с векторами λ, составляющими отрезок ∆. Отсюда следует неравенство Lϕ1(λ) ≤
≤ 0. С другой стороны, на луче r2t2 = r1t1 ≥ 0 для функции ϕ1(t) выполнено
равенство
lnϕ1(t)
∣∣
t2=r1t1/r2
= r1t1 − ln 2, t1 ≥ 0, (17)
из которого, в свою очередь, вытекает неравенство
Lϕ1(λ) ≥ lim
r2t2=r1t1→+∞
‖t‖−1[r1t1 − (λ1t1 + λ2r1t1/r2)] = 0, (18)
а тем самым и необходимое равенство Lϕ1(λ) = 0, λ ∈ ∆. Необходимые же
неравенства Lϕ1(λ − εei) > 0 ∀ε > 0, i = 1, 2, в силу (18) реализуются на луче
t2 = r1t1/r2 при t1 → +∞. Таким образом, установлено включение ∆ ⊂ Λϕ1 .
Для любого характеристического вектора µ ∈ Λϕ1 функции ϕ1(t) выполнены
неравенства
0 = Lϕ1(µ) ≥ lim
t3−i=0,ti→+∞
− ln 2− µiti
ti
= −µi, i = 1, 2,
из которых следуют и неравенства µi ≥ 0. В силу (17) и (18) имеем также нера-
венство
0 = Lϕ1(µ) ≥ Lϕ1(µ)
∣∣
r1t1=r2t2
= (r1r2 − r2µ1 − r1µ2)/‖r‖,
т. е. неравенство r−1
1 µ1 + r−1
2 µ2 ≥ 1.
Пусть предел Lϕ1(µ) = 0 реализуется по последовательности {t(k)} ↑ ∞,
имеющей без нарушения общности свойства
ti(k) → +∞, i = 1, 2; t2(k)/t1(k) → ϑ ∈ [0,+∞] при k →∞.
Тогда для этого предела справедливы представления
0 = Lϕ1(µ) =
(r1 − µ1 − µ2ϑ)/
√
1 + ϑ2, если ϑ ∈ [r1/r2,+∞),
(r2 − µ2 − µ1/ϑ)/
√
1 + ϑ−2, если ϑ ∈ (0, r1/r2),
0 = Lϕ1(µ) = −µ2 при ϑ = +∞ и 0 = Lϕ1(µ) = −µ1 при ϑ = 0. В силу уста-
новленного ранее неравенства µi ≥ 0 две точки µ ∈ Λϕ1 соответственно с коорди-
натами µ1 = 0 и µ2 = 0 являются граничными множества Λϕ1 . Из представлений
предела Lϕ1(µ) имеем соотношения
r1 = µ1 + ϑµ2 ≥ µ1 + r1µ2/r2, ϑ ∈ [r1/r2,+∞),
r2 = µ2 + µ1/ϑ ≥ µ2 + r2µ1/r1, ϑ ∈ (0, r1/r2),
устанавливающие неравенство r−1
1 µ1+r−1
2 µ2 ≤ 1 для всех внутренних точек µ > 0
множества Λϕ1 . Это неравенство выполняется и для граничных (концевых) точек
множества Λϕ1 в силу его замкнутости [2, 3].
Таким образом, доказаны неравенства µi ≥ 0, i = 1, 2, и равенство r−1
1 µ1 +
+ r−1
2 µ2 = 1 для любой точки µ ∈ Λϕ1 , а тем самым и включение Λϕ1 ⊂ ∆.
С учетом установленного ранее обратного включения получено представление
Λϕ1 = ∆.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
О СЧЕТНОСТИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПФАФФА ... 181
На основании неравенства (16) справедлива оценка lnϕ1(t) ≤ (r, t), r > 0,
t ∈ R2
+. Поэтому для норм решений u и v выполнены соотношения
ϕ2(t) ≤ ‖u(t)‖ ≤
√
2 ϕ2(t), ‖v(t)‖ = ϕ2(t), t ∈ R2
+.
Они позволяют для характеристических множеств этих решений получить пред-
ставления Λu = Λv = Λϕ2 = {r}, r > 0, т. е. равенства
αu = αv = βu = βv = r1 > 0, au = av = bu = bv = r2 > 0.
Для решения же x имеем соотношения
αx = 0 < r1 = min{αu, αv}, ax = 0 < r2 = min{au, av}.
Утверждение, содержащееся в замечании 2, доказано.
Лемма 2. Пусть существуют нетривиальные решения u и v системы (1) с
характеристическими функциями fu и fv и точки γ1 < γ2, γi ∈ ∩w=u,v[αw, βw],
такие, что на всем интервале (γ1, γ2) выполнено неравенство fu(λ1) < fv(λ1).
