Побудова ядер інтегральних рівнянь Вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу

Побудова ядер інтегральних рівнянь Вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу

Предлагается алгоритм построения ядер и резольвент интегральных уравнений Вольтерра с помощью функций ползучести и функций релаксации реологических тел высокого ранга....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2013
1. Verfasser: Бицань, Є.М.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Український науково-дослідницький і проектно-конструкторський інститут гірничої геології, геомеханіки і маркшейдерської справи НАН України 2013
Schriftenreihe:Наукові праці УкрНДМІ НАН України
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/57224
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Побудова ядер інтегральних рівнянь Вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу / Є.М. Бицань // Наукові праці УкрНДМІ НАН України. — 2013. — № 13, ч. 1. — С. 294-299. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-57224
record_format dspace
spelling irk-123456789-572242014-03-06T03:01:32Z Побудова ядер інтегральних рівнянь Вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу Бицань, Є.М. Предлагается алгоритм построения ядер и резольвент интегральных уравнений Вольтерра с помощью функций ползучести и функций релаксации реологических тел высокого ранга. Algorithm for core formation and resolvents of Volterra integral equations of second kind with the help of creep and relaxation functions of rheologic bodies of high rank is proposed. 2013 Article Побудова ядер інтегральних рівнянь Вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу / Є.М. Бицань // Наукові праці УкрНДМІ НАН України. — 2013. — № 13, ч. 1. — С. 294-299. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 1996-885X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/57224 530.3+550.344 uk Наукові праці УкрНДМІ НАН України Український науково-дослідницький і проектно-конструкторський інститут гірничої геології, геомеханіки і маркшейдерської справи НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Предлагается алгоритм построения ядер и резольвент интегральных уравнений Вольтерра с помощью функций ползучести и функций релаксации реологических тел высокого ранга.
format Article
author Бицань, Є.М.
spellingShingle Бицань, Є.М.
Побудова ядер інтегральних рівнянь Вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу
Наукові праці УкрНДМІ НАН України
author_facet Бицань, Є.М.
author_sort Бицань, Є.М.
title Побудова ядер інтегральних рівнянь Вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу
title_short Побудова ядер інтегральних рівнянь Вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу
title_full Побудова ядер інтегральних рівнянь Вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу
title_fullStr Побудова ядер інтегральних рівнянь Вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу
title_full_unstemmed Побудова ядер інтегральних рівнянь Вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу
title_sort побудова ядер інтегральних рівнянь вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу
publisher Український науково-дослідницький і проектно-конструкторський інститут гірничої геології, геомеханіки і маркшейдерської справи НАН України
publishDate 2013
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/57224
citation_txt Побудова ядер інтегральних рівнянь Вольтерра за допомогою реологічних тіл високого рангу / Є.М. Бицань // Наукові праці УкрНДМІ НАН України. — 2013. — № 13, ч. 1. — С. 294-299. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series Наукові праці УкрНДМІ НАН України
work_keys_str_mv AT bicanʹêm pobudovaâderíntegralʹnihrívnânʹvolʹterrazadopomogoûreologíčnihtílvisokogorangu
first_indexed 2025-07-05T08:28:02Z
last_indexed 2025-07-05T08:28:02Z
_version_ 1836794860313509888
