Оцінювання тензора швидкостей деформацій земної кори за даними GPS-спостережень у Східній Європі
Розраховані за даними GPS-спостережень швидкості руху GPS-станцій були використані для отримання 2D-моделі поля швидкостей деформацій у Східній Європі. Вивчення поля швидкостей у регіоні було проведено в кілька етапів. Перший включає створення скінченно-елементного наближення на геосфері на основі б...
Gespeichert in:
| Datum: | 2011 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
2011
|
| Schriftenreihe: | Геодинаміка |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60577 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оцінювання тензора швидкостей деформацій земної кори за даними GPS-спостережень у Східній Європі / О.М. Марченко, К.Р. Третяк, О.В. Серант, Р.О. Висотенко // Геодинаміка. — 2011. — № 1(10). — С. 5-16. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-60577 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-605772014-04-17T03:01:34Z Оцінювання тензора швидкостей деформацій земної кори за даними GPS-спостережень у Східній Європі Марченко, О.М. Третьяк, К.Р. Серант, О.В. Висотенко, Р.О. Геодезія Розраховані за даними GPS-спостережень швидкості руху GPS-станцій були використані для отримання 2D-моделі поля швидкостей деформацій у Східній Європі. Вивчення поля швидкостей у регіоні було проведено в кілька етапів. Перший включає створення скінченно-елементного наближення на геосфері на основі бікубічної сплайн-функції і метод колокації для інтерполяції нерівномірних GPS-даних на регулярні вузли. Другий – це інверсія швидкостей від GPS-спостережень до тензора швидкостей деформацій. Для перевірки такого підходу його було застосовано до обробки даних GPS-спостережень у Східній Європі, де така задача раніше не розв’язувалася. Цей регіон поки що покритий не дуже густою мережею GPS-спостережень, але добре вивчений з геологічної і геофізичної точок зору. Використано результати обробки даних GPS спостережень для регіону, отримані в Науково-дослідному інституті геодезії і картографії (Київ, Україна). В результаті досліджень отримано та аналізується повний розв’язок на власні числа та власні вектори для тензора швидкостей деформацій досліджуваної території. Рассчитанные по данным GPS-наблюдений скорости движения GPS-станций были использованы для получения 2D-модели поля скоростей деформаций в Восточной Европе. Изучение скорости поля в регионе было проведено в несколько этапов. Первый включает создание конечно-элементного приближения на геосфере на основе бикубической сплайн функции и метод коллокации для интерполяции неравномерных GPS-данных на регулярные узлы. Второй представляет собой инверсию скоростей от GPS-наблюдений к тензору скоростей деформаций. Для проверки такой подход был применен к обработке данных GPS-наблюдений в Восточной Европе, где такая задача раньше не решалась. Данный регион пока что покрыт не очень густой сетью GPS-наблюдений, но хорошо изучен с геологической и геофизической точек зрения. Использованы результаты обработки данных GPS-наблюдений для региона, полученные в Научно-исследовательском институте геодезии и картографии (Киев,Украина). В результате исследований получено и анализируется полное решение на собственные числа и собственные векторы для тензора скоростей деформаций рассматриваемой территории. Estimated from GPS observations velocities of GPS-stations were used to obtain 2D-model velocities and strain rate field in the Eastern Europe. The study of the velocities field in the region was done in a few steps. The first one consists of the development of the finite element approach on the geosphere based on bicubic spline functions and least squares collocation method for the interpolation scattered GPS-data to the regular nodes. The second one represents the inversion of velocities from GPS-observations to the strain rate tensor. In order to test this approach we chose to apply it to an Eastern Europe where such problem was not solved before. This region is not extensively instrumented as yet but it is well studied by a geological and geophysical data. Test is based on derived in the Research Institute of Geodesy and Cartography (Kyiv, Ukraine) solution of GPS-observations data processing for the region. Finally the full eigenvalue/eigenvector solution for deformations velocity tensor of concerned territory is preformed and analyzed. 2011 Article Оцінювання тензора швидкостей деформацій земної кори за даними GPS-спостережень у Східній Європі / О.М. Марченко, К.Р. Третяк, О.В. Серант, Р.О. Висотенко // Геодинаміка. — 2011. — № 1(10). — С. 5-16. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. 1992-142X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60577 528.481 uk Геодинаміка Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Геодезія Геодезія |
| spellingShingle |
Геодезія Геодезія Марченко, О.М. Третьяк, К.Р. Серант, О.В. Висотенко, Р.О. Оцінювання тензора швидкостей деформацій земної кори за даними GPS-спостережень у Східній Європі Геодинаміка |
| description |
Розраховані за даними GPS-спостережень швидкості руху GPS-станцій були використані для отримання 2D-моделі поля швидкостей деформацій у Східній Європі. Вивчення поля швидкостей у регіоні було проведено в кілька етапів. Перший включає створення скінченно-елементного наближення на геосфері на основі бікубічної сплайн-функції і метод колокації для інтерполяції нерівномірних GPS-даних на регулярні вузли. Другий – це інверсія швидкостей від GPS-спостережень до тензора
швидкостей деформацій. Для перевірки такого підходу його було застосовано до обробки даних GPS-спостережень у Східній Європі, де така задача раніше не розв’язувалася. Цей регіон поки що покритий не дуже густою мережею GPS-спостережень, але добре вивчений з геологічної і геофізичної точок зору.
