Влияние внутренних источников теплоты на затвердевание плоского слитка
Вариационным методом решена задача затвердевания металла в плоской клинообразной изложнице при наличии внутренних источников теплоты с определением положения фронта кристаллизации в любой момент времени....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут технічної теплофізики НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Промышленная теплотехника |
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60779 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Влияние внутренних источников теплоты на затвердевание плоского слитка / В.В. Дремов // Промышленная теплотехника. — 2009. — Т. 31, № 3. — С. 20-27. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-60779 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-607792014-04-20T03:03:25Z Влияние внутренних источников теплоты на затвердевание плоского слитка Дремов, В.В. Тепло- и массообменные процессы Вариационным методом решена задача затвердевания металла в плоской клинообразной изложнице при наличии внутренних источников теплоты с определением положения фронта кристаллизации в любой момент времени. Варіаційним за методом розвязано задачу твердіння металу у плоскій клиноподібній виливниці при наявності внутрішніх джерел теплоти з визначенням положення фронту кристалізації у будь-який момент часу. The problem of metal solidification in a flat wedge-shaped mould influenced by internal heat sources was solved using variational method. The time dependence of the front of crystallization was obtained. 2009 Article Влияние внутренних источников теплоты на затвердевание плоского слитка / В.В. Дремов // Промышленная теплотехника. — 2009. — Т. 31, № 3. — С. 20-27. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0204-3602 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60779 539.19 ru Промышленная теплотехника Інститут технічної теплофізики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Тепло- и массообменные процессы Тепло- и массообменные процессы |
| spellingShingle |
Тепло- и массообменные процессы Тепло- и массообменные процессы Дремов, В.В. Влияние внутренних источников теплоты на затвердевание плоского слитка Промышленная теплотехника |
| description |
Вариационным методом решена задача затвердевания металла в плоской клинообразной изложнице при наличии внутренних источников теплоты с определением положения фронта кристаллизации в любой момент времени. |
| format |
Article |
| author |
Дремов, В.В. |
| author_facet |
Дремов, В.В. |
| author_sort |
Дремов, В.В. |
| title |
Влияние внутренних источников теплоты на затвердевание плоского слитка |
| title_short |
Влияние внутренних источников теплоты на затвердевание плоского слитка |
| title_full |
Влияние внутренних источников теплоты на затвердевание плоского слитка |
| title_fullStr |
Влияние внутренних источников теплоты на затвердевание плоского слитка |
| title_full_unstemmed |
Влияние внутренних источников теплоты на затвердевание плоского слитка |
| title_sort |
влияние внутренних источников теплоты на затвердевание плоского слитка |
| publisher |
Інститут технічної теплофізики НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Тепло- и массообменные процессы |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/60779 |
| citation_txt |
Влияние внутренних источников теплоты на затвердевание плоского слитка / В.В. Дремов // Промышленная теплотехника. — 2009. — Т. 31, № 3. — С. 20-27. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Промышленная теплотехника |
| work_keys_str_mv |
AT dremovvv vliânievnutrennihistočnikovteplotynazatverdevanieploskogoslitka |
| first_indexed |
2025-07-05T11:51:37Z |
| last_indexed |
2025-07-05T11:51:37Z |
| _version_ |
1836807668461731840 |
| fulltext |
Варіаційним за методом розвязано
задачу твердіння металу у плоскій кли#
ноподібній виливниці при наявності
внутрішніх джерел теплоти з визначен#
ням положення фронту кристалізації у
будь#який момент часу.
Вариационным методом решена за#
дача затвердевания металла в плоской
клинообразной изложнице при наличии
внутренних источников теплоты с опре#
делением положения фронта кристал#
лизации в любой момент времени.
The problem of metal solidification in a
flat wedge#shaped mould influenced by
internal heat sources was solved using
variational method. The time dependence
of the front of crystallization was obtained.
УДК 539.19
ДРЕМОВ В.В.
Донбасская национальная академия строительства и архитектуры
ВЛИЯНИЕ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛОТЫ
НА ЗАТВЕРДЕВАНИЕ ПЛОСКОГО СЛИТКА
тельного воздуха. Из рисунка видно, что с ростом
отношения Gд/Gвх относительные потери давле=
ния в канале увеличиваются, причём особенно
заметно при Gд/Gвх > 0,06…0,08.
