Бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации
Решается плоская задача о линейных бароклинных сейшах в замкнутых вращающихся бассейнах переменной глубины. Плотностная стратификация предполагается двухслойной. В приближении длинных волн получена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и предложена численная процедура на...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Морський гідрофізичний інститут НАН України
2010
|
| Назва видання: | Морской гидрофизический журнал |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56744 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации / С.Ф. Доценко, Н.А. Миклашевская // Морской гидрофизический журнал. — 2010. — № 3. — С. 3-14. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-56744 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-567442014-02-24T03:15:57Z Бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации Доценко, С.Ф. Миклашевская, Н.А. Термогидродинамика океана Решается плоская задача о линейных бароклинных сейшах в замкнутых вращающихся бассейнах переменной глубины. Плотностная стратификация предполагается двухслойной. В приближении длинных волн получена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и предложена численная процедура нахождения внутренних сейш. Для бассейна постоянной глубины найдены аналитические решения задачи. Численный анализ сейш выполнен для распределений глубины, соответствующих зональному и меридиональному сечениям Черного моря, а также для модельных бассейнов с шельфовой зоной или подводным хребтом. Установлено усиление бароклинных сейш на мелководье и образование обусловленных вращением Земли интенсивных вдольбереговых течений в шельфовых зонах и над вершинами подводных хребтов. Розв'язується плоска задача про лінійні бароклинні сейші в замкнутих обертових басейнах змінної глибини. Густинна стратифікація припускається двошаровою. У наближенні довгих хвиль отримана крайова задача для системи звичайних диференціальних рівнянь і запропонована чисельна процедура знаходження внутрішніх сейшів. Для басейну постійної глибини знайдені аналітичні рішення задачі. Чисельний аналіз сейшів виконаний для розподілів глибини, які відповідають зональному і меридіональному перетинам Чорного моря, а також для модельних басейнів із шельфовою зоною або підводним хребтом. Установлено посилення бароклинних сейшів на мілководді і утворення обумовлених обертанням Землі інтенсивних течій уздовж берега в шельфових зонах і над вершинами підводних хребтів. Plane problem on linear baroclinic seiches in closed rotating basins of variable depth is solved. Density stratification is assumed to be two-layered. The boundary problem for the system of ordinary differential equations is derived in the long-wave approximation. Numerical procedure for calculating internal seiches is proposed. Analytical solutions for a basin of constant depth are found. Numerical analysis of seiches is done for depth distributions corresponding to zonal and meridian sections of the Black Sea and for the model basins including shelf zones or underwater ridge. Intensification of baroclinic seiches in shallow-water regions and formation (due to Earth rotation) of strong along-coastal currents both in the shelf zones and above the tops of underwater ridges are revealed. 2010 Article Бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации / С.Ф. Доценко, Н.А. Миклашевская // Морской гидрофизический журнал. — 2010. — № 3. — С. 3-14. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0233-7584 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56744 551.466 ru Морской гидрофизический журнал Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана |
| spellingShingle |
Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана Доценко, С.Ф. Миклашевская, Н.А. Бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации Морской гидрофизический журнал |
| description |
Решается плоская задача о линейных бароклинных сейшах в замкнутых вращающихся бассейнах переменной глубины. Плотностная стратификация предполагается двухслойной. В приближении длинных волн получена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и предложена численная процедура нахождения внутренних сейш. Для бассейна постоянной глубины найдены аналитические решения задачи. Численный анализ сейш выполнен для распределений глубины, соответствующих зональному и меридиональному сечениям Черного моря, а также для модельных бассейнов с шельфовой зоной или подводным хребтом. Установлено усиление бароклинных сейш на мелководье и образование обусловленных вращением Земли интенсивных вдольбереговых течений в шельфовых зонах и над вершинами подводных хребтов. |
| format |
Article |
| author |
Доценко, С.Ф. Миклашевская, Н.А. |
| author_facet |
Доценко, С.Ф. Миклашевская, Н.А. |
| author_sort |
Доценко, С.Ф. |
| title |
Бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации |
| title_short |
Бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации |
| title_full |
Бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации |
| title_fullStr |
Бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации |
| title_full_unstemmed |
Бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации |
| title_sort |
бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации |
| publisher |
Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Термогидродинамика океана |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56744 |
| citation_txt |
Бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации / С.Ф. Доценко, Н.А. Миклашевская // Морской гидрофизический журнал. — 2010. — № 3. — С. 3-14. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Морской гидрофизический журнал |
| work_keys_str_mv |
AT docenkosf baroklinnyesejšivovraŝaûŝihsâbassejnahperemennojglubinyvslučaedvuhslojnojplotnostnojstratifikacii AT miklaševskaâna baroklinnyesejšivovraŝaûŝihsâbassejnahperemennojglubinyvslučaedvuhslojnojplotnostnojstratifikacii |
| first_indexed |
2025-07-05T08:03:09Z |
| last_indexed |
2025-07-05T08:03:09Z |
| _version_ |
1836793295210020864 |
| fulltext |
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3
3
Термогидродинамика океана
УДК 551.466
С.Ф. Доценко, Н.А. Миклашевская
Бароклинные сейши
во вращающихся бассейнах переменной глубины
в случае двухслойной плотностной стратификации
Решается плоская задача о линейных бароклинных сейшах в замкнутых вращающихся бас-
сейнах переменной глубины. Плотностная стратификация предполагается двухслойной. В
приближении длинных волн получена краевая задача для системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений и предложена численная процедура нахождения внутренних сейш. Для
бассейна постоянной глубины найдены аналитические решения задачи. Численный анализ
сейш выполнен для распределений глубины, соответствующих зональному и меридионально-
му сечениям Черного моря, а также для модельных бассейнов с шельфовой зоной или подвод-
ным хребтом. Установлено усиление бароклинных сейш на мелководье и образование обу-
словленных вращением Земли интенсивных вдольбереговых течений в шельфовых зонах и над
вершинами подводных хребтов.
Введение. Сейши – свободные стоячие волны в замкнутых или полу-
замкнутых бассейнах [1 – 4]. Они могут вызываться изменениями со време-
нем барического поля [5], воздействием нестационарных напряжений ветра
на поверхность воды или его прекращением [6], резкими подъемами и опус-
каниями участков свободной поверхности жидкости за счет притока или от-
тока вод, выпадения осадков или сейсмических движений земной коры в зоне
бассейна [7], отражения внутренних приливов от верхней границы материко-
вого склона [8].
Сейши дают заметный вклад в пространственную и временную изменчи-
вость гидродинамических полей в озерах, бухтах и заливах, влияют на пере-
нос и перемешивание в водной среде, на перераспределение химических и
биологических веществ [6]. Значительное влияние на характер протекания
этих процессов оказывает плотностная стратификация.
Пространственная структура и параметры стоячих внутренних волн в
замкнутых водоемах (бароклинных сейш) зависят от геометрии бассейна и
плотностной (температурной и/или халинной) стратификации. Хотя первое
теоретико-экспериментальное исследование структуры бароклинных сейш и
связанных с ними течений в озерах было выполнено почти сто лет назад [9],
внутренние сейши изучены значительно менее глубоко и всесторонне, чем
баротропные. Во многих теоретических работах анализ бароклинных сейш
проводился в рамках двухслойных и трехслойных моделей морской среды
[10, 11]. Обзор современного состояния проблемы бароклинных сейш дан в
работе [12].
Математические модели, ориентированные на анализ внутренних сейш и
механизмов их генерации во вращающихся бассейнах переменной глубины,
С.Ф. Доценко, Н.А. Миклашевская, 2010
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3
4
требуют дальнейшего развития, как и изучение фундаментальных законо-
мерностей бароклинных сейш. Ниже решается плоская задача о бароклинных
сейшах в случае двухслойной плотностной стратификации жидкости. Чис-
ленный анализ генерации поверхностных и внутренних волн в таких бассей-
нах движущимися барическими фронтами содержится в работе [13].
Математическая постановка задачи. Рассматривается плоская задача о
свободных колебаниях двухслойной жидкости во вращающемся бассейне пе-
ременной глубины. В вертикальной плоскости Oxz бассейн занимает область
0 ≤ x ≤ l, –H(x) < z < 0 (рис. 1), где x – горизонтальная координата; z – верти-
кальная координата, отсчитываемая вверх от невозмущенного положения
свободной поверхности жидкости z = 0; H = H(x) > 0 – глубина бассейна в
невозмущенном состоянии. Обозначим через h1 постоянную толщину верхне-
го слоя плотности ρ1 в невозмущенном состоянии, через h2 (x) = H(х) – h1 –
переменную толщину нижнего слоя плотности ρ2 > ρ1.
