Стабилизация сингулярно возмущенных систем силами, зависящими от ускорения

Одним из наиболее важных свойств уравнений Лагранжа является их регулярность, т.е. невырожденность матрицы инерции, благодаря чему уравнения Лагранжа всегда могут быть приведены к нормальной форме. Однако матрица инерции этих уравнений может оказаться плохо обусловленной, а сами уравнения движения –...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Жечев, М.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України 2009
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5582
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле / М.М. Жечев // Техн. механика. — 2009. — № 1. — С. 13-28. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-5582
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-55822010-01-28T12:01:37Z Стабилизация сингулярно возмущенных систем силами, зависящими от ускорения Жечев, М.М. Одним из наиболее важных свойств уравнений Лагранжа является их регулярность, т.е. невырожденность матрицы инерции, благодаря чему уравнения Лагранжа всегда могут быть приведены к нормальной форме. Однако матрица инерции этих уравнений может оказаться плохо обусловленной, а сами уравнения движения – сингулярно возмущенными. Вследствие этого даже относительно малые погрешности параметров исполнительных органов системы управления и сравнительно небольшие возмущающие воздействия могут привести к значительным отличиям между расчетным и реальным движениями системы. Изменить эту ситуацию средствами традиционного управления, зависящего только от положения, скорости и времени, не всегда оказывается возможным, что приводит к необходимости разработки специальных методов управления сингулярно возмущенными системами. В данной статье для уменьшения влияния постоянно действующих возмущений рассмотрен подход к задаче стабилизации сингулярно возмущенных систем при помощи сил, зависящих от ускорения. Однією з найбільш важливих властивостей рівнянь Лагранжа є їхня регулярність, тобто невиродженість матриці інерції, завдяки чому рівняння Лагранжа завжди можуть бути приведені до нормальної форми. Проте матриця інерції цих рівнянь може виявитися погано обумовленою, а самі рівняння руху – сингулярними збуреними. Внаслідок цього навіть порівняльно малі погрішності параметрів виконавчих органів системи керування і порівняно невеликі збурюючі дії можуть привести до значних відмінностей між розрахунковим і реальним рухами системи. Змінити цю ситуацію засобами традиційного керування, що залежить тільки від положення, швидкості і часу, не завжди виявляється можливим, що приводить до необхідності розробки спеціальних методів керування сингулярними збуреними системами. У даній статті для зменшення впливу постійно діючих збурень розглянуто підхід до задачі стабілізації сингулярних збурених систем за допомогою сил, що залежать від прискорення. One of the most important properties of the Lagrange equations is their regularity, i.e. the non-singularity of their inertia matrix, as a result of which they can be always brought to a normal form. However, their inertia matrix may be ill-conditioned, and the equations themselves may be singularly perturbed. As a consequence, even relatively small errors in the parameters of the control actuators and moderate perturbing actions may result in a significant difference between the calculated and the actual motion of the system. It is not always possible to remedy this situation using the traditional control, which only depends on the position, velocity, and time, thus calling for the development of special methods to control singularly perturbed systems. This paper reports a new approach to the singularly perturbed system stabilization problem, in which the effect of permanent perturbations is reduced using acceleration-dependent forces. 2009 Article О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле / М.М. Жечев // Техн. механика. — 2009. — № 1. — С. 13-28. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 1561-9184 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5582 531.3:517.9 ru Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Одним из наиболее важных свойств уравнений Лагранжа является их регулярность, т.е. невырожденность матрицы инерции, благодаря чему уравнения Лагранжа всегда могут быть приведены к нормальной форме. Однако матрица инерции этих уравнений может оказаться плохо обусловленной, а сами уравнения движения – сингулярно возмущенными. Вследствие этого даже относительно малые погрешности параметров исполнительных органов системы управления и сравнительно небольшие возмущающие воздействия могут привести к значительным отличиям между расчетным и реальным движениями системы. Изменить эту ситуацию средствами традиционного управления, зависящего только от положения, скорости и времени, не всегда оказывается возможным, что приводит к необходимости разработки специальных методов управления сингулярно возмущенными системами. В данной статье для уменьшения влияния постоянно действующих возмущений рассмотрен подход к задаче стабилизации сингулярно возмущенных систем при помощи сил, зависящих от ускорения.
format	Article
author	Жечев, М.М.
spellingShingle	Жечев, М.М. Стабилизация сингулярно возмущенных систем силами, зависящими от ускорения
author_facet	Жечев, М.М.
author_sort	Жечев, М.М.
