О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при действии направленных вдоль них начальных напряжений
An axisymmetric problem on the interaction of a periodic system of coaxial cracks in an infinite material is investigated by the use of approaches of the linearized mechanics of solids. Two non-classical mechanisms of fracture are considered, namely, fracture of solids with initial stresses acting p...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5847 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при действии направленных вдоль них начальных напряжений / В.Л. Богданов // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 53-59. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-5847 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-58472010-02-09T12:01:20Z О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при действии направленных вдоль них начальных напряжений Богданов, В.Л. Механіка An axisymmetric problem on the interaction of a periodic system of coaxial cracks in an infinite material is investigated by the use of approaches of the linearized mechanics of solids. Two non-classical mechanisms of fracture are considered, namely, fracture of solids with initial stresses acting parallel to the cracks’ planes and fracture of materials under compression along cracks. Numerical results are obtained for a highly elastic material with the Bartenev–Khazanovich elastic potential. The dependence of the parameters of fracture on the loading conditions, physi-co-mechanical characteristics of materials, and geometric parameters of the problem is analyzed. 2008 Article О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при действии направленных вдоль них начальных напряжений / В.Л. Богданов // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 53-59. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5847 539.375 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Механіка Механіка |
| spellingShingle |
Механіка Механіка Богданов, В.Л. О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при действии направленных вдоль них начальных напряжений |
| description |
An axisymmetric problem on the interaction of a periodic system of coaxial cracks in an infinite material is investigated by the use of approaches of the linearized mechanics of solids. Two non-classical mechanisms of fracture are considered, namely, fracture of solids with initial stresses acting parallel to the cracks’ planes and fracture of materials under compression along cracks. Numerical results are obtained for a highly elastic material with the Bartenev–Khazanovich elastic potential. The dependence of the parameters of fracture on the loading conditions, physi-co-mechanical characteristics of materials, and geometric parameters of the problem is analyzed. |
| format |
Article |
| author |
Богданов, В.Л. |
| author_facet |
Богданов, В.Л. |
| author_sort |
Богданов, В.Л. |
| title |
О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при действии направленных вдоль них начальных напряжений |
| title_short |
О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при действии направленных вдоль них начальных напряжений |
| title_full |
О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при действии направленных вдоль них начальных напряжений |
| title_fullStr |
О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при действии направленных вдоль них начальных напряжений |
| title_full_unstemmed |
О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при действии направленных вдоль них начальных напряжений |
| title_sort |
о разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при действии направленных вдоль них начальных напряжений |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Механіка |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/5847 |
| citation_txt |
О разрушении материала с периодической системой соосных круговых трещин при действии направленных вдоль них начальных напряжений / В.Л. Богданов // Доп. НАН України. — 2008. — № 9. — С. 53-59. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bogdanovvl orazrušeniimaterialasperiodičeskojsistemojsoosnyhkrugovyhtreŝinpridejstviinapravlennyhvdolʹnihnačalʹnyhnaprâženij |
| first_indexed |
2025-07-02T08:53:09Z |
| last_indexed |
2025-07-02T08:53:09Z |
| _version_ |
1836524649870000128 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
9 • 2008
МЕХАНIКА
УДК 539.375
© 2008
В.Л. Богданов
О разрушении материала с периодической системой
соосных круговых трещин при действии направленных
вдоль них начальных напряжений
(Представлено академиком НАН Украины А.Н. Гузем)
An axisymmetric problem on the interaction of a periodic system of coaxial cracks in an infinite
material is investigated by the use of approaches of the linearized mechanics of solids. Two non-
classical mechanisms of fracture are considered, namely, fracture of solids with initial stresses
acting parallel to the cracks’ planes and fracture of materials under compression along cracks.
Numerical results are obtained for a highly elastic material with the Bartenev–Khazanovich
elastic potential. The dependence of the parameters of fracture on the loading conditions, physi-
co-mechanical characteristics of materials, and geometric parameters of the problem is analyzed.
В настоящей работе исследована осесимметричная линеаризированная задача о взаимо-
действии периодической системы соосных параллельных дискообразных трещин в беско-
нечном материале. Рассмотрены два неклассических механизма разрушения — разруше-
ние тела с начальными напряжениями, действующими параллельно плоскостям трещин,
и разрушение при сжатии вдоль трещин. Отметим, что при таких схемах начального на-
гружения трещины не оказывают влияния на коэффициенты интенсивности напряжений
и величины раскрытия трещин и, следовательно, классические критерии разрушения типа
Гриффитса–Ирвина в данном случае неприменимы.