Використано результати обробки даних GPS спостережень для регіону, отримані в Науково-дослідному інституті геодезії і картографії (Київ, Україна). В результаті досліджень отримано та аналізується повний розв’язок на власні числа та власні вектори для тензора швидкостей деформацій досліджуваної території. |
| format |
Article |
| author |
Марченко, О.М. Третьяк, К.Р. Серант, О.В. Висотенко, Р.О. |
| author_facet |
Марченко, О.М. Третьяк, К.Р. Серант, О.В. Висотенко, Р.О. |
| author_sort |
Марченко, О.М. |
| title |
Оцінювання тензора швидкостей деформацій земної кори за даними GPS-спостережень у Східній Європі |
| title_short |
Оцінювання тензора швидкостей деформацій земної кори за даними GPS-спостережень у Східній Європі |
| title_full |
Оцінювання тензора швидкостей деформацій земної кори за даними GPS-спостережень у Східній Європі |
| title_fullStr |
Оцінювання тензора швидкостей деформацій земної кори за даними GPS-спостережень у Східній Європі |
| title_full_unstemmed |
Оцінювання тензора швидкостей деформацій земної кори за даними GPS-спостережень у Східній Європі |
| title_sort |
оцінювання тензора швидкостей деформацій земної кори за даними gps-спостережень у східній європі |
| publisher |
Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України |
| publishDate |
2011 |
| topic_facet |
Геодезія |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60577 |
| citation_txt |
Оцінювання тензора швидкостей деформацій земної кори за даними GPS-спостережень у Східній Європі / О.М. Марченко, К.Р. Третяк, О.В. Серант, Р.О. Висотенко // Геодинаміка. — 2011. — № 1(10). — С. 5-16. — Бібліогр.: 20 назв. — укр. |
| series |
Геодинаміка |
| work_keys_str_mv |
AT marčenkoom ocínûvannâtenzorašvidkostejdeformacíjzemnoíkorizadanimigpsspostereženʹushídníjêvropí AT tretʹâkkr ocínûvannâtenzorašvidkostejdeformacíjzemnoíkorizadanimigpsspostereženʹushídníjêvropí AT serantov ocínûvannâtenzorašvidkostejdeformacíjzemnoíkorizadanimigpsspostereženʹushídníjêvropí AT visotenkoro ocínûvannâtenzorašvidkostejdeformacíjzemnoíkorizadanimigpsspostereženʹushídníjêvropí |
| first_indexed |
2025-07-05T11:37:53Z |
| last_indexed |
2025-07-05T11:37:53Z |
| _version_ |
1836806805082079232 |
| fulltext |
© О.М. Марченко, К.Р. Третяк, О.В. Серант, Р.О. Висотенко 5
ГЕОДЕЗІЯ
УДК 528.481 О.М. Марченко1, К.Р. Третяк1, О.В. Серант1, Р.О. Висотенко2
ОЦІНЮВАННЯ ТЕНЗОРА ШВИДКОСТЕЙ ДЕФОРМАЦІЙ ЗЕМНОЇ КОРИ
ЗА ДАНИМИ GPS-СПОСТЕРЕЖЕНЬ У СХІДНІЙ ЄВРОПІ
Розраховані за даними GPS-спостережень швидкості руху GPS-станцій були використані для
отримання 2D-моделі поля швидкостей деформацій у Східній Європі. Вивчення поля швидкостей у
регіоні було проведено в кілька етапів. Перший включає створення скінченно-елементного наближення
на геосфері на основі бікубічної сплайн-функції і метод колокації для інтерполяції нерівномірних GPS-
даних на регулярні вузли. Другий – це інверсія швидкостей від GPS-спостережень до тензора
швидкостей деформацій. Для перевірки такого підходу його було застосовано до обробки даних GPS-
спостережень у Східній Європі, де така задача раніше не розв’язувалася. Цей регіон поки що покритий
не дуже густою мережею GPS-спостережень, але добре вивчений з геологічної і геофізичної точок зору.
