Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа

Рассмотрена эволюция компактного вихря с масштабами сто метров по вертикали и несколько километров по горизонтали в рамках модели моря, состоящей из верхнего перемешанного слоя и нижнего слоя с устойчивой вертикальной стратификацией. Распределение плотности по вертикали задается гладкой функцией: по...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2013
Автор:	Лукьянов, П.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Морський гідрофізичний інститут НАН України 2013
Назва видання:	Морской гидрофизический журнал
Теми:	Термогидродинамика океана
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56601
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа / П.В. Лукьянов // Морской гидрофизический журнал. — 2013. — № 1. — С. 21-33. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-56601
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-566012014-02-21T03:09:39Z Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа Лукьянов, П.В. Термогидродинамика океана Рассмотрена эволюция компактного вихря с масштабами сто метров по вертикали и несколько километров по горизонтали в рамках модели моря, состоящей из верхнего перемешанного слоя и нижнего слоя с устойчивой вертикальной стратификацией. Распределение плотности по вертикали задается гладкой функцией: постоянное значение плавно переходит в близкую к линейной экспоненциальную зависимость. Показано, что планетарное вращение и топография дна являются двумя независимыми причинами трансформации монополя в триполь. Устойчивость триполя зависит, прежде всего, от относительной толщины вихря, а также от стратификации. Неустойчивость возникает сначала в более мелкой области за счет трения вихря о дно. Трансформация монополя происходит без введения дополнительных азимутальных возмущений поля скорости. Розглянута еволюція компактного вихору з масштабами сто метрів по вертикалі та декілька кілометрів по горизонталі в рамках моделі моря, яка складається з верхнього перемішаного шару та нижнього шару із стійкою вертикальною стратифікацією. Розподіл густини по вертикалі задається гладкою функцією: постійне значення плавно переходить в близьку до лінійної експоненціальну залежність. Показано, що планетарне обертання та топографія дна є дві незалежні причини трансформації монополя в триполь. Стійкість триполя залежить, передусім, від відносної товщини вихору, а також від стратифікації. Нестійкість виникає спочатку в дрібнішій області за рахунок тертя вихору об дно. Трансформація монополя відбувається без введення додаткових азимутальних збурень поля швидкості. Evolution of a compact vortex with the vertical scale – 100 m and the horizontal one - several kilometers is considered within the framework of the sea model consisting of the upper mixed layer and the lower one with stable vertical stratification. Vertical distribution of density is prescribed by a smooth function: constant value smoothly grades into the exponential dependence close to the linear one. It is shown that planetary rotation and bottom topography constitute two independent mechanisms of a monopole transformation into a tripole. The tripole stability depends, first of all, on the vortex relative thickness and also on stratification. At first, instability arises in a shallower water area due to the vortex-bottom friction. The monopole transforms into a tripole without introducing additional azimuth disturbances of the velocity field. 2013 Article Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа / П.В. Лукьянов // Морской гидрофизический журнал. — 2013. — № 1. — С. 21-33. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0233-7584 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56601 532.5; 551.465 ru Морской гидрофизический журнал Морський гідрофізичний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана
spellingShingle	Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана Лукьянов, П.В. Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа Морской гидрофизический журнал
description	Рассмотрена эволюция компактного вихря с масштабами сто метров по вертикали и несколько километров по горизонтали в рамках модели моря, состоящей из верхнего перемешанного слоя и нижнего слоя с устойчивой вертикальной стратификацией. Распределение плотности по вертикали задается гладкой функцией: постоянное значение плавно переходит в близкую к линейной экспоненциальную зависимость. Показано, что планетарное вращение и топография дна являются двумя независимыми причинами трансформации монополя в триполь. Устойчивость триполя зависит, прежде всего, от относительной толщины вихря, а также от стратификации. Неустойчивость возникает сначала в более мелкой области за счет трения вихря о дно. Трансформация монополя происходит без введения дополнительных азимутальных возмущений поля скорости.
format	Article
author	Лукьянов, П.В.
author_facet	Лукьянов, П.В.
author_sort	Лукьянов, П.В.