В [1–3] для исследования указанных классов задач были предложены подходы в рамках
трехмерной линеаризированной механики деформируемого твердого тела. При этом сфор-
мулированный в указанных работах критерий хрупкого разрушения материалов с началь-
ными напряжениями является аналогом соответствующего критерия Гриффитса–Ирвина,
а применительно к проблеме о сжатии материалов вдоль трещин в качестве механизма
разрушения рассматривается локальная потеря устойчивости состояния равновесия мате-
риала в окрестности трещин. К настоящему времени с использованием указанных подходов
получены решения отдельных классов задач, которые обнаружили новые механические эф-
фекты, связанные с влиянием напряжений, действующих вдоль трещин [4–6].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 53
Согласно указанным подходам, задача решается в общем виде для сжимаемых и не-
сжимаемых высокоэластических материалов с различными формами упругих потенциа-
лов. Для высокоэластических материалов, описываемых упругим потенциалом Бартенева–
Хазановича, получены численные значения параметров разрушения (критических коэф-
фициентов сжатия и коэффициентов интенсивности напряжений) и проанализирована их
зависимость от начальных напряжений, физико-механических характеристик материалов
и геометрических параметров задачи.
1. Используются координаты начального деформируемого состояния yj (j = 1, 2, 3),
которые связаны с лагранжевыми координатами естественного (недеформированного) со-
стояния соотношениями
yj = λjxj; λj = const (j = 1, 2, 3),
где λj — обусловленные начальными напряжениями коэффициенты удлинения (укороче-
ния) вдоль координатных осей, определяющие перемещения в начальном состоянии.
Рассмотрим бесконечный ряд параллельных соосных круговых трещин одинакового ра-
диуса a, расположенных в параллельных плоскостях y3 = const : {r < a, 0 6 θ < 2π, x3 =
= 2hn; n = 0,±1,±2, . . .}, где (r, θ, y3) — круговые цилиндрические координаты, получа-
емые из декартовых yj.
Предполагаем, что в теле действуют одинаковые начальные напряжения вдоль осей Oy1,
Oy2, реализующие однородное начальное напряженно-деформированное состояние:
S0
33 = 0, S0
11 = S0
22 = const 6= 0,
λj = const, λ1 = λ2 6= λ3,
(1)
где S0
ij — компоненты симметричного тензора напряжений, отнесенные к единице площа-
ди тела в недеформированном (естественном) состоянии. Кроме того, будем использовать
такие обозначения: Q′
ij — компоненты несимметричного тензора напряжений, отнесенные
к единице площади тела в начальном (вызванном начальными напряжениями S0
ij) состоя-
нии; uj — компоненты соответствующего им вектора перемещений.
На берегах трещин имеем следующие условия:
для задачи о трещинах нормального отрыва материала с начальными напряжениями
Q′
33 = −σ(r, θ), Q′
3r = 0, Q′
3θ = 0 (y3 = (2hn)±, r < a, 0 6 θ < 2π); (2)
для задачи о сжатии материала вдоль трещин
Q′
33 = 0, Q′
3r = 0, Q′
3θ = 0 (y3 = (2hn)±, r < a, 0 6 θ < 2π), (3)
где n = 0,±1,±2, . . ., а нижними индексами “+” и “−” обозначены соответствующие берега
трещин. Предполагается, что возмущения напряженно-деформированного состояния тела,
вызванные дополнительными нагрузками σ(r, θ), значительно меньше таковых для началь-
ного состояния, обусловленного начальными напряжениями S0
ij, что позволяет применять
для исследования задачи линеаризированные соотношения.
Учитывая симметрию геометрической и силовой схем задачи относительно плоскости
y3 = 0, а также периодичность компонент тензора напряжений и вектора перемещений
54 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
(с периодом 2h) по переменной y3, сводим исходную задачу для тела с периодической си-
стемой соосных трещин к задаче для слоя 0 6 y3 6 h со следующими условиями на его
гранях:
u3 = 0 (y3 = 0, 0 6 θ < 2π, r > a);
Q′
3r = 0, Q′
3θ = 0 (y3 = 0, 0 6 θ < 2π, 0 6 r <∞);
u3 = 0, Q′
3r = 0, Q′
3θ = 0 (y3 = h, 0 6 θ < 2π, 0 6 r <∞).