Р и с. 1. Схема бассейна
В рамках линейной теории длинных волн с учетом вращения Земли дви-
жение жидкости описывается следующей системой уравнений [14]:
x
gfv
t
u
∂
∂−=−
∂
∂ 1
1
1 ζ
, 01
1 =+
∂
∂
fu
t
v
, (1)
( ) 01
121 =
∂
∂+−
∂
∂
x
u
h
t
ζζ ; (2)
x
g
x
gfv
t
u
∂
∂−
∂
∂−=−
∂
∂ 21
2
2 ζεζγ , 02
2 =+
∂
∂
fu
t
v
, (3)
0
)( 222 =
∂
∂+
∂
∂
x
uh
t
ζ
. (4)
Здесь uj(x, t), vj(x, t) (j = 1, 2) – проекции на оси x и y соответственно ос-
редненной по глубине горизонтальной скорости течения в верхнем (j = 1) и
нижнем (j = 2) слоях; ζ1(x,t), ζ2(x,t) – смещения свободной поверхности жид-
кости и границы раздела слоев от горизонтальных положений соответствен-
но; γ = ρ1/ρ2 < 1 и ε = 1 – γ > 0 – безразмерные параметры, характеризующие
вертикальную плотностную стратификацию жидкости; f > 0 – постоянный
параметр Кориолиса.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3
5
На боковых границах бассейна x = 0 и x = l, являющихся вертикальными
твердыми стенками, задаются условия непротекания жидкости
u1,2(0, t) = 0, u1,2(l, t) = 0. (5)
Рассмотрим гармонические по времени колебания двухслойной среды в
форме
,sin)( ,sin)( ,cos)(
,sin)( ,sin)( ,cos)(
222222
111111
txctxbvtxau
txctxbvtxau
σζσσ
σζσσ
===
===
(6)
где 0>σ – подлежащая определению частота свободных колебаний жидко-
сти в бассейне (частота сейш). Введем величины U1(x) = a1(x)h1 и
U2(x) = a2(x)h2(x), представляющие собой полные горизонтальные потоки
жидкости в верхнем и нижнем слоях (без гармонического по времени множи-
теля). Подстановка (6) в (1) – (5) приводит к краевой задаче для двух обыкно-
венных дифференциальных уравнений второго порядка по x для нахождения
частот σ и соответствующих им горизонтальных распределений полных по-
токов U1,2(x):
,0
2
2
1
1
2
1
2
=
−+
h
U
h
U
dx
Ud α 0
2
2
1
1
2
2
2
=
−−
h
U
h
U
dx
Ud γα , (7)
0)()( ,0)0()0( 2121 ==== lUlUUU , (8)
где
g
f
ε
σα
22 −= . Если собственные частоты σ и полные потоки в слоях
U1,2(x) найдены из задачи (7), (8), то амплитудные функции aj, bj и cj (j = 1, 2)
гидродинамических полей (6) можно рассчитать по формулам
1
1
1
)(
h
xU
a = , )(
1
1
1 xU
h
f
b
σ
−= ,
+−=
dx
dU
dx
dU
c 21
1
1
σ
, (9)
)(
)(
2
2
2 xh
xU
a = , )(
)( 2
2
2 xU
xh
f
b
σ
−= ,
dx
dU
c 2
2
1
σ
−= . (10)
Ниже полученные уравнения и соотношения применены для исследова-
ния бароклинных сейш в бассейнах трех типов: бассейне постоянной глуби-
ны; бассейнах, глубина которых задана таблично (зональное и меридиональ-
ное сечения Черноморской котловины); бассейнах с модельными изменения-
ми глубины, описывающими шельфовую зону моря и подводный хребет. В
первом случае задача решается аналитически, во втором и третьем для ее ре-
шения необходимо применение численных методов.
Сейши в бассейнах постоянной глубины. В случае, когда толщины
слоев h1 и h2 постоянны, баротропные и бароклинные сейши удается найти
аналитически. Решение системы уравнений (7) ищем в виде
U1 = Aeλx, U2 = Beλx. (11)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3
6
Подставляя (11) в (7) и приравнивая определитель полученной системы
для нахождения A и B к нулю, получим биквадратное относительно λ харак-
теристическое уравнение
0
21
2
21
2 =++
hhhh
H εαχαχ (χ = λ2).
Его решения 12,1 µλ i±= , 24,3 µλ i±= , где
11 χµ = , 22 χµ = ,
−−+−= 21
2
21
4)1(
2
hhHH
hh
s
s εαχ (s = 1, 2).
