Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат

В противоположность широко известным итерационным методам решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат предлагается простая аналитическая формула решения....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2011
1. Verfasser: Зуев, В.М.
Format: Artikel
Sprache:Russian
Veröffentlicht: Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2011
Schriftenreihe:Штучний інтелект
Schlagworte:
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58808
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат / В.М. Зуев // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 61-65. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-58808
record_format dspace
spelling irk-123456789-588082014-04-01T03:01:17Z Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат Зуев, В.М. Системы и методы искусственного интеллекта В противоположность широко известным итерационным методам решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат предлагается простая аналитическая формула решения. У протилежність широко відомим ітераційним методам вирішення рівнянь для двомірного різницево-далекомірного методу визначення координат пропонується проста аналітична формула рішення. Contrary to well-known iterative methods for solving equation of two-dimensional range-difference method for position measurement simple analytical formula is offered. 2011 Article Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат / В.М. Зуев // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 61-65. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1561-5359 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58808 621.396.946 ru Штучний інтелект Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Системы и методы искусственного интеллекта
Системы и методы искусственного интеллекта
spellingShingle Системы и методы искусственного интеллекта
Системы и методы искусственного интеллекта
Зуев, В.М.
Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат
Штучний інтелект
description В противоположность широко известным итерационным методам решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат предлагается простая аналитическая формула решения.
format Article
author Зуев, В.М.
author_facet Зуев, В.М.
author_sort Зуев, В.М.
title Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат
title_short Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат
title_full Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат
title_fullStr Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат
title_full_unstemmed Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат
title_sort простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат
publisher Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
publishDate 2011
topic_facet Системы и методы искусственного интеллекта
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/58808
citation_txt Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат / В.М. Зуев // Штучний інтелект. — 2011. — № 1. — С. 61-65. — Бібліогр.: 3 назв. — рос.
series Штучний інтелект
work_keys_str_mv AT zuevvm prostaâanalitičeskaâformularešeniâuravnenijdlâdvuhmernogoraznostnodalʹnomernogometodaopredeleniâkoordinat
first_indexed 2025-07-05T10:02:28Z
last_indexed 2025-07-05T10:02:28Z
_version_ 1836800801107869696
fulltext «Штучний інтелект» 1’2011 61 1-З УДК 621.396.946 В.М. Зуев г. Донецк, Украина zvm05@mail.ru Простая аналитическая формула решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат В противоположность широко известным итерационным методам решения уравнений для двухмерного разностно-дальномерного метода определения координат предлагается простая аналитическая формула решения. Введение Разностно-дальномерный метод определения координат широко применяется в навигации и системах мониторинга источников радиоизлучения. Он имеет однознач- ное решение при использовании данных о времени прихода сигнала при четырех (или более) позициях измерения. В настоящее время известны многочисленные итерацион- ные способы решения уравнений этого метода [1-3]. Между тем эти уравнения имеют простое аналитическое решение, которым ав- тор пользуется на протяжении ряда лет. Целью данной работы является получение простой аналитической формулы для вычислений в устройствах, требующих быстродействия и имеющих ограниченный вы- числительный ресурс. Вывод формулы решения Особенно просто это решение выглядит в случае двумерной задачи. Такая задача до сих пор актуальна в автономных системах ближней морской навигации, в системах наземного мониторинга источников радиоизлучения, в радиоразведке и в других прак- тических задачах. Пусть { 0x , 0y },{ 1x , 1y },{ 2x , 2y },{ 3x , 3y } есть априори известные координаты со- ответственно нулевой, первой, второй, третьей позиции измерения, а { Tx , Ty } – коор- динаты цели. Координаты целей подлежат определению по измеренным величинам задержек τ1, τ2, τ3 времени между сигналами, которые прошли по пути по ломаной { Tx , Ty } – { ix , iy } – { 0x , 0y } (i = 1,2,3), и сигналами, прошедшими по прямому пути { Tx , Ty } – { 0x , 0y }. В некоторых случаях измеряются разности it прихода сигналов меж- ду пунктами { ix , iy } и{ 0x , 0y }. Задачи эквивалентны между собой, так как между it и i имеется связь: iii rct  * , (1) Зуев В.