title	Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа
title_short	Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа
title_full	Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа
title_fullStr	Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа
title_full_unstemmed	Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа
title_sort	динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа
publisher	Морський гідрофізичний інститут НАН України
publishDate	2013
topic_facet	Термогидродинамика океана
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56601
citation_txt	Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа / П.В. Лукьянов // Морской гидрофизический журнал. — 2013. — № 1. — С. 21-33. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Морской гидрофизический журнал
work_keys_str_mv	AT lukʹânovpv dinamikakompaktnogovihrâvzonepribrežnogošelʹfa
first_indexed	2025-07-05T07:53:32Z
last_indexed	2025-07-05T07:53:32Z
_version_	1836792690498338816
fulltext	ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 21 © П.В. Лукьянов, 2013 УДК 532.5; 551.465 П.В. Лукьянов Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа Рассмотрена эволюция компактного вихря с масштабами сто метров по вертикали и не- сколько километров по горизонтали в рамках модели моря, состоящей из верхнего переме- шанного слоя и нижнего слоя с устойчивой вертикальной стратификацией. Распределение плотности по вертикали задается гладкой функцией: постоянное значение плавно переходит в близкую к линейной экспоненциальную зависимость. Показано, что планетарное вращение и топография дна являются двумя независимыми причинами трансформации монополя в три- поль. Устойчивость триполя зависит, прежде всего, от относительной толщины вихря, а также от стратификации. Неустойчивость возникает сначала в более мелкой области за счет трения вихря о дно. Трансформация монополя происходит без введения дополнительных азимуталь- ных возмущений поля скорости. Ключевые слова: компактный вихрь, прибрежный шельф, неустойчивость, триполь. Введение. Изучению влияния вращения Земли на вихревое движение по- священо немало работ [1]. Однако динамика вихрей с горизонтальными мас- штабами в несколько километров практически не изучена. Образование таких компактных областей завихренности может быть вызвано различными фак- торами. Один из возможных механизмов указанного вихреобразования при- веден в работе [2], в которой рассмотрен пример распада сильно вытянутого диска эллиптической формы на систему компактных областей завихренности. Указанный процесс моделирует один из механизмов формирования внутри- термоклинных вихрей (ВТВ) в океане. Вертикальный размер ВТВ колеблется в пределах десятков – сотен метров, а горизонтальный – порядка 10 км и да- же может достигать 50 км [3]. Но вихри размером 50 км носят другую приро- ду образования – это субсиноптические вихри. Масштаб скорости в таких вихревых линзах – десятки сантиметров в секунду. Согласно [2], ВТВ не яв- ляются аномалиями, а представляют собой норму динамического состояния морей и океанов. Распад вытянутого вихря может порождать компактные об- ласти завихренности с горизонтальными размерами порядка 1 – 5 км. Вихри указанных масштабов могут иметь и другую природу. Например, размеры наблюдавшегося дипольного вихря, захваченного шельфовой (мел- ководной) зоной вблизи восточного побережья Сицилии, составляли 80 м по вертикали и 2 км по горизонтали [4]. Без ограничения общности можно зада- вать начальные размеры гораздо бóльшими, поскольку осесимметричные вих- ри являются точными решениями квазигеострофических уравнений на f-плос- кости независимо от их вертикальной структуры [4]. Цель данной работы – исследовать влияние планетарного вращения, то- пографии дна и стратификации на эволюцию компактного монополя. Для этого в области жидкости, состоящей из двух слоев – верхнего перемешанно- го и нижнего устойчиво стратифицированного, – в начальный момент задает- ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 22 ся такой