Прямий центральний співудар пружних циліндричних тіл: надзвуковий етап
An approach to the definition of characteristics of a direct central shock of two different elastic cylindrical bodies has been developed. It is supposed that bodies are made from different materials and have different masses and forms of the frontal surfaces. The contact area size changes while imp...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5757 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Прямий центральний співудар пружних циліндричних тіл: надзвуковий етап / Т.А. Марченко // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 65-71. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-5757 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-57572010-02-05T12:00:43Z Прямий центральний співудар пружних циліндричних тіл: надзвуковий етап Марченко, Т.А. Механіка An approach to the definition of characteristics of a direct central shock of two different elastic cylindrical bodies has been developed. It is supposed that bodies are made from different materials and have different masses and forms of the frontal surfaces. The contact area size changes while impacting and is directly determined during the solution. Shock is considered on a small time interval, during which the perturbation has no time to come to the free frontal surfaces of bodies (supersonic stage). The solution of the problem leads to the determination of key features of the shock interaction and their dependence on the shape of the frontal surfaces of bodies, their mass, and material characteristics. 2008 Article Прямий центральний співудар пружних циліндричних тіл: надзвуковий етап / Т.А. Марченко // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 65-71. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5757 539.35 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Марченко, Т.А. Прямий центральний співудар пружних циліндричних тіл: надзвуковий етап |
| description |
An approach to the definition of characteristics of a direct central shock of two different elastic cylindrical bodies has been developed. It is supposed that bodies are made from different materials and have different masses and forms of the frontal surfaces. The contact area size changes while impacting and is directly determined during the solution. Shock is considered on a small time interval, during which the perturbation has no time to come to the free frontal surfaces of bodies (supersonic stage). The solution of the problem leads to the determination of key features of the shock interaction and their dependence on the shape of the frontal surfaces of bodies, their mass, and material characteristics. |
| format |
Article |
| author |
Марченко, Т.А. |
| author_facet |
Марченко, Т.А. |
| author_sort |
Марченко, Т.А. |
| title |
Прямий центральний співудар пружних циліндричних тіл: надзвуковий етап |
| title_short |
Прямий центральний співудар пружних циліндричних тіл: надзвуковий етап |
| title_full |
Прямий центральний співудар пружних циліндричних тіл: надзвуковий етап |
| title_fullStr |
Прямий центральний співудар пружних циліндричних тіл: надзвуковий етап |
| title_full_unstemmed |
Прямий центральний співудар пружних циліндричних тіл: надзвуковий етап |
| title_sort |
прямий центральний співудар пружних циліндричних тіл: надзвуковий етап |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5757 |
| citation_txt |
Прямий центральний співудар пружних циліндричних тіл: надзвуковий етап / Т.А. Марченко // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 65-71. — Бібліогр.: 8 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT marčenkota prâmijcentralʹnijspívudarpružnihcilíndričnihtílnadzvukovijetap |
| first_indexed |
2025-07-02T08:49:25Z |
| last_indexed |
2025-07-02T08:49:25Z |
| _version_ |
1836524415282577408 |
| fulltext |
УДК 539.35
© 2008
Т.А. Марченко
Прямий центральний спiвудар пружних цилiндричних
тiл: надзвуковий етап
(Представлено академiком НАН України В. Д. Кубенком)
An approach to the definition of characteristics of a direct central shock of two different elastic
cylindrical bodies has been developed. It is supposed that bodies are made from different materials
and have different masses and forms of the frontal surfaces. The contact area size changes while
impacting and is directly determined during the solution. Shock is considered on a small time
interval, during which the perturbation has no time to come to the free frontal surfaces of bodies
(supersonic stage). The solution of the problem leads to the determination of key features of
the shock interaction and their dependence on the shape of the frontal surfaces of bodies, their
mass, and material characteristics.
