Математическое моделирование генерации топографических внутренних волн нестационарным течением
Gespeichert in:
| Datum: | 2010 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Морський гідрофізичний інститут НАН України
2010
|
| Schriftenreihe: | Морской гидрофизический журнал |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56786 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Математическое моделирование генерации топографических внутренних волн нестационарным течением / В.Ф. Санников // Морской гидрофизический журнал. — 2010. — № 6. — С. 16-23. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-56786 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-567862014-02-24T03:16:11Z Математическое моделирование генерации топографических внутренних волн нестационарным течением Санников В.Ф. Термогидродинамика океана 2010 Article Математическое моделирование генерации топографических внутренних волн нестационарным течением / В.Ф. Санников // Морской гидрофизический журнал. — 2010. — № 6. — С. 16-23. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0233-7584 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56786 551.466.81 ru Морской гидрофизический журнал Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана |
| spellingShingle |
Термогидродинамика океана Термогидродинамика океана Санников В.Ф. Математическое моделирование генерации топографических внутренних волн нестационарным течением Морской гидрофизический журнал |
| format |
Article |
| author |
Санников В.Ф. |
| author_facet |
Санников В.Ф. |
| author_sort |
Санников В.Ф. |
| title |
Математическое моделирование генерации топографических внутренних волн нестационарным течением |
| title_short |
Математическое моделирование генерации топографических внутренних волн нестационарным течением |
| title_full |
Математическое моделирование генерации топографических внутренних волн нестационарным течением |
| title_fullStr |
Математическое моделирование генерации топографических внутренних волн нестационарным течением |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование генерации топографических внутренних волн нестационарным течением |
| title_sort |
математическое моделирование генерации топографических внутренних волн нестационарным течением |
| publisher |
Морський гідрофізичний інститут НАН України |
| publishDate |
2010 |
| topic_facet |
Термогидродинамика океана |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56786 |
| citation_txt |
Математическое моделирование генерации топографических внутренних волн нестационарным течением / В.Ф. Санников // Морской гидрофизический журнал. — 2010. — № 6. — С. 16-23. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Морской гидрофизический журнал |
| work_keys_str_mv |
AT sannikovvf matematičeskoemodelirovaniegeneraciitopografičeskihvnutrennihvolnnestacionarnymtečeniem |
| first_indexed |
2025-07-05T08:05:07Z |
| last_indexed |
2025-07-05T08:05:07Z |
| _version_ |
1836793418597007360 |
| fulltext |
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 16
© В.Ф. Санников, 2010
УДК 551.466.81
В.Ф. Санников
Математическое моделирование генерации топографических
внутренних волн нестационарным течением
В линейной постановке с использованием длинноволнового приближения разработана ма-
тематическая модель, позволяющая рассчитывать поля внутренних волн, генерируемых ло-
кальной неровностью дна в нестационарном пространственно однородном потоке. Получено
пригодное для вычислений решение соответствующей задачи. Изучены эффекты, связанные с
изменением направления течения периодического характера. Проведен анализ распределения
по горизонтали амплитуд одной внутренней моды и зависимости этого распределения от па-
раметра Кориолиса.
Введение. Образующиеся за препятствиями под действием набегающего
потока волны являются одними из наиболее распространенных в природе.
Моделированию подветренных волн, генерируемых стационарными тече-
ниями, посвящено большое число работ (см., например, обзор в [1, 2]). Учет
изменений со временем параметров течений, характерных для природных
явлений, значительно усложняет решение соответствующих гидродинамиче-
ских задач, поэтому сопутствующие эффекты изучены мало. Определенное
представление о волновых полях такого рода дают фазовые портреты по-
верхностных волн, образуемых при движении импульса давлений по круго-
вому пути [3], а также гравитационно-упругих волн, генерируемых сосредо-
точенной нагрузкой при составном (поступательном и вращательном) движе-
нии [4, 5]. Общий подход описания кинематики волнового следа при круго-
вом движении источника в диспергирующей среде применен в статье [6].
