Расчет и визуализация тонкой структуры полей двумерных присоединенных внутренних волн
В линейном приближении рассчитана картина двумерных возмущений, возникающих в вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости при движении пластины под произвольным углом к горизонту. Полученное в квадратурах точное решение задачи, удовлетворяющее физически обоснованным граничным условиям, проана...
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Морський гідрофізичний інститут НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Морской гидрофизический журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56785 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Расчет и визуализация тонкой структуры полей двумерных присоединенных внутренних волн / Ю.Д. Чашечкин, Р.Н. Бардаков, Я.В. Загуменный // Морской гидрофизический журнал. — 2010. — № 6. — С. 3-15. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-56785 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-567852014-02-24T03:16:08Z Расчет и визуализация тонкой структуры полей двумерных присоединенных внутренних волн Чашечкин, Ю.Д. Бардаков, Р.Н. Загуменный, Я.В. Термогидродинамика океана В линейном приближении рассчитана картина двумерных возмущений, возникающих в вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости при движении пластины под произвольным углом к горизонту. Полученное в квадратурах точное решение задачи, удовлетворяющее физически обоснованным граничным условиям, проанализировано численно. Рассчитаны и описаны свойства полей в широком диапазоне всех параметров задачи – длины и скорости движения пластины, величин стратификации и вязкости среды, угла наклона траектории. В картине течения выделены две группы волн и компактные неволновые особенности вблизи краев источника генерации. Проведено сравнение с известными данными независимо выполненных расчетов и экспериментов, показавшее согласие рассчитанных и наблюдаемых картин течения. У лінійному наближенні розрахована картина двовимірних збурень, що виникають у в'язкій експоненціально стратифікованій рідині при русі пластини під довільним кутом до горизонту. Отримане в квадратурах точне рішення задачі, яке задовольняє фізично обґрунтованим граничним умовам і проаналізоване чисельно. Розраховані та описані властивості полів в широкому діапазоні всіх параметрів задачі – довжини і швидкості руху пластини, величин стратифікації і в'язкості середовища, кута нахилу траєкторії. У картині течії виділені дві групи хвиль і компактні нехвильові особливості поблизу країв джерела генерації. Проведене порівняння з відомими даними незалежно виконаних розрахунків і експериментів показало узгодженість розрахованих і спостережуваних картин течії. Pattern of two-dimensional disturbances occurring in viscous continuously stratified fluid when the plate moves under an arbitrary angle to horizon is calculated in the linear approximation. The obtained in quadratures accurate solution of the problem is numerically analyzed. It satisfies physically grounded boundary conditions. Calculated and described are the fields’ features in a wide range of all the problem parameters – lengths and speeds of the plate motion, values of the environment stratification and viscosity, slope angle of the trajectory. Two groups of waves and compact non-wave singularities in vicinity of the generation source edges are distinguished in the current pattern. The comparison carried out with the known results of independent calculations and experiments shows good agreement between the calculated and the observed current patterns. 2010 Article Расчет и визуализация тонкой структуры полей двумерных присоединенных внутренних волн / Ю.Д. Чашечкин, Р.Н. Бардаков, Я.В. Загуменный // Морской гидрофизический журнал. — 2010. — № 6. — С. 3-15. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0233-7584 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56785 551.466.6:523.527 ru Морской гидрофизический журнал Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана |
| spellingShingle |
Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана Чашечкин, Ю.Д. Бардаков, Р.Н. Загуменный, Я.В. Расчет и визуализация тонкой структуры полей двумерных присоединенных внутренних волн Морской гидрофизический журнал |
