Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм
У статті розглядаються нові властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм.
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Штучний інтелект |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60437 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм / Ол-ра О. Ємець // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 285-290. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-60437 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-604372014-04-16T03:01:36Z Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм Ємець, Ол-ра О. Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений У статті розглядаються нові властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм. В статье рассматриваются новые свойства операции суммы и линейного порядка для нечетких чисел с дискретным носителем. New properties of sum operation and linear order for fuzzy numbers with discrete medium are considered in the article. 2011 Article Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм / Ол-ра О. Ємець // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 285-290. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1561-5359 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60437 519.85 uk Штучний інтелект Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| spellingShingle |
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений Ємець, Ол-ра О. Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм Штучний інтелект |
| description |
У статті розглядаються нові властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм. |
| format |
Article |
| author |
Ємець, Ол-ра О. |
| author_facet |
Ємець, Ол-ра О. |
| author_sort |
Ємець, Ол-ра О. |
| title |
Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм |
| title_short |
Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм |
| title_full |
Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм |
| title_fullStr |
Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм |
| title_full_unstemmed |
Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм |
| title_sort |
дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм |
| publisher |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Интеллектуальные системы планирования, управления, моделирования и принятия решений |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60437 |
| citation_txt |
Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел з дискретним носієм / Ол-ра О. Ємець // Штучний інтелект. — 2011. — № 4. — С. 285-290. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. |
| series |
Штучний інтелект |
| work_keys_str_mv |
AT êmecʹolrao dvívlastivostíoperacíísumitalíníjnogoporâdkudlânečítkihčiselzdiskretnimnosíêm |
| first_indexed |
2025-07-05T11:32:10Z |
| last_indexed |
2025-07-05T11:32:10Z |
| _version_ |
1836806445436239872 |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 4’2011 285
5Є
УДК 519.85
Ол-ра О. Ємець
Полтавський університет економіки і торгівлі, м. Полтава, Україна
yemets2008@ukr.net
Дві властивості операції суми та лінійного
порядку для нечітких чисел
з дискретним носієм
У статті розглядаються нові властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел
з дискретним носієм.
Вступ
У задачах комбінаторної оптимізації [1-3], які важливі для систем штучного
інтелекту, останнім часом зріс інтерес до використання нечітких множин [4-12].
У роботі [10] введені, а в роботах [11-13] використані необхідні в комбінатор-
ній оптимізації на нечітких множинах з дискретним носієм операції та відношення.
Постановка задачі
Подальше використання цих операцій в комбінаторній оптимізації поставило
ряд питань. Для введених в [10] суми нечітких чисел з дискретним носієм, лінійного
порядку на них мають місце властивість ([10], теорема 6): для будь-яких трьох
нечітких чисел x , y , z з дискретним носієм, у яких сума значень функції належ-
ності дорівнює одиниці, якщо yx , то zyzx . Виникає питання: наскільки
суттєвим є обмеження, що сума значень функції належності має бути одиницею. Від-
повідь на це питання є метою даної статті.
Друге питання виникає при використанні операцій з [10] в переборних методах
(типу методу гілок і меж): якщо yx , а нечітке число z має додатні елементи
носія, чи виконується властивість zyx для суми та лінійного порядку з [10].
Використання цієї властивості в методі гілок та меж дозволило б організувати
відсікання безперспективних множин допустимих розв’язків: якщо оцінка y гірша
оцінки x , то її «збільшення» zy залишиться «гірше» x , тому в такому випадку
працює відсікання підмножини.
Це друге питання, яке є метою даної статті.
Необхідні означення і факти
Дамо необхідні для викладу матеріалу означення та наведемо необхідні тверд-
ження з [10].
Означення 1. Нечітким числом a називають нечітку множину виду
)}|(,),|{( 11 kkaaa , де },,,{ 21 kaaa , 1
i Ra , kJi – носій нечіткої множини,
},...,,{ 21 k , 1
i R , kJi – множина значень функції приналежності, 10 i ,
kJi . Тут і надалі через kJ позначається множина перших k натуральних чисел.
Ємець Ол-ра О.
«Искусственный интеллект» 4’2011 286
5Є
Суму BA двох нечітких чисел )}|(),...,|{( 11
AA aaA і )}|(),...,|{( 11
BB bbB
утворимо за допомогою побудови множини пар
)}|~(,),|~{(
~ ~~
11
CC ccC
,,,
11
1
1
1
1
1
1
11
j
B
j
B
i
A
i
A
j
B
j
B
i
A
i
A
baba
,,,
11
2
2
1
1
1
2
12
j
B
j
B
i
A
i
A
j
B
j
B
i
A
i
A
baba
,
111
1
1
1 ,,
j
B
j
B
i
A
i
A
j
B
j
B
i
A
i
A
baba . (1)
Перші елементи сс ~,,~
1 , де , цих пар утворюють мультимножину
}~,,~{
~
1
*
ссC . Основа )
~
( *CS мультимножини *~
C : },,{)
~
( 1
*
rссCS – це носій нечіт-
кого числа )}|(,),|{( 11 rrccBA . Значення функції приналежності знаходять
за правилом:
r
ccJi
C
it JtJi
t
,,
~:
~
. (2)
Тобто значення t визначають як суму таких чисел C
i
~
, для яких ti cc ~ , а r –
число різних елементів в *~
C .