Наведено методику дослiдження процесу прямого центрального спiвудару двох пружних
цилiндричних тiл. Розвинуто пiдхiд, що застосовувався ранiше при розв’язаннi задач про-
никання тiл в рiдину [1, 2], удару тiл по поверхнi пружного пiвпростору [3, 4] та спiвудару
однакових пружних тiл [5, 6]. Вiдзначимо, що в данiй роботi розглядаються тiла з рiзними
фiзико-механiчними властивостями (рiзною масою, формою лобової поверхнi, виготовленi
з рiзних матерiалiв). Вважається, що тертя мiж контактуючими поверхнями вiдсутнє. В по-
чатковий момент удару тiла взаємодiють вздовж спiльної твiрної. Картина деформування
в кожному поперечному перетинi цилiндрiв однакова, це дозволяє вивчати процес в одному
з них, тобто в рамках плоскої задачi теорiї пружностi. Границя областi контакту змiнюється
з часом, її координати визначаються безпосередньо в процесi розв’язання задачi. Передба-
чається, що кривина лобової поверхнi тiл i глибина їх взаємного проникання малi порiвняно
з характерним розмiром областi контакту, внаслiдок чого граничнi умови формулюються
на недеформованiй поверхнi тiл.
Процес розглядається на обмеженому промiжку часу, протягом якого границя областi
контакту змiнюється зi швидкiстю, яка перевищує швидкiсть поширення хвиль в матерiалi
тiл, так званий надзвуковий етап. При цьому збурення не виходять на вiльну фронтальну
поверхню тiл i граничними умовами на цiй поверхнi можна розпорядитися на свiй розсуд.
Наводяться конкретнi числовi результати, аналiзується залежнiсть характеристик напруже-
но-деформованого стану вiд їх фiзико-механiчних властивостей. Сформулювано постановку
задачi прямого центрального спiвудару тiл, отримано розв’язуючу послiдовнiсть рiвнянь
для визначення основних характеристик процесу, наводяться конкретнi числовi результати
обчислень та зроблено висновки.
1. Постановка задачi. Два пружних тiла, обмежених цилiндричними поверхнями,
рухаються назустрiч один одному. В певний момент часу, який приймемо за t = 0, почи-
нається їх взаємодiя. Передбачається, що осi тiл паралельнi i в початковий момент уда-
ру тiла взаємодiють вздовж спiльної твiрної. Поперечнi перерiзи цилiндрiв у фронталь-
них вiдносно напрямку руху частинах обмеженi гладкими симетричними кривими. Вектор
вiдносної швидкостi наближення центрiв мас тiл напрямлений вздовж спiльної осi симет-
рiї поперечного перерiзу цилiндрiв i в початковий момент контакту його величина вiдома
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 65
Рис. 1
(Vc(0) = V (2)
c (0) − V (1)
c (0), де V (i)
c (t) — швидкiсть руху центра маси i-го тiла). Тут i надалi
верхнiй iндекс (i) набуває значень 1 та 2 для першого та другого тiла вiдповiдно. Оскiльки
процес деформування однаковий у всiх поперечних перерiзах, обмежимося формулюванням
плоскої задачi теорiї пружностi. Вводиться декартова система координат xzO таким чином,
що ось Oz спрямована вздовж спiльної осi симетрiї поперечного перерiзу цилiндрiв (рис. 1).
Ширина областi контакту x∗(t) змiнюється з часом i визначається безпосередньо в процесi
розв’язання задачi. Пружнi характеристики матерiалу тiл задаються за допомогою модуля
всебiчного стиску K(i) та модуля зсуву µ(i).