вихрь, у которого отсутствуют вертикальная и радиальная компо- ненты скорости, т. е. горизонтальная дивергенция скорости равна нулю. По- этому эффект влияния вращения Земли пренебрежимо мал. Нижняя граница рассматриваемой области (дно) задается аналитически в виде склона. За конечный промежуток времени вихрь достигает свободной поверхно- сти и дна. Генерируются радиальное и вертикальное течения. Теперь сила Кориолиса уже количественно влияет на динамику вихря, трансформируя его. Для рассматриваемой задачи справедливо использовать приближенное равенство нулю вертикальной компоненты скорости на свободной поверхно- сти. Это утверждение легко обосновывается сравнением амплитуды верти- кальной скорости на поверхности с ее абсолютным максимумом по толщине слоя. Постановка и решение задачи. Введем декартову прямоугольную сис- тему координат с осью Oz, направленной вертикально вверх. Рассмотрим об- ласть жидкости ( , ) [ , ], [ ( ), ]x xx y l l z h L x h∈ − ∈ − (рис. 1). Плотность есть функция вертикальной координаты, она задается следующей аналитической зависимостью: ( )( )[ ]( ){ }     ≤≤− −≤≤−−−+ = , , 0 , / 1exp1 10 ,1 22 10 hzhh hhzgzNzhh ρ ρ ρ (1) где h, h1 – максимальная глубина области и толщина верхнего перемешанного подслоя. В начальный момент задаются также соответствующие компактно- му монополю поля азимутальной скорости и плавучести [5] ( )( ) ( )( ) , ,exp 2020 2 20 2 102 0 2 2 azzazazzazz L r V +≤≤−−−+−               −= αθ (2) ( )( ) ( )( ) ( )( ) , ,5,02exp 2020 210 3 20 3 102 0 2 2 azzaz aazzazzazz L r b +≤≤− −+−−−+−               −= α (3) где L0, z0 – начальные значения горизонтального масштаба вихря и положе- ния его центра (горизонт) соответственно; a1, a2 – толщина верхней и нижней частей вихря; α – константа, характеризующая его внутреннюю структуру. Известны данные измерений, указывающие на возможное существование компактной осесимметричной структуры вихря как по вертикали, так и по горизонтали [6] с горизонтальными масштабами порядка 104 м. Для численного решения задачи удобно перейти к новой системе коорди- нат: ( ) ( )),( , ,,, zxyxzyx ζζηξ ===→ . (4) В данной работе рассмотрена модельная задача, поэтому топография дна задается одним из выражений: ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 23 а б        ≤≤+− +−−−−−+ +−≤≤− = , , )))]([exp(1)(( , , 02 011 0 1 xx x xx lxxl xlxhhh zh xlxl h zh α ζ (5) где x0 – координата начала склона. Р и с. 1. Топография дна – а и вертикальное распределение плотности – б Выражение (4) позволяет переходить из области переменной глубины в область постоянной глубины, сохраняя при этом гладкость (производные ос- таются непрерывными функциями). В новой системе координат задача фор- мулируется уже в области ( ) [ ] [ ]hlln xx ,0 , , , ∈−∈ ζξ . Для определения коэффициентов вертикального турбулентного обмена используется модель Прандтля – Обухова [7]. Согласно этой модели, ( )     <= >+= ,0 при ,0 при 05,0 min min 2 2 BKK BKBhK z z , 22 b z V z V B yx +      ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ = ζ ζ ζ ζ (6) здесь Vx, Vy – средние значения горизонтальных компонент скорости, b – пла- вучести; h2 – глубина квазиоднородного слоя, определяемая по первой от по- верхности расчетной точке, в которой выполняется условие ( ) min 205,0 KBz kzzk ≤= , где Kmin – фоновое значение коэффициента вертикального турбулентного об- мена, zk определяется из последнего неравенства. Горизонтальный турбулентный обмен описывается моделью Смагорин- ского [8]. Коэффициенты горизонтальной турбулентной диффузии полей ско- рости и плавучести вычисляются по формулам ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 24 , , 2 1 2 1 22 m nm n yyxx mm C CA A VVVV CA =               ∂ ∂ +      ∂ ∂ + ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∆∆= ηξηξ ηξ (7) где Сm, Cn – постоянные (Cm = 0,1, Cn = 0,2Cm); ∆ξ, ∆η – горизонтальные раз- меры ячейки расчетной сетки. Индексы m, n относятся к диффузии полей скорости и плотности соответственно. С учетом характерных для квазигоризонтальных