Модель оптимізації у стані економічної рівноваги

Розглядається питання розробки цілісних моделей функціонування господарської системи з визначенням оптимальних цін, витрат праці, обсягів виробництва, експорту-імпорту, податків. Ці показники визначаються з систем рівнянь балансів попиту та пропозиції на ринках праці і продуктів з урахуванням...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
1. Verfasser:	Алєксєєв, А.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2005
Schriftenreihe:	Математичні машини і системи
Schlagworte:	Моделювання і управління великими системами
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58391
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Модель оптимізації у стані економічної рівноваги / А.А. Алєксєєв // Мат. машини і системи. — 2005. — № 2. — С. 89-95. — Бібліогр.: 2 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-58391
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-583912014-04-05T09:03:01Z Модель оптимізації у стані економічної рівноваги Алєксєєв, А.А. Моделювання і управління великими системами Розглядається питання розробки цілісних моделей функціонування господарської системи з визначенням оптимальних цін, витрат праці, обсягів виробництва, експорту-імпорту, податків. Ці показники визначаються з систем рівнянь балансів попиту та пропозиції на ринках праці і продуктів з урахуванням видів виробничих функцій і функцій корисності Рассмотрены вопросы разработки целостных моделей функционирования хозяйственной системы с определением цен, затрат труда, объёмов производства, экспорта-импорта, налогов. Эти показатели определяются из систем уравнений балансов спроса и предложения на рынках труда и продуктов с учетом видов производственных функций и функций полезности This article deals with the question of developing complete models of functioning of an economic system with determination of optimum prices, labor inputs, production volumes, export-import, and taxation. These parameters are determined from systems of balance equations of demand and supply in labor and commodity markets products taking into account kinds of production functions and utility functions. 2005 Article Модель оптимізації у стані економічної рівноваги / А.А. Алєксєєв // Мат. машини і системи. — 2005. — № 2. — С. 89-95. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58391 519.862 uk Математичні машини і системи Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами
spellingShingle	Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами Алєксєєв, А.А. Модель оптимізації у стані економічної рівноваги Математичні машини і системи
description	Розглядається питання розробки цілісних моделей функціонування господарської системи з визначенням оптимальних цін, витрат праці, обсягів виробництва, експорту-імпорту, податків. Ці показники визначаються з систем рівнянь балансів попиту та пропозиції на ринках праці і продуктів з урахуванням видів виробничих функцій і функцій корисності
format	Article
author	Алєксєєв, А.А.
author_facet	Алєксєєв, А.А.
author_sort	Алєксєєв, А.А.
title	Модель оптимізації у стані економічної рівноваги
title_short	Модель оптимізації у стані економічної рівноваги
title_full	Модель оптимізації у стані економічної рівноваги
title_fullStr	Модель оптимізації у стані економічної рівноваги
title_full_unstemmed	Модель оптимізації у стані економічної рівноваги
title_sort	модель оптимізації у стані економічної рівноваги
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
publishDate	2005
topic_facet	Моделювання і управління великими системами
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58391
citation_txt	Модель оптимізації у стані економічної рівноваги / А.А. Алєксєєв // Мат. машини і системи. — 2005. — № 2. — С. 89-95. — Бібліогр.: 2 назв. — укр.