Выводы
Выполненное исследование показывает, что
закономерности течения закрученного потока в
цилиндрическом канале при наклонно=танген=
циальной закрутке потока (β = 60о) и дополни=
тельной подаче воздуха в торцевую область кана=
ла отличаются от результатов, полученных при
классической схеме тангенциальной закрутки
(β = 0о). Можно отметить следующие особеннос=
ти гидродинамики исследованного способа
закрутки потока:
при больших значениях отношения Gд/Gвх,
подача дополнительного воздуха в торцевую (дон=
ную) область канала уменьшает угол закрутки по=
тока в области около тангенциального завихрите=
ля и способствует снижению несимметричности
радиального профиля полного давления;
закрученный поток в канале является ази=
мутально=неравномерным; подача дополнитель=
ного потока может служить эффективным сред=
ством гидродинамического воздействия на
поток, изменения степени закрутки потока и
теплообмена в канале;
с увеличением расхода дополнительного
воздуха потери полного давления в тангенциаль=
ном завихрителе и в канале возрастают; по длине
канала относительные потери полного давления
особенно заметно снижаются во второй полови=
не канала.
ЛИТЕРАТУРА
1. Щукин В.К., Халатов А.А. Теплообмен и
гидродинамика закрученных потоков в осесим=
метричных каналах. – М.: Машиностроение,
1982. – 200 с.
2. Халатов А.А. Теория и практика закру=
ченных потоков. – К.: Наук. думка, 1989. –
192 с.
3. Hedlund C.R., Ligrani P.M. Local swirl cham=
ber heat transfer and flow structure at different
Reynolds numbers // Journal of Turbomachinery. –
2000. – Vol. 122. – Р. 375–385.
4. Хэй Н., Вест П.Д. Теплообмен в трубе с зак=
рученным потоком // Теплопередача. Сер. C. –
1975. – № 3. – С.100–106.
Получено 14.01.2009 г.
20 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2009, т. 31, № 3
ТЕПЛО# И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Различные воздействия на жидкий металл в
момент его затвердевания могут привести к суще=
ственному улучшению структуры металла и каче=
ства отливки. Поэтому большое число экспери=
ментальных работ посвящено изучению этой
проблемы, например [1–3]. Теоретических работ,
исследующих эту проблему, намного меньше, и
они в основном рассматривают выделение тепло=
ты при фазовом переходе в твердое состояние [4].
Задачи с посторонними источниками и стоками
теплоты возникают при рассмотрении процессов
кристаллизации в электрошлаковой ванне при
электродуговом переплаве [5]. В упомянутой ра=
боте описана методика численного решения
уравнений теплопроводности с учетом выделения
Джоулевой теплоты и вычислены положения гра=
ниц линий ликвидуса и солидуса в цилиндричес=
кой области на фиксированный момент времени.
В предлагаемой работе теоретически решается
задача о влиянии внутренних источников тепло=
ты (электрический ток, химические добавки) на
кристаллизацию металла в плоской клинообраз=
ной изложнице [6], образованной двумя плос=
костями, расположенными под малым углом 2α.
Сверху и снизу объем изложницы ограничен ци=
линдрическими поверхностями радиусами R2 и
R1. Задача рассматривается в цилиндрической
системе координат (r, ϕ, z). На боковой стенке
изложницы ϕ = α, и на дне изложницы r = R1, по=
лагаем Т = Тп = const меньше температуры крис=
таллизации Тк. На поверхности залитого в из=
ложницу металла r = R2, принимаем Тн = const.
Боковая поверхность ϕ = α ограничивает область
кристаллизации сбоку, и при t ≥ 0 она имеет тем=
пературу Тн. При t > 0 начинается процесс крис=
таллизации, и на фронте кристаллизации Т = Тк.
