Влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды

Методом многих масштабов с точностью до величин третьего порядка малости получены асимптотические разложения, определяющие составляющие скорости движения жидкости под плавающим ледяным покровом при распространении периодической поверхностной изгибногравитационной волны конечной амплитуды в условиях...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Букатов, Ант.А., Букатова, О.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Морський гідрофізичний інститут НАН України 2011
Назва видання:	Морской гидрофизический журнал
Теми:	Термогидродинамика океана
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56694
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды / Ант. А. Букатов, О.М. Букатова // Морской гидрофизический журнал. — 2011. — № 4. — С. 28-35. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-56694
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-566942014-02-24T01:16:07Z Влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды Букатов, Ант.А. Букатова, О.М. Термогидродинамика океана Методом многих масштабов с точностью до величин третьего порядка малости получены асимптотические разложения, определяющие составляющие скорости движения жидкости под плавающим ледяным покровом при распространении периодической поверхностной изгибногравитационной волны конечной амплитуды в условиях ледового сжатия. Рассмотрена зависимость распределений составляющих скорости вдоль профиля волны от величины сжимающего усилия и характеристик начальной гармоники. Показано, что с увеличением сжимающего усилия происходит уменьшение амплитудных значений составляющих скорости и отставание фазы колебаний. Методом багатьох масштабів з точністю до величин третього порядку малості отримані асимптотичні розкладання, які визначають складові швидкості руху рідини під плаваючим льодяним покривом при розповсюдженні періодичної поверхневої згинально-гравітаційної хвилі кінцевої амплітуди в умовах льодяного стиснення. Розглянуто залежність розподілів складових швидкості вздовж профілю хвилі від величини стискаючого зусилля та характеристик початкової гармоніки. Показано, що із збільшенням стискаючого зусилля відбувається зменшення амплітудних значень складових швидкості та відставання фази коливань. Using the method of multiple scales, the asymptotic expansions are obtained up to the values of the third order. The expansions condition the components of fluid movement velocity under floating ice cover at propagation of periodic surface flexural-gravity wave of finite amplitude in the condition of ice compression. Dependence of distribution of velocity components along the wave profile upon the compressive force value and the initial harmonic characteristics is considered. It is shown that rise of compressive force is accompanied by decrease of amplitude values of velocity components and lag of oscillations’ phase. 2011 Article Влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды / Ант. А. Букатов, О.М. Букатова // Морской гидрофизический журнал. — 2011. — № 4. — С. 28-35. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0233-7584 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56694 532.59:539.3:534.12 ru Морской гидрофизический журнал Морський гідрофізичний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана
spellingShingle	Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана Букатов, Ант.А. Букатова, О.М. Влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды Морской гидрофизический журнал
description	Методом многих масштабов с точностью до величин третьего порядка малости получены асимптотические разложения, определяющие составляющие скорости движения жидкости под плавающим ледяным покровом при распространении периодической поверхностной изгибногравитационной волны конечной амплитуды в условиях ледового сжатия. Рассмотрена зависимость распределений составляющих скорости вдоль профиля волны от величины сжимающего усилия и характеристик начальной гармоники. Показано, что с увеличением сжимающего усилия происходит уменьшение амплитудных значений составляющих скорости и отставание фазы колебаний.
format	Article
author	Букатов, Ант.А. Букатова, О.М.
author_facet	Букатов, Ант.А. Букатова, О.М.
author_sort	Букатов, Ант.А.