вихревых движений ба- лансов [9] уравнения, описывающие эволюцию компактного вихря в системе координат (4), имеют следующий вид: ++      ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂−= ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ y x zv x y xx x x V x pp z V V V V x VV V t V Ro 1 Fr2 ζ ζξ ζ ζη ζ ζξ +       ∂ ∂             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂∂ ∂ +      ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ + ∂ ∂ + xx V x VVV x VV xxxxxx h ζζ ζζ ζ ζζξη ζ ζξξ 2 22 2 22 2 2 Re 1 , Re 1 2 2 2 zz V x V xx v ∂ ∂             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂ ∂+ ζζ ζζ ζ ζδ (8) +− ∂ ∂−= ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ x y zv y y yy x y V p z V V V V x VV V t V Ro 1 Fr2 η ζ ζη ζ ζξ +         ∂ ∂               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂∂ ∂ +         ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ + ∂ ∂ + xx V x VVV x VV yyxyyy h ζζ ζζ ζ ζζξη ζ ζξξ 2 22 2 22 2 2 Re 1 , Re 1 2 2 2 zz V x V yy v ∂ ∂               ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ζζ ζζ ζ ζδ (9) ++ ∂ ∂ ∂ ∂−=       ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂+      ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂+ ∂ ∂ b z p z V V V V x VV V t V z zv z y zz x z v ζ ζ ζ ζη ζ ζξ δδ 222 FrFr +       ∂ ∂             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂∂ ∂+      ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ ∂ ∂+ xx V x VVV x VV zzzzzz h v ζζ ζζ ζ ζζξη ζ ζξξ 2 22 2 22 2 22 Re Fr , Re 1 2 2 2 zz V x V zz v ∂ ∂             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ζζ ζζ ζ ζδ (10) ,0Fr2 = ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ + ∂ ∂ z VVV z v yx ζ ζηξ (11) = ∂ ∂ ∂ ∂− ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂+      ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂+ ∂ ∂ zzvyx V z S z b V b V x bb V t b ζ ζ ζ ζη ζ ζξ 2Fr +   ∂ ∂             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂∂ ∂+               ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂∂ ∂+ ∂ ∂= xx b x bbb x bb h ζζ ζζ ζ ζζξη ζ ζξξ 2 22 2 22 2 2 Re 1 Sc 1 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 25 , Re 1 2 2 2 zz b x b v ∂ ∂                ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂ ∂+ ζζ ζζ ζ ζδ (12) где Vz, p, b (b = – gρ / ρ0) – среднее значение вертикальной компоненты векто- ра скорости в новой системе координат, а также возмущения полей давления и плавучести; Reh = lhVh / Am, Rev = lvVh / Kz, Frv = Vh / Nlv, Ro = Vh / lhΩ и Sc = = An / Am – горизонтальное и вертикальное числа Рейнольдcа, а также числа Фруда, Россби и Струхаля соответственно; )м 100(Olv ∈ , )м 1000(Olh ∈ , )см 10( 11 −− ⋅∈OVh – начальные вертикальный и горизонтальный масштабы вихря, а также начальный масштаб скорости; Ω – угловая скорость вращения Земли; δ = lv / lh – отношение вертикального масштаба вихря к горизонталь- ному. Компонента силы Кориолиса в уравнении (9) не учитывается ввиду ее относительной малости для сплющенных вихрей. Граничные условия для уравнений (1) – (5) (см. также [5]): вырождение (экспоненциальное убывание) полей всех характеристик на удалении от об- ласти вихря, а также равенство нулю их производных по горизонтальным пе- ременным на боковых границах ( yx lylx ±=±= , ). Граничные условия на дне )0( =ζ : условия прилипания и отсутствия гра- диента плотности (или плавучести) .0 ,0 ,0 ,0 = ∂ ∂=== ζ b WVV yx (13) Граничные условия на свободной поверхности ( )hζ = : отсутствие ветра и равенство нулю возмущений давления и плавучести .0 ,0 ,0 ,0 22 === ∂ ∂− ∂ ∂ = ∂ ∂− ∂ ∂ bp WVWV yx η δ ζξ δ ζ (14) Используем, с учетом малости параметра δ, стандартные для соответствую- щих задач приближения граничных условий .0 ,0 = ∂ ∂ = ∂ ∂ ζζ yx VV Предположение о том, что частицы жидкости не покидают свободной по- верхности, записывается в виде .0=W (15) Алгоритм решения поставленной задачи основан на известных конечно- разностных схемах, для декартовой прямоугольной системы координат он