title	Стабилизация сингулярно возмущенных систем силами, зависящими от ускорения
title_short	Стабилизация сингулярно возмущенных систем силами, зависящими от ускорения
title_full	Стабилизация сингулярно возмущенных систем силами, зависящими от ускорения
title_fullStr	Стабилизация сингулярно возмущенных систем силами, зависящими от ускорения
title_full_unstemmed	Стабилизация сингулярно возмущенных систем силами, зависящими от ускорения
title_sort	стабилизация сингулярно возмущенных систем силами, зависящими от ускорения
publisher	Інститут технічної механіки НАН України і НКА України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5582
citation_txt	О плоском безвихревом течении идеальной несжимаемой жидкости вблизи критической точки на обтекаемом теле / М.М. Жечев // Техн. механика. — 2009. — № 1. — С. 13-28. — Бібліогр.: 20 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT žečevmm stabilizaciâsingulârnovozmuŝennyhsistemsilamizavisâŝimiotuskoreniâ
first_indexed	2025-07-02T08:39:22Z
last_indexed	2025-07-02T08:39:22Z
_version_	1836523782801457152
fulltext	13 531.3:517.9 М.М. ЖЕЧЕВ СТАБИЛИЗАЦИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ СИСТЕМ СИЛАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ УСКОРЕНИЯ Одним из наиболее важных свойств уравнений Лагранжа является их регулярность, т.е. невырож- денность матрицы инерции, благодаря чему уравнения Лагранжа всегда могут быть приведены к нор- мальной форме. Однако матрица инерции этих уравнений может оказаться плохо обусловленной, а сами уравнения движения – сингулярно возмущенными. Вследствие этого даже относительно малые погрешно- сти параметров исполнительных органов системы управления и сравнительно небольшие возмущающие воздействия могут привести к значительным отличиям между расчетным и реальным движениями систе- мы. Изменить эту ситуацию средствами традиционного управления, зависящего только от положения, скорости и времени, не всегда оказывается возможным, что приводит к необходимости разработки специ- альных методов управления сингулярно возмущенными системами. В данной статье для уменьшения влияния постоянно действующих возмущений рассмотрен подход к задаче стабилизации сингулярно возмущенных систем при помощи сил, зависящих от ускорения. Однією з найбільш важливих властивостей рівнянь Лагранжа є їхня регулярність, тобто невиродже- ність матриці інерції, завдяки чому рівняння Лагранжа завжди можуть бути приведені до нормальної форми. Проте матриця інерції цих рівнянь може виявитися погано обумовленою, а самі рівняння руху – сингулярними збуреними. Внаслідок цього навіть порівняльно малі погрішності параметрів виконавчих органів системи керування і порівняно невеликі збурюючі дії можуть привести до значних відмінностей між розрахунковим і реальним рухами системи. Змінити цю ситуацію засобами традиційного керування, що залежить тільки від положення, швид- кості і часу, не завжди виявляється можливим, що приводить до необхідності розробки спеціальних мето- дів керування сингулярними збуреними системами. У даній статті для зменшення впливу постійно діючих збурень розглянуто підхід до задачі стабіліза- ції сингулярних збурених систем за допомогою сил, що залежать від прискорення. One of the most important properties of the Lagrange equations is their regularity, i.e. the non-singularity of their inertia matrix, as a result of which they can be always brought to a normal form. However, their inertia ma- trix may be ill-conditioned, and the equations themselves may be singularly perturbed. As a consequence, even relatively small errors in the parameters of the control actuators and moderate perturbing actions may result in a significant difference between the calculated and the actual motion of the system. It is not always possible to remedy this situation using the traditional control, which only depends on the position, velocity, and time, thus calling for the development of special methods to control singularly perturbed systems. This paper reports a new approach to the singularly perturbed system stabilization problem, in which the ef- fect of permanent perturbations is reduced using acceleration-dependent forces. 1. Сингулярно возмущенные механические системы. Выход в свет в 1788 году знаменитого сочинения Лагранжа "Mećanique Analitique" стал вы- дающимся событием в ранней истории аналитической механики. Предло- женный Лагранжем метод позволил свести динамическую задачу к задаче чистого анализа, благодаря чему оказалось излишним приводить всякий раз геометрические соображения. Применение метода Лагранжа к голономным механическим системам позволяет записать уравнения движения (уравнения Лагранжа второго рода), обладающие рядом замечательных свойств. Одним из наиболее важных свойств этих уравнений является их регулярность, т.е. невырожденность мат- рицы при ускорениях (матрицы инерции), в связи с чем уравнения Лагранжа всегда могут быть приведены к нормальной форме (см., к примеру, [1]). Если при этом выполняются еще и некоторые не слишком жесткие условия глад- кости (которые в механике обычно считаются выполненными), то уравнения Лагранжа имеют единственное решение, и это решение зависит от парамет- ров и правой части непрерывным образом. Благодаря этим свойствам, урав- нения и метод Лагранжа даже спустя столетия являются одним из основных источников идей аналитической динамики.  М.М. Жечев, 2009 Техн. механика. – 2009. – № 1. 