| description |
В линейном приближении рассчитана картина двумерных возмущений, возникающих в вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости при движении пластины под произвольным углом к горизонту. Полученное в квадратурах точное решение задачи, удовлетворяющее физически обоснованным граничным условиям, проанализировано численно. Рассчитаны и описаны свойства полей в широком диапазоне всех параметров задачи – длины и скорости движения пластины, величин стратификации и вязкости среды, угла наклона траектории. В картине течения выделены две группы волн и компактные неволновые особенности вблизи краев источника генерации. Проведено сравнение с известными данными независимо выполненных расчетов и экспериментов, показавшее согласие рассчитанных и наблюдаемых картин течения. |
| format |
Article |
| author |
Чашечкин, Ю.Д. Бардаков, Р.Н. Загуменный, Я.В. |
| author_facet |
Чашечкин, Ю.Д. Бардаков, Р.Н. Загуменный, Я.В. |
| author_sort |
Чашечкин, Ю.Д. |
| title |
Расчет и визуализация тонкой структуры полей двумерных присоединенных внутренних волн |
| title_short |
Расчет и визуализация тонкой структуры полей двумерных присоединенных внутренних волн |
| title_full |
Расчет и визуализация тонкой структуры полей двумерных присоединенных внутренних волн |
| title_fullStr |
Расчет и визуализация тонкой структуры полей двумерных присоединенных внутренних волн |
| title_full_unstemmed |
Расчет и визуализация тонкой структуры полей двумерных присоединенных внутренних волн |
| title_sort |
расчет и визуализация тонкой структуры полей двумерных присоединенных внутренних волн |
| publisher |
Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Термогидродинамика океана |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56785 |
| citation_txt |
Расчет и визуализация тонкой структуры полей двумерных присоединенных внутренних волн / Ю.Д. Чашечкин, Р.Н. Бардаков, Я.В. Загуменный // Морской гидрофизический журнал. — 2010. — № 6. — С. 3-15. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Морской гидрофизический журнал |
| work_keys_str_mv |
AT čašečkinûd rasčetivizualizaciâtonkojstrukturypolejdvumernyhprisoedinennyhvnutrennihvoln AT bardakovrn rasčetivizualizaciâtonkojstrukturypolejdvumernyhprisoedinennyhvnutrennihvoln AT zagumennyjâv rasčetivizualizaciâtonkojstrukturypolejdvumernyhprisoedinennyhvnutrennihvoln |
| first_indexed |
2025-07-05T08:05:04Z |
| last_indexed |
2025-07-05T08:05:04Z |
| _version_ |
1836793415987101696 |
| fulltext |
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 3
© Ю.Д. Чашечкин, Р.Н. Бардаков, Я.В. Загуменный, 2010
Термогидродинамика океана
УДК 551.466.6:523.527
Ю.Д. Чашечкин*, Р.Н. Бардаков*, Я.В. Загуменный**
Расчет и визуализация тонкой структуры
полей двумерных присоединенных внутренних волн
В линейном приближении рассчитана картина двумерных возмущений, возникающих в
вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости при движении пластины под произ-
вольным углом к горизонту. Полученное в квадратурах точное решение задачи, удовлетво-
ряющее физически обоснованным граничным условиям, проанализировано численно. Рассчи-
таны и описаны свойства полей в широком диапазоне всех параметров задачи – длины и ско-
рости движения пластины, величин стратификации и вязкости среды, угла наклона траектории.
В картине течения выделены две группы волн и компактные неволновые особенности вблизи
краев источника генерации. Проведено сравнение с известными данными независимо выпол-
ненных расчетов и экспериментов, показавшее согласие рассчитанных и наблюдаемых картин
течения.
Введение. Внутренние волны – важный элемент динамики морской сре-
ды и атмосферы [1]. Они переносят на большие расстояния энергию и им-
пульс, образуют при обрушении пятна турбулентности [2], интенсифици-
рующие перенос вещества в океане и влияющие на безопасность полетов в
атмосфере [3]. Их параметры регистрируются как контактными [2], так и дис-
танционными методами [4]. Большое число теоретических и эксперимен-
тальных работ посвящено изучению присоединенных (подветренных) внут-
ренних волн, которые возникают при обтекании препятствий [1].
