Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков

Для различных данных, указывающих на наличие опасности для прохождения судна, устанавливается величина риска возникновения критической ситуации с кораблем и предложен алгоритм нахождения оптимального маршрута корабля. Метод нахождения оптимального маршрута корабля базируется на минимизации «функцион...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
Hauptverfasser:	Агошков, В.И., Заячковский, А.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Морський гідрофізичний інститут НАН України 2012
Schriftenreihe:	Екологічна безпека прибережної та шельфової зон та комплексне використання ресурсів шельфу
Schlagworte:	Катастрофические явления и минимизация их последствий
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56886
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков / В.И. Агошков, А.О. Заячковский // Екологічна безпека прибережної та шельфової зон та комплексне використання ресурсів шельфу: Зб. наук. пр. — Севастополь, 2012. — Вип. 26, том 2. — С. 339-351. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-56886
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-568862014-02-27T03:02:03Z Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков Агошков, В.И. Заячковский, А.О. Катастрофические явления и минимизация их последствий Для различных данных, указывающих на наличие опасности для прохождения судна, устанавливается величина риска возникновения критической ситуации с кораблем и предложен алгоритм нахождения оптимального маршрута корабля. Метод нахождения оптимального маршрута корабля базируется на минимизации «функционала стоимости», описывающего суммарные издержки, которыми может быть отягощен выбранный маршрут между расчетными точками. Рассмотрены вариационные уравнения для минимизации функционала и исследованы вопросы, связанные с разрешимостью задачи. Задача решалась численно, для приближенного решения использовался итерационный метод на акватории Черного моря. Для різних даних, що вказують на наявність небезпеки для проходження судна, встановлюється величина ризику виникнення критичної ситуації з кораблем і запропоновано алгоритм знаходження оптимального маршруту корабля. Метод знаходження оптимального маршруту корабля базується на мінімізації «функціоналу вартості», що описує сумарні витрати, якими може бути обтяжений обраний маршрут між розрахунковими точками. Розглянуті варіаційні рівняння для мінімізації функціоналу і досліджені питання, якi пов'язані з здійсненнем завдання. Завдання вирішувалася чисельно, для наближеного розв'язання використовувався ітераційний метод на акваторії Чорного моря. In this paper an algorithm for finding the optimum ship route is proposed. The method for finding the optimum ship route is based on the route cost functional, which describes the total costs the route between the two points may be burdened with. We consider some kinds of critical situation with the ship. Having described the situation possibilities characteristics and the loss of consequences we get the numerical estimation of risk. There are considered variational equations for minimization of the functional and the problem of solvability is examined. The problem was solved numerically, for the approximate solution of iterative method has been used in the water area of the Black sea. 2012 Article Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков / В.И. Агошков, А.О. Заячковский // Екологічна безпека прибережної та шельфової зон та комплексне використання ресурсів шельфу: Зб. наук. пр. — Севастополь, 2012. — Вип. 26, том 2. — С. 339-351. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1726-9903 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56886 519.6 ru Екологічна безпека прибережної та шельфової зон та комплексне використання ресурсів шельфу Морський гідрофізичний інститут НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Катастрофические явления и минимизация их последствий Катастрофические явления и минимизация их последствий
spellingShingle	Катастрофические явления и минимизация их последствий Катастрофические явления и минимизация их последствий Агошков, В.И. Заячковский, А.О. Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков Екологічна безпека прибережної та шельфової зон та комплексне використання ресурсів шельфу
description	Для различных данных, указывающих на наличие опасности для прохождения судна, устанавливается величина риска возникновения критической ситуации с кораблем и предложен алгоритм нахождения оптимального маршрута корабля. Метод нахождения оптимального маршрута корабля базируется на минимизации «функционала стоимости», описывающего суммарные издержки, которыми может быть отягощен выбранный маршрут между расчетными точками. Рассмотрены вариационные уравнения для минимизации функционала и исследованы вопросы, связанные с разрешимостью задачи. Задача решалась численно, для приближенного решения использовался итерационный метод на акватории Черного моря.
format	Article
author	Агошков, В.И. Заячковский, А.О.
author_facet	Агошков, В.И. Заячковский, А.О.
author_sort	Агошков, В.И.
