Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой

Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой

A new formula for the mean value of current in the electric circuit with controlled diods and an inductive load is deduced with the use of a singular expansion of a jump-like function.

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2008
1. Verfasser: Божко, А.Е.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2008
Schlagworte:
Енергетика
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5776
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 90-97. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-5776
record_format dspace
spelling irk-123456789-57762010-02-05T12:00:48Z Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой Божко, А.Е. Енергетика A new formula for the mean value of current in the electric circuit with controlled diods and an inductive load is deduced with the use of a singular expansion of a jump-like function. 2008 Article Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 90-97. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5776 621.318.001.2 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Енергетика
Енергетика
spellingShingle Енергетика
Енергетика
Божко, А.Е.
Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой
description A new formula for the mean value of current in the electric circuit with controlled diods and an inductive load is deduced with the use of a singular expansion of a jump-like function.
format Article
author Божко, А.Е.
author_facet Божко, А.Е.
author_sort Божко, А.Е.
title Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой
title_short Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой
title_full Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой
title_fullStr Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой
title_full_unstemmed Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой
title_sort об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой
publisher Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate 2008
topic_facet Енергетика
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5776
citation_txt Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой / А.Е. Божко // Доп. НАН України. — 2008. — № 8. — С. 90-97. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT božkoae obosobojformulesrednegoznačeniâtokavélektrocepisupravlâemymidiodamiiinduktivnojnagruzkoj
first_indexed 2025-07-02T08:50:10Z
last_indexed 2025-07-02T08:50:10Z
_version_ 1836524462903656448
fulltext оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 8 • 2008 ЕНЕРГЕТИКА УДК 621.318.001.2 © 2008 Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко Об особой формуле среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и индуктивной нагрузкой A new formula for the mean value of current in the electric circuit with controlled diods and an inductive load is deduced with the use of a singular expansion of a jump-like function. Во многих электротехнических цепях постоянного и переменного токов с