title	Влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды
title_short	Влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды
title_full	Влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды
title_fullStr	Влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды
title_full_unstemmed	Влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды
title_sort	влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды
publisher	Морський гідрофізичний інститут НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Термогидродинамика океана
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56694
citation_txt	Влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды / Ант. А. Букатов, О.М. Букатова // Морской гидрофизический журнал. — 2011. — № 4. — С. 28-35. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Морской гидрофизический журнал
work_keys_str_mv	AT bukatovanta vliânieledovogosžatiânasostavlâûŝieskorostidviženiâžidkostipodledânympokrovomvbeguŝejperiodičeskojizgibnogravitacionnojvolnekonečnojamplitudy AT bukatovaom vliânieledovogosžatiânasostavlâûŝieskorostidviženiâžidkostipodledânympokrovomvbeguŝejperiodičeskojizgibnogravitacionnojvolnekonečnojamplitudy
first_indexed	2025-07-05T07:57:15Z
last_indexed	2025-07-05T07:57:15Z
_version_	1836792923786575872
fulltext	ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 4 28 © Ант.А. Букатов, О.М. Букатова, 2011 УДК 532.59:539.3:534.12 Ант.А. Букатов, О.М. Букатова Влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под ледяным покровом в бегущей периодической изгибно-гравитационной волне конечной амплитуды Методом многих масштабов с точностью до величин третьего порядка малости получены асимптотические разложения, определяющие составляющие скорости движения жидкости под плавающим ледяным покровом при распространении периодической поверхностной изгибно- гравитационной волны конечной амплитуды в условиях ледового сжатия. Рассмотрена зави- симость распределений составляющих скорости вдоль профиля волны от величины сжимаю- щего усилия и характеристик начальной гармоники. Показано, что с увеличением сжимающего усилия происходит уменьшение амплитудных значений составляющих скорости и отставание фазы колебаний. Ключевые слова: волны конечной амплитуды, изгибно-гравитационные волны, движение жидких частиц. Введение. Исследование скорости стоксова дрейфа [1] в направлении распространения волн конечной амплитуды при отсутствии льда выполнено в работах [2 – 6]. Влияние плавающего битого льда на скорость движения жид- кости в бегущей периодической нелинейной волне рассмотрено в статье [7]. В случае сплошного упругого ледяного покрова анализ зависимости распре- деления составляющих скорости движения жидких частиц вдоль профиля нелинейной волны от толщины и модуля упругости льда проведен в [8]. На- стоящая работа посвящена исследованию влияния ледового сжатия на со- ставляющие скорости движения жидкости под плавающим ледяным покро- вом при распространении поверхностной периодической изгибно-гравитаци- онной волны конечной амплитуды. Постановка задачи. Пусть на поверхности однородной идеальной не- сжимаемой жидкости конечной глубины Н плавает сплошной упругий ледя- ной покров. Рассмотрим влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости подо льдом при распространении периодической изгиб- но-гравитационной волны конечной амплитуды. Моделируя ледяной покров тонкой упругой продольно сжатой пластинкой [9, 10] и считая движение жидкости потенциальным, а колебания пластинки неотрывными, в безраз- мерных переменных 1xkx = , 1zkz = , tkgt = получим для определения по- тенциала ),,( tzxϕ уравнение Лапласа 0=∆ϕ , ∞<<∞− x , ζ≤≤− zH (1) с граничными условиями на поверхности лед – вода (z = ζ) ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 4 29 P zxt =               ∂ ∂+      ∂ ∂−− ∂ ∂ 22 2 1 ϕϕζϕ , (2)         ∂ ∂−      ∂ ∂ ∂ ∂+ ∂ ∂+ ∂ ∂= txz k x kQ x kDP ϕϕκζζ 2 2 2 2 14 4 4 1 2 1 и на дне (z = –H) бассейна 0= ∂ ∂ z ϕ . (3) В начальный момент времени (t = 0) )(xf=ζ , 0= ∂ ∂ t ϕ . (4) Здесь g D D ρ =1 , )1(12 2 3 ν− = Eh D , g Q Q ρ =1 , ρ ρκ 1h= , E, h, ρ1, ν – модуль нормальной упругости, толщина, плотность, коэффици- ент Пуассона льда; Q – усилие сжатия; ζ(x, t) – прогиб льда или возвышение поверхности лед – вода; ρ – плотность жидкости; g – ускорение силы тяже- сти, k – волновое число. Потенциал скорости и прогиб льда связаны кинема- тическим условием 0= ∂ ∂+ ∂ ∂ ∂ ∂− ∂ ∂ zxxt ϕϕζζ , z = ζ. (5) В динамическом условии (2) выражение с множителем κ представляет собой инерцию вертикальных смещений льда. Причем первое слагаемое обу- словлено нелинейностью смещений. Выражения для составляющих скорости движения жидкости. Реше- ние задачи (1) – (5), аналогично работе [11], найдем методом многомасштаб- ных асимптотических разложений [12] для случая периодической волны ко- нечной амплитуды, бегущей в отрицательном направлении оси x. В результа- те получим выражение ∑ = = 3 1 sin n n nb θεϕ , определяющее потенциал скорости с точностью до величин третьего порядка малости. Здесь tx σθ += , ( )0 21 σετσ += , [ ]1 430 )cth( 2 1 −+−= Hkll κσ , ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 4 30 ( ) H Hz b sh ch 1 += τ , ( ) HH Hzv b th2ch4 2ch 2 2 2 µ τ += , ( ) H Hzv b 3ch3 3ch 3 3 3 µ τ += , ( )( ) HHkkDkQ thth11 14 1 2 1 2 −++−= κτ , ( ) ( )4 1 2 1 2 2 164122cthth5 kDkQkHHv +−−+−= κτ , ( ) ( )HkHkDkQ th2122th1641 24 1 2 12 κτµ +−+−= , ( )4 1 2 121 2 3 81913 kDkQllv +−−= τ , ( ) ( )HkHkkQ 3th3133th8191 242 13 κτµ +−+−= , 12111 llkl += κ , ( ) 8 5 2cthcth 2 3 2cth6cth3 2 1 22 +−+= HHHHal , ( ) 8 1 cth2cth5cth 2 1 cth 2 1 2cth5211 −−+      −= HHHHHal , HHHHHal cth 8 15 2cthcth 2 1 2cthcth 2 11 212       −+      −= , ( ) 8 3 2cthcth 2 1 2cth2cth 2 1 23 −−+= HHHHal , 42414 llkl −= κ , ( ) 8 3 cth2cthcth 2 1 cth 2 5 2cth241 −−+      −= HHHHHal , HHHHHal cth 4 5 2cthcth 2 1 2cthcth 2 1 242       −−      += , ( ) ( )HHkHHa th42th2cthth3 2 2 2 µκτ −−= . В размерных переменных ( 3kgϕϕ = , ak=ε , a – амплитуда начальной гармоники) имеем θθθϕ 3sin2sinsin 3 3 2 2 1 bkgkabkgabkga ++= , где ( )tkx 0 1 1 σσθ ++= , 0 220 σσ ka= , kgτσ =1 , ( )( ) kHkHkkDkQ thth11 14 1 2 1 2 −++−= κτ , ( ) kH Hzk b sh ch 1 += τ , ( ) kHkH Hzkv b th2ch4 2ch 2 2 2 µ τ += , ( ) kH Hzkv b 3ch3 3ch 2 3 3 µ τ += , ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 4 31 а в выражениях для σ0, v2,3, µ2,3 аргумент гиперболических функций заменяет- ся на kH. Отсюда для горизонтальной       ∂ ∂= x u ϕ и вертикальной       ∂ ∂= z w ϕ составляющих скорости движения жидкости найдем выражения ( )θθθ 3cos32cos2cos 3 22 21 bkaakbbkgau ++= , ( )θθθ 3sin32sin2sin 31 22 2111 bkaakbbkgaw ++= , ( ) kH Hzk b sh sh 11 += τ , ( ) kHkH Hzkv b th2ch4 2sh 2 2 21 µ τ += , ( ) kH Hzkv b 3ch3 3sh 3 3 31 µ τ += . Полученное решение справедливо вне малых окрестностей значений волно- вого числа, являющихся корнями уравнений 02 =µ , 03 =µ . Анализ влияния сжимающего усилия на составляющие скорости движения жидкости. Для количественной оценки влияния ледового сжатия на величины составляющих скорости и их распределения вдоль профиля не- линейной волны проводились численные расчеты при условии 11 2 DQ < , необходимом для устойчивости плавающей ледяной пластинки [9, 10], и зна- чениях 87,0/1 =ρρ , 34,0=ν , 20 ≤< h м. Модуль нормальной упругости льда E принимался равным 3·109 Н/м2. Волновое число при этом выбиралось соответствующим гравитационному (k < k1), обусловленному сжатием (k1 < k < k2) и изгибному (k > k2) участкам дисперсионных кривых начальной гармоники [10], представленных на рис. 1 для H = 50 м, h = 1,5 м. Сплошной, штриховой и штрихпунктирной линиям соответствуют значения 1Q , равные 0; 1D ; 1,95 1D . Кружком и квадратом на оси k отмечены значения k1 и k2. 