14 Хотя уравнения Лагранжа голономных систем всегда регулярны, матри- ца инерции этих уравнений может оказаться плохо обусловленной, а сами уравнения движения – сингулярно возмущенными [2] и, значит, жесткими. Вследствие этого даже относительно малые погрешности параметров испол- нительных органов системы управления и сравнительно небольшие возму- щающие воздействия (постоянно действующие возмущения) могут привести к значительным отличиям между расчетным и реальным движениями систе- мы. Чаще всего это происходит с многоэлементными механическими систе- мами, у которых отличие между массо-инерционными характеристиками различных элементов почти всегда значительное, из-за чего матрицы инер- ции таких систем нередко оказываются плохо обусловленными. Изменить эту ситуацию средствами традиционного управления, завися- щего только от положения, скорости и времени, не всегда оказывается воз- можным, что приводит к необходимости разработки специальных методов управления сингулярно возмущенными системами. В [3, 4] приведен один из способов уменьшения влияния постоянно дей- ствующих возмущений на управляемое движение сингулярных и сингулярно возмущенных систем, заключающийся в использовании поочередного управ- ления. В данной статье рассмотрен другой подход, основанный на использо- вании управляющих воздействий, зависящих от ускорения. 2. Силы, зависящие от ускорения. Спор о том, могут ли силы зависеть от ускорения, ведется уже более полутора веков. "Со времен Ньютона меха- ники привыкли писать уравнения движения, четко придерживаясь правила: в левой части должно стоять произведение массы и ускорения, а все, что запи- сано справа, есть силы, представляющие собой причины ускоренного движе- ния материальных объектов. "Как же причины, вызывающие ускорение, мо- гут сами зависеть от ускорения?" – вот главное психологическое препятст- вие, мешающее признать реальность таких сил и заставляющее придумывать все что угодно, чтобы сохранить привычное понимание динамических урав- нений" [5]. Тот факт, что Ньютон в своем знаменитом труде "Philosophiae Naturalis Principia Mathematica" обошел этот вопрос молчанием, также доба- вило данной проблеме загадочности и интриги. Попытки строго доказать неприемлемость в ньютоновой механике сил, зависящих от ускорения, предпринимались в разное время разными авторами и каждый раз приводили к новому витку дискуссии [6 – 14]. Одно из наибо- лее известных и правдоподобных такого рода доказательств принадлежит Парсу [1], который утверждал, что силы, зависящие от ускорения, противо- речат основополагающему принципу механики – принципу независимости действия сил. Другие доказательства, как правило, представляют собой вари- анты доказательства Парса. Хотя утверждение Парса интуитивно всегда вызывало серьезные сомне- ния, строгое обоснование его ошибочности было приведено только в 2007 году в статье [15]. В ней было показано, что приведенное в [1] доказательст- во ошибочно, а силы, зависящие от ускорения, в такой же степени приемле- мы в механике, как и традиционные силы, зависящие только от положения, скорости и времени. Статья [15] устранила принципиальное препятствие на пути применения сил, зависящих от ускорения, открыв тем самым возможности для коррект- ной постановки и решения различных задач с использованием таких сил. Как 15 показали дальнейшие исследования [16, 17], существует целый ряд приклад- ных задач, которые могут быть решены с помощью сил, зависящих от уско- рения. В одних случаях эти силы могут использоваться для объяснения раз- личных физических явлений, в других – как средство получения наиболее эффективного решения. В некоторых случаях (к которым относится рассмот- ренная в [16, 17] задача стабилизации вагона с наклоняемым кузовом) – как единственный способ решения. В данной статье рассмотрена задача о стабилизации силами, зависящими от ускорения, сингулярно возмущенных систем для уменьшения влияния по- стоянно действующих возмущений. В разделе 3 на примере системы с одной степенью свободы исследованы особенности данной задачи и предложены подходы к ее решению. В разделе 4 эти подходы развиты для систем с не- сколькими степенями свободы. В разделе 5 на основании полученных ре- зультатов решена задача стабилизации плоского четырехзвенника. 3. Системы с одной степенью свободы. На первом этапе решения зада- чи стабилизации сингулярно возмущенных систем рассмотрим систему с од- ной степенью свободы, движение которой описывается уравнением ukc +ϕ+ϕ=ϕµ &&& 11 . (1) Это уравнение может описывать динамику маятника, кузова вагона (рас- смотренного в [16, 17]) или какой-то иной механической системы. Однако чтобы не обременять задачу второстепенными факторами, мы не будем кон- кретизировать физический смысл задачи, а будем просто считать, что 0>µ – малый массо-инерционный параметр, ϕ – обобщенная координата, 1c и 1k – некоторые константы, u – управление. 3.1. Традиционный подход. Рассмотрим вначале традиционный подход к стабилизации сингулярно возмущенных систем, когда управление зависит только от положения и скорости, т.е. ϕ+ϕ= & 22 kcu , (2) где 2c и 2k – некоторые константы. Уравнение (1) в этом случае примет вид ϕ+ϕ=ϕµ &&& kc , (3) где 21 ccc += , 21 kkk += . Управление (2) является стабилизирующим (т.