Використано результати обробки даних GPS спостережень для регіону, отримані в Науково-дослідному
інституті геодезії і картографії (Київ, Україна). В результаті досліджень отримано та аналізується повний
розв’язок на власні числа та власні вектори для тензора швидкостей деформацій досліджуваної території.
Ключові слова: геодинаміка; сучасні рухи земної кори; GPS-спостереження; тензор швидкості
деформації; метод колокації.
Вступ
Деформації земної поверхні відображають
складні процеси глибинної динаміки Землі, які
виникають за поступально-обертового руху пла-
нети в просторі. Вони класифікуються як з точки
зору їх змін у часі, так і за просторовим роз-
поділом. Зокрема, деформації можуть бути віко-
вими, періодичними та епізодичними, а також
бути глобальними, регіональними чи локальними.
Наші знання про рухи земної поверхні істотно
залежать від їхньої природи та періоду визначення
деформацій, отриманих за даними відповідних
вимірів [Minster, Jordan, 1978; DeMets et al., 1990;
DeMets et al., 1994; England, Molnar, 1997; Kree-
mer, 2000; Bird, 2003]. Традиційним підходом під
час вивчення деформацій земної поверхні є вив-
чення горизонтальних та вертикальної складових
поля деформацій за допомогою горизонтальних і
вертикальних класичних геодезичних вимірів.
Однак слабке місце класичної геодезії це недос-
татньо висока точність визначення деформацій у
глобальному, регіональному і навіть у локальному
масштабах. Ситуація кардинально змінилася з
появою технологій космічної геодезії, що забез-
печило можливість вивчення і моніторингу три-
вимірного поля деформацій на основі таких ме-
тодів: VLBI радіоінтерферометрії з наддовгою
базою, SLR лазерної локації супутників, DORIS
допплерівської орбітографії і GNSS глобальних
позиційних систем. Розвиток цих технологій не
може відбутися без точного визначення і реа-
лізації земної системи координат для вивчення
деформацій земної поверхні. Перелічені методи
VLBI, SLR, DORIS і GNSS відіграють головну
роль під час створення земних референцних
систем, що відображено, наприклад, в IERS
Conventions [McCarthy, Petit, 2004]. Розвиток
супутникових технологій відбувається з уточнен-
ням земної системи координат для вивчення де-
формацій земної поверхні. З перелічених методів
саме GNSS-технології відіграють головну роль під
час вивчення деформацій земної поверхні за раху-
нок їхньої мобільності та точності. Найгустіша
мережа GNSS-станцій наявна в регіонах Північної
Америки, Європи та Японії. У Східній Європі ме-
режа GNSS-станцій доволі обмежена.
Постановка проблеми
Проблема, що обговорюється, належить до
фундаментальних проблем сучасної геодинаміки і
пов’язана з дослідженням просторово-часового
розвитку деформаційних полів і сучасних рухів
земної кори та їхніх особливостей, зумовлених
тектонічними причинами, шляхом аналізу даних
багаторічних GNSS-спостережень у різних регіо-
нах світу. Зокрема, на території Південно-Східної
Європи та в Україні також розпочато детальне
вивчення деформацій з використанням новітніх
GNSS-технологій та деформаційного моніторингу
на геофізичних обсерваторіях з застосуванням
тензорного аналізу для комплексного математич-
ного моделювання [Кочин, 1951; Марченко та ін.,
2010]. При виконанні таких робіт планується за-
стосувати методику та алгоритм обчислення 2D-
і 3D-тензора швидкостей деформацій з повною
оцінкою точності [Marchenko, 2003], провести
аналіз деформацій, оцінити аномальні збурення
у сучасних рухах і деформаціях земної кори,
розробити математичну модель тектонічно актив-
них розломних зон. Таке вивчення деформацій-
них процесів за допомогою GNSS-спостере-
жень може привести до уточнення меж Євра-
зійської тектонічної плити в регіоні Південно-
Східної Європи.
Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua
Геодинаміка 1(10)/2011
6
Визначення деформацій земної поверхні (яке
щорічно розглядає велика кількість наукових
праць) традиційно ґрунтується на математичному
апараті, який має узагальнений тензорний характер.
Як буде показано нижче, для аналізу рухів земної
поверхні необхідною умовою є знаходження част-
кових похідних векторних функцій поля деформа-
цій та швидкостей деформацій. В ідеальному ви-
падку ці функції повинні бути заданими неперерв-
но у просторовій і часовій області, чого, однак, не
забезпечують типові геодезичні виміри, які є диск-
ретними як у просторі, так і в часі. Оскільки сучасні
рухи земної поверхні визначаються передусім за
допомогою геодезичних вимірів, то і вони мають
дискретну структуру. З цієї причини неперервна в
просторі і в часі деформація повинна оцінюватися
апроксимацією невідомих функцій за відомим дис-
кретним розподілом, що вирішується з вико-
ристанням методів прикладної математики, зо-
крема, методу скінченних елементів.