Тогда характеристическая функция fx(λ1) решения (7) этой системы определена
на отрезке [γ1, γ2] и совпадает на нем с характеристической функцией fv(λ1)
решения v.
Доказательство. Пусть, как и при доказательстве леммы 1, последователь-
ность {tv(k)} ↑ ∞ реализует предел Lv(λv) = 0, в котором λv = (λ1, fv(λ1)) ∈ Λv,
λ1 ∈ (γ1, γ2). Тогда согласно лемме выполнено равенство (4), а в силу результатов
работы [7] — свойство (8). Рассуждениями, аналогичными использованным при
доказательстве неравенств (91) и (10), устанавливаем равенство Lx(λv) = 0. Также
повторяя доказательство неравенств (92), с помощью свойства (8) последователь-
ности {tv(k)} получаем второе необходимое свойство Lx(λv − εei) > 0 ∀ε > 0,
i = 1, 2, определения характеристического вектора λx(λ1) = λv(λ1), λ1 ∈ (γ1, γ2).
В силу непрерывности функций fv(λ1), fx(λ1) и замкнутости областей их зада-
ния из предыдущего равенства имеем и необходимое равенство fx(λ1) = fv(λ1),
λ1 ∈ [γ1, γ2].
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Пусть пересечение характеристических множеств Λv, не явля-
ющегося одноточечным в случаях αu = βv и au = bv, и Λu решений u и v
системы (1) пусто и существуют точки λ′u ∈ Λu и λ′v ∈ Λv, связанные век-
торным неравенством λ′u ≤ λ′v. Тогда характеристическая функция fx(λ1) лю-
бого решения (7) этой системы определена на отрезке [αu(v), δ] 6= ∅ с левым
концом αu(v) ≡ max{αu, αv}, равным αx в случае αu 6= αv, правым концом
δ ≡ sup{λ1 ∈ [αv, βv] : fv(λ1) ≥ au}, равным βx в случае au 6= av, и совпада-
ет на этом отрезке с характеристической функцией fv(λ1) решения v.
Доказательство. Покажем вначале, что отрезок [αu(v), δ] не пуст. Из условия
λ′u ≤ λ′v = (λ′v,1, λ
′
v,2) ∈ Λv леммы 3 следует неравенство βv ≥ λ′v,1 ≥ λ′u,1 ≥
≥ αu, которое вместе с очевидным неравенством λ′v,1 ≥ αv устанавливает оценку
λ′v,1 ≥ αu(v). С другой стороны, из неравенств au ≤ λ′u,2 ≤ λ′v,2 = fv(λ′v,1)
вытекает включение λ′v,1 ∈
{
λ1 ∈ [αv, βv] : fv(λ1) ≥ au
}
, устанавливающее нера-
венство δ ≥ λ′v,1, которое вместе с полученным ранее неравенством λ′v,1 ≥ αu(v)
и устанавливает свойство [αu(v), δ] 6= ∅.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
182 Н. А. ИЗОБОВ
Для доказательства леммы 3 образуем непустое по ее условиям множество
Λu(v) ≡
{
λ ∈ Λv : ∃λu ∈ Λu, λu ≤ λ
}
и рассмотрим оба возможных случая:
1) множество Λu(v) является одноточечным; 2) оно содержит две различные точки
множества Λv (а тем самым и весь участок кривой Λv, заключенный между этими
точками).
В первом случае докажем равенства αx = βx = αu = αu(v) = δ ∈ [αv, βv] и
fx(αu(v)) = fv(αu(v)). Здесь возможны три подслучая: 11) αu = βv и bu < av;
12) βu < αv и au = bv; 13) Λv =
{
(αv, av) ≡ λv
}
и ∃λ′u ∈ Λu : λ′u < λv.
Для первых двух подслучаев единственные векторы λ′u и λ′v из условий леммы 3
имеют вид λ′u = (αu, bu), λ′v = (βv, av) = (αu, av) и λ′u = (βu, au), λ′v = (αv, bv) =
= (αv, av) соответственно. В обоих подслучаях эти векторы являются граничными
точками характеристических множеств Λu и Λv соответственно. Поэтому в силу
результатов [7] существуют векторные последовательности {t′u(k)} ↑ ∞ и {t′v(k)} ↑
↑ ∞, реализующие соответственно пределы Lu(λ′u) = 0 и Lv(λ′v) = 0, а также
имеющие свойства
t′u,2(k)/t′u,1(k) → 0, t′v,1(k)/t′v,2(k) → 0 при k →∞ (181)
в первом подслучае и
t′u,1(k)/t′u,2(k) → 0, t′v,2(k)/t′v,1(k) → 0 при k →∞ (182)
во втором.
