Динамические системы и моделирование турбулентности
Окреслено підхід до аналізу турбулентних коливань, що описуються нелінійними крайовими задачами для рівнянь з частинними похідними. Цей підхід базується на переході до динамічної системи зсувів вздовж розв'язків і використовує поняття ідеальної турбулентності - математичного явища, за якого атр...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5527 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Динамические системы и моделирование турбулентности / Е.Ю. Романенко, А.Н. Шарковский // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 2. — С. 217-230. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-5527 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-55272020-11-05T20:19:25Z Динамические системы и моделирование турбулентности Романенко, Е.Ю. Шарковский, А.Н. Статті Окреслено підхід до аналізу турбулентних коливань, що описуються нелінійними крайовими задачами для рівнянь з частинними похідними. Цей підхід базується на переході до динамічної системи зсувів вздовж розв'язків і використовує поняття ідеальної турбулентності - математичного явища, за якого атрактор нескінченновимірної динамічної системи міститься не у фазовому просторі системи, а у ширшому функціональному просторі і серед "точок" атрактора є фрактальні або й випадкові функції. Описано сценарій турбулентності в системах з регулярною динамікою на атракторі, коли просторово-часова хаотизація системи, зокрема перемішування, автостохастичність, каскадний процес утворення структур, зумовлені дуже складною внутрішньою організацією "точок" атрактора - елементів ширшого функціонального простору. Такий сценарій реалізується у певних ідеалізованих моделях розподілених систем електродинаміки, акустики, радіофізики. We propose an approach to the analysis of turbulent oscillations described by nonlinear boundary-value problems for partial differential equations. This approach is based on the transition to a dynamical system of shifts along solutions and uses the notion of ideal turbulence (a mathematical phenomenon such that the attractor of an infinite-dimensional dynamical system lies not in the phase space of the system but in a wider functional space and, among attractor “points”, there are fractal or random functions). A scenario for ideal turbulence in systems with regular dynamics on an attractor is described; in this case, the space-time chaotization of a system, in particular, the intermixing, the self-stochastisity, and the cascade process of creation of structures, is due to the very complicated organization of attractor “points” (elements of a certain wider functional space). Such a scenario is available in some idealized models of parameter-distributed systems in electrodynamics, acoustics, radiophysics, etc. 2007 Article Динамические системы и моделирование турбулентности / Е.Ю. Романенко, А.Н. Шарковский // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 2. — С. 217-230. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. 1027-3190 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5527 517.9 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Статті Статті |
| spellingShingle |
Статті Статті Романенко, Е.Ю. Шарковский, А.Н. Динамические системы и моделирование турбулентности |
| description |
Окреслено підхід до аналізу турбулентних коливань, що описуються нелінійними крайовими задачами для рівнянь з частинними похідними. Цей підхід базується на переході до динамічної системи зсувів вздовж розв'язків і використовує поняття ідеальної турбулентності - математичного явища, за якого атрактор нескінченновимірної динамічної системи міститься не у фазовому просторі системи, а у ширшому функціональному просторі і серед "точок" атрактора є фрактальні або й випадкові функції. Описано сценарій турбулентності в системах з регулярною динамікою на атракторі, коли просторово-часова хаотизація системи, зокрема перемішування, автостохастичність, каскадний процес утворення структур, зумовлені дуже складною внутрішньою організацією "точок" атрактора - елементів ширшого функціонального простору. Такий сценарій реалізується у певних ідеалізованих моделях розподілених систем електродинаміки, акустики, радіофізики. |
| format |
Article |
| author |
Романенко, Е.Ю. Шарковский, А.Н. |
| author_facet |
Романенко, Е.Ю. Шарковский, А.Н. |
| author_sort |
Романенко, Е.Ю. |
| title |
Динамические системы и моделирование турбулентности |
| title_short |
Динамические системы и моделирование турбулентности |
| title_full |
Динамические системы и моделирование турбулентности |
| title_fullStr |
Динамические системы и моделирование турбулентности |
| title_full_unstemmed |
Динамические системы и моделирование турбулентности |
| title_sort |
динамические системы и моделирование турбулентности |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Статті |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5527 |
| citation_txt |
Динамические системы и моделирование турбулентности / Е.Ю. Романенко, А.Н. Шарковский // Укр. мат. журн. — 2007. — Т. 59, № 2. — С. 217-230. — Бібліогр.: 49 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT romanenkoeû dinamičeskiesistemyimodelirovanieturbulentnosti AT šarkovskijan dinamičeskiesistemyimodelirovanieturbulentnosti |
| first_indexed |
2025-07-02T08:37:09Z |
| last_indexed |
2025-07-02T08:37:09Z |
| _version_ |
1836523643645984768 |
| fulltext |
UDK 517.9
E. G. Romanenko, A. N. Íarkovskyj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ
Y MODELYROVANYE TURBULENTNOSTY
We propose an approach to the analysis of turbulent oscillations described by nonlinear boundary-value
problems for partial differential equations. This approach is based on the transition to a dynamical
system of shifts along solutions and uses the notion of ideal turbulence (a mathematical phenomenon
such that the attractor of an infinite-dimensional dynamical system lies not in the phase space of the
system but in a wider functional space and, among attractor “points”, there are fractal or random
functions). A scenario for ideal turbulence in systems with regular dynamics on an attractor is described;
in this case, the space-time chaotization of a system, in particular, the intermixing, the self-stochastisity,
and the cascade process of creation of structures, is due to the very complicated organization of attractor
“points” (elements of a certain wider functional space). Such a scenario is available in some idealized
models of parameter-distributed systems in electrodynamics, acoustics, radiophysics, etc.
Okresleno pidxid do analizu turbulentnyx kolyvan\, wo opysugt\sq nelinijnymy krajovymy
zadaçamy dlq rivnqn\ z çastynnymy poxidnymy. Cej pidxid bazu[t\sq na perexodi do dynamiçno]
systemy zsuviv vzdovΩ rozv’qzkiv i vykorystovu[ ponqttq ideal\no] turbulentnosti —
matematyçnoho qvywa, pry qkomu atraktor neskinçennovymirno] dynamiçno] systemy mistyt\sq
ne u fazovomu prostori systemy, a u ßyrßomu funkcional\nomu prostori i sered „toçok” atrak-
tora [ fraktal\ni abo j vypadkovi funkci]. Opysano scenarij turbulentnosti v systemax z re-
hulqrnog dynamikog na atraktori, koly prostorovo-çasova xaotyzaciq systemy, zokrema pere-
mißuvannq, avtostoxastyçnist\, kaskadnyj proces utvorennq struktur, zumovleni duΩe sklad-
nog vnutrißn\og orhanizaci[g „toçok” atraktora — elementiv ßyrßoho funkcional\noho
prostoru. Takyj scenarij realizu[t\sq u pevnyx idealizovanyx modelqx rozpodilenyx system
elektrodynamiky, akustyky, radiofyzyky.
1. Vvedenye. Vo vtoroj polovyne proßloho veka proysxodylo yntensyvnoe
razvytye asymptotyçeskyx metodov kak v teoretyçeskom plane, tak y v plane
prymenenyj k nelynejn¥m, preymuwestvenno rehulqrn¥m, kolebatel\n¥m pro-
cessam. Vmeste s tem vse bol\ße owuwalas\ neobxodymost\ y sozdavalys\
predpos¥lky dlq yssledovanyq nelynejn¥x processov s krajne nerehulqrnoj
prostranstvenno-vremennoj dynamykoj. Poqvylys\ y staly aktyvno yspol\zo-
vat\sq takye ponqtyq, kak xaos — dlq xarakterystyky nerehulqrnoho povede-
nyq vo vremeny y/yly prostranstve dynamyçeskyx processov, fraktal — kak
mnoΩestvo s oçen\ sloΩn¥m topolohyçeskym ustrojstvom, ymegwym, napry-
mer, drobnug razmernost\, strann¥j attraktor — kak fraktal v fazovom
prostranstve dynamyçeskoj system¥, prytqhyvagwyj traektoryy yz nekotoroj
svoej okrestnosty.
Teoryq dynamyçeskyx system, voznykßaq kak sredstvo dlq yssledovanyq
asymptotyçeskyx svojstv reßenyj dyfferencyal\n¥x uravnenyj, postepenno,
poluçaq mown¥e ympul\s¥ dlq svoeho razvytyq so storon¥ prykladn¥x nauk,
prevratylas\ v samostoqtel\n¥j razdel matematyky, predstavlqgwyj, v çast-
nosty, πffektyvn¥j matematyçeskyj apparat dlq yzuçenyq dynamyçeskyx pro-
cessov v okruΩagwem myre.
V naçale 60-x hodov v otdele matematyçeskoj fyzyky y teoryy nelynejn¥x
kolebanyj Ynstytuta matematyky NAN Ukrayn¥ naçaly yzuçat\ dynamyçeskye
system¥ s dyskretn¥m vremenem y prostejßym fazov¥m prostranstvom — ve-
westvennoj prqmoj. V rezul\tate b¥ly sozdan¥ osnov¥ topolohyçeskoj teoryy
odnomern¥x dynamyçeskyx system, kotoraq çerez 15 – 20 let stala odnym yz
vaΩnejßyx ynstrumentov yssledovanyq sam¥x raznoobrazn¥x nelynejn¥x sys-
tem.