из- ложен в работе [10]. Приведем конечно-разностные аналоги уравнений (8), (9) и (11), (12). Чтобы избежать трудностей с индексами, в конечно-разност- ных уравнениях обозначим Vx = U, Vy = V. Получим: ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 26 ( ) ( ) ( ) =      ∆ Φ∆+      ∆ + ∆ ∆+ ∆ Φ + ∆ + ∆ ∆+ 22 20 22 1000 ,, )(Re 211 Re 2 )( 1 i tt i VU tU vh kji ζδηξζηξ ( ) ( ) +   ∆ − + ∆ −∆++      ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂∆−= −+−+ 2 ,1,,1, 2 ,,1,,1 0 Re ηξ ζ ζξ kjikjikjikji h UUUUt U x pp t ( ) ( ) +   −−+      ∂ ∂+      ∆ −       ∂ ∂+ −++−−−++ −+ 1,,11,,11,,11,,12 1,,1,, 2 2 )( kjikjikjikji i kjikji i UUUU xi UU x ζ ζ ζ ( ) ( )[    + ∆ ∆+∆+       ∆ +       ∂ ∂∆+ − −+ kji i kjikji iv UUH U tV tUU x t ,,10 0 02 1,,1,, 2 2 RoRe ξζ ζ δ ( ) ] ( ) ( )[ ]+−+ ∆ +−+ +−+ kjikjikji UVHUVH V UUH ,1,0,1,0 0 ,,10 η ( ) ( ) ( )[ ]    Φ−+Φ ∆ Φ + +− 1,,101,,10 10 kjikji i UHUH ζ , (16) ( ) ( ) ( ) =      ∆ Φ∆+      ∆ + ∆ ∆+ ∆ Φ + ∆ + ∆ ∆+ 22 20 22 1000 ,, )(Re 211 Re 2 )( 1 i tt i VU tV vh kji ζδηξζηξ ( ) ( ) +   ∆ − + ∆ −∆++ ∂ ∂∆−= −+−+ 2 ,1,,1, 2 ,,1,,1 0 Re ηξη kjikjikjikji h VVVVt V p t ( ) ( ) +   −−+      ∂ ∂+      ∆ −       ∂ ∂+ −++−−−++ −+ 1,,11,,11,,11,,12 1,,1,, 2 2 )( kjikjikjikji i kjikji i VVVV xi VV x ζ ζ ζ ( ) ( ) ( )[ ]+    −+ ∆ ∆+∆−       ∆ +       ∂ ∂∆+ +− −+ kjikji i kjikji iv VUHVUH U tU tVV x t ,,10,,10 0 02 1,,1,, 2 2 RoRe ξζ ζ δ ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]    Φ−+Φ ∆ Φ +−+ ∆ + +−+− 1,,101,,10 10 ,1,0,1,0 0 kjikji i kjikji VHVHVVHVVH V ζη , (17) ( ) ( ) ( ) =      ∆ Φ∆+      ∆ + ∆ ∆+ ∆ Φ + ∆ + ∆ ∆+ 22 20 22 1000 ,, )(Re 211 Re 2 )( 1 i tt i VU tW vh kji ζδηξζηξ ( ) ( )   + ∆ − + ∆ −∆+∆++ ∂ ∂ ∂ ∂∆−= −+−+ 2 ,1,,1, 2 ,,1,,1 00 Re ηξ ζ ζ kjikjikjikji h WWWWt tbW z p t ( ) ( ) +   −−+      ∂ ∂+      ∆ −       ∂ ∂+ −++−−−++ −+ 1,,11,,11,,11,,12 1,,1,, 2 2 )( kjikjikjikji i kjikji i WWWW xi WW x ζ ζ ζ ( ) ( ) ( )[ ]+    −+ ∆ ∆+       ∆ +       ∂ ∂∆+ +− −+ kjikji i kjikji iv WUHWUH U t WW x t ,,10,,10 0 2 1,,1,, 2 2 Re ξζ ζ δ ( ) ( )[ ]+−+ ∆ + +− kjikji WVHWVH V ,1,0,1,0 0 η ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 27 ( ) ( ) ( )[ ]    Φ−+Φ ∆ Φ + +− 1,,101,,10 10 kjikji i WHWH ζ , (18) ( ) ( ) ( ) =      ∆ Φ∆+      ∆ + ∆ ∆+ ∆ Φ + ∆ + ∆ ∆+ 22 20 22 1000 ,, )(Re 211 Re 2 )( 1 i tt i VU tb vh kji ζδηξζηξ ( ) ( ) ( ) +   ∆ − + ∆ −∆++ ∂ ∂ ∂ ∂∆−= −+−+ 2 ,1,,1, 2 ,,1,,1 02 0 ScReFr ηξ ζ ζ ζ kjikjikjikji hv bbbbt b z SW t ( ) ( ) +   −−+      ∂ ∂+      ∆ −       ∂ ∂+ −++−−−++ −+ 1,,11,,11,,11,,12 1,,1,, 2 2 )( kjikjikjikji i kjikji i bbbb xi bb x ζ ζ ζ ( ) ( ) ( )[ ]+    −+ ∆ ∆+       ∆ +       ∂ ∂∆+ +− −+ kjikji i kjikji iv bUHbUH U t bb x t ,,10,,10 0 2 1,,1,, 2 2 Re ξζ ζ δ ( ) ( )[ ]+−+ ∆ + +− kjikji bVHbVH V ,1,0,1,0 0 η ( ) ( ) ( )[ ]    Φ−+Φ ∆ Φ + +− 1,,101,,10 10 kjikji i bHbH ζ . (19) Уравнения (16) – (19) расщеплялись по пространственным переменным, далее применялся метод прогонки. На каждом временном шаге проводилась стандартная процедура – коррекция давления (обозначим эту функцию как 'p ). Для этого использовалось уравнение = ∂ ∂       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂∂ ∂+      ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂+      ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ xx p x p z pp x pp ζζ ζζ ζ ξζ ζ ζη ζ ζξ '''''' 22 2 2 2 22 2 2 2 2       ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂ ∆ = z WV x UU t ζ ζη ζ ζξ 00001 , (20) здесь верхний индекс 0 – явные значения поля скорости. Данное уравнение решалось итерационно. Использовался следующий конечно-разностный аналог: ( ) ( ) ( ) −               ∂ ∂+      ∂ ∂ ∆ + + ∆ + + ∆ + −+−+−+ 22 2 1,,1,, 2 ,1,,1, 2 ,,1,,1 '''''' zx pppppp kjikjikjikjikjikji ζζ ζηξ ( ) ( ) ( ) =             ∆       ∂ ∂+      ∂ ∂ + ∆ + ∆ − ∆∆ +−− − −−−++−++ 2 22 22,, 1,,11,,11,,11,,1 11 '2 4 '''' ζ ζζ ηξζξ zx p pppp kji kjikjikjikji . 