Покажем, что вектор λ′v = (αu(v), fv(αu(v))) является характеристическим
вектором решения x как в первом, так и во втором подслучаях. Действительно,
в первом из них для последовательности {t′v(k)} выполнены неравенства
Lx(λ′v) ≥ Lx(λ′v)|{t′v(k)} =
= Lv(λ′v) + lim
k→∞
‖t′v(k)‖−1 ln
∣∣∣∣1− d
‖u(t′v(k))‖
‖v(t′v(k))‖
∣∣∣∣ ≡ Lv(λ′v) + lv = 0,
так как предел lv равен 0, что в силу условия bu < av и второго свойства (181)
вытекает из оценки∥∥u(t′v(k))
∥∥/
∥∥v(t′v(k))
∥∥ ≤ C(ε)o[exp(bu − av + ε)‖t′v(k)‖] → 0 при k →∞.
С другой стороны, из условия λ′u ≤ λ′v следует оценка ‖x(t)‖ ≤ C(ε) exp
[
(λ′v, t)+
+ε‖t‖
]
∀ε > 0 ∀t ≥ 0, а тем самым и неравенство Lx(λ′v) ≤ 0. Равенство Lx(λ′v) =
= 0 доказано.
При доказательстве неравенств
Lx(λ′v − εei) > 0, ei = (2− i, i− 1) ∈ R2
+, ∀ε > 0, i = 1, 2, (19)
воспользуемся условием mes1Λv > 0, из которого следует неравенство αv < βv =
= αu. Поэтому на его основании с учетом свойства (18) для последовательности
{t′u(k)} имеем неравенства
Lx(λ′v − εe1) ≥ Lx(λ′v − εe1)|{t′u(k)} = Lx(λ′u − εe1)|{t′u(k)} =
= Lx(λ′u)|{t′u(k)} + ε
αv<αu= Lu(λ′u) + ε = ε > 0 ∀ε > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
О СЧЕТНОСТИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПФАФФА ... 183
в которых без нарушения общности предполагаем существующими все использо-
ванные пределы. Аналогичным образом для последовательности {t′v(k)} со свой-
ством (181) и в силу условия bu < av получаем неравенства
Lx(λ′v − εe2) ≥ Lx(λ′v − εe2)|{t′v(k)}
bu<av= Lv(λ′v) + ε = ε > 0 ∀ε > 0.
Итак, доказано, что λ′v является характеристическим вектором решения x, т. е.
доказано равенство fx(αu(v)) = fv(αu) = av.
Докажем теперь равенство Λx = {(αu, av)}. Согласно следствию 2 выполнены
равенства αx = αu и ax = av. Если теперь предположить βx > αx = αu, то в силу
доказанного равенства fx(αx) = av и убывания функции fx(λ1) на отрезке [αx, βx]
имеем противоречивое неравенство av = fx(αx) > fx(βx) ≡ ax = av. Таким
образом, βx = αx = αu, δ = βv = αu. В первом подслучае лемма 3 доказана.
Рассмотрим теперь второй подслучай. Равенство Lx(λ′v) = 0, необходимое для
доказательства того, что λ′v = (αv, au) = (αv, bv) является характеристическим
вектором решения x, устанавливается точно так же, как и в первом подслучае.
Доказательство неравенств (19) осуществляем следующим образом:
Lx(λ′v − εe1) ≥ Lx(λ′v − εe1)
∣∣∣
{t′v(k)}
βu<αv= Lv(λ′v − εe1)|{t′v(k)} =
= Lv(λ′v) + ε = ε > 0,
Lx(λ′v − εe2) ≥ Lx(λ′v − εe2)
∣∣∣
{t′u(k)}
=
= Lx(λ′u − εe2|{t′u(k)}
av<au= Lu(λ′u) + ε = ε > 0,
причем предпоследнее равенство основано на неравенстве av < au, вытекаю-
щем из условия леммы 3 о многоточечности множества Λv во втором подслу-
чае. Таким образом, λ′v является характеристическим вектором решения x и
fx(αv) = fv(αv) = bv = au. Поскольку согласно следствию 2 имеем αx = αv
и ax = au, предполагая βx > αx = αv, приходим, как и выше, к противоречию
с тем, что ax = au = fx(αv). Поэтому βx = αx. Очевидно, и в этом случае
δ = αv = βx. Лемма 3 во втором подслучае доказана.
Рассмотрим третий подслучай. Покажем, что любое решение x имеет един-
ственный характеристический вектор λv = (αv, av), т. е. докажем равенство
Λx = Λv. С помощью неравенства λ′u < λv легко доказать равенство Lx(λv) = 0.
