Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере
We present new results on the maximization of products of positive powers of inner radii of some special systems of domains in the extended complex plane Cˉ with respect to points of finite sets such that any two distinct points z, w belongs C \ {0} of such a set belong to different rays outgoing fr...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5821 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере / А.Л. Таргонский // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 31-36. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-5821 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-58212010-02-09T12:01:25Z Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере Таргонский, А.Л. Математика We present new results on the maximization of products of positive powers of inner radii of some special systems of domains in the extended complex plane Cˉ with respect to points of finite sets such that any two distinct points z, w belongs C \ {0} of such a set belong to different rays outgoing from the origin. 2008 Article Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере / А.Л. Таргонский // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 31-36. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5821 517.54 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Таргонский, А.Л. Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере |
| description |
We present new results on the maximization of products of positive powers of inner radii of some special systems of domains in the extended complex plane Cˉ with respect to points of finite sets such that any two distinct points z, w belongs C \ {0} of such a set belong to different rays outgoing from the origin. |
| format |
Article |
| author |
Таргонский, А.Л. |
| author_facet |
Таргонский, А.Л. |
| author_sort |
Таргонский, А.Л. |
| title |
Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере |
| title_short |
Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере |
| title_full |
Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере |
| title_fullStr |
Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере |
| title_full_unstemmed |
Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере |
| title_sort |
экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5821 |
| citation_txt |
Экстремальные задачи о частично неналегающих областях на римановой сфере / А.Л. Таргонский // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 31-36. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT targonskijal ékstremalʹnyezadačiočastičnonenalegaûŝihoblastâhnarimanovojsfere |
| first_indexed |
2025-07-02T08:52:02Z |
| last_indexed |
2025-07-02T08:52:02Z |
| _version_ |
1836524578878259200 |
| fulltext |
УДК 517.54
© 2008
А.Л. Таргонский
Экстремальные задачи о частично неналегающих
областях на римановой сфере
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины Ю.Ю. Трохимчуком)
We present new results on the maximization of products of positive powers of inner radii of
some special systems of domains in the extended complex plane C with respect to points of
finite sets such that any two distinct points z, w ∈ C \ {0} of such a set belong to different
rays outgoing from the origin.
В геометрической теории функций комплексного переменного задачи об экстремальном
разбиении римановой сферы составляют активно развивающееся направление. Возникно-
вение этого направления связано с работой М.А. Лаврентьева [1], в которой была впервые
поставлена и решена задача о произведении конформных радиусов двух взаимно непересе-
кающихся односвязных областей. Впоследствии эта тематика развивалась многими иссле-
дователями (см., напр., [2–12]).
В данной работе исследуются обобщения задач об экстремальном разбиении римановой
сферы на случай, когда вместо систем попарно непересекающихся областей рассматрива-
ются специальные наборы областей, некоторые из которых могут определенным образом
пересекаться между собой.
Пусть, как обычно, R
+ — множество положительных вещественных чисел, C — комп-
лексная плоскость, C = C
⋃{∞} — ее одноточечная компактификация, и пусть r(B, a) обо-
значает внутренний радиус области B ⊂ C относительно точки a ∈ B. В случае конечной
точки a величина r(B, a) понимается в обычном смысле (см., напр., [13, 14]), а при a = ∞
мы, следуя В.Н. Дубинину [14], полагаем r(B,∞) = eγ , где γ — постоянная Робена облас-
ти B (см. [2]). Используемое в настоящей работе понятие квадратичного дифференциала
и связанные с ним результаты подробно изложены в монографии [15].
Всюду в дальнейшем n — целое число, n > 3.
Конечное множество точек An = {ak}n
k=1 ⊂ C \ {0}, для которого выполняются соотно-
шения 0 = arg a1 < arg a2 < . . . < arg an < 2π, мы будем называть лучевой системой точек.
Для каждой такой системы обозначим
Pk(An) := {w : arg ak < arg w < arg ak+1}, σk(An) :=
1
π
(arg ak+1 − arg ak), k = 1, n,
µ(An) =
n∏
k=1
χ
(∣
∣
∣
∣
ak
ak+1
∣
∣
∣
∣
1/(2σk))
|ak|,
где χ(t) = (1/2)(t + t−1), an+1 = a1, arg an+1 := 2π. Ясно, что
n∑
k=1
σk = 2.
Пусть D — открытое множество в C, содержащее лучевую систему точек An = {ak}n
k=1.