Найпростіший шлях використання методу скін-
ченних елементів у випадку функції двох змінних –
це застосування розбиття функції ( , )f x y двох
змінних x, y за допомогою трикутників: у кожному
трикутнику ( , )f x y представляється поліномом
фіксованого степеня. З геометричної точки зору
це поверхня, яка проходить через вузлові точки
kP з координатами ,k kx y . Найпростіше її пред-
ставлення – лінійна функція або площина, що
проходить через вузлові точки kP . У цьому ви-
падку поверхня ( , )f x y замінена багатогранника-
ми з трикутними скінченними елементами, що
відповідає на практиці методу тріангуляції з
лінійною інтерполяцією у кожному трикутнику.
Постановка завдання
Оскільки знаходження деформацій поверхні
Землі ґрунтується на тензорному аналізі, то ви-
значення тензора швидкостей цих деформацій
потребує визначення перших похідних різних
компонент векторних полів швидкостей руху зем-
ної поверхні. Такі похідні, як правило, невідомі і
можуть бути оцінені лише чисельно, що і за-
безпечує можливість використання бікубічного
сплайну. Отже, розв’язування цієї задачі скла-
дається з таких етапів: вибору обґрунтованого
набору вихідних даних у пунктах з відомими
координатами та швидкостями; зведення просто-
рових координат і швидкостей у єдину систему з
трансформацією у топоцентричні координати; ви-
користання методу прогнозу (наприклад, методу
середньої квадратичної колокації) для згущення
вихідної інформації у вигляді рівномірних сіток з
метою застосування кубічних скінченних елемен-
тів; застосування двовимірного або тривимірного
методу скінченних елементів для обчислення
тензорів деформацій та обертання; знаходження
інваріантів цих тензорів, їх власних чисел і
власних векторів одночасно з оцінюванням точ-
ності. У цій роботі як вихідні дані були вико-
ристані компоненти лінійних швидкостей руху
GPS-станцій з недавнього розв’язку [Висотенко,
2010], який характеризується найбільшою кіль-
кістю GPS-станцій з точки зору їх густоти у
регіоні Південно-Східної Європи порівняно з
відомими розв’язками IGS/EPN.
Виклад основного матеріалу дослідження
Як вихідні дані для обчислення тензора швид-
костей деформацій були використані компоненти
лінійних швидкостей розв’язку [Висотенко, 2010],
отриманого комплексом програм GAMIT/GLOBK.
Цей програмний комплекс був створений для
розв’язання геодезичних задач високої точності та
задач геодинаміки. Отриманий розв’язок ґрунтується
на даних істотно більшої кількості GPS-станцій в
Україні та Південно-Східній Європі порівняно з
відомими розв’язками IGS/EPN (рис. 1, табл. 1).
Відзначимо, що в цей розв’язок включені дані
фундаментальної Української мережі з 16 періо-
дично діючих GPS-пунктів і 12 перманентних
станцій. Спостереження на періодично діючих
пунктах виконувались у межах окремих GPS-
кампаній, починаючи з 1995 року з періодом у два
роки. Для прив’язки GPS-мережі до загальної
системи координат на основі програмного ком-
плексу GAMIT/GLOBK в роботі [Висотенко, 2010]
були залучені станції, які входять до складу мереж
IGS/EPN. За вихідні станції були обрані п’ять
постійно діючих станцій IGS/EPN: JOZE (Jo-
zefoslaw), MATE (Matera), METS (Metsahovi),
MOBN (Obninsk), WTZR (Wettell). Фінальне ви-
рівнювання мережі виконувалось у Міжнародній
референцній системі ITRS (реалізація ITRF2005) з
урахуванням похибок вихідних даних. У такий
спосіб, в результаті опрацювання даних супутни-
кових геодезичних спостережень у роботі [Ви-
сотенко, 2010] були визначені координати станцій
ISG/EPN, постійно діючих станцій та періодично
діючих GPS-пунктів. Були залучені станції, які
входять до складу мереж GPS-пунктів, а також
значення змін координат у системі координат
ITRF2005 на середню епоху спостережень для
кожної окремої станції.
Після вирівнювання мережі було виконане порів-
няння обчислених значень координат та значень їх
змін зі значеннями, наведеними в офіційному ката-
лозі IERS ITRF2005. Оскільки остаточне вирівню-
вання виконане на середню епоху спостережень для
кожної окремої станції, а в офіційному каталозі
ITRF2005 значення координат та значень їх зміни
наведені на епоху 2000.0, був виконаний перераху-
нок обчислених координат на епоху 2000.0 за
обчисленими значеннями зміни координат.