Таким чином, можна дати таке означення.
Означення 2. Сумою BA двох нечітких чисел A і B називається нечітке число
)}|(),...,|{( 11 bcC , де )
~
(},,{ *
1 CSсс r , – основа мультимножини }~,,~{ 1 сс , яке
визначається за правилом (1), а значення t визначається за (2).
В [10] показано, що ABBA , тобто сума є комутативною операцією.
Означення 3. Сумою трьох нечітких чисел )}|(),...,|{( 11
AA aaA ,
)}|(),...,|{( 11
BB bbB та )}|(,,)|{( 11
DD ddD називають нечітке число
DEDBA , де BAE .
В [10] доведено, що введена сума є асоціативною.
Означення 4. Характеристичним порівнювачем 1: RXxH нечіткого числа
)}|(),...,|{( 11
AA aaA називають функцію, яка нечіткому числу XA ставить у від-
повідність число 1)( RAH за правилом:
Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел…
«Штучний інтелект» 4’2011 287
5Є
1
1)(
i
A
i
i
A
iia
AH . (3)
Зауваження. В [10] характеристичний порівнювач називався характеристич-
ною функцією. У зв’язку з використанням в літературі останнього словосполучення
в інших сенсах термінологію змінено.
Нехай задано два нечіткі числа: )}|(),...,|{( 11
AA aaA і )}|(),...,|{( 11
BB bbB .
Позначимо },,{ 1 aaa , },,{ 1 bbb , },,{ 1 uubau . Тоді, число A можна
записати у вигляді )}|(,,)|({ 11
uu AAu uuA , де
auякщо
aauякщо
i
ji
A
j
i
u
,0
,A
. Число
B запишемо у вигляді: )}|(,,)|({ 11
uu BBu uuB , де
buякщо
bbuякщо
i
ji
B
j
i
u
,0
,B
.
Наведемо означення впорядкованості нечітких чисел.
Означення 5. Два нечіткі числа A і B називаються впорядкованими за зростан-
ням ( BA ), якщо:
а) або
1
1
1
1
j
B
j
j
B
jj
i
A
i
i
A
ii
ba
, тобто, коли )B(H(A) H ;
б) або )B(H(A) H , тобто
1
1
1
1
j
B
j
j
B
jj
i
A
i
i
A
ii
ba
, але
uu BA
11 , …,
uu B
k
A
k ,
uu B
k
A
k 11 , ( k ), і казати, що A передує B за зростанням.
Означення 6. Два нечіткі числа A і B називаються впорядкованими за неспа-
данням (позначається BA ), якщо:
а) або BA ;
б) або BA , тобто тоді, коли ii ba і B
i
A
i , i .
В [10] доведено, що порядок є лінійним, тобто рефлексивним, антисиметрич-
ним та транзитивним.
Доведені такі теореми.
Теорема 5 з [10]. Для будь-яких двох нечітких чисел )}|(),...,|{( 11
AA aaA ,
)}|(),...,|{( 11
BB bbB і характеристичного порівнювача H , заданого за правилом (3),
має місце
)()()( BHAHBAH . (4)
Теорема 6 з [10]. Для будь-яких трьох нечітких чисел )}|(,),|{( 11
xx xxx ,
)}|(,),|{( 11
yy yyy , )}|(,),|{( 11
zz zzz , таких, що 1
111
k
z
k
k
y
k
k
x
k ,
xx ...1 , yy ...1 , zz ...1 , виконується наступне правило: якщо yx , то
zyzx .
Доведено (твердження 7 з [10]), що yx тоді і тільки тоді, коли )()( yHxH .
Ємець Ол-ра О.
«Искусственный интеллект» 4’2011 288
5Є
Нові властивості суми та лінійного порядку для нечітких
чисел з дискретним носієм
Покажемо, що мають місце позитивні відповіді на питання, що поставлені на по-
чатку статті: тобто вказана властивість суми не є суттєвою, а «природна» для «чітких
чисел» x , y , z , ( 0z ) властивість, якщо yx , то zyx розповсюджується на
нечіткі числа з дискретними носіями і операціями суми та порядку , введеними в [10].