Dal\nejßye yssledovanyq dynamyçeskyx system, provodyvßyesq v Ynstytu-
te matematyky, pokazaly, çto odnomern¥e dynamyçeskye system¥ oçen\ πffek-
tyvn¥ y pry yssledovanyy opredelenn¥x klassov beskoneçnomern¥x dynamy-
çeskyx system, poroΩdaem¥x nelynejn¥my kraev¥my zadaçamy matematyçeskoj
fyzyky. V çastnosty, na πtom puty okazalos\ vozmoΩn¥m proanalyzyrovat\
© E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ, 2007
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2 217
218 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
razlyçn¥e matematyçeskye mexanyzm¥ voznyknovenyq y razvytyq turbulent-
nosty — veroqtno, samoho sloΩnoho kolebatel\noho processa, vstreçagwehosq
v pryrode. Ymenno ob πtyx yssledovanyqx y ydet reç\ v stat\e.
Termyn turbulentnost\, kotor¥j voznyk v hydrodynamyke y pervonaçal\-
no yspol\zovalsq tol\ko dlq potokov Ωydkostej y hazov, teper\ çasto ponyma-
etsq znaçytel\no ßyre y oznaçaet, çto nekotor¥e xarakterystyky raspredelen-
noj system¥ yzmenqgtsq xaotyçesky vo vremeny y prostranstve. Perexod ot re-
hulqrnoj dynamyky k turbulentnoj vsehda svqzan s formyrovanyem y razruße-
nyem struktur, kotor¥e, kak edynoe celoe, xarakteryzugtsq bol\ßym çyslom
prostranstvenn¥x y vremenn¥x masßtabov. V real\n¥x systemax mynymal\n¥j
masßtab prostranstvenn¥x struktur „dyktuetsq” vnutrennym soprotyvlenyem
system¥. Ydeal\n¥e system¥ — system¥ bez vnutrenneho soprotyvlenyq („vqz-
kosty”) — samy po sebe ne prepqtstvugt razvytyg kaskadnoho processa vplot\
do obrazovanyq struktur skol\ uhodno mal¥x masßtabov, çto moΩet daΩe pry-
vodyt\ k stoxastyzacyy system¥, kohda ee povedenye na bol\ßyx vremenax opy-
s¥vaetsq nekotor¥m sluçajn¥m processom. Poπtomu vaΩn¥m y ves\ma produk-
tyvn¥m (!) πtapom na puty k ponymanyg pryrod¥ real\noj turbulentnosty qv-
lqetsq yzuçenye ydeal\noj turbulentnosty — turbulentnosty v systemax bez
vnutrenneho soprotyvlenyq.
Ydeal\n¥my matematyçeskymy modelqmy ydeal\noj turbulentnosty qvlq-
gtsq kraev¥e zadaçy (KZ) dlq uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x (UÇP). ∏ty
zadaçy poroΩdagt beskoneçnomern¥e dynamyçeskye system¥ sdvyhov vdol\ re-
ßenyj, kotor¥e, kak okazalos\, demonstryrugt mnohye osobennosty struktur-
noj turbulentnosty, v tom çysle dve naybolee xaraktern¥e: kaskadn¥j process
voznyknovenyq struktur ub¥vagwyx masßtabov y xaotyçeskoe peremeßyvanye.
∏ffektyvnoe yzuçenye dynamyky ydeal\n¥x system stalo vozmoΩn¥m tol\ko v
poslednye 20 – 30 let blahodarq razvytyg teoryy raznostn¥x uravnenyj s ne-
prer¥vn¥m arhumentom (sm. [16, 17, 20, 40, 44] y pryvedennug tam byblyohra-
fyg), kotoraq v znaçytel\noj stepeny opyraetsq na teoryg odnomern¥x dyna-
myçeskyx system.
NyΩe kratko yzloΩen podxod k modelyrovanyg turbulentn¥x processov,
razvyt¥j v naßyx rabotax po xaotyçeskoj dynamyke beskoneçnomern¥x dynamy-
çeskyx system y KZ dlq UÇP. Ponqtye ydeal\noj turbulentnosty b¥lo pred-
loΩeno odnym yz avtorov ewe v 1983 h.; pervonaçal\no yspol\zovalos\ nazva-
nye „suxaq turbulentnost\” [27 – 29] po analohyy s „suxoj vodoj” Nejmana. S
tex por problematyka ydeal\noj turbulentnosty postoqnno ostavalas\ v pole
zrenyq avtorov (sm., naprymer, [12, 21 – 25, 31, 32, 34, 37, 41, 42, 46 – 48]). V yto-
he b¥lo „otrabotano” strohoe matematyçeskoe opredelenye y metodolohyq ys-
sledovanyj [35, 45] (sm. takΩe [32, 48]), „uvençavßyesq” fyksacyej v nauçnoj
termynolohyy ponqtyq turbulentnost\ ydeal\naq, kotoroe, v çastnosty, pred-
stavleno v „Encyclopedia of Nonlinear Science” (ed. Alwyn Scott, New York: Rout-
ledge, 2005). Otmetym, çto rassmatryvaem¥e nyΩe modely ydeal\noj turbu-
lentnosty ne ymegt prqmoho otnoßenyq k hydrodynamyke, a svqzan¥ s yzuçe-
nyem πlektromahnytn¥x y akustyçeskyx kolebanyj [8, 9, 11, 30, 31, 38, 39].
2. Ydeal\naq turbulentnost\: opredelenyq y prostejßaq model\.
SoderΩatel\noe matematyçeskoe opredelenye turbulentnosty moΩno dat\ dlq
dynamyçeskyx system (DS) na prostranstvax hladkyx (yly kusoçno-hladkyx)
funkcyj. Pust\
{ C
k
( D, E ), T, S
t
} (1)
— dynamyçeskaq systema, C
k
( D, E ) — prostranstvo C
k-funkcyj ϕ : D → E ;
D y E — kompaktn¥e oblasty v evklydov¥x prostranstvax; T = R
+
yly Z
+.
Fazovoe prostranstvo C
k, snabΩennoe a priori „ob¥çnoj” C
k-metrykoj, qv-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ Y MODELYROVANYE … 219
lqetsq nekompaktn¥m, y potomu dlq nekotor¥x, a vozmoΩno, y dlq poçty vsex
1
naçal\n¥x sostoqnyj system¥ ϕ ∈ C
k
( D, E ) sootvetstvugwye traektoryy
S
t
[ ϕ ] ymegt pust¥e ω-predel\n¥e mnoΩestva. Bolee toho, proysxodyt prost-
ranstvenno-vremennaq xaotyzacyq system¥: πvolgcyq naçal\n¥x sostoqnyj
system¥ — hladkyx funkcyj yz fazovoho prostranstva — soprovoΩdaetsq vse
bol\ßym y bol\ßym usloΩnenyem yx struktur¥ (povedenyq) vplot\ do takoho,
çto predel\noe sostoqnye system¥ uΩe ne moΩet b¥t\ opysano v termynax
hladkyx funkcyj. V takom sluçae attraktor system¥ ne soderΩytsq celykom
v fazovom prostranstve C
k. Sledovatel\no, DS neobxodymo prodolΩyt\ na ne-
kotoroe bolee ßyrokoe funkcyonal\noe prostranstvo C
∗ s novoj metrykoj
ρ
∗, pryçem tak, çtob¥ novoe prostranstvo C
∗
soderΩalo ω-predel\n¥e mno-
Ωestva vsex yly poçty vsex traektoryj, naçynagwyxsq v ysxodnom fazovom
prostranstve. Tohda moΩno postroyt\ hlobal\n¥j attraktor, ponymaem¥j, na-
prymer, kak analoh Generic Limit Set DΩ. Mylnora [13] dlq dynamyçeskyx sys-
tem na nekompaktn¥x prostranstvax [22].
Opredelenye.1. Hlobal\n¥m attraktorom v prostranstve C
∗
system¥
(1) nazovem naymen\ßee zamknutoe mnoΩestvo A
∗
v rasßyrennom fazovom
prostranstve C
∗, soderΩawee ω-predel\n¥e mnoΩestva traektoryj, po-
roΩdaem¥x poçty vsemy naçal\n¥my sostoqnyqmy ϕ ∈ C
k
( D, E ) .
Pry realyzacyy πtoho podxoda — v¥bore rasßyrennoho prostranstva y met-
ryky v πtom prostranstve — nuΩno ymet\ v vydu takug „fyzyçeskug” arhu-
mentacyg. Çtob¥ yssledovat\ povedenye funkcyy S
t
[ ϕ ] ( y ) pry t → ∞ pry
nalyçyy bol\ßyx hradyentov kak po y, tak y/yly po t (s çem, sobstvenno, y
ymeem delo), v çastnosty, çtob¥ proanalyzyrovat\ svojstva S
t
[ ϕ ] ( y ) v kakoj-
lybo toçke y = y∗ , neobxodymo prynymat\ vo vnymanye znaçenyq ϕ ( y ) ne tol\-
ko v toçke y = y∗ , no y v nekotoroj ε-okrestnosty πtoj toçky. Esly reç\ ydet
obo vsex y ∈ D, to dlq kaΩdoj konkretnoj zadaçy sleduet, umen\ßaq ε, najty
„optymal\noe razreßenye” — maloe, no koneçnoe znaçenye ε. ∏to oznaçaet, çto
yskomaq metryka dolΩna osuwestvlqt\ ne potoçeçnoe sravnenye funkcyj, a
sravnenye znaçenyj funkcyj v „optymal\n¥x” okrestnostqx toçek. Blyzkye
ydey v¥skaz¥valys\ v [3, 6].