Загальна точність обчислених значень зміни
координат станцій в системі ITRF2005 становить
0.0009 м, а граничне відхилення – ± 0.0023 м. У
результаті був зроблений висновок, що отримані
результати повністю відповідають рівню точності,
Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua
Геодезія
7
який декларують розробники програмно-методич-
ного комплексу GAMIT/GLOBK, що гарантує
отримання надійних результатів під час його
застосування для дослідження сучасних дефор-
мацій земної кори і сейсмічної активності регіонів
України. Значення швидкостей зміни координат
12 постійно діючих станцій та вісім періодично
діючих GPS-пунктів (регіон України), які вико-
ристовуються у подальших розрахунках, наведено
в табл. 1. У цих розрахунках також використані
дані з 18 перманентних станцій навколо України.
Отже, загальна кількість GPS-пунктів, дані з яких
використано у цьому аналізі, становила 38, вклю-
чаючи і перманентні станції Центральної Європи.
Аналізуючи карту розташування GPS-станцій у
досліджуваному регіоні (рис. 1), не важко дійти
висновку, що вона є недостатня для визначення
необхідних похідних векторного поля, наприклад,
вже традиційним методом тріангуляції Делоне.
Згадаємо, що для цієї задачі має сенс застосувати
широковідомий метод середньої квадратичної
колокації [Heiskanen, Moritz, 1967; Krarup, 1969].
На відміну від фізичної геодезії, використання
методу колокації для задач тектоніки плит почалося
порівняно недавно для побудови полів вертикальних
[El-Fiky et al., 1997] і горизонтальних рухів [ (El-Fiky,
Kato, 1999; El-Fiky, 2000; Julliette et al., 2006] земної
кори в різних регіонах планети. Однак застосування
цього методу для регіону Східної Європи призво-
дить до нестабільних результатів, оскільки побудова
необхідних коваріаційних функцій виконується на
основі обмеженого набору даних. Стабільніші ре-
зультати дає пряма апроксимація східної та північної
компонент поля бікубічними сплайнами [Марченко
та ін., 2005]. На рис. 2 і 3 показано розподіл век-
торних полів швидкостей, обчислених на основі
компонент лінійних швидкостей для рівномірної
сітки 1515, отриманих для систем ETRS89 та
ITRF2005 відповідно.
Основним підсумком цього етапу ми вважаємо
саме результати прогнозу виміряних швидкостей VE
і VN з періодично діючих GPS-пунктів та перма-
нентних GPS-станцій на рівномірну сітку 1515 для
системи ITRF2005 (епоха 2005), оскільки напрямки
векторів у цій системі дуже добре узгоджуються з
відомими моделями тектоніки плит. Рис. 4 та 5
демонструють визначені поля східної та північної
складових цих компонент для системи ITRF2005
(епоха 2005). Виміряні поля швидкостей і стали
вихідною інформацією для подальшого визначення
тензора швидкостей деформацій.
Незважаючи на те, що варіації параметрів
деформацій повинні вивчатися у тривимірному
просторі, за певних припущень достатньо па-
раметризувати поле швидкостей на поверхні гео-
сфери [England, Molnar, 1997].
Таблиця 1
Швидкості координат станцій в регіоні України [мм/рік] (епоха 2005)
Швидкості координат у
системі ITRF2005
Швидкості координат у
системі ETRS89 № GPS ID
Назва станції
(пункту)
VE VN VE VN
Періодично діючі GPS-пункти
1 CHER Чернівці 22.4 13.9 -0.05 0.28
2 KACH Каховка 23.4 12.1 -0.54 -0.24
3 KIRO Кіровоград 22.5 14.3 -0.91 1.73
4 MARI Маріуполь 23.3 11.7 -1.27 0.06
5 ODES Одесса 23.1 13.4 -0.47 0.60
6 SHEP Шепетівка 21.8 13.6 -0.40 0.19
7 SUMY Суми 22.8 12.3 -0.60 0.17
8 VAPN Вапнярка 23.7 14.3 0.88 1.12
Перманентні GPS-станції
1 ALCI Алчевськ 24.3 11.5 -0.19 0.14
2 CNIV Чернігів 22.4 12.9 -0.21 0.17
3 CRAO Сімеїз (КрАО) 23.7 12.3 -0.80 -0.02
4 DNMU Дніпропетровськ 23.4 11.8 -0.46 -0.28
5 EVPA Євпаторія 23.6 12.8 -0.55 0.33
6 GLSV Голосіїв 21.9 12.8 -0.86 -0.04
7 KHAR Харків 22.8 10.0 -0.96 -1.90
8 MIKL Миколаїв 23.0 12.4 -0.73 -0.25
