Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений
The limit theorems for the solutions of linear matrix differential equations in the Sobolev’s Wn,p-norms are established. The case of the uniform C-norm was studied earlier by many authors in detail. Some applications are given.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5728 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений / В.А. Михайлец, Н.В. Рева // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 28-30. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-5728 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-57282010-02-05T12:01:02Z Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений Михайлец, В.А. Рева, Н.В. Математика The limit theorems for the solutions of linear matrix differential equations in the Sobolev’s Wn,p-norms are established. The case of the uniform C-norm was studied earlier by many authors in detail. Some applications are given. 2008 Article Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений / В.А. Михайлец, Н.В. Рева // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 28-30. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5728 517.927 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Михайлец, В.А. Рева, Н.В. Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений |
| description |
The limit theorems for the solutions of linear matrix differential equations in the Sobolev’s Wn,p-norms are established. The case of the uniform C-norm was studied earlier by many authors in detail. Some applications are given. |
| format |
Article |
| author |
Михайлец, В.А. Рева, Н.В. |
| author_facet |
Михайлец, В.А. Рева, Н.В. |
| author_sort |
Михайлец, В.А. |
| title |
Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений |
| title_short |
Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений |
| title_full |
Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений |
| title_fullStr |
Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed |
Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений |
| title_sort |
предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5728 |
| citation_txt |
Предельный переход в системах линейных дифференциальных уравнений / В.А. Михайлец, Н.В. Рева // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 28-30. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT mihajlecva predelʹnyjperehodvsistemahlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT revanv predelʹnyjperehodvsistemahlinejnyhdifferencialʹnyhuravnenij |
| first_indexed |
2025-07-02T08:48:05Z |
| last_indexed |
2025-07-02T08:48:05Z |
| _version_ |
1836524331219288064 |
| fulltext |
УДК 517.927
© 2008
В.А. Михайлец, Н. В. Рева
Предельный переход в системах линейных
дифференциальных уравнений
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.С. Самойленко)
The limit theorems for the solutions of linear matrix differential equations in the Sobolev’s
Wn,p-norms are established. The case of the uniform C-norm was studied earlier by many
authors in detail. Some applications are given.
Вопросы предельного перехода в системах дифференциальных уравнений исследова-
лись многими математиками. Так, И.И. Гихман [1], а познее М. А. Красносельский
и С. Г. Крейн [2], Я. Курцвейль и З. Ворель [3] и др. доказали ряд глубоких теорем о харак-
тере зависимости решений дифференциальных уравнений от параметра. Бо́льшая их часть
связана с обоснованием известного принципа усреднения Н.Н. Боголюбова и Н.М. Крылова
(см., напр., [4]) в нелинейной механике и характеризуются общей точкой зрения на линей-
ный и нелинейный случаи. Для матричных линейных дифференциальных уравнений эти
результаты развивались и уточнялись В. Рейдом [5], А.Ю. Левиным [6], З. Опелем [7], Нгуен
Тхе Хоаном [8] и др. применительно к равномерной метрике. В данной работе аналогичный
вопрос, по-видимому, впервые исследуется в нормах соболевских пространств Wn,p и мо-
тивирован приложениями к теории общих и обобщенных краевых задач. Эти приложения
основываются на результатах данной работы и будут приведены в другой публикации.
1. Матрицант. Пусть [a, b] — компактный интервал вещественной оси, а числа m,n ∈ N,
p ∈ [1,∞]. Обозначим через Y (t) единственное решение (матрицант) линейного дифферен-
циального уравнения
Y ′(t) = A(t)Y (t), t ∈ (a, b), (1)
с начальным условием в некоторой фиксированной точке
Y (t0) = Im, t0 ∈ [a, b], (1a)
где Im — единичная (m × m)-матрица. Относительно комплекснозначного коэффициента
уравнения, предполагается, что
A(·) ∈ Wn−1,p([a, b], Cm×m) =: W m×m
n−1,p ,
W m×m
0,p := Lp([a, b], Cm×m).
При n = 1 коэффициент A(·), вообще говоря, неограничен на [a, b] и может иметь бе-
сконечное множество точек разрыва. В этом случае матричная функция Y (t) абсолютно
непрерывна на отрезке [a, b] и удовлетворяет уравнению (1) почти всюду.
Рассмотрим вопрос о корректности задачи (1)–(1a) в пространствах Соболева W m×m
n,p
с нормой ‖ · ‖n,p, которая сильнее, чем норма пространства Cn−1([a, b], Cm×m). Для этого
введем метрические пространства невырожденных комплексных матриц-функций
Yt0
n,p := {Y (t) ∈ W m×m
n,p : Y (t0) = Im, det Y (t) 6= 0}
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
с метрикой
dn,p(Y,Z) := ‖Y (·) − Z(·)‖n,p,
которая не зависит от выбора точки t0. Справедлива
Теорема 1. Нелинейное отображение
A(·) 7→ Y (·)
в задаче (1)–(1a) является гомеоморфизмом банахова пространства W m×m
n−1,p на метричес-
кое пространство Yt0
n,p при всех рассматриваемых значениях параметров n, p и t0.