Dlq osuwestvlenyq opysannoj v¥ße „stratehyy” v kaçestve rasßyrennoho
prostranstva C
∗
predlahagtsq dva prostranstva C
∆
y C
#, pervoe yz kotor¥x
voznykaet kak estestvennoe rasßyrenye prostranstva hladkyx funkcyj, a vto-
roe pozvolqet, pry opredelenn¥x uslovyqx, suwestvenno utoçnyt\ opysanye
funkcyj, sostavlqgwyx attraktor system¥ (1). Prostranstvo C
∆
— πto pro-
stranstvo poluneprer¥vn¥x sverxu funkcyj ξ : D → 2
E
s metrykoj
ρ ξ ξ∆ ( , )1 2 = sup min , sup ( ), ( )( )
ε
ξ
ε
ξ
εε
> ∈
0
1 2
y D
H V y V ydist , (2)
hde distH ( , )⋅ ⋅ — rasstoqnye Xausdorfa meΩdu mnoΩestvamy, V yξ
ε ( ) =
= ξ ε( )( )V y y Vε ( )⋅ — ε-okrestnost\ toçky. Metryka ρ
∆, kak netrudno vydet\,
πkvyvalentna metryke
ρ ξ ξH
∆ ( , )1 2 = dist gr grH ( ),ξ ξ1 2 , gr ξ — hrafyk funkcyy ξ ( y ) . (3)
1
Budem hovoryt\, çto nekotoroe svojstvo ymeet mesto dlq poçty vsex x ∈ X, esly mnoΩestvo
tex x, dlq kotor¥x πto svojstvo v¥polnqetsq, qvlqetsq rezydual\n¥m v X.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
220 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
Metryka ρH
∆
vo mnohyx sluçaqx udobnee dlq yspol\zovanyq, çem metryka ρ∆
;
ona, v çastnosty, pozvolqet lehko ponqt\ sm¥sl sxodymosty v prostranstve C
∆:
sxodymost\ posledovatel\nosty funkcyj ξi k funkcyy ξ πkvyvalentna soot-
noßenyg
Lti→∞ gr ξi = gr ξ , (4)
hde Lt — operacyq perexoda k topolohyçeskomu predelu. Netrudno vydet\, çto
znaçenyqmy funkcyj ξ ∈ C
∆
qvlqgtsq zamknut¥e svqzn¥e (!) mnoΩestva yz E
(podrobnee sm. [17, 18]).
Prostranstvo C
#
— πto prostranstvo funkcyj ζ : D → E, zadann¥x nabo-
ramy koneçnomern¥x raspredelenyj, t. e. C
#
sostoyt yz sluçajn¥x y yzmery-
m¥x determynyrovann¥x funkcyj. Pod sluçajnoj funkcyej faktyçesky po-
nymaem raspredelenye sluçajnoj funkcyy (yly, ynaçe, meru na prostranstve
realyzacyj); v takom sm¥sle termyn „sluçajnaq funkcyq” yspol\zuetsq rady
udobstva (çto ne qvlqetsq obweprynqt¥m v teoryy veroqtnostej). Metryka v
C
#
dolΩna sravnyvat\ raspredelenyq znaçenyj funkcyj ζ v okrestnosty
kaΩdoj toçky yz D. Zamenqq mnoΩestvo V yξ
ε ( ) v (2) usrednenn¥m rasprede-
lenyem funkcyy ζ na V yε ( ), poluçaem yskomug metryku
ρ ζ ζ# ( , )1 2 = sup min , ( , ), ( , )( ), ,
ε
ζ
ε
ζ
εε
> =
∞
∑
0 1
1
2 1 2
r
r R
r rV z y V z ydist , (5)
hde
distR
r rV V( ), ,,ζ
ε
ζ
ε
1 2
= sup ( , ) ( , ), ,
z E
r
D
r r
r rD
F z y F z y dy
∈
∫ −1
1 2mes ζ
ε
ζ
ε ,
D
r y E
r
— prqm¥e proyzvedenyq r kopyj D y E , F z yr
ζ
ε, ( , ) — usrednenye
r-mernoho raspredelenyq F zr
ζ ( , )⋅ funkcyy ζ ( y ) po ε -okrestnosty toçky
yV∈ D
r
. Dlq determynyrovannoj funkcyy ζ : D → E vse koneçnomern¥e
raspredelenyq odnoznaçno opredelqgtsq ee funkcyej raspredelenyq
F x zζ( , ) = χ ζ( , )( )( )−∞ z x , x ∈ D, hde χA( )⋅ — yndykator mnoΩestva A. Sm¥sl
sxodymosty v prostranstve C
#
takov: esly posledovatel\nost\ funkcyj ζi
sxodytsq k funkcyy ζ, to pry fyksyrovann¥x ε∗ > 0, r∗ ∈ Z
+, z∗ ∈ Dr∗
po-
sledovatel\nost\ raspredelenyj F z y
i
r
ζ
ε∗ ∗
∗
, ( , ) sxodytsq k raspredelenyg
F z yr
ζ
ε∗ ∗
∗
, ( , ) po mere, ravnomerno po z∗ (podrobnee sm. [20]).
Prostranstvo C
∆
qvlqetsq kompaktn¥m y potomu vsehda „rabotaet”: po-
polnenye prostranstva C
k
( D, E ) v metryke ρ∆
pryvodyt k tomu, çto vse traek-
toryy system¥ (1) okaz¥vagtsq kompaktn¥my v prostranstve C
∆
( otnosytel\-
no metryky ρ∆
) , y tohda dlq kaΩdoho naçal\noho sostoqnyq ϕ ∈ C
k
( D, E ) so-
otvetstvugwaq traektoryq uΩe ymeet v C
∆
nepustoe kompaktnoe ω-predel\-
noe mnoΩestvo, kotoroe oboznaçym ω
∆
[ ϕ ] . Pry πtom typyçna sytuacyq, kohda
nekotor¥e (a vozmoΩno, y vse) „toçky” mnoΩestva ω
∆
[ ϕ ] qvlqgtsq sobstvenno
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ Y MODELYROVANYE … 221
poluneprer¥vn¥my sverxu (t. e. razr¥vn¥my) funkcyqmy, y, sledovatel\no, yx
hrafyky (kak mnoΩestva v D × E ) mohut okazat\sq fraktal\n¥my ( toçnee, dlq
ξ ∈ ω
∆
[ ϕ ] kakaq-lybo yz fraktal\n¥x razmernostej hrafyka gr ξ bol\ße to-
polohyçeskoj razmernosty oblasty D — oblasty opredelenyq funkcyy ξ ( y ) ) .
Vtoroe rasßyrennoe prostranstvo C
#, voobwe hovorq, ne qvlqetsq kom-
paktn¥m y potomu „rabotosposobnost\” C
#
uΩe zavysyt ot operatora S
t. Dlq
prostejßyx system vyda (1) osnovn¥m yz uslovyj, kotor¥e pozvolqgt πffek-
tyvno yspol\zovat\ prostranstvo C
#, qvlqetsq suwestvovanye hladkoj (t. e.
absolgtno neprer¥vnoj otnosytel\no mer¥ Lebeha) ynvaryantnoj mer¥ DS.
Esly dlq ϕ ∈ C
k
( D, E ) sootvetstvugwaq traektoryq system¥ (1) kompaktna v
C
#, to ee (nepustoe kompaktnoe) ω-predel\noe mnoΩestvo v C
#
oboznaçym
ω
#
[ ϕ ] ; dlq nekompaktn¥x v C
#
traektoryj prymem ω
#
[ ϕ ] = ∅ .
Ymeq prostranstva C
∆
y C
#, moΩno predloΩyt\ matematyçeskoe oprede-
lenye turbulentnosty y klassyfycyrovat\ turbulentn¥e kolebanyq po svojst-
vam ω-predel\n¥x mnoΩestv traektoryj.
Opredelenye.2. Budem hovoryt\, çto naçal\noe sostoqnye ϕ ∈ C
k
poroΩ-
daet:
ydeal\nug turbulentnost\ (YT), esly najdetsq funkcyq ξ ∈ ω
∆
[ ϕ ] , hra-
fyk kotoroj qvlqetsq fraktal\n¥m;
stoxastyçeskug ydeal\nug turbulentnost\ (StYT), esly mnoΩestvo
ω
#
[ ϕ ] soderΩyt sluçajnug funkcyg;
slabug ydeal\nug turbulentnost\ (SlYT), esly ϕ ne poroΩdaet ydeal\-
nug turbulentnost\, no suwestvuet funkcyq ξ ∈ ω
∆
[ ϕ ] , razr¥vnaq na bes-
koneçnom mnoΩestve toçek yz D 2.
Budem hovoryt\, çto dynamyçeskaq systema demonstryruet turbulent-
nost\ toho yly ynoho typa, kohda naçal\n¥e sostoqnyq ϕ ∈ C
k
( D, E ) , poroΩ-
dagwye takug turbulentnost\, obrazugt massyvnoe (v tom yly ynom sm¥sle)
mnoΩestvo
3
v fazovom prostranstve C
k
.
Stoxastyçeskaq turbulentnost\ πkvyvalentna avtostoxastyçnosty [41, 42].
MoΩno predloΩyt\ [40] y druhug hradacyg turbulentn¥x kolebanyj, ysxodq,
naprymer, yz topolohyçeskoj struktur¥ y mownosty mnoΩestva toçek razr¥va
funkcyj yz ω
∆
[ ϕ ] .