е. решает задачу стабили- зации), если оно обеспечивает асимптотическую устойчивость тривиального решения 0=ϕ=ϕ & (4) уравнения (3), для чего, как известно, должны выполняться неравенства 0<c , 0<k . (5) Если на систему действуют постоянно действующие возмущения ( )tf , то уравнение (3) принимает вид fkc +ϕ+ϕ=ϕµ &&& . (6) 16 Для определенности будем считать, что ( ) tftf ω= sin , где 0>f , 0>ω – амплитуда и частота постоянно действующего возмуще- ния. Пусть выполняются условия (5). Покажем, что при малых µ решения уравнения (6) могут быть весьма чувствительными к постоянно действую- щим возмущениям, для чего оценим амплитуды ϕA , ϕ&A , ϕ&&A установивше- гося движения уравнения (6) и его производных. При высокочастотных постоянно действующих возмущениях, когда },max{ µ−µ−>>ω ck , указанные амплитуды равняются ( ) ( ) f kc A 222 1 ω++µω =ϕ , ϕϕ ω= AA & , ϕϕ ω= AA 2 && . (7) Как видно из (7), с ростом ω данные амплитуды стремятся к следующим величинам 2 1 µω →ϕA , µω →ϕ 1 & A , µ →ϕ 1 && A . (8) К примеру, если 10,=µ ; 1−=c ; 50,−=k ; 1=f ; 10=ω , то расчеты по формулам (7) дают 090,≈ϕA ; 90,≈ϕ&A ; 9≈ϕ&&A , что вполне согласуется с соответствующими значениями амплитуд, вычисленными по формулам (8). (Для сравнения, если 1=µ , то имеем значительно меньшие амплитуды 010,≈ϕA ; 10,≈ϕ&A ; 1≈ϕ&&A ). Согласно (8), при достаточно больших ω значения амплитуд ϕA , ϕ&A , ϕ&&A обратно пропорциональны массо-инерционному параметру µ и поэтому при достаточно малых µ могут принимать сравнительно большие значения. То есть, при традиционном подходе к стабилизации сингулярно возмущен- ные системы могут быть весьма чувствительны к постоянно действующим возмущениям. Как ясно из (7), уменьшить указанные амплитуды можно двумя путями: либо увеличивая параметры c и/или k , либо увеличивая параметр µ . В первом случае корректно уменьшить влияние постоянно действующих возмущений можно далеко не всегда, поскольку увеличение параметров c и k еще более повышает жесткость уравнений движения (уменьшает относи- тельное значение µ ) и, кроме того, может привести к увеличению собствен- ной частоты системы и, как следствие, к резонансу. При этом резонанс мо- жет возникнуть даже в том случае, когда с увеличением c и k расчетное значение собственной частоты меняется не слишком сильно, поскольку из-за высокой жесткости системы даже сравнительно малые относительные по- грешности задания параметров управления могут привести к значительным отличиям реальных значений собственных частот от расчетных. 17 Подход, связанный с увеличением малого параметра µ , основан на при- менении сил, зависящих от ускорения. В отличие от предыдущего, данный подход ни к повышению жесткости уравнения движения (6), ни к повыше- нию собственной частоты не приводит. Поэтому далее рассмотрена задача стабилизации сингулярно возмущенных систем при помощи управляющих воздействий, зависящих от ускорения. 3.2. Алгебраическая зависимость управления от ускорения. Суть данного подхода заключается в регуляризации уравнения движения за счет добавки в управление слагаемого, зависящего от ускорения, с таким расче- том, чтобы в итоге коэффициент при ускорении в уравнении движения ока- зался достаточно большим. В соответствии с этим, добавим к правой части управления (2) слагаемое, зависящее от ускорения, т.е. положим ϕ+ϕ+ϕ= &&& dkcu 22 , (9) где d – некоторая константа. Уравнение (1) в этом случае примет вид ϕ+ϕ+ϕ=ϕµ &&&&& dkc . (10) Для асимптотической устойчивости тривиального решения (4) уравнения (10) необходимо, чтобы выполнялось одно из двух условий: 0>−µ d , 0<c , 0<k или 0<−µ d , 0>c , 0>k . (11) Однако ни одно из этих условий не гарантирует асимптотической устой- чивости, для достижения которой требуется, чтобы, кроме (11), µ удовле- творяло еще одному условию. Например, при алгебраической зависимости управления от ускорения тривиальное решение (4) уравнения (1) с управлением ( )τ−ϕ+ϕ+ϕ= tdkcu &&& 22 , (12) может оказаться неустойчивым, даже если действительные части корней ха- рактеристического уравнения системы (1), (9) отрицательны, т.е. даже при выполнении какого-либо из условий (11). Примечание 1. Запаздывание в (12) учтено только в ускорении. Это сде- лано для простоты, а также потому, что учет (или неучет) запаздывания в ϕ и ϕ& не приводит к качественным изменениям. Примечание 2. Здесь и далее зависимость от времени указывается только в функциях с запаздыванием, а в остальных функциях времени опускается. Можно показать [16, 17], что упомянутым выше дополнительным усло- вием является неравенство µ<d . (13) Это означает, что при выполнении условия (13) любое из условий (11) является необходимым и достаточным для асимптотической устойчивости решения (4) как уравнения (10), так и системы с запаздыванием (1), (12). Хотя, с одной стороны, условие (13) и делает предложенный подход кор- ректным, с другой стороны, оно лишает его практического интереса, т.к. оз- начает, что при алгебраической зависимости управления от ускорения коэф- 18 фициент при ϕ&& можно корректно увеличить не более чем в два раза, что не позволяет значительно снизить влияние постоянно действующих возмуще- ний на движение рассматриваемой системы. Действительно, поскольку ко- эффициент при ускорении в этом случае по-прежнему остается малой вели- чиной ( µ< 2 ), то, как ясно из (8), амплитуды ϕA , ϕ&A , ϕ&&A установившегося движения уравнения ( ) fkcd +ϕ+ϕ=ϕ−µ &&& (14) не могут быть уменьшены более чем в два раза по сравнению с амплитудами установившегося движения уравнения (3). Для существенного снижения влияния постоянно действующих возму- щений коэффициент при ускорении в управлении, очевидно, должен быть значительно больше малого параметра µ . Это можно сделать, используя дифференциальную зависимость управления от ускорения. 3.3. Дифференциальная зависимость управления от ускорения. Далее будем считать, что µ>>d . (15) Пусть вместо (9) управление задается уравнениями Mkcu +ϕ+ϕ= & 22 и ( )[ ]τ−ϕ−=ε tdMsM && & , (16) где 0>ε – малый параметр, а 1±=s – параметр, предназначенный для того, чтобы иметь возможность реализовывать управление как с положительным, так и с отрицательным коэффициентом d (см. ниже п. 3.4). В случае (16) уравнения движения рассматриваемой системы при посто- янно действующих возмущениях имеют вид ( )[ ]τ−ϕ−=ε tdMsM && & , (17) fMkc ++ϕ+ϕ=ϕµ &&& . (18) Для удобства изложения отдельно запишем уравнение (18) для случая, когда постоянно действующие возмущения отсутствуют Mkc +ϕ+ϕ=ϕµ &&& . (19) Рассмотрим для сравнения еще одну систему, но уже без запаздывания ( )ϕ−=ε && & dMsM , (20) fMkc ++ϕ+ϕ=ϕµ &&& , (21) записав отдельно уравнение (21) для случая, когда постоянно действующие возмущения отсутствуют Mkc +ϕ+ϕ=ϕµ &&& . (22) Тогда по аналогии с тем, как это было сделано в [16, 17], можно доказать следующее утверждение. 