Неравенства Lx(λv − εei) > 0, ε > 0, ei ∈ R2
+, могут быть доказаны, например,
следующим образом. Пусть {tεv(k)} ↑ ∞ реализует предел Lv(λv − εei) > 0,
ε > 0, при некотором фиксированном i ∈ {1, 2}. Тогда для того же i выполняются
неравенства
Lx(λv − εei) ≥ Lx(λv − εei)
∣∣
{tε
v(k)} = Lv(λv − εei) > 0, ε > 0, i = 1, 2.
Таким образом, λv ∈ Λx и поэтому fx(αv) = av, αv ∈ [αx, βx]. Из условия
λ′u < λv следуют неравенства αu < αv и au < av. Поэтому согласно следствию 2
имеем αx = αv и ax = av. Из этих равенств и равенства fx(αv) = av непосред-
ственно получаем βx = αv = βv = δ. Лемма 3 доказана и в этом подслучае, а тем
самым в первом случае.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
184 Н. А. ИЗОБОВ
Рассмотрим второй случай. Поскольку множество Λu(v) имеет представление
Λu(v) = {(λ1, λ2) ∈ Λv : λ1 ∈ [αu(v), δ]}, для любого вектора λ ∈ Λv с первой
компонентой λ1 ∈ (αu(v), δ) ⊂ [αv, βv] существует вектор λu ∈ Λu, удовлетворя-
ющий условию λu < λ. Покажем, что этот вектор λ является характеристическим
решения x. Из оценки ‖x(t)‖ ≤ C(ε) exp[(λ, t) + ε‖t‖] ∀ε > 0, t ≥ 0, справедливой
в силу неравенства λu < λ, следует неравенство Lx(λ) ≤ 0. Для последовательнос-
ти же {tv(k)} ↑ ∞, реализующей предел Lv(λ) = 0, можно получить с помощью
того же условия λu < λ (обеспечивающего свойство ‖u(tv(k))‖/‖v(tv(k))‖ → 0
при k → ∞) противоположное неравенство Lx(λ) ≥ 0. Таким образом, доказано
равенство Lx(λ) = 0. Недостающие неравенства (19) устанавливаются с помощью
условия λu < λ и свойства tv,i(k)/‖tv(k)‖ → θi > 0, i = 1, 2, при k → ∞ по-
следовательности {tv(k)}, являющегося без нарушения общности следствием [7]
включения λ1 ∈ (αv, βv). Итак, λ ∈ Λx. Тем самым в силу свойств непрерывности
характеристической функции любого нетривиального решения линейной системы
Пфаффа и замкнутости и связности области ее определения справедливо представ-
ление fx(λ1) = fv(λ1), λ1 ∈ [αu(v), δ]. Отсюда, в частности, следуют неравенства
αx ≤ αu(v) и βx ≥ δ, при этом согласно следствию 2 справедливо равенство
αx = max{αu, αv} в случае αu 6= αv, а по лемме 1 — равенство βx = δ в случае
au 6= av.
Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Если для характеристических функций fw : [αw, βw] → [aw, bw] ре-
шений w = u, v системы (1) выполнены условия βv < αu и av > bu, то характерис-
тическое множество любого решения (7) этой системы является одноточечным
множеством Λx =
{
(αu, av)
}
.
Доказательство. Очевидно, согласно условию этой леммы для вектора λ ≡
≡ (αu, av) выполнены неравенства λ′′v ≡ (βv, av) ≤ λ и λ′u ≡ (αu, bu) ≤ λ. Поэтому
для любого характеристического вектора λx = (λx,1, λx,2) любого решения (7)
справедлива оценка λx ≤ λ. Для доказательства противоположного неравенства
λx ≥ λ воспользуемся следствием 2: αx = αu и ax = av, откуда имеем λx,1 ≥ αu
и λx,2 ≥ av. Равенство λx ≡ λ и лемма 4 доказаны.
С помощью этих четырех лемм доказывается следующая теорема.
Теорема. Любая двумерная линейная вполне интегрируемая система Пфаф-
фа (1) имеет не более счетного числа решений x с попарно различными характе-
ристическими множествами Λx.
Доказательство. Сформулируем вначале так называемое свойство двух зна-
чений характеристического множества Λ системы (1): не существует более двух
различных точек у множества Λ с совпадающими первыми и всеми различными вто-
рыми координатами. Действительно, предположив существование точек (p, qi) ∈
∈ Λxi
⊂ Λ, q1 < q2 < q3, i = 1, 2, 3, согласно следствию 2 для любого решения
x = c1x1 + c3x3, ci 6= 0, имели бы ax = q3, откуда следует отсутствие у систе-
мы (1) решения x2 с характеристической функцией fx2 , принимающей значение
fx2(p) = q2 < q3.