Общее решение системы уравнений (7) имеет вид
x
B
A
x
B
A
x
B
A
x
B
A
U
U
2
4
4
1
3
3
2
2
2
1
1
1
2
1 coscossinsin µµµµ
+
+
+
=
. (12)
Подставив (12) в (7), найдем выражения для коэффициентов Bk через Ak
(k = 1, … , 4). Удовлетворяя граничным условиям U1(0) = U2(0) = 0 в (8), по-
лучим A3 = B3 = A4 = B4 = 0. Из граничных условий U1(l) = U2(l) = 0 в (8) вы-
текает, что для существования ненулевых значений A1 и A2 необходимо вы-
полнение одного из условий: 0sin 1 =lµ или 0sin 2 =lµ . Эти уравнения по-
зволяют найти две бесконечные последовательности частот собственных ко-
лебаний двухслойной жидкости в бассейне постоянной глубины:
2
21
22
22
21)1(
)4(
2
f
hhHHl
nhgh
n +
−−
=
ε
πεσ (n = 1, 2, …), (13)
2
21
22
22
21)2(
)4(
2
f
hhHHl
mhgh
m +
−+
=
ε
πεσ (m = 1, 2, …). (14)
При малых значениях относительного перепада плотности ε между слоя-
ми, который в реальных условиях имеет значения порядка 10–3, выражения
для частот колебаний (13) и (14) можно приближенно записать в форме
2
2
22
)1( f
l
gHn
n +≈ πσ , 2
2
21
22
)2( f
Hl
hghm
m +≈ επσ .
Поэтому частоты (13), как слабо зависящие от параметров плотностной
стратификации, соответствуют баротропным сейшам. Частоты стоячих коле-
баний (14) существенно зависят от относительного перепада плотности меж-
ду слоями и поэтому соответствуют бароклинным сейшам. Заметим, что час-
тоты баротропных и бароклинных сейш являются суперинерционными (σ > f).
Из (12) с учетом полученных выше соотношений находим выражения для
полных потоков в баротропных и бароклинных сейшах:
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3
7
=
+ l
x
nA
U
U π
ξ
sin
1
1
1)1(
2
)1(
1 ,
=
− l
x
mA
U
U π
ξ
sin
1
1
2)2(
2
)2(
1 ,
где A1,2 – произвольные константы,
2
21
2
12
1 2
4
h
hhHhh ε
ξ
−±−
=± . (15)
По известным полным горизонтальным потокам в слоях определяются
проекции горизонтальной скорости течения, а также смещения свободной
поверхности и границы раздела слоев:
для баротропных сейш
t
l
x
n
h
A
u
u
n
)1(
11
1
)1(
2
)1(
1 cossin
1
σπ
ξ
=
+ ,
t
l
x
n
h
fA
v
v
n
n
)1(
11
)1(
1
)1(
2
)1(
1 sinsin
1
σπ
ξσ
−=
+ ,
t
l
x
n
l
An
n
n
)1(
3
2
)1(
1
)1(
2
)1(
1 sincos σπ
ξ
ξ
σ
π
ζ
ζ
−=
+
+
,
1
21
2
12
3
1
21
2
2 2
4
,
2
4
h
hhHhh
h
hhHH ε
ξ
ε
ξ
−±−
=
−±
= ±± ; (16)
для бароклинных сейш
t
l
x
m
h
A
u
u
m
)2(
11
2
)2(
2
)2(
1 cossin
1
σπ
ξ
=
− , t
l
x
m
h
fA
v
v
m
m
)2(
11
)2(
2
)2(
2
)2(
1 sinsin
1
σπ
ξσ
−=
− ,
t
l
x
m
l
Am
m
m
)2(
3
2
)2(
1
)2(
2
)2(
1 sincos σπ
ξ
ξ
σ
π
ζ
ζ
−=
−
−
.
Поскольку в реальных условиях параметр ε мал, амплитудные множите-
ли (15) и (16) можно приближенно записать в виде
11 ≈+ξ ,
2
1
1 h
h−≈−ξ ,
1
2 h
H≈+ξ ,
H
h2
2
εξ ≈− ,
1
2
3 h
h≈+ξ , 13 −≈−ξ .
Таким образом, в баротропных сейшах горизонтальные потоки жидкости
в слоях имеют одинаковое направление, а скорости течений в них приблизи-
тельно равны. Во внутренних сейшах потоки жидкости в слоях направлены в
противоположные стороны. Скорость течения в нижнем слое меньше (боль-
ше) скорости течения в верхнем слое, если h1 < h2 (h1 > h2). Во всех случаях
суммарный поток жидкости от поверхности до дна бассейна близок к нулю.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3
8
Для баротропных сейш смещения свободной поверхности и поверхности
раздела слоев происходят синфазно, при этом амплитуда колебаний свобод-
ной поверхности больше амплитуды колебаний поверхности раздела в H/h2
раз. В бароклинных сейшах доминируют колебания границы раздела слоев, а
колебания свободной поверхности (проявления внутренней сейши на свобод-
ной поверхности) практически отсутствуют. Эти свойства баротропных и ба-
роклинных сейш в двухслойной жидкости описаны в книге [14].
