Аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі PREM

Для існуючих одновимірних розподілів мас для еліпсоїдальної планети не розроблені методи обчислення її гравітаційного потенціалу V та гравітаційної енергії Е, тому є актуальним отримання формул для одночасного знаходження густини розподілу мас, потенціалу та енергії для еліпсоїдального тіла....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автори:	Фис, М.М., Нікулішин, В.І.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України 2011
Назва видання:	Геодинаміка
Теми:	Геодезія
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60580
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі PREM / М.М. Фис, В.І. Нікулішин // Геодинаміка. — 2011. — № 1(10). — С. 17-21. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-60580
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-605802014-04-17T03:01:33Z Аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі PREM Фис, М.М. Нікулішин, В.І. Геодезія Для існуючих одновимірних розподілів мас для еліпсоїдальної планети не розроблені методи обчислення її гравітаційного потенціалу V та гравітаційної енергії Е, тому є актуальним отримання формул для одночасного знаходження густини розподілу мас, потенціалу та енергії для еліпсоїдального тіла. Для существующих одномерных распределений масс для эллипсоидальной планеты не разработаны методы вычисления ее гравитационного потенциала V и гравитационной энергии Е, в связи с чем является актуальным получение формул для одновременного вычисления плотности распределения масс, потенциала и энергии для эллипсоидального тела. The methods of calculation of gravity potential V and potential energy E for ellipsoidal planet for existing onedimensional mass distribution were not worked out. That’s why now the derivation of formulas for simultaneous calculation of density mass’s distribution and potential and energy for the ellipsoidal body is actual. 2011 Article Аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі PREM / М.М. Фис, В.І. Нікулішин // Геодинаміка. — 2011. — № 1(10). — С. 17-21. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1992-142X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60580 521.21/22 uk Геодинаміка Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Геодезія Геодезія
spellingShingle	Геодезія Геодезія Фис, М.М. Нікулішин, В.І. Аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі PREM Геодинаміка
description	Для існуючих одновимірних розподілів мас для еліпсоїдальної планети не розроблені методи обчислення її гравітаційного потенціалу V та гравітаційної енергії Е, тому є актуальним отримання формул для одночасного знаходження густини розподілу мас, потенціалу та енергії для еліпсоїдального тіла.
format	Article
author	Фис, М.М. Нікулішин, В.І.
author_facet	Фис, М.М. Нікулішин, В.І.
author_sort	Фис, М.М.
title	Аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі PREM
title_short	Аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі PREM
title_full	Аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі PREM
title_fullStr	Аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі PREM
title_full_unstemmed	Аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі PREM
title_sort	аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі prem
publisher	Інститут геофізики ім. С.I. Субботіна НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Геодезія
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60580
citation_txt	Аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі PREM / М.М. Фис, В.І. Нікулішин // Геодинаміка. — 2011. — № 1(10). — С. 17-21. — Бібліогр.: 7 назв. — укр.
