Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса на примере возмущенного осциллятора Ван дер Поля
Исследование базируется на применении R/S анализа для численного решения уравнения Ван дер Поля для изучения фундаментальных свойств сложных экономических систем, которые демонстрируют многомасштабное и мультистабильное поведение, а также сосуществование порядка и хаоса в зависимости от изменения уп...
Збережено в:
| Дата: | 2011 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2011
|
| Назва видання: | Штучний інтелект |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60059 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса на примере возмущенного осциллятора Ван дер Поля / А.К. Лопатин, К.С. Евдокимов // Штучний інтелект. — 2011. — № 3. — С. 396-402. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-60059 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-600592014-04-12T03:02:13Z Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса на примере возмущенного осциллятора Ван дер Поля Лопатин, А.К. Евдокимов, К.С. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Исследование базируется на применении R/S анализа для численного решения уравнения Ван дер Поля для изучения фундаментальных свойств сложных экономических систем, которые демонстрируют многомасштабное и мультистабильное поведение, а также сосуществование порядка и хаоса в зависимости от изменения управляющего параметра. Основной акцент в работе делается на изучение поведения показателя Херста при различных хаотических режимах и горизонтах инвестирования. Изучены возможности R/S анализа для распознавания характера поведения системы. The study is based on the use of the R / S analysis for the numerical solution of van der Pol equation to study the fundamental properties of complex economic systems that exhibit multi-scale and multistable behavior, as well as the coexistence of order and chaos, depending on changes of the control parameter. The work accents on the study of the Hurst exponent behavior at different chaotic modes and levels of investment. The possibilities of R / S analysis of recognition of the behavior of the system are studied. 2011 Article Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса на примере возмущенного осциллятора Ван дер Поля / А.К. Лопатин, К.С. Евдокимов // Штучний інтелект. — 2011. — № 3. — С. 396-402. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1561-5359 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60059 517.928.4, 330.4, 336 ru Штучний інтелект Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| spellingShingle |
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Лопатин, А.К. Евдокимов, К.С. Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса на примере возмущенного осциллятора Ван дер Поля Штучний інтелект |
| description |
Исследование базируется на применении R/S анализа для численного решения уравнения Ван дер Поля для изучения фундаментальных свойств сложных экономических систем, которые демонстрируют многомасштабное и мультистабильное поведение, а также сосуществование порядка и хаоса в зависимости от изменения управляющего параметра. Основной акцент в работе делается на изучение поведения показателя Херста при различных хаотических режимах и горизонтах инвестирования. Изучены возможности R/S анализа для распознавания характера поведения системы. |
| format |
Article |
| author |
Лопатин, А.К. Евдокимов, К.С. |
| author_facet |
Лопатин, А.К. Евдокимов, К.С. |
| author_sort |
Лопатин, А.К. |
| title |
Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса на примере возмущенного осциллятора Ван дер Поля |
| title_short |
Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса на примере возмущенного осциллятора Ван дер Поля |
| title_full |
Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса на примере возмущенного осциллятора Ван дер Поля |
| title_fullStr |
Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса на примере возмущенного осциллятора Ван дер Поля |
| title_full_unstemmed |
Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса на примере возмущенного осциллятора Ван дер Поля |
| title_sort |
применение r/s анализа для исследования детерминированного хаоса на примере возмущенного осциллятора ван дер поля |
| publisher |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60059 |
| citation_txt |
Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса на примере возмущенного осциллятора Ван дер Поля / А.К. Лопатин, К.С. Евдокимов // Штучний інтелект. — 2011. — № 3. — С. 396-402. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Штучний інтелект |
| work_keys_str_mv |
AT lopatinak primeneniersanalizadlâissledovaniâdeterminirovannogohaosanaprimerevozmuŝennogooscillâtoravanderpolâ AT evdokimovks primeneniersanalizadlâissledovaniâdeterminirovannogohaosanaprimerevozmuŝennogooscillâtoravanderpolâ |
| first_indexed |
2025-07-05T11:10:24Z |
| last_indexed |
2025-07-05T11:10:24Z |
| _version_ |
1836805076016955392 |
| fulltext |
«Искусственный интеллект» 3’2011 396
5Л
УДК 517.928.4, 330.4, 336
А.К. Лопатин, К.С. Евдокимов
Национальная академия управления, г. Киев, Украина
a_lopatin@ipnet.kiev.ua, oliapka@bigmir.net
Применение R/S анализа для исследования
детерминированного хаоса на примере
возмущенного осциллятора Ван дер Поля
Исследование базируется на применении R/S анализа для численного решения уравнения Ван дер Поля для
изучения фундаментальных свойств сложных экономических систем, которые демонстрируют многомасштабное
и мультистабильное поведение, а также сосуществование порядка и хаоса в зависимости от изменения
управляющего параметра. Основной акцент в работе делается на изучение поведения показателя Херста при
различных хаотических режимах и горизонтах инвестирования. Изучены возможности R/S анализа
для распознавания характера поведения системы.
