Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат
В противоположность широко известным итерационным методам решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат предлагается простая аналитическая формула решения....
Gespeichert in:
Datum: | 2011 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | Russian |
Veröffentlicht: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2011
|
Schriftenreihe: | Штучний інтелект |
Schlagworte: | |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58808 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат / В.М. Зуев // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 61-65. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-58808 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-588082014-04-01T03:01:17Z Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат Зуев, В.М. Системы и методы искусственного интеллекта В противоположность широко известным итерационным методам решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат предлагается простая аналитическая формула решения. У протилежність широко відомим ітераційним методам вирішення рівнянь для двомірного різницево-далекомірного методу визначення координат пропонується проста аналітична формула рішення. Contrary to well-known iterative methods for solving equation of two-dimensional range-difference method for position measurement simple analytical formula is offered. 2011 Article Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат / В.М. Зуев // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 61-65. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1561-5359 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58808 621.396.946 ru Штучний інтелект Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
topic |
Системы и методы искусственного интеллекта Системы и методы искусственного интеллекта |
spellingShingle |
Системы и методы искусственного интеллекта Системы и методы искусственного интеллекта Зуев, В.М. Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат Штучний інтелект |
description |
В противоположность широко известным итерационным методам решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат предлагается простая аналитическая формула решения. |
format |
Article |
author |
Зуев, В.М. |
author_facet |
Зуев, В.М. |
author_sort |
Зуев, В.М. |
title |
Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат |
title_short |
Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат |
title_full |
Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат |
title_fullStr |
Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат |
title_full_unstemmed |
Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат |
title_sort |
простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат |
publisher |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
publishDate |
2011 |
topic_facet |
Системы и методы искусственного интеллекта |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58808 |
citation_txt |
Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат / В.М. Зуев // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 61-65. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
series |
Штучний інтелект |
work_keys_str_mv |
AT zuevvm prostaâanalitičeskaâformularešeniâuravnenijdlâdvuhmernogoraznostnodalʹnomernogometodaopredeleniâkoordinat |
first_indexed |
2025-07-05T10:02:28Z |
last_indexed |
2025-07-05T10:02:28Z |
_version_ |
1836800801107869696 |
fulltext |
«Штучний інтелект» 1’2011 61
1-З
УДК 621.396.946
В.М. Зуев
г. Донецк, Украина
zvm05@mail.ru
Простая аналитическая формула решения
уравнений для двухмерного
разностно-дальномерного метода
определения координат
В противоположность широко известным итерационным методам решения уравнений для двухмерного
разностно-дальномерного метода определения координат предлагается простая аналитическая формула
решения.
Введение
Разностно-дальномерный метод определения координат широко применяется в
навигации и системах мониторинга источников радиоизлучения. Он имеет однознач-
ное решение при использовании данных о времени прихода сигнала при четырех (или
более) позициях измерения. В настоящее время известны многочисленные итерацион-
ные способы решения уравнений этого метода [1-3].
Между тем эти уравнения имеют простое аналитическое решение, которым ав-
тор пользуется на протяжении ряда лет.
Целью данной работы является получение простой аналитической формулы для
вычислений в устройствах, требующих быстродействия и имеющих ограниченный вы-
числительный ресурс.
Вывод формулы решения
Особенно просто это решение выглядит в случае двумерной задачи. Такая задача
до сих пор актуальна в автономных системах ближней морской навигации, в системах
наземного мониторинга источников радиоизлучения, в радиоразведке и в других прак-
тических задачах.