title	Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков
title_short	Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков
title_full	Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков
title_fullStr	Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков
title_full_unstemmed	Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков
title_sort	исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков
publisher	Морський гідрофізичний інститут НАН України
publishDate	2012
topic_facet	Катастрофические явления и минимизация их последствий
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/56886
citation_txt	Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков / В.И. Агошков, А.О. Заячковский // Екологічна безпека прибережної та шельфової зон та комплексне використання ресурсів шельфу: Зб. наук. пр. — Севастополь, 2012. — Вип. 26, том 2. — С. 339-351. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Екологічна безпека прибережної та шельфової зон та комплексне використання ресурсів шельфу
work_keys_str_mv	AT agoškovvi issledovanieialgoritmrešeniâodnojnelinejnojzadačiteoriiriskov AT zaâčkovskijao issledovanieialgoritmrešeniâodnojnelinejnojzadačiteoriiriskov
first_indexed	2025-07-05T08:09:48Z
last_indexed	2025-07-05T08:09:48Z
_version_	1836793712876716032
fulltext	339 © В.И. Агошков, А.О. Заячковский, 2012 УДК 519.6 В.И. Агошков, А.О. Заячковский Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт вычислительной математики Российской академии наук, г. Москва ИССЛЕДОВАНИЕ И АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РИСКОВ Для различных данных, указывающих на наличие опасности для прохождения судна, устанавливается величина риска возникновения критической ситуации с ко- раблем и предложен алгоритм нахождения оптимального маршрута корабля. Метод нахождения оптимального маршрута корабля базируется на минимизации «функ- ционала стоимости», описывающего суммарные издержки, которыми может быть отягощен выбранный маршрут между расчетными точками. Рассмотрены вариаци- онные уравнения для минимизации функционала и исследованы вопросы, связан- ные с разрешимостью задачи. Задача решалась численно, для приближенного ре- шения использовался итерационный метод на акватории Черного моря. КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА : оптимальный маршрут корабля, вариационные уравне- ния, функционал риска. Введение. Современное судовождение представляет собой довольно сложный процесс управления судном, основной целью которого является обеспечение безопасного и экономичного движения. Оптимизация маршру- та и условий заключается в одновременном учете многих факторов, влияю- щих на скорость и сохранность судна, а также на обеспечение экологиче- ской безопасности окружающей среды. Прохождение заданного маршрута можно осуществить многими путями и отнюдь не самый короткий маршрут может оказаться оптимальным. Реализация маршрута движения должна предусматривать формирование пути следования, ведущего в пункт назна- чения за кратчайшее время и с учетом навигационных опасностей. Для того чтобы находить оптимальную из возможностей, приходится решать задачи на отыскание наименьших значений специальных функционалов, вклю- чающих функционалы стоимости отклонения корабля от предписанного маршрута, и представляющих собой различного рода «риски». Исследова- ние и алгоритмы решения таких задач должны базироваться с одной сторо- ны на методах оптимального управления, а с другой – на теории случайных функций и теории рисков. В настоящей работе дается описание класса упомянутых выше задач, а затем на примере одной из них предлагается методы их исследований и численного решения. Класс задач об оптимальном маршруте корабля. Экономическая эф- фективность и безопасность работы