Предполагаем, что температура не зависит от
координаты z. Вследствие малого угла между осью
и боковой стенкой изложницы пренебрегаем попе=
речной составляющей скорости υϕ. Тогда уравне=
ние теплопереноса [6], записанное для области
жидкого металла (0 < ϕ < ϕф, rф < r < R2), примет вид
. (1)
2
1 1
1 2 2
1 1T T
r
r r r r
⎡ ⎤∂ ∂∂ ⎛ ⎞+ λ +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ϕ⎝ ⎠⎣ ⎦
2
1 1
1 1
1
V r
T T j
c
t r
∂ ∂⎛ ⎞ρ + υ = +⎜ ⎟∂ ∂ σ⎝ ⎠
A1, В, D1, Е, G1, K1, А2, В2, D2, G2, K2 – константы
интегрирования по радиусу;
а1 и а2 – коэффициент температуропроводности
жидкого и твердого металла;
и – удельные теплоемкости жидкого и
твердого металла;
и – первая и вторая производные;
Q1, М1, N1, P1, S1, W1, Q2, М2, P2, N2, W2 –
константы интегрирования по r и ϕ;
q – теплота, выделяемая при прохождении тока;
j – плотность тока;
L – функционал или лагранжиан;
L1 – теплота кристаллизации;
R1 и R2 – нижний и верхний радиусы изложницы;
r, z – радиальная и продольная координаты точек
внутри изложницы;
t – время;
tф – время на фронте затвердевания;
T1 и Т2 – температуры жидкого и твердого металла;
Тк – температура кристаллизации;
Тн – начальная температура жидкого металла;
Тп – температура боковой поверхности и дна
изложницы;
и – неварьируемые производные от темпера=
туры по радиусу и по времени;
Тr, Тrr, Тϕ, Тϕϕ, Tt – первые и вторые производные
по радиусу, углу и времени;
α – угол конусности боковых стенок изложницы;
δL – вариация функционала;
ε – толщина затвердевшего металла;
λ1 и λ2 – коэффициенты теплопроводности
жидкого и твердого металла;
ρ1 и ρ2 – плотности жидкого и твердого металла;
σ1 и σ2 – электропроводности жидкого и твердого
металла;
υr – радиальная составляющая скорости жидкого
металла;
ϕ – азимутальная координата;
ϕф и rф – азимутальная и радиальная координаты
точки на фронте затвердевания.
Индексы:
к – кристаллизация;
н – начальное;
п – поверхность изложницы;
ф – фронт.
0
tT0
rT
f ′′f ′
2Vc1Vc
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2009, т. 31, № 3 21
ТЕПЛО# И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Аналогичное уравнение при υr = 0 будет опи=
сывать температурное поле в твердой фазе для
области ϕф < ϕ < α, R1 < r < rф:
. (2)
Толщину затвердевшей корки для любого ра=
диуса можно найти по формуле
. (3)
Предполагаем, что хорда совпадает с дугой при
малых длинах дуги, что соответствует малому углу α.
В момент t = 0 твердая фаза отсутствует, а
Т1 (r, ϕ, 0) = Тн при R2 > r > R1 и α > ϕ > 0. При
ϕ = α, r = R1 и t > 0 имеем:
(4)
. (5)
На фронте кристаллизации тепловой контакт
считается идеальным, поэтому при r = rф и ϕ = ϕф
температуры жидкости и твердой фазы равны
температуре кристаллизации
. (6)
На движущемся фронте фазового перехода
выделяется скрытая теплота кристаллизации L1,
которая отводится через твердую фазу вместе с
теплотой перегрева [7]:
. (7)
Из уравнений (1–3) и граничных условий
(4–7) определяем две неизвестные функции
Т1(r, ϕ, t), Т2(r, ϕ, t), а из уравнения теплового ба=
ланса (7) – ε(t).
Разделив на λ1 уравнение (1) и введя коэффи=
циент температуропроводности, получим:
. (8)
Приближенным решением стационарного
уравнения по r, полученного из уравнения (8),
является функция [6]
. (9)
Из стационарного уравнения, полученного из
(8), после введения новых переменных в виде
Тr = ∂Т/∂r, Тϕϕ = ∂2Т/∂ϕ2, Тrr = ∂2Т/∂r2 и умноже=
ния его на r будем иметь:
. (10)
Функционал, соответствующий этому уравне=
нию, запишем в виде
, (11)
где = ∂Т0/∂r, а индекс 0 при Тr обозначает не=
варьируемую производную от температуры.