В силу несогласованности уравнений и граничных условий расчеты вол-
новых полей обычно проводятся в линейном приближении, а реальное тело
заменяется набором гидродинамических источников и стоков в приближени-
ях вязкой [5] и идеальной экспоненциально стратифицированной жидкостей
[6, 7]. Погрешность таких расчетов оценить достаточно трудно, поскольку
методика оценки интенсивности источников развита только для случая иде-
альной однородной жидкости. Научный и практический интерес представля-
ют точные решения уравнений внутренних волн, точно удовлетворяющие
граничным условиям.
В общем случае обтекание препятствий осуществляется потоком со ско-
сом, от величины которого немонотонно зависят свойства всех компонент
течения. На практике рассматривается эквивалентная задача расчета поля
волн, образующихся при движении трехмерных тел в неподвижной жидкости
под произвольным углом к горизонту [5 – 7]. Наиболее полно изучены пре-
дельные случаи вертикального (в направлении действия силы тяжести) и го-
ризонтального (вдоль изопикнических поверхностей) движений тела. Для
каждого их них характерна собственная картина волнового поля [1, 8].
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 4
Метод построения точных решений фундаментальных уравнений меха-
ники неоднородных жидкостей в линейном приближении предложен в работе
[8]. В картине течения, вызванного равномерным движением горизонтальной
пластины, наряду с внутренними волнами выделены мелкомасштабные воз-
мущения на передней и задней кромках пластины и монотонно растущий с
удалением от передней кромки пограничный слой [9]. Рассмотрен только вы-
рожденный случай, исследования свойств течения для задач в полной поста-
новке ранее не проводились.
Целями данной работы являются: построение точного решения линеари-
зованной системы фундаментальных уравнений движения; анализ структуры
возмущений, образующихся при движении пластины вдоль плоскости, рас-
положенной в экспоненциально стратифицированной жидкости под произ-
вольным углом φ к горизонту; визуализация найденных численно полей, ил-
люстрирующая свойства течений в окрестности и на больших удалениях от
источника возмущений.
Постановка задачи и исходные уравнения. Анализируются двумерные
течения вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости, возникаю-
щие при равномерном движении пластины. Рассмотрение ведется в лабора-
торной },,{ zyx (связанной с жидкостью) системе координат, ось z которой
направлена вдоль линии действия силы тяжести g, и в локальной системе
},,{ ζηξ , ось ηO которой расположена в центре, а ось ζO ортогональна к
полосе длиной Lx, движущейся вдоль бесконечной жесткой плоскости, распо-
ложенной под углом φ к горизонту. Геометрия задачи показана на рис. 1. По-
лоса движется с постоянной скоростью U по нормали к своей передней кром-
ке в направлении оси ξ , ось η совпадает с осью y.
Р и с. 1. Системы координат задачи
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 5
Двумерные возмущения описываются системой уравнений [1, 8]:
,0 ,0
, ,
0
0000
=
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
−∆+
∂
∂−=
∂
∂∆+
∂
∂−=
∂
∂
z
v
x
v
z
v
t
gv
z
P
t
v
v
x
P
t
v
zx
z
z
z
x
x
ρρ
ρνρρνρρ
(1)
где t – время; v ρ ,),,( Pvv zx= – переменные скорость, давление, плотность;
)(0 zρ – невозмущенное экспоненциальное распределение плотности; ν –
коэффициент кинематической вязкости. Стратификация, которая характери-
зуется масштабом
1
ln
−
=Λ
dz
d ρ
, частотой
dz
dg
N 0
0
ρ
ρ
= и периодом плавуче-
сти ,/2 NTb π= предполагается слабой, что обосновывает применимость
приближения Буссинеска.
Граничные условия прилипания заданы на всей твердой поверхности,
включая ее подвижную часть. Все возмущения затухают на бесконечности.