fulltext Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 13 (частина I), 2013 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 13 (part I), 2013 294 УДК 530.3+550.344 ПОБУДОВА ЯДЕР ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ВОЛЬТЕРРА ЗА ДОПОМОГОЮ РЕОЛОГІЧНИХ ТІЛ ВИСОКОГО РАНГУ Бицань Є. М. (Інститут геофізики НАНУ, м. Київ, Україна) Предлагается алгоритм построения ядер и резольвент ин- тегральных уравнений Вольтерра с помощью функций ползуче- сти и функций релаксации реологических тел высокого ранга. Algorithm for core formation and resolvents of Volterra integral equations of second kind with the help of creep and relaxation func- tions of rheologic bodies of high rank is proposed. Великі промислові об’єкти паливно-енергетичного комплек- су (АЕС, нафтосховища, домни тощо) створюють значний тиск на ґрунт, внаслідок чого має місце повзучість. В умовах повзучо- сті знаходяться і всілякі підземні об’єкти, зокрема шахтні вироб- ки. Це вимагає створення постійного геодинамічного моніторин- гу на цих об’єктах з метою підвищення безпеки їхньої експлуата- ції. Під моніторингом розуміється не лише спостереження та об- робка інформації, потрібної для створення умов безпечної екс- плуатації цих об’єктів, але і прогнозування їхньої безпеки та ви- дача надійних рекомендацій щодо режиму їх функціонування та прийняття рішень. Для природних та промислово-технологічних об’єктів важливе значення має візуальний контроль, який є одним з найважливіших елементів моніторингу. Моніторинг складається з кількох блоків. Важливим блоком являється моніторинг фізич- ного стану ґрунтів – дослідження їхньої повзучості. Якщо ми маємо експериментально отриману функцію повзучості, то її можна розкласти в ряд по експонентах, які Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 13 (частина I), 2013 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 13 (part I), 2013 295 розглядаються як базис, і по цьому розкладанню одержати спектр часів післядії і релаксації, за допомогою яких можна будувати реологічні тіла (РТ). В реології на даний час використовуються реологічні тіла, ранг яких не перевищує чотири, і які використо- вують не більше двох часів післядії (часів повзучості) [1, 2]. Розширення спектру часів післядії потребує використання РТ більш високого порядку, а ще точніше процес повзучості описується за допомогою інтегральних рівнянь Вольтерра 2-го роду, що дозволяють повніше описати процес повзучості на потрібний інтервал часу, тобто прогнозувати повзучість по експериментально отриманим даним. В доповіді розглядається задача про побудову ядер і резоль- вент інтегральних рівнянь Вольтерра 2-го роду, що описують процеси післядії в непружних середовищах, і записуються таким чином [1 – 3]:          t dtKt E t 0 ],[ 1  (1)          t dtRtEt 0 ][  , (2) де K(t – τ) – ядро інтегрального рівняння (1), а R(t – τ) – його резольвента, так що вираз (2) є розв’язком рівняння (1), і навпа- ки – вираз (1) буде розв’язком рівняння (2). Приведемо деякі дані про структуру реологічних тіл і про метод побудови РТ високого порядку [4]. РТ n-го рангу поділяються на чотири типи. Їхні реологічні рівняння (РР) у стандартному виді записуються таким чином:      12 1 11 1 11 11       n n n R n n n NDbDbDDaDa       n n n R n n n NDbDbDDaDa 2 1 111 ,11         n n n R n n n HDbDbEDaDa 21 1 11 ,11     (3)      1211 ,11  n n n R n n n HDbDbEDaDa  Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 13 (частина I), 2013 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 13 (part I), 2013 296 де D = ∂ / ∂t, H i N – квазіпружні та квазів’язкі РТ, R nE і R nΗ – релаксуючі пружні і в’язкі модулі відповідно, нижній індекс вказує на число елементів у невиродженому РТ, а n – його ранг. Ядро інтегрального рівняння (1) визначається через швид- кість функції повзучості v так [1]:      0 E tK  , (4) звідки випливає, що для побудови швидкості деформації доціль- но брати квазів’язке реологічне тіло, реологічне рівняння якого записується таким чином:     ,11 1 111    n n R n n n DbDbDaDa (5) і в випадку, коли σ = σ0 = const, для швидкості деформації (функ- ції швидкості повзучості) v одержимо з рівняння (5) наступне диференціальне рівняння:      n R nn nn cEvvcvcv /... 01 1 1     , (6) де ci = bn-i/bn. Його загальний розв’язок запишеться таким чином:   ,ˆexp 1     n i ii tdv (7) де  n R n bE/ˆ 0  – частковий розв’язок рівняння (5), λi = –1/νi – корені характеристичного рівняння, породженого ди- ференціальним рівнянням (6): 0... 