Ищем функцию, минимизирующую функцио=
нал (11), в виде
. (12)
Вычисляя производные по r и ϕ, получим
,
. (13)
Подставляя (12) и (13) в (11) и интегрируя по r,
находим:
, (14)
где
;( ) ( )2 ф
н 2 ф н к
2
3
R r
Т R r Т Т
+⎡ ⎤
+ − −⎢ ⎥
⎣ ⎦
( )1 н к
1
rA Т Т
a
υ
= −
( )2
н н к
2 ф
'( )
R r
Т Т Т Т f
R r
ϕ
⎡ ⎤−
= − − ϕ⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
н к
2 ф
( )
r
Т Т
Т f
R r
−
= ϕ
−
( )2
н н к
2 ф
( )
R r
Т Т Т Т f
R r
⎡ ⎤−
= − − ϕ⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
0
rT
ф2
ф
0 2 2
10
1
2
R
r
r r
r
rT T rT Т qrT drd L
a r
ϕ
ϕ
⎡ ⎤υ
+ + − ϕ =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫
1
1
0r
r r rr
rT T rT Т rq
a r
ϕϕ
υ
− − − − =
( )2
1 н н к
2 ф
R r
Т Т Т Т
R r
−
= − −
−
2 2
1 1 1 1 1
2 2 2
1 1
1 1 1r
T T T T T
q
a t a r r r r r
∂ υ ∂ ∂ ∂ ∂
+ = + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ
2 1
2 1 1
ф ф
1 1T T
L
r t r
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ε
λ = ρ + λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ϕ ∂ ∂ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )1 ф ф ф 2 ф ф ф к
, , , ,Т r t Т r t Тϕ = ϕ =
( )2 п
, ,Т r t Тα =
( )1 ф ф ф к
, , ;Т r t Тϕ =
22
2 1 1
2 2 2 2 2
2
1 1
V
T T Tj
c r
t r r r r
⎡ ⎤∂ ∂ ∂∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ρ = + λ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ σ ∂ ∂ ∂ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
22 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2009, т. 31, № 3
ТЕПЛО# И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
×
×
;
;
.
Функцию f(ϕ) выбираем из условия минимума
функционала (14), что соответствует обращению
в ноль вариации по ϕ:
. (15)
Взяв вариацию, получим
, (16)
где , .
Общее решение однородного уравнения, по=
лученного из (16) при К1 = 0, будет
. (17)
Частное решение неоднородного уравнения
(16) можно представить в виде
. (18)
Таким образом, полное решение уравнения
(16) имеет вид
. (19)
Оно описывает температуру в жидкой фазе, и
потому константы должны находиться из гра=
ничных условий для жидкости:
Т1 = Тк при ϕ = ϕф и ∂Т/∂ϕ = 0 при ϕ = 0. (20)
При этом , .
Подставляя (19) в (12) и учитывая (20), найдем
. (21)
Решение нестационарного уравнения тепло=
проводности (8) находится тем же методом, что и
при нахождении зависимости по ϕ. Функционал,
соответствующий уравнению (8), имеет вид
. (22)
Здесь введены те же обозначения производ=
ных, что и при записи уравнения (10), а произ=
водная по времени обозначена через Тt. Решение
ищем в виде функции (21), умноженной на неиз=
вестную функцию f(t):
. (23)
Подставляя (23) в (22) и интегрируя по r и ϕ,
получим
. (24)
Взяв вариацию от (24) по f(t) и приравняв ее
нулю, получим:
11 1
1 1ф 1
ch
1 ( )
ch
GK K
f t
G GG
⎡ ⎤ϕ⎛ ⎞
− +⎢ ⎥⎜ ⎟
ϕ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
( )2
н н к
2 ф
R r
Т Т Т Т
R r
⎡ ⎤−
= − −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
2 21
2
r
qrT rT Т drd dt
r
ϕ
⎤
− + + ϕ⎥
⎦
ф ф 2
ф
0 0
1 10 0
2
2
t R
r
t r
r
r
L TT rT T
a a
ϕ ⎡ υ
= + −⎢
⎣
∫ ∫ ∫
11 1
1 1ф 1
ch
1
ch
GK K
G GG
⎡ ⎤ϕ⎛ ⎞
− +⎢ ⎥⎜ ⎟
ϕ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
( )2
1 н н к
2 ф
R r
Т Т Т Т
R r
⎡ ⎤−
= − −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
02 =C1 1
1
ф 1
1
ch
K G
C
G
−
=
ϕ
1
1 1 2 1
1
( ) ch sh
K
f C G C G
G
ϕ = ϕ + ϕ +
1
2
1
( )
K
f
G
ϕ =
1 1 1 2 1
( ) ch shf C G C Gϕ = ϕ + ϕ
1 1
/K D B=( )1 1
2 / 2G A E B= +
( )1 1
"( ) 0f G f Kϕ − ϕ + =
( ) ( )
0
'
L L
L
f f
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
δ = − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ϕ ∂ϕ ∂ ϕ⎝ ⎠
( )( )22 ф
н к
2 ф
2
R r
E Т Т
R r
+
= −
−
( )
( ) ( )
2 2
2
2 ф 2 ф
н к 2
2 ф2 ф
ln
3
2
R
R
r R r
Т Т
R rR r
⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎢ ⎥+ − −
⎢ ⎥−−
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( )2 2 2 2
н н н к
ф 2 ф ф
ln 2 ln 1
R R R
B T Т Т Т
r R r r
⎡ ⎤
= − − − +⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2009, т. 31, № 3 23
ТЕПЛО# И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
×
×
×
×
, (25)
где .