Уравнение неразрывности в (1) позволяет использовать функцию тока Ψ,
производные которой задают компоненты скорости жидкости zΨvx ∂∂= / ,
xΨvz ∂−∂= / . Тогда система (1) приводится к уравнению внутренних волн
[1], которое в локальной системе координат },,{ ζηξ принимает вид:
0sincos
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
∂
∂
Ψ
t
νN
t ζξζ
ϕ
ξ
ϕ
ζξ
. (2)
Граничные условия для функции тока имеют вид
,0
,
22
0
0
=
∂
∂
−+
−+=
∂
∂
=
=
ζ
ζ
ξ
ξϑξϑ
ζ
Ψ
Ut
L
Ut
L
U
Ψ xx
(3)
где ϑ – функция Хевисайда. Возмущения затухают на бесконечности.
Малый параметр – коэффициент кинематической вязкости ν при стар-
ших производных – свидетельствует о принадлежности уравнения (2) к клас-
су сингулярно возмущенных уравнений [10]. Полные решения таких уравне-
ний включают как регулярно возмущенные функции, в пределе переходящие
в решения уравнения Эйлера, так и сингулярно возмущенные, некоторые па-
раметры которых обращаются в бесконечность при стремлении малого пара-
метра к нулю.
Решение уравнения (2) с граничными условиями (3) отыскивается в виде
разложений в интегралы Фурье по плоским волнам )](exp[0 tiAA ω−= kr
(A0 – амплитуда возмущений плотности, скорости или давления,
),,( zyx kkk=k – комплексный волновой вектор, ω – действительная частота,
r – радиус-вектор):
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 6
( ) [ ]∫∫
∞
∞−
∞
∞−
− += ωωωζξ ξζωζωω dkdkAkAtΨ ikkik
i
kik
w
ti iw ee),(e),(e,, ),(),( . (4)
В случае равномерного движения тела Uk ⋅=ω , волновое поле стацио-
нарно в локальной системе координат, фазовая скорость в направлении дви-
жения равна скорости пластины. Волновые числа wk и ik в решении (4) –
регулярные и сингулярные корни дисперсионного уравнения, которое в ло-
кальной системе координат принимает вид:
0)()sincos()( 22222222 ====++++++++−−−−−−−−++++ zzz kkikkNkk ωνϕϕω . (5)
Для нахождения корней уравнение (5) приводится к виду
024 =+++ γβkαkk zzz ; (6)
коэффициенты α, β и γ в (6) выражаются следующим образом через парамет-
ры задачи:
ων
ϕ
ν
ωα
22
2 sin
2
N
iik +−= ,
ων
ϕϕβ sincos2 2kiN−= ,
−+=
ν
ω
ων
ϕγ iiN
kk
22
24 cos
.
В общем случае решение уравнения (6) можно представить в виде
++−±=+ W
y
W
k
βα 2
2
3
4
2
1
2
,
(7)
−+−±−=− W
y
W
k
βα 2
2
3
4
2
1
2
,
где α
3
2
2 −= yW , а y – один из корней кубического уравнения
03 =++ QPyy ,
в котором γα −−=
12
2
P ,
83108
23 βαγα −+−=Q . Из двух пар корней k+ и k– вы-
бираются решения kw и ki, удовлетворяющие условию затухания на бесконеч-
ности.
При горизонтальном (или вертикальном) движении пластины, когда
0=β , уравнение (5) становится биквадратным. Его решение принимает бо-
лее простой вид
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 7
2
42
,
γαα −±−
±=wik . (8)
Корни wk и ik отличаются соотношениями между значениями действитель-
ной и мнимой частей и видом зависимости от вязкости.
Условия затухания возмущений на бесконечности ( +∞→ζ ) удовлетво-
ряются в верхнем полупространстве, когда выполняются неравенства
0Im ≥wk , 0Im ≥ik . Решение под плоскостью ( −∞→ζ ) описывается другой
парой корней.
Подстановка (4) в граничные условия (3) приводит к алгебраической сис-
теме уравнений для коэффициентов wA и iA :
)(
2
sin
)(
),(),( kU
kL
kkk
iU
kAkA x
iw
iw −
−
=−= ωδ
π
ωω .
