Мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння

Some sufficient conditions for the existence of a local generalized solution of the initial boundary-value problem for a nonlinear pseudoparabolic equation are obtained. Some conditions for the non-existence of a global solution are obtained too.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Доманська, Г.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2008
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6084
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння / Г.П. Доманська // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 7-14. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-6084
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-60842010-02-17T12:00:47Z Мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння Доманська, Г.П. Математика Some sufficient conditions for the existence of a local generalized solution of the initial boundary-value problem for a nonlinear pseudoparabolic equation are obtained. Some conditions for the non-existence of a global solution are obtained too. 2008 Article Мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння / Г.П. Доманська // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 7-14. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6084 517.95 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математика Математика
spellingShingle	Математика Математика Доманська, Г.П. Мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння
description	Some sufficient conditions for the existence of a local generalized solution of the initial boundary-value problem for a nonlinear pseudoparabolic equation are obtained. Some conditions for the non-existence of a global solution are obtained too.
format	Article
author	Доманська, Г.П.
author_facet	Доманська, Г.П.
author_sort	Доманська, Г.П.
title	Мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння
title_short	Мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння
title_full	Мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння
title_fullStr	Мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння
title_full_unstemmed	Мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння
title_sort	мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Математика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/6084
citation_txt	Мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння / Г.П. Доманська // Доп. НАН України. — 2008. — № 10. — С. 7-14. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT domansʹkagp míšanazadačadlâodnogonelíníjnogopsevdoparabolíčnogorívnânnâ
first_indexed	2025-07-02T09:05:26Z
last_indexed	2025-07-02T09:05:26Z
_version_	1836525423638347776
fulltext	оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 10 • 2008 МАТЕМАТИКА УДК 517.95 © 2008 Г.П. Доманська Мiшана задача для одного нелiнiйного псевдопараболiчного рiвняння (Представлено членом-кореспондентом НАН України Б. Й. Пташником) Some sufficient conditions for the existence of a local generalized solution of the initial boundary- value problem for a nonlinear pseudoparabolic equation are obtained. Some conditions for the non-existence of a global solution are obtained too. Рiвняння та системи псевдопараболiчного типу описують рiзноманiтнi фiзичнi процеси, зокрема фiльтрацiю однорiдних рiдин у трiщинуватих породах [1], процеси теплопровiд- ностi з урахуванням термодинамiчної температури та температури провiдностi [2], перене- сення вологи в грунтi [3], процес застигання клею [4] та iн. У зв’язку з цим починаючи з 50-х рокiв минулого сторiччя вивченню рiвнянь зазначеного типу придiляється велика увага. Задачi для нелiнiйних псевдопараболiчних рiвнянь розглядались О.