Введем обозначения: если a ∈ D, то D(a) — связная компонента D, содержащая точку a;
Dk(ap) — связная компонента множества D(ap)
⋂
Pk(An), содержащая точку ap, p = k,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 31
k + 1 (k = 1, n); Dk(0) — связная компонента множества D(0)
⋂
Pk(An), содержащая точку
w = 0; Dk(∞) — связная компонента множества D(∞)
⋂
Pk(An), содержащая бесконечно
удаленную точку.
Будем говорить, что множество D удовлетворяет первому условию неналегания отно-
сительно системы точек An, если для всех k ∈ {1, . . . , n} множества Dk(ak) и Dk(ak+1)
не пересекаются. Если D содержит точки w = 0 и w = ∞ и для каждого k ∈ {1, . . . , n}
множества Dk(ak), Dk(ak+1), Dk(0) и Dk(∞) попарно не пересекаются, то мы говорим, что
открытое множество D удовлетворяет второму условию неналегания относительно лучевой
системы точек An.
В принятых обозначениях сформулируем основные результаты работы.
Теорема 1. Пусть α ∈ R
+, α 6 0,195. Тогда для каждой лучевой системы точек
An = {ak}n
k=1 такой, что µ(An) = 1, и для произвольного открытого множества D,
содержащего точки 0, ∞, a1, . . . , an и удовлетворяющего второму условию неналегания
относительно системы An, справедливо неравенство
(r(D, 0) · r(D,∞))α ·
n∏
k=1
r(D,ak) 6 (r(D0, 0) · r(D0,∞))α ·
n∏
k=1
r(D0, dk), (1)
где D0 =
n⋃
k=1
Bk
⋃
B0
⋃
B∞, а области B0, B∞, Bk и точки dk являются соответственно
круговыми областями и полюсами квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = −αw2n + (n2 − 2α)wn + α
w2(wn − 1)2
dw2
(0 ∈ B0; ∞ ∈ B∞; dk ∈ Bk, k = 1, n).
Теорема 2. Если α ∈ R
+, α 6 n2/8, то для каждой лучевой системы точек An =
= {ak}n
k=1 такой, что µ(An) = 1, σk 6 1/
√
2α, k = 1, n, и для произвольного открытого
множества D, содержащего точки 0, ∞, a1, . . . , an и удовлетворяющего второму условию
неналегания относительно системы An, справедливо неравенство (1).
Приведем два следствия, вытекающие из теоремы 2. Первое из них получается с помо-
щью предельного перехода при α → 0 и установлено в работе [10].
Следствие 1. Для каждой лучевой системы точек An = {ak}n
k=1 такой, что µ(An) = 1
и для произвольного открытого множества D ⊃ An, которое удовлетворяет первому
условию неналегания относительно системы An, справедливо неравенство
n∏
k=1
r(D,ak) 6
n∏
k=1
r(D0, dk),
где D0 =
n⋃
k=1
Bk, а области Bk и точки dk, dk ∈ Bk, являются соответственно круговыми
областями и полюсами квадратичного дифференциала
Q(w)dw2 = − wn−2
(wn − 1)2
dw2.
Следствие 2. Пусть ε, α ∈ R
+, ε 6 1/n, α 6 (1/2)(n/(2 + εn))2. Тогда для каждой
лучевой системы точек An = {ak}n
k=1 такой, что µ(An) = 1, |σk(An) − 2/n| 6 ε, k = 1, n,
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
и для произвольного открытого множества D, содержащего точки 0, ∞, a1, . . . , an и удов-
летворяющего второму условию неналегания относительно системы An, справедливо не-
равенство (1).
Отметим, что сформулированные утверждения являются прямым обобщением резуль-
татов работ [11, 12]. Другие результаты подобного типа содержатся в работах [3–10, 14].
Приведем доказательство теоремы 1. Для этого воспользуемся методами работ [5, 6, 14].
При малых t ∈ R
+ определим множества E0 = C \ D, U t = {w ∈ C : |w| 6 t}, ∆t = {w ∈
∈ C : |w| > t−1}, Ek(t) = {w ∈ C : |w − ak| 6 t} (k = 1, n) и рассмотрим порожденный
ними конденсатор C(t,D,An) = {E0, U t,∆t, E1(t), . . . , En(t)} с предписанными значениями
0,
√
α,
√
α, 1, 1, . . . , 1
︸ ︷︷ ︸
nраз
соответственно. Напомним (см. [13]), что емкостью такого конденса-
тора называется величина
cap C(t,D,An) = inf
∫∫
[(G′
x)2 + (G′
y)
2] dxdy,
где нижняя грань берется по множеству всех вещественных непрерывных в C и липшице-
вых в C функций G(z) таких, что в некоторых, зависящих от функции G(z), окрестностях
множеств E0, U t, ∆t и Ek(t) выполняются соответственно равенства G(z) = 0, G(z) =
√
α,
G(z) =
√
α и G(z) = 1 (k = 1, n). Модуль конденсатора |C(t,D,An)| определяется равен-
ством |C(t,D,An)| = [cap C(t,D,An)]−1.
Из теоремы 1 работы [14] получаем асимптотическую формулу
|C(t,D,An)| =
1
2π
· 1
n + 2α
· log 1
t
+ M(D,An) + o(1), t → 0, (2)
в которой
M(D,An) =
1
2π
· 1
(n + 2α)2
·
[
α log r(D, 0) + α log r(D,∞) + 2αgD(0,∞) +
+
n∑
k=1
2
√
α(gD(0, ak) + gD(∞, ak)) +
n∑
k=1
log r(D,ak) +
∑
k 6=p
gD(ap, ak)
]
, (3)
а обобщенная функция Грина gB(z, a) множества B с полюсом в точке a определяется
равенством
gB(z, a) =
gB(a)(z, a), z ∈ B(a),
0, z ∈ C \ B(a),
lim
ζ→z
gB(a)(ζ, a), ζ ∈ B(a), z ∈ ∂B(a)
(существование предела вытекает из принципа максимума для гармонических функций),
где gB(a)(z, a) обозначает обобщенную функцию Грина области B(a) с полюсом в точке a
(см., напр., [2]).
Выполним разделяющее преобразование (см. [14]) конденсатора C(t,D,An) относитель-
но семейства углов {Pk(An)}n
k=1 и семейства функций {zk(w)}n
k=1, где zk(w) — однозначная
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 33
ветвь функции (−1)ki(e−i arg akw)1/σk , отображающая биссектрису угла Pk(An) на множе-
ство {(−1)k+1y : y ∈ R
+} (k = 1, n), и рассмотрим конденсатор
Ck(t,D,An) = (E
(k)
0 , U
(k)
t ,∆
(k)
t , E
(k)
1 , E
(k)
2 )
с предписанными значениями 0,
√
α,
√
α, 1, 1 соответственно, где
E
(k)
0 = zk
(
E0
⋂
P k
)
⋃
{
zk
(
E0
⋂
P k
)}∗
,
U
(k)
t = zk
(
U t
⋂
P k
)
⋃
{
zk
(
U t
⋂
P k
)}∗
,
∆
(k)
t = zk
(
∆t
⋂
P k
)
⋃
{
zk
(
∆t
⋂
P k
)}∗
,
E
(k)
1 = zk
(
Ek(t)
⋂
P k
)
⋃
{
zk
(
Ek(t)
⋂
P k
)}∗
,
E
(k)
2 = zk
(
Ek+1(t)
⋂
P k
)
⋃
{
zk
(
Ek+1(t)
⋂
P k
)}∗
(k = 1, n),
En+1(t) = E1(t), {A}∗ = {w ∈ C : − w ∈ A}.
При таком разделяющем преобразовании конденсатору C(t,D,An) соответствует набор кон-
денсаторов {Ck(t,D,An)}n
k=1, причем в силу результатов работ [5, 6, 14] справедливо нера-
венство
cap C(t,D,An) >
1
2
n∑
k=1
cap Ck(t,D,An), (4)
из которого выводим соотношение
|C(t,D,An)| 6 2
(
n∑
l=1
|Ck(t,D,An)|−1
)−1
. (5)
С другой стороны, при всех k ∈ {1, . . . , n} имеют место асимптотические равенства
|zk(w) − zk(am)| =
1
σk
|am|(1/σk)−1|w − am|(1 + o(1)), w → am, m = k, k + 1,
|zk(w)| = |w|1/σk (1 + o(1)), w → 0, w → ∞.