19 Утверждение 1. Если тривиальное решение системы (20), (22) асимпто- тически устойчиво, то − при достаточно малом τ тривиальное решение системы (17), (19) также асимптотически устойчиво; − если, кроме этого, функция ( )tf достаточно гладкая, то на конечном интервале времени при достаточно малом τ решения систем (17), (18) и (20), (21) отличаются на величину порядка ( )τO . Поскольку начальное значение M никак не регламентировано, то можно считать, что в начальный момент времени правая часть (17) достаточно мала. В этом случае в силу теоремы А.Н. Тихонова [18] можно доказать еще одно утверждение. Утверждение 2. Если коэффициент при M в уравнении (20) (с учетом уравнения (21)) отрицателен, т.е. ( ) 01 <µ−ds , (23) то на конечном интервале времени при достаточно малом ε для системы (20), (21) справедлива оценка ( )µε+ϕ= dOdM && , а решения системы (20), (21) и уравнения (14) отличаются на величину порядка ( )µεdO . На основании утверждений 1 и 2 можно заключить следующее. На этапе синтеза может использоваться алгебраическая зависимость ста- билизирующего управления от ускорения, однако формирование управления должно осуществляться в соответствии с дифференциальной зависимостью. Поскольку при правильном выборе параметров управления движения системы в двух указанных случаях мало отличаются друг от друга, то управ- ление с дифференциальной связью сводится, в итоге, к добавке в управление u слагаемого ϕ&&d , µ>>d . Данная добавка устраняет сингулярную возму- щенность уравнения движения (6), приводя его к виду (14). Благодаря этому, понижается жесткость системы, уменьшаются ее собственная частота и ам- плитуды установившегося движения и его производных. 3.4. Соотношение параметров системы. Выясним, как должны соотно- ситься между собой s , d и малые параметры 0>µ , 0>τ и 0>ε . Прежде всего, отметим, что в случае (15) условие (23) эквивалентно не- равенству 0>sd , из которого видно, что, задавая тот или иной знак пара- метра 1±=s , можно реализовать управление как с положительным, так и с отрицательным коэффициентом d . Для справедливости первой части утверждения 1 недостаточно только того, чтобы параметры τ и ε были малыми – необходимо, чтобы они нахо- дились в определенном соотношении. Для того чтобы тривиальное решение системы (17), (19) было асимптотически устойчиво, параметры µ , τ , ε и d должны быть такими, чтобы действительные части всех асимптотических корней характеристического квазиполинома системы (17), (19) были отрица- тельными [19]. По аналогии с [16, 17] можно показать, что для этого они должны удовлетворять соотношению τ πµ >ε d2 . (24) 20 Вместе с тем, как следует из утверждения 2, модуль разности решений системы (17), (18) и уравнения (14) является величиной порядка µεd , или, с учетом (24), величиной порядка 22 µτd . Таким образом, величина ε должна быть, с одной стороны, достаточно большой, чтобы тривиальное решение системы (17), (19) было асимптотиче- ски устойчиво, а с другой стороны – достаточно малой, чтобы обеспечить приемлемую близость решений системы (17), (18) и уравнения (14). Как показывают расчеты, компромисс в этом вопросе вполне достижим. Так, численное моделирование процесса стабилизации при следующих зна- чениях параметров 10,=µ ; 1−=c ; 50,−=k ; 1=f ; 10=ω ; 0010,=τ ; 50,−=d ; 010,=ε показало, что максимальное отличие ( δ ) установившихся движений уравне- ния (14) и системы (17), (18) составляет около %9 от амплитуд этих движе- ний. (Для иллюстрации справедливости утверждения 2 отметим, что расчет- ные значения амплитуд ϕA , ϕ&A , ϕ&&A в данном случае в ( ) 6≈µ−µ d раз меньше, чем при традиционном управлении (см. п. 3.1)). Увеличение ε в не- сколько раз приводит к пропорциональному увеличению δ , а с уменьшением ε эта величина уменьшается. Однако значительное уменьшение ε при фик- сированном τ невозможно, т.к. уже при 0030,<ε (и прежних значениях ос- тальных параметров) тривиальное решение системы (17), (18) становится не- устойчивым, что подтверждает справедливость условия (24). Вместе с тем, одновременное уменьшение в несколько раз и ε , и τ приводит к пропорцио- нальному уменьшению δ . 3.5. Выводы к разделу 3. Анализ сингулярно возмущенной системы с одной степенью свободы показал, что: − традиционный подход не позволяет понизить жесткость уравнений движения, поэтому даже относительно малые погрешности задания парамет- ров управления и сравнительно небольшие постоянно действующие возму- щения могут привести к значительным отличиям между расчетным и реаль- ным движениями системы; − применение управления с алгебраической зависимостью от ускорения также не позволяет существенно понизить жесткость уравнений движения, однако исследование такого управления представляет интерес как один из этапов решения задачи синтеза стабилизирующего управления; − формирование значений стабилизирующего управления должно осу- ществляться в соответствии с дифференциальной зависимостью управления от ускорения; при соответствующем выборе параметров такое управление устраняет сингулярную возмущенность уравнения движения, понижает жест- кость системы, уменьшает ее собственную частоту и снижает влияние посто- янно действующих возмущений. 4. Системы с несколькими степенями свободы. Рассмотрим голоном- ную склерономную сингулярно возмущенную систему с n степенями свобо- ды, находящуюся под действием управления и сил, линейных по положению и скорости. Воспользуемся рассмотренными в предыдущем разделе подходами для стабилизации данной системы в условиях, когда, кроме указанных сил, на нее действуют еще и постоянно действующие возмущения ( )nffff ,,, K21= . 