(4)
Кроме того, для задачи о материале с начальными напряжениями
Q′
33 = −σ(r, θ) (y3 = 0, 0 6 θ < 2π, r < a); (5)
для задачи о сжатии материала вдоль трещин
Q′
33 = 0 (y3 = 0, 0 6 θ < 2π, r < a). (6)
Отметим, что в случае задачи о сжатии тела вдоль трещин здесь рассматривается только
симметричная форма локальной потери устойчивости материала вблизи трещин [3].
2. В [2] для случая однородного начального состояния (1) построены представления
общих решений линеаризированных уравнений равновесия через гармонические потенци-
альные функции; при этом вид этих представлений зависит от корней характеристического
уравнения. Так, в случае равных корней n1 = n2 характеристического уравнения, которым
в дальнейшем ограничимся, имеем следующие представления:
ur = −∂ϕ
∂r
− z1
∂F
∂r
; u3 = n
−1/2
1
(m1 −m2 + 1)F − n
−1/2
1
m1Φ − n
−1/2
1
m1z1
∂F
∂z1
;
Q′
33 = C44
[
(d1l1 − d2l2)
∂F
∂z1
− d1l1
∂Φ
∂z1
− d1l1z1
∂2F
∂z2
1
]
;
Q′
3r = C44
{
n
−1/2
1
∂
∂r
[(d1 − d2)F − d1Φ] − n
−1/2
1
d1z1
∂2F
∂r∂z1
}
;
Φ ≡ ∂ϕ
∂z1
; z1 ≡ n
−1/2
1
y3.
(7)
Величины C44, ni, mi, li, di (i = 1, 2) определяются выбором модели материала [2],
а входящие в представления решений (7) функции ϕ, F , Φ являются гармоническими функ-
циями своих аргументов.
Далее, выразим гармонические потенциальные функции, фигурирующие в (7), в виде
интегральных разложений Фурье–Ханкеля по координатам z1, r
ϕ(r, z1) = −
∞
∫
0
[B1(λ) shλ(h1 − z1) +B2(λ) ch λ(h1 − z1)]J0(λr)
∂λ
λ shλh1
;
F (r, z1) =
∞
∫
0
[A1(λ) ch λ(h1 − z1) +A2(λ) shλ(h1 − z1)]J0(λr)
∂λ
shλh1
;
Φ(r, z1) =
∞
∫
0
[B1(λ) ch λ(h1 − z1) +B2(λ) sh λ(h1 − z1)]J0(λr)
∂λ
shλh1
, h1 ≡ n
−1/2
1
h.
(8)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 55
Удовлетворяя тем граничным условиям, которые заданы на всей области y3 = const
(вторая и третья строчки в (4)), получим такие соотношения между неизвестными функ-
циями, фигурирующими в (8):
A1(λ) = 0, B1(λ) = h1λA2(λ), B2(λ) =
(
1 − d2
d1
− h1λ cth λh
)
A2(λ). (9)
Оставшиеся граничные условия приводят к системе парных интегральных уравнений
∞
∫
0
[1 − g(λ)]λA2(λ)J0(λr)dλ = Σ(r), r < a,
∞
∫
0
A2(λ)J0(λr)dλ = 0, r > a,
(10)
где
g(λ) = − e−µ1
shµ1
− µ1
k sh2 µ1
; Σ(r) =
σ(r)
kC44d1l1
; µ1 ≡ λh1; k ≡ d2(l1 − l2)
d1l1
.
Для задачи о сжатии тела вдоль трещин следует положить Σ(r) ≡ 0.
Будем решать систему парных интегральных уравнений (10) методом подстановки [7],
выбирая решение в виде, который позволяет тождественно удовлетворить второе уравнение
в (10), а именно:
A2(λ) =
a
∫
0
ω(t) sin λt dt, (11)
где ω(t) — неизвестная функция, непрерывная вместе со своей первой производной на ин-
тервале [0, a].