series	Геодинаміка
work_keys_str_mv	AT fismm analízvplivuelípsoídalʹnostífígurizemlínaíívnutríšnûstrukturunaprikladímodelíprem AT níkulíšinví analízvplivuelípsoídalʹnostífígurizemlínaíívnutríšnûstrukturunaprikladímodelíprem
first_indexed	2025-07-05T11:38:01Z
last_indexed	2025-07-05T11:38:01Z
_version_	1836806813168697344
fulltext	Геодезія © М.М. Фис, В.І. Нікулішин, 2011 17 УДК 521.21/22 М.М. Фис, В.І. Нікулішин АНАЛІЗ ВПЛИВУ ЕЛІПСОЇДАЛЬНОСТІ ФІГУРИ ЗЕМЛІ НА ЇЇ ВНУТРІШНЮ СТРУКТУРУ НА ПРИКЛАДІ МОДЕЛІ PREM Для існуючих одновимірних розподілів мас для еліпсоїдальної планети не розроблені методи обчис- лення її гравітаційного потенціалу V та гравітаційної енергії Е, тому є актуальним отримання формул для одночасного знаходження густини розподілу мас, потенціалу та енергії для еліпсоїдального тіла. Ключові слова: гравітаційне поле; поліноми Лежандра; потенціальна енергія; внутрішній потен- ціал; модель PREM. Вступ Зовнішнє гравітаційне поле Землі має триви- мірну структуру, яка є наслідком неоднорідності розподілу мас планети та відхилення її фігури від форми кулі. Дослідимо спочатку вплив другого чинника – еліпсоїдальності на визначення значень V та Е на прикладі еліпсоїдального тіла. Методика, яка на- водиться в роботі [Муратов, 1986], дає змогу отри- мувати як зовнішній, так і внутрішній потенціал, проте у випадку еліпсоїдального тіла для кусково- неперервних функцій формули стають дуже гро- міздкими і на відміну від кульової планети отри- мання практичних співвідношень для величини E фактично неможливе, хоча для неперервних функ- цій така можливість все ж існує. Тому логічно подати функцію ( )  у вигляді суми неперервних функцій, наприклад, рядами по поліномах Ле- жандра, для яких просто обчислюється спочатку потенціал, а далі і значення E. Аналіз останніх досліджень та публікацій Фундаментальні дослідження з цієї тематики зроблені Г. Моріцом у монографії [Мориц, 1994], в якій на основі формул для потенціалу сферично- симетричних моделей і апроксимації поверхні еліпсоїда поліномами Лежандра другого порядку наводяться формули для еліпсоїдальної планети. Це дає можливість обчислювати другу важливу її характеристику: гравітаційну (потенціальну) енергію сферично-симетричнх розподілів мас Землі. У роботі [Marchenko, Zayats, 2008] О.М. Марченко та О.С. Заяць навели детальні співвідношення для обчислення величин V та E, а також дали оцінку переходу від кулі до еліпсоїда. Існує інший підхід до визначення потенціалу та його енергії, який широко використовується в астрономії та астрофізиці [Чанрасекахар, 1973] під час дослідження фігур рівноваги. У монографії [Картвелишвили, 1983] він використаний для отримання алгоритмів знаходження внутрішнього потенціалу і прискорення сили ваги для еліпсоїда, при цьому сферично-симетрична модель PREM трактувалась як одновимірний розподіл еліпсої- дальної планети. Постановка завдання Мета цих досліджень – адаптація класичної теорії потенціалу еліпсоїда для її практичного використання до обчислення внутрішнього потен- ціалу V та потенціальної енергії E кульових та еліпсоїдальних планет шляхом апроксимації кус- ково-неперервних функцій многочленами Лежандра. Виділення не вирішених раніше частин загальної проблеми Для еліпсоїдальної планети зовнішній та внут- рішній потенціали можна розраховувати, викорис- товуючи алгоритми, наведений, наприклад, у [Фис, Нікулішин, 2009], проте такі обчислення є об’ємними і фактично не реалізованими, а знаход- ження T eE (точного значення для еліпсоїда) фак- тично неможливе. Тобто не вирішеним