1. Опишем множество Λ, содержащее, по крайней мере, два различных одното-
чечных множества {p} и {q}, реализуемых какими-то линейно независимыми ре-
шениями x1 и x2 из всего множества X решений системы (1). Тогда любое иное ре-
шение x = c1x1+c2x2, ci 6= 0, согласно леммам 3, 4 и следствию 2 имеет одноточеч-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
О СЧЕТНОСТИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПФАФФА ... 185
ное множество Λx =
{
(max{p1, q1},max{p2, q2})
}
в случае (q1 − p1)(q2 − p2) < 0
или множество Λx = {q} в случае p < q (Λx = {p} в случае p > q), т. е. множество
Λ в рассматриваемых случаях может состоять из двух или трех различных одно-
точечных множеств. Отдельного рассмотрения требуют два оставшихся случая:
p1 = q1 и p2 < q2 и p1 < q1 и p2 = q2.
В первом из них согласно следствию 2 для решения x имеем αx ≤ q1 и ax =
= q2. При этом по свойству двух значений необходимо βx ≤ q1. Если αx = q1,
то также необходимо Λx = {q}. Если же существует решение x3 с параметрами
αx3 = βx3 < q1 и необходимым ax3 = q2, то Λx3 = {(αx3 , q2)}, а любое решение
x = c1x1 +c3x3, ci 6= 0, в том числе и x2, согласно предыдущему имеет множество
Λx = {q}. В случае αx3 < βx3 ≤ q1 при необходимом равенстве ax3 = q2 для
любого решения x = c1x1 + c3x3, ci 6= 0, имеем: в случае βx3 < q1 по лемме 4
Λx = {q}, в случае βx3 = q1 по лемме 3 αx = max{αx1 , αx3} = q1, βx = δ =
= βx3 = q1 и поэтому Λx = {q}. Таким образом, в рассматриваемом случае Λ имеет
возможные представления Λ = {p, q} и Λ = {p, q,Λx3} с указанным выше x3.
Рассмотрим второй случай p1 < q1 и p2 = q2. Для любого решения x = c1x1 +
+c2x2, ci 6= 0, системы (1) необходимо согласно следствию 2 выполнено равенство
αx = q1. Покажем также, что имеет место неравенство ax ≤ q2. Действительно,
в случае существования решения x = w1 с величинами αw1 = q1, aw1 > q2 для
любого решения y = c1w1 + c2x2, ci 6= 0, в том числе и решения x1, согласно
следствию 2 получаем ay = aw1 > q2, что невозможно, так как ax1 = bx1 =
= q2. Если для любого x выполнено также βx = αx = q1, то в случае ax = q2
множество Λ состоит из двух точек p и q, а в случае существования решения
x = y1 с величиной ay1 < q2 — из треx точек p, q и (q1, ay1) (об этом см. начало
рассматриваемого пункта). Поэтому предполагаем существующим решение x = z
с параметрами αz = q1 < βz, az ≤ q2. Если при этом bz > q2, то характеристичес-
кое множество Λz содержит подмножество Λx2(z) = {λ ∈ Λz : λ > q} 6= ∅ (см.
п. 2 доказательства леммы 3) такое, что любое решение y = c2x2 + c3z, ci 6= 0, в
том числе и решение y = x1, имеет характеристическое множество Λy ⊃ Λx2(z),
что невозможно в силу равенства Λx1 = {p}. Поэтому bz ≤ q2. Если bz < q2, то
согласно лемме 4 получаем для любого решения w = c1x1 + c2z, ci 6= 0, равенство
Λw = {q}.
Осталось рассмотреть подслучай αz = q1 < βz, az < q2 = bz. Он совпа-
дает с подслучаем 12 доказательства леммы 3 (x1 = u, z = v), для которого
было установлено равенство Λw =
{
(αz, bz)
}
= {q} для любого решения w сис-
темы (1).
Итак, во втором исключительном случае p1 < q1 и p2 = q2 множество Λ
имеет возможные представления Λ = {p, q}, Λ =
{
p, q, (q1, ay1)
}
и Λ = {p, q,Λz}.
Таким образом, если характеристическое множество Λ системы (1) содержит два
различных одноточечных множества, то она имеет не более трех решений xi с
попарно различными множествами Λxi
, i = 1, 2, 3, что и доказывает теорему в
этом случае.