9 POLV Полтава 22.2 12.5 -1.34 0.37
10 SHAZ Шацьк 20.8 13.9 -0.47 -0.01
11 SULP Політехніка 21.5 14.0 -0.24 0.11
12 UZHL Ужгород 21.6 13.8 -0.07 -0.33
Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua
Геодинаміка 1(10)/2011
8
Рис. 1. Карта розташування залучених до опрацювання GPS-станцій України
і Центрально-Східної Європи [Висотенко, 2010]
Рис. 2. Поле лінійних швидкостей деформацій регіону України в системі ETRS89 [мм/рік];
(—) – основні геологічні межі та структури
Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua
Геодезія
9
Рис. 3. Поле лінійних швидкостей деформацій регіону України в системі ITRF2005 [мм/рік];
(—) – основні геологічні межі та структури
Рис. 4. Східна компонента VE поля лінійних швидкостей деформацій регіону України у системі
ITRF2005 [мм/рік]; (—) – основні геологічні межі та структури
Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua
Геодинаміка 1(10)/2011
10
Рис. 5. Північна компонента VN поля лінійних швидкостей деформацій регіону України
у системі ITRF2005 [мм/рік]; (—) – основні геологічні межі та структури
Рис. 6. Компонента [10-6/рік] тензора швидкості обертання для регіону України
у системі ITRF2005; (—) – основні геологічні межі та структури
Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua
Геодезія
11
Для обчислення елементів тензора швидкості
деформацій використовуємо такі формули [Кочин,
1951; Haines, Holt, 1993; Kreemer, 2000]:
1
2
1
2
,
N N E
V
N E E
V V V
V V V
S
( )
,
cos
( )
,
1 ( ) ( )
,
2 cos
n Ω r
Ω r
e
Ω r e Ω r
n
(1),
нехтуючи в (1) вертикальною компонентою rV
зміни швидкості деформацій, оскільки rV навіть у
випадку її великих змін становить величини порядку
~10 мм/рік, що відповідає ~2 % від інших членів у
формулі (1). Антисиметричний тензор VR швид-
костей обчислюється за такою формулою:
0 0 1
0 1 0V
R , (2)
де швидкість обертання регіону, що роз-
глядається як тверде тіло.
Із застосуванням як вихідної інформації
східної (рис. 4) та північної (рис. 5) компонент
лінійних швидкостей для системи ITRF2005 фор-
мули (1) забезпечують визначення елементів тен-
зора , і деформацій та компоненти
тензора швидкості обертання (формула (2)),
яка показана на рис. 6.
Розглянемо тепер задачу знаходження власних
чисел і власних векторів симетричного тензора
градієнта VS , поданого виразом (1). Для цього
застосуємо вказані нижче співвідношення для
приведення тензора VS у таку форму:
1 2
2 1
1
2V
S , (3)
де ( ) / 2 , 1 ,
2 2 , (4)
для швидкості середнього розширення (стиску)
поверхні регіону або швидкості дилатації та
компонент 1 і 2 загальної швидкості зсуву
досліджуваного району.
Зрозуміло, що швидкість може бути просто
визначеною на основі компонент 1 і 2 :
2
2
2
1 . (5)
Отже, представлення тензора у вигляді (3) стає
особливо важливим, оскільки дає змогу отримати
приведення (1) до діагонального вигляду тензора
(3) у найзручнішій формі
1
2
( ) / 2
( ) / 2
, 1
2
0
0VS
. (6)
Інколи для вивчення поля деформацій викорис-
товують ще одну інваріантну характеристику
або так званий максимальний зсув 1 2
[Vaníček et al., 2008]. На основі (6) неважко
отримати, що , і зауважити, що ці поняття
ідентичні у випадку тензора деформацій, який
розглядається у двовимірному просторі. Отже,
після визначення максимального 1 (рис. 7) і
мінімального 2 (рис. 8) власних чисел ми
можемо знайти такі найважливіші інваріантні
характеристики поля швидкості деформацій, які
не залежать від лінійних перетворень вибраної
системи координат (повороту та зсуву). По перше, –
це швидкість середнього розширення (стиску)
поверхні регіону (швидкість дилатації), яка
показана на рис. 9. Рис. 10 ілюструє швидкість
максимального 1 2 або загального зсуву
2 2
1 2 (оскільки ), яка обчислюється
за наявності максимального 1 і мінімального 2
власних чисел.