2222 1 0 1,, 0 1,, 0 ,1, 0 ,1, 0 1,, 0 1,, 0 ,,1 0 ,,1         ∂ ∂ ∆ − + ∆ − + ∂ ∂ ∆ − + ∆ − ∆ = −+−+−+−+ z WWVV x UUUU t kjikjikjikjikjikjikjikji ζ ζη ζ ζξ (21) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 28 Результаты численного эксперимента. Как уже упоминалось во введе- нии, процессы неустойчивости и трансформации компактного вихря изуча- лись в лабораторных условиях [11, 12]. Рассматривались взаимные вращения – циклоническое и антициклоническое – окружающей жидкости и вихря для чисел Россби первого порядка. При циклоническом вращении образовывался триполь, при антициклоническом – пара диполей. В качестве критерия устой- чивости использовался критерий Рэлея с учетом силы Кориолиса [1]. Влия- ние сил вязкости в этом критерии не учитывалось, так как числа Рейнольдса в упомянутых экспериментах изменялись от 500 и выше. Хотя, с другой сторо- ны, образование новых вихревых структур может зависеть от значений числа Рейнольдса [12]. Чтобы получить наблюдающиеся в эксперименте трансфор- мации вихря, необходимо было к его основному вращению добавить некое, искусственно вводимое, возмущение азимутальной скорости, амплитуда ко- торого порядка 1%. Подобный подход, но для изучения лишь нелинейных и вязких эффектов (то есть без учета силы Кориолиса), можно найти в работе [13]. Благодаря введению возмущения получается триполь. Основным физи- ческим результатом цитируемой работы явился вывод о том, что процесс симметризации, связанный с обратным каскадом турбулентной энергии, не является универсальным: наряду с монополями могут существовать и другие устойчивые вихревые образования, например триполи. Существование три- полей в природе было обнаружено спутниками [14]. Расчетная область ])2,1 ;0[],3 ;3[],3 ;3([),,( −−∈ζηξ разбивалась на сетку с параметрами ]120 ;120[, −∈yx NN , ]80 ;0[∈zN )015,0 ,02,0( =∆=∆=∆ ζηξ . Сходимость и устойчивость решения были достигнуты при шаге по времени 005,0=∆t . Такие пространственно-временные шаги сохранялись во всех расчетах. Задание конкретных значений физических величин было основано на данных натурных экспериментов. Глубина (толщина) слоя жидкости зада- валась равной порядка 100 м, склон довольно пологий. Коэффициент γ, ха- рактеризующий крутизну склона, был равен 4,5/(lx + 1)2 и 6/(lx + 1)2 (шельф). Распределение возмущений поля плотности соответствует деятельному слою, состоящему из верхнего хорошо перемешанного подслоя и нижнего устойчиво стратифицированного подслоя (термоклин). Глубина (толщина) верхнего перемешанного слоя задавалась минимальной – порядка 10 м. Как уже упоминалось, горизонтальный размер (радиус) вихря изменялся в пределах нескольких километров. Предметом исследования было изучение влияния на его эволюцию планетарного вращения, топографии дна, страти- фикации и относительной толщины вихря. В качестве примера в области прибрежного шельфа с минимальной глубиной 120 м и наклоном γ = 4,5/(lx + 1)2 в начальный момент времени рассмотрим циклонический вихрь (с вертикальной осью вращения) толщиной 100 м и радиусом 2 км. Начальный горизонт вихря – 60 м от уровня морской поверхности. Под верхним перемешанным слоем (10 м) в нижнем подслое находилась устойчиво стратифицированная жидкость с частотой плавучести N = 0,004 с–1. Масштаб азимутальной скорости был равен 0,5 м·с–1, фоновое значение вертикальной турбулентной диффузии задавалось равным Kz = = 0,0005 м2·с–1. Этим значениям соответствовали следующие безразмерные ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 29 параметры: Frv = 1,25, Ro = 2,43, Rev = 105, δ = 0,05. На рис. 2 в безразмерных координатах (ξ, η, ζ) представлены вертикальное (рис. 2, а) и горизонтальное (рис. 2, б) сечения поля завихренности в начальный момент времени. Р и с. 2. Начальное распределение поля вертикальной компоненты завихренности: а – вертикальное сечение (η = 0); б – горизонтальное сечение (ζ = 0,6) Параметры монопольного вихря таковы, что он является неустойчивым, за счет его трения о дно происходит образование зоны турбулентности в бо- лее мелководной области (рис. 3). В дальнейшем вихревая структура пол- ностью разрушается. Р и с. 3. Вертикальная – а и горизонтальная (ζ ≈ 1,14) – б структура поля