Подставляя решение (7) в (4) и выполняя интегрирование по ω, получим
окончательное выражение для функции тока Ψ в локальной системе коорди-
нат
∫
∞
∞−
−
−
−= dk
kkUkkkUk
kL
k
iU
tΨ
iw
kkUikkkUik
Utikx
iw
),(),(
ee
e
2
sin
1
),,(
),(),(
)(
ζζ
ξ
π
ζξ , (9)
которое позволяет в этой же системе определить поле скорости:
∫
∞
∞−
−
−
−−= dk
kkUkkkUk
kkUkkkUkkL
k
U
tU
iw
kkUik
i
kkUik
wUtikx
iw
),(),(
e),(e),(
e
2
sin
1
),,(
),(),(
)(
ζζ
ξ
ξ π
ζξ ,(10)
∫
∞
∞−
−
−
−= .
),(),(
ee
e
2
sin),,(
),(),(
)( dk
kkUkkkUk
kLU
tU
iw
kkUikkkUik
Utikx
iw ζζ
ξ
ζ π
ζξ (11)
В случае горизонтального движения полосы решение (8) явно разделяется на
регулярно возмущенное решение для волн
+−+−±=
3
22
2 4
11
2
),(
ω
ν
ν
ωω Nkii
kkkw (12)
и сингулярно возмущенное решение, характеризующее неволновую компо-
ненту течения
+++−±= 3
22
2 4
11
2
),(
ω
ν
ν
ωω Nkii
kkki , (13)
локализация которого не обусловлена положением границ.
Вид корней (12) и (13) дисперсионного уравнения указывает на невоз-
можность их представления полиномиальным выражением конечной степени
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 8
даже в вырожденном случае горизонтального движения источника ( 0=ϕ ),
что свидетельствует о неэквивалентности замены тела сингулярными источ-
никами и стоками при изучении волн в вязкой жидкости.
Из вида решений (12), (13) следует, что масштаб регулярно возмущенной
компоненты решения (8) задается длиной внутренней волны bUT=λ ( 0=ϕ ).
Поперечный размер тонкоструктурных элементов характеризуется масшта-
бом UU /νδ = .
Отношения длин волны и пластины задают внутреннее число Фруда
xU/NL=Fr , масштаба Uσ к длине пластины – число Рейнольдса
Uxx LUL δν //Re ======== , масштаба плавучести к длине пластины – число
xL/C Λ= , характеризующее относительное изменение плотности.
Полное решение (8) позволяет рассчитать распределение сил и момента
сил относительно центра пластины. Значение силы трения, действующей в
направлении среднего течения, определяет компонент ξζσ тензора вязких
напряжений, который должен находиться в локальной системе координат:
∫
∞
∞−
−
−−= .
ee
e
2
sin
1
),,(
22
dk
kk
kkkL
k
Ui
t
iw
ik
i
ik
wikx
iw ζζ
ξ
ξζ π
νζξσ (14)
Нормальные компоненты силы, действующей на пластину, характеризует
zzσ -компонент тензора вязких напряжений в локальной системе:
∫
∞
∞−
−
−= .
ee
e
2
sin),,( dk
kk
kkkLUi
t
iw
ik
i
ik
wikx
iw ζζ
ξ
ζζ π
νζξσ (15)
Наличие многомасштабных компонент течения затрудняет аналитиче-
ское исследование свойств решения (4). В этой связи анализ интегралов (10)
и (11) проводился численными методами.
Алгоритм визуализации решения. Для построения картины течения
значения интегралов (10), (11) вычислялись методом Симпсона. Компоненты
вектора скорости рассчитывались в узлах сетки, вид и шаг которой выбира-
лись из условия разрешимости сингулярно возмущенных компонент на фоне
внутренних волн. При изучении тонкой структуры сетка задавалась неравно-
мерной и шаги выбирались из расчета разрешения мелкомасштабных компо-
нент (до 100 точек на масштабе U/νδν ==== ). Полученный цифровой массив
использовался для построения цветного изображения различных физических
полей с помощью оригинальной программы, составленной с использованием
MS Visual C++.