В настоящей работе на основе простой гидродинамической модели [7]
получено пригодное для вычислений решение соответствующей задачи о
длинных волнах, генерируемых локальной неровностью дна в однородном
нестационарном потоке стратифицированной жидкости. Выполнен анализ
особенностей формирования поля вынужденных внутренних волн при изме-
нении направления течения. Использованы линейное приближение квазиста-
тики и граничное условие «твердой крышки» на поверхности жидкости, от-
фильтровывающее поверхностные волны. Предполагается, что горизонталь-
ный масштаб изменчивости потока во много раз больше длин генерируемых
волн. В развитие модели из работы [7] учитывается вращение Земли в при-
ближении f-плоскости. Проведен анализ особенностей распределения по го-
ризонтали амплитуд одной внутренней моды и зависимости этого распреде-
ления от параметра Кориолиса.
Гидродинамическая модель. Рассмотрим безграничный в горизонталь-
ных направлениях +∞<<∞− yx, , 0),( <<+− zyxhfH слой невязкой не-
сжимаемой непрерывно стратифицированной жидкости глубины ),( yxhfH − .
Невозмущенная плотность жидкости )(0 zρ зависит только от одной верти-
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 17
кальной координаты z. Генератором внутренних волн является локальная не-
ровность дна в однородном по пространству и нестационарном поле течения
v0 = (u0(t), v0(t), 0).
В линейной постановке с использованием приближения квазистатики
возмущения жидкости описываются системой уравнений
,)(1 xplvDu −=−ρ ,)(1 ypluDv −=+ρ ,0=+ ρgpz
0=++ zyx wvu , wNgD 21
1
−= ρρ , ytvxtutD ∂∂+∂∂+∂∂= /)(/)(/ 00
(1)
с граничными условиями
0=w ),0( =z yhtvxhtuw ∂∂+∂∂= /)(/)( 00 ).( Hz −= (2)
Здесь (u, v, w), p, ρ – волновые возмущения скорости, давления, плотности
жидкости; dzdgzN /)( 0
1
1 ρρ −−= – частота Вяйсяля – Брента; ρ1 – среднее по
глубине значение ρ0 (z), l – параметр Кориолиса, g – ускорение свободного
падения.
Задача (1), (2), к которой еще необходимо добавить начальные условия,
сводится к определению одной функции ),,,( tzyxζ – поля вертикальных
смещений жидких частиц ( wD =ζ ):
0/)( 2
22222 =∆+∂∂+ ζζ NzlD , 2222
2 // yx ∂∂+∂∂=∆ ,
(3)
),0(0 == zζ ),( yxhf=ζ )( Hz −= .
В качестве начальных условий выберем отсутствие волновых возмущений
),,,( tzyxζ при t = 0, т. е. Hzyxhfzyx /),()0,,,( −=ζ , 0/)0,,,( =∂∂ tzyxζ .
Применив к (3) преобразование Фурье по горизонтальным координатам с па-
раметрами µ и ν, получим следующую краевую задачу для ),,,( tzZ νµ –
трансформанты функции ),,,( tzyxζ :
0)( 2222 =−+ ZNkZld zz )0( <<− zH , 0=Z )0( =z ,
),( νµhFZ = )( Hz −= ,
(4)
где ),( νµF – трансформанта функции f (x, y), d = ∂ / ∂t + i kv0, k = ),( νµ ,
k = |k|.
Будем искать решение (4) в виде разложения по модам внутренних волн
∑
∞
=
=
1
),(),,(
n
nn zZtvbZ µ (5)
где )(zZn – собственные функции задачи Штурма – Лиувилля
0/ 2222 =+ nnn ZNdzZd λ , 0)0()( ==− nn ZHZ , (6)
2
nλ – собственные значения задачи,
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 18
∫
−
=
0
2 0
H
mn dzZZN )( mn ≠≠≠≠ , ∫
−
=
0
22 1
H
ndzZN .