Частоты баротропных и бароклинных колебаний жидкости, определяе-
мые по формулам (13) и (14), возрастают при увеличении порядковых номе-
ров сейш и убывают с ростом ширины бассейна. Зависимость частоты барок-
линной сейши от толщин слоев h1 и h2 при постоянной полной глубине бас-
сейна является симметричной функцией, т.е. замена пары глубин слоев
(h1, h2) на (h2, h1) не влияет на значения частот бароклинных колебаний жид-
кости. Наконец, чем меньше скачок плотности на границе раздела слоев,
тем более медленные колебания совершает граница раздела слоев во внут-
ренних сейшах.
Алгоритм расчета бароклинных сейш в бассейнах переменной глу-
бины. Изложим численную процедуру расчета одномерных сейш в двух-
слойной жидкости, заполняющей бассейн переменной глубины. Будем пред-
полагать, что боковые границы бассейна x = 0 и x = l являются вертикальны-
ми и общими для свободной поверхности жидкости и границы раздела слоев,
как это схематически показано на рис. 1. Численный алгоритм опирается на
общие свойства решений систем линейных обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений [15].
Заменим краевую задачу (7), (8) следующей:
−=
−−===
2
2
1
14
2
2
1
13
4
2
3
1 , , ,
h
U
h
U
dx
dU
h
U
h
U
dx
dU
U
dx
dU
U
dx
dU γαα , (17)
0)0()0( 21 ==UU , (18)
0)()( 21 == lUlU . (19)
Обозначим через u1(x), u2(x), u3(x), u4(x) фундаментальную систему
решений системы уравнений (17), u = [U1(x), U2(x), U3(x), U4(x)]T. При этом
u j (0) = e j, где e j – единичный четырехмерный вектор, у которого j-й элемент
равен 1, а остальные равны 0. Общее решение системы (17) записывается в
виде линейной суперпозиции фундаментальной системы решений:
u = С1u
1(x) + С2u
2(x) + С3u
3(x) + С4u
4(x).
Из краевых условий (18) следует, что в момент времени t = 0
u(0) = C1e
1 + C2e
2 + C3e
3 + C4e
4 = [C1, C2, C3, C4]
T = [0, 0, ∗, ∗]T,
где символ * означает выражение, вид которого не является существен-
ным. Поэтому С1 = С2 = 0, и любое решение системы уравнений (17), удовле-
творяющее условиям (18), записывается в виде u = C3u
3(x) + C4u
4(x).
Для удовлетворения второй пары краевых условий (19) необходимо выпол-
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3
9
нение равенства u(l) = C3u
3(l) + C4u
4(l) = [0, 0, ∗, ∗]T, что приводит к системе
двух уравнений
0)()( ,0)()( 4
24
3
23
4
14
3
13 =+=+ lUClUClUClUC .
Для существования ее нетривиального решения (C3, С4) ≠ 0 необходимо и
достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.
0)()()()()( 3
2
4
1
4
2
3
1 =−=∆ lUlUlUlUσ . (20)
Таким образом, для нахождения частот σ свободных колебаний двух-
слойной жидкости необходимо найти корни уравнения ∆(σ) = 0. Для этого
можно применить к системе уравнений (17) метод пристрелки по частоте вол-
ны. Он предполагает нахождение для каждого значения частоты σ > 0 двух
линейно независимых решений системы уравнений (17), удовлетворяющих
начальным условиям u(0) = e3 и u(0) = e4. Этих решений достаточно для вы-
числения левой части уравнения (20). Изменение частоты σ, например
ее увеличение с определенным шагом, позволяет последовательно нахо-
дить собственные частоты бароклинных колебаний двухслойной жидкости.
В данной работе для решения системы уравнений (17) применен метод Рун-
ге – Кутта.
Результаты численного анализа бароклинных сейш для бассейнов
различной геометрии. Изложенный выше метод нахождения частот сейш и
соответствующих им гидродинамических полей применен для расчета барок-
линных сейш в бассейнах с различным рельефом дна. Рассчитывались часто-
ты сейш и соответствующие им распределения по x амплитудных множите-
лей (10) для смещений границы раздела слоев ζ2 и двух проекций горизон-
тальной скорости волнового течения в верхнем (u1, v1) и нижнем (u2, v2) сло-
ях. Плотности жидкости в слоях ρ1 = 1012 кг⋅м–3 и ρ2 = 1017 кг⋅м–3, а поэтому
ε ≈ 4,9·10–3.