Решением неоднородного уравнения (25) яв=
ляется функция
. (26)
Для нахождения константы С запишем полное
решение для температуры Т1 в жидком металле,
которое получится при подстановке (26) в (23).
Учитывая, что на фронте кристаллизации Т1 = Тк
при t = tф, ϕ = ϕф, r = rф, получим
. (27)
Подставляя (27) в (26), а результат в (23), имеем
. (28)
Аналогичным методом найдем распределение
температуры в твердой фазе. Для этого преобразуем
уравнение (2), умножив его на r и разделив на λ2:
. (29)
Обозначив производные как в (10) и опустив
индекс 2 при температуре, перепишем (29) в виде
. (30)
Стационарное решение (30) получаем при гра=
ничных условиях
Т2 = Тк при r = rф, ϕ = ϕф,
Т2 = Тп при ϕ = α, r = (R1 + R2)/2. (31)
Запишем функционал, соответствующий
уравнению (30), в виде
. (32)
Ищем функцию, минимизирующую функцио=
нал (32), в виде
. (33)
Вычислив производные по r и ϕ от (33), подста=
вим их в (32). Интегрируя по r, найдем
, (34)
где
,
,
Функция f(ϕ) выбирается так, чтобы интеграл
(34) принимал минимальное значение. Этому ус=
ловию удовлетворяет функция, обращающая в
нуль вариацию функционала по f(ϕ) (15).
Взяв вариацию и учитывая, что ,
, получим
. (35)
Полное решение неоднородного уравнения
(35) имеет вид
. (36)2
1 2 2 2
2
' ch ' sh
K
C G C G
G
⎛ ⎞
ϕ + ϕ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )ф
2 к к н
ф 1
r r
Т Т Т Т
r R
⎡ ⎤−
= − −⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
( )2 2
"( ) 0f G f Kϕ − ϕ + =
222 / BDK =
222 / BAG =
( )
( ) ( )
2
2 ф ф ф ф 1
к п 2
1 ф 1 ф 1ф 1
2
ln .
2
r r r r R
Т Т
R r R r Rr R
⎡ ⎤+⎢ ⎥+ − − +
−⎢ ⎥−−⎣ ⎦
( )
ф ф ф2
2 к к к п
1 ф 1 1
ln 2 ln 1
r r r
B T Т Т Т
R r R R
⎛ ⎞
= − − − +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
( ) ( )
( )
2
к п ф 1
2
ф 1
2
Т Т r R
A
r R
− +
=
−
( )ф
к к н
ф 1
( )
r r
Т Т Т Т f
r R
⎡ ⎤−
= − − ϕ⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
ф
1 ф
2 2
2
1
2
t
r
R
rT Т rq T drd L
r
α
ϕ
ϕ
⎡ ⎤− − + ϕ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
2
2
1
0
t r rr
r
T T rT T rq
a r
ϕϕ− − − − =
2 2
2 2 2 2
22 2
2
1
0
T T T Tr
r rq
a t r r r
∂ ∂ ∂ ∂
− − − − =
∂ ∂ ∂ ∂ϕ
( )1
ф
11 1
1 1
1 e
W
t t
QN N
W W
− −⎡ ⎤⎛ ⎞
+ −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
( ) 12 1 1
1 н н к
2 ф 1 1ф 1
ch
1
ch
GR r K K
Т Т Т Т
R r G GG
⎡ ⎤⎡ ⎤ ϕ⎛ ⎞−
= − − − +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟− ϕ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
ф
11
1
1 e
W
t
QN
C
W
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
11
1
( ) e
W
t
QN
f t C
W
−
= +
1 1 1 1
2 2W M P S= + +
1 1
1 1
'( ) ( ) 0
W N
f t f t
Q Q
+ − =
24 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2009, т. 31, № 3
ТЕПЛО# И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
×
×
×
×
Найдем константы и из граничных ус=
ловий (31):
;
. (37)
Подставляя их в (36), найдем
( )
2 н 2
2 ф 2
2 к 2
2
ф 2
1 ch ch
'
sh
K Т K
G G
G Т G
C
G
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − α + − ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
α − ϕ
( )
н 2 2
ф 2 2
к 2 2
1
ф 2
sh 1 sh
'
sh
Т K K
G G
Т G G
C
G