Коэффициенты bn в разложении (5) вычисляются как коэффициенты ряда
Фурье по формулам
∫
−
=
0
2 )(),,,()(),,(
H
nn dzzZtzZzNtb νµνµ . (7)
Умножив уравнение (4) на собственную функцию )(zZn и затем проин-
тегрировав его по z от –H до 0, получим следующую задачу для определения
коэффициентов ),,( tbn νµ :
))(,()( 1
422
nnnnzn bkhFHZb −− −−= λλνµ , 1)( 1
222
1
2 =++ −
nnn blkbd λ . (8)
Решение обыкновенного дифференциального уравнения (8) с учетом на-
чальных условий можно записать в виде
[ ]{ }∫ Φ−Φ−= −
t
nnn dtib
0
1
1 ,)()(exp)sin( τταωω (9)
2222 lk nn ++++==== −−−−λω , ,τα −−−−==== t [ ] .)()()(
0
00 ξξνξµ dvut
t
∫ +=Φ
Подставив (9) в (8), а затем получающееся при этом выражение для bn в
(5), найдем
∑
∞
=
−−=
1
1
22 )1)(,()(
n
nnn bkFzhZ λνµϕ , )()()( 2 HZzZz nznnn −−−−==== −−−−λϕ . (10)
Применив к (10) обратное преобразование Фурье, получим
[ ]∑
∞
=
+=
1
),,(),()(),,,(
n
nn tyxJyxfzhtzyx ϕζ , (11)
∫
−=
t
nnn dIJ
0
2 ,τλ [ ]∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
+−= ,)∆∆(exp
sin
),(
)2(
1 2
2 νµνµ
ω
αωνµ
π
ddyxiFkI
n
n
n
0∆∆ xxx −= , 0∆∆ yyy −= , ξξ
τ
∫=
t
dux )(∆ 00 , ∫=
t
dvy
τ
ξξ )(∆ 00 .
С помощью формулы свертки двойной интеграл In преобразуется к виду
∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
−−∆−= ,)()∆,∆( 111112 dydxRGyyxxfI n (12)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 19
[ ] ==+= ∫∫ ∫
∞∞
∞−
∞
∞− 0
101121 )(
)sin(
2
1
)(exp
)sin(
)2(
1
)( kdkkRJddyxiRG
n
n
n
n
ω
αω
π
νµνµ
ω
αω
π
∫
∞
+
+
=
0
1111022
1
22
12
)(
sin
2
dkkRkJ
lk
lk
n
n λ
α
π
λ
; nkk λ1==== , 2
1
2
1
2
1 yxR += . (13)
Здесь сначала был сделан переход в полярную систему координат
θµ cosk==== , θν sink==== , затем интеграл по углу θ выражен через функцию
Бесселя нулевого порядка. Использовав далее формулу (2.12.23.8) из работы
[8], для функции G(R1) найдем простое выражение
−
−
= 2
1
22
2
1
22
2
1 cos
2
)( Rf
R
RG n
n
n λα
λαπ
λ
)( 1Rnλα > ,
0)( 1 =RG )( 1Rnλα < . (14)
Заметим, что с учетом (14) область интегрирования в (12) является кругом
nR λα /1 < .
Модельное распределение неровности дна. Для упрощения полученно-
го решения (11) – (14), содержащего тройные интегралы, рассмотрим мо-
дельное распределение неровности дна вида
mLRyxf −−−−++++==== )1/(),( 22 , 222 yxR ++++==== . (15)
Параметр L характеризует горизонтальный масштаб неровности дна, па-
раметр m – крутизну склона. Для функций такого вида двойной интеграл (12)
может быть преобразован в однократный.
Для распределения (15) в соответствии с формулой (12) сначала вычис-
ляется оператор Лапласа
mFyxf =∆ ),(2 , 22122 )1(44 −−−−−− +−= mm
m ELmmELmF , 122 += −LRE .
Затем аргумент функции )∆,∆( 11 yyxxf −− в (12) преобразуется к виду
[ ] ,cos1)∆()∆( 22
1
2
1 ϕBALyyxxE −=+−+−= −
[ ] 1)∆( 22
1
2 ++= −LRRA , 2
1∆2 −−−−==== LRRB , (16)
22 )∆()∆(∆ yxR ++++==== , πϕ 20 <<<<<<<< .
Потом вычисляются вспомогательные интегралы
∫
−=
π
ϕ
2
0
dEK m
m ,
221
2
BA
K
−
= π
, mm K
Am
K
∂
∂−=+
1
1 .
Таким образом, выводится следующее выражение:
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 20
∫∫ ∫ −=
−=
nn
dRRRGMdRRRGdFI mmn
λαλα π
πϕ
/
0
111111
/
0
2
0
)(2)( , (17)
[ ]2
2
1
221 )1(44)2( +
−
+
−− +−= mmm KLmmKLmM π .