Анализ результатов расчетов. На распределение скорости вблизи пла-
стины в равной степени влияют и регулярно и сингулярно возмущенные ком-
поненты скорости течения (рис. 2), только совместный учет которых обеспе-
чивает точное выполнение граничного условия прилипания. Светлой линии в
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 9
центре изображения соответствуют нулевые скорости. Линия расположена
симметрично по отношению к краям только при горизонтальном движении
полосы (рис. 2, а).
Р и с. 2. Ближнее поле модуля вертикальной компоненты скорости течения при различных
углах наклона плоскости движения полосы (лабораторная система; Lx = 2,5 см, N = 0,86 с–1,
U = 0,47 см·с–1): а – φ = 0; б – φ = 10°
При движении под углом к горизонту линия нулевой вертикальной ком-
поненты скорости в верхнем полупространстве стремится к задней кромке
полосы, в нижнем – к передней. Вблизи краев пластины наблюдаются харак-
терные сингулярности. При 0=ϕ возмущения симметричны относительно
линии движения тела, интегрально на пластину действует только сила тре-
ния. При 0≠ϕ появляется асимметрия течения, указывающая на появление
подъемной силы, действующей снизу вверх.
Набор картин, иллюстрирующих структуру поля внутренних волн при
различных углах наклона траектории движения полосы вдоль ориентирую-
щей плоскости при фиксированных параметрах задачи, представлен на рис. 3.
Во всех случаях волновое поле состоит из системы поперечных волн в ниж-
нем полупространстве и косых волн в верхнем. Светло-серым цветом обозна-
чены положительные значения скорости, темно-серым – отрицательные зна-
чения. При малых углах различие между волновыми системами незначитель-
ное, хотя уже и этом случае опережающие возмущения более выражены под
полосой в поле поперечных волн (рис. 3, а). С увеличением угла наклона за-
метно уменьшается область, занятая внутренними волнами над пластиной, их
фазовые поверхности поворачиваются, уменьшается угол их наклона к плос-
кости движения (рис. 3, б).
а б
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 10
Р и с. 3. Дальнее поле нормальной компоненты скорости течения при различных углах накло-
на полосы (локальная система; Lx = 2,5 см, Tb = 7,3 с, U = 0,47 cм·с–1, λ = 3,4 cм, Fr = 0,21,
Re = 117): а – φ = 1°; б – φ = 5°; в – φ = 10°; г – φ = 15°; д – φ = 20°; е – φ = 45°
в г
д е
б a
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 11
При дальнейшем увеличении угла наклона волны начинают проникать в
асимметричную клиновидную область вблизи разделяющей поверхности
(рис. 3, в). Изменяется и положение геометрического места точек локальных
экстремумов, расположенных внутри замкнутых изолиний на выбранных
гребнях и впадинах областей максимальных волновых возмущений. При
дальнейшем увеличении угла наклона фазовые поверхности косых волн на-
чинают стелиться вдоль плоскости движения (рис. 3, г). При °= 20ϕ косые
волны оказываются модулированными вдоль своих гребней и впадин с мас-
штабом порядка длины волны. При этом поле поперечных волн сохраняет
свою структуру, однако уменьшается длина области значимых опережающих
возмущений (рис. 3, д). При больших углах наклона восстанавливается моно-
тонный характер косых волн над полосой (рис. 3, е). Опережающее возмуще-
ние занимает еще меньшую область в нижнем полупространстве и отсутству-
ет в верхнем.
Угол наклона фазовых поверхностей к горизонту характеризует локаль-
ную частоту присоединенных волн, которая мала на внешних концах попе-
речных волн и приближается к частоте плавучести в окрестности линии дви-
жения. Положение границ клиновидной области, свободной от присоединен-
ных внутренних волн вблизи плоскости движения, выраженной при малых ϕ
(рис. 3, а, б), определяется условием N====ω . Положение касательной к фазо-
вым поверхностям задает направление групповой скорости. Для поперечных
волн она всегда направлена вниз и вперед (рис. 3, а – е). В косых волнах на-
блюдается изменение направления групповой скорости волн. При °≤ 20ϕ она
направлена вверх и, как и для поперечных волн, вперед. При °≥ 45ϕ она от-
клоняется назад.