Теорема 1. Якщо )}|(),...,|{( 11
AA aaA , )}|(),...,|{( 11
BB bbB , )}|(),...,|{( 11 rrbcC ,
BAC за означенням 2, то
1
1
r
i
. (5)
Доведення. Сума C знаходиться за допомогою множини C
~
з (1) та підрахунку
t rJt за формулою (2). Покажемо, що (5) має місце.
Звернемо увагу, що множники вигляду
1i
A
i
A
i
iV ; (6)
1j
B
j
B
j
jU ; (7)
що фігурують у функціях належності, в (1) мають властивості:
1
1
1
1
i
i
A
i
A
i
i
iV ;
1
1
1
1
j
j
B
j
B
j
j
jU , (8)
оскільки знаменники сталі, і після винесення їх за знак сум маємо частки, в яких
чисельники рівні знаменникам.
Далі покажемо, що сума значень функції належності в (1) є одиницею, тобто
1 1
1 1
1 1
1
i j
i j
B
j
A
i
B
j
A
i
i j
jiUV . (9)
Це стає очевидним при використанні геометричної інтерпретації з рис. 1.
Позначимо ijji SUV і розглянемо цю величину як площу прямокутника зі сто-
ронами iV та jU . Тоді (9) – це сума площ
1 1i j
ijS , а оскільки має місце (8) – довжини
сторін квадрата, розбитих на відрізки iU та jV відповідно, рівні одиниці, то очевидно, що
1
1 1
i j
ijS , тобто має місце формула (9). При побудові C за (2) деякі jiUV додаються зі
зменшенням кількості пар i , j без заміни суми, що утворює (5). Отже, (5) доведено.
Дві властивості операції суми та лінійного порядку для нечітких чисел…
«Штучний інтелект» 4’2011 289
5Є
Рисунок 1 – Ілюстрація формули (9)
Зауваження. Отже, вже після першого додавання в сумі декількох нечітких
чисел маємо як результат C з властивістю (5). Тобто це дозволяє вважати, що
додаються нечіткі числа з такою властивістю (сума значень функції належності рівна
одиниці), оскільки належність чи відсутність такої операції не впливає на результат
суми. Тому використання теореми 6: якщо yx , то zyzx для нечітких x , y ,
z практично не обмежується необхідністю для кожного з них мати властивість (5).
Перейдемо до другої поставленої проблеми. Вона вирішується наступною теоремою.
Теорема 2. Для будь-яких нечітких чисел )}|(),...,|{( 11
AA aaA , )}|(),...,|{( 11
BB bbB
та )}|(),...,|{( 11
CC bcC , 0ic Ji має місце властивість: якщо BA , то
CBA .
Доведення. За твердженням 7 з [10] yx тоді і тільки тоді, коли )()( yHxH .
Отже, якщо BA , то
)()( BHAH (10)
і навпаки. За умов теореми маємо: )(CH згідно з (3) є величина додатна:
0)( CH , (11)
тобто якщо (10) виконано, то з (10) та (11) маємо
)()()( CHBHAH . (12)
За теоремою 5 [10] формулу (12) переписуємо як
)()( CBHAH . (13)
А за твердженням 7 [10] при Ax ; CBy маємо з (13), що CBA , що і
треба було довести.
Висновок
У роботі доведено дві нові властивості операції суми та лінійного порядку для
нечітких чисел з дискретним носієм, що розширює можливості їх використання при
розв’язуванні задач комбінаторної оптимізації в нечіткій постановці.
Як напрям подальших досліджень можна зазначити перевірку аналогічних влас-
тивостей для нечітких чисел з континуальним носієм та операцій над ними, роз-
глянутих в [14].
Література
1. Сергиенко И.В. Задачи дискретной оптимизации: проблемы, методы исследования, решения /
И.В. Сергиенко, В.П. Шило. – К. : Наукова думка, 2003. – 264 с.
Ємець Ол-ра О.
«Искусственный интеллект» 4’2011 290
5Є
2. Стоян Ю.Г. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації / Ю.Г. Стоян, О.О. Ємець. – К. :
Ін-т системн. досліджень освіти,1993. – 188 с.
3. Емец О.А. Комбинаторная оптимизация на размещениях / О.А. Емец, Т.Н. Барболина. – К. : Наук.
думка, 2008. – 160 с.
4. Емец О.А. О комбинаторной оптимизации в условиях неопределенности / О.А. Емец, А.А. Рос-
кладка // Кибернетика и системный анализ. – 2008. – № 5. – С. 35-44.
5. Ємець Ол-ра О. Одна задача комбінаторної оптимізації на переставленнях нечітких множин /
Ємець Ол-ра О. // Волинський математичний вісник. Серія : Прикладна математика. – 2004. –
Вип. 2(11). – С. 101-106.