1 2 2 1 1    n nnn ccc  , де νi – часи релаксації деформацій при постійному напру- женні (часи післядії або часи повзучості), а di – сталі інтегруван- ня, що визначаються з початкових умов. Функція швидкості повзучості, записана згідно рівняння (7), являється по суті розкладом швидкості деформації в ряд по екс- понентах. Зауважимо, що розкладання функції повзучості в ряд Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 13 (частина I), 2013 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 13 (part I), 2013 297 буде тим точніше, чим більша кількість експонент в ньому, а це означає, що для кращої апроксимації функції повзучості треба брати ранг реологічного тіла якомога більшим. Побудова РТ високого рангу проводиться шляхом об'єднання РТ меншого порядку. При паралельному об'єднанні двох РТ, РР яких мають такий вид: 22221111 ,  QPQP  , одержимо РТ, РР якого запишеться так:   122121 QPQPPP  , а при послідовному об’єднанні для РР буде мати місце такий за- пис:   .211221  QQQPQP  Підставимо в рівняння (4) значення функції швидкості пов- зучості, підрахованої за допомогою рівняння (6), і одержимо для ядра K(t) інтегрального рівняння (1) такий вираз:        n i t i ied E tK 1 / 0 ̂   . (8) В випадку, коли швидкість функції повзучості не має адити- вної константи, функцію повзучості знаходимо за допомогою любого з квазіпружних РТ n-го рангу з системи (1). Для випадку, коли σ = σ0 = const для деформації (функції повзучості) ε одер- жимо наступне диференціальне рівняння:      n R nnn nn bEbcc //... 01 1 1      , (9) де ci = bn-i/bn. Його загальний розв’язок запишеться таким чином:   ,ˆexp 1     n i ii td (10) де   /  0 E bn R n – частковий розв’язок рівняння (9), λi = – 1/νi – корені характеристичного рівняння, породженого диферен- ціальним рівнянням (9): 0/1...2 2 1 1   n nnn bcc  , (11) Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 13 (частина I), 2013 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 13 (part I), 2013 298 νi – часи релаксації деформацій при постійному напруженні (часи післядії або часи повзучості), а di – сталі інтегрування, що визначаються з початкових умов. Підставимо в рівняння (4) значення функції повзучості, під- рахованої за допомогою рівняння (10), і одержимо для ядра K(t) інтегрального рівняння (1) такий вираз:             n i t i i iec E tK 1 / 0 1   . (12) Далі побудуємо резольвенту R(t) рівняння (1). Вона виража- ється через функцію релаксації σ(t), яка описує процес релаксації напружень в середовищі при постійній деформації ε0 таким чи- ном [1]:     0/ ttR  . (13) Функція релаксації σ(t) знаходиться з реологічних рівнянь квазіпружних реологічних тіл. Для прикладу розглянемо РТ, РР якого в узагальненому виді записується як H2n+1 і має такий вид:     ,11 11  n n R n n n DbDbEDaDa  і для випадку, коли ε = ε0 = const, для напруження (функції релаксації) σ одержимо таке диференціальне рівняння:      n R nnn nn aEccc /... 01 1 1      , (14) де ci = an-i/an. Його загальний розв’язок запишеться таким чином:   ,ˆexp 1    n i ii td (15) де   / 0 0 E an R n – частковий розв’язок рівняння (14), λi = –1/νi – корені характеристичного рівняння, породженого ди- ференціальним рівнянням (14): 0...2 2 1 1   n nnn ccc  , (16) де νi – часи релаксації напружень при постійній деформації (часи релаксації), а di – сталі інтегрування, що визначаються з по- чаткових умов. Наукові праці УкрНДМІ НАН України, № 13 (частина I), 2013 Transactions of UkrNDMI NAN Ukraine, № 13 (part I), 2013 299 Підставимо з рівняння (11) вираз для функції релаксації в рівняння (8) і одержимо такий вираз для резольвенти інтеграль- ного рівняння (13):     0 1 /exp        n i iii tdtR . (17) Підсумовуючи, скажемо, що в повідомленні запропоновано алгоритм побудови ядер і резольвент інтегральних рівнянь Вольтерра 2-го роду, які описують процеси післядії в непружних геологічних середовищах. Отримані формули для функцій повзучості і релаксции, що описують процес повзучості і релаксації в геологічному середовищі. Кількість складових у виразі для деформації дорівнює рангу РТ, звідки випливає, що для кращої апроксимації деформації доцільно брати РТ як можна більшого рангу. Побудовані за допомогою реологічних тіл ядра і резольвенти інтегральних рівнянь дають можливість точніше описати процеси деформації з урахуванням післядії і прогнозувати процес повзучості за експериментально отримани- ми даними. Критерієм підвищеної небезпеки є відхилення отриманих моніторингових результатів від розрахункових, що утворюються за допомогою апріорної інформації про параметри контрольо-ваних грунтів. ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ 1. Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. –– Москва : Выс- шая школа, 1976. –– 277 с. 2. Рейнер М. Реология. –– Москва : Наука, 1965. –– 294 с. 3. Ржаницын А. Р. Теория ползучести. –– Москва : Госстройиз- дат, 1968. –– 416 с. 4. Бицань Є. М. Деякі особливості узагальненого реологічного тіла // Доп. НАН України. –– 2009. –– № 11. –– С. 98––103.

Ähnliche Einträge