Метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням

Розглядається стаціонарна нелінійна задача теплопровідності для кусково-однорідної ізотропної в сенсі теплофізичних властивостей смуги з чужорідним прямокутним включенням, що нагрівається внутрішніми джерелами тепла з тепловіддачею....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2010
Hauptverfasser:	Гавриш, В.І., Федасюк, Д.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут технічної теплофізики НАН України 2010
Schriftenreihe:	Промышленная теплотехника
Schlagworte:	Тепло- и массообменные процессы
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60600
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням / В.І. Гавриш, Д.В. Федасюк // Промышленная теплотехника. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 18-25. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-60600
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-606002014-04-18T03:01:21Z Метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням Гавриш, В.І. Федасюк, Д.В. Тепло- и массообменные процессы Розглядається стаціонарна нелінійна задача теплопровідності для кусково-однорідної ізотропної в сенсі теплофізичних властивостей смуги з чужорідним прямокутним включенням, що нагрівається внутрішніми джерелами тепла з тепловіддачею. Рассматривается стационарная нелинейная задача теплопроводности для кусочно-однородной изотропной в смысле теплофизических свойств полосы с инородным прямоугольным включением, нагреваемой внутренними источниками тепла с теплоотдачей. The steady state nonlinear problem of thermal conduction for piecewise homogeneous isotropic , in the sense of thermophysical properties, strip with foreign rectangular inclusion which heats at internal thermal source with heat dissipation has been considered. 2010 Article Метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням / В.І. Гавриш, Д.В. Федасюк // Промышленная теплотехника. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 18-25. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 0204-3602 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60600 536.24 uk Промышленная теплотехника Інститут технічної теплофізики НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Тепло- и массообменные процессы Тепло- и массообменные процессы
spellingShingle	Тепло- и массообменные процессы Тепло- и массообменные процессы Гавриш, В.І. Федасюк, Д.В. Метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням Промышленная теплотехника
description	Розглядається стаціонарна нелінійна задача теплопровідності для кусково-однорідної ізотропної в сенсі теплофізичних властивостей смуги з чужорідним прямокутним включенням, що нагрівається внутрішніми джерелами тепла з тепловіддачею.
format	Article
author	Гавриш, В.І. Федасюк, Д.В.
author_facet	Гавриш, В.І. Федасюк, Д.В.
author_sort	Гавриш, В.І.
title	Метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням
title_short	Метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням
title_full	Метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням
title_fullStr	Метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням
title_full_unstemmed	Метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням
title_sort	метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням
publisher	Інститут технічної теплофізики НАН України
publishDate	2010
topic_facet	Тепло- и массообменные процессы
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60600