Prostejßyj predstavytel\ DS s ydeal\noj turbulentnost\g — DS na pro-
stranstve hladkyx funkcyj ϕ : D → E, dejstvugwaq po pravylu
S : ϕ � f ° ϕ, f : E → E — hladkaq neobratymaq funkcyq, (6)
hde ° — operacyq kompozycyy funkcyj. Traektoryg „toçky” ϕ moΩno zapy-
sat\ v vyde
S
n
[ ϕ ] = f
n ° ϕ yly S
n
[ ϕ ] ( y ) = f
n
( ϕ ( y ) ) , n ∈ Z
+, y ∈ D,
yndeks n oboznaçaet n-g yteracyg funkcyy (t. e. f
n = f ° f
n
-
1, f
0
( y ) = y ).
2
To est\ na beskoneçnom mnoΩestve toçek y ′ ∈ D znaçenyq funkcyy ξ ( y ) (prynadleΩawye
2E
) ne qvlqgtsq odnotoçeçn¥my mnoΩestvamy.
3
∏to moΩet b¥t\ mnoΩestvo poloΩytel\noj yly polnoj mer¥, vsgdu plotnoe mnoΩestvo yly
mnoΩestvo vtoroj katehoryy, yly ewe kakoe-nybud\ mnoΩestvo, estestvennoe dlq rassmatryva-
emoj zadaçy.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
222 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
Poslednqq formula oznaçaet, çto dynamyku poçty kaΩdoj traektoryy S
n
[ ϕ ]
moΩno rassmatryvat\ kak dynamyku kontynuuma nesvqzann¥x oscyllqtorov: v
kaΩdoj toçke y ∈ D „podveßen maqtnyk”, koleblgwyjsq po zakonu zn �
� zn+1 = f zn( ), hde z0 = ϕ ( y ) ; eho kolebanyq ne zavysqt ot „maqtnykov” v
druhyx toçkax oblasty D. Ymenno nezavysymost\ kolebanyj y est\ pryçynoj
ydeal\noj turbulentnosty v DS (6): sostoqnyq podveßenn¥x v toçkax z ∈ D
„maqtnykov”, kotor¥e (sostoqnyq) b¥ly blyzky v naçal\n¥j moment, so vreme-
nem mohut okazat\sq oçen\ dalekymy.
Opysanye asymptotyçeskoj dynamyky system¥ (6) moΩem predloΩyt\ dlq
sluçaq, kohda D y E — ynterval¥ (y tohda f — odnomernoe otobraΩenye).
Teorema.1. 1. Pry poçty vsex f dlq poçty kaΩdoho naçal\noho sostoqnyq ϕ
ω-predel\noe mnoΩestvo ω
∆
[ ϕ ] qvlqetsq cyklom
∆-rasßyrennoj system¥ ξ � f ° ξ , ξ ∈ C
∆;
ω-predel\noe mnoΩestvo ω
#
[ ϕ ] , esly ono ne pusto, qvlqetsq cyklom
#-rasßyrennoj system¥ ζ � f ° ζ , ζ ∈ C
#.
2. Esly f ymeet cykl¥ tol\ko peryodov 2
i
, i = 0, 1, … , l < ∞ , to dlq
kaΩdoho naçal\noho sostoqnyq ϕ mnoΩestvo ω
∆
[ ϕ ] qvlqetsq cyklom ∆ -ras-
ßyrennoj system¥.
3. Systema (6) ymeet attraktor A
∆
v prostranstve C
∆
y pry poçty
vsex f πtot attraktor sostoyt yz cyklov ∆-rasßyrennoj system¥. Esly
systema (6) ymeet attraktor A
#
v prostranstve C # , to πtot attrak-
tor sostoyt yz cyklov #-rasßyrennoj system¥
4
.
Takym obrazom, moΩno konstatyrovat\, çto DS (6) okaz¥vaetsq v opredelen-
nom sm¥sle bolee prostoj, neΩely DS, ynducyruemaq otobraΩenyem f : typyç-
n¥e traektoryy pervoj system¥ qvlqgtsq asymptotyçesky peryodyçeskymy, v
to vremq kak typyçn¥e traektoryy vtoroj mohut, kak yzvestno, y ne b¥t\
asymptotyçesky peryodyçeskymy.
Teorema.2. Pry sdelann¥x v¥ße predpoloΩenyqx systema (6) demonstry-
ruet:
1) SlYT, esly f ymeet cykl¥ s peryodamy 2
i
, i = 0, 1, … , l, 1 < l < ∞ ,
y ne ymeet druhyx peryodyçeskyx traektoryj;
2) YT, esly f ymeet cykl peryoda ≠ 2
i
, i = 0, 1, … ;
3) StYT, esly najdetsq n > 0 takoe, çto f
n
ymeet ynvaryantnug me-
ru, sosredotoçennug na nekotorom yntervale y πkvyvalentnug na nem mere
Lebeha, y f
n
qvlqetsq peremeßyvagwym otnosytel\no πtoj mer¥.
Zdes\ yspol\zuem „box-counting” razmernost\ — odnu yz versyj fraktal\noj
razmernosty, kotoraq naybolee ßyroko prymenqetsq v pryloΩenyqx y xoroßo
prysposoblena dlq v¥çyslenyj (opredelenye sm., naprymer, v [15]). V sluçaqx 1
y 2 turbulentnost\ poroΩdaetsq naçal\n¥my sostoqnyqmy ϕ, kotor¥e obrazu-
gt v C
k
mnoΩestvo vtoroj katehoryy, a v sluçae 3 — nesynhulqrn¥my (otno-
sytel\no mer¥ Lebeha) naçal\n¥my sostoqnyqmy ϕ, dlq kotor¥x ynterval
4
TeoremaV1 v¥tekaet yz dvux faktov: a) asymptotyçeskaq dynamyky traektoryj system¥ (6)
opredelqetsq traektoryqmy okrestnostej (!) toçek (a ne traektoryqmy toçek) pry otobraΩenyy
f [40], b) dlq poçty kaΩdoho f traektoryq okrestnosty toçky qvlqetsq asymptotyçesky pery-
odyçeskoj [19, 26].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ Y MODELYROVANYE … 223
ϕ ( D ) ymeet nepustoe pereseçenye s bassejnom ynvaryantnoj mer¥ (opredelenye
sm., naprymer, v [1]), pry πtom funkcyy ζ ∈ ω
#
[ ϕ ] qvlqgtsq sobstvenno slu-
çajn¥my funkcyqmy s nezavysym¥my znaçenyqmy, raspredelenyq kotor¥x v¥-
raΩagtsq çerez upomqnutug meru.
V kaçestve prymera yspol\zuem populqrnug y xoroßo yzuçennug parabolu
f λ : z � λ z ( 1 – z ) , z ∈ [ 0, 1 ] , 0 < λ ≤ 4. Kohda λ yzmenqetsq v yntervale
( ),1 6+ ∗λ , hde λ∗ ≈ 3,57 — znaçenye λ, predel\noe dlq byfurkacyonn¥x
znaçenyj udvoenyq peryoda, otobraΩenye f λ ymeet cykl¥ tol\ko peryodov 1,
2, 22, … , 2r
s nekotor¥m koneçn¥m r > 1. Kohda λ > λ∗, otobraΩenye f λ
uΩe ymeet cykl peryoda, otlyçnoho ot stepeny 2. KaΩdaq funkcyq ϕ ∈ C
k,
ne ravnaq toΩdestvenno konstante ny na odnom yz yntervalov yz [ 0, 1 ] , poroΩ-
daet SlYT v pervom sluçae
5
y YT vo vtorom. Y, nakonec, tretyj sluçaj: suwe-
stvuet mnoΩestvo Λ ⊂ ( λ∗, 4 ] poloΩytel\noj mer¥ Lebeha takoe, çto f λ pry
λ ∈ Λ ymeet (edynstvennug) hladkug πrhodyçeskug ynvaryantnug meru. Tohda
DS demonstryruet StYT. V çastnosty, otobraΩenye z � 4 z ( 1 – z ) ymeet yn-
varyantnug meru s plotnost\g p ( z ) = 1 1/ ( )π z z− y nosytelem [ 0, 1 ] . V πtom
sluçae dlq kaΩdoj nesynhulqrnoj funkcyy ϕ ∈ C
k
mnoΩestvo ω
#
[ ϕ ] sosto-
yt yz edynstvennoj sluçajnoj funkcyy (s nezavysym¥my znaçenyqmy) ζ
∗
( y ) ,
kotoraq zadaetsq ne zavysqwej ot y funkcyej raspredelenyq F z yζ∗ ( , ) =
= p z dz
z
( )
0∫ = ( ) arcsin/2 π z , y hlobal\n¥j attraktor A
#
sostoyt yz odnoj
traektoryy — toçky { ζ
∗
} .
V obwej sytuacyy funkcyy, obrazugwye ω-predel\n¥e mnoΩestva traekto-
ryj DS (6), mohut b¥t\ determynyrovann¥my na odnyx podmnoΩestvax oblasty
D y sluçajn¥my na druhyx. Dlq πtoho neobxodymo, çtob¥ otobraΩenye f yme-
lo neskol\ko attraktorov y ynterval naçal\n¥x znaçenyj ϕ ( D ) peresekalsq s
bassejnamy, po krajnej mere, dvux yz nyx. Zametym, çto topolohyçeskaq πnt-
ropyq DS (6) ravnqetsq nulg, esly DS demonstryruet SlYT, y beskoneçna, es-
ly DS demonstryruet YT [44].