Висновки
Додатково до перелічених обчислень, що ґрун-
тувалися на вихідних даних швидкостей в системі
ITRF2005 (рис. 3), було проведено такі самі обчис-
лення на основі поля лінійних швидкостей, зада-
них у системі ETRS89 (рис. 2). Нижче подано
тільки отримані результати визначення швидкості
дилатації (рис. 11) та швидкості максимального
зсуву (рис. 12). Незначні відмінності між рис. 9 і
11 та рис. 10 і 12 зумовлені швидше всього не
зовсім постійними різницями (зумовленими рухом
літосферних плит) складових швидкостей в регіо-
ні між системами ITRF2005 і ETRS89. Згадаємо,
що за формулами (1) елементи тензора швидкос-
тей деформацій обчислюються прямим диферен-
ціюванням східної та північної компонент швид-
костей, заданих у нашому випадку у системах
ITRF2005 і ETRS89, за рахунок чого похідна від
сталої частини зникає і тензори деформацій
стають фактично незалежними від вибору системи
відліку. Зрозуміло, що така ситуація виникає
передусім при розташуванні GPS-станцій на одній
(у цьому випадку – Євразійській) плиті.
Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua
Геодинаміка 1(10)/2011
12
Рис. 7. Максимальне власне число 1 [106/рік] для регіону України (система ITRF2005);
() – напрями і величини власних векторів 1 , які характеризують розширення;
(—) – основні геологічні межі та структури
Рис. 8. Мінімальне власне число 2 [10-6/рік] для регіону України (система ITRF2005);
() – напрями і величини власних векторів 2 , які характеризують стиск;
(—) – основні геологічні межі та структури
Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua
Геодезія
13
Рис. 9. Швидкість дилатації [10-6/рік] для регіону України (система ITRF2005);
() напрями і величини головних деформацій розширення () і стиску ();
(—) – основні геологічні межі та структури
Рис. 10. Швидкість максимального зсуву [10-6/рік] для регіону України (система ITRF2005);
() напрями і величини головних деформацій розширення () і стиску ();
(—) – основні геологічні межі та структури
Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua
Геодинаміка 1(10)/2011
14
Рис. 11. Швидкість дилатації [10-6/рік] для регіону України (система ETRS89);
() напрями і величини головних деформацій розширення () і стиску ();
(—) – основні геологічні межі та структури
Рис. 12. Швидкість максимального зсуву [10-6/рік] для регіону України (система ETRS89);
() напрями і величини головних деформацій розширення () і стиску ();
(—) – основні геологічні межі та структури
Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua
Геодезія
15
Робота виконана за підтримки ДФФД України,
у межах проекту ДБ “Масив” – “Оцінка і про-
гнозування стану сейсмічної активності карпато-
балканського регіону за даними GPS-вимірів”.
Література
Висотенко Р.О. Визначення швидкостей зміни ко-
ординат постійно діючих станцій і періодично
діючих пунктів УПМ ГНСС за результатами
супутникових геодезичних спостережень 1995–
2007 років // Сучасні досягнення геодезичної
науки та виробництва. – Львів. – 2010. – С. 37–42.
Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тен-
зорного исчисления. – М: Наука, 1951. – 427 с.
Марченко O.М., Заяць O.С., Ничвид M.Р. Про дво-
вимірну інтерполяцію трансформант гравіта-
ційного поля модифікованим сплайном Ерміта //
Вісн. геодез. та картогр. – Київ. – 2005. –
№ 4, – С. 6–10.
Марченко О.М., Третяк К.Р., Серант О.В. Оцінка
точності компонент тензора деформації // Су-
часні досягнення геодезичної науки та вироб-
ництва. – Львів. – 2010. – С. 41–43.
Bird P. An updated digital model of plate boundaries //
Geochemistry, Geophysics, Geosystems. – 2003. –
Vol. 4, No 3, art. no. 1027, doi:10.1029/
2001GC000252. – P. 1–52.
DeMets C., Gordon R.G., Argus D.F., Stein S. Cur-
rent plate motions // Geophysical Journal Inter-
national. – 1990. – Vol. 101. – P. 425–478.
DeMets C., Gordon R.G., Argus D.F., Stein S. Effect of
recent revisions to the geomagnetic reversal times-
cale on estimates of current plate motions // Geo-
phys. Res. Lett. – 1994. – Vol. 21. – P. 2191–2194.
El-Fiky G.S. Crustal strains in the Eastern Mediter-
ranean and Middle East as derived from GPS ob-
servations // Bull. Earthq. Res. Inst. Univ. – To-
kyo. – 2000. – Vol. 75. – P. 105–125.
El-Fiky G.S., Kato T. Continuous distribution of the
horizontal strain in the Tohoku district, Japan,
deduced from least squares prediction // Journal of
Geodynamics. – 1999. – Vol. 27. – P. 213–236.
El-Fiky G.S., Kato T., Fuji Y. Distribution of vertical
crustal movement rates in the Tohoku district, Japan,
predicted by least-squares collocation // Journal of
Geodesy. – 1997. – Vol. 71. – P. 213–236.
England Ph., Molnar P. The field of crustal velocity in
Asia calculated from Quaternary rates of slip on
faults // Geophys. J. Int. – 1997. – 130. – P. 551–582.