В случае, когда множество Λ содержит одно одноточечное характеристическое
множество {p}, реализуемое на некотором подмножестве Z всего множества ре-
шений X системы (1), исключим множества {p} и Z соответственно из множеств
Λ и X и оставшиеся множества Λ \ {p} и X \ Z снова обозначим через Λ и X.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
186 Н. А. ИЗОБОВ
Очевидно, это исключение не скажется на справедливости утверждения теоремы,
если оно будет доказано для новых множеств Λ и X.
2. Пусть, в соответствии с предыдущим пунктом, ограниченное множество
Λ ⊂ R2 состоит из замкнутых множеств — кривых Λx, x ∈ X, описываемых убыва-
ющими выпуклыми вниз (и тем самым непрерывными) функциями fx, заданными
на отрезках [αx, βx] положительной длины и имеющими замкнутые множества
значений — отрезки [ax, bx] также положительной длины.
Множество ∆1 ≡ {λ1 ∈ R1 : ∃(λ1, λ2) ∈ Λ} на основании свойства двух зна-
чений допускает разбиение на два непересекающихся подмножества: Λ1 всех тех
значений λ1 ∈ ∆1, для которых существуют единственные точки (λ1, λ2) ∈ Λ, и
Λ2 = ∆1 \ Λ1. Множество Λ2 в соответствии со свойством двух значений мно-
жества Λ может либо быть пустым, либо состоять (напомним, что множество Λ
также состоит лишь из замкнутых множеств — непрерывных кривых Λx ⊂ R2, за-
данных на отрезках [αx, βx] ⊂ R1 положительной длины) из изолированных точек
и компонент связности r = |r1, r2| ⊂ R1 положительной длины.
2.1. Пусть Λ2 = ∅. Тогда возможны следующие случаи:
2.1.1. Существуют два линейно независимых решения u, v ∈ X, для которых
выполнено равенство
fu(λ1) = fv(λ1), λ1 ∈
[
max{αu, αv},min{βu, βv}
]
≡ [θ1, θ2] 6= ∅.
Тогда согласно следствию 2 имеем αx = θ1 в случае αu 6= αv для всех остальных
решений x = c1u + c2v, ci 6= 0, из множества X и αx1 ≤ αx = αu = αv для
некоторого одного решения x = x1 и всех остальных x ∈ X, линейно независи-
мых с каждым из решений x1, u и v (существование двух линейно независимых
решений x1, x2 ∈ X со свойством αx1 ≤ αx2 < αu = αv исключается повторным
применением следствия 2 к решению x2 = d1x1 + d2u, di 6= 0). Аналогичным
образом устанавливается равенство ax = fu(θ2) = max{au, av} в случае βu 6= βv
(⇒ au 6= av в случае 2.1.1), т. е. βx = θ2 для всех x = c1u + c2v ∈ X с посто-
янными ci 6= 0, и неравенство βx2 ≥ βx = βu = βv с некоторым x = x2 ∈ X
и любым x ∈ X, линейно независимым с каждым из решений u, v и x2, причем
характеристические функции у любых двух из этих решений на общих промежут-
ках определения совпадают. Очевидно, в рассматриваемом случае система (1)
имеет лишь конечное число решений с попарно различными характеристическими
множествами.
2.1.2. Существуют два линейно независимых решения u, v ∈ X с параметрами
определения βv < αu и av > bu. В этом случае согласно лемме 4 все решения x =
= c1u+c2v, ci 6= 0, имеют одноточечное множество Λx = {(αu, av)}, исключенные
нами из множества X. Этот случай невозможен.
2.1.3. Существуют решения u, v ∈ X, для которых βu < αv и au ≤ bv. Под-
случай au = bv есть случай 12 доказательства леммы 3. В нем установлено, что
множество Λx любого решения (7) является одноточечным и совпадает с точкой
(αv, bv). Этот подслучай невозможен. Подслучай au < bv соответствует случаю 2
доказательства леммы 3 и по нему для любого решения x = c1u + c2v ∈ X, ci 6= 0,
имеем равенство fx(λ1) = fv(λ1), λ1 ∈ [αv, δ], причем всегда αx = αv, а βx = δ в
случае au 6= av. В случае же au = av может появиться одно решение x = x1 ∈ X,
для которого βx1 > δ и, по-прежнему, αx1 = αv и fx1(λ1) = fv(λ1), λ1 ∈ [αv, δ].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
О СЧЕТНОСТИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПФАФФА ... 187
Действительно, в силу равенств fx1(δ) = fv(δ) = av = au выполняется неравен-
ство ax1 = fx1(βx1) < fx1(δ) = av. Тогда любое решение y = d1x1 + d2v ∈ X,
di 6= 0, имеет согласно следствию 2 границу ay = av, а тем самым и ax = av = au
для прежних x ∈ X, отличных от x1 (линейно независимых с x1.) Отсюда по опре-
делению числа δ следует равенство βx = δ. Это означает, что могут существовать
не более трех решений с попарно различными характеристическими множествами.