3. Turbulentnost\ v kraev¥x zadaçax. Sejças ne v¥z¥vaet udyvlenyq po-
qvlenye xaosa y raznoho roda fraktal\n¥x obæektov v tex yly yn¥x oblastqx
estestvoznanyq, v tom çysle y v teoryy πvolgcyonn¥x zadaç, zadavaem¥x kak
ob¥çn¥my dyfferencyal\n¥my uravnenyqmy, tak y UÇP. Odnako v sluçae
UÇP (vvydu beskoneçnomernosty zadaçy) moΩno y, bolee toho, neobxodymo (!)
hovoryt\ ne tol\ko o sloΩnoj dynamyke perexodov meΩdu mhnovenn¥my sosto-
qnyqmy system¥ (kak dlq ob¥çn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj), no y o
sloΩnom „vnutrennem” ustrojstve samyx sostoqnyj v kaΩd¥j moment vremeny.
Ymenno, usloΩnenye „vnutrenneho” stroenyq sostoqnyj s vozrastanyem vreme-
ny y moΩet pryvodyt\ k prostranstvenno (!) -vremennoj xaotyzacyy system¥
(turbulentnosty v ßyrokom sm¥sle).
∏volgcyonn¥e KZ dlq UÇP, kak pravylo, ynducyrugt na prostranstve na-
çal\n¥x sostoqnyj beskoneçnomern¥e dynamyçeskye system¥ sdvyhov vdol\ re-
ßenyj. Dlq uravnenyj parabolyçeskoho typa (klassyçeskyj predstavytel\ —
uravnenye Nav\e – Stoksa) attraktor¥ sootvetstvugwyx DS
6
ob¥çno qvlqgtsq
5
Pry πtom πvolgcyq turbulentnosty s vozrastanyem λ proysxodyt v sootvetstvyy s yzvest-
noj model\g byfurkacyj udvoenyq peryoda.
6
V teoryy dyssypatyvn¥x system pod attraktorom ob¥çno ponymaetsq naymen\ßee zamknutoe
mnoΩestvo v fazovom prostranstve, soderΩawee ω-predel\n¥e mnoΩestva vsex traektoryj
system¥.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
224 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
koneçnomern¥my podmnoΩestvamy fazovoho prostranstva. Soverßenno druhaq
sytuacyq ymeet mesto, kohda reç\ ydet o KZ dlq uravnenyj hyperbolyçeskoho
typa, kotor¥e m¥ kak raz y budem rassmatryvat\. Fazov¥e prostranstva DS, yn-
ducyrovann¥x takymy zadaçamy, ob¥çno qvlqgtsq nekompaktn¥my, v rezul\ta-
te çeho DS voobwe ne ymegt attraktora v fazovom prostranstve. V πtom sluçae
dlq yssledovanyq asymptotyçeskoj dynamyky KZ sleduet vospol\zovat\sq me-
todykoj, predloΩennoj v pred¥duwem punkte. ∏to, v çastnosty, pozvolqet
stroyt\ dlq ßyrokyx klassov πvolgcyonn¥x kraev¥x zadaç teoryg ydeal\noj
turbulentnosty, osnovannug na suwestvovanyy attraktorov s prostoj dyna-
mykoj (kohda attraktor sostoyt yz nepodvyΩn¥x toçek y cyklov), no s oçen\
sloΩnoj vnutrennej strukturoj samyx „toçek” (!) attraktora — πlementov op-
redelenn¥x funkcyonal\n¥x prostranstv
7.
Estestvenno hovoryt\, çto v kraevoj zadaçe ymeet mesto turbulentnost\,
esly sootvetstvugwaq ej DS demonstryruet turbulentnost\.
Pryvedem neskol\ko prymerov. Rassmotrym prostejßug kraevug zadaçu
wt – wx = 0, x ∈ [ 0, 1 ] , t ∈ R
+, (7)
w ( 1, t ) = f ( w ( 0, t )) , f — C
1
-funkcyq. (8)
Obwee reßenye uravnenyq (7) ymeet vyd w ( x, t ) = u ( x + t ) , u — proyzvol\naq
C
1
-funkcyq. Podstavlqq πtu formulu v kraevoe uslovye (8), poluçaem raz-
nostnoe uravnenye s neprer¥vn¥m arhumentom (NRU)
u ( τ + 1 ) = f ( u ( τ )) , τ ∈ R
+. (9)
KaΩdoe naçal\noe uslovye w ( x, 0 ) = ϕ ( x ) pry x ∈ [ 0, 1 ] ( ϕ — C
1
-funkcyq)
poroΩdaet naçal\noe uslovye u ( τ ) = ϕ ( τ ) pry τ ∈ [ 0, 1 ) dlq uravnenyq (9).
Sootvetstvugwye πtym naçal\n¥m uslovyqm reßenyq zadaçy (7), (8) y uravne-
nyq (9) oboznaçym wϕ ( x, t ) y uϕ ( τ) sootvetstvenno. Reßenye uϕ ( τ) moΩno
predstavyt\ v vyde
uϕ ( τ ) = f
n
( ϕ ( { τ – n } ) ) , n ≤ τ < n + 1, n = 0, 1, … . (10)
Tohda sootvetstvugwee reßenye wϕ ( x, t ) prynymaet vyd
wϕ ( x, t ) = f [t
+
x]
( ϕ ( { t + x } )) , t ∈ R
+, (11)
hde [ ⋅ ] y { ⋅ } — celaq y drobnaq çasty çysla. V çastnosty, w ( x, n ) = f n ( ϕ ( x ) ) .
Takym obrazom, svojstva reßenyj y uravnenyq (9), y zadaçy (7), (8) tesno svqza-
n¥ so svojstvamy dyskretnoho raznostnoho uravnenyq un
+
1 = f ( un ) , n ∈ Z
+,
yly, ynaçe, so svojstvamy dynamyçeskoj system¥, zadavaemoj otobraΩenyem
u � f ( u ) .
Kak uΩe otmeçalos\, pry yssledovanyy asymptotyçeskoho povedenyq reße-
nyj kraev¥x zadaç ob¥çno b¥vaet udobn¥m perejty k dynamyçeskoj systeme
sdvyhov vdol\ reßenyj (na prostranstve naçal\n¥x sostoqnyj). Dlq zadaçy (7),
(8) sootvetstvugwaq DS sdvyhov ymeet vyd
S
t
: ϕ ( x ) � f [t
+
x]
( ϕ ( { t + x } )) , t ∈ R
+, v çastnosty, S [ ϕ ] = f ° ϕ . (12)
DS (12) qvlqetsq neprer¥vn¥m analohom rassmotrennoj ranee dyskretnoj DS
(6), y dlq nee takΩe qvlqetsq pravyl\n¥m pryvedenn¥j v¥ße kryteryj turbu-
lentnosty.
7
∏tot scenaryj qvlqetsq v nekotorom sm¥sle al\ternatyvoj „pryv¥çn¥m” scenaryqm xaosa,
kotor¥e osnov¥vagtsq na suwestvovanyy attraktorov so sloΩnoj dynamykoj (strann¥x at-
traktorov).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ Y MODELYROVANYE … 225
Analohyçnaq sytuacyq ymeet mesto dlq volnovoho uravnenyq y rodstvenn¥x
emu uravnenyj. Typyçn¥m prymerom qvlqetsq kraevaq zadaça
wtt – wxx = 0, x ∈ [ 0, 1 ] , (13)
w ( 0, t ) = 0, wt ( 1, t ) = h ( wx ( 1, t )) , (14)
hde h — C
1
-funkcyq, opredelennaq na dejstvytel\noj prqmoj. KaΩdoe na-
çal\noe uslovye
w ( x, 0 ) = ϕ ( x ) , wt ( x, 0 ) = ψ ( x ) (15)
opredelqet traektoryg v fazovom prostranstve dynamyçeskoj system¥ sdvy-
hov, assocyyruemoj s zadaçej (13), (14). Operator sdvyha na πtom prostranstve
opredelqetsq sledugwym obrazom:
S x tt[( , )]( , )ϕ ψ = w x t
w x t
tϕ ψ
ϕ ψ
,
,( , ),
( , )∂
∂
, t ∈ R
+, (16)
hde w x tϕ ψ, ( , ) — reßenye kraevoj zadaçy s naçal\n¥my uslovyqmy (15). Ysxo-
dq yz obweho reßenyq uravnenyq (13)
w ( x, t ) = u ( t + x ) + v ( t – x ) , u, v — proyzvol\n¥e C
1
-funkcyy,
y kraevoho uslovyq (14), moΩno poluçyt\ predstavlenye operatora (16) çerez
yteracyy nekotoroho odnomernoho otobraΩenyq f : un � un + 1 . Sootvetstvug-
wye v¥kladky (sm., naprymer, [23, 29]) prost¥, no slyßkom hromozdky, çtob¥
pryvodyt\ yx zdes\, poπtomu ohranyçymsq koneçn¥m rezul\tatom: upomqnutoe
otobraΩenye f zadaetsq neqvno formuloj
un + 1 – un = h ( un + un + 1 ) .
Esly kraevoe uslovye (14) zamenyt\ uslovyem w ( 0, t ) = 0, wx ( 1, t ) = h ( wx ( 0, t )) ,
to prydem k dvumernomu otobraΩenyg, zadavaemomu formuloj un + 1 – un – 1 =
= h ( un ) .
Suwestvuet mnoho druhyx klassov odno- y mnohomern¥x KZ, asymptotyçes-
kaq dynamyka kotor¥x opredelqetsq odno- yly malomern¥m otobraΩenyem yn-
tervala, kotoroe estestvenno nazvat\ upravlqgwym otobraΩenyem sootvetst-
vugwej KZ. Dlq takyx KZ ymeet mesto sytuacyq, analohyçnaq rassmotrennoj v
pervom prymere: ysxodq yz svojstv upravlqgweho otobraΩenyq, moΩno for-
mulyrovat\ uslovyq realyzacyy v KZ turbulentnosty toho yly ynoho typa.