Замена ηλα =− 2
1
22 Rn позволяет устранить особенность подынтеграль-
ной функции (14) в (17) и получить формулу для распределения амплитуды
n-й моды ),,( tyxJn в виде уже двойного интеграла
∫ ∫
−−=
t
mnn ddlMJ
0 0
2 )cos( τηηλ
α
, (18)
который представляется относительно простым и удобным для численных
расчетов. Явные выражения для множителя Mm в случае m = 1 и 2 имеют вид
[ ]2/522222/3222
1 ))(2()(8 −−− −+−−= BABABAALM ,
(19)
[ ].))(32(3))(24(8 2/722222/522222
2
−−− −+−−+= BABAABABALM
Параметры A и B определены в (16), где после замены 221
1 ηαλ −= −
nR .
Итак, ряд (11) вместе с (18) представляет собой окончательное решение
задачи для модельной формы неровности дна вида (15). Формула (11) пред-
ставляет собой разложение поля вертикальных смещений жидкости по модам
внутренних волн. Множитель )(znϕ определяется стратификацией и описы-
вает распределение возмущений n-й моды по вертикали, выражение
),,(),(),,( tyxJyxftyxA nn ++++==== описывает эволюцию распределений возмуще-
ний среды по горизонтали. Выражение для ),,( tyxJn представляет собой
двойной интеграл (18) по ограниченной области с относительно простой по-
дынтегральной функцией.
Характер распределения интенсивности волновых возмущений при
изменении направления скорости течения. Известно, что при постоянной
скорости течения волновой след за генератором имеет симметричную V-об-
разную форму с прямолинейными границами. При движении генератора по
круговому пути [3, 6] границы следа – криволинейные, причем внутренняя
граница (ближняя к центру траектории) имеет конечную длину [6]. Опираясь
на результаты работы [7], можно предположить, что при изменении направ-
ления течения с внешней стороны от траектории генератора относительно
потока имеет место дивергенция волновых лучей, приводящая к уменьшению
амплитуд волн, а с внутренней стороны – к увеличению амплитуд.
Пусть скорость течения изменяет направление по закону
tctu σcos)( 00 = , tctv σsin)( 00 = .
Общее представление о характере волнового поля в ближней области да-
ет рис. 1. В целом распределение ),,( tyxAn представляет собой спиральную
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 21
волну. При выбранных значениях параметров наиболее значительные возму-
щения волнового поля сосредоточены в области вершины неровности дна и
представляют собой два локальных экстремума – максимум и минимум. Пер-
вый из них – гидростатический, второй – волновой. В отсутствие вращения
жидкости (рис. 1, а) наибольшую амплитуду спиральная волна имеет на
внешнем фронте. С увеличением широты амплитуда на внешнем фронте
убывает и растет на внутреннем фронте. Кроме того, как показывают расче-
ты, с увеличением параметра Кориолиса амплитудное распределение стано-
вится более изменчивым. Этот эффект, очевидно, является следствием дис-
персии.
-100 -50 0 50 100 x, км
-150
-100
-50
0
50
100
y, км
-100 -50 0 50 100 x, км
а б
Р и с. 1. Распределение An (x, y, t) – интенсивности волновых возмущений по горизонтали на
широте 0° (а) и 30° (б) ( )÷12/2 1, êì, 20 ==== σπTmL , c0 = 1 м/с, cn = 1−−−−
nλ = 0.5 м/с, t =
= 2T) L = 20 км, m = 1,
-100 -50 0 50 100 x, км
-150
-100
-50
0
50
100
y, км
-100 -50 0 50 100 x, км
а б
Р и с. 2. Распределение An (x, y, t) при T = 24 ч (а) и T = 48 ч (б) (t = 2T, широта – 30°)
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 22
Проведенные расчеты показали, что при увеличении периода изменения
направления течения )/2( σπ=T отрансформируется форма головной части
спиральной волны (рис. 2). Как видно, она приобретает П-образную форму,
угловыми точками которой являются вершина над центром неровности дна и
ближайшая к нему впадина. Этот результат отчасти согласуется с описанным
в работе [6] обрывом гребня волны. Действительно, протяженность внутрен-
него гребня волны относительно небольшая, но, как видно, он не обрывается
с удалением от вершины неровности дна, а продолжается внутренним фрон-
том волны.
Рассматриваемая модель – нестационарная. С течением времени в непод-
вижной системе координат волновой след развивается и вращается. Некото-
рое представление об эволюции и интенсивности возмущений в ближней об-
ласти дает рис. 3. Отметим, что установление экстремальных значений про-
исходит примерно за полтора – два периода изменения направления потока, с
увеличением значения широты высота волны убывает.