Для загальностi формулювання задачi вводяться безрозмiрнi позначення:
x =
x
R(1)
; z =
z
R(1)
; u
(i)
j =
u
(i)
j
R(1)
; t =
c
(1)
0 t
R(1)
; σ
(i)
jk =
σ
(i)
jk
µ(1)
;
F (i) =
F (i)
µ(1)R(1)2
; M (i) =
M (i)c
(1)2
0
µ(1)R(1)3
; ϕ(i) =
ϕ(i)
R(1)2
;
α(i) =
c
(i)
p
c
(1)
0
; β(i) =
c
(i)
s
c
(1)
0
; c
(i)
0 =
√
K(i)
ρ(i)
; i = 1, 2; j = r, z,
де R(1) — характерний лiнiйний розмiр 1-го тiла; u
(i)
j — компоненти вектора перемiщення;
σ
(i)
jk — компоненти тензора напруження; M (i) — маса тiла; ρ(i) — щiльнiсть матерiалу, з якого
виготовлене тiло; c
(i)
0 — швидкiсть поширення звукових хвиль в матерiалi, якщо його модуль
зсуву дорiвнює нулю, c(i)p ; c(i)s — швидкостi поширення хвиль стиску та зсуву вiдповiдно,
якi визначаються рiвностями
c(i)p =
√
K(i) + 4
3µ
(i)
ρ(i)
; c(i)s =
√
µ(i)
ρ(i)
.
Нижче риска над позначеннями опускається.
Пружнi тiла знаходяться у плоскому напружено-деформованому станi. Хвильове дефор-
мування матерiалу описується за допомогою скалярних хвильових потенцiалiв ϕ(i) та ψ(i),
якi задовольняють рiвняння
∂2ϕ(i)
∂x2
+
∂2ϕ(i)
∂z2
=
1
α(i)2
∂2ϕ(i)
∂t2
;
∂2ψ(i)
∂x2
+
∂2ψ(i)
∂z2
=
1
β(i)2
∂2ψ(i)
∂t2
. (1)
66 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Сформулюємо вiдповiднi граничнi та початковi умови. Враховуючи, що кривина лобової
поверхнi та глибина взаємного проникання тiл малi порiвняно з шириною областi контак-
ту, граничнi умови можуть бути сформульованi на незбурених поверхнях тiл, при цьому
поверхнi тiл вважаються плоскими. Тодi, за умови вiдсутностi тертя мiж контактуючими
поверхнями, граничнi умови полягатимуть у рiвностi нормальних швидкостей деформуван-
ня поверхонь та нормальних напружень (рiвностi нулю поза зоною контакту), i вiдсутностi
дотичного напруження, а саме:
V (1)
c +
∂u
(1)
z
∂t
∣
∣
∣
∣
z=0
= V (2)
c +
∂u
(2)
z
∂t
∣
∣
∣
∣
z=0
;
σ(1)
zz |z=0 = σ(2)
zz |z=0; σ(i)
zx |z=0 = 0.
(2)
Вiдзначимо, що Vc = H(x∗−|x|)Vc(t); Vc(t) = V (2)
c (t)−V (1)
c (t), де H(x) — одинична функцiя
Хевiсайда.
Початковi умови для хвильових потенцiалiв нульовi:
ϕ(i) = ψ(i) =
∂ϕ(i)
∂t
=
∂ψ(i)
∂t
= 0 (t = 0). (3)
Рух тiл описується рiвняннями руху їх центрiв мас:
M (i) dV
(i)
c
dt
= F (i)(t), (4)
де F (i)(t) — сила ударної взаємодiї, яка обчислюється за формулою
F (i)(t) = 2
x∗
∫
0
σ(i)
zz (t, x, 0) dx, (5)
x∗(t) — точка змiни граничних умов, що визначається як абсциса точки перетину недефор-
мованих контурiв взаємодiючих тiл при глибинi взаємного проникання z∗(t).