Из этих соотношений, используя (2) и (3), получаем асимптотическое равенство
|Ck(t,D,An)| =
1
2π
· 1
2 + 2ασk
· log 1
t
+ Mk(D,An) + o(1), t → 0, (6)
где
Mk(D,An) =
1
2π
· 1
(2 + 2ασk)2
×
×
σ2
kα log(r(D
(k)
0 , 0)r(D(k)
∞ ,∞)) + log
r(D
(1)
k , a
(1)
k ) · r(D(2)
k , a
(2)
k )
1
σk
|ak|(1/σk)−1 · 1
σk
|ak+1|(1/σk)−1
, (7)
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
zk(ak) =: a
(1)
k , zk(ak+1) =: a
(2)
k , D
(k)
0 , D(k)
∞ и D
(s)
k — объединение связных компоненты мно-
жеств zk
(
D
⋂
P k
)
, содержащих соответственно точки 0, ∞ и a
(s)
k , с образами их симмет-
ричных отражений относительно мнимой оси (k = 1, n, s = 1, 2). Из формулы (6) следует,
что при t → 0 справедливо равенство
(
n∑
k=1
|Ck(t,D,An)|−1
)−1
=
=
1
4π(n + 2α)
· log 1
t
+
1
(n + 2α)2
·
n∑
k=1
(1 + ασk)
2Mk(D,An) + o(1),
которое в сочетании с (2) и (5) дает оценку
M(D,An) 6
2
(n + 2α)2
·
n∑
k=1
(1 + ασk)
2Mk(D,An). (8)
Из этой оценки и из (3) и (7) следует неравенство
(r(D, 0) · r(D,∞))α ·
n∏
k=1
r(D,ak) 6
6 2n ·
n∏
k=1
σk ·
n∏
k=1
{
r(D
(1)
k , a
(1)
k ) · r(D(2)
k , a
(2)
k )
(
|ak|1/σk + |ak+1|1/σk
)2 · (r(D(k)
0 , 0) · r(D(k)
∞ ,∞))ασ2
k
}1/2
. (9)
Отсюда, используя результаты и методы работ [5, 8, 11, 12, 14], получаем требуемое заклю-
чение. Теорема 1 доказана.
Теорема 2 доказывается аналогичным образом.
1. Лаврентьев М.А. К теории конформных отображений // Тр. Физ.-мат. ин-та АН СССР. – 1934. –
5. – С. 159–245.
2. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. – Москва: Наука, 1966. –
628 с.
3. Бахтина Г.П. Вариационные методы и квадратичные дифференциалы в задачах о неналегающих
областях: Автореф. дис. . . . канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1975. – 11 с.
4. Кузьмина Г.В. Задачи об экстремальном разбиении римановой сферы // Зап. науч. семинаров
Ст.-Петербург. отд. Мат. ин-та АН. – 2001. – 276. – С. 253–275.
5. Дубинин В.Н. Разделяющее преобразование областей и задачи об экстремальном разбиении // Зап.
науч. семинаров Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. – 1988. – 168. – С. 48–66.
6. Дубинин В.Н. Метод симметризации в геометрической теории функций комплексного переменного //
Успехи мат. наук. – 1994. – 49, № 1 (295). – С. 3–76.
7. Емельянов Е. Г. К задаче о максимуме произведения степеней конформных радиусов неналегающих
областей // Зап. науч. семинаров Ст.-Петербург. отд. Мат. ин-та АН. – 2002. – 286. – С. 103–114.
8. Бахтин А.К. Экстремальные задачи о неналегающих областях со свободными полюсами на окру-
жности // Доп. НАН України. – 2004. – № 8. – С. 7–15.
9. Бахтин А.К. О некоторых экстремальных задачах геометрической теории функций комплексного
переменного // Там само. – 2006. – № 9. – С. 7–11.
10. Бахтин А.К. Неравенства для внутренних радиусов неналегающих областей и открытых множеств //
Там само. – 2006. – № 10. – С. 7–13.
11. Бахтин А.К., Таргонский А.Л. Экстремальные задачи и квадратичные дифференциалы // Нелiнiйнi
коливання. – 2005. – 8, № 3. – С. 298–303.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 35
12. Таргонський А.Л. Екстремальнi задачi теорiї однолистих функцiй: Автореф. дис. . . . канд. фiз.-мат.
наук. – Київ, 2006. – 21 с.
13. Хейман В.К. Многолистные функции. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1960. – 180 с.
14. Дубинин В.Н. Асимптотика модуля вырождающегося конденсатора и некоторые ее применения //
Зап. науч. семинаров Ст.-Петербург. отд. Мат. ин-та АН. – 1997. – 237. – С. 56–73.
15. Дженкинс Дж.А. Однолистные функции и конформные отображения. – Москва: Изд-во иностр.
лит., 1962. – 256 с.
Поступило в редакцию 27.12.2007Институт математики НАН Украины, Киев
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
|