Haines A. J., Holt W. E. A procedure for obtaining
the complete horizontal motions within zones of
distributed deformation from the inversion of
strain rate data // J. Geophys. Res. – 1993. – Vol.
98. – P. 12057–12082.
Heiskanen W.A., Moritz H. Physical Geodesy. –
W.H. Freeman, San Francisco. – 1967. – 364 p.
Julliette L., Altamimi Z., Olivier J. Interpolation of the
European velocity field using least squeares
collocation method // Paper presented at the EUREF
Symposium 2006. Riga, Latvia, 14–17 June. – 2006.
Krarup T.A Contribution to the Mathematical Foun-
dation of Physical Geodesy // Danish Geod. Inst.
Public. – Copenhagen. – 1969. – No 44.
Kreemer C., Haines J., Holt W., E., Blewitt G., and
Lavallee D. On the determination of a global
strain rate model // Earth Planets Space. – 2000. –
Vol. 52. – P. 765–770.
Marchenko A.N. A note on the eigenvalue – eigen-
vector problem – In: Kühtreiber N. (Ed.), Fest-
schrift dedicated to Helmut Moritz on the occasion
of his 70th birthday. Graz University of Tech-
nology. – Graz. – 2003. – P. 143–154.
McCarthy D., Petit G. IERS Conventions (2003),
IERS Technical Note No.32, Verlag des Bundes-
amts fur Kartographie und Geodasie, Frankfurt am
Main. – 2004.
Minster, J. B., Jordan T. H. Present-day plate motions //
J. Geophys. Res. – 1978. – 83. – P. 5331–5354.
Vaníček P., Grafarend E.W., Berber M. SHORT
NOTE: Strain invariants. Journal of Geodesy. –
2008. – Vol. 82. – P. 263–268.
ОЦЕНКА ТЕНЗОРА СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ ЗЕМНОЙ КОРЫ
ПО ДАННЫМ GPS-НАБЛЮДЕНИЙ В ВОСТОЧНОЙ ЕВРОПЕ
А.Н. Марченко, К.Р. Третяк, О.В. Серант, Р.А. Высотенко
Рассчитанные по данным GPS-наблюдений скорости движения GPS-станций были использованы
для получения 2D-модели поля скоростей деформаций в Восточной Европе. Изучение скорости поля в
регионе было проведено в несколько этапов. Первый включает создание конечно-элементного
приближения на геосфере на основе бикубической сплайн функции и метод коллокации для
интерполяции неравномерных GPS-данных на регулярные узлы. Второй представляет собой инверсию
скоростей от GPS-наблюдений к тензору скоростей деформаций. Для проверки такой подход был
применен к обработке данных GPS-наблюдений в Восточной Европе, где такая задача раньше не
решалась. Данный регион пока что покрыт не очень густой сетью GPS-наблюдений, но хорошо изучен с
геологической и геофизической точек зрения. Использованы результаты обработки данных GPS-
наблюдений для региона, полученные в Научно-исследовательском институте геодезии и картографии
(Киев, Украина). В результате исследований получено и анализируется полное решение на собственные
числа и собственные векторы для тензора скоростей деформаций рассматриваемой территории.
Ключевые слова: геодинамика; современные движения земной коры; GPS-наблюдения; тензор
скорости деформации; метод коллокации.
Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua
Геодинаміка 1(10)/2011
16
ESTIMATION OF THE EARTH CRUST STRAIN RATE TENSOR
FROM GPS OBSERVATIONS DATA IN THE EASTERN EUROPE
A.N. Marchenko, K.R. Tretyak, O.V. Serant, R.O. Vysotenko
Estimated from GPS observations velocities of GPS-stations were used to obtain 2D-model velocities and
strain rate field in the Eastern Europe. The study of the velocities field in the region was done in a few steps. The
first one consists of the development of the finite element approach on the geosphere based on bicubic spline
functions and least squares collocation method for the interpolation scattered GPS-data to the regular nodes. The
second one represents the inversion of velocities from GPS-observations to the strain rate tensor. In order to test
this approach we chose to apply it to an Eastern Europe where such problem was not solved before. This region
is not extensively instrumented as yet but it is well studied by a geological and geophysical data. Test is based on
derived in the Research Institute of Geodesy and Cartography (Kyiv, Ukraine) solution of GPS-observations data
processing for the region. Finally the full eigenvalue/eigenvector solution for deformations velocity tensor of
concerned territory is preformed and analyzed.
Key words: geodynamics; modern movements of the earth's crust; GPS-observations; the strain rate
tensor; collocation method.
1Національний університет “Львівська політехніка”, м. Львів
2Науково дослідний інститут геодезії та картографії, м. Київ
Надійшла 10.06.2011
Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua
|