Введение
Целью данного исследования является определение динамики изменения первого
и второго показателя Херста при переходах между хаотическими и периодическими
режимами решения уравнения Ван дер Поля, а также изменением горизонта инвестиро-
вания (укрупнении выборки); определение закономерности такого изменения для исполь-
зования как дополнительного фактора при идентификации режима функционирования
исследуемой системы по временному ряду.
Описание сложной динамики экономических циклов путем выявления регулярных
и нерегулярных моделей поведения и режимов переключения между различными ди-
намическими фазами в экономических временных рядах является ключом к улучшению
экономического прогнозирования. Статистический анализ фондовых рынков и валют-
ных рынков продемонстрировал перемежающийся характер нелинейных экономических
временных рядов, которые показывают негауссовское поведение в функции распре-
деления вероятности изменения цен и степенную зависимость от частоты в спектраль-
ной плотности. Нелинейные детерминированные модели экономической динамики
способны моделировать перемежающие временные ряды, которые показывают переход
от порядка к хаосу, или от слабого хаоса к сильному хаосу, что может объяснить про-
исхождение и природу перемежаемости, наблюдаемой в экономических системах. В дан-
ной работе основным методом исследования является метод R/S Херста.
Осциллятор Ван дер Поля. Основные свойства
Рассмотрим поведение численного решения возмущенного уравнения Ван дер
Поля, которое, как показано в работе [1], является модельным примером поведения
бизнес циклов:
)sin()1( 2 taxxxx .
Данное уравнение – пример двух связанных осцилляторов: внутреннего нелиней-
ного осциллятора с собственной частотой и внешнего периодического осциллятора с
движущей частотой ω. В нелинейной системе частота колебаний изменяется от из-
Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса ...
«Штучний інтелект» 3’2011 397
5Л
менения управляющих параметров, следовательно, в динамической экономической
модели поведение нелинейных бизнес-циклов зависит от взаимодействия между этими
двумя частотами под воздействием управляющего параметра.
При отсутствии внешнего воздействия (a = 0) начало координат 1 2( 0, 0)x x
является единственным решением и образует неустойчивую неподвижную точку; все
остальные траектории системы стремятся к единственной орбите (предельному циклу),
окружающей начало координат (Аллайгед, Sauer и Yorke, 1996). В присутствии экзоген-
ного воздействия, уравнение допускает богатое разнообразие периодических и
апериодических колебаний при изменении параметров μ, ω и a. Parlitz и Lauterborn (1987)
привели примеры бифуркационных диаграмм уравнения путем изменения частоты w
и амплитуды a, которые показывают режим синхронизации и удвоения периода. Они
отметили, что симметричность осциллятора Ван дер Поля приводит к сосуще-
ствованию двух асимметричных аттракторов. При больших амплитудах внешнего
воздействия много периодических, апериодических и хаотических аттракторов
сосуществуют вместе.
Свое исследование мы сосредоточим на влиянии изменения параметра a, при
постоянных значениях параметра 1 и 0.45w и начальных условиях (1,1) или (1,–1).