є питання створення простих алгоритмів визначення внут- рішнього потенціалу та гравітаційної енергії несферичних тіл та їхня практична реалізація. Виклад основного матеріалу Нехай радіальний розподіл мас моделі PREM ( )  представлений кусково-неперервними фун- кціями ( )i  (див. (1) та табл. 1) всередині еліпсоїдальної планети 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c           або кулі К радіусом R (R=6371 км): 0 1 ( ), ( ), . ( ) . . ( ),m                  0 0 1 1 0 1m              (1) Розкладемо функцію ( )  за поліномами Ле- жандра парних степенів [Фис, Нікулішин, 2009]: 2 2 0 ( ) ( ),с n n n C P        (2) де 1 2 0 ( ) (4 1) ( )n n c C n P d            n k k c n kс dd 0 1 0 2)(    . (3) Тут 514.5 V M c г/см3 – середня густина Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua Геодинаміка 1(10)/2011 18 Таблиця 1 Коефіцієнти многочленів    n j j iji a 0 )(  ρ i 1i i 0ia 1ia 2ia 3ia 1 0 1221.5 13.0885 0 -8.8381 0 2 1221.5 3480 12.5815 -1.2638 -3.6426 -5.5281 3 3480 5701 7.9565 -6.4761 5.5283 -3.0807 4 5701 5771 5.3197 -1.4836 0 0 5 5771 5971 11.2494 -8.0298 0 0 6 5971 6151 7.1089 -3.8045 0 0 7 6151 6346.6 2.691 0.6924 0 0 8 6346.6 6356 2.9 0 0 0 9 6356 6368 2.6 0 0 0 10 6368 6371 1.02 0 0 0 Землі, а  1 0 2 2 )(    dk c l – степеневі моменти густини. Потенціал притягання V визначається рядом, який збігається рівномірно: .)( )()( 0 0 2          n nnc n n nc PVCf d r P Cfd r fV    (4) Встановимо вигляд членів 2 2 0 ( ) ( ) n k nn п k k P V P f d f d d r r          , (5) для чого обчислимо вираз 2 ( ) k kU P d r      . (6) Користуючись результатом, отриманим у робо- ті [Фис, Нікулішин, 2009], можна записати: 12 2 2 2 2 2 (0) ( ) 1 1 ( ) k k abc x y z du U P f k Q ua b c                   , (7) де  – еліпсоїдальна координата [Фис, Нікулішин, 2009]. Для двоосного еліпсоїда (a=b) одержимо: ( )kU P  12 2 2 2 2 2 2 2 (0) 3 sin cos 1 4( 1) ( ) k kfV a c du k Q ua u c u                    (8) 00 1 2 2 2 2 2 2 0 3 ( ) ( ( ) 4( 1) sin cos ( 1)! ( )), !( 1 )! k k il k l k lt il fV U P M k k M il k il                  (9) де введені величини 2 2 1 2 1 2(0) 2 ( ) ( ) ( ) l t lt tl du M a c a u c u         (10) можна визначити при 0 так: 2 2 2 0 2 2 2 2 1 2 2 1 (1 ) (2 2)! !( 1 )! (1 ) ( 2)! . ! lt l S S S S l M a l t l S l S S l S                           (11) У разі сферично-симетричної моделі маємо: 2 , (2 2 1)ltM R l t    (12) а 2 23 ( ) 1 2( 1) 2 3 k l k V U P k R k          , (13) і, своєю чергою, для неї внутрішній потенціал визначається так: ( ) ( ) ( ) ( ),l l l l z в pV P V P V P V P   (14) , 1 1 ( ) ( ) / i l l l z G i V P M M       , 1 1 1 i l l G i M M     , де МG – маса і-го сферичного кільця радіусами i , 1i ; l M  маса кулі з радіусом в з розподілом ( )l  ; τl – куля радіуса i ; Gi – шар, обмежений сферами радіуса i , 1i . 4 2 , 2 2 2 1 1 ( ) 3 , (15) 2 3 i l il i i в l l i a V P fМ i i                   Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua Геодезія 19 Таблиця 2 Точне та апроксимаційне значення потенціалу кулі та еліпсоїдальної планети Потенціал кулі V* 2 2 81062564825.0* с м R fM  Потенціал еліпсоїдальної планети 2 2 8106249482,0* с м a fM   Точне значення T kV Апроксимов. значення T kV 00 045 090 0135 0180 0.0 1.781048 1.780988 1.783517 1.783517 1.783517 1.783517 1.783517 0.1 1.769258 1.769143 1.771538 1.771477 1.771416 1.771477 1.771538 0.2 1.733995 1.733910 1.735917 1.735680 1.735443 1.735680 1.735917 0.3 1.677677 1.677546 1.678978 1.678606 1.678043 1.678606 1.678978 0.4 1.601924 1.601690 1.602408 