2. Задача Коши. Рассмотрим теперь параметризированное числом ε ∈ [0, ε0] семейство
неоднородных задач Коши
Y ′(t, ε) = A(t, ε)Y (t, ε) + F (t, ε), Y (tε, ε) = Cε, (2)
где предполагается, что A(·, ε), F (·, ε) ∈ W m×m
n−1,p ; Cε ∈ C
m×m; t, tε ∈ [a, b].
Следующее утверждение является основным результатом работы.
Теорема 2. Пусть при ε → 0 выполнены условия:
‖A(·, ε) − A(·, 0)‖n−1,p → 0, ‖F (·, ε) − F (·, 0)‖n−1,p → 0,
Cε → C0, tε → t0.
Тогда однозначно определенные решения задач (2) удовлетворяют предельному соотно-
шению
‖Y (·, ε) − Y (·, 0)‖n,p → 0, ε → 0. (3)
Заметим, что если
F (·, ε) ≡ 0, Cε ≡ C0, tε ≡ t0,
то из теоремы 1 следует, что условие ‖A(·, ε) − A(·, 0)‖n−1,p → 0 является не только доста-
точным, но и необходимым для справедливости предельного соотношения (3).
Приведем некоторые приложения теоремы 2.
3. Системы уравнений высокого порядка. Рассмотрим задачу Коши для линейного
матричного дифференциального уравнения порядка k ∈ N:
Z(k)(t, ε) + Pk−1(t, ε)Z
(k−1)(t, ε) + · · · + P0(t, ε)Z(t, ε) = F (t, ε),
Z(j−1)(tε, ε) = Cj−1,ε, j ∈ {1, 2, . . . k} =: J.
(4)
Будем предполагать, что
Pj−1(·, ε) ∈ W m×m
n−1,p, F (·, ε) ∈ W m×m
n−1,p, Cj−1,ε ∈ C
m×m, tε ∈ [a, b], j ∈ J. (5)
Из теоремы 2 вытекает, что справедлива
Теорема 3. Пусть при ε → 0 выполнены условия:
‖Pj−1(·, ε) − Pj−1(·, 0)‖n−1,p → 0, ‖F (·, ε) − F (·, 0)‖n−1,p → 0,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 29
Cj−1,ε → Cj−1,0, tε → t0, j ∈ J.
Тогда однозначно определенные решения задач (4) удовлетворяют предельным соотноше-
ниям:
‖Z(j−1)(·, ε) − Z(j−1)(·, 0)‖n,p → 0, ε → 0, j ∈ J.
Теорему 3 можно рассматривать как некоторое обобщение теоремы 2. Она содержа-
тельна и в скалярном случае m = 1, если k > 2.
4. Непрерывная зависимость решения от параметра. Пусть для неоднородной
задачи Коши (4) выполнены условия (5). Из теоремы 3 следует, что справедлива
Теорема 4. Пусть выполнены условия:
1) функция ε 7→ tε непрерывна на отрезке [0, ε0];
2) для каждого j ∈ J отображения ε 7→ Cj−1,ε принадлежат классу C([0, ε0], C
m×m);
3) отображения ε 7→ F (·, ε), ε 7→Pj−1(·, ε), j ∈ J , принадлежат классу C([0, ε0],W
m×m
n−1,p).
Тогда матричные функции Z(j−1)(·, ε) непрерывно завиcят от парамера ε в метрике про-
странства W m×m
n−1,p на отрезке [0, ε0].
Исследования В.А. Михайлеца поддержаны ГФФИ Украины, грант 14.1/003.
1. Гихман И.И. По поводу одной теоремы Н.Н. Боголюбова // Укр. матем. журн. – 1952. – 4. – С. 215–
219.
2. Красносельский М.А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в нелинейной механике // Успехи мат.
наук. – 1955. – 10, вып. 3. – С. 147–153.
3. Курцвейль Я., Ворель З. О непрерывной зависимости линейных уравнений от параметра // Чехосл.
мат. журн. – 1957. – 7, № 4. – С. 568–583.
4. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. –
Москва: Физматгиз, 1955. – 447 с.
5. Reid W.T. Some limit theorems for ordinary differential systems // J. Different. Equat. – 1967. – 3, No 3. –
P. 423–439.
6. Левин А.Ю. Вопросы теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, 1 // Вестн.
Ярослав. ун-та. – 1973. – Вып. 5. – С. 105–132.
7. Opial Z. Continuous parameter dependence in linear systems of differential equations // J. Different.
Equat. – 1967. – 3. – P. 571–579.
8. Нгуен Тхе Хоан. О зависимости от параметра решений линейной системы дифференциальных урав-
нений // Дифференц. уравнения. – 1993. – 29, № 6. – С. 970–975.
Поступило в редакцию 21.11.2007Институт математики НАН Украины, Киев
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
|