морского флота настолько тесно связа- на с гидрометеорологическим состоянием морской природной среды, что сегодня капитаны судов не могут обходиться без соответствующих реко- мендаций береговых прогностических служб – «служб сопровождения», а 340 своевременное предупреждение об опасных природных явлениях погоды на этих маршрутах стали прямой социальной потребностью. Для расчета рекомендуемых маршрутов применяются различные мето- ды и подходы, и им посвящена достаточно обширная литература. По суще- ству, проводка судов рекомендованными маршрутами представляет собой процесс прогнозирования такого маршрута, следуя которым судно должно пройти в максимально благоприятных условиях погоды и волнения и уло- житься в плановый график. В условиях хорошей погоды и слабого волнения суда, как правило, следуют кратчайшим путем. Такие рассчитанные и реко- мендованные службами сопровождения траектории являются в определен- ном смысле «предварительными оптимальными маршрутами кораблей». В реальности благоприятные погодные условия наблюдаются довольно редко, в основном в летний период. Помимо погодных условий, как факторов влияющих на возможное из- менение маршрута корабля, имеется ряд других факторов. Так в настоящее время известной и актуальной проблемой стала проблема нападения на ко- рабли морских пиратов, если маршрут корабля проходит акваторию воз- можного их нападения. При следовании кораблем по «предварительному оптимальному мар- шруту» возможно также появления тропического циклона (ураганы в Ат- лантике, тайфуны в Тихом океане) с заданной его траекторией движения. В связи с этим возникает проблема корректировки маршрута корабля, т. е. нового оптимального маршрута, с целью уменьшения риска его пересече- ния с траекторией циклона, но одновременно минимизирую издержки, вы- званные изменением маршрута корабля. Известной проблемой, также привлекающей внимание исследователей, является проблема уменьшения риска экологического загрязнения заданной акватории при следовании кораблем выбранного маршрута в силу возник- новения той или иной опасности. Эта проблема является хорошо известной и вплоть до настоящего времени предлагались различные алгоритмы ее ре- шения. Таким образом уже перечисленные выше задачи образуют «класс задач об оптимальном маршруте судна»: 1) о прохождении кораблем фиксированных зон, пересечение которых ха- рактеризуется определенной вероятной опасностью и возможным ущер- бом; 2) о возможном пересечении траектории корабля с траекторией другого объекта (корабля, циклона и др.); 3) о возможном загрязнении заданной части акватории моря, при осущест- влении проводки корабля в этой или других частях бассейна. Во всех перечисленных задачах возникает необходимость корректиров- ки траектории корабля с целью минимизации риска возникающей опасной ситуации. Однако одновременно с задачей минимизации того или иного риска (а возможно и всех одновременно, но с различными предписанными «весами») приходится решать задачу минимизации затрат, связанных с воз- можными отклонениями от заранее предписанного маршрута. 341 В последние годы внимание исследователей привлекают методы реше- ния задач, основанные на теории рисков [1]. В настоящей работе на примере одной из перечисленных выше задачи – задачи о маршруте судна в услови- ях «стационарной угрозы», рассмотрим возможные подходы к решению описанного выше класса задач. Эти подходы базируются на теории случай- ных функций и теории рисков, при этом применяются известные методы исследования и решения задач экстремальных задач [2, 3]. Постановка задачи об оптимальном маршруте корабля. Пусть в ог- раниченной области Ω из 2R с липшицевой кусочно-гладкой границей ∂Ω осуществляется движение («проводка») корабля. Для упрощения изло- жения мы ограничиваемся