2.2. Пусть Λ2 содержит изолированную точку λ1 = q1. Поскольку множество
Λ не содержит одноточечных множеств Λx, это возможно лишь в случае сущест-
вования решений u, v ∈ X, для характеристических функций fu и fv которых
выполнено одно из двух условий: 2.2.1) βv = q1 = αu и av = q2 > p2 = bu;
2.2.2) βu = q1 = αv и au = p2 < q2 = bv.
2.2.1. Этот случай совпадает со случаем 11 доказательства леммы 3. В нем
установлено равенство Λx =
{
(αu, av)
}
для всех решений (7), исключающее этот
случай из рассмотрения.
2.2.2. Рассматриваемый случай совпадает (отличие βu = αv несущественно) со
случаем 2.1.3 при au < bv. Там установлено, что система (1) имеет не более трех
решений с попарно различными характеристическими множествами.
2.3. Множество Λ2 состоит из одних (непересекающихся) компонент связности
r = |r1, r2| положительной длины. Число их, очевидно, не более чем счетно. Их
бесконечное число реализовано в работе автора [4].
Установим вначале, что для любой компоненты связности r ⊂ Λ2 существует
лишь одно решение ur системы (1), для которого выполнены соотношения
fur (λ1) = inf
x6=0
fx(λ1) ≡ f(λ1) < sup
x
fx(λ1) ≡ F (λ1), λ ∈ r. (20)
Предположим противное: существует решение y ∈ X, для которого выполнены
неравенства
r1 < αy < r2, fy(λ1) < F (λ1), λ1 ∈ r ∩ [αy, βy].
Возьмем точку ρ ∈ (r1, αy) и решение v ∈ X с характеристической функцией
fv, принимающей значение fv(ρ) = F (ρ), ρ ∈ [αv, βv], и являющееся линейно
независимым с решением y. Тогда согласно следствию 2 в силу неравенств αv ≤
≤ ρ < αy для любого решения x = c1y + c2v, ci 6= 0, системы (1) выполнено
равенство αx = max{αy, αv} = αy. Это означает, что система (1) не имеет ни
одного решения x, характеристическая функция fx которого была бы определена
в точке λ1 = ρ < αy и тем самым могла бы реализовать равенство fx(ρ) =
= f(ρ). Полученное противоречие устанавливает существование решения ur ∈ X,
характеристическая функция fur
которого определена на всем промежутке r ⊂
⊂ [αur
, βur
] и удовлетворяет неравенству (20). Единственность такого решения ur
(решения x и cx, c ∈ R1\{0}, всюду в статье отождествляем) следует из лемм 1 и 2:
для любого решения x ∈ X, линейно независимого с ur, выполнены соотношения
fx(λ1) = F (λ1) > fur
(λ1), λ1 ∈ r ∩ [αx, βx], αx < βx.
Зафиксируем произвольный промежуток r ⊂ Λ2 и точку ρ ∈ r. Покажем, что
построенное решение ur ∈ X и любое решение x ∈ X с характеристической функ-
цией fx, принимающей значение fx(ρ) = F (ρ) > f(ρ), имеют определенные на
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
188 Н. А. ИЗОБОВ
отрезке [inf Λ2, ρ] характеристические функции. Предположим противное: суще-
ствует решение y1 ∈ X, для которого αy1 > inf Λ2 и ρ ∈ [αy1 , βy1 ]. Если окажется,
что y1 = ur, то в качестве y2 ∈ X возьмем какое-либо решение, удовлетворя-
ющее условиям ρ ∈ [αy2 , βy2 ], fy2(ρ) = F (ρ) > fy1(ρ) = f(ρ). Решения y1 и
y2 линейно независимы, и любое решение y = c1y1 + c2y2 ∈ X, ci 6= 0, имеет
согласно следствию 2 величину αy ≤ max{αy1 , αy2} ≡ m, причем m > inf Λ2
по предположению и все множество решений y вместе с решениями y1 и y2 со-
ставляют множество X. Если выполнено αy2 6= αy1 , то αy = m, и поэтому на
интервале (inf Λ2,m) или его части (в том числе и пустой) может быть опреде-
лена лишь одна функция fy2 , а это противоречит определению множества Λ2 и
неравенству inf Λ2 < m. Если же αy2 = αy1 = m и существует решение y3 ∈ X
с величиной αy3 < m, то оно является единственным, так как решения y1 и y3
линейно независимы и любое другое решение z = d1y1 + d3y3 ∈ X, di 6= 0, снова
согласно следствию 2 имеет величину αz = max{αy1 , αy3}. Как и выше, полу-
чаем равенство inf Λ2 ≥ m, противоречащее справедливому по предположению
противоположному неравенству.