0 1 2 3 t / T
0.8
1
1.2
1.4
1.6 0°
30°
45°
60°
Р и с. 3. Зависимость высоты волны от времени для значений широты 0, 30, 45 и 60° (значения
остальных параметров те же, что и для рис. 1)
Заключение. Построена математическая модель генерации внутренних
топографических волн нестационарным течением. Решение задачи (1), (2)
представлено в виде разложения по модам внутренних волн (11). Вклад от-
дельной моды разделен по пространственным переменным. Множитель ϕn (z)
определяется только стратификацией, не зависит от параметров потока и ха-
рактеризует распределение возмущений среды по вертикали. Амплитудный
множитель Jn (x, y, t) определяется видом внешних давлений, параметрами их
движения и характеризует зависимость возмущений среды от времени и их
распределение по горизонтали. Для модельной формы неровности дна (15) по-
ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 6 23
лучено удобное для проведения численных расчетов выражение (18), позво-
ляющее учитывать изменение скорости течения по величине и направлению.
В работе проведен анализ эффектов, связанных только с изменением на-
правления течения. Установлено, что во вращающемся потоке постоянной
интенсивности волновой след за неровностью дна представляет собой спи-
ральную волну. Головная часть волны при периоде изменения потока поряд-
ка суток имеет П-образную форму. Угловыми точками следа являются центр
неровности дна и точка возврата внутренней ветви переднего фронта, в окре-
стности которой волновые возмущения потока наиболее значительны.
Проведенный анализ показал, что с увеличением значения широты от 0
до 60° высота волны уменьшается примерно в полтора раза и волновое поле
становится более изменчивым в области внутреннего фронта.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Черкесов Л.В., Власенко В.И., Стащук Н.М и др. Гидродинамика морских волн. – Киев:
Наук. думка, 1992. – 162 с.
2. Sharman R.D. Three-dimensional structure of forced gravity waves and lee waves // J. Atmos.
Sci. – 2004. – 61. – P. 664 – 681.
3. Сретенский Л.Н. О волнах, поднимаемых кораблем при движении по круговому пути //
Изв. АН СССР. ОТН. – 1946. – 1. – С. 13 – 22.
4. Букатов А.Е., Жарков В.В. Генерация трехмерных изгибных колебаний плавающей
упругой пластинки при движении сосредоточенной нагрузки по сложной траектории //
ПМТФ. – 1997. – 38, № 3. – С. 164 – 173.
5. Bukatov A.E., Zharkov V.V. The floating continuous ice cover flexural oscillations when a
load iz moving along a complicated trajectory // Int. J. Offshor. Pol. engineer. – 2001. – 11,
№ 1. – P. 1 – 8.
6. Алексеенко С.В., Череп А.А. Образование спиральных волн при круговом движении
источника в диспергирующей среде // Докл. РАН. – 1992. – 327, № 3. – С. 306 – 310.
7. Санников В.Ф. Фокусировка внутренних волн, генерируемых при неравномерном дви-
жении области атмосферных давлений // Морской гидрофизический журнал. – 2006. –
№ 5. – С. 22 – 29.
8. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функ-
ции. – М.: Наука, 1983. – 752 с.
Морской гидрофизический институт НАН Украины, Материал поступил
Севастополь в редакцию 01.06.09
E-mail: vf_sannikov@mail.ru
АНОТАЦІЯ У лінійній постановці з використанням довгохвильового наближення розроблена
математична модель, що дозволяє розраховувати поля внутрішніх хвиль, які генеруються ло-
кальною нерівністю дна в нестаціонарному просторово однорідному потоці. Одержане при-
датне для обчислень рішення відповідної задачі. Вивчені ефекти, пов'язані зі зміною напряму
течії періодичного характеру. Проведений аналіз розподілу по горизонталі амплітуд однієї
внутрішньої моди і залежності цього розподілу від параметра Коріоліса.
ABSTRACT Mathematical model permitting to calculate the fields of internal waves generated by the
bottom local roughness in nonstationary spatially uniform flow is developed in the linear statement
using long-wave approximation. Suitable for the calculations solution of the corresponding problem is
obtained. The effects connected with periodical changes of the current direction are studied. Horizon-
tal distribution of the amplitudes of one internal mode and dependence of this distribution upon the
Coriolis parameter are analyzed.
|