Зауважимо, що процес спiвудару розглядається на початковому етапi, протягом якого
границя областi контакту рухається зi швидкiстю, яка перевищує швидкiсть поширення
хвиль в матерiалi тiл. Це дозволяє в якостi об’єктiв, моделюючих тiла, розглядати пружнi
пiвсмуги певної ширини l, на тильних поверхнях яких реалiзуються умови (2). Внаслiдок
вибору iнтервалу часу, граничнi умови на бiчних гранях пiвсмуг (при |x| = l) можуть
бути вибранi з мiркувань зручностi розв’язання. Зокрема, для зручностi роздiлення змiнних
в загальному розв’язку диференцiйних рiвнянь (1), вважатимемо, що на бiчних гранях
мають мiсце такi умови:
u(i)
z ||x|=l = 0; σ(i)
zx ||x|=l = 0. (6)
На нескiнченностi збурення вiдсутнi:
ϕ(1) → 0, ψ(1) → 0, z → ∞;
ϕ(2) → 0, ψ(2) → 0, z → −∞.
(7)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 67
Спiввiдношення (1)–(7) складають незмiшану початково-крайову задачу з невiдомою
рухомою границею.
2. Метод розв’язання крайової задачi. Нехай на фронтальнiй поверхнi кожного
тiла вiдома швидкiсть її деформування, яку можна зобразити рядом Фур’є на вiдрiзку
−l 6 x 6 l:
V (i)(t, x, 0) =
∂u
(i)
z
∂t
∣
∣
∣
∣
z=0
; V (i)(t, x, 0) =
∞
∑
n=0
V (i)
n (t) cos(nx); n =
πn
l
. (8)
Дотичне напруження задане i дорiвнює нулю на всiй фронтальнiй поверхнi:
σ(i)
zx(t, x, 0) = 0; σ(i)
zx(t, x, 0) =
∞
∑
n=0
σ(i)
zxn(t) sin(nx). (9)
Нижче риска над n буде опускатися.
Знайдемо розв’язок системи диференцiйних рiвнянь (1), використовуючи при цьому умо-
ви (8) та (9). Застосуємо до системи (1) iнтегральне перетворення Лапласа по t з парамет-
ром s. З урахуванням початкових умов отримаємо:
∂2ϕ(i)L
∂x2
+
∂2ϕ(i)L
∂z2
=
s2
α(i)2
ϕ(i)L;
∂2ψ(i)L
∂x2
+
∂2ψ(i)L
∂z2
=
s2
β(i)2
ψ(i)L.
(10)
Iндекс L позначає функцiю в просторi зображень за Лапласом, отже
fL(s) =
∞
∫
0
e−ztf(t)dt; f(t) =
δ+i∞
∫
δ−i∞
eztfL(s)ds; fL(s) ↔ f(t).
Застосовуючи до системи (10) метод роздiлення змiнних, використовуючи граничнi умо-
ви на бiчних поверхнях пiвсмуг (6), а також умови (7) вiдсутностi збурень в нескiнченно
вiддалених точках, отримаємо загальний розв’язок системи (10):
ϕ(1)L =
∞
∑
n=0
A(1)
n (s)e−zP1 cosnx, ψ(1)L =
∞
∑
n=0
B(1)
n (s)e−zS1 sin(nx);
ϕ(2)L =
∞
∑
n=0
A(2)
n (s)ezP2 cos(nx), ψ(2)L =
∞
∑
n=0
B(2)
n (s)ezS2 sin(nx);
Pi =
√
s2
α(i)2
+ n2, Si =
√
s2
β(i)2
+ n2, i = 1, 2,
(11)
де A(i)
n , B(i)
n — коефiцiєнти, якi пiдлягають визначенню з граничних умов (8), (9).
Використовуючи умову рiвностi нулю дотичного напруження, виражаємо сталi B(i)
n че-
рез A(i)
n , пiсля чого, розкладаючи напруження та швидкостi в ряди Фур’є, спочатку в прос-
торi зображень, а потiм i в просторi оригiналiв отримуємо таке зображення n-го коефiцiєнта
68 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
ряду Фур’є напруження σzz на фронтальнiй поверхнi тiл через вiдповiдний Фур’є-коефiцi-
єнт заданої швидкостi:
σ(i)
zz (t, x, 0) = (−1)iξi−1 α
(i)
β(i)2
(
V (i) +
∞
∑
n=1
t
∫
0
V (i)
n (τ)F (i)
n (t− τ)dτ cos (nx)
)
, (12)
F (i)
n (t) = −α(i)nJ1(α
(i)nt) +
+ 4n2β(i)2
t
∫
0
(
J0(α
(i)nτ) −
β(i)
α(i)
J0(β
(i)τ)
)(
1 + n2β(i)2 (t− τ)2
2
)
dτ. (13)
Тут J0(t), J1(t) — цилiндричнi функцiї Бесселя першого роду нульового та першого порядку
вiдповiдно.