citation_txt	Метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням / В.І. Гавриш, Д.В. Федасюк // Промышленная теплотехника. — 2010. — Т. 32, № 5. — С. 18-25. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Промышленная теплотехника
work_keys_str_mv	AT gavrišví metodrozrahunkutemperaturnihpolívdlâtermočutlivoíkuskovoodnorídnoísmugiízčužorídnimvklûčennâm AT fedasûkdv metodrozrahunkutemperaturnihpolívdlâtermočutlivoíkuskovoodnorídnoísmugiízčužorídnimvklûčennâm
first_indexed	2025-07-05T11:38:56Z
last_indexed	2025-07-05T11:38:56Z
_version_	1836806870592913408
fulltext	ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №518 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ УДК 536.24 Гавриш В.І., Федасюк Д.В. Національний університет „Львівська політехніка” МЕТОД РОЗРАХУНКУ ТЕМПЕРАТУРНИХ ПОЛІВ ДЛЯ ТЕРМОЧУТЛИВОЇ КУСКОВО-ОДНОРІДНОЇ СМУГИ ІЗ ЧУЖОРІДНИМ ВКЛЮЧЕННЯМ Вступ Проектування складних електронних пристроїв, що мають кусково-однорідну структуру і часто функціонують в умо- вах інтенсивного нагрівання чи охолоджен- ня, що спричиняє залежність теплофізичних параметрів від температури, полягає не лише в оптимізації їх параметрів, але й у забезпечен- ні їх стабільної роботи та захисту від різноманітних збоїв, високої надійності та теплової стійкості устаткування. Із ро- стом потужностей та інтеграції елек- тронних схем ускладнюється проблема термостійкості до теплових навантажень конструкцій електронних пристроїв, які частково або цілком виходять із ладу у ре- зультаті теплових перевантажень. І тому, хоча врахування залежності теплофізичних параметрів від температури значно ускладнює побудову математичних моделей теплових процесів, однак дозволяє точніше досліджувати термостійкість конструкцій. Наближений аналітичний розв'язок лінійної граничної задачі теплопровідності для бага- тошарового півпростору із тепловиділяючим циліндричним включенням малих розмірів в одному із шарів побудовано в роботі [1]. Лінеаризацію нелінійної граничної задачі Розглядається стаціонарна нелінійна задача теплопровід- ності для кусково-однорідної ізотропної в сенсі теплофізичних властивостей смуги з чужорідним прямокутним включенням, що нагрівається внутрішніми дже- релами тепла з тепловіддачею. Припускається, що на границях спряження відбувається ідеальний тепловий контакт. Запропоно- вана методика розв’язування цієї задачі та її застосування для трьохелементної смуги з кон- кретною залежністю коефіцієнтів теплопровідності від температу- ри. Рассматривается стационарная нелинейная задача теплопровод- ности для кусочно-однородной изотропной в смысле теплофизи- ческих свойств полосы с инород- ным прямоугольным включением, нагреваемой внутренними источни- ками тепла с теплоотдачей. Пред- полагается, что на границах сопря- жения осуществляется идеальный тепловой контакт. Предложена ме- тодика решения этой задачи и ее применение для трехэлементной полосы с конкретной зависимостью коэффициентов теплопроводности от температуры. The steady state nonlinear problem of thermal conduction for piecewise homogeneous isotropic , in the sense of thermophysical properties, strip with foreign rectangular inclusion which heats at internal thermal source with heat dissipation has been considered. It is supposed that on the contact edge the ideal thermal contact takes place. The methodology of this problem solution and its application for the 3-D strip with the specific dependence of the thermal- conductivity coefficients on temperature has been offered. − уявна одиниця; q0 − потужність внутрішніх джерел тепла; S±(ζ) − асиметричні одиничні функції; t(x,y) − температура; tc − температура зовнішнього середовища; α0, αn − коефіцієнти тепловіддачі з країв смуги K0, Kn відповідно; Δ − оператор Лапласа; λ0, λk − коефіцієнти теплопровідності включен- ня та k-го елемента смуги відповідно; δ_(ζ) − асиметрична дельта-функція Дірака. 