Пусть { 0x , 0y },{ 1x , 1y },{ 2x , 2y },{ 3x , 3y } есть априори известные координаты со-
ответственно нулевой, первой, второй, третьей позиции измерения, а { Tx , Ty } – коор-
динаты цели. Координаты целей подлежат определению по измеренным величинам
задержек τ1, τ2, τ3 времени между сигналами, которые прошли по пути по ломаной
{ Tx , Ty } – { ix , iy } – { 0x , 0y } (i = 1,2,3), и сигналами, прошедшими по прямому пути
{ Tx , Ty } – { 0x , 0y }. В некоторых случаях измеряются разности it прихода сигналов меж-
ду пунктами { ix , iy } и{ 0x , 0y }. Задачи эквивалентны между собой, так как между it
и i имеется связь:
iii rct * , (1)
Зуев В.М.
«Искусственный интеллект» 1’2011 62
1-З
где с – скорость света ( в дальнейшем принимаем с=1),
i – расстояние между пунктами { Tx , Ty } и{ 0x , 0y } Традиционные способы реше-
ния задачи в конечном счете сводятся к следующему. Если обозначить v
={ Tx , Ty }
вектор положения цели, а iA (i=1,2,3) матрицу квадратичной формы vAv i
** =1, по-
рождающую гиперболу
2
2
1
0
1
0
i
i
i
a
A
b
, (2)
где ia – большая полуось гиперболы, равная
2
i
i
t
a ; (3)
ib – малая полуось гиперболы, такая, что
2 2 2
i i ib c a , (4)
где
2
i
i
r
c , (5)
то решение навигационной задачи обычно сводится к отысканию общего решения сис-
темы трех уравнений из квадратичных форм
' '( / 2) * * * * ( / 2) 1i i i i i i iv r T A T v r
(i=1,2,3), (6)
где
ii
ii
i
i xy
yx
r
T
1
, (7)
i
i
i y
x
r
. (8)
Вообще, без уменьшения общности всегда можно положить { 0x , 0y }={0,0}.
Уравнения (6) представляют собой систему трех квадратичных уравнений. Ее реше-
ние различными итерационными методами не составляет больших трудностей, однако
значительное количество циклов итераций может привести к определенным затратам
времени.
Получим формулу, по которой вместо итерационного решения (6) можно полу-
чить прямое решение непосредственно.
Обозначая
T T{ x , y }R
, ii rRR
, ),( iii vvr
, ),( iii RRR
, ),( RRR
(9)
(здесь скобки подразумевают скалярные произведения) из уравнения разности хода сиг-
налов
iii RrR . (10)
C учетом (1) при с=1 имеем
ii tRR . (11)
Возводя (11) в квадрат, получаем
2 2 2 2 * *i i iR R t R t . (12)
Простая аналитическая формула решения уравнений…
«Штучний інтелект» 1’2011 63
1-З
С другой стороны, из уравнения треугольника {0,0} – { Tx , Ty } – { ix , iy } имеем
2 2 2 2* * *( , )i i i i TR R r r R e e
, (13)
где
( * * ) /i i i ie x i y j r
, (14)
( * * ) /T T Te x i y j R
(15)
есть единичные вектора, такие, что
( , ) 1i ie e
, ( , ) 1T Te e
. (16)
Введем обозначения
Tx
x
R
, Ty
y
R
. (17)
Тогда
( , ) ( * * ) /i T i i ie e x x y y r
. (18)
Вычитая из (12) уравнение (13), получаем три уравнения
2 2( )1
*
2 ( *( , ))
i i
i i i T
r t
R
t r e e
(i=1,2,3). (19)
Вводя обозначениe
2 2
i i iu r t (20)
и попарно вычитая величины обратные R из уравнений (19), получим три уравнения
( * * ) / ( * * ) / / /i i i j j j j j i ix x y y u x x y y u t u t u (i,j=1,2,3 i j ), (21)
которые лучше выглядят как
, , ,* *i j i j i jA x B y C (i,j=1,2,3 i j ), (22)
где
, * *i j j i i jA u x u x , (23)
, * *i j j i i jB u y u y , (24)
, * *i j i j j iC u t u t . (25)
Нетрудно показать из (6), что ранг системы (22) равен 2 (причем даже в трехмер-
ном случае). Таким образом, чтобы найти x и y, достаточно в (22) решить любую па-
ру уравнений. Решение (22) находим по правилу Крамера.
ijk
ijk
x
x
, (26)
ijk
ijk
y
y
, (27)
где
ij ij
ijk
ik ik
A B
A B
, (28)
ij ij
ijk
ik ik
C B
x
C B
, (29)
Зуев В.М.