На рис. 1 показаны глобальные бифуркационные диаграммы для уравнения Ван дер
Поля при симметричных начальных условиях.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
a
y
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y
Рисунок 1 – Бифуркационная диаграмма для уравнения Ван дер Поля
при изменении а от 0,1 до 1,5 для начальных условий а) (1,1) б) (1,–1)
Наиболее интересным для исследования является промежуток при a = 0,9 до a = 1,1.
Ему будет посвящена большая часть исследования данного уравнения.
Применение R/S анализа
1 Периодический режим и переход к хаосу
через слияние аттракторов
Даный промежуток охватывает значения управляющего параметра a от 0,9831
до 0,988. Имеется два аттрактора на этом промежутке .
Рассмотрим поведение показателя Херста вблизи точки бифуркации типа «седло –
узел». Справа временной ряд периодический, и соответвующий ему показатель Херста
равняется H1 = 1,01 (рис. 2), что свидетельствует об абсолютной трендоустойчивости
ряда, чего и следовало ожидать от периодического временного ряда. Вторым показателем
Херста будем называть показатель Херста, построенный по точкам, которые следуют
после «срыва» основного тренда и закачиваются «срывом» второго тренда.
а) б)
А.К. Лопатин, К.С. Евдокимов
«Искусственный интеллект» 3’2011 398
5Л
Поведение обоих показателей Херста отличается стабильностью на периодичес-
ком промежутке с незначительным уменьшением для H1 и более значительным падением
второго показателя Херста (H2) при приближении системы к хаотическому режиму
(a = 0,988) (рис. 2).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ln(N)
ln
(R
/S
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ln(N)
ln
(R
/S
)
Рисунок 2 – Показатель Херста для а = 0,984 и a = 0,985
Рассмотрим изменение показателя Херста в периодическом режиме при укрупне-
нии горизонта инвестирования в 5, 10, 20 и 60 раз. Если наблюдения рассматриваемой
системы производятся каждые сутки, то данное разбиение отвечает недели, двум
неделям, месяцу и кварталу. Подразумевается, что в расчет берутся только рабочие дни:
в выходные дни экономические показатели не снимаются. Анализ графиков (рис. 3)
показывает, что укрупнение практически не меняет первый показатель Херста (на
графике отсутствует) и немного увеличивает второй. Данная тенденция сохраняется
и для большей степени укрупнения.
Рисунок 3 – Изменение второго показателя Херста в зависимости
от параметра a и степени укрупнения данных
При достаточно большом укрупнении данных уже невозможно получить инфор-
мацию о поведении системы и её анализ становится крайне затруднительным. Это
показано на рис. 4 в): показатель Херста становится значительно меньше 0,5, что говорит
о сильной антиперсистентности ряда и его нетрендоустойчивости. Напомним, что из-
начально мы рассматриваем периодическую систему, первый показатель Херста которой
равен 1.
Данный анализ показывает необходимость учитывать особенности системы при
дискретном съеме её показателей. При определенной маленькой частоте съема ин-
формация о системе теряется, и её анализ R/S методом становится невозможным.
H1=1,01
Н2=0,594
H1=1,01
Н2=0,586
Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса ...
«Штучний інтелект» 3’2011 399
5Л
2 Хаотический режим до локальной бифуркации
типа «седло – узел» (a < asnb = 0,98312)
Проведем аналогичное исследование показателя Херста для данной системы в
хаотическом режиме до локальной бифуркации типа «седло – узел».
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ln(N)
ln
(R
/S
)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
0
1
2
3
4
5
6
ln(N)
ln
(R
/S
)
0 1 2 3 4 5 6 7
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
ln(N)
ln
(R
/S
)
Рисунок 4 – Показатель Херста при a = 0,984 и укрупнении данных
а) в 1 раз б) в 20 раз в) в 60 раз
График R/S анализа очень похож на график для периодической функции, но
решение системы не является периодическим. В данном случае показатель Херста
отображает непериодический цикл, который не имеет частоты; он имеет только
среднюю частоту, которую и показывает анализ.