индуктивной на- грузкой применяются управляемые диоды (тиристоры, симисторы) [1–3]. Включаются эти диоды устройствами управления по углу открывания диодов, закрывание осуществляется либо уменьшением тока в полуволне его протекания до нуля, либо изменением полярно- сти напряжения цепи. Графическое изображение управляемого тока в цепи с тиристорами представлено на рис. 1, где а — напряжение на нагрузке в цепи переменного тока; б — на- пряжение на нагрузке в цепи постоянного тока с двухполупериодным выпрямлением; ϕ — угол открывания тиристора. Рис. 1 90 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8 Среднее значение тока, соответствующего формату тока, изображенного на рис. 1, при активном сопротивлении нагрузки RH определяется выражением [4] Icpϕ = 2 T T/2 ∫ ϕ/ω Im sin(ωt ± ϕ)dt = −2Im Tω [cos(ωt ± ϕ)] T/2 ϕ/ω = = −2Im Tω [cos ωt cos(−ϕ) ∓ sin ωt sin(−ϕ)] T/2 −ϕ/ω = Im π (1 + cos ϕ), (1) где Im — амплитуда тока; ω — круговая частота (ω = 2πf , f — частота, Гц; T = 2π/ω = = 1/f — период изменения тока i(t). Как видно из рис. 1, ток i(t) в цепи появляется в виде импульсов (это при активной нагрузке RH резистора), при индуктивной нагрузке (L), особенно, если постоянная времени цепи τ = L/R мала. После каждого такого импульса в цепи происходит переходный процесс, и в этом случае мгновенное и среднее значения тока i(t), Icp изменяются по сравнению с i(t) при активной нагрузке (1). Следует отметить, что при открывании тиристоров к нагрузке цепи (zH) прикладывается напряжение U(t) такого же вида, как показано на рис. 1. Перед- ний фронт каждого импульса напряжения есть скачкообразная функция 1(t)Um(± sin ϕ) — для цепи переменного тока и 1(t)Um sin ϕ — для цепи выпрямленного переменного тока. Согласно работам [5, 6], скачкообразные функции 1(t) могут быть представлены в виде особых (сингуларисных) разложений вида E1(t) = E(1 − ℓ−αt) + ℓ−αtE n ∑ k=1 Umk cos ωkt, (2) U(t)1(t) = 1(t)Um sin(ωt ± ϕ) = Umℓ−αt sin(±ϕ) + Um(1 − ℓ−αt) sin(ωt ± ϕ) + + |Um|ℓ−αt n ∑ k=1 Umk sinωkt, (3) где n ∑ k=1 Umk = 1; Um1 = 1/π; Umk = Um1/k; k = ωk/ω1; α — коэффициент затухания. Разложение (2) относится к цепям с постоянным входным напряжением, а разложе- ние (3) — к входным напряжениям цепей переменного тока при обязательном условии, что | ± ϕ| > 0. При ϕ = 0 U(t) = Um sin ωt и указанное разложение (3) отсутствует. Заметим, что в нашем случае как для цепи выпрямленного переменного тока, так и для цепи переменного тока, применимо разложение (3). Вследствие того, что при каждом им- пульсе напряжения на нагрузке (zH) начинается переходный процесс в цепи, можно считать, что момент открывания тиристора (угол ϕ) является начальным для переходного процес- са тока (t = 0). Тогда график одного импульса напряжения Uнагр представим на рис. 2, откуда видно, что при t = 0 U = Um sin ϕ. К таким импульсам напряжения на нагрузке в электроцепи переменного тока примени- мо сингуларисное разложение вида (3). Проверим правильность такого разложения. При t = 0 U(0) = Um sin ϕ, при t = ∞ U(t) = Um sin(ωt + ϕ), при α = ∞ (исключение 