Pryvedem v kaçestve ewe odnoho prymera πlektryçeskug cep\ s rasprede-
lenn¥my parametramy — tak naz¥vaemug cep\ Çua s zapazd¥vanyem, soderΩa-
wug tunnel\n¥j dyod Çua [11, 30, 31, 38, 39]. Pry nekotoroj ydealyzacyy πta
cep\ modelyruetsq kraevoj zadaçej
vx = – L it , ix = – C vt , 0 ≤ x ≤ l, t ∈ R
+, (17)
v ( 0, t ) = 0, i ( l, t ) = G ( v ( l, t ) – E – R i ( l, t )) . (18)
Zdes\ v ( x, t ) y i ( x, t ) — naprqΩenye y tok vdol\ lynyy, L y C — udel\n¥e
ynduktyvnost\ y emkost\, R — soprotyvlenye; vol\t-ampernaq xarakterystyka
dlq dyoda Çua symmetryçna otnosytel\no v = E y zadaetsq nekotoroj kusoç-
no-lynejnoj funkcyej G ( z ) .
Reßenye uravnenyj (17) pry uslovyy v ( 0, t ) = 0 ymeet vyd
v ( x, t ) = α ( t – x / ν ) – α ( t + x / ν ) , (19)
i ( x, t ) = ( 1 / Z ) ( α ( t – x / ν ) + α ( t + x / ν )) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
226 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
hde ν = 1/ LC , Z = L C/ , α — proyzvol\naq funkcyq. Vvodq nov¥e pe-
remenn¥e τ = ( ν t / l – 1 ) / 2, u ( τ ) = α ( 2 l τ / ν ) y podstavlqq (19) vo vtoroe yz
kraev¥x uslovyj (18), poluçaem dlq u ( τ ) raznostnoe uravnenye s neprer¥vn¥m
arhumentom
u ( τ + 1 ) + u ( τ ) = F ( u ( τ ) – u ( τ + 1 )) , τ ≥ – 1, (20)
hde F ( z ) = Z ⋅ G (( 1 – R / Z ) z – E ) .
Ytak, asymptotyçeskoe povedenye reßenyj KZ opredelqetsq odnomern¥m
otobraΩenyem — upravlqgwym otobraΩenyem f : un � un + 1 , kotoroe zadaetsq
neqvno formuloj
un + 1 + un = F ( un – un + 1 ) .
Yspol\zuq (19), moΩno v¥razyt\ operator sdvyha S
t, zadagwyj DS dlq zadaçy
(17), (18), çerez yteracyy upravlqgweho otobraΩenyq.
Esly funkcyq G ( z ) qvlqetsq kusoçno-lynejnoj, kak v sluçae dyoda Çua,
to ob¥çno suwestvuet oblast\ znaçenyj parametrov KZ, hde upravlqgwee otob-
raΩenye f ymeet ynvaryantn¥j ynterval, na kotorom f πkvyvalentno otobra-
Ωenyg
g : un �
p u a u a
q u u a p q a q
n n
n n
( ) , [ , ],
( ), ( , ], , , ./
+
+
− + ∈
− ∈ > > = −
1
1
1 0
1 1 0 1 1 1s nekotor¥my
(21)
Dlq lgboho celoho m ≥ 2 otobraΩenye g ymeet prytqhyvagwyj cykl peryo-
da m tohda y tol\ko tohda, kohda parametr¥ ( p, q ) udovletvorqgt uslovyg
p i
i
m
−
=
−
∑
0
2
≤ q < p m− +1.
Pry druhyx znaçenyqx parametrov ( p, q ) yz oblasty { 0 < p < 1 } otobraΩenye
g ymeet hladkug ynvaryantnug meru. V πtyx sluçaqx, prymenyv kryteryj
turbulentnosty, moΩem zaklgçyt\ sledugwee.
Esly pry nekotor¥x znaçenyqx parametrov kraevoj zadaçy (17), (18) uprav-
lqgwee otobraΩenye f πkvyvalentno na kakom-to yntervale otobraΩenyg
(21) s parametramy ( p, q ) ∈ { 0 < p < 1 } , to v KZ ymeet mesto:
1) YT (bez StYT), esly g ymeet prytqhyvagwyj cykl peryoda m > 2;
2) StYT — v protyvnom sluçae.
∏to utverΩdenye konkretyzyrovano v [31] dlq sluçaq dyoda Çua.
4. Matematyçeskye mexanyzm¥ ydeal\noj turbulentnosty. Esly KZ
ynducyruet beskoneçnomernug DS sdvyhov, dynamyka kotoroj opredelqetsq ne-
kotor¥m (upravlqgwym) otobraΩenyem yntervala, to teoryq odnomern¥x otob-
raΩenyj pozvolqet ponqt\, poçemu y kak v KZ voznykaet y razvyvaetsq turbu-
lentnost\, y predloΩyt\ scenaryy qvlenyq samoorhanyzacyy y qvlenyq avto-
stoxastyçnosty. Naybolee podxodyt dlq poqsnenyj zadaça (7), (8) s kvadra-
tyçnoj nelynejnost\g f : I → I, I — ohranyçenn¥j zamknut¥j ynterval.
Osnovn¥m faktorom ydeal\noj turbulentnosty qvlqetsq sloΩnaq topo-
lohyçeskaq struktura mnoΩestva, obrazovannoho toçkamy neustojçyv¥x traek-
toryj upravlqgweho otobraΩenyq f . ∏to mnoΩestvo naz¥vaem razdelytelem
otobraΩenyq f y oboznaçaem D ( f ) . Razdelytel\ obladaet svojstvom lokal\-
noho samopodobyq v toçkax ottalkyvagwyx cyklov y v yx proobrazax. V sluçae,
kohda f ymeet cykl peryoda, otlyçnoho ot stepeny 2, πto pryvodyt k tomu, çto
„box-counting” razmernost\ razdelytelq D ( f ) okaz¥vaetsq poloΩytel\noj.
Tohda hrafyk kaΩdoho reßenyq wϕ ( x, t ) , ostavaqs\ hladkoj poverxnost\g,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ Y MODELYROVANYE … 227
stanovytsq s vozrastanyem t vse bolee y bolee blyzkym k nekotoroj fraktal\-
noj poverxnosty, „box-counting” razmernost\ kotoroj bol\ße 2. ∏to v svog
oçered\ ynycyyruet (y obæqsnqet) razvytye v zadaçe YT.
Kaskadn¥j process voznyknovenyq struktur v reßenyqx KZ neposredstven-
no svqzan so sloΩnoj topolohyçeskoj y dynamyçeskoj orhanyzacyej bassejnov
prytqhyvagwyx cyklov upravlqgweho otobraΩenyq f . Kak pravylo, bassejn
predstavym v vyde Bii≥0∪ , hde B0 — oblast\ neposredstvennoho prytqΩenyq
sootvetstvugweho cykla, B1 = f B B−1
0 0( ) \ y Bi = f Bi
−
−
1
1( ) , i ≥ 2. Pry πtom
hranyçn¥e toçky bassejna prynadleΩat razdelytelg D ( f ) . Oçevydno, çto
B Bi i′ ′′∩ = ∅, esly i ′ ≠ i ″, y kaΩdoe mnoΩestvo Bi qvlqetsq obæedynenyem
koneçnoho çysla neperesekagwyxsq yntervalov Bij (vozmoΩno, Bi = ∅, naçy-
naq s nekotoroho i = i0 > 0 ).
Pust\ m Bi( ) — çyslo yntervalov B i j ( komponent svqznosty) mnoΩestva
Bi . Esly m — peryod prytqhyvagweho cykla, to m B( )0 = m. PredpoloΩym,
dlq Bi j′ ′ y Bi j′′ ′′ , i ′ < i ″, ymeet mesto ravenstvo f Bi
i j
′
′ ′( ) = f Bi
i j
′′
′′ ′′( ) y, krome
toho, otobraΩenyq f i
Bi j
′
′ ′
, f i
Bi j
′′
′′ ′′
qvlqgtsq vzaymno odnoznaçn¥my. Esly
naçal\noe sostoqnye ϕ ( x ) takovo, çto ϕ ( D ) ⊃ B Bi j i j′ ′ ′′ ′′∪ , to dlq lgboho t∗ >
> 0 reßenye wϕ ( x, t ) „v¥çerçyvaet” odnu y tu Ωe „kartynku” (strukturu) nad
oblast\g Di j′ ′ = ϕ−
′ ′
1( )Bi j v moment vremeny t = t∗ + i ′ y nad oblast\g Di j′′ ′′ =
= ϕ−
′′ ′′
1( )Bi j v moment vremeny t = t∗ + i ″. V πtom sluçae estestvenno hovoryt\,
çto reßenye w ϕ ( x, t ) producyruet koherentn¥e struktur¥ nad oblastqmy
Di j′ ′ , Di j′′ ′′ ⊂ D. Poskol\ku diam Bij → 0 pry i → ∞ , masßtab¥ struktur,
producyruem¥x v moment t, ub¥vagt k nulg pry t → ∞ . Esly m ≠ 2
i, i = 0,
1, … , to meΩdu lgb¥my yntervalamy Bi j′ ′ y Bi j′′ ′′ , i ′ ≠ i ″, najdetsq ynterval
Bi j∗ ∗
i∗ > i ′, i ″ . Opysann¥j process producyrovanyq struktur qvlqetsq kas-
kadn¥m, skorost\ producyrovanyq struktur zadaetsq velyçynoj ci =
= m B m Bi i( ) ( )/+1 , pryçem log ci → ent f pry i → ∞ , hde ent f — topolohyçes-
kaq πntropyq f.