Л. Гладковим [5– 7], якiй довiв iснування та єдинiсть класичного розв’язку задачi Кошi. О. I. Кожанов [8] довiв теореми порiвняння для регулярного розв’язку задачi Кошi для псевдопараболiчних рiвнянь, з допомогою яких отримав результати щодо iснування та руйнування (неiснуван- ня) регулярних розв’язкiв, вивчив поведiнку розв’язку при t → ∞ i при пiдходi до часу руйнування, дослiдив класи єдиностi розв’язку задачi Кошi. У цiй роботi одержано умови iснування локального розв’язку мiшаної задачi для одного нелiнiйного псевдопараболiчного рiвняння, а також умови неiснування глобального роз- в’язку. Нехай Ω ⊂ R n — обмежена область з межею ∂Ω ⊂ C1, Qτ = Ω × (0, τ), τ ∈ (0, T ), 0 < T < ∞, Ωτ = QT ⋂ {t = τ}. Для просторiв Лебега i Соболєва в деякiй областi D використовуватимемо загально- прийнятi позначення Lp(D) та H1(D), W 1,p(D). Нехай H1 0 (Ω) i W 1,p 0 (Ω) — замикання мно- жини функцiй C∞ 0 (Ω) за нормами просторiв H1(Ω) i W 1,p(Ω) вiдповiдно. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 7 Якщо X — банахiв простiр, то через Lp((0, T );X) (1 6 p < ∞) позначатимемо множину всiх вимiрних за Бохнером функцiй v : (0, T ) → X [9], для яких ‖v‖Lp((0,T );X) = ( T ∫ 0 ‖v(s)‖p Xds )1/p < ∞, де ‖ · ‖X — норма в X. Аналогiчно введемо, простiр H1((0, T );X). В областi QT розглянемо рiвняння ut − n ∑ i,j=1 (aij(x)uxit)xj − n ∑ i,j=1 (cij(x)uxi )xj − n ∑ i=1 (bi(x)\|uxi \|q−2uxi )xi + + a0(x)u − b0(x)\|u\|p−2u = 0 (1) з крайовою умовою u\|ST = 0 (2) i початковою умовою u(x, 0) = u0(x), (3) де ST = ∂Ω × (0, T ). Припускатимемо, що p > q > 2 i виконуються такi умови: (A) : ν0 n ∑ i=1 ξ2 i 6 n ∑ i,j=1 aij(x)ξiξj 6 ν1 n ∑ i=1 ξ2 i , ν0 > 0 майже для всiх x ∈ Ω i для всiх ξ ∈ R n; aij ∈ L∞(Ω), aij = aji, i, j ∈ {1, . . . , n} майже для всiх x ∈ Ω; a0 ∈ L∞(Ω), a0(x) > 0, майже для всiх x ∈ Ω; (B) : bi ∈ L∞(Ω), i ∈ {0, 1, . . . , n}, β0 6 bi(x) 6 β1, β2 6 b0(x) 6 β3, i ∈ {1, . . . , n} майже для всiх x ∈ Ω, β0 > 0, β2 > 0; (C) : n ∑ i,j=1 cij(x)ξiξj > θ0 n ∑ i=1 ξ2 i , θ0 > 0 майже для всiх x ∈ Ω i для всiх ξ ∈ R n; cij ∈ L∞(Ω), cij = cji, i, j ∈ {1, . . . , n} майже для всiх x ∈ Ω. Означення. Функцiю u, яка задовольняє включення u ∈ C([0, T );H1 0 (Ω)) ⋂ L∞((0, T );W 1,q 0 (Ω) ⋂ Lp(Ω)), 8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10 ut ∈ L∞((0, T );H1 0 (Ω)), \|uxi \|q−2u2 xit ∈ L1(QT ), i ∈ {1, . . . , n}, та iнтегральну рiвнiсть ∫ Ωt [ utv + n ∑ i,j=1 aij(x)uxitvxj + n ∑ i,j=1 cij(x)uxi vxj + n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|q−2uxi vxi + + a0(x)uv − b0(x)\|u\|p−2uv ] dx = 0 (4) для майже всiх t ∈ (0, T ) i для всiх v ∈ H1 0 (Ω) ⋂ W 1,q 0 (Ω) ⋂ Lp(Ω), а також умову (3), називатимемо розв’язком задачi (1)–(3). Використовуючи метод монотонностi, описаний у [10], доведено таку теорему. Теорема 1. Нехай виконуються умови (A), (B), (C); q > 2; p ∈ ( 1 + q 2 ,+∞ ) при n ∈ {1, 2}, p ∈ ( 1 + q 2 , 2n n − 2 ) при n ∈ {3, . . . , [q]}, p ∈ ( 1 + q 2 ,min { 2n n − 2 , 2n − 2q + nq 2(n − q) }) при n > [q]; u0 ∈ W 1,2q−2 0 (Ω) ⋂ L2p−2(Ω). Тодi iснує розв’язок задачi (1)–(3) в областi QT , де число T залежить вiд коефiцiєнтiв рiвняння, початкової умови (3) та чисел q, p, n. Нехай u — розв’язок задачi (1)–(3). Розглянемо функцiю E(t) = ∫ Ωt [ 1 2 n ∑ i,j=1 cij(x)uxi uxj + 1 2 a0(x)u2 + 1 q n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|q − 1 p b0(x)\|u\|p ] dx. Зауваження. Можна показати, що ∫ QT n ∑ i=1 \|uxi \|q−2\|uxit\| 2dxdt 6 M < ∞. Це означає, що ∫ QT ( n ∑ i=1 \|uxi \|qdx ) t dt 6 M, тобто функцiя Ut = ( n ∑ i=1 \|uxi \|q ) t ∈ L1(QT ). Але U ∈ L1(QT ). Тому U ∈ C([0, T );L1(Ω)) i функцiя E : [0, T ) → R неперервна i майже для всiх t ∈ [0, T ) iснує похiдна E′(t). Лема. Майже для всiх t ∈ [0, T ) справджується нерiвнiсть E′(t) = − ∫ Ωt [ u2 t + n ∑ i,j=1 aij(x)uxituxjt ] dx 6 0. Доведення. Зазначимо, що майже для всiх t ∈ (0, T ) iснує похiдна E′(t), причому E′(t)= ∫ Ωt [ n ∑ i,j=1 cij(x)uxi uxjt+ a0(x)uut+ n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|q−2uxi uxit−b0(x)\|u\|p−2uut ] dx. (5) ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 9 Прийнявши в рiвностi (4) v = ut, одержимо ∫ Ωt [ u2 t + n ∑ i,j=1 aij(x)uxituxjt + n ∑ i,j=1 cij(x)uxi uxjt + n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|q−2uxi uxit + + a0(x)uut − b0(x)\|u\|p−2uut ] dx = 0 (6) майже для всiх t ∈ (0, T ). З