21 4.1. Преобразование сингулярно возмущенных уравнений Лагранжа. Пусть часть тел (назовем их "легкими") рассматриваемой системы имеют массу, значительно меньшую, чем массы остальных ("тяжелых") тел систе- мы. Малость масс легких тел по отношению к массам тяжелых охарактеризу- ем малым параметром 1<<µ . Будем считать, что сингулярная возмущен- ность системы обусловлена именно малостью параметра µ . Тогда, как пока- зано в [2], положение всех тяжелых тел может быть описано при помощи enr −= обобщенных независимых координат, где e – дефект матрицы инерции при 0=µ . Так как в силу сингулярной возмущенности системы 1>e [16, 17], то nr < . Пусть вектор ( )rxxxx ,,, K21= описывает положение всех тяжелых тел, а ( )rnyyyy −= ,,, K21 дополняет x таким образом, что координаты ( ) ( )nzzzyxz ,,,, K21== описывают положение также и всех легких тел, и пусть уравнения Лагранжа рассматриваемой системы представлены в виде uzKzCzA +++ξ= &&& 11 , (25) где ( )zAA = – матрица инерции (матрица квадратичной формы кинетиче- ской энергии); ( )zz &,ξ=ξ – вектор, элементами которого являются квадра- тичные формы по z& ; 1C – постоянная, а ( )zKK 11 = – вообще говоря, пере- менная матрицы; ( )nuuuu ,,, K21= – вектор управления. Согласно сделан- ным выше допущениям, матрица инерции A плохо обусловленная, т.е. сис- тема (25) сингулярно возмущенная. В координатах z матрица A может быть представлена в виде rn r rnr AA AA A − −       = 2221 1211 , (26) где ( ) 11222112 AOAAA <<µ=,, ( ⋅ – некоторая норма). (27) Благодаря этому, к постоянно действующим возмущениям (при традици- онном управлении) чувствительны только координаты y . Это означает, что с уменьшением µ амплитуды установившегося движения по координатам y возрастают неограниченно, в то время как по координатам x они ограниче- ны некоторой величиной. При произвольных координатах ( )nqqqq ,,, K21= ограниченными с уменьшением µ останутся только те iq , которые могут рассматриваться в качестве компоненты некоторого вектора x , остальные же координаты при этом неограниченно возрастают. При управлении zDzKzCu &&& ++= 22 , (28) где 2C – постоянная, а ( )zKK 22 = и ( )zzDD &,= – вообще говоря, перемен- ные матрицы, уравнение (25) принимает вид ( ) zKCzzDA &&& ++ξ=− , (29) 22 где 21 CCC += , 21 KKK += . Как видно из (26), (27), для регуляризации уравнения (29) достаточно, чтобы матрица D имела вид rn r rnr D D − −       = 22O OO , (30) где O – нулевая матрица, а матрица 22D достаточно хорошо обусловлена. Существует множество способов задания матрицы 22D . Например, в качест- ве 22D может быть выбрана матрица, пропорциональная 22A , т.е. 2222 gAD = , где коэффициент g подобран таким образом, чтобы ( ) 221 Ag− и 11A были величинами одного порядка. Можно поступить иначе, выбрав 22D в виде диагональной матрицы, диагональ которой совпа- дает с диагональю матрицы 22gA . Еще один способ заключается в том, что- бы задать 22D в виде диагональной матрицы, элементы которой имеют зна- чения, сравнимые по величине со значениями диагональных элементов мат- рицы 11A , и т.д. 4.2. Асимптотическая устойчивость под действием сил, зависящих от ускорения. Рассмотрим условия асимптотической устойчивости тривиально- го решения 0== zz & (31) системы (29), полагая для простоты, что матрица D не зависит от скоростей z& . Так как матрица D симметричная, то производная по времени от функ- ции [ ] CzzzDAzzzV ′−−′= 2 1 2 1 &&&),( (32) вдоль решений системы (29) равняется ),()(),( zzzzKzzzV &&&& & ζ+′= , (33) где вектор ),( zz &ζ такой, что )(),( 3 zOzz && =ζ . Если в некоторой окрестности решения (31) матрица ( )zK отрицательно определенная, то из (33) следует, что при достаточно малых z& отрицательно определена и функция ),( zzV & & . Если, кроме этого, в некоторой окрестности решения (31) матрицы C и AD − также отрицательно определены, то ),( zzV & является функцией Ляпу- нова системы (29) и поэтому в силу теоремы Барбашина – Красовского [20] решение (31) асимптотически устойчиво. Подобным же образом доказывается асимптотическая устойчивость ре- шения (31) и в случае, когда матрица D зависит также и от скорости z& , т.е. ( )zzDD &,= . Если вместо (32) рассмотреть функцию 23 [ ] CzzzDAzzzV ′+−′−= 2 1 2 1 &&&),( , то совершенно аналогично можно доказать асимптотическую устойчивость решения (31) и в случае, когда матрицы C , ( )zK и ( ) ( )zAzzD −&, в некоторой окрестности решения (31) положительно определенные. Таким образом, имеет место следующее утверждение. Утверждение 3. Если матрица ( )zzDD &,= симметричная, а матрицы C , ( )zK и ( ) ( )zAzzD −&, в некоторой окрестности решения (31) одновременно либо отрицательно, либо положительно определенные, то решение (31) сис- темы (29) асимптотически устойчиво. 4.3. Дифференциальная зависимость управления от ускорения. Пусть управление имеет следующий вид: MzKzCu ++= & 22 , (34) где ( ) rnr MMM − = 21 , , причем O=1M , а 2M определяется дифференциаль- ным уравнением ( )[ ]τ−−=ε tyDMSM && & 2222 , где 0>ε – малый параметр, а ( )zzSS &,= – некоторая невырожденная матрица. (Управление можно было бы задать и несколько иначе (см., к примеру, примечание 3), но для опреде- ленности будем считать, что оно задается именно выражением (34)). Тогда уравнение движения (25) примет вид MzKCzzA +ξ++= &&& , (35) ( )[ ]τ−−=ε tyDMSM && & 2222 (36) и справедливо следующее утверждение. Утверждение 4. Если матрица ( )12222 −− ADES отрицательно определен- ная, а решение 0== zz & (37) системы (29) асимптотически устойчиво, то: − при достаточно малом τ тривиальное решение (37) системы (35), (36) также асимптотически устойчиво; − на любом конечном интервале времени при достаточно малых ε и τ справедлива оценка ( )τ+     ε⋅+= − OADOyDM 1 2222222 && , а решения систем ( ) fzKCzzDA +++ξ=− &&& (38) и fMzKCzzA ++ξ++= &&& , (39) ( )[ ]τ−−=ε tyDMSM && & 2222 (40) отличаются на величину порядка ( )τ+     ε⋅ − OADO 1 2222 . 