На рис. 2 представлены найденные численно горизонтальные распреде-
ления гидродинамических полей в трех бароклинных сейшах в случае изме-
нения глубины бассейна, соответствующего зональному сечению Черномор-
ской котловины (42,66° с. ш.). На рис. 3 приведены аналогичные поля для
случая изменения глубины бассейна вдоль меридионального разреза Черного
моря (31° в. д.). Поля в баротропных сейшах для последнего случая приведе-
ны в работе [16].
Отметим прежде всего, что по результатам расчетов для бассейнов с
масштабами Черного моря периоды колебаний пяти низших бароклинных
сейш близки к инерционному периоду Tin = 17,71 ч. Они достаточно хорошо
оцениваются по формулам (14), если принять H = 2000 м, h1 = 20 – 45 м и за-
дать реальную ширину бассейна. С ростом номера сейши наблюдается уве-
личение отклонения периода бароклинной сейши от инерционного периода.
Тем не менее это отклонение не превышает 6 % для 5-узловой сейши в бас-
сейне с распределением глубины, показанным на рис. 3, а. Для бассейна на
рис. 2, а отклонение периодов сейш от инерционного периода еще меньше. Пе-
риоды баротропных сейш существенно убывают с ростом номера сейши [16].
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3
10
Р и с. 2. Распределение глубины бассейна I (а) и гидродинамические поля для бароклинных
мод с номерами 1, 2 и 5: вертикальные смещения ζ2 границы раздела слоев (б), а также гори-
зонтальные скорости в верхнем u1 (в), v1 (д) и нижнем u2 (г), v2 (е) слоях (толщина верхнего
слоя h1 = 40 м, глубина бассейна у вертикальных боковых стенок 75 м)
Р и с. 3. То же, что и на рис. 1, для распределения глубины II (глубина бассейна у вертикаль-
ных боковых стенок 50 м)
-1
0
1
-0.8
-0.4
0
0.4
-2000
-1000
0
-0.05
0
0.05
0 450 900
-0.4
0
0.4
0.8
0 450 900
-0.05
0
0.05
a
1 2
5
1
1
1
1
2
2
2 2
5
5
5
5
б
в г
д е
z, м
ζ2, м
u2, м·c–1u1, м·c–1
v1, м·c–1
v2, м·c–1
x, км x, км
-1
0
1
-2000
-1000
0
-0.4
-0.2
0
0.2
-0.08
0
0.08
0.16
0 450
-0.2
0
0.2
0.4
0 450
-0.16
-0.08
0
0.08
a
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
5
5
5
5
5
x, км x, км
б
в г
z, м
ζ2, м
u1, м·c–1
u2, м·c–1
v1, м·c–1 v2, м·c–1
д е
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3
11
Сравнение рис. 2 и 3 показывает, что в обоих бассейнах горизонтальные
структуры вертикальных смещений скачка плотности ζ2 и проекций скорости
течения в верхнем слое (u1, v1) качественно одинаковы. Это говорит о слабом
влиянии рельефа дна на бароклинные моды, если толщина верхнего слоя и
перепад плотности между слоями поддерживаются постоянными. Однако,
как следует из рис. 2, г, е и 3, г, е, распределения обеих проекций скорости
вдоль x в нижнем слое (u2, v2) для этих бассейнов качественно отличаются по
своей структуре. Важная закономерность поля скорости под скачком плотно-
сти – существенное увеличение скорости в мелководных районах бассейнов,
где толщина нижнего слоя наименьшая. Очевидно, что образование вдольбе-
регового течения (рис. 2, е и 3, е) – эффект исключительно вращения Земли.
Из формул (9) и (10) вытекают равенства
)(
)(
)(
)(
2
2
1
1
σ
f
xa
xb
xa
xb −== .
Поскольку периоды низших бароклинных мод близки к инерционно-
му периоду (σ ≈ f), получаем )()( 11 xaxb −≈ , )()( 22 xaxb −≈ , что объясняет
практическое совпадение (с точностью до знака) горизонтальных распреде-
лений проекций скорости течения в слоях (рис. 2, в и 2, д; 2, г и 2, е; 3, в и
3, д; 3, г и 3, е).