1.601849 1.600809 1.601849 1.602408 0.5 1.507864 1.507891 1.507713 1.506503 1.505014 1.506503 1.507713 0.6 1.401883 1.401777 1.400610 1.399198 1.397807 1.399198 1.400610 0.7 1.298741 1.298904 1.296984 1.295139 1.293824 1.295139 1.296984 0.8 1.197723 1.197633 1.194469 1.192664 1.190989 1.192664 1.194469 0.9 1.096413 1.096013 1.092164 1.090494 1.088204 1.090494 1.092164 1.0 0.995080 0.994818 0.990038 0.988103 0.985919 0.987967 0.990038   4 , 2 1 1 1 1 1 ( ) 3 , (16) 1 kn l il i i P j j j l i a V P fM i              за умови, що lP G . Обчислимо точне значення внутрішнього по- тенціалу кулі T kV за формулами (14)–(16), а далі – апроксимаційну величину a kV з використанням (4), (5), (13). Аналогічні обчислення зробимо для еліпсоїда та визначимо апроксимаційне значення потенціалу еліпсоїда a eV . Наведені в табл. 2 результати обчислень показують, що нехтувати еліпсоїдальністю не можна, бо, змінюючись з широтою, числа відрізняються у другому знаку від основної величини і є співвимірними з внеском у потенціал обертової складової. Продовжуючи дослідження, визначимо точне та апроксимаційне значення гравітаційної енергії кулі ( T kE і a kE ), а також апроксимаційне значення потенціальної енергії для еліпсоїда a eE , для чого скористаємось співвідношенням . 2 1 )()( 2 2 1 0 0 0 2 0 2               n n m nmmn m n n m mn c ECC dPUPCC UdE      (17) Визначимо елементи nmE спочатку для дво- осного еліпсоїда:                               m k k n m k k k n n m m kcnm trd kf fM uQ du uc c ua a Pd k fM E 0 0 2 0 1 2 22 2 22 2 2 0 ),( )1(4 )(3cossin 1)( )1(4 3   (18)   , !)!32( !)!122(!!2 )!1( cossin )!1(! )!1( )( cossin ; !)!522( )!1242()!42( 1 )!242( )!42( !2 1 )( sin cossin )( 1 0 3 0 0 0 2212 0 0 1 2 22 2 22 0 24222 1 2 22 2 22 42 0 2 1                                                   k il lt N il lt ilkil k k k nkn m k k n k n M k ilkil k Md ilkil k uQ du uc c ua a S nk nkk Sd nk k n uQ du uc c ua a Pt llk      (19) Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua Геодинаміка 1(10)/2011 20 де              1,0 1, 15 2 0, 3 1 0 n n n d У випадку кулі 32 1   k Sk і формули (1) і (3) спрощуються, а саме:   . !)!522( !)!242()!42( , 4 9 ' 0 ' 0 2 '       nk nkk t trd fR fV E k n m k k n m knm (20) Для кульової планети енергія визначається за формулою ? 1 2 fV E u d R         k m n m mmm dPPu R fV 1 )()( 2 1   , яка після підстановки виразів (14)–(16) набуде вигляду:         . 2 1 )2)(2( 1 22 )( 2 9 2 1 2 1 1 12 1 2 4 1 4 1 2,2, 1 1 111 1 4 1 22 2 2                                                           ij l ij l j l j l j l j l i j jlil j l j l l n l j l P jj l lj ji ij aa j MM V jj a fR fM E l k      (21) Обчислені за наведеними формулами точне значення для T kE , а також апроксимаційні – a kE і a eE подано у табл. 3. Таблиця 3 Точне та апроксимаційне значення енергії для кулі та еліпсоїда Фігура Апроксимаційне значення енергії Точне значення енергії Куля -2.4692036680 1039 ergs -2.4696997141 1039 ergs Еліпсоїд -2.4270418572 1039 ergs – Висновки Аналіз отриманих результатів дає підстави стверджувати, що вони добре узгоджуються з даними попередніх досліджень. Так, величина потенціалу (V=111421690 м/с2) в центрі планети вписується у допустимі межі його зміни, отримані проф. Г.