1i = − ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №5 19 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ теплопровідності для багатошарового пів- простору з внутрішніми джерелами теп- ла запропоновано в праці [2]. Аналітичний розв’язок лінійної задачі теплопровідності для ізотропної кусково-однорідної смуги із вклю- ченням прямокутної форми довільних розмірів наведено в роботі [3]. У праці [4] побудовано математичну модель теплових процесів для ізотропної термочутливої кусково-однорідної смуги, яка нагрівається внутрішніми джерела- ми тепла. Загальні рівняння теплопровідності для кусково-однорідних термочутливих тіл на- ведено в роботах [5, 6]. Постановка задачі Оскільки у наведених роботах не розгляда- лися термочутливі конструкції з двовимірною кусково-однорідною структурою, а вузли та окремі елементи конструкцій мікроелектронної апаратури весь час ускладнюються, то виникла потреба у побудові математичних моделей для такого роду структур. У зв’язку з цим розглянемо кусково- однорідну термочутливу ізотропну в сенсі теплофізичних характеристик смугу, яка скла- дається з n однорідних елементів, що відрізняються геометричними та тепло- фізичними параметрами. Дана система нале- жить до прямокутної декартової системи коор- динат Oxy із початком на одному з країв смуги (рисунок). У j-му елементі смуги знаходиться включення прямокутної фор- ми, в області якого діють рівномірно розподілені внутрішні джерела тепла потужністю q0. На прямих спряження y = yk та відрізках спря- ження виконуються умови ідеального теплового контакту, a на краях смуги відбувається конвективний теплообмін із ( 2, 1)j n= − ( ){ }0 1, : , j jx y x h y y y−Ω = ≤ ≤ < ( 1, 1)k n= − ( ){ }1, : j jL h y y y y± −= ± ≤ < ( ){ }0 ,0 : ,K x x= < ∞ ( ){ }, :n nK x y x= < ∞ Рис. Кусково-однорідна ізотропна термочутлива смуга з прямокутним тепловиділяючим включенням. ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №520 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ зовнішнім середовищем зі сталою температурою tc. Частково лінеаризована вихідна гранична задача Розподіл стаціонарного температурного поля t(x,y) в кусково-однорідній термочутливій смузі отримується шляхом розв’язування нелінійного рівняння теплопровідності [5, 6] (1) із врахуванням таких граничних умов: (2) де – коефіцієнт тепло- провідності кусково-однорідної смуги; Введемо функцію [7] (3) продиференціювавши яку по x та y, отримаємо (4) Із врахуванням виразів (4) рівняння (1) запишеться так: (5) ( ) ( )0 1( ) ( ) , , jx, y,t x, y,t q N x h N y y x x y y −  ∂ ∂ ∂ ∂ λ + λ = − ⋅ ⋅  ∂ ∂ ∂ ∂    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 , , ( ) ( ) , , n k k k j j k t x y t t t S y y t t N x h N y y − + − − =  λ = λ + λ −λ ⋅ − + λ −λ ⋅ ⋅    ∑ 1 1( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( ).j j jN x h S x h S x h N y y S y y S y y− + − − − −= + − − = − − − ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 , , 0, 0, n n c n n cy y y x xy y y t t tt t t t t t t y y x= = →∞ →∞= = ∂ ∂ ∂ λ ⋅ = α ⋅ − λ ⋅ = α ⋅ − = = ∂ ∂ ∂ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( , ) ( , )1 1 1 10 ( , ) ( , )( , ) 0 1 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) k j j j j t x y t x yn k k k k t x y t x yt x y j j j j t h y t