«Искусственный интеллект» 1’2011 64
1-З
ij ij
ijk
ik ik
A C
y
A C
. (30)
Здесь везде каждое из , ,i j k может принимать значения 1,2,3, причем i j , i k ,
j k .
Следующим шагом находим R , подставляя (26) и (27) в (18) и (19).
И окончательно, учитывая, что * TR R e
, находим Tx и Ty
*Tx R x , (31)
*Ty R y . (32)
Проведя подстановку (26) и (27) в (31) и (32), и вводя обозначения (здесь об-
означают детерминант)
i i
j j
ij
i i
j j
t x
t x
m
t y
t y
, (33)
1
2
i i
j j
ij
i i
j j
t u
t u
n
t y
t y
(34)
после несложных преобразований, получаем окончательно
ij ik
t
ij ik
n n
x
m m
, (35)
*t ij ij ty n m x . (36)
Итак, алгоритм решения таков.
Шаг 1. Зная текущие позиции измерителей и измерив задержки i , (i=1,2,3), вычисля-
ем i i it r и затем по (20) 22* *i i i iu r .
В случае, когда it известно из измерений, по (1) и (20) вычисляем 22* *i i i iu r
Шаг 2. Вычисляем любую пару отношений детерминантов по (32) и по (33).
Можно выбрать лучшую из соображений точности вычислений.
Шаг 3. Вычислить искомые координаты цели по (34) и (35)
Например:
12 13
12 13
T
n n
x
m m
(37)
12 12 *T ty n m x . (38)
В заключение отметим, что уравнения (20) справедливы и в трехмерном случае.
Здесь так же достаточно найти только два неизвестных x и y , так как третья ко-
ордината z единичного вектора связана с ними уравнением 2 2 2 1x y z . Однако
вид решения получается довольно громоздким.
Простая аналитическая формула решения уравнений…
«Штучний інтелект» 1’2011 65
1-З
Выводы
Предложенная формула может быть использована для вычислений в устройствах,
требующих быстродействия и имеющих ограниченный вычислительный ресурс, а так-
же как хорошее начальное приближение для итерационных методов.
Литература
1. Сетевые спутниковые радионавигационные системы / [Шебшаевич В.С. и др.] ; под ред. В.С. Шеб-
шаевича. – [2-е изд.] – М. : Радио и связь, 1993. – 408с.
2. Голован А.А. Спутниковая навигация. Задачи обработки первичных измерений спутниковой нави-
гационной системы для геофизических приложений / А.А. Голован, Н.Б. Вавилова // Фундаменталь-
ная и прикладная математика. – 2005. – Т. 11, № 7. – С. 181-196.
3. Математические модели и алгоритмы обработки измерений спутниковой навигационной системы GPS.
Стандартный режим / [Голован А.А., Вавилова H.Б., Парусников H.А., Трубников С.А.]. – М. : Изд-
во механико-математического факультета МГУ, 2001.
В.М. Зуєв
Проста аналітична формула вирішення рівнянь для двомірного
різницево-далекомірного методу визначення координат
У протилежність широко відомим ітераційним методам вирішення рівнянь для двомірного різницево-
далекомірного методу визначення координат пропонується проста аналітична формула рішення.
V.M. Zuev
Simple Analytical Formula for Solving Equation of Two-Dimensional
Range-Difference Method for Position Measurement
Contrary to well-known iterative methods for solving equation of two-dimensional range-difference method
for position measurement simple analytical formula is offered.
Статья поступила в редакцию 22.11.2010.
|