Таким чином, спiввiдношення (12), (13) дозволяють визначити нормальне напруження
σzz(t, z, 0) на поверхнях тiл через задану на нiй швидкiсть V (t, x).
Задовольняючи граничнi умови (2), використовуючи залежнiсть (12) мiж коефiцiєнтами
σ(i)
zzn(t) та V (i)
n (t), отримуємо такi рiвняння для визначення коефiцiєнтiв розкладання в ряди
Фур’є швидкостi деформування поверхнi V (i)
n (t):
V (1)
n (t)+
1
1+δ
[ t
∫
0
V (1)
n (τ)(δF (2)
n (t−τ)+F (1)
n (t−τ))dτ−δ
t
∫
0
Vcn(τ)F (2)
n (t−τ)dτ
]
=
=
δ
1 + δ
Vcn, (14)
V (2)
n (t) +
1
1 + δ
[ t
∫
0
V (2)
n (τ)(F (1)
n (t− τ) + δF (2)
n (t− τ))dτ +
t
∫
0
Vcn(τ)F (1)
n (t− τ)dτ
]
=
= −
1
1 + δ
Vcn, (15)
де
δ = ξ
α(2)β(1)2
α(1)β(2)2
, Vc0(t) = x∗
Vc(0)
l
, Vcn(t) =
2Vc(t)
l
sinnx∗
n
.
Таким чином, розв’язання задачi зводиться до розв’язання послiдовностi iнтегральних
рiвнянь (14), (15), якi повиннi бути доповненi рiвняннями руху центрiв мас тiл (4), в яких
сила F (i)(t) має вигляд:
F (i)(t) = 2
∞
∑
n=1
σ(i)
zzn(t) sinnx∗. (16)
Визначивши з (14), (15) коефiцiєнти швидкостi V (i)
n (t), напруження σ(i)
zz (t, x, 0) на по-
верхнi тiл знайдемо за допомогою спiввiдношень (8), (12).
3. Алгоритм розв’язання та результати. Пiд час чисельної реалiзацiї iнтеграли
в системах (14), (15) та у спiввiдношеннi (12) обчислювалися за формулою Грегорi [7]. Рiв-
няння (4) с усiченою правою частиною розв’язувалося методом Адамса [8]. I в формулi
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 69
Рис. 2
Грегорi, i в формулi Адамса утримувалися рiзницi до четвертого порядку включно. Не-
скiнченнi послiдовностi iнтегральних рiвнянь пiддавалися редукцiї. Порядок редукцiї виби-
рався з мiркувань практичної збiжностi. Зокрема, достовiрнi результати з похибкою менше
п’яти вiдсоткiв вдалося одержати при утриманнi 100 рiвнянь в нескiнченних послiдовнос-
тях (14), (15), при цьому крок iнтегрування дорiвнював ∆t = 0,02. Для згладжуваня явищ
Гiббса застосовувалися σ-множники Гiббса [7]. Метою розрахункiв було визначення вели-
чини та характеру розвитку у часi нормального напруження, сили взаємодiї, швидкостi
деформування поверхнi, координат границi областi контакту залежно вiд форми лобової
поверхнi, маси тiл та пружних характеристик матерiалу.