Dlq razvytyq stoxastyçeskoj turbulentnosty pryncypyal\noe znaçenye
ymegt kak suwestvovanye hladkoj πrhodyçeskoj ynvaryantnoj mer¥ ( y. m. π. h. )
upravlqgweho otobraΩenyq, tak y tot fakt, çto dlq otobraΩenyj yntervala
nalyçye y. m. π. h. ne qvlqetsq ysklgçytel\noj sytuacyej: dlq ßyrokyx
klassov otobraΩenyj, zavysqwyx ot parametra, upomqnutaq sytuacyq realyzu-
etsq na mnoΩestve parametrov poloΩytel\noj mer¥ Lebeha [1, 10, 49]. V çast-
nosty, kohda u kvadratyçnoho otobraΩenyq f : I → I suwestvuet y. m. π. h., to
na nosytele mer¥ otobraΩenye f obladaet çuvstvytel\noj zavysymost\g ot na-
çal\n¥x dann¥x y, bolee toho, traektoryq poçty kaΩdoj toçky z ∈ I vos-
stanavlyvaet meru: vremq preb¥vanyq traektoryy v mnoΩestve A ⊂ I sov-
padaet s meroj πtoho mnoΩestva. Vsledstvye (12) takaq vremennáq
stoxastyçnost\ traektoryj upravlqgweho otobraΩenyq f transformyruetsq
v prostranstvenno-vremennug stoxastyzacyg reßenyj KZ y poroΩdaet StYT
posredstvom kaskadn¥x processov „roΩdenyq y razrußenyq” struktur vplot\
do struktur beskoneçno mal¥x masßtabov.
5. Zaklgçenye. V¥ße v obwyx çertax yzloΩen razvyt¥j avtoramy podxod
k analyzu turbulentn¥x kolebanyj, opys¥vaem¥x nelynejn¥my KZ dlq UÇP.
∏tot podxod osnov¥vaetsq na metode perexoda k DS sdvyhov vdol\ reßenyj, yn-
ducyruemoj KZ na prostranstve naçal\n¥x sostoqnyj. Metod perexoda k DS
dovol\no ßyroko prymenqetsq v teoryy πvolgcyonn¥x zadaç, hlavn¥m obrazom
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
228 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
dyssypatyvn¥x (sm., naprymer, [2, 7]). V obwej sytuacyy, kohda DS sdvyhov qv-
lqetsq nedyssypatyvnoj (!), prymenenye πtoho metoda natalkyvaetsq na suwest-
venn¥e trudnosty, obuslovlenn¥e nekompaktnost\g fazovoho prostranstva DS
— nekotoroho prostranstva hladkyx (vektor- ) funkcyj. V çastnosty, attrak-
tor system¥ nel\zq opysat\, ostavaqs\ v ysxodnom fazovom prostranstve. Y πto
pry tom, çto ymenno attraktor qvlqetsq osnovn¥m obæektom yzuçenyq, kohda
reç\ ydet o v¥qsnenyy toho, kak process¥, ymegwye qvno v¥raΩenn¥j sluçaj-
n¥j xarakter, moΩno obæqsnyt\ v ramkax determynystyçeskoho opysanyq.
PredloΩenn¥j podxod razvyvaet metodyku reßenyq πtoj problem¥ — „v¥-
xod” v bolee ßyrokoe funkcyonal\noe prostranstvo (s metrykoj, otlyçnoj ot
ob¥çnoj sup-metryky) y postroenye v πtom novom prostranstve attraktora DS
(y sootvetstvugwej KZ). V kaçestve rasßyrenn¥x prostranstv predlahagtsq
prostranstvo poluneprer¥vn¥x sverxu funkcyj y prostranstvo sluçajn¥x
funkcyj, nadelenn¥e specyal\n¥my metrykamy (pozvolqgwymy vloΩyt\ ys-
xodnoe prostranstvo hladkyx funkcyj v sootvetstvugwee rasßyrennoe prost-
ranstvo). Ysxodq yz takoj sxem¥, opysan „beskoneçnomern¥j” scenaryj yde-
al\noj turbulentnosty, pry kotorom xaotyzacyq system¥ obuslovlena sloΩ-
n¥m ustrojstvom „toçek” attraktora — πlementov rasßyrennoho funkcyo-
nal\noho prostranstva, pry πtom dynamyka na samóm attraktore soverßenno
prostaq — attraktor sostoyt yz peryodyçeskyx y/ yly poçty peryodyçeskyx
traektoryj (sm. [22, 33, 40, 43, 44]). ∏tot scenaryj, v çastnosty, obæqsnqet sa-
mostoxastyzacyg polnost\g determynyrovannoj KZ, kohda na bol\ßyx vreme-
nax povedenye reßenyj asymptotyçesky toçno opys¥vaetsq sluçajn¥my pro-
cessamy.
∏tot obwyj podxod ves\ma πffektyvno prymenym k KZ, kotor¥e svodqtsq k
RNU yly blyzkym k nym uravnenyqm (neskol\ko tomu prymerov pryvedeno v¥-
ße). Kak pravylo, takaq redukcyq stanovytsq vozmoΩnoj, esly yzvestna for-
mula obweho reßenyq sootvetstvugweho UÇP. V πtom sm¥sle naybolee „plo-
dovyt¥my” qvlqgtsq uravnenyq hyperbolyçeskoho typa: uΩe lynejn¥e hyper-
bolyçeskye uravnenyq v soçetanyy s nelynejn¥my kraev¥my uslovyqmy pryvo-
dqt k bol\ßomu raznoobrazyg NRU [40, 44]. Xotq prymer¥ takoho roda svody-
m¥x KZ yzvestn¥ dovol\no davno (sm., v çastnosty, [4, 5, 14]), metod svedenyq ne
pryvlek ser\eznoho vnymanyq specyalystov. Osnovn¥x pryçyn, po-vydymomu,
dve: vo-perv¥x, dejstvytel\no rezul\tatyvn¥m πtot metod stal sravnytel\no
nedavno — blahodarq razvytyg kaçestvennoj teoryy NRU, y, vo-vtor¥x, dosty-
Ωenyq teoryy NRU yzvestn¥, k soΩalenyg, nedostatoçno ßyroko.
Po naßemu mnenyg, prymenenye predloΩennoho podxoda pry yssledovanyy
raznoobrazn¥x zadaç, opys¥vagwyx sloΩn¥e kolebatel\n¥e reΩym¥, qvlqetsq
otnosytel\no prost¥m y ves\ma πffektyvn¥m ynstrumentom, kotor¥j pozvo-
lqet suwestvenno prodvynut\sq na puty k bolee hlubokomu ponymanyg obwyx
zakonomernostej real\noj turbulentnosty. ∏tot podxod oΩydaet kak dal\nej-
ßeho prymenenyq k nov¥m klassam kraev¥x zadaç, svodqwyxsq k prostejßym
raznostn¥m uravnenyqm (s neprer¥vn¥m arhumentom), tak y rasprostranenyq na
te zadaçy, kotor¥e svodqtsq k bolee sloΩn¥m uravnenyqm, naprymer, k dyffe-
rencyal\no-raznostn¥m, yly ne qvlqgtsq svodym¥my, no blyzky k svodym¥m.
Poslednee predpolahaet postroenye „standartnoj” teoryy vozmuwenyj, çto,
odnako, qvlqetsq daleko ne standartnoj y, vmeste s tem, ves\ma vaΩnoj zadaçej,
kotoraq, nadeemsq, pryvleçet vnymanye y specyalystov po teoryy asymptoty-
çeskyx metodov.
1. Avila A., Lyubich M., de Melo W. Regular or stochastic dynamics in real analytic families of
unimodal maps // Invent. math. – 2003. – 154. – P. 451 – 550.
2. Babyn A. V., Vyßyk M. Y. Attraktor¥ πvolgcyonn¥x uravnenyj. – M.: Nauka, 1989. – 296 s.
3. Born M. Vorhersagbarkeit in der klassischen Mechanik // Z. Phys. – 1958. – 153. – S. 372 – 388.
4. Vytt A. A. K teoryy skrypyçnoj strun¥ // Ûurn. texn. fyzyky. – 1936. – 6, # 9. –
S.V1459 – 1479.
5. Cooke K. L.,Krumme D. Differential difference equations and nonlinear initial-boundary-value
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
DYNAMYÇESKYE SYSTEMÁ Y MODELYROVANYE … 229
problems for linear hyperbolic partial differential equations // J. Math. Anal. and Appl. – 1968. – 24.
– P. 372 – 387.
6. Kr¥lov N. S. Rabot¥ po obosnovanyg statystyçeskoj fyzyky // Trud¥ AN SSSR. – M.; L.,
1950. – 208Vs.
7. Lad¥Ωenskaq O. A. O naxoΩdenyy hlobal\noho attraktora dlq uravnenyq Nav\e – Stoksa
y druhyx uravnenyj s çastn¥my proyzvodn¥my // Uspexy mat. nauk. – 1987. – 42, # 6. –
S.V25 – 60.
8. Lukin K. A., Maistrenko Yu. L., Sharkovsky A. N., Shestopalov V. P. Nonlinear difference equations
with two argument deviations in the electro-dynamics problems // Proc. IV Int. Workshop „Plasma
Theory and Nonlinear and Turbulent Processes in Physics”. – Kyiv: Naukova Dumka, 1989.