1(t)) U(t) = Um sin(ωt + ϕ). То есть представленное разложение при данных условиях соот- ветствует классическому представлению U(t) = Um sin(ωt + ϕ). Для дальнейшего вывода ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 91 Рис. 2 формулы среднего значения тока i(t) будем считать, что цепь с последовательным соеди- нением резистора R и индуктивности L является линейной. Методика вывода формулы Icp следующая: вначале определяется i(t) с учетом переходных процессов, а затем Icp = 2 T T/2 ∫ ϕ/ω i(t) dt. (4) Дифференциальное уравнение рассматриваемой электроцепи с учетом (3) имеет вид Umℓ−αt sin ϕ + Um(1 − ℓ−αt) sin(ωt + ϕ) + |Um|ℓ−αt n ∑ k=1 Umk sin ωkt = Ri + L di dt . (5) Применяя далее к линейной цепи RL принцип суперпозиции [4], получим выражение тока i(t) в виде i = i0 + i1 + n ∑ k=2 ik. (6) В соответствии с (6) уравнение (5) представим суммой уравнений Umℓ−αt sin ϕ = Ri0 + L di0 dt , (7) Um(1 − ℓ−αt) sin(ωt + ϕ) = Ri1 + L di1 dt , (8) |Um|ℓ−αt sin ϕ n ∑ k=1 Umk sin ωkt = n ∑ k=2 ( Rik + L dik dt ) . (9) Уравнения (7)–(9) решаем операторным методом с помощью преобразований Карсо- на [7], т. е. точно так, как представлено в работе [6]. Отличием является формула для тока i1(t). Поэтому на основании [6] запишем здесь оригиналы токов i0(t), ik(t), k = 2, n, в виде i0(t) = Um sin ϕ L (e−δt − e−αt) α − δ , (10) где δ = R/L — коэффициент затухания RL цепи; ik(t) k=2,n = |Um|Umkωk L[(α − δ)2 + ω2 k ] { ℓ−δt + ℓ−αt ωk [(δ − α) sin ωkt − ωk cos ωkt] } . (11) 92 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8 Заметим, что при t = 0 и t = ∞ i0 = ik = 0. При α = ∞ i0 = ik = 0. Уравнение (8) в изображениях Карсона имеет вид Um [ p2 sin ϕ + ωp cos ϕ p2 + ω2 − p(p + α) sin ϕ + ωp cos ϕ (p + α)2 + ω2 ] = i1(p)L(δ + p), откуда i1(p) = Um L { p2 sin ϕ + ωp cos ϕ (δ + p)(p2 + ω2) − p(p + α) sin ϕ + ωp cos ϕ (δ + p)[(p + α)2 + ω2] } . (12) Из (12) видно, что i1(p) имеет четыре составляющих: i11(p) = Um L [ p2 sin ϕ (δ + p)(p2 + ω2) ] , i12(p) = Um L [ ωp cos ϕ (δ + p)(p2 + ω2) ] , i13(p) = − Um L { p(p + α) sin ϕ (δ + p)[(p + α)2 + ω2] } , i14(p) = − Um L { ωp cos ϕ (δ + p)[(p + α)2 + ω2] } . Определим оригиналы этих изображений по таблицам [7] i11(t) = Um L sin ϕ [ 1 δ2 + ω2 (δ cos ωt + ω sin ωt − δℓ−δt) ] , (13) i12(t) = Umω cos ϕ L [ 1 δ2 + ω2 ( ℓ−δt + δ ω sin ωt − cos ωt )] , (14) i13(t) = − Um cos ϕ L 〈 1 (α−δ)2+ω2 { −δℓ−δt+ ℓ−αt ω [ωδ cos ωt+(ω2+α2+αδ sin ω)] } + + α (α − δ)2ω2 { ℓ−δt + ℓ−αt ω [−ω cos ωt + (δ − α) sin ωt] }〉 , (15) i14(p) = − Umω cos ϕ L 1 (α − δ)2 + ω2 { ℓ−δt + ℓ−αt ω [−ω cos ωt + (δ − α) sin ωt] } . (16) Итак, i1(t) = (13) + (14) + (15) + (16). (17) При t = 0 i11 = i12 = i13 = i14 = 0, при α = ∞ i13 = i14 = 0, при t = ∞ i1(t) = Ia sin(ωt+ + Ψ), где Ia = (Um/(L(δ2 + ω2))) √ A2 + B2, A = ω sin ϕ + δ cos ϕ, B = ω cos ϕ − δ sinϕ, Ψ = arctg B/A [8]. Перейдем к определению средних значений токов i0, i1, n ∑ k=2 ik по формуле (4) с уче- том (10), (11), (17) Icp0 = 2 T T/2 ∫ ϕ/ω i0(t)dt = Umω sin ϕ π [ 1 δ (ℓ−δϕ/ω − ℓ−δπ/ω) + 1 α (ℓ−αϕ/ω − ℓ−απ/ω) ] , (18) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 