далее рассмотрением решения задачи в прямо- угольной системе координат 1 2( , )x x x≡ ∈Ω . Обозначим траекторию дви- жения (следования) корабля через X(t) = (X1(t), X2(t)) («маршрут судна»), где [0, ]t T∈ – время при T < ∞ . Предполагается, что 2 2 2 1 2/ (( / ) ( / ) )\| \|dX dt dX dt dX dt≡ + < ∞ [0, ]t T∀ ∈ , т. е. что скорость движения корабля конечна. Через (0) (0) (0) 1 2( ) ( ( ), ( ))X t X t X t= обозначается «предварительная оптимальная траектория» следования корабля, которая заранее рассчитана и рекомендована службами сопровождения. Считаем выполненными условия: (0) (0) (0) ( )(0) (0) , ( ) ( ) ,TX X X X T X T X= = = = т. е. как искомая траектория ( )X t , так и предварительная (0)( )X t при 0t = выходят из одной и той же точки (0)X , и заканчиваются в одной точке ( )TX при t T= . Введем функционал вида: (0) (0) 2 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) , 2 \| \| T d X X J X J X X k t dt dt −≡ = ∫ (1) где 1 2( ) ( ( ), ( ))X t X t X t= – траектория корабля в условиях возникновения риска (об этом речь будет идти ниже), (0)( )X t – оптимальная траектория, рассчитанная заранее без учета возможного риска. Функции (0)( ), ( )i iX t X t , 21,i = продолжаем на R постоянной (0),iX при 0t < и постоянной ( ),T iX при t T> . Коэффициент 1( )k t является положительной гладкой функцией t∀ . Функционал (1) можно интерпретировать как величину затрат («штраф») за отклонение траектории корабля от (0)X . Замечание: Заметим, что можно было бы рассматривать функционал более общего вида: 342 dtXXtk dt XXd tkXJ T           −+−= ∫ 2 (0) 0 2 (0) 1 0 1 )( ( )( 2 1 )( где ∞<< )(0 0 tk . Однако для упрощения мы рассматриваем далее 1J вида (1). Предположим теперь, что в течение заданного промежутка времени 1 2( , ) (0, )t t T⊂ возможна критическая ситуация с кораблем, например, за- хват его пиратами, посадка на мель или столкновение с айсбергом. Харак- теристическую функцию интервала 1 2( , )t t обозначим 1,2m . Вероятное по- ложение точки возникновения критической ситуации обозначаем �� 1 2( , )X X X≡%% , а ее какую-либо реализацию обозначим � � 1 2( , )X X X≡% . Ко- ординаты точек ,X X%% % считаем независящими от (0, )t T∈ . Величины �� 1 2,X X считаем независимыми и равновозможными. Распределение плотности вероятности возникновения критической си- туации в Ω (т. е. появления вероятностной величины X%% ) зададим как про- изведение одномерных нормальных распределений: 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 ( ) ( )· ( ) · 2 2 x a x a f x f x f x e eσ σ πσ πσ − −− − ≡ = с произвольными параметрами 1a , 2a , 1σ , 2σ ( 1 0σ > , 2 0σ > ). Известно также [4], что ia есть математическое ожидание случайной величины iX ∈ R%% , а iσ – среднее квадратичное отклонение i -го нормального распре- деления ( =i 1,2). Поэтому чтобы задать нормальные распределения ( )if x достаточно знать (или задать) параметры ia , iσ , =i 1,2. Пусть далее ( ) , 1,2n i ia X i≡ = - координаты некоторой точки в ( )nΩ ⊂ Ω – точки ( ) ( ) ( ) 1 2( , )n n nX X X≡ наиболее частого возникновения критической ситуации или просто точки, в которой ожидается данная си- туация. Параметры 1σ , 2σ будем задавать равными малой положительной ве- личине 1 2 0σ σ σ= = > , что означает возрастание плотности вероятности при приближении к точке ( )nX – точке возможной неблагоприятной си- туации. Пусть ущерб от неблагоприятной ситуации есть Q = const > 0 – напри- мер, сумма выкупа, стоимость судна или другие издержки. Считаем, что ущерб «выплачивается» сразу же в момент неблагоприятной ситуации, а корабль продолжает следовать по траектории ( )X t (это позволит нам ниже 343 рассматривать задачу без включения времени на задержку корабля). Обра- щаем внимание на то, что ниже мы всегда рассматриваем вектор- функцию ( )X