24 Из-за громоздкости мы не будем приводить доказательства утверждения 4; отметим лишь, что идея доказательств та же, что и в утверждениях 1 и 2. 4.4. Соотношение параметров системы. Для справедливости первой части утверждения 4 необходимо, чтобы параметры τ и ε находились в оп- ределенном соотношении. К примеру, если 1−= nr (т.е. если 22A и 22D – скалярные величины), то (в силу теоремы об устойчивости по первому при- ближению систем с запаздыванием [19]) можно показать, что при достаточно малых µ , τ и ε должно выполняться соотношение ( ) ( ) τ π >ε − 0002 1 2222 AD , . (41) Вместе с тем, как следует из утверждения 4, модуль разности решений систем (39), (40) и (38) является величиной порядка ( )τ+     ε⋅ − OADO 22 1 22 . Поэтому, как и в системе с одной степенью сво- боды, рассмотренной в разделе 3, величина ε должна быть, с одной стороны, достаточно большой, чтобы тривиальное решение системы (35), (36) было асимптотически устойчиво, а с другой стороны – достаточно малой, чтобы обеспечить приемлемую близость решений систем (39), (40) и (38). 4.5. Выводы к разделу 4. Таким образом, чтобы решить задачу стабили- зации сингулярно возмущенной системы в условиях постоянно действующих возмущений, нужно выполнить следующие действия. 1. Ввести координаты ( )yxz ,= и найти матрицу A и вектор ξ . 2. Выбрать симметричную достаточно хорошо обусловленную матрицу 22D , норма которой 22D является величиной того же порядка, что и 11A . 3. Задать матрицы 2C и 2K (удовлетворяющие вместе с 22D условиям утверждения 3), сформировать уравнения управляемого движения (39), (40) и оценить согласно некоторому неравенству типа (41) нижнюю границу пара- метра ε . Если уравнения движения необходимо записать именно в таких удобных координатах q , то, как несложно показать, кроме пунктов 1 – 3, нужно также выполнить следующие действия. 4. Записать якобиеву матрицу qzT ∂∂= преобразования ( )qzz = в блоч- ном виде rn r T T T −      = 2 1 . 5. Сформировать уравнения управляемого движения в координатах q , которые, как несложно показать, могут быть представлены в виде fMTqKqCqA +′+ξ++= 22 &&& , (42) ( )[ ]{ }qTtqTDMSM & & && & 222222 +τ−−=ε , (43) 25 где ξ,,, KCA – соответствующие матрицы в уравнениях Лагранжа в коор- динатах q . 5. Стабилизация плоского четырехзвенника. Применим полученные результаты к задаче стабилизации плоского четырехзвенника с абсолютно твердыми звеньями, изображенного на рис. 1 (см. также [16, 17]). В данном примере не ставится цель описать динамику какой-либо конкретной техниче- ской системы. Единственная его цель – это проиллюстрировать полученные результаты. Будем полагать, что тяжелое тело (4-ое звено) представляет собой одно- родное кольцо массой 14 =m и диаметром 14 =l , а остальные (легкие) звенья являются однородными стержнями массой 10,=µ=km и длиной 1=kl . Поскольку управление многозвенниками обычно осуществляется по углам в шарнирах, то в качестве управляемых координат естест- венно выбрать ( )4321 qqqqq ,,,= . Чтобы не обременять задачу второстепен- ными факторами, будем считать, что на систему действуют только управляющие силы и посто- янно действующие возмущения. Решим задачу стабилизации данной систе- мы в координатах q в окрестности конфигурации ( )2346 ππππ== ,,,qq в соответствии с рекомендациями п. 4.5. 1. Положение кольца можно описать с помощью трех независимых коор- динат ( )321 xxxx ,,= , где 1x , 2x – декартовы координаты центра масс, а 43 qx = – угол поворота диска. В качестве координаты y , которая в данном случае – скаляр, можно выбрать любую из координат 21 qq , и 3q . Для опре- деленности положим 1qy = . В этом случае ( )411111 ,,diag=A . 2. Матрица 22D в данном случае, очевидно, является скаляром и можно положить 5022 ,−=D . Соответственно, S – также скаляр и, чтобы обеспе- чить положительность произведения 22SD , его можно положить 1−=S . Поскольку речь идет об уравнениях в координатах q , то пункт 3 пропус- каем. 4. Так как 1qy = , то ( )00012 =T . 5. Пусть ( )1,-1,-1,-1-diag=2C , а ( )0,5;-0,50,5;-0,5;--diag=2K . Поскольку в данном случае O== 11 KC , то 2CC = и 2KK = . Пусть по углу 1q дейст- вует возмущающий момент величиной t10sin , тогда постоянно действую- щее возмущение имеет вид 210 Ttf ′⋅= sin . Поскольку qA & &−=ξ , то уравнения управляемого движения в координатах q имеют вид ( ) ( )tMTqAqKqqCqA 1022 sin+′+−+−= & & &&& , (44) Рис. 1 26 ( )τ−+−=ε tqDMM 12222 && & , (45) где матрица инерции имеет вид: ( ) ( )∑ = µ++= 3 1 4 k kAAJA , ( )4321 JJJJJ ,,,diag= , 1201=iJ – центральные моменты инерции 1, 2 и 3-го стержней, 414 =J – центральный момент инерции кольца, ( )kA – сим- метричная матрица с элементами ( ) ( )    − ≤− = случаях;остальныхв ,,,cos 0 kjiqqLL A jijik ij    = < = ., ,, ki ki Li 21 1 В результате численного анализа установлено, что при выбранных зна- чениях параметров управления имеет место оценка ( ) 32 2222 ≈πAD , по- этому соотношение (41) имеет вид τ>ε 3 . (46) Как показали расчеты, при 0010,=τ и 010,=ε (рис. 2) амплитуды устано- вившихся движений уравнений (44), (45) по координатам 21 qq , и 3q при ис- пользовании сил, зависящих от ускорения (более темная линия), в несколько раз меньше, чем при традиционном подходе ((44) при 02 =M ), не исполь- Рис. 2 27 зующем такие силы (более светлая линия). Что касается координаты 4q , то для нее указанные амплитуды в обоих случаях практически одинаковы. Осо- бенность поведения 4q объясняется тем, что из всех четырех координат iq только 4q может являться компонентой некоторого вектора x . Максимальное отличие ( δ ) установившихся движений системы при диф- ференциальной ((44), (45)) и алгебраической ((44) при 1222 qDM &&= ) зависи- мостях управления от ускорения составляет около %8 от амплитуд этих движений. Уменьшение ε в несколько раз приводит к пропорциональному умень- шению δ . Однако значительное уменьшение ε при фиксированном τ не- возможно, т.