Чисельно розв’язувалася задача для випадку спiвудару двох цилiндричних тiл, якi ма-
ють круговi поперечнi перерiзи. Характеристики першого тiла — ρ(1) = 19,3 · 103 кг/м3,
E(1) = 34,5 · 1010 Па, ν(1) = 0,28, R(1) = 0,01 м, якi вiдповiдають вольфраму. Характерис-
тики другого тiла варiювалися для кожного конкретного випадку. На рисунках наводяться
знерозмiренi у сталих c
(1)
0 , µ(1), R(1) величини.
На рис. 2 демонструється змiна з часом величини нормального напруження в точцi
початкового контакту. Пружнi характеристики другого тiла змiнюються, а саме: крива 1
вiдповiдає вольфраму (µ(2)/K(2) = 0,51), 2 — сталi (0,49), 3 — титану (0,46), 4 — алюмiнiю
(0,38), 5 — магнiю (0,33). Очевидно, що зi зростанням µ(2)/K(2) максимальне значення
нормального напруження зростає i досягається ранiше.
На рис. 3 показана змiна з часом нормального напруження в лобовiй точцi, рiзнi кривi
вiдповiдають рiзним значенням радiуса другого тiла R(2) (1 — R(2) = 0,5; 2 — R(2) = 1; 3 —
R(2) = 10; 4 — R(2) = 50; 5 — R(2) = 100). Зi збiльшенням радiуса другого тiла максимальне
значення напруження зменшується i досягається ранiше. Зауважимо, що у випадку, коли
радiус другого тiла перевищує радiус першого бiльш нiж у 10 разiв, рiзниця в результатах
буде незначною.
Залежнiсть величини нормального напруження σzz(t, 0, 0) вiд маси взаємодiючих тiл
демонструється на рис. 4 (крива 1 — M (2) = 100; 2 — M (2) = 10; 3 — M (2) = 6; 4 — M (2) =
= 3; 5 — M (2) = 1). Зi збiльшенням маси другого тiла збiльшується тривалiсть спiвудару
i максимальне значення σzz(t, 0, 0), яке досягається пiзнiше.
70 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8
Рис. 3 Рис. 4
Наведенi результати дають змогу стверджувати, що розвинутий метод дозволяє визна-
чити характеристики напружено-деформiвного стану пружних тiл з затупленою фронталь-
ною поверхнею та рiзними фiзико-геометричними властивостями при їх центральному спiв-
ударi, а також проаналiзувати величину цих характеристик i характер їх змiни у часi за-
лежно вiд фiзико-механiчних властивостей тiл.
1. Кубенко В.Д. Об одном способе решения задач проникания тел в акустическую или упругую среду //
Материалы II Всесоюз. конф. “Проблемы динамики взаимодействия деформируемых сред” (Ереван,
1984.) – Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1984. – С. 183–187.
2. Кубенко В.Д. Удар осесимметричного тела о поверхность сжимаемой жидкости // Докл. АН УССР.
Сер. А. – 1981. – № 9. – С. 44–48.
3. Кубенко В.Д., Попов С.Н. Осесимметричная задача удара жесткого затупленного тела о поверхность
упругого полупространства // Прикл. механика. – 1989. – 25, № 7. – С. 16–24.
4. Кубенко В.Д., Попов С.Н. Плоская задача удара жесткого затупленного тела о поверхность упругого
полупространства // Там же. – 1988. – 24, № 7. – С. 69–77.
5. Kubenko V.D., Marchenko T.A. Axisymmetric collision problem for two identical elastic solids of revoluti-
on // Int. Applied Mechanics. – 2004. – 40, No 7. – P. 766–775.
6. Kubenko V.D., Marchenko T.A. Plane collision problem for two identical elastic parabolic bodies – direct
central impact // Ibid. – 2003. – 39, No 7. – P. 812–822.
7. Хемминг Р. В. Численные методы. – Москва: Наука, 1968. – 400 с.
8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. – Москва: Наука,
1984. – 831 с.
Надiйшло до редакцiї 19.12.2007Iнститут механiки iм. С.П. Тимошенка
НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 71
|