t как неслучайную функцию. Введем следующий функционал: �� 2 1,2 1,2 1 21,2 1 1 2 2 ( ( )) ( )· ( )· ( ( )) ( )· ( )· ( ( ( ))) ( )· ( )· ( ( ( )))· ( ( ( ))) , J X t m t Q t f X t dt m t Q t M X X t dt m t Q t M X X t M X X t dt δ δ δ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ ≡ ≡ ≡ − ≡ ≡ − − ∫ ∫ ∫ %% (2) где ( )tδ – «дельта-функция Дирака», а также ( ( ( ))) ( ) ( ( )) ( ( ))i i i i i i i i i iM X X t f X X X t dx f X tδ δ ∞ −∞ − = − =∫ %% % % – математиче- ское ожидание функции ( ( ))i iX X tδ −%% случайного аргумента iX%% с нор- мальным законом распределения вероятности ( =i 1,2), ( )Q Q t≡ – ограни- ченная неотрицательная функция, характеризующая ущерб в случае реали- зации неблагоприятной ситуации, или просто «ущерб». Сделаем пояснения к заданию функционала 2J в виде (2). Так будем рас- сматривать следующее выражение функции ущерба Q от случайной величины X%% : 1,2( , ( )) ( )· ( )· ( ( )) .Q X X t m t Q t X X t dtδ ∞ −∞ ≡ −∫ % %% % Очевидно, что эта функция нетривиальна, если только существует зна- чение 1 2( , )t t t∈ такое, что ( )X X t=%% . Замечаем, что при рассмотрении ( , ( ))Q X X t%% необходимо оперировать с бесчисленным множеством реали- заций X% вероятной величины X%% . Поэтому, как это осуществляется во многих вопросах теории и приложений случайных процессов, переходим к рассмотрению математических ожиданий случайных процессов как одних из «осредненных характеристик» этих процессов. В силу изложенного выше перейдем от рассмотрения функции ( , ( ))Q X X t%% случайного аргумента к ее математическому ожиданию: 1 1 2 2 1,2 2 1 2 1,2 1,2 2 1 ( ) ( ) ( ) · ( )· ( ( )) ( )· ( )( ( ( ))) ( )· ( ) ( ( )) ( )i i i M Q f X f X m Q t X X t dtdX dX m t Q t f X t dt m t Q t f X t dt J X δ ∞ ∞ ∞ −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ =−∞ −∞ ≡ − = = = = ∫ ∫ ∫ ∏∫ ∫ % % % % % 344 Итак, функционал 2( )J X вида (2) является математическим ожида- нием функции ущерба ( , ( ))Q X X t%% от случайного аргумента X%% с нормаль- ным законом распределения вероятностей. Величина 2J представляет собой функционал риска или просто риск возможной неблагоприятной ситуации. Здесь для измерения рисков исполь- зуется подход, основанный на измерении убытков в неблагоприятной си- туации, когда показатель риска зависит как от вероятности опасности рас- сматриваемого события, так и от величины ожидаемых последствий (ущер- ба). Если ввести разбиение 1 2( , )t t на элементарные подынтервалы длиной t∆ , нетрудно заметить, что величина 2J есть предел суммы «элементар- ных» рисков, определяемых как произведение вероятности события на ве- личину ущерба от него, широко используемых в инженерных расчетах и практике принятия решений [1]. Образуем теперь функционал вида 1 2( ) ( ) ( ),J X J X J Xα α= + где 0α… – весовой коэффициент. Выбирая α так или иначе мы можем рас- сматривать различные случаи задачи об оптимальном маршруте корабля. Сформулируем теперь следующую задачу: требуется найти траекторию 1 2 2( ) ( (0, ))X t W T∈ , такую что 1 2 2 (0) ( ) ( ([0, ])) (0) , ( ) ( (·)) inf ( ( )) T X W T X X X T X J X J X tα α∈ = = = % % % % (3) – задача об оптимальном маршруте корабля в условиях неблагоприятной ситуации. Если принимается 0α = или 0 1α< � , то это означает, что рассмат- ривается задача с «пренебрежительным» риском неблагоприятной ситуа- ции, и очевидно, что здесь (0)X X≈ . Если 1α � , то величина риска в Jα может стать преобладающей и, возможно, здесь придется принимать реше- ние о значительном изменении траектории ( )X t по сравнению с (0)X и идти на значительные дополнительные затраты с целью уменьшения риска. Разрешимость задачи и вариационное уравнение. Предположим, что ( )X t есть решение поставленной задачи минимизации (3). Тогда оно необ- ходимо удовлетворяет вариационному