к. уже при 00310,=ε (и прежних значениях остальных пара- метров) тривиальное решение системы (44), (45) начинает терять устойчи- вость, что подтверждает справедливость условия (46). Вместе с тем, одно- временное уменьшение в несколько раз и ε , и τ приводит к пропорциональ- ному уменьшению δ . Увеличение ε в несколько раз приводит к пропорциональному возраста- нию δ , однако это возрастание происходит, в основном, за счет сдвига друг относительно друга во времени установившихся движений при дифференци- альной и алгебраической зависимостях управления от ускорения. 6. Заключение. Хотя уравнения Лагранжа голономных систем всегда ре- гулярны, матрица инерции этих уравнений может оказаться плохо обуслов- ленной, а сами уравнения движения – сингулярно возмущенными. В послед- нем случае даже относительно малые погрешности задания параметров управления и сравнительно небольшие постоянно действующие возмущения могут привести к значительным отличиям между расчетным и реальным движениями системы. Традиционный подход к стабилизации таких систем, когда управление зависит только от положения и скорости, еще более повышает жесткость системы, в связи с чем этот подход не всегда позволяет снизить влияние по- стоянно действующих возмущений. Анализ задачи стабилизации сингулярно возмущенных систем силами, зависящими от ускорения, показал, что: − управление с алгебраической зависимостью от ускорения также не позволяет существенно снизить влияние постоянно действующих возмуще- ний; вместе с тем, исследование такого управления представляет значитель- ный интерес как один из этапов решения задачи синтеза стабилизирующего управления с дифференциальной зависимостью от ускорения; − формирование стабилизирующего управления должно осуществлять- ся в соответствии с дифференциальной зависимостью управления от ускоре- ния; при соответствующем выборе параметров такое управление не только обеспечивает асимптотическую устойчивость тривиального решения, но и позволяет существенно снизить влияние постоянно действующих возмуще- ний. 1. Парс Л. А. Аналитическая динамика / Л. А.Парс. − М. : Наука, 1971. − 636 с. 2. Zhechev M. M. Equations of motion for singular systems of massed and massless bodies / M. M. Zhechev // Journal of Multi-body Dynamics. – 2007. – Vol. 221, № K4. – P. 591 – 597. (см. также http://mzhecheve.web.optima.com.ua). 28 3. Жечев М. М. Асимптотическая устойчивость равновесия сингулярных механических систем / М. М. Жечев // Автоматика и телемеханика. − 2001. − 62, №3. − C. 45 – 52. (см. также http://mzhecheve.web.optima.com.ua). 4. Zhechev M. M. Asymptotic stability of the equilibrium of singular mechanical systems / M. M. Zhechev // Automation and Remote Control. – 2001. – Vol. 62, №3. – P. 383 – 390 (см. также http://mzhecheve.web.optima.com.ua). 5. Емельянов А. В. Новый взгляд на физические основы классической и релятивистской механики / А. В. Ємельянов. − Калуга : Эйдос, 2007. − 191 с. 6. Weber W. Determination of Electrodynamics Measure / Concerning a Universal Law of Electrical Action. – Leipzig : Prince Jablonowski Society, 1846. – P. 211 – 378. 7. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы / Дж. Д. Биркгоф. – Гостехиздат, 1941. − 305 p. 8. Ghosh A. Velocity-Dependent Inertial Induction and Secular Retardation of the Earth’s Rotation /A. Ghosh // Pramãna–Journal of Physics. − 1986. − Vol. 26. − №1. − P. 1 – 8. 9. Абгарян К. А. Динамика ракет / К. А. Абгарян, Э. Л. Калязин, В. П. Мишин, И. М. Рапопорт. – М. : Машиностроение, 1990. – 464 с. 10. Waldron R. A. Notes on the form of the force law / R. A. Waldron // Physics Essays. – 1991. – № 4. – P. 247 – 248. 11. Assis A. K. T. On forces that depend on the acceleration of the test body / A. K. T. Assis // Physics Essays. – 1992. – № 5. – P. 328 – 330. 12. Smulsky J. J. Force cannot depend on acceleration / J. J. Smulsky // Apeiron. – 1994. – № 20. – P. 43 – 44 13. Assis A. K. T. Acceleration Dependent Forces : Reply to Smulsky / A. K. T. Assis // Apeiron. – 1995. – Vol. 2. – № 1. – P. 25. 14. Chen Y. H. Pars's acceleration paradox / Y. H. Chen // Journal of the Franklin Institute. – 1998. – Vol. 335. – № 5. – P. 871 – 875. 15. Zhechev M. M. On the admissibility of given acceleration-dependent forces in mechanics / M. M. Zhechev // Journal of Applied Mechanics. – Transactions of the ASME. – 2007. – Vol. 74, № 1. – P. 107 – 110. (см. так- же http://mzhecheve.web.optima.com.ua). 16. Жечев М. М. Особенности применения в задачах механики сил, зависящих от ускорения / М. М. Жечев // Техническая механика. – 2007. – №1. – С. 10 – 20. (см. также http://mzhecheve.web.optima.com.ua). 17. Zhechev M. M. Peculiarities of the use of acceleration-dependent forces in mechanical problems / M. M. Zhechev // Journal of Multi-body Dynamics. – 2007. – Vol. 221, № K4. – P. 47 – 503. (см. также http://mzhecheve.web.optima.com.ua). 18. Тихонов А. Н. Дифференциальные уравнения / А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свєшников. – М. : Наука, 1980. – 232 с. 19. Эльсгольц Л. Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом / Л. Э. Эльсгольц, Б. Н. Норкин. – М. : Наука, 1971. – 296 с. 20. Руш Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н. Руш, П. Абетс, М. Валуа. – М. : Мир, 1980. – 300 с. Институт технической механики Получено 03.06.08 НАН Украины и НКА Украины, в окончательном варианте 08.01.09 Днепропетровск

Стабилизация сингулярно возмущенных систем силами, зависящими от ускорения

Репозитарії

Схожі ресурси