series	Математичні машини і системи
work_keys_str_mv	AT alêksêêvaa modelʹoptimízacííustaníekonomíčnoírívnovagi
first_indexed	2025-07-05T09:35:01Z
last_indexed	2025-07-05T09:35:01Z
_version_	1836799075081519104
fulltext	ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 2 89 УДК 519.862 А.А. АЛЄКСЄЄВ МОДЕЛЬ ОПТИМІЗАЦІЇ У СТАНІ ЕКОНОМІЧНОЇ РІВНОВАГИ__________________ Abstract: This article deals with the question of developing complete models of functioning of an economic system with determination of optimum prices, labor inputs, production volumes, export-import, and taxation. These parameters are determined from systems of balance equations of demand and supply in labor and commodity markets products taking into account kinds of production functions and utility functions. Key words: iprice, expenses, labor, production, consumption, export, import, production function, utility function. Анотація: Розглядається питання розробки цілісних моделей функціонування господарської системи з визначенням оптимальних цін, витрат праці, обсягів виробництва, експорту-імпорту, податків. Ці показники визначаються з систем рівнянь балансів попиту та пропозиції на ринках праці і продуктів з урахуванням видів виробничих функцій і функцій корисності. Ключові слова: ціна, витрати, праця, виробництво, споживання, попит, пропозиція, розподіл, експорт, імпорт, виробнича функція, функція корисності. Аннотация: Рассмотрены вопросы разработки целостных моделей функционирования хозяйственной системы с определением цен, затрат труда, объёмов производства, экспорта-импорта, налогов. Эти показатели определяются из систем уравнений балансов спроса и предложения на рынках труда и продуктов с учетом видов производственных функций и функций полезности. Ключевые слова: цена, затраты, труд, производство, потребление, спрос, предложение, распределение, экспорт, импорт, производственная функция, функция полезности. 1. Вступ Мова йде про необхідність розробки цілісних моделей функціонування господарської системи з визначенням оптимальних цін товарів, витрат праці, обсягів виробництва, нормативів податків тощо. Історично такий цілісний підхід в економічних дослідженнях пов’язаний з іменем швейцарського економіста Л. Вальраса (1834–1910). Він описується системою рівнянь виробництва і споживання та балансів попиту і пропозиції на ринку праці і ринку продуктів. Загальний результат угод і-го індивіда на ринку j-го продукту врівноважується ціновими атрибутами праці та продукції, що виробляється [1]. 2. Основні позначення Розглянемо структуру господарства в районі, що складають n індивидів, споживачів, кожен з яких одночасно може бути робітником певної ферми господарства з виробництва продукції. Нехай задані виробничі функції, які характеризують технології виробництва: mjniLBB ijijij ,1 ,,1 ),( === , (1) де ijB – об’єм продукту в деяких натуральних одиницях (наприклад, в т), який виробляє і-ий виробник (об’єм j-го продукту); ijL – витрати праці. Розподіл виробленого: mjniEyxB ijijijij ,1 ,,1 , ==++= , (2) де ijx – власне споживання; ijy – на споживання інших виробників господарства (крім і-го); ijE – на експорт. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 2 90 Сума споживання: mjniIMZxQ ijijijij ,1 ,,1 , ==++= , (3) де ijZ – надходження j -го продукту i -му споживачу від інших членів господарства; I ijM – за імпортом. Ясно, що виконуються баланси mjZy n ji n ij ii ,1 , 11 ==∑∑ == . (4) Якщо 0>ijy , то 0=ijZ , якщо 0>ijZ , то 0=ijy . mjniIMEZyx ijijijijij ,1 ,,1 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ==≥≥≥≥≥ . (5) Прибуток від власного виробництва складає mjniLrBP ijijijj ,1 ,,1 , ij ==−=∏ , (6) де jP – ціна j-го продукту; ijr – ціна (доходність) праці. Обмеження витрат праці: niLL i m j ij ,1 , 1 ==∑ = . (7) Бюджетні обмеження споживачів: ∑ = ==         ++− m j iijijjijjijj niБЗIMPEPBP 1 ,1 , ~~~ , (8) де ijЗ – показник збереження коштів. Величина iБ визначає бюджет (доход) і-го виробника, який одночасно є споживачем: ∑ ∏ = =+−= m j i niZБ 1 iiijij ,1 , q)-(1Lr)1( γ ; (9) ∑∏∏ = == m j iji ni 1 ,1 , , (10) де Z – ставка податку на заробітну плату; q – ставка податку на прибуток; γ I – частка всього прибутку господарства, яка надається для і-го виробника робітниками господарства на основі деякої угоди. Найчастіше така частка пропорційна вкладеному виробником об’єму капіталу, землі і т.