вертикальной компоненты завихренности распадающегося вихря при t = 1 ζ ξ а η ξ б ξ ζ а ξ η б ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 30 При увеличении начального горизонтального размера до 5 км (до δ = = 0,02) вихрь хотя и трансформируется в триполь, но сохраняется как единая структура (рис. 4, а). В дальнейшем может наблюдаться обратный процесс – от триполя к монополю (рис. 4, б). Р и с. 4. Горизонтальная структура поля вертикальной компоненты завихренности (ζ ≈ 1,14) при t = 2 (а) и t = 4 (б) Зависимость эволюции вихря от стратификации также существенна. Так, при тех же параметрах из первого примера (начальный радиус вихря 2 км), но при стратификации, всего лишь в полтора раза большей (N = 0,006 с–1), наб- людается устойчивость вихревой структуры в целом. Назовем это промежу- точным сценарием, когда возникающие мелкомасштабные турбулентные структуры диффундируют, и это не приводит к полному разрушению вихря. Пример промежуточного сценария приведен на рис. 5, где показаны (при t = 2) изолинии поля вертикальной компоненты завихренности в приповерх- ностном слое (рис. 5, а) и на горизонте вихря (рис. 5, б). Видно возникнове- ние зон неустойчивости вихря за счет трения о дно в более мелководной части. Со временем (t = 6) вихревая структура стабилизируется: хотя и про- должают генерироваться мелкомасштабные зоны неустойчивости, но они уже гораздо слабее по сравнению с основным течением (рис. 5, в). Сказанное так- же подтверждает соответствующее поле азимутальной скорости (рис. 5, г). Поскольку рассматриваемые в данной работе масштабы вихрей подвер- жены влиянию планетарного вращения, поведение циклонических и анти- циклонических вихрей различно. На рис. 6 приведены данные расчета эво- η ξ а η ξ б ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 31 люции устойчивого антициклонического вихря. Видно, что происходит про- цесс диффузии завихренности в его внутренней части. Завихренность, при- чем разных знаков, сосредоточивается вблизи оси вращения и на периферии. Р и с. 5. Горизонтальная структура поля вертикальной компоненты завихренности при t = 2: а – в приповерхностном слое (ζ ≈ 1,14), б – на горизонте вихря (ζ ≈ 0,6); горизонтальная структура поля вертикальной компоненты завихренности – в и азимутальной скорости – г при t = 6 В заключение отметим роль топографии дна. Численные эксперименты показали, что без учета силы Кориолиса возможна трансформация монополя в триполь. Кроме того, крутизна наклона дна также меняет картину течения, влияя на устойчивость вихря в целом. η ξ б η ξ г η ξ а ξ в η ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 32 Р и с. 6. Горизонтальное (ζ ≈ 1,14) – а и вертикальное (η = 0) – б распределение поля вертикальной компоненты завихренности в антициклоническом вихре Выводы. Устойчивость эволюции вихря зависит, прежде всего, от соотношения вертикального и горизонтального масштабов. Когерентные вихри имеют относительную толщину порядка 0,01 и меньше. Трансформация монополя в триполь происходит как за счет планетар- ного вращения, так и в результате влияния неровности дна. Триполь может сменяться в последующем монополем. Существуют промежуточные режимы, когда мелкомасштабная турбу- лентность, хотя и постоянно генерируется, не разрушает вихревую структуру в целом, что определяется стратификацией. Внутренняя структура антициклонического и циклонического вихрей различна. Основная завихренность в антициклоническом вихре сосредоточи- вается в центре и на периферии, внутренняя область имеет близкую к нулю завихренность, где течение почти потенциальное. Выражаю глубокую признательность доктору физ.-мат. наук А.Г. Стеценко за ряд критических замечаний, приведших к улучшению качества статьи. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Hopfinger E.J., van Heijst G.J.F. Vorticies in rotating fluids // Ann. Rev. Fluid Mech. – 1993. – 25. – P. 241 – 289. 2. Козлов В.Ф., Мазур И.В. Об одном механизме формирования внутритермоклинных вихрей в океане // Метеорология и гидрология. – 1986. – № 8. – С. 83 – 88. 