уравнению (уравнение Эйлера, необ- ходимое условие оптимальности): 345 ) (0) 1 0 1,2 0 1 2 2 ( ) ( ) · · ( )· ( )· ( )· 0, ( (0, )) , T d X X dY J k t dt dt m t Q t f X Y dt Y W T αδ α  −= +  + ∇ = ∀ ∈ ∫ где 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ( ) ( ), ( ) ( )). f f f X X f X f X X x x ∂ ∂∇ = ∂ ∂ Пусть (0)X есть «гладкая» траектория, например (0) 2 2 2( (0, ))X W T∈ . Тогда из вариационного уравнения получаем классическую форму вариаци- онной задачи: (0) 1 1,2 (0) ( ) ( ) ( ) · ( )· ( )· ( ( )) 0, (0, ), (0) , ( ) .T d d X X k t m t Q t f X t dt dt t T X X X T X α   −− + ∇ =      ∈   = = Пусть (0)( ) ( ) ( ).x t X t X t= − Тогда 0 1 2 1 2 2( ) ( ( ), ( )) ( (0, ))x t x t x t W T≡ ∈ удовлетворяет системе вида (0) 1 1,2( ) · ( )· ( )· ( ) 0, (0, ) (0) ( ) 0, d dx k t m t Q t f x X t T dt dt x x T α  − + ∇ + = ∈      = = (4) или в покомпонентной форме записи: (0)1 1 1,2 1 (0)2 1 1,2 2 1 2 ( ) · ( )· ( ) ( ) г 0, ( ) · ( )· ( ) ( ) 0 (0, )де гд , 0 0, .е d dx f k t m t Q t x X dt dt x d dx f k t m t Q t x X dt dt x t T x x t t T α α  ∂ − + + =  ∂   ∂ − + + =   ∂   ∈  = = = = 346 Исследование и решение задачи (3) можно осуществить методами тео- рии экстремальных задач [2, 3]. Отыскание экстремальных точек этой зада- чи можно также осуществить путем отыскания и анализа критических то- чек, т. е. фактически решений полученной системы (4). Исследуем вопросы, связанные с разрешимостью задачи (3). Для этого рассмотрим сначала свойства функционала 2J . Запишем 2J как функционал для приращения 0 (0) 1 2 2( ) ( ) ( (0, ))x t X X W T≡ − ∈ с учетом того, что 1 2( , ) (0, )t t T⊆ : (0) 2 1,22 0 1 ( ) ( ) ( )· ( )· ( ( )) , 2 T J x J X x m t Q t f x t dt πσ ≡ + ≡ ∫ % где ( 0) 2 2 ( ) 2 1 1 2 2( ) ( )· ( ), ( ) . i i ix X a i if x f x f x f x e σ + −− ≡ =% % % % Замечаем, что выражение для первой и второй производных Гато от ( )J x имеет вид: ( ) 1,22 0 (0) (0) 1 1 1 2 2 22 2 1 2 1 2 1,2 1 22 4 0 1 ( , ) ( ), ( )· ( )· · 2 ( ), ( ) , 1 ( ; , ) ( ) , ( )· ( )· · ( )· · , 2 T T DJ x h F x h m t Q t f hdt f f x X a x X a f D J x h h F x h h m t Q t A x h h dt πσ σ πσ σ ≡ 〈 〉 ≡ ∇ ∇ ≡ − + − + − ′≡ 〈 〉 ≡ ∫ ∫ % % % % где 0 1 2 1 2 2, , ( (0, ))h h h W T∈ , а матрица ( ) ( ) { ( )}T ijA x A x a x= ≡ имеет сле- дующие элементы: (0) 2 2( )ii i i ia x X a σ= + − − , =i 1,2, (0) (0) 12 21 1 1 1 2 2 2( )·( )a a x X a x X a= = + − + − . Собственные числа матрицы ( )A x имеют вид: 2 (0) 2 (0) 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2, ( ) ( ) .x X a x X aλ σ λ σ= − = + − + + − − Следовательно, для любых вектор-функций 0 1 2 2, ( (0, ))x h W T∈ имеем: 2 2 2 21 4 (0, )) ( ) ( ; , ) ( ) , , 2 L T Q D J x h h F x h h h πσ −′= 〈 〉… ‖‖ 347 где 1 [0, ] max \| ( ) \| . t T Q Q t ∈ ≡ Рассмотрим теперь функцию ( )φ ξ при [0,1]ξ ∈ вида ( ) ( ),F x xφ ξ ξ≡ 〈 〉 при некотором 0 1 2 2( (0, ))x W T∈ . Отмечаем, что (а) 2 2 2 2 (0)1 4 0 (0) 21 4 ( (0, )) ( (0, )) \| (0) \| \| (0), \| \| \|· \| \| 2 · ; 2 T L T L T Q F x X a x dt Q X a x φ πσ πσ = 〈 〉 − − < ∞ ∫„ „ „ ‖ ‖ ‖‖ (б) 2 2 1,22 4 0 21 06 ( (0, )) 1 ( ) ( )· ( )· · ( )· · , 2 ( ) · · , 2 \| \| T L T d f m t Q t A x x x dt d d Q C x d φ ξ ξ ξ πσ σ φ ξ ξ πσ = ∫ % „ ‖‖ где 0 1 2max(\| \|,\| \|) const x C λ λ= < ∞„ при условии ограниченности области. Следовательно, при любом [0,1]ξ ∈ справедлива формула 0 ( ) ( ) (0), T d φφ ξ ξ ξ φ ξ ∂ ′ ′= + ∂∫ из которой в частности следует непрерывность ( )φ ξ по ξ : 0 1 6 \| ( ) ( ) \| \| \|· . 2 C Qφ ξ ξ φ ξ ξ πσ + ∆ − ∆„ Таким образом функция ( ),F x xξ непрерывна по ξ на [0,1] при лю- бом 0 1 2 2( (0, ))x W T∈ . Функционал (0) 1 1( ) ( )J x J x X≡ + является квадратичным и для него справедлива оценка вида 2 2 2(0) 21 1 ( (0, )) ( ) , 2 L T k J x x T π      … ‖‖ где (0) 1 1[0, ] ( min ( )) 0, t T k k t ∈ = > а также имеют место очевидные соотношения: 348 2 2 2 2 2 2 2 2 (0) 2 (0) 2 1 1 1 1( (0, )) ( (0, )) 0 2 2 (0) 2 1 1 1 ( (0, )) 0 1 1 1 ( ), ( ) \| \| , 2 2 2 1 1 ( ) , ( ) \| \| . 