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − ϕ + − α⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠=
α − ϕ
2
'C1
'C
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2009, т. 31, № 3 25
ТЕПЛО# И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
. (38)( )
( ) ( )
( )
н 2 2
ф 2 2
ф к 2 2 2
2 к к н
ф 1 2ф 2
sh 1 sh
sh
Т K K
G G
r r Т G G K
Т Т Т Т
r R GG
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− ϕ − ϕ + − α − ϕ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− α − ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Для нахождения зависимости температуры Т2
от времени запишем функционал, соответствую=
щий уравнению (30):
. (39)
Решение (30) ищем в виде функции (38), ум=
ноженной на неизвестную функцию f(t). Под=
ставляя ее в (39) и интегрируя по r и ϕ, получим
. (40)
Взяв вариацию от (40) по f(t) и приравняв ее
нулю, получим с учетом :
. (41)
Решением неоднородного уравнения (41) яв=
ляется функция
. (42)
Для нахождения константы С учтем (42) в (38)
и условия на фронте кристаллизации: Т2 = Тк при
t = tф, ϕ = ϕф, r = rф, получим
. (43)
Учитывая (43), (42) и (38), найдем температуру
в твердой фазе
2
ф
22
2
1 e
W
t
QN
C
W
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
22
2
( ) e
W
t
QN
f t C
W
−
= +
2 2
2 2
'( ) ( ) 0
W N
f t f t
Q Q
+ − =
( )2 2 2
2W M P= +
ф
ф 1
0 2 2
2
20
2 1
2
rt
t r
R
r
L TT rT Т q rT drd dt
a r
α
ϕ
ϕ
⎧ ⎫
= + + − ϕ⎨ ⎬
⎩ ⎭
∫ ∫ ∫
(44)
( )
( ) ( )
( )
( )2
ф
2
2 н 2
2 ф 2
ф 2 к 2 2
2 к к н
ф 1 2ф 2
2 2
2 2
1 sh sh
h
1 e .
W
t t
Q
K Т K
G G
r r G Т G K
Т Т Т Т
r R Gs G
N N
W W
−
−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− α − ϕ + − ϕ − ϕ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎡ ⎤− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= − − + ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥− α − ϕ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞
× + −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
Скорость движения фронта кристаллизации
найдем из уравнения (7)
. (45)2 1
2 1
1 ф ф
1 1 1T T
t L r r
⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ε
= λ − λ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ρ ∂ϕ ∂ϕ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Вычисляя производные по ϕ от Т1 (28) и Т2 (44) и подставляя их в (45) с учетом (3), получим
26 ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2009, т. 31, № 3
ТЕПЛО# И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
. (46)( )
( )
( )
2 н 2
2 ф 2
ф 2 к 2к 1
ф ф 2 1 1 ф 1
1 1ф 2
1 ch
1 th
sh
K Т K
G G
dr G Т GТ K
r G G
dt L GG
⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − α − ϕ − −⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠α − ϕ = λ − λ − ϕ⎨ ⎬⎜ ⎟ρ α − ϕ ⎝ ⎠⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩ ⎭
а б
в г
Рисунок. Зависимость tф(ϕф) при следующих значениях параметров:
а – q1 = q2=10 К/м2; б – 103; в – 5·103; г – 8·103; 1 – rф=1,3 м; 2 – 1,6; 3 – 1,9; 4 – 2,1.
Решая уравнение (46), найдем время, при ко=
тором фронт кристаллизации достигает коорди=
нат rф, ϕф:
, (47)
где обозначает выражение в фигурных скоб=
ках в формуле (46).