h y t x y j j t h y d S y y d d N y y d S y y d S y y − − − − + = − − − ± ± − ± ϑ = λ ζ ζ + − ⋅ λ ζ −λ ζ ζ +       + λ ζ −λ ζ ζ ⋅ − λ ζ −λ ζ ζ ⋅ − +       + λ ζ −λ ζ ζ ⋅ −  ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ),S h x− ⋅ −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 1 , , , k j j n k k k k y y j j y y j j y y t tt x y t t S y y x x x tt t S y y x tt t S y y S h x x − − + − = = − = − − − = ∂ϑ ∂ ∂ =λ ⋅ − λ −λ ⋅ ⋅ − +   ∂ ∂ ∂   ∂ + λ −λ ⋅ − − ∂  ∂  − λ −λ ⋅ − ⋅ − ∂   ⋅  ∑ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 j 1 , , , .j x h t tt x y t t S h x N y y y y y − − =  ∂ϑ ∂ ∂ =λ − λ −λ ⋅ ⋅ − ⋅ ∂ ∂ ∂  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 ( , ) k j j n k k k k y y j j j j y y y y j j x h tt t S y y x x t tt t S y y t t S y y S h x x x tt t N y y S h x q S y x − − + − = = − − − − = = − − = ∂ ∂  ∆ϑ = ⋅ − λ −λ ⋅ − +    ∂ ∂   ∂ ∂     λ −λ ⋅ − − λ −λ ⋅ − ⋅ − −   ∂ ∂         ∂ ∂  − ⋅ λ −λ ⋅ ⋅ − −  ∂ ∂   ⋅ ⋅  ⋅  ⋅ ⋅ ∑ ( ) 1( , ).jh x N y y− −− ⋅ ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №5 21 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ Граничні умови (2) із використанням введеної функції (3) набудуть такого вигляду: (6) Отже нелінійна гранична задача (1), (2) із використанням введеної функції (3) зведена до частково лінеаризованої граничної задачі (5), (6). Повністю лінеаризована гранична задача Апроксимуємо функції виразами (7) де − кількість розбиттів інтервалу − значення абсциси, для якої температура практично дорівнює p − кількість розбиттів інтервалів − невідомі апроксимаційні значення температури. Підставивши вирази (7) у рівняння (5) та граничні умови (6) на краях K0, Kn смуги одержимо лінійну граничну задачу для знаходження функції υ (8) ( ) ( ) 0 0 0 , , 0, 0. y y yn n c n c x xy y y t t t t y y x= = →∞ →∞= = ∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ = α ⋅ − = α ⋅ − ϑ = = ∂ ∂ ∂ 1( , ), ( , ), ( , ), ( ,0), ( , )j j kt h y t x y t x y t x t x y−± ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,0 , , , , , , , , , m l l l l m k k k k l l l l p h h h p j p j t x t t t S x x t x y t t t S x x t h y t t t S y y t x y t t t S x x t x y t t t S x x − + − = − + − = − ± ± ± α+ α − α α= − − − − − α+ α − α α= − + + + α+ α − α α= = + − ⋅ − = + − ⋅ − ± = + − ⋅ − = + − ⋅ − = + − ⋅ − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ] [* 1 2 10; ; ... ;l mx x x x x m−∈ < < < ] [* 0; ;x x ] [ ] [ 1 2 1;0 , 0, ; ... ;px h h x x xα −∈ − < < < 1 1 2 1; ; ... ;j j py y y y y yα − − ∈ < < <  1] ; [, ] ;0[, ]0; [;j jy y h h− − (0) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,k h l lt t t t t± − + α α α ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 n m k k k k l l k l k l l k k l p j j p j j p h h h t t t t x x S y y t t t t x x S y y t t t t x x S y y t t t − − + + + + − − = = − + + + + α+ α α+ α+ − α − α= − − − − − α+ α α+ α+ − α − − α= − ± ± ± α+ α α+ α=   ′∆ϑ = − − ⋅ λ −λ δ − ⋅ − +    ′+ − λ −λ δ − ⋅ − −    ′− − ⋅ λ −λ δ − ⋅ − −  − − ⋅ λ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1, , h j j t y y S h x q S h x N y y ± α+ − α − − −   ′− λ δ − ⋅ − −  − ⋅ − ⋅ ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №522 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ (9) Побудова аналітичного розв’язку лінійної граничної задачі (8), (9) Застосувавши інтегральне перетворення Фур’є за координатою x до граничної задачі (8), (9), приходимо до звичайного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами (10) і таких граничних умов: (11) де − трансформанта функції . Загальний розв’язок рівняння (10) має вигляд Тут C1, C2 − сталі інтегрування. Використавши граничні умови (11), отримаємо такий частковий розв’язок задачі (10), (11): ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 (0) (0) (0) 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 , , 0; 0. y n m l l l c l m n n n n l l l c ly y x x t t t S x x t y t t t S x x t y x = − + − = − + − == →∞ →∞  ∂ϑ = α ⋅ + − ⋅ − − ∂    ∂ϑ = −α ⋅ + − ⋅ − − ∂   ∂ϑ ϑ = = ∂ ∑ ∑ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 1 0 00 1 10 1 n 1 1 , 2 , 2 l l n m i x l l ly m n n i x l l ly y id t t e dy id t t e dy − ξ + == − ξ + == αϑ = ⋅ − ⋅ ξ π αϑ = − ⋅ − ⋅ ξ π ∑ ∑ 1 2 i xe dx ∞ ξ −∞ ϑ = ⋅ ϑ π ∫ ϑ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 (1 ch ( )) 2 l n m k k k ki xy y l l k l k l k k k l iC e C e e t t t t y y S y y − − ξξ −ξ + + + + − = = −   ϑ = + − ⋅ ⋅ − ⋅ λ −λ − ξ − ⋅ − −  π ξ  ∑∑ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 (1 ch ( )) (1 ch ( )) 2sh ch p i x j j j p i x j j j p h h h h j e t t t t y y S y y e t t t t y y S y y i h t t t t y y S y y α α − + + + +ξ α+ α α+ α+ − α= − − − − −ξ α+ α α+ α+ − − − α= − ± ± ± ± α+ α α+ α+ α − α α=  − − ⋅ λ −λ ⋅ − ξ − ⋅ − +   + − ⋅ λ −λ ⋅ − ξ − ⋅ − −    − ξ − ⋅ λ −λ ⋅ ξ − ⋅ −   ∑ ∑ ∑ ( )( ( ) ( ) ( ) ( ))0 1 1 12 , ch ch .j j j j j q N y y y y S y y y y S y y− − − − − − − ⋅ − ξ − ⋅ − + ξ − ⋅ − ξ  ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 1 12 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2sh l n m k k k ki x l l k l k l k k l p i x j j p i x j j p d i e t t t t S y y dy e t t t t S y y e t t t t S y y i h t α α − − ξ + + + + − = = − + + + +ξ α+ α α+ α+ − α= − − − − −ξ α+ α α+ α+ − − α= − α=    − ξ ϑ = ξ − − λ −λ − −   π   − − ⋅ λ −λ ⋅ − +   + − ⋅ λ −λ ⋅ − +  ξ + ξ ϑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 0 1 1 0 1( , ) h h h h j jt t t y y q N y y± ± ± ± α+ α α+ α+ − α −    ′− ⋅ λ −λ ⋅δ − + ⋅      ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №5 23 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ (12) Застосувавши обернене перетворення Фур’є до співвідношення (12), знаходимо вираз для функції (13) Підставивши конкретні залежності коефіцієнтів теплопровідності матеріалів кожного з елементів смуги та включення у співвідношення (3), (13) та зрівнявши отримані вирази функції на прямих y = 0, та відрізках L±, , приходимо до системи нелінійних алгебраїчних рівнянь для визначення невідомих зна- чень температури Шукане температурне поле для нелінійної граничної задачі теплопровідності (1), (2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 sh1 1 ch ch 2 sh sh 1 ch ch sh l n m k k k ki x n k l l k l k l k k k l n p n ji x j j j n y yi e t t t t y y S y y y y y y e t t t t y y S y y y y α − − ξ + + + + − = = − + + + +ξ α+ α α+ α+ − α= α= ξ −   ϑ =− ⋅ ⋅ − ⋅ λ −λ ⋅ − ξ − ⋅ − + ξ ⋅ −   π ξ ξ   ξ −  − − ⋅ λ −λ ⋅ − ξ − − + ξ ⋅ +  ξ  + ∑∑ ∑ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ( ) ( ) 1 1( ) 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 ( 1 0 2 ) ( ) 1 sh 1 ch ch sh sh 2sh ch ch sh , ch p n ji x j j n p h h h h n j n j j y y e t t t y y S y y y y y y i h t t t t y y S y y y y q N y y tα − −−ξ − α+ α α+ α+ − − − − ± ± ± ± α α+ α α+ α+ α − α α= − − − ξ −  − ⋅ λ −λ ⋅ − ξ − − + ξ ⋅ −  ξ  ξ −   − ξ − ⋅ λ −λ ⋅ ξ − − − ξ ⋅ −   ξ  − ⋅ − ξ ξ ∑ ∑ ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 sh sh ch ch sh 1 ch ch . sh l l n j n j j j j j n m m n ni x i x n l l l l n l ln y y y y y y S y y y y S y y y y e t t y e t t y - y y − − − − − − − ξ ξ + + = = ξ − − ξ − − ⋅ − + ξ − − + ξ ⋅ + ξ    + α ⋅ ⋅ − ⋅ ξ + α ⋅ ⋅ − ⋅ ξ  ξ ξ   ∑ ∑ ϑ ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 sin ( ) sh ( )1 ( ) ( ) ( ) 1 ch ( ) ( ) ch sh sin ( ) ( ) ( ) ( ) n m k k k k l n k l l k l k l k k k l n p j x x y y t t t t y y S y y y d y x x t t t t ∞− − + + + + − = = − + + + + α α+ α α+ α+ α=   ξ − ξ −  ϑ = − ⋅ − ⋅ λ − λ ⋅ ⋅ − ξ − ⋅ − + ξ ξ −   π ξ ξ   ξ −  − − λ − λ ⋅ ⋅  ξ ∑∑ ∫ ∑ 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 1 1 sh ( ) 1 ch ( )) ( ) ch sh sh ( )sin ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ch ( )) ( ) ch sh ( ) n j j j n p n j j j j n p h h y y y y S y y y d y y yx x t t t t y y S y y y d y t t ∞ − ∞− −− − − − α α+ α α+ α+ − − − α= − ± ± α+ α α= ξ −  − ξ − ⋅ − + ξ ξ + ξ  ξ − ξ −  + − ⋅ λ −λ ⋅ ⋅ − ξ − ⋅ − + ξ ξ −   ξ ξ  − − ∫ ∑ ∫ ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 0 13 0 sh ( )sin ( ) sin ( )( ) ( ) ch ( ) ch sh sin ( ) sin ( ) ( , ) ch ( ) ch ( ) sh sh ch s h h n j n j j-1 j-1 j j n j-1 n j y yx h x ht t y - y S y y y d y x h x hq N y y y - y S y y y y S y y y y y y y ∞ ± ± α α+ α+ − ∞ − − − α α  ξ −ξ − − ξ + ⋅ λ − λ ⋅ ξ − + ξ ξ +   ξ ξ  ξ − − ξ + + ⋅ − ξ ⋅ − + ξ − ⋅ − + ξ ξ − − ξ − + ξ ∑ ∫ ∫ ( ) ( ) 1 2 0 (0) (0 1 1 1 0 1 ) 1 2 0 sin ( ) ( ) ch h sh sin ( ) ( ) ch ( ) . sh m l n n l n l l n n l m l l l n n x x d t t yd y y x x t t y y d y − = ∞ − ∞ + = +  ξ − ξ + α − ⋅ ⋅ ξ ξ + ξ ξ ⋅ ξ ξ − +α − ⋅ ⋅ ξ − ξ ξ ⋅ ξ  ⋅ ⋅ ∑ ∑ ∫ ∫ ϑ 0( 1, 1), ,k ny y k n K K= = − ( ){ }, : ,j jL x y x h= ≤ ( ){1 1, :j jL x y− −= }x h≤ ( ) ( 0, ; 1, 1),k lt k n l m= = − ( ) ( ) ( ) ( ), , , 1, .ht t t р± − + α α α α = ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №524 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ визначається з нелінійного алгебраїчного рівняння, отриманого з використанням співвідношень (3), (13) після підстановки в них конкретних виразів залежностей коефіцієнтів теплопровідності матеріалів елементів смуги та включення. Частковий приклад та аналіз числових результатів Для прикладу, розглянемо смугу, яка складається з трьох елементів із чужорідним включен- ням, в області якого діють рівномірно розподілені внутрішні джерела тепла, розміщеним у дру- гому елементі. В цьому випадку n = 3, j = 2. У багатьох практичних випадках [8, 9] існує така залежність коефіцієнтів теплопровідності від температури: . Тоді із використанням (3), (13), отримаємо формули для визначення температури t в областях де За наведеними формулами проведено числові розрахунки температурного поля для окремого вузла мікроелектронної апаратури, який моделюється кусково-однорідною смугою із чужорідним 0 3 0( const)tλ = λ λ − ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ) 1 1 2 1 4 0 1 0 414 0 0 2 2 0 0 0 4 42 1 24 0 0 0 3 3 3 0 4 42 1 0 0 0 1 1 2 1 2 3 2 3 0 1 2 0 4 , 4 1 , 4 1 , 4 , : , 0 1 1 , : , , : , , : , y y y y y y y y x h x y x y y x y x h y y y x y x h y y y x y x h y t t t t t t t t t y y = = = = = Ω = < ∞ ϑ = λ  λϑ = + − λ λ   − λϑ = + + −     λ λϑ = + − − − − λ λ ≤ < Ω = > ≤ < Ω =  > ≤ ≤ λ λ λ λ λ Ω = ≤ ≤ < ( ){ } 1 3 2 3 0 4 4 0 2 , : , , y y x y x h y y t y = Ω      = ≤  ≤ ≤ λ ( ) ( ) ( )( ) 1 2 1 2 0 0 4 0 0 4 0 0 4 4 4 4 0 2 3 0 2 00 0 0 3 0 2 1 4 , y y y y y y y y x h t t t t t t = = = = =   = ⋅ ϑ + λ − λ + λ + λ + λ − λ − − λ + λ − λ   1 2 1 0 4 4 41 0 0 0 1 2 2 4 4; 1 ; 1 2y= y y= yy y y y y y t t t = = =  λ = ϑ = ϑ + − λ λ λ  1 2 21 1 1 0 0 4 4 4 4 41 1 0 0 0 0 0 2 2 1 2 2 4 41 ; ; 1 .4 x h x hx h x hy y y y y y x hy y y yx h y y t t t t t= = = = == = == == =     