При укрупнении в 60 раз степень хаотичности системы отыгрывает значительную
роль. Редкая выборка из хаотической детерминированной системы является антипер-
систентным временным рядом, поведение которого в значительной степени зависит от
характера и степени хаотичности.
Рисунок 5 – Изменение второго показателя Херста в зависимости от параметра a
и степени укрупнения данных
б)
в)
а)
А.К. Лопатин, К.С. Евдокимов
«Искусственный интеллект» 3’2011 400
5Л
Из рис. 5 четко просматривается тенденция увеличения второго показателя Херста
при приближении к точке локальной бифуркации типа «седло-узел». Из этого можно
сделать вывод, что второй показатель Херста увеличивается при приближении к
порядку и становится меньше при приближении к хаосу. При хаотическом режиме
влияние разреживания данных (укрупнения горизонта инвестирования) носит менее
значительный характер на показатель Херста, т.е. применяя метод R/S анализа, еще
удается узнать о характере поведения системы.
3 Слияние аттракторов и последующее поведение системы
(a>aмс = 0,98765)
При удалении от точки слияния аттракторов второй показатель Херста умень-
шается, переходя в горизонтальную линию уже при а = 0,992. Это означает, что система
теряет память о периодическом режиме, и остается только средний период системы,
отображаемый срывом тренда первого показателя Херста. Значение, близкое к 1 говорит
о детерменированной природе хаотического режима.
При дальнейшем увеличении параметра a средний период системы увеличивается,
и временной ряд приобретает более хаотический характер.
При удалении от точки глобальной бифуркации первые показатели Херста прибли-
жаются к общему значению, что говорит о стабилизации общих свойств системы и, при-
нимая во внимание хаотичное поведение системы, отсутствии устойчивых периодических
циклов.
При большом укрупнении R/S анализ показывает, что система значительно меняет
свой тип поведения в зависимости от значения параметра а, что не соответствует действи-
тельности. Поэтому делаем вывод, что данный тип поведения системы является наиболее
сложным для R/S анализа, т.к. даже малое изменение в управляющем параметре влияет на
поведение хаотического ряда (рис. 6).
Рисунок 6 – Первые показатели Херста для различных значений а и укрупнений
4 Переход от хаоса к порядку (a = 1,02 – 1,1)
Рассмотрим поведение системы при переходе от хаоса обратно к порядку через
синхронизацию частот. Бифуркационная диаграмма рассматриваемого промежутка
представлена на рис. 7.
При изучении второго показателя Херста обратим внимание на его значительное
падение при переходе от хаоса к порядку и постепенное увеличение при уменьшении
количества разнородных частот, т.е. при их синхронизации. Это соотносится с
наблюдением, приведенным ранее, что увеличение второго показателя Херста является
признаком увеличения упорядоченности системы.
Применение R/S анализа для исследования детерминированного хаоса ...
«Штучний інтелект» 3’2011 401
5Л
1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 1.11 1.12
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
a
y
Рисунок 7 – Второй показатель Херста при различных значения a
Рисунок 8 – Вторые показатели Херста для различных значений а и укрупнений
При анализе вторых показателей Херста отметим их неизменность при укрупнении
данных с незначительным уменьшением при 20-кратном укрупнении (рис. 8). Это говорит
о высокой устойчивости данного режима системы относительно редких выборок. Однако
при 60-кратном укрупнении анализ системы с помощью R/S метода, как и для предыду-
щих периодов, не является показательным: система теряет информацию о своем характере
поведения. R/S анализ при редких выборках может быть полезен для общей характери-
стики системы, т.е. её близости к периодическому либо к хаотическому режиму. При боль-
шом разбросе хвоста графика R/S анализа большая вероятность, что система близка к пе-
риодическому режиму и, наоборот, вытянутость графика и показатель Херста, значительно
больше 0 говорит о хаотическом режиме системы.