Р и с. 4. То же, что и на рис. 1, для модельного распределения глубины (на рис. а – шельф у
левой боковой границы бассейна; толщина верхнего слоя h1= 50 м; глубины у вертикальных
боковых стенок 100 и 2000 м)
-1.2
0
1.2
-0.6
-0.3
0
0.3
-2000
-1000
0
-0.04
0
0.04
0 450 900
-0.3
0
0.3
0.6
0 450 900
-0.04
0
0.04
z, м ζ2, м
u2, м·c–1
v2, м·c–1
x, км x, км
u1, м·c–1
v1, м·c–1
a б
в г
д е
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
5
5
5
5
5
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3
12
Р и с. 5. То же, что и на рис. 1, для модельного распределения глубины (на рис. а – подводный
хребет; толщина верхнего слоя h1= 50 м; глубина у вертикальных боковых стенок 2000 м)
Р и с. 6. То же, что и на рис. 1, для модельного распределения глубины (на рис. а – шельф у
правой боковой границы бассейна; толщина верхнего слоя h1= 50 м; глубины у вертикальных
боковых стенок 2000 и 100 м)
-1.2
0
1.2
-0.8
-0.4
0
0.4
-2000
-1000
0
-0.1
0.6
0 450 900
-0.4
0
0.4
0.8
0 450 900
-0.6
0.1
z, м ζ2, м
u2, м·c–1
v2, м·c–1
u1, м·c–1
v1, м·c–1
a б
в г
д е
x, км x, км
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
5
5
5
5
5
-1.2
0
1.2
-0.6
-0.3
0
0.3
-2000
-1000
0
-0.01
0.04
0 450 900
-0.3
0
0.3
0.6
0 450 900
-0.04
0.01
z, м ζ2, м
u1, м·c–1 u2, м·c–1
v1, м·c–1 v2, м·c–1
x, км x, км
a б
в г
д е
1
1
1
1
1
22
2
2
2
5
5
5
5
5
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3
13
Бароклинные сейши вносят существенный вклад в динамику вод и
транспорт донных осадков в мелководных зонах озер, заливов и бухт. Чтобы
проанализировать усиление бароклинных сейш на шельфе и в районах мор-
ских гор, был рассмотрен модельный бассейн, мелководная зона в котором
располагается у одной из боковых границ бассейна или над подводным хреб-
том в центральной части бассейна. Результаты расчетов бароклинных сейш
для этих случаев представлены на рис. 4, 5 и 6.
Сравнение структуры гидродинамических полей подтверждает вывод о
качественно одинаковой пространственной структуре смещений скачка плот-
ности ζ2 и скорости течения в верхнем слое (u1, v1) для всех трех рельефов
дна бассейна. Как и на рис. 2 и 3, распределения проекций скорости по x в
нижнем слое (u2, v2) для этих бассейнов зависят от рельефа дна, а поэтому
существенно отличаются. Скорости течения заметно усиливаются в мелко-
водных зонах, где толщина нижнего слоя наименьшая. В случае подводного
хребта вдольбереговая проекция скорости (рис. 5, г, е) локализуется в окрест-
ности вершины донного поднятия, образуя струйное знакопеременное течение.
Заключение. В рамках плоской модели длинных волн в двухслойной
жидкости выполнен анализ линейных бароклинных сейш в ограниченных
вращающихся бассейнах переменной глубины. Задача сведена к реше-
нию краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. Предложена численная процедура расчета частот и гидродинамических
полей во внутренних сейшах, опирающаяся на метод пристрелки по частоте
колебаний.
Аналитическое решение задачи о бароклинных сейшах получено для ог-
раниченного бассейна постоянной глубины. Численный анализ внутренних
сейш выполнен для замкнутых бассейнов с распределениями глубин, соот-
ветствующими зональному и меридиональному сечениям Черного моря. Рас-
четы также проведены для бассейнов, включающих шельфовые зоны или
подводный хребет.
Показано, что в бассейнах, пространственные масштабы которых соот-
ветствуют Черному морю, периоды низших бароклинных сейш близки к
инерционному периоду. Во всех рассмотренных случаях горизонтальные
структуры вертикальных смещений скачка плотности и скорости течения в
верхнем слое жидкости качественно одинаковы. Это значит, что рельеф дна
слабо влияет на гидродинамические поля в верхнем слое жидкости. В то же
время горизонтальная структура поля скорости в нижнем слое жидкости су-
щественно зависит от рельефа дна бассейна. Скорости течения заметно воз-
растают в шельфовых зонах и над вершинами подводных хребтов. Образова-
ние интенсивных вдольбереговых течений в мелководных зонах бассейнов –
одно из проявлений вращения Земли.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. – М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР,
1934. – 304 с.