Подставив выражения (11) в первое уравнение (10), после некоторых преобразований,
которые здесь не приводятся ввиду их громоздкости, получим интегральное уравнение
Фредгольма второго рода, которое в безразмерной форме имеет вид
f(ξ) − 1
π
1
∫
0
f(η)K(ξ, η)dη =
2
π
ξ
π/2
∫
0
sin θP (ξ sin θ)dθ; 0 6 ξ, η 6 1, (12)
где f(ξ) ≡ a−1ω(aξ); P (ξ) ≡ Σ(aξ), а ядро имеет вид
K(ξ, η) = R(ξ − η) −R(ξ + η),
R(z) =
1
kβ1
[
(k + 1)Reψ
(
1 +
iz
2β1
)
− z
2β1
Imψ1
(
1 +
iz
2β1
)]
,
(13)
β1 = a−1h1; Reψ(1 + iz/2β1), Imψ1(1 + iz/2β1) — соответственно действительная часть от
пси-функции ψ(z) =
d
dz
ln Γ(z) (где Γ(z) — гамма-функция) и мнимая часть от ее произ-
водной ψ1(z) =
d
dz
ψ(z).
56 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
3. Из решения уравнения (12) с учетом (11), (9)–(7) можно определить распределение
напряжений и перемещений в материале. Рассматривая асимптотическое распределение
напряжений вблизи края трещины в плоскости ее расположения y3 = 0, r > a, получаем:
Q′
33(r, 0) = C44d1l1k
ω(a)√
r2 − a2
+O(1); Q′
3r(r, 0) = 0. (14)
Аналогично тому, как принято в линейной механике разрушения материалов без на-
чальных напряжений [8], определяем коэффициенты интенсивности напряжений следую-
щим образом:
KI = lim
r→+a
[2π(r − a)]1/2Q′
33(r, 0),
KII = lim
r→+a
[2π(r − a)]1/2Q′
3r(r, 0).
(15)
Тогда, с учетом (14), для рассматриваемой задачи получаем:
KI = C44d1l1k
√
πaf(1); KII = 0, (16)
где функция f(ξ) определяется из (12).
Как видим, коэффициент интенсивности напряжений KI зависит как от величин на-
чальных напряжений и деформаций (поскольку величины C44, d1, l1, k, а также функция f
зависят от коэффициентов начального удлинения (укорочения) вдоль координатных осей
λj, j = 1, 3), так и от геометрических параметров задачи (радиуса трещин и расстояния
между ними).
Для задачи о сжатии тела вдоль плоскостей трещин (симметричная форма локальной
потери устойчивости материала вблизи трещин) из (12) получим разрешающее однородное
интегральное уравнение Фредгольма второго рода
f(ξ) − 1
π
1
∫
0
f(η)K(ξ, η) dη = 0; 0 6 ξ, η 6 1, (17)
где ядро определяется из (13).
Таким образом, начальная линеаризированная задача о сжатии бесконечного тела вдоль
периодической системы параллельных круговых трещин свелась к задаче на собственные
значения относительно параметра начального укорочения λ1 < 1 для однородного инте-
грального уравнения (17) (при этом параметр λ1 нелинейным образом входит в ядро ин-
тегрального уравнения).
4. Рассмотрим в качестве примера высокоэластический несжимаемый материал с по-
тенциалом Бартенева–Хазановича [9]. Параметры, входящие в (7), для этого материала
определяются следующим образом:
λ3 = λ−2
1
, n1 = n2 = λ−3
1
, m1 = λ−3
1
, m2 = 1,
l1 = λ3
1, l2 =
1
2
(1 − λ3
1), d1 = λ−3
1
+ 1, d2 = 2, k =
3λ3
1 − 1
λ3
1
+ 1
,
C44 = 2µλ−1
1
(1 + λ3
1)
−1, S0
11 = 2µλ−1
1
(1 − λ−3
1
).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 57
Таблица 1
β 0,0625 0,125 0,25 0,5 1,0 2,0 4,0 10,0
λ1 0,69336 0,69336 0,69336 0,69332 0,69326 0,69262 0,69334 0,69336
Рис. 1 Рис. 2
В табл. 1 приведены значения критических параметров укорочения λ1, соответствующих
симметричной форме локальной потери устойчивости материала при сжатии тела вдоль
периодической системы соосных трещин, для разных значений безразмерного полурассто-
яния между трещинами β. При достаточно больших значениях β получаем значения λ1,
совпадающие с критическими значениями λ∗1 = 0,69336, полученными в задаче о трещине
в бесконечном материале [3].