По формуле (47) выполнены численные расче=
ты и построены графики зависимости tф(ϕф) для
разных координат rф при следующих размерах
изложницы и параметров стали: R1 = 1,2 м,
R2 = 2,2 м, α = 10o, Тн = 1833 К, Тк = 1733 К,
Тп = 1433 К, υr = 10–3 м/с, α1 = 4,5·10–6 м2/с,
λ1 = 26,5 Вт/мК, λ2 = 30,3 Вт/мК, ρ = 7,31·103 кг/м3,
L1 = 2,72·105 Дж/кг.
На рисунке представлены графики tф(ϕф, rф)
для q1 = q2 = 10; 103; 5·103; 8·103 К/м2, что соответ=
ствует плотностям тока 2,24; 32; 50; 63,2 А/см2.
Кривые на каждом рисунке соответствуют значе=
ниям rф = 1,3; 1,6; 1,9; 2,1 м. Видно, что фронт
затвердевания движется вначале быстро, а затем
замедляется. Такое поведение для обратной
функции rф(tф) соответствует закону квадратного
корня. Кроме того, видно, что чем больше плот=
ность тока в металле, тем больше выделение
джоулевой теплоты и тем дольше идет процесс
затвердевания.
На графиках (рисунки в, г) кривые 3 и 4 практи=
чески сливаются. Это объясняется тем, что при
плотностях тока, больших 50 А/см2, выделяемая
джоулева теплота становится соизмеримой с тепло=
вым потоком, идущим от фронта затвердевания,
что существенно замедляет процесс затвердевания.
Выводы
Таким образом, регулируя плотность тока, теку=
щего через слиток в области фронта затвердевания,
можно управлять скоростью процесса затвердева=
ния с целью улучшения структуры металла и устра=
нения возможности образования усадочных рако=
вин в центральных областях слитка. Этот способ
управления затвердеванием описан в патенте [8].
ЛИТЕРАТУРА
1. Носоченко О.В., Троцан А.И., Казачков Е.А.
и др. Рациональный режим обработки стали в
промежуточном ковше порошковыми и моно=
литными проволоками. Тезисы докладов на меж=
дународной научно=технической конференции
“Прогрессивные технологии непрерывной раз=
ливки стали” – Донецк: XXI век, Украина, 2002. –
С. 34.
2. Бородецкий И.Л., Троцан А.И., Мельник С.Г.
Зависимость загрязненностей непрерывнолитой
заготовки неметаллическими включениями от
вариантов внепечного рафинирования расплава.
Тезисы докладов на международной научно=тех=
нической конференции “Прогрессивные техно=
логии непрерывной разливки стали” – Донецк:
XXI век, Украина, 2002. – С. 34–35.
3. Круковский П.Г. Методика и результаты
решения инверсных обратных задач нелинейной
нестационарной проводности. – Сб. тр. Тепло=
массообмен – VI. – Минск, 1980. – С. 132–135.
4. Самойлович Ю.А., Ясницкий Л.Н., Каба*
ков З.К. Математическое моделирование тепло=
вых и гидродинамических явлений процесса
затвердевания непрерывного слитка // Известия
Академии Наук СССР. Металлы. – 1982. –
С. 62–68.
5. Недопекин Ф.В. Математическое модели=
рование гидродинамики и тепломассопереноса в
слитках. – Ижевск, 1995. – С. 72,110,140.
6. Дремов В.В., Недопекин Ф.В. Аналитичес=
кий расчет затвердевания расплава в изложнице
// Инж.=физ. журнал. – 2002. – Т. 75, № 6. –
С. 179–184.
7. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в боль=
ших объемах. – М.: Наука, 1975. – С. 20.
8. Дрьомов В.В., Троцан А.І,. Крейденко Ф.С.
та інші. Спосіб обробки рідкого металу в процесі
кристалізації при безперервному розливанні.
Декларац. Патент 55858А, С22В4/00, 15.04.2003.
Бюл. № 4.
Получено 09.06.2008 г.
*C
( ) ( )
2 2
ф 1
ф 1 ф
к *
2
r R
t L
T C
−
= ρ α − ϕ
ISSN 0204�3602. Пром. теплотехника, 2009, т. 31, № 3 27
ТЕПЛО# И МАССООБМЕННЫЕ ПРОЦЕССЫ
|