0 0.02 0.04 0.06 0.08 k, м-1 0 0.5 1 1.5 τ, c-1 Р и с. 1. Дисперсионные кривые начальной линейной гармоники ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 4 32 Анализ результатов численных расчетов показал, что при фиксирован- ных значениях волнового числа k увеличение сжимающего усилия приводит к уменьшению амплитудных значений составляющих скорости и отставанию фазы колебания. Это иллюстрируют представленные на рис. 2, 3, 4 распреде- ления горизонтальной u и вертикальной w составляющих скорости вдоль профиля волны. Зависимости u(x) и w(x) на рис. 2, 3 даны при a = 2 м для t = 1120 с, k = 5⋅10-3 м-1 (рис. 2) и t = 300 c, k = 4,5⋅10-2 м-1 (рис. 3), а на рис. 4 – при a = 1 м, t = 385 с, k = 7⋅10-2 м-1. Значения H и h полагались здесь теми же, что и для рис. 1. Отметим, что заданные значения k для рис. 2, 3, 4 удовле- творяют неравенствам k < k1, k1 < k < k2, k > k2 соответственно. Обозначения кривых на рис. 2, 3, 4 соответствуют обозначениям на рис. 1. -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 u, м/c 0 500 1000 1500 2000 2500 x, м -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 w, м/c Р и с. 2. Зависимость составляющих скорости от величины сжимающего усилия при H = 50 м, h = 1,5 м, a = 2 м, k = 5⋅10-3 м-1 Приведенные на рис. 2, 3, 4 распределения составляющих скорости вдоль профиля волны свидетельствуют о том, что в условиях сжатия )0( 1 ≠Q , так- же как и при отсутствии сжимающего усилия [8], в точках максимальных (вершина) и минимальных (подошва) значений скорости на профиле u(x) вер- тикальная составляющая равна нулю. Однако точкам максимума и минимума на профиле w(x) соответствуют ненулевые величины горизонтальной состав- ляющей скорости. ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 4 33 -2 -1 0 1 2 u, м/c 0 100 200 300 x, м -2 -1 0 1 2 w, м/c Р и с. 3. Зависимость составляющих скорости от величины сжимающего усилия при H = 50 м, h = 1,5 м, a = 2 м, k = 4,5⋅10-2 м-1 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 u, м/c 0 60 120 180 x, м -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 w, м/c Р и с. 4. Зависимость составляющих скорости от величины сжимающегося усилия при H = 50 м, h = 1,5 м, a = 1 м, k = 7⋅10-2 м-1 ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 4 34 Количественную зависимость изменений максимальных значений со- ставляющих скорости в вершинах ),( 11 WU и впадинах ),( 22 WU их профилей от длины волны λ показывают данные, приведенные в таблице при a = 2 м для тех же значений E, H, h, что и на рис. 1. Здесь же даны и соответствую- щие значения фазовой скорости )( фазV и периода волны )2( σπ . Влияние ледового сжатия на характеристики нелинейной волны k, м-1 λ, м Q1, H/м2 Vфаз, м/c σπ2 , с U1, м/с U2, м/с W1, м/с W2, м/с 0 22,21 56,56 1,44 -0,62 0,41 -0,41 D 22,03 57,01 1,25 -0,67 0,32 -0,32 1,95 D 21,90 57,35 1,15 -0,70 0,28 -0,28 0,005 1256,00 0 19,31 16,26 1,06 -1,00 0,76 -0,76 D 18,06 17,38 0,94 -0,95 0,72 -0,72 1,95 D 16,81 18,68 0,87 -0,90 0,67 -0,67 0,02 314,00 0 16,71 9,40 1,28 -1,52 1,35 -1,35 D 12,95 12,13 0,99 -1,18 1,05 -1,05 1,95 D 7,85 20,00 0,60 -0,72 0,64 -0,64 0,04 157,00 0 16,73 8,34 1,41 -1,71 1,53 -1,53 D 12,39 11,26 1,04 -1,26 1,13 -1,13 1,95 D 5,78 24,13 0,49 -0,59 0,53 -0,53 0,045 139,56 0 16,81 7,95 1,47 -1,79 1,60 -1,60 D 12,27 10,89 1,07 -1,30 1,17 -1,17 0,047 133,62 1,95 D 5,01 26,65 0,44 -0,53 0,48 -0,48 Заключение. Рассмотрено влияние ледового сжатия на составляющие скорости движения жидкости под плавающим ледяным покровом при рас- пространении поверхностной волны конечной амплитуды. Исследование вы- полнено методом многомасштабных асимптотических разложений. Получе- ны аналитические выражения, определяющие горизонтальную и вертикаль- ную составляющие скорости движения жидкости с точностью до величин третьего порядка малости. Проведен количественный анализ влияния сжи- мающего усилия на распределения составляющих скорости вдоль профиля волны при волновых числах, соответствующих гравитационному, обуслов- ленному сжатием и изгибному участкам дисперсионной кривой начальной линейной гармоники. Показано, что увеличение сжимающего усилия приво- дит к уменьшению амплитудных значений составляющих скорости и отста- ванию фазы колебаний. ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2011, № 4 35 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Stokes G.G. On the theory of oscillatory waves // Math. Phys. Pap. Cambr. Univ. Press. – 1847. – 1. – P. 197 – 229. 2. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. – М. – Л.: ОНТИ, 1936. – 304 с. 3. Нестеров С.В. Возбуждение волн конечной амплитуды бегущей системой давления // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. – 1968. – 4, № 10. – С. 1123 – 1125. 4. Ньюмен Дж. Морская гидродинамика. – Л.: Судостроение, 1985. – 386 с. 5. Longuet-Higgins M.S. Lagrangian moments and mass transport in Stokes waves. Part 2. Wa- ter of finite depth // J. Fluid Mech. – 1988. – 186. – P. 321 – 336. 6. Алешков Ю.З. Течения и волны в океане. – СПб.: Изд-во С.-Петербургского универси- тета, 1996. – 228 с. 7. Bukatov A.E., Bukatov A.A. Propagation of surface waves of finite amplitude in a basin with floating broken ice // Int. J. Offshore and Polar Eng. – 1999. – 9, № 3. – P. 161 – 166. 8. Букатов Ант.А., Букатов Анд.А. Скорости движения жидких частиц под плавающим ледяным покровом при распространении периодической волны конечной амплитуды // Морской гидрофизический журнал. – 2011. – № 1. – С. 15 – 24. 9. Хейсин Д.Е. Динамика ледяного покрова. – Л.: Гидрометеоиздат, 1967. – 215 с. 10. Букатов А.Е. Влияние продольного сжатия на неустановившиеся колебания упругой пластинки, плавающей на поверхности жидкости // Прикладная механика. – 1981. – 17, № 1. – С. 93 – 98. 11. Букатов А.Е., Букатов А.А. Волны конечной амплитуды в однородной жидкости с пла- вающей упругой пластиной // Прикладная механика и техническая физика. – 2009. – 50, № 5. – С. 67 – 74. 12. Найфе А.Х. Методы возмущений. – М.: Мир, 1976. – 455 с. Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил Севастополь в редакцию 22.02.10 АНОТАЦІЯ Методом багатьох масштабів з точністю до величин третього порядку малості отримані асимптотичні розкладання, які визначають складові швидкості руху рідини під пла- ваючим льодяним покривом при розповсюдженні періодичної поверхневої згинально-гравіта- ційної хвилі кінцевої амплітуди в умовах льодяного стиснення. Розглянуто залежність роз- поділів складових швидкості вздовж профілю хвилі від величини стискаючого зусилля та ха- рактеристик початкової гармоніки. Показано, що із збільшенням стискаючого зусилля відбу- вається зменшення амплітудних значень складових швидкості та відставання фази коливань. Ключові слова: хвилі кінцевої амплітуди, згинально-гравітаційні хвилі, рух рідких части- нок. ABSTRACT Using the method of multiple scales, the asymptotic expansions are obtained up to the values of the third order. The expansions condition the components of fluid movement velocity under floating ice cover at propagation of periodic surface flexural-gravity wave of finite amplitude in the condition of ice compression. Dependence of distribution of velocity components along the wave profile upon the compressive force value and the initial harmonic characteristics is considered. It is shown that rise of compressive force is accompanied by decrease of amplitude values of velocity components and lag of oscillations’ phase. Keywords: finite amplitude waves, flexural-and-gravity waves, movement of fluid particles.

Репозитарії

Схожі ресурси