В данной задаче жесткая поверхность разделяет поля косых и попереч-
ных волн, которые могут проникать в соседние области в свободном про-
странстве.
Структура поля присоединенных волн зависит от длины полосы. Деталь-
ное рассмотрение показывает, что краевые особенности всегда выражены
вблизи кромок (рис. 2), а структура дальнего поля (рис. 4) зависит от соотно-
шения между длинами пластины и волны (числа Фруда xNLU /Fr = задачи).
Короткая полоса по своим свойствам аналогична сингулярному источнику [7]
(рис. 4).
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 12
В случае вертикального движения локальная частота волны оказывается
близкой к частоте плавучести, групповая скорость волн – малой, волновое
поле – выраженным только позади источника (рис. 5, а, короткая полоса рас-
положена в центре первой впадины, обозначенной темно-серым цветом). На-
клон фазовых поверхностей волн к горизонту уменьшается, длины волн рас-
тут, волновое поле «ускоряется» – фазовая и групповая скорости волн увели-
чиваются с удалением от источника, что характерно для всех типов диспер-
гирующих волн.
Р и с. 4. Поле нормальной компоненты скорости течения в подвижной системе координат при
движении полос различной длины (локальная система; Tb = 7,3 с, U = 0,47 см·с–1, λ = 3,4 см,
φ = 30°): а – Lx= 5 см; б – Lx = 10 см; в – Lx = 60 см (передняя кромка полосы); г – Lx = 60 см
(задняя кромка полосы)
а б
в г
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 13
Р и с. 5. Картина течения при вертикальном движении пластины (лабораторная система;
Lx = 2,1 см, φ = π/2, N = 0,91 с–1, U = 0,88 см·с–1): а – вертикальная компонента скорости, б –
линии тока
Р и с. 6. Картина течения около пластины длиной Lx = 2,1 см, движущейся под углом к гори-
зонту φ = 60° (N = 0,86 с–1, U = 0,47 см·с–1): а – расчет; б – эксперимент [7]
Р и с. 7. Поле знаков вертикальной компоненты скорости течения (верхняя половина изобра-
жения) над теневой картиной течения, возникающего при движении горизонтальной полосы
(Lx = 7,5 см, Tb = 7,6 c, U = 0,32 см·с–1, C = 185, Re = 240, Fr = 0,05)
а б
а б
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 14
Сравнение с данными ранее выполненных теоретических и эксперимен-
тальных работ показывает хорошее совпадение результатов (рис. 6, 7), не-
смотря на существенное различие в постановках. Так, для сравнения на рис. 6
приведены результаты расчетов по прилагаемой методике (рис. 6, а) и экспе-
риментов, взятых из работы [7] (рис. 6, б). Наиболее заметное отличие обу-
словлено наличием гидродинамического следа за реальным телом. Качест-
венное согласие результатов объясняется малостью волновых возмущений в
окрестности плоскости движения полосы, что согласуется с использованием
граничного условия прилипания на всей плоскости.
Выводы. Развита методика построения и визуализации точного решения
линеаризованной задачи генерации возмущений при движении пластины под
произвольным углом к горизонту, позволяющего рассчитывать амплитудно-
фазовые характеристики течения и силы, действующие на источник возму-
щений.
В картине течения выделены крупномасштабные компоненты, характе-
ризующие поле внутренних волн, и тонкоструктурные компоненты, вклю-
чающие краевые сингулярные возмущения и пограничные слои на пластине.
Краевые сингулярности симметричны относительно центральной плоскости
при горизонтальном движении и асимметричны при перемещении по на-
клонной плоскости.
Полученное решение для присоединенных внутренних волн согласуется
с данными независимо выполненных экспериментов. Наличие линейного ана-
лога тонкоструктурных и высокоградиентных компонент течения открывает
новые возможности изучения природы вихревых течений, их структуры и
механизмов формирования, а также природы наблюдаемой тонкой структуры
морской среды.