д. 3. Критерійна функція Критерійна функція будується за методом Лагранжа комплексно по максимуму прибутку виробників і корисності продукції для споживачів. Ці два критерії зважені через експертний коефіцієнт порівняння з урахуванням фактора обміну продуктами (у тому числі завдяки експорту та імпорту) і з урахуванням обмежень за витратами праці та бюджетних обмежень (7), (8): ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 2 91 ( )∑ ∏ ∏ ∑∑ = = ==                −+      −++−+⋅+= n i i m j m j iij T i m j iijijjijjijjiij LLБЗIMPEPBPQKF ij 1 1 11 ~~~ λλβ , (11) де ijQ – об’єм споживання j -го продукту і-м споживачем; ∏ = m j ij ijQ 1 β – функція корисності i -го споживача, яка визначає міру його задоволення набором m товарів; ijβ – числовий параметр функції корисності ( )10 << ijβ ; K – коефіцієнт порівняння показників прибутку і корисності продуктів; jP ~ – експортна ціна j -го продукту; jP ~~ – імпортна ціна j -го продукту; T ii λλ , – множники Лагранжа. З (8) – (10), (6) випливає [ ]{ } niЗIMPEPLrqBPqLrZ m j ijijjijjijijiijjiijij ,1 , 0 ~~~ )1(1)1()1( 1 ==−−+−−⋅−−+−∑ = γγ , (12) а з (2), (3) випливає m1,j ,,1 , ==+−−+= niIMEyZBQ ijijijijijij . (13) 4. Рівняння оптимізації Система рівнянь для оптимізації витрат праці з урахуванням (11) – (13), (6) – (10) має вигляд ( )[ ] +′         +−−−= ∏ − )()1(11 1 ijij m j ij ij ij iij ij LBQ Q K qP dL dF ijββ γλ [ ]{ } m1,j ,,1 ,01)1(1 ===+−−−−+ niqZr T iiiij λγλ . (14) Система рівнянь (14) дійсно відповідає завданню максимізації критерійної функції. Наприклад, якщо покласти 10 ,)( <<== ijijijijijij ijLaLBB αα , (15) де ijа , ijα – числові параметри виробничої функції, тоді ∏ = <        ′′+′ − = m j ij ij ij ijij ij ij ij ijQ Q K BB QdL Fd 1 2 2 0 1 βββ , (16) оскільки 0B ,0 ,1 ij <′′>′< ijij Bβ . Від’ємність другої похідної є ознакою точки максимуму. Отримана система рівнянь нелінійна і потребує застосування чисельних методів. Приклад 1. Нехай 1=m (один товар), тоді система бюджетних балансів (12) має вигляд [ ] iiiiiiiiii ЗIMPEPLrqPBqLrZ =−+−−⋅−−−− ~~~ )1()1(1)1( γγ , (17) niLaB i iii ,1 , == α . (18) ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 2 92 Нехай 2=n , 11 =a , 22 =a , 8,01 =β , 5,02 =β , 75,01 =α , 5,02 =α , 1=P , 13,0=Z , 3,0=q , 5,021 == γγ , 51 =L , 5,12 =L , 2,1 ~ =P , 8,0 ~~ =P , 11 =r 2,12 =r , 5,01 =E , I 2,01 =M , 8,02 =E , I 7,02 =M . Тоді 1В = 50,75 = 3,344, 2В = 2⋅1,50,5 = 2,449. 1З = 0,87⋅5 – (1 – 0,7⋅0,5)⋅3,344 – 0,7⋅0,5⋅5 + 1,2⋅0,5 – 0,8⋅0,2 = 0,87; 2З = 0,87⋅1,2⋅1,5 – 0,65⋅2,449 – 0,7⋅0,5⋅1,2⋅1,5 + 1,2⋅0,8 – 0,8⋅0,7 = - 0,26. Тобто перший виробник має збереження, а другий – збитки. 5. Визначення рівноважних цін Розглянемо спрощені умови задачі, коли функція споживання співпадає з виробничою функцією ( )ijij BQ = , відсутні експорт – імпорт, ціна праці однакова для всіх виробників та ін. Тоді можна знайти явний розв’язок цієї багатокритерійної задачі [2]. Функцію попиту на працю для вироблення j -го продукту визначимо спочатку з умови максимізації прибутку: ∏ ∏ =⋅−== j j jj mjLrLQPL ,1 ,)()( . (19) При jLaLQQ jjj α== )( з використанням умов екстремуму m1,j ,01 ==−= −∏ rLaP dL d j jjj j αα , (20) визначимо функції попиту на працю: m1, j , 1 1 D =      == − j r aP LL jjj j αα . (21) Тоді прибуток можна подати у вигляді функції цін: mj r aP L j jjj j j j j j j ,1 ),1( )( )( 1 1 1 1 D =−== − − − ∏ ∏ α α α α α . (22) Функції пропозиції товарів знайдемо через підстановку (21) в (18): m1,j ,)( 1 1 1 D =      == −− j j j r P aLQQ jj jj S j S j α α α α . (23) ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 2 93 Бюджетне обмеження: ∑ ∏ = =−= m j i S iijj rLQP 1 n1,i ,γ , (24) де ∑ = ∏=∏ m j j 1 , (25) S iL – пропозиція праці, ni ,1= . Щоб пропозиція праці була збалансована з оптимальним попитом на неї, маємо враховувати рівняння ∑∑ == = n i S i m j j LL 11 D . (26) Функцію попиту на товари визначимо з умови максимізації функції корисності споживачів з урахуванням бюджетного обмеження (24) методом побудови функції Лагранжа: nirLQPQF m j ii S i m j ijjiji ij ,1 , 1 1 =        ⋅−−−= ∏ ∏∑ = = γλβ . (27) Умови екстремуму: m1,j ,n1,i ,0 11 ===−= ∑∏ == m j j m j ij ij ij ij i PQ QdQ dF ij λ β β , (28) з яких знайдемо вираз споживчого кошика через один товар: m1,j ,,1 , 1 1 1 === ni P P QQ i ij j iij β β . (29) З (24) знайдемо 1iQ з використанням рівнянь nirL P Q i S i m j ij i i ,1 , 11 1 1 =+= ∏∑ = γβ β . (30) та визначимо ijQ через ціни з (29): ( ) mLr P QQ i S i j ij ijij ,1j n,1, i ,D ==+⋅== ∏γ β , (31) де ∑ = = m j ij ij ij 1 β β β . (32) Баланс пропозиції товарів (23) та попиту на них (31) у вигляді ∑ = == n i S jij mjQQ 1 D ,1 , , (33) ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 2 94 з урахуванням (22), (25) дозволяє визначити рівноважні ціни jP з системи m рівнянь з m невідомими. Дійсно, з (31) ( ) mj r P aGAr P Q j j j jj jjj j ij ,1 , 1 1 1 1 n 1i D =      =⋅+⋅= −− = ∏∑ α α α α , (34) де ∑ ∑ = = ⋅== n i m i iijj S iijj GLA 1 1 , γββ . (35) З (34) маємо mj a GrAr P j j j j j jj jj j ,1 , 1 11 1 =         ⋅⋅+⋅ = − −− ∏ α α α α α α . (36) Відповідно з (21) маємо ( ) mjGrA r GrAr L jjj j j jj j j j j j j j j ,1 , 1 1 1 11 1 D =⋅+=         ⋅         ⋅+ = ∏ ∏ − − −− α α α α α α α α α α . (37) Тоді з (26) ∏ ∑ ∑∑∑ = === =⋅⋅+⋅= m j n i S ijjj j m j m j j LGArL 1 111 D αα ; (38) ∏ ∑ ∑∑ = == ⋅− = m j jj m j ji n i S i G ArL 1 11 α α . (39) Приклад 2. Нехай 2=n , 2=m , 1=r , 21 =SL , 32 =SL , 21 =a , 42 =a , 8,011 =β , 4,012 =β , 75,01 =α , 5,02 =α , 25,021 =β , 5,022 =β . Тоді 3 2 11 =β , 3 1 12 =β , 3 1 21 =β , 3 2 22 =β , 3 7 1 =A , 3 8 2 =A , 5,01 =G , 5,02 =G , 07,3=∏ , 87,01 =P , 72,02 =P , 9,2D 1 =L , 1,2D 2 =L , 97,01 =∏ , 10,22 =∏ , 44,41 =Q , 76,52 =Q . Результат співпадає з іншим засобом обчислення в [1]. 6. Висновки Розглянуті підходи до моделювання та оптимізації стану економічної рівноваги ведуть, як ми бачимо, до класу задач обчислення розв’язків систем трансцендентних рівнянь. Для здійснення ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2005, № 2 95 оптимізації необхідним етапом є побудова багатокритерійних функцій, які враховують виробничі, споживацькі, гуманітарні та інші фактори, що визначають економічну систему. А самі процедури узгодження економічних інтересів доводиться вирішувати іноді в невласних, суперечливих та ймовірнісних умовах. Можливі напрямки удосконалення моделей охоплюють більш широкі класи виробничих функцій. Наприклад, можливе використання функції Коббі-Дугласа [2]. А введення такого “гуманітарного” фактора, як вільний час виробників, можливе через кошторисну оцінку цього “блага” у функції корисності. Додання цих факторів, без сумніву, зробить підхід до моделювання стану економічної рівноваги більш цілісним і конструктивним. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Тарасевич Л., Гальперин В., Гребенников П., Леусский А. Макроэкономика. – Спб.: Санкт-Петербургский государственный университет экономики и финансов, 1999. – С. 237. 2. Алексеев А.А. Модель ценообразования в схеме экономического равновесия Вальраса // Кибернетика и системный анализ. – 2001. – № 1. – С. 115 – 123.

Модель оптимізації у стані економічної рівноваги

Institution

Ähnliche Einträge