2 2 T L T L T T L T dx dx J x x k t dt k k x dt dt T dh J x h h k t dt k h dt T π π  ′ =      ′′ =     ∫ ∫ … … … ‖ ‖ ‖‖ ‖‖ Предположим в дальнейшем выполнение следующего неравенства: 3 4 (0) 1 1 2· . k Q T π σα < (5) При выполнении (5), свойств функционалов 1( )J x , 2( )J x и теорем не- линейного анализа [3] для функционала 1 2J J Jα α= + и его градиента DJ Fα α≡ имеет место соотношение и свойства: а) функция ( ),F x xα непрерывна по ξ на [ ]0,1 при любом 0 1 2 2( (0, ))x W T∈ , б) ( ) ( ), 0F x h F x hα α+ − > для всех 0 1 2 2, ( (0, ))x h W T∈ , т. е. Fα – строго мо- нотонный оператор, а Jα – строго выпуклый, На основании приведенных свойств функционала Jα устанавливается: Теорема. Пусть выполнено условие (5). Тогда в любой конечной окре- стности 0 1 2 2 0 1 2 (0) 2 ( (0, )) { ( (0, )) : } W T S X W T X X R≡ ∈ − < ∞„‖ ‖ существует внутренняя точка X S∈ , в которой Jα имеет абсолютный минимум и X удовлетворяет уравнению ( ), 0J X hα′ = 0 1 2 2( (0, ))h W T∀ ∈ , т. е. X являет- ся решением задачи (3). Доказательство. Переходя к (0)x X X≡ − , рассмотрим функционал ( )J xα . Тогда задача (3) эквивалентна задаче об отыскании минимального значения ( )J xα при 0 1 2 2( (0, ))x W T∈ . Для ( )J xα справедливы установленные ранее свойства (а) – (в). Кроме того, при выполнении (5) имеем: в) 349 0 1 2 2( ) , 0 , ( (0, )) .J x h h x h W Tα′′ ∀ ∈… Следовательно функционал ( )J xα слабо полунепрерывен снизу на лю- бом 0 1 2 2 0 1 2 2 ( (0, )) { ( (0, )) : }R W T S x W T x R= ∈ „‖‖ (см. теоремы 8.5, 8.6 из [3]). Теперь на основе обобщения теорем Вейерштрасса и теорем о сущест- вовании критических точек (см. § 8 из [3]) заключаем, что в RS существует единственная внутренняя точка 0x абсолютного минимума функционала Jα , при этом 0x удовлетворяет уравнению 0( ) 0J xα′ = , которое в «класси- ческой» форме записи есть (4). Если теперь ввести вектор-функцию (0) 0X x X≡ + , то именно она является решением системы (4). Данное ре- шение единственно и оно удовлетворяет (3).� Приближенное решение системы (4) можно осуществить различными методами, один из которых будет рассмотрен далее. Приближенное решение задачи. Пусть const 0Q = > и 1,2 const 0m = > и 1 const 0k = > (интерпретацию задачи, когда это воз- можно, мы фактически дали уже выше). Приближенное решение нелиней- ной задачи (4) будем искать итерационным методом. Для его построения заменим x на 1kx + , после чего линеаризуем уравнение ( ) ( ) 1 1 (0) 1 1,2 (0) (0) 1 1,2 1,2 ( ) · ( )· ( )· ( ) · · · ( ) · · · ( ) . k k k k k k d dx k t Q t m t f x X dt dt Q m f x X Q m f x X x x α α α + + +   = ∇ + ≈    ≈ ∇ + + ∆ + − Получили итерационный метод Ньютона. Известно, что метод дает квадратичную скорость сходимости. Далее можно также получить прибли- женное решение, например, разностным методом или методом конечных элементов. В общем случае для решения задачи типа (4) целесообразно применять тот или иной алгоритм в зависимости от свойств операторов за- дачи (величин параметров ,Qα и т.д.). Далее приведены примеры результатов численных расчетов на «мо- дельной» задаче. Исследовалось влияние изменения параметра весового ко- эффициента α , задающего величину влияния риска неблагоприятной си- туации на изменение траектории судна, и среднего квадратичного отклоне- ния σ , характеризующего плотность вероятности неблагоприятной ситуа- ции с судном. Результаты отражены на рисунке. 