М. «Искусственный интеллект» 1’2011 62 1-З где с – скорость света ( в дальнейшем принимаем с=1), i – расстояние между пунктами { Tx , Ty } и{ 0x , 0y } Традиционные способы реше- ния задачи в конечном счете сводятся к следующему. Если обозначить v  ={ Tx , Ty } вектор положения цели, а iA (i=1,2,3) матрицу квадратичной формы vAv i  ** =1, по- рождающую гиперболу 2 2 1 0 1 0 i i i a A b             , (2) где ia – большая полуось гиперболы, равная 2 i i t a  ; (3) ib – малая полуось гиперболы, такая, что 2 2 2 i i ib c a  , (4) где 2 i i r c  , (5) то решение навигационной задачи обычно сводится к отысканию общего решения сис- темы трех уравнений из квадратичных форм ' '( / 2) * * * * ( / 2) 1i i i i i i iv r T A T v r       (i=1,2,3), (6) где         ii ii i i xy yx r T 1 , (7)        i i i y x r  . (8) Вообще, без уменьшения общности всегда можно положить { 0x , 0y }={0,0}. Уравнения (6) представляют собой систему трех квадратичных уравнений. Ее реше- ние различными итерационными методами не составляет больших трудностей, однако значительное количество циклов итераций может привести к определенным затратам времени. Получим формулу, по которой вместо итерационного решения (6) можно полу- чить прямое решение непосредственно. Обозначая T T{ x , y }R   , ii rRR   , ),( iii vvr   , ),( iii RRR   , ),( RRR   (9) (здесь скобки подразумевают скалярные произведения) из уравнения разности хода сиг- налов iii RrR  . (10) C учетом (1) при с=1 имеем ii tRR  . (11) Возводя (11) в квадрат, получаем 2 2 2 2 * *i i iR R t R t   . (12) Простая аналитическая формула решения уравнений… «Штучний інтелект» 1’2011 63 1-З С другой стороны, из уравнения треугольника {0,0} – { Tx , Ty } – { ix , iy } имеем 2 2 2 2* * *( , )i i i i TR R r r R e e     , (13) где ( * * ) /i i i ie x i y j r    , (14) ( * * ) /T T Te x i y j R    (15) есть единичные вектора, такие, что ( , ) 1i ie e    , ( , ) 1T Te e    . (16) Введем обозначения Tx x R  , Ty y R  . (17) Тогда ( , ) ( * * ) /i T i i ie e x x y y r    . (18) Вычитая из (12) уравнение (13), получаем три уравнения 2 2( )1 * 2 ( *( , )) i i i i i T r t R t r e e      (i=1,2,3). (19) Вводя обозначениe 2 2 i i iu r t  (20) и попарно вычитая величины обратные R из уравнений (19), получим три уравнения ( * * ) / ( * * ) / / /i i i j j j j j i ix x y y u x x y y u t u t u     (i,j=1,2,3 i j ), (21) которые лучше выглядят как , , ,* *i j i j i jA x B y C  (i,j=1,2,3 i j ), (22) где , * *i j j i i jA u x u x  , (23) , * *i j j i i jB u y u y  , (24) , * *i j i j j iC u t u t  . (25) Нетрудно показать из (6), что ранг системы (22) равен 2 (причем даже в трехмер- ном случае). Таким образом, чтобы найти x и y, достаточно в (22) решить любую па- ру уравнений. Решение (22) находим по правилу Крамера. ijk ijk x x    , (26) ijk ijk y y    , (27) где ij ij ijk ik ik A B A B   , (28) ij ij ijk ik ik C B x C B   , (29) Зуев В.М. «Искусственный интеллект» 1’2011 64 1-З ij ij ijk ik ik A C y A C   . (30) Здесь везде каждое из , ,i j k может принимать значения 1,2,3, причем i j , i k , j k . Следующим шагом находим R , подставляя (26) и (27) в (18) и (19). И окончательно, учитывая, что * TR R e   , находим Tx и Ty *Tx R x , (31) *Ty R y . (32) Проведя подстановку (26) и (27) в (31) и (32), и вводя обозначения (здесь об- означают детерминант) i i j j ij i i j j t x t x m t y t y  , (33) 1 2 i i j j ij i i j j t u t u n t y t y  (34) после несложных преобразований, получаем окончательно ij ik t ij ik n n x m m    , (35) *t ij ij ty n m x  . (36) Итак, алгоритм решения таков. Шаг 1. Зная текущие позиции измерителей и измерив задержки i , (i=1,2,3), вычисля- ем i i it r  и затем по (20) 22* *i i i iu r    . В случае, когда it известно из измерений, по (1) и (20) вычисляем 22* *i i i iu r    Шаг 2. Вычисляем любую пару отношений детерминантов по (32) и по (33). Можно выбрать лучшую из соображений точности вычислений. Шаг 3. Вычислить искомые координаты цели по (34) и (35) Например: 12 13 12 13 T n n x m m    (37) 12 12 *T ty n m x  . (38) В заключение отметим, что уравнения (20) справедливы и в трехмерном случае. Здесь так же достаточно найти только два неизвестных x и y , так как третья ко- ордината z единичного вектора связана с ними уравнением 2 2 2 1x y z   . Однако вид решения получается довольно громоздким. Простая аналитическая формула решения уравнений… «Штучний інтелект» 1’2011 65 1-З Выводы Предложенная формула может быть использована для вычислений в устройствах, требующих быстродействия и имеющих ограниченный вычислительный ресурс, а так- же как хорошее начальное приближение для итерационных методов. Литература 1. Сетевые спутниковые радионавигационные системы / [Шебшаевич В.С. и др.] ; под ред. В.С. Шеб- шаевича. – [2-е изд.] – М. : Радио и связь, 1993. – 408с. 2. Голован А.А. Спутниковая навигация. Задачи обработки первичных измерений спутниковой нави- гационной системы для геофизических приложений / А.А. Голован, Н.Б. Вавилова // Фундаменталь- ная и прикладная математика. – 2005. – Т. 11, № 7. – С. 181-196. 3. Математические модели и алгоритмы обработки измерений спутниковой навигационной системы GPS. Стандартный режим / [Голован А.А., Вавилова H.Б., Парусников H.А., Трубников С.А.]. – М. : Изд- во механико-математического факультета МГУ, 2001. В.М. Зуєв Проста аналітична формула вирішення рівнянь для двомірного різницево-далекомірного методу визначення координат У протилежність широко відомим ітераційним методам вирішення рівнянь для двомірного різницево- далекомірного методу визначення координат пропонується проста аналітична формула рішення. V.M. Zuev Simple Analytical Formula for Solving Equation of Two-Dimensional Range-Difference Method for Position Measurement Contrary to well-known iterative methods for solving equation of two-dimensional range-difference method for position measurement simple analytical formula is offered. Статья поступила в редакцию 22.11.2010.