93 Icp11 = 2 T T/2 ∫ +ϕ/ω Um sinϕ L [ 1 δ2 + ω2 (δ cos ωt + ω sin ωt − δℓ−δt) ] dt = = Umωs sinϕ πL(δ2 + ω2) ( 1 − δ ω sin ϕ ω + cos ϕ ω + ℓ−δπ/ω − ℓ−δϕ/ω ) , (19) Icp12 = 2 T T/2 ∫ +ϕ/ω Umω sinϕ L(δ2 + ω2) ( ℓ−δt + δ ω sin ωt − cos ωt ) dt = = Umωs2 sin ϕ πL(δ2 + ω2) { δ [ ℓ−δϕ/ω − ℓ−δπ/ω + 1 ω2 ( 1 + cos ϕ ω ) − 1 ω sin ϕ ω ]} , (20) Icp13 = − 2Um sinϕ TL[(α − δ)2 + ω2] [ (α − δ) T/2 ∫ +ϕ/ω ℓ−δtdt − ω T/2 ∫ +ϕ/ω ℓ−αt sin ωtdt + + (α − δ) T/2 ∫ +ϕ/ω ℓ−αt cos ωtdt ] . (21) Для сокращения записи (21) представим в виде Icp13 = a T/2 ∫ +ϕ/ω ℓ−δtdt + b T/2 ∫ +ϕ/ω ℓ−αt sin ωtdt + c T/2 ∫ +ϕ/ω ℓ−αt cos ωtdt, (22) где a, b, c — соответственно коэффициенты при интегралах в (21), Icp13 = a T/2 ∫ +ϕ/ω ℓ−δtdt = − a δ ℓ−δt ∣ ∣ ∣ ∣ T/2 +ϕ/ω = a δ (ℓ−ϕδ/ω − ℓ−δT/2). (23) В (22) второй и третий интегралы вычислим методом по частям [8]. В результате по- лучаем b T/2 ∫ +ϕ/ω ℓ−δt sin ωtdt = bω α2 + ω2 [ ℓ−απ/ω − ℓ−αϕ/ω ( cos ϕ ω − α ω2 sin ϕ ω )] , (24) c T/2 ∫ +ϕ/ω ℓ−δαt cos ωtdt = cω ω2 + α2 [ ℓ−αϕ/ω sin ϕ ω + α ( ℓ−απ/ω + ℓ−αϕ/ω cos ϕ ω )] . (25) 94 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8 Таким образом, Icp13, выраженное через (23) с учетом (23)–(25), запишем в виде −Icp13 = a δ (ℓ−ϕδ/ω + ℓ−δπ/ω) + bω α2 + ω2 { ℓ−απ/ω + ℓ−αϕ/ω ( cos ϕ ω + α ω2 sin ϕ ω ) + + cω α2 + ω2 [ −ℓ−αϕ/ω sin ϕ ω + α ( ℓ−απ/ω + ℓ−αϕ/ω cos ϕ ω )] = = a δ (ℓ−ϕδ/ω + ℓ−δπ/ω) + ωℓ−απ/ω α2 + ω2 (b + cα) + ω α2 + ω2 ℓ−αϕ/ω(b + cα) − − ω α2 + ω2 ℓ−αϕ/ω ( sin ϕ ω ) (c − bα) } . (26) Icp14 =− 2Umω cos ϕ TL 1 [(α − δ)2 + ω2] T/2 ∫ +ϕ/ω { ℓ−δt+ ℓ−αt ω [−ω cos ωt+(δ−α) sin ωt]dt } = = − 2Umω cos ϕ TL 1 [(α − δ)2 + ω2] T/2 ∫ +ϕ/ω ℓ−δtdt + 2Umω cos ϕ TL 1 [(α − δ)2 + ω2] × × T/2 ∫ +ϕ/ω ℓ−αt cos ωtdt − 2Um cos ϕ(δ − α) Tα[(α − δ)2 + ω2] T/2 ∫ +ϕ/ω ℓ−αt sin ωtdt = = d T/2 ∫ +ϕω ℓ−δtdt + g T/2 ∫ +ϕω ℓ−αt cos ωtdt + f T/2 ∫ +ϕω ℓ−αt sin ωtdt, (27) где d, g, f — соответственно коэффициенты при интегралах (27). Эти интегралы равны интегралам в (23), (24), (25). При этом в (27) вместо a из (23) необходимо подставить d, вместо b из (25) — g и вместо c из (25) — f . Тогда Icp14 = d δ (ℓ−δϕ/ω − ℓ−δπ/ω) + ϕω α2 + ω2 [ ℓ−απ/ω + ℓ−αϕ/ω ( cos ϕ ω + α ω2 sin ϕ ω )] + + fω α2 + ω2 [ −ℓ−αϕ/ω sin ϕ ω + α ( ℓ−απ/ω + ℓ−αϕ/ω cos ϕ ω )] . (28) Далее найдем среднее значение суммы затухающих токов ik(t), k = 2, n. Пределы ин- тегрирования возьмем 0 ÷ Tk/2. Тогда Icpk = 2|Um| mkTkL mkTk/2 ∫ 0 Umkωk { ℓ−δt + ℓ−αt ωk [(δ − α) sin ωkt − ωk cos ωkt] } = = 2|Um|Umkωk mkTkL[(α−δ)2+ω2 k] mkTk/2 ∫ 0 ℓ−δtdt + 2|Um|Umk(δ−α) mkTkL[(α − δ)2 + ω2 k] mkTk/2 ∫ 0 ℓ−αt sin ωktdt − ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 95 − 2|Um|Umkωk mkTkL[(α − δ)2 + ω2 k] mkTk/2 ∫ 0 ℓ−αt cos ωktdt = = h mkTk/2 ∫ 0 ℓ−δtdt + n mkTk/2 ∫ 0 ℓ−αt sin ωktdt + r mkTk/2 ∫ 0 ℓ−αt cos ωktdt, mk = T Tk , (29) где h, n, r — соответственно коэффициенты при интегралах в (29), h mkTk/2 ∫ 0 ℓ−δtdt = h δ (1 − ℓ−δπ/ωk), (30) n mkTk/2 ∫ 0 ℓ−αt sin ωktdt = nωk (α2 + ω2 k) (1 + ℓ−απmk/ωk), (31) r mkTk/2 ∫ 0 ℓ−αt cos ωktdt = rα (α2 + ω2 k) (1 + ℓ−απmk/ωk). (32) Итак, Icpk = n ∑ k=2 (30) + (31) + (32) = = n ∑ k=2 h δ (1 − ℓ−δπmk/ωk) + (nωk + rα) 1 α2 + ω2 k (1 + ℓ−απmk/ωk), (33) а среднее значение n ∑ k=2 Icpk с учетом (30)–(33) определяется так: n ∑ k=2 Icpk = n ∑ k=2 h δ (1 − ℓ−δπmk/ωk) + (nωk + rα) 1 α2 + ω2 k (1 + ℓ−απmk/ωk). (34) Таким образом, в результате проведенного исследования получена формула среднего значения тока в электроцепи с управляемыми диодами и с индуктивной нагрузкой. Для краткости запишем эту формулу в виде Icp = Icp0 + 4 ∑ l=1 Icp1l + n ∑ k=2 Icpk = (18) + (19) + (20) + (26) + (28) + (34). (35) Формула (35), несмотря на свою громоздкость, более точно отражает процессы, проис- ходящие в электроцепи. Заметим, что при каждом импульсе напряжения на индуктивной нагрузке ток i(t) в начальном участке изменяется медленно из-за наличия гармоник ik(t), k = 2, n, обусловливающих эффект автоматической реструктуризации цепи [9]. В связи 96 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №8 Рис. 3 с затуханием этих гармоник в каждом переходном процессе Icp цепи уменьшается по срав- нению с (1). Пояснением к этому может быть график переходных процессов, изображен- ных на рис. 3, где UH — импульс напряжения на индуктивной нагрузке; i — ток в цепи, рассчитанный обычным методом [4, 7]; ip — ток, рассчитанный с учетом сингуларисного разложения (3) напряжения UH . Как видно из рис. 3, ток i(t) нарастает в начальном участке быстрее тока ip(t). В по- следнем, как было отмечено, из-за наличия гармоник |Um|ℓ−αt sin ϕ n ∑ k=2 Umk sinωkt в напря- жении UH(t) при использовании разложения (3) и автоматической реструктуризации RL цепи [9] происходит медленное нарастание тока ip. Разница между i(t) и ip(t) обозначена на рис. 3 заштрихованным участком. Эта разница обусловливает уменьшение Icp(t, ip) по сравнению с Icp(t, i), что необходимо учитывать в расчетах на практике. 1. Брухман С.С., Трофимов Н.А. Тиристорные переключатели переменного тока. – Москва: Энергия, 1969. – 64 с. 2. Евсеев Ю.А., Крылов С.С. Симисторы и их применение в бытовой электроаппаратуре. – Москва: Энергоатомиздат, 1999. – 120 с. 3. Энергетическая электроника: Справочное пособие / Под ред. В.А. Лабунцова. – Москва: Энергоато- миздат, 1987. – 461 с. 4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – Москва: Высш. шк., 1978. – 528 с. 5. Божко А.Е. Новая интерпретация переходных процессов в электрических цепях // Доп. НАН Украї- ни. – 2004. – № 9. – С. 83–87. 6. Божко А.Е. О новой трактовке переходных процессов в электрических цепях переменного тока // Там само. – 2005. – № 4. – С. 81–86. 7. Гинзбург С. Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – Москва: Сов. радио, 1959. – 404 с. 8. Бронштейн И. Н, Семендяев К.А. Справочник по математике. – Москва: ГИТТЛ, 1956. – 608 с. 9. Божко А.Е. Об автоматической реструктуризации электрических цепей с реактивными элементами при полигармонических входных сигналах // Доп. НАН України. – 2002. – № 11. – С. 101–103. Поступило в редакцию 20.07.2007Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №8 97

Ähnliche Einträge