3. Шапиро Г.И. Структура мезомасштабной вихревой линзы в океанском термоклине // Докл. АН СССР. – 1984. – 276, № 6. – С. 1477 – 1479. 4. Adragna A., Salusti E. Observation of small scale shelf-trapped dipolar vortices near the east- ern Sicilian coast // J. Phys. Oceanogr. – 1990. – 20, № 7. – P. 1105 – 1112. η ξ а ζ ξ б ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2013, № 1 33 5. Лукьянов П.В. Диффузия изолированного квазидвумерного вихря в слое устойчи- во стратифицированной жидкости // Прикладна гiдромеханика. – 2006. – 8, № 3. – С. 63 – 77. 6. Elliott B.A., Sanford T.B. The subthermocline lens D1. Part I. Description of water properties and velocity profiles // J. Phys. Oceanogr. – 1986. – 16, № 3. – P. 532 – 548. 7. Марчук Г.И., Саркисян А.С. Математические модели циркуляции в океане. – Новоси- бирск: Наука, 1980. – 340 с. 8. Белолипецкий В.М., Белолипецкий П.В. Численное моделирование ветровых течений в стратифицированных водоемах методом расщепления. Гидростатическое приближение // Вычислительные технологии. – 2006. – 11, № 5. – C. 21 – 31. 9. Lukyanov P.V., Maderich V.S. Restratification processes in the final stage of turbulence decay in a stably stratified medium // Докл. НАН Украины. – 1995. – № 5. – C. 46 – 48. 10. Лукьянов П.В. Эволюция пары «вихрь в вихре» в слое устойчиво стратифицированной жидкости // Прикладна гідромеханика. – 2010. – 12, № 2. – С. 58 – 69. 11. Carnevale G.F., Kloosterziel R.C. Emergence and evolution of tripole vortices // J. Fluid Mech. – 1994. – 259. – P. 305 – 331. 12. Carton X.J., Legras B. The live-circle of tripole in two-dimensional incompressible flows // Ibid. – 1994. – 267. – P. 53 – 82. 13. Barba A., Leonard A. Emergence and evolution of tripole vortices from net-сirculation initial condition // Phys. Fluids. – 2007. – 19. – P. 017101 – 16. 14. Pingree R.D., Le Cann B. Anticyclonic eddy X91 in sourthern Bay of Biscay, May 1991 to February 1992 // J. Geophys. Res. – 1992. – 97, № С9. – P. 14353 – 14367. Институт гидромеханики НАН Украины, Материал поступил Киев в редакцию 27.04.11 E-mail: pavel_lukianov@bigmir.net После доработки 18.10.11 АНОТАЦІЯ Розглянута еволюція компактного вихору з масштабами сто метрів по вертикалі та декілька кілометрів по горизонталі в рамках моделі моря, яка складається з верхнього пере- мішаного шару та нижнього шару із стійкою вертикальною стратифікацією. Розподіл густини по вертикалі задається гладкою функцією: постійне значення плавно переходить в близьку до лінійної експоненціальну залежність. Показано, що планетарне обертання та топографія дна є дві незалежні причини трансформації монополя в триполь. Стійкість триполя залежить, перед- усім, від відносної товщини вихору, а також від стратифікації. Нестійкість виникає спочатку в дрібнішій області за рахунок тертя вихору об дно. Трансформація монополя відбувається без введення додаткових азимутальних збурень поля швидкості. Ключові слова: компактний вихор, прибережний шельф, нестійкість, триполь. ABSTRACT Evolution of a compact vortex with the vertical scale – 100 m and the horizontal one - several kilometers is considered within the framework of the sea model consisting of the upper mixed layer and the lower one with stable vertical stratification. Vertical distribution of density is prescribed by a smooth function: constant value smoothly grades into the exponential dependence close to the linear one. It is shown that planetary rotation and bottom topography constitute two independent me- chanisms of a monopole transformation into a tripole. The tripole stability depends, first of all, on the vortex relative thickness and also on stratification. At first, instability arises in a shallower water area due to the vortex-bottom friction. The monopole transforms into a tripole without introducing addi- tional azimuth disturbances of the velocity field. Keywords: compact vortex, coastal shelf, instability, tripole.

Динамика компактного вихря в зоне прибрежного шельфа

Репозитарії

Схожі ресурси