На рис. 1 для задачи о материале с начальными напряжениями в виде (1), когда на
берегах трещин действует равномерная нагрузка в виде σ(r) = σ0 = const, приведена за-
висимость соотношений коэффициентов интенсивности напряжений KI/K
∞
I (где K∞
I =
= 2σ0
√
a/π — коэффициент интенсивности напряжений для изолированной трещины в бе-
сконечном материале, см. [2]) от значений параметра начального укорочения (удлинения)
λ1, обусловленного действием начальных напряжений сжатия — растяжения S0
11 (λ1 < 1 —
начальное сжатие, λ1 > 1 — начальное растяжение), для различных значений безразмерного
полурасстояния между трещинами β = ha−1. Как видим, начальные напряжения оказыва-
ют существенное влияние на коэффициенты интенсивности напряжений.
Рис. 2 иллюстрирует зависимость соотношений коэффициентов интенсивности напря-
жений KI/K
∞
I от безразмерного полурасстояния между трещинами β для разных значе-
ний λ1. Из рисунка видим, что при возрастании расстояния между трещинами значения
коэффициентов интенсивности напряжений для периодической системы соосных трещин
нормального отрыва стремятся к значениям, полученным в задаче об изолированной тре-
щине в бесконечном материале. Отметим также, что аналогично результатам, полученным
для задачи о периодической системе трещин в бесконечном теле в рамках линейной меха-
ники разрушения [10], взаимовлияние трещин в линеаризированной задаче приводит к сни-
жению (особенно существенному для малых значений β) значений коэффициента интен-
сивности напряжений KI по сравнению со значением K∞
I , получаемым для изолированной
трещины.
58 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №9
1. Гузь А.Н. К линеаризированной теории разрушения хрупких тел с начальными напряжениями //
Докл. АН СССР. – 1980. – 252, № 5. – С. 1085–1088.
2. Гузь А.Н. Хрупкое разрушение материалов с начальными напряжениями. – Киев: Наук. думка,
1991. – 288 с. – (Неклассические проблемы механики разрушения: В 4-х т., 5-ти кн. / Под общ.
ред. А.Н. Гузя. Т. 2).
3. Гузь А.Н., Дышель М.Ш., Назаренко В.М. Разрушение и устойчивость материалов с трещинами. –
Киев: Наук. думка, 1992. – 456 с. – (Неклассические проблемы механики разрушения: В 4-х т., 5-ти
кн. / Под общ. ред. А.Н. Гузя. Т. 4. Кн. 1).
4. Guz A.N. On the development of brittle-fracture mechanics of materials with initial stress // Int. Appl.
Mech. – 1996. – 32, No 4. – P. 316–323.
5. Guz A.N., Dyshel’ M. Sh., Nazarenko V.M. Fracture and stability of materials and structural members
with cracks: Approaches and results // Ibid. – 2004. – 40, No 12. – P. 1323–1359.
6. Guz A.N., Nazarenko V.M., Bogdanov V. L. Fracture under initial stresses acting along cracks: Approach,
concept and results // Theor. and Appl. Fracture Mech. – 2007. – 48. – P. 285–303.
7. Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. – Ленинград: Наука,
1977. – 220 с.
8. Kassir M.K., Sih G.C. Mechanics of fracture. Three dimensional crack problems. – Leyden: Noordhoff,
1975. – Vol. 2. – 452 p.
9. Бартенев Г.М., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластических деформаций сеточных полимеров //
Высокомолекулярные соединения. – 1960. – 2, № 1. – С. 21–28.
10. Хай М.В., Лаушник И.П. О взаимодействии периодической системы дискообразных трещин // Фи-
зико-механические поля в деформируемых средах. – Киев, 1978. – С. 65–73.
Поступило в редакцию 16.04.2008Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 620.178.3
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.Е. Божко, В.Е. Корсун
О моделировании спектральных характеристик
смешанного процесса вибраций
The theory of forming a simulated vibration with the use of spectral functions and spectral
moments of an additive medley of stochastic and polyharmonic vibrations is given.
Эксплуатационная вибрация транспортных объектов в большинстве случаев представляет
собой совокупность стохастических и полигармонических механических колебаний [1–4].
Такую вибрацию назовем смешанной и она записывается выражением
z(t) = ξ(t) + x(t), (1)
где x(t) — квазидетерминированный полигармонический вибропроцесс;
x3 =
N
∑
k=1
Ak sin(ωkt+ ϕk), s = 1, 2; (2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №9 59
|