О. Мещеряковим (V<=116250000 м/с2), а на поверхні (V=622557000 м/с2) корелює з обчисленим (V=62636790 м/с2) за іншим алгоритмом у монографії [Муратов, 1976]. Отже, на основі резуль- татів табл. 2 можна стверджувати, що апрокси- маційні формули можуть використовуватись для знаходження величин V як для сферично-симет- ричної кульової планети, так і для еліпсоїдальної, бо для останнього випадку розраховувати як зовнішній, так і внутрішній потенціали можна, використовуючи алгоритми, наведені, наприклад, у [Фис, Нікулішин, 2009], проте такі обчислення є об’ємними і фактично не реалізованими. Абсолютне значення обчисленої другої харак- теристики – потенціальної енергії також добре узгоджується з результатами, одержаними іншими авторами. Так, проф. О.М. Марченко та О.С. Заєць провели детальні дослідження з обчислення значення Е для різних розподілів мас Землі, зокрема і для моделі PREM. Розрахована за наведеними у цій роботі методиками величина гравітаційної енергії не суперечить цим резуль- татам. А оскільки необхідно враховувати елі- псоїдальність планети, особливо для помітно витягнутих фігур (це підтверджується даними табл. 2), а знаходження точного значення T eE для еліпсоїда фактично неможливе, бо еліпсоїдальна координата  є змінною меж інтегрування, то єдиним способом обчислити T eE є апроксимацій- ний підхід, тому в подальшому ми його ототож- нюємо з величиною a eE . Література Картвелишвили К.М. Планетарная плотностная модель и нормальное поле Земли. – М.: Наука, 1983. – 93 с. Мориц Г. Фигура Земли: Теоретическая геодезия и внутреннее строение Земли. – К., 1994. – 240 с. Муратов Р.З. Потенциалы эллипсоида. – М.: Атом- издат, 1976. – 144 с. Фис М.М., Нікулішин В.І. Про єдиний алгоритм визначення значень густини, потенціалу та енергії одновимірного розподілу мас еліпсої- дальної планети // Геодезія, картографія та аерофотознімання. – 2009. – № 71. Чанрасекахар С. Эллипсоидальные фигуры равно- весия. – М.: Мир, 1973. – 288 с. Dziewonski A.M., Anderson D.L. Preliminary refe- rence Earth model. – Physics of the Earth and Planet. Inter. – 1981. – 25. – Р. 297–356. Marchenko A.N. Zayats A.S. Estimation of the potential gravitational energy of the Earth based on reference density models // Геодинамика. – 2008. – № 1 (7). – С. 5–24. Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua Геодезія 21 АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ЕЛИПСОИДАЛЬНОСТИ ФИГУРЫ ЗЕМЛИ НА ЕЕ ВНУТРЕННЮЮ СТРУКТУРУ НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ PREM М.М. Фыс, В.И. Никулишин Для существующих одномерных распределений масс для эллипсоидальной планеты не разра- ботаны методы вычисления ее гравитационного потенциала V и гравитационной энергии Е, в связи с чем является актуальным получение формул для одновременного вычисления плотности распределения масс, потенциала и энергии для эллипсоидального тела. Ключевые слова: гравитационное поле; полиномы Лежандра; потенциальная энергия; внутрен- ний потенциал; модель PREM. THE ANALYSIS OF IMPACT OF EARTH'S FIGURE ELLIPTICITY ON ITS INTERNAL STRUCTURE IN IMITATION OF PREM MODEL M.M. Fys, V.I. Nikulishyn The methods of calculation of gravity potential V and potential energy E for ellipsoidal planet for existing one- dimensional mass distribution were not worked out. That’s why now the derivation of formulas for simultaneous calculation of density mass’s distribution and potential and energy for the ellipsoidal body is actual. Key words: gravitational field; Legendre polynomials; the potential energy; inner potential, model PREM. Національний університет “Львівська політехніка”, м. Львів Надійшла 25.05.2011 Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua

Аналіз впливу еліпсоїдальності фігури землі на її внутрішню структуру на прикладі моделі PREM

Репозитарії

Схожі ресурси