6. Ємець О.О. Задача евклідової комбінаторної оптимізації в умовах невизначеності / О.О. Ємець,
А.А. Роскладка, Ол-ра О. Ємець : зб. наук. праць: фізико-математичні науки. – 2005. – Вип.1. –
Хмельницький : Хмельниц. нац. ун-т. – С. 40-45.
7. Роскладка А.А. Решение одной комбинаторной задачи упаковки с учетом неопределенности данных,
описанной нечеткими числами / А.А. Роскладка, А.О. Емец // Радиоэлектроника и информатика. –
2007. – № 2. – С. 132-141.
8. Ємець Ол-раО. Одна задача упакування як комбінаторна оптимізація на нечіткій множині розбиттів і її
розв’язування / Ємець Ол-ра О. // Радиоэлектроника и информатика. – 2007. – № 4. – С. 150-160.
9. Ємець О.О. Економіко-математична модель однієї задачі теорії розкладів / О.О. Ємець, Ємець Ол-ра О. //
Економіка: проблеми теорії та практики : зб. наук. праць. – 2007. – Вип. 233, Т. ІІ. – С. 293-301.
10. Ємець О.О. Операції та відношення над нечіткими числами / О.О. Ємець, Ол-ра О. Ємець //
Наукові вісті НТУУ «КПІ». – 2008. – № 5. – С. 39-46.
11. Ємець О.О. Побудова математичної моделі однієї комбінаторної задачі упакування прямокутників з
нечіткими розмірами / О.О. Ємець, Ол-ра О. Ємець // Наукові вісті НТУУ «КПІ». – 2008 – № 6. – С. 25-33.
12. Донец Г.А. Постановка и решение задачи о рюкзаке с нечеткими данными / Г.А. Донец, А.О. Емец //
Проблемы управления и информатики. – 2009. – № 5. – С. 65-76.
13. Ємець Ол-ра О. Розв’язування задач комбінаторної оптимізації на нечітких множинах : автореф.
канд. фіз.-мат. наук : 01.05.01 / Ємець Ол-ра О. – К. : ІК НАНУ, 2009. – 19 с.
14. Емец О.А. Операции над нечеткими числами с носителем мощности континуум для моделирования в
комбинаторной оптимизации / О.А. Емец, Т.А. Парфенова // Проблемы управления и информатики. –
2010. – № 2. – С. 86-101.
Lіteratura
1. Sergienko I.V. Zadachi diskretnoj optimizacii: problemy, metody issledovanija, reshenija. K.: Naukova
dumka. 2003. 264 s.
2. Stoyan Yu.H., Teoriya i metody evklidovoyi kombinatornoyi optymizaciyi. K.: In-t systemn.
Doslidzhen’ osvity. 1993. 188 s.
3. Emec O.A. Kombinatornaja optimizacija na razmeshhenijah. K.: Nauk. dumka, 2008. 160 s.
4. Emec O.A. Kibernetika i sistemnyj analiz. № 5. 2008. S. 35-44.
5. Yemec’ Ol-ra O. Volyns’kyj matematychnyj visnyk. Seriya: Prykladna matematyka. Vyp 2(11). 2004. S. 101-106.
6. Yemec’ O.O. Zb. nauk. prac’: fizyko-matematychni nauky. Vyp.1. Xmel’nyc’kyj: Xmel’nyc. nac. un-t.
2005. S. 40-45.
7. Roskladka A.A. Radioelektronika i informatika. № 2. 2007. S. 132-141.
8. Yemec’ Ol-ra O. Radioelektronika i informatika. № 4. 2007. S. 150-160.
9. Yemec’ O.O. Ekonomika: problemy teoriyi ta praktyky. Zb. nauk. prac’. Vyp 233. T II. 2007. S 293-301
10. Yemec’ O.O. Naukovi visti NTUU “KPI”. №5. 2008. S. 39-46.
11. Yemec’ O.O. Naukovi visti NTUU “KPI”. №6. 2008. S. 25-33.
12. Donec G.A. Problemy upravlenija informatiki. №5. 2009. S. 65-76.
13. Yemec’ Ol-ra O. Rozv’yazuvannya zadach kombinatornoyi optymizaciyi na nechitkyx mnozhynax. K.:
IK NANU. 2009. 19 s.
14. Emec O.A. Problemy upravlenija i informatiki. № 2. 2010. S. 86-101.
А.О. Емец
Два свойства операции суммы и линейного порядка для нечетких чисел с дискретным носителем
В статье рассматриваются новые свойства операции суммы и линейного порядка для нечетких чисел
с дискретным носителем.
О.O. Yemets
Two Properties of Sum Operation and Linear Order for Fuzzy Numbers with Discrete Medium
New properties of sum operation and linear order for fuzzy numbers with discrete medium are considered in
the article.
Стаття надійшла до редакції 20.01.2011.
|