Если решение y1 ∈ X будет удовлетворять дополнительному условию fy1(ρ) =
= F (ρ), то в качестве решения y2 ∈ X возьмем решение ur и снова придем к
противоречию.
Таким образом, все решения x ∈ X системы (1) имеют характеристические
функции fx с промежутками определения [αx, βx] ⊃ [inf Λ2, supΛ2]. При этом для
каждой компоненты связности r ⊂ Λ2 (все они имеют положительную длину)
существует единственное решение ur ∈ X с характеристической функцией fur ,
принимающей значения fur
(λ1) = f(λ1) < F (λ1) = fx(λ1) для всех λ1 ∈ r и всех
линейно независимых с ur решений x ∈ X системы (1). Вместе с тем по опре-
делению множества Λ2 и доказанного включения [αx, βx] ⊃ Λ2 для всех решений
x ∈ X(в том числе и решения ur) справедливы равенства fx(λ1) = f(λ1) = F (λ1),
λ1 ∈ [αx, βx] \Λ2. Функции же f(λ1) ≤ F (λ1) являются убывающими выпуклыми
вниз непрерывными функциями, заданными на некотором одном отрезке [δ1, δ2] и
удовлетворяющими соотношениям
f(λ1) < F (λ1), λ1 ∈ Λ2;
f(λ1) = F (λ1), λ1 ∈ [δ1, δ2] \ Λ2.
Очевидно, что число компонент связности r ⊂ Λ2 положительной длины конечно
или счетно, поэтому конечно или счетно и число решений ur ∈ X, имеющих
все отличные друг от друга характеристические множества Λur . Удалим все эти
решения из множества X. Новое множество X \ {ur} снова обозначим через X;
ему соответствуют новые множества Λ0 и Λ0
2 = ∅, причем fx(λ1) = F (λ1), λ1 ∈
∈ [inf Λ2, supΛ2] 6= ∅ для всех решений x ∈ X. Тем самым мы возвратились к
п. 2.1.1 доказательства.
Теорема доказана.
Из ее доказательства вытекает следующее утверждение.
Следствие 3. Пусть u и v — линейно независимые решения системы (1) с
характеристическими функциями fu и fv, удовлетворяющими условию αu = αv
(условию au = av). Тогда неравенство αx < αu (неравенство ax < au) возможно
лишь для одного решения x = c1u + c2v, ci 6= 0, системы (1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
О СЧЕТНОСТИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ ДВУМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ПФАФФА ... 189
Замечание 3. Доказательство теоремы фактически содержит полное описа-
ние характеристического множества Λ двумерной линейной вполне интегрируемой
системы Пфаффа (1).
1. Гайшун И. В. Линейные уравнения в полных производных. – Минск: Наука и техника, 1989.
– 254 с.
2. Грудо Э. И. Характеристические векторы и множества функций двух переменных и их основ-
ные свойства // Дифференц. уравнения. – 1976. – 12, № 12. – C. 2115 – 2128.
3. Грудо Э. И. Характеристические векторы решений линейных однородных систем Пфаффа //
Там же. – 1977. – 13, № 5. – C. 826 – 840.
4. Изобов Н. А. О существовании линейной системы Пфаффа со счетным числом различных
характеристических множеств ее решений // Там же. – 1998. – 34, № 6. – C. 735 – 743.
5. Ласый П. Г. К теории характеристических векторов в линейных пространствах // Весцi АН
БССР. Сер. фiз.-мат. навук. – 1981. – № 4. – С. 20 – 24.
6. Изобов Н. А. О существовании линейных систем Пфаффа с множеством нижних характе-
ристических векторов положительной плоской меры // Дифференц. уравнения. – 1997. – 33,
№ 12. – C. 1623 – 1630.
7. Изобов Н. А. О временных последовательностях, реализующих характеристические и нижние
характеристические векторы решений // Там же. – 1999. – 35, № 6. – C. 738 – 744.
8. Изобов Н. А. Леммы о характеристическом множестве линейной комбинации решений линей-
ной системы Пфаффа. I // Там же. – 2002. – 38, № 11. – C. 1571 – 1572.
9. Изобов Н. А. Леммы о характеристическом множестве линейной комбинации решений линей-
ной системы Пфаффа. II // Там же. – 2003. – 39, № 6. – C. 859 – 860.
Получено 05.10.2006
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2007, т. 59, № 2
|