9. Lukyn K. A., Majstrenko G. L., Íarkovskyj A. N., Íestopalov V. P. Metod raznostn¥x
uravnenyj v rezonatornoj zadaçe s nelynejn¥m otraΩenyem // Dokl. AN SSSR. – 1989. –
309, # 2. – S. 327 – 331.
10. Lyubich M. Almost any real quadratic map is either regular or stochastic // Ann. Math. – 2002. –
156. – P. 1 – 78.
11. Maistrenko Yu. L., Maistrenko V. L., Vikul S. I., Chua L. O. Bifurcations of attracting cycles from
time-delayed Chua’s circuit // Int. J. Bifurcation and Chaos. – 1995. – 5, # 3. – P.V653 – 671.
12. Maistrenko Yu. L., Romanenko E. Yu., Sharkovsky A. N. Attractors of difference equations and
turbulence // Proc. III Int. Workshop „Plasma Theory and Nonlinear and Turbulent Processes in
Physics”. – Singapore: World Sci. Publ., 1988. – P. 520 – 536.
13. Milnor J. On the concept of attractor // Communs Math. Phys. – 1985. – 99. – P. 177 – 195.
14. Nagumo J., Shimura M. Self-oscillation in a transmission line with a tunnel diode // Proc. IEEE. –
1961. – 49. – P. 1281 – 1291.
15. Peitgen H. O., Jürgens H., Saupe D. Chaos and fractals: new frontiers of science. – New York:
Springer, 1993. – 984 p.
16. Romanenko E. Yu. On attractors of continuous time difference equations // Comput. and Math.
Appl. – 1998. – 36, #V10 – 12. – P. 377 – 390.
17. Romanenko E. Yu. Dynamical systems iuced by continuous time difference equations and long-
time behavior of solutions // Int. J. Difference Equat. and Appl. – 2003. – 9, #V3-4. – P. 263 – 280.
18. Romanenko O. G. Dynamiçni systemy, porodΩuvani riznycevymy rivnqnnqmy z neperervnym
çasom // Pr. Ukr. mat. konhr. Sekc. Dynamiçni systemy. – Ky]v: In-t matematyky NAN Ukra]-
ny, 2003. – S.V94 – 104.
19. Romanenko E. G. Dynamyka okrestnostej toçek pry neprer¥vnom otobraΩenyy yntervala
// Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 11. – S.V534 – 547.
20. Romanenko O. G. Qvywe avtostoxastyçnosti v dynamiçnyx systemax, porodΩuvanyx rizny-
cevymy rivnqnnqmy z neperervnym arhumentom // Tam Ωe. – 2006. – 58, # 7. – S.V954 – 975.
21. Romanenko E. Yu., Sharkovsky A. N. Formation of structures and autostochasticity in distributive
systems // Proc. IV Int. Workshop „Nonlinear and Turbulent Processes in Physics”. – Kiev:
Naukova Dumka, 1989. – 2. – P. 416 – 419.
22. Romanenko O. G., Íarkovs\kyj O. M. Vid odnovymirnyx do neskinçennovymirnyx
dynamiçnyx system: ideal\na turbulentnist\ // Ukr. mat. Ωurn. – 1996. – 48, # 12. –
S.V1604 – 1627.
23. Romanenko E. Yu., Sharkovsky A. N. From boundary value problems to difference equations: a
method of investigation of chaotic vibrations // Int. J. Bifurcation and Chaos. – 1999. – 9, # 7. –
P. 1285 – 1306.
24. Romanenko E. Yu., Sharkovsky A. N., Vereikina M. B. Self-structuring and self-similarity in
boundary value problems // Ibid. – 1995. – 5, # 5. – P. 145 – 156.
25. Romanenko E. Yu., Sharkovsky A. N., Vereikina M. B. Self-stochasticity in deterministic boundary
value problems // Nonlinear Boundary Value Problems. – Donetsk: Inst. Appl. Math. and Mech.
NAS Ukraine. – 1999. – 9. – P. 174 – 184.
26. Fedorenko V. V. Topolohyçeskyj predel traektoryj yntervala prostejßyx odnomern¥x
dynamyçeskyx system // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 3. – S. 425 – 430.
27. Íarkovskyj A. N. Kolebanyq, opys¥vaem¥e avtonomn¥my raznostn¥my y dyfferencyal\-
no-raznostn¥my uravnenyqmy // Proc. VIII Int. Conf. Nonlinear Oscillations. – Prague: Academia,
1979. – 2. – P. 1073 – 1078.
28. Sharkovsky A. N. “Dry” turbulence // Short Comm. Int. Congr. Math. – Warszawa, 1983. – 10 (12).
– P. 4.
29. Sharkovsky A. N. “Dry” turbulence // Proc. Int. Workshop „Nonlinear and Turbulent Processes in
Physics”. – 1984. – 3. – P. 1621 – 1626.
30. Sharkovsky A. N. Chaos from a time-delayed Chua’s circuit // IEEE Trans. Circ. and Syst. – 1993.
– 40, # 10. – P. 781 – 783.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
230 E. G. ROMANENKO, A. N. ÍARKOVSKYJ
31. Sharkovsky A. N. Ideal turbulence in an idealized time-delayed Chua’s circuit // Int. J. Bifurcation
and Chaos. – 1994. – 4, # 2. – P. 303 – 309.
32. Sharkovsky A. N. Universal phenomena in some infinite-dimensional dynamical systems // Ibid. –
1995. – 5, # 5. – P. 1419 – 1425.
33. Sharkovsky A. N. Iteration of continuous functions and dynamics of solutions for some boundary
value problems // Ann. Math. Silesianae (Proc. Int. Conf. Iteration Theory). – 1999. – 13. – P. 243
– 255.
34. Íarkovs\kyj O. M. Dynamiçni systemy, porodΩuvani krajovymy zadaçamy. Ideal\na
turbulentnist\. Komp’gterna turbulentnist\ // Pr. Ukr. mat. konhr. Sekc. Dynamiçni
systemy. – Ky]v: In-t matematyky NAN Ukra]ny, 2003. – S.V125 – 129.
35. Sharkovsky A. N. Difference equations and boundary value problems // New Progress in Difference
Equations (Proc. Int. Conf. „Difference Equations and Appl.” (ICDEA-2001)). – 2004. – P. 3 – 22.
36. Sharkovsky A. N. Ideal turbulence: definition // Grazer Math. Berichte (Proc. Int. Conf. Iteration
Theory). – 2004. – # 346. – P. 403 – 412.
37. Sharkovsky A. N. Ideal turbulence // Nonlinear Dynamics. – 2006. – 44. – P. 15 – 27.
38. Sharkovsky A. N., Deregel Ph., Chua L. O. Dry turbulence and period-adding phenomena from a
1-D map // Int. J. Bifurcation and Chaos. – 1995. – 5, # 5. – P. 1283 – 1302.
39. Sharkovsky A. N., Maistrenko Yu. L., Deregel Ph., Chua L. O. Dry turbulence from a time delayed
Chua’s circuit // Syst. and Comput. – 1993. – 3, # 2. – P. 645 – 668.
40. Íarkovskyj A. N., Majstrenko G. L., Romanenko E. G. Raznostn¥e uravnenyq y yx
pryloΩenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 1986. – 280 s. (Anhl. perevod: Sharkovsky A. N.,
Maistrenko Yu. L., Romanenko E. Yu. Difference equations and their applications // Ser. Math. and
its Appl. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1993. – 250. – 358 p.)
41. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu. Ideal turbulence: attractors of deterministic systems may lie
in the space of random fields // Int. J. Bifurcation and Chaos. – 1992. – 2, # 1. – P. 31 – 36.
42. Íarkovs\kyj O. M., Romanenko O. G. Avtostoxastyçnist\: atraktory determinovanyx zadaç
moΩut\ mistyty vypadkovi funkci] // Dopov. NAN Ukra]ny. – 1992. – # 10. – S. 33 – 39.
43. Íarkovs\kyj O. M., Romanenko O. G. Asymptotyçni vlastyvosti rozv’qzkiv odnoho klasu
hranyçnyx zadaç // Tam Ωe. – 1999. – # 3. – S. 43 – 48.
44. Íarkovskyj A. N., Romanenko E. G. Raznostn¥e uravnenyq y dynamyçeskye system¥,
poroΩdaem¥e nekotor¥my klassamy kraev¥x zadaç // Tr. Mat. yn-ta RAN. – 2004. – 244. –
S.V281 – 296.
45. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu. Turbulence: ideal // Encycl. Nonlinear Sci. / Ed. Alwyn Scott.
– New York; London: Routledge, 2005. – P. 955 – 957.
46. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu., Berezovsky S. A. Ideal turbulence: definition and models //
Proc. Int. Conf. „Physics and Control”. – Petersburg, 2003. – 1. – P. 23 – 30.
47. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu., Fedorenko V. V. One-dimensional bifurcations in some
infinite-dimensional dynamical systems and ideal turbulence // Regular and Chaotic Dynamics. –
2006. – 11, # 2.
48. Sharkovsky A. N., Sivak A. G. Universal phenomena in solution bifurcations of some boundary
value problems // J. Nonlinear Math. Phys. – 1994. – 1, # 2. – P. 147 – 157.
49. Jakobson M. V. Absolutely continuous invariant measure for one-parameter families of one-
dimensional maps // Communs Math. Phys. – 1981. – 81. – P. 39 – 88.
Poluçeno 11.10.2006
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2007, t. 59, # 2
|