Выводы
В работе были рассмотрены фундаментальные свойства и проведен R/S анализ
уравнения возмущенного осциллятора Ван дер Поля как прототипа модели динамического
поведения сложных экономических систем. Данная система объединяет в себе свойства
мультистабильности (сосуществования аттракторов), мультимасштабности и переме-
жаемости периодических и хаотических режимов. Выбор данной модели для иссле-
дования был продиктован её относительной математической простотой, богатым разно-
образием свойств и широким интересом со стороны экономистов. Основное внимание
данной работы было направлено на изучение свойств показателей Херста для различных
режимов системы.
Разреживание данных или, в экономических терминах, увеличение горизонта ин-
вестирования обычно приводит к падению второго показателя Херста. Однако если система
приближается к периодическому режиму – разреживание данных изменяет показатель
Херста синхронизированно (на пропорционально одинаковую величину относительно всех
укрупнений) и незначительно снижает его. Существует две возможности исчезновения
второго показателя Херста:
А.К. Лопатин, К.С. Евдокимов
«Искусственный интеллект» 3’2011 402
5Л
1) он сливается с первым показателем Херста. Данное явление наблюдалось при
периодическом режиме системы;
2) его значение становится равным или близким к 0. То есть график в логарифми-
ческих координатах становится параллельным оси абсцисс. Данное явление наблюда-
лось при кризисе слияния аттракторов, когда система теряет память о периодическом
режиме и остается только средний период системы, отображаемый срывом основного
тренда (в логарифмических координатах) или первого показателя Херста.
В рамках исследования замечено, что при определенной степени укрупнения
выборки становится практически невозможно определить характер поведения сис-
темы. Показатели Херста становятся меньше 0,5 (даже при изначально периоди-
ческой системе) и единственным фактором, указывающим на периодический или
хаотический режим, становится разброс точек в логарифмическом масштабе. При
периодическом режиме он намного больше и напоминает облако с показателями
Херста, близкими к 0, тогда как при хаотическом цилиндр с показателями Херста
больше 0, но меньше 0,5.
В заключение отметим, что характеристики нелинейных динамических свойств
экономических временных рядов, полученные R/S анализом, могут быть только
первым шагом, чтобы понять поведение экономических систем. И только при-
менение комплексного системного подхода может помочь при прогнозировании,
принятии стратегических решений и планировании долгосрочной политики.
Литература
1. Goodwin R.M. The nonlinear accelerator and the persistence of business cycles / Goodwin R.M. – 1951. –
Vol. 19. Econometrica. – P. 1-17.
2. Chian A.C.-L. Complex Systems Approach to Economic Dynamics / Chian A.C.-L. // Springer : Lecture
Notes In Economics And Mathematical Systems 592. – 15, 30. – P 42-43.
3. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и
экономике / Петерс Э. – М. : Интернет трейдинг, 2004.
Literatura
1. Goodwin R. M. The nonlinear accelerator and the persistence of business cycles. Econometrica. Vol 19.
1951. P 1-17
2. Chian A. C.-L. Springer: Lecture Notes In Economics And Mathematical Systems 592. P 15, 30, 42-43
3. Peters E. Fraktal'nyj analiz finansovyh rynkov. Primenenie teorii haosa v investicijah i ekonomike.
M.:Internet trejding. 2004
A.K. Lopatin, K.S. Yevdokimov
The Use of the R / S Analysis for Study of Deterministic, Chaos on the Example of the Perturbed Van
der Pol Oscillator
The study is based on the use of the R / S analysis for the numerical solution of van der Pol equation to study the
fundamental properties of complex economic systems that exhibit multi-scale and multistable behavior, as well as
the coexistence of order and chaos, depending on changes of the control parameter. The work accents on the study
of the Hurst exponent behavior at different chaotic modes and levels of investment. The possibilities of R / S
analysis of recognition of the behavior of the system are studied.
Статья поступила в редакцию 22.06.2011.
|