Работа выполнена при финансовой поддержке Программы Президиума РАН
№ 17 «Океан», РФФИ (проекты 08-05-00434-укр, 08-05-90901-моб_снг_ст).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. – М.: Мир, 1981. – 598 с.
2. Веденьков В.Е., Смирнов Г.В., Борисов Т.Н. Динамика поверхностных и внутренних
корабельных волн. – Владивосток: Дальнаука, 1999. – 224 с.
3. Nappo С.J. An introduction to atmospheric gravity waves // – International geophysics series.
– Amsterdam: Academic Press, 2002. – 85. – 286 p.
4. Кудрявцев В.Н., Малиновский В.В. О влиянии внутренних волн на радиолокационный
сигнал при малых углах скольжения // Морской гидрофизический журнал. – 1988. –
№ 6. – С. 3 – 9.
5. Смирнов С.А., Чашечкин Ю.Д. Подветренные (присоединенные) внутренние волны при
произвольной ориентации набегающего потока // Изв. РАН. Физика атмосферы и океа-
на. – 1998. – 34, № 4. – С. 528 – 536.
6. Scase M.M., Dalziel S.B. A theoretical and experimental investigation into internal waves
generated by a translating body // Fluxes and Structures in Fluids, Moscow, 2005. Selected
Papers / Ed. Yu.D. Chashechkin, V.G. Baydulov. – M., 2006. – Р. 289 – 295.
7. Scase M.M., Dalziel S.B. Internal wave fields generated by a translating body in a stratified
fluid: an experimental comparison // J. Fluid Mech. – 2006. – 564. – P. 305 – 331.
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 15
8. Бардаков Р.Н., Чашечкин Ю.Д. Расчет и визуализация двумерных присоединенных
внутренних волн в вязкой экспоненциально стратифицированной жидкости // Изв.
РАН. Физика атмосферы и океана. – 2004. – 40, № 4. – С. 553 – 565.
9. Бардаков Р.Н., Миткин В.В., Чашечкин Ю.Д. Тонкая структура стратифицированного
течения около пластины // ПМТФ. – 2007. – 48, № 6. – С. 77 – 91.
10. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. – М.: Наука, 1981. –
400 с.
*Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Материал поступил
Москва в редакцию 30.03.09
** Институт гидромеханики НАН Украины,
Киев
E-mail: chakin@ipmnet.ru
АНОТАЦІЯ У лінійному наближенні розрахована картина двовимірних збурень, що виника-
ють у в'язкій експоненціально стратифікованій рідині при русі пластини під довільним кутом
до горизонту. Отримане в квадратурах точне рішення задачі, яке задовольняє фізично обґрун-
тованим граничним умовам і проаналізоване чисельно. Розраховані та описані властивості
полів в широкому діапазоні всіх параметрів задачі – довжини і швидкості руху пластини, ве-
личин стратифікації і в'язкості середовища, кута нахилу траєкторії. У картині течії виділені дві
групи хвиль і компактні нехвильові особливості поблизу країв джерела генерації. Проведене
порівняння з відомими даними незалежно виконаних розрахунків і експериментів показало
узгодженість розрахованих і спостережуваних картин течії.
ABSTRACT Pattern of two-dimensional disturbances occurring in viscous continuously stratified
fluid when the plate moves under an arbitrary angle to horizon is calculated in the linear approxima-
tion. The obtained in quadratures accurate solution of the problem is numerically analyzed. It satisfies
physically grounded boundary conditions. Calculated and described are the fields’ features in a wide
range of all the problem parameters – lengths and speeds of the plate motion, values of the environ-
ment stratification and viscosity, slope angle of the trajectory. Two groups of waves and compact
non-wave singularities in vicinity of the generation source edges are distinguished in the current pat-
tern. The comparison carried out with the known results of independent calculations and experiments
shows good agreement between the calculated and the observed current patterns.
|