2. Ламб Г. Гидродинамика. – М.; Л.: Гостехиздат, 1947. – 928 с.
3. Праудмэн Дж. Динамическая океанография. – М.: Иностранная литература, 1957. – 418 с.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3
14
4. Miles W.J. Harbor seiching // Annual Rev. Fluid. Mech. – 1974. – 6. – P. 17 – 33.
5. Gomis D., Monserrat S., Tintoré J. Pressure-forced seiches of large amplitude in inlets of the
Balearic Islands // J. Geophys. Res. – 1993. – 98, № C8. – P. 14437 – 14445.
6. Судольский А.С. Динамические явления в водоемах. – Л.: Гидрометеоиздат, 1991. – 263 с.
7. Ichinose G.A., Anderson J.G., Satake K. et al. The potential hazard from tsunami and seiche
waves generated by large earthquakes within Lake Tahoe, California-Nevada // Geophys. Res.
Letters. – 2000. – 27, № 8. – P. 1203 – 1206.
8. Giese G.S, .Chapman D.C., Black P.G. et al. Causation of large–amplitude coastal seiches on the
Caribbean coast of Puerto Rico // J. Phys. Oceanogr. – 1990. – 20, № 9. – P. 1449 – 1458.
9. Wedderburn E.M. Temperature observations in Loch Earn, with a further contribution to the
hydrodynamical theory of the temperature seiches // Trans. Roy. Soc. Edinburgh. – 1912. – 48. –
P. 629 – 695.
10. Arneborg L., Liljebladh B. The internal seiches in Gullmar Fjord. Part I: Dynamics // J. Phys.
Oceanogr. – 2001. – 31, № 9. – P. 2549 – 2566.
11. Алексеев Д.В., Дымова О.А., Миклашевская Н.А., Черкесов Л.В. Исследование баротроп-
ных и бароклинных сейш в ограниченных морских бассейнах // Морской гидрофизиче-
ский журнал. – 2004. – № 3. – С. 3 – 16.
12. Mortimer C.H. Long internal waves in lakes: review of a century of research // Univ. Wiscon-
sin – Milwaukee, Center for Great Lakes studies. – Spec. Rep. – 1993. – № 42. – 177 p.
13. Доценко С.Ф., Миклашевская Н.А. Генерация поверхностных и внутренних волн в ограни-
ченном бассейне перемещающимся барическим фронтом // Морской гидрофизический
журнал. – 2009. – № 3. – С. 3 – 18.
14. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Т. 1. – М.: Мир, 1981. – 480 с.
15. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1985. – 448 с.
16. Доценко С.Ф., Миклашевская Н.А. Генерация сейш в ограниченных бассейнах переме-
щающимися барическими фронтами // Морской гидрофизический журнал. – 2008. – № 2. –
С. 3 – 18.
Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил
Севастополь в редакцию 19.01.09.
E-mail: sf_dotsenko@mail.ru После доработки 16.02.09.
АНОТАЦІЯ Розв'язується плоска задача про лінійні бароклинні сейші в замкнутих обертових
басейнах змінної глибини. Густинна стратифікація припускається двошаровою. У наближенні
довгих хвиль отримана крайова задача для системи звичайних диференціальних рівнянь і за-
пропонована чисельна процедура знаходження внутрішніх сейшів. Для басейну постійної гли-
бини знайдені аналітичні рішення задачі. Чисельний аналіз сейшів виконаний для розподілів
глибини, які відповідають зональному і меридіональному перетинам Чорного моря, а також
для модельних басейнів із шельфовою зоною або підводним хребтом. Установлено посилення
бароклинних сейшів на мілководді і утворення обумовлених обертанням Землі інтенсивних
течій уздовж берега в шельфових зонах і над вершинами підводних хребтів.
ABSTRACT Plane problem on linear baroclinic seiches in closed rotating basins of variable depth is
solved. Density stratification is assumed to be two-layered. The boundary problem for the system of
ordinary differential equations is derived in the long-wave approximation. Numerical procedure for
calculating internal seiches is proposed. Analytical solutions for a basin of constant depth are found.
Numerical analysis of seiches is done for depth distributions corresponding to zonal and meridian
sections of the Black Sea and for the model basins including shelf zones or underwater ridge. Intensi-
fication of baroclinic seiches in shallow-water regions and formation (due to Earth rotation) of strong
along-coastal currents both in the shelf zones and above the tops of underwater ridges are revealed.
|