λ λϑ = ϑ+ − = ϑ = + −   λ λ λ λ      λ       ISSN 0204-3602. Пром. теплотехника, 2010, т. 32, №5 25 ТЕПЛО- И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ тепловиділяючим прямокутним включенням. На основі числового аналізу встановлено, що достатньо вибрати кількість розбиттів m інтервалу ]0; x*[ такою, що дорівнює одинадцяти, а кількість розбиттів p інтервалів ]yj-1;yj[, ]-h;0[, ]0;h[;такими, що дорівнюють дев'яти. Числові розрахунки проведено для таких матеріалів: 1-ий шар – вольфрам, 2-ий – молібден, 3-ій – керамі- ка ВК-94-1, включення – срібло. Вони показу- ють, що врахування залежності коефіцієнтів теплопровідності від температури приводить до зменшення температурного поля порівняно з нетермочутливою системою (теплофізичні параметри не залежать від температури) на 4,5 % для вибраних матеріалів трьох- елементної структури з тепловиділяючим включенням у другому елементі. Висновки За допомогою нової введеної функції, яка описується виразом (3), вихідне нелінійне рівняння теплопровідності (1) частково лінеаризується. Із використанням кусково- лінійної апроксимації температури на границях L±, Lj = {(x,yj): \|x\| ≤ h}, Lj-1 = {(x,yj-1): \|x\| ≤ h} включення, прямих y = 0, y = yk спряження та краях K0, Kn смуги цілком лінеаризується нелінійна гранична задача теплопровідності (5), (6) для термочутливої системи із двохвимірною кусково-однорідною структурою. На основі цього побудовано аналітичний розв'язок (13), який дозволяє для довільної точки обчислювати значення температури на основі побудованих нових алгоритмів та створених програмних засобів і прогнозувати режими роботи конструкцій електронних пристроїв та ідентифікувати невідомі параметри, а також підвищити термостійкість окремих конструкційних елементів та вузлів вказаних пристроїв, що при- водить до збільшення їх терміну експлуатації. ЛІТЕРАТУРА 1. Коляно Ю.М., Кричевец Ю.М., Иваник Е.Г., Гаврыш В.И. Температурное поле в мно- гослойном полупространстве с инородним тепловыделяющим цилиндрическим вклю- чением // Пром. теплотехника. – 1994. – Т.16, № 4 – 6. – С. 30 – 34. 2. Коляно Ю.М., Волос В.А., Иваник Е.Г., Гав- рыш В.И. Температурное поле в термочувстви- тельном многослойном полупространстве // ИФЖ. – 1994. – Т. 66, № 2. – С. 226 – 234. 3. Гавриш В.І. Задача теплопровідності для кусково-однорідної смуги із включен- ням прямокутної форми // Вісник Держ. у-ту “Львівська політехніка”: Прикладна математи- ка. – 1999. – № 364. – С. 67 – 74. 4. Гавриш В., Федасюк Д. Моделювання теплових режимів в термочутливій кусково- однорідній смузі з внутрішніми джерелами теп- ла // Вісник Нац. у-ту “Львівська політехніка”: Комп´ютерні системи проектування.Теорія і практика. – 2009. – № 651. – С. 50 – 54. 5. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной струк- туры. – М.: Наука, 1984. – 386 с. 6. Коляно Ю.М. Методы теплопроводности и термоупругости неоднородного тела. – К.: Наукова думка, 1992. – 280 с. 7. Федасюк Д., Гавриш В., Кузьмін А. Нелінійна задача теплообміну для кусково- oднорідної смуги з чужорідним включенням // Нелінійні проблеми аналізу: IV Всеукраїнська наукова конференція. Тези доповідей. – Івано- Франківськ: Плай, 2008. – С. 98. 8. Ломакин В.А. Теория упругости неодно- родных тел. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976. – 376 с. 9. Берман Р. Теплопроводность твердых тел. – М. : Мир, 1979 . – 288 с. Получено 25.03.2010 г. ( 1, 1)k n= −

Метод розрахунку температурних полів для термочутливої кусково-однорідної смуги із чужорідним включенням

Institution

Ähnliche Einträge