350 Рисунок . На карте представлены оптимальные маршруты Трабзон (Турция) – Сочи (Россия) как результат работы программы при раз- личных значениях входных параметров α и σ : а – α = 1 и σ = 2; б – α = 5 и σ = 20. Остальные параметры для простоты вычислений брались константой, равной единице. Сплошная линия – изначальная траектория, пунктир – оптимальная траектория, круги – функция плотности распределения. Заключение. Несложно заметить, что рассмотренная выше задача лег- ко обобщается на случай наличия N возможных критических ситуаций. В этом случае функционал 2J может быть задан в следующем виде: ( ) ( ) ( ) 2 1,2 1 ( ) ( )· ( )· ( ( )) , N n n n n J X m t Q t f X t dt ∞ = −∞ =∑ ∫ где ( ) 1,2 ( )nm t , ( ) ( )nQ t , ( ) ( ( ))nf X t имеют физический смысл, что и 1,2( )m t , ( )Q t , ( ( ))f X t в рассмотренной выше задаче, но только для n -й критиче- ской ситуации. Аналогично изложенному можно также рассмотреть алгоритм решения других задач об оптимальном маршруте судна, сформулированных во вве- дении. Конечно, каждая из этих задач имеет свою специфику, что будет от- ражаться и на алгоритмах их исследования и решения. Однако, общим для них может быть применение методологии, основанной на теории случайных функций, теории риска и методах решения экстремальных задач. а Новороссийск Керчь Сочи Трабзон Батуми Поти Плотность вероятности б Новороссийск Керчь Сочи Трабзон Батуми Поти Плотность вероятности 351 Благодарности. Работа выполнена при финансовой поддержке феде- ральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инно- вационной России» на 2009 – 2013 годы и федеральной целевой программы «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007 – 2013 годы». СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений – М.: Мир, 1990. – 208 с. 2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление – М.: Физматлит, 2007. – 408 с. 3. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов – М.: Наука, 1977. – 417 с. 4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам – М.: Айрис-пресс, 2010. – 288 с. 5. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды – М.: Наука, 1982. – 320 с. 6. Агошков В.И., Заячковский А.О. Исследование и алгоритм решения задачи об оптимальном маршруте корабля на основе теории рисков при дистанционном зондировании опасностей // Современные проблемы дистанционного зондиро- вания Земли из космоса. – 2012. – Том 9, № 3. – С. 9-17. Материал поступил в редакцию 25 .10 .2012 г . АНОТАЦ IЯ Для різних даних, що вказують на наявність небезпеки для прохо- дження судна, встановлюється величина ризику виникнення критичної ситуації з кораблем і запропоновано алгоритм знаходження оптимального маршруту корабля. Метод знаходження оптимального маршруту корабля базується на мінімізації «фу- нкціоналу вартості», що описує сумарні витрати, якими може бути обтяжений об- раний маршрут між розрахунковими точками. Розглянуті варіаційні рівняння для мінімізації функціоналу і досліджені питання, якi пов'язані з здійсненнем завдан- ня. Завдання вирішувалася чисельно, для наближеного розв'язання використовував- ся ітераційний метод на акваторії Чорного моря. ABSTRACT In this paper an algorithm for finding the optimum ship route is proposed. The method for finding the optimum ship route is based on the route cost functional, which describes the total costs the route between the two points may be burdened with. We consider some kinds of critical situation with the ship. Having described the situation possibilities characteristics and the loss of consequences we get the numerical estimation of risk. There are considered variational equations for minimization of the functional and the problem of solvability is examined. The problem was solved numerically, for the ap- proximate solution of iterative method has been used in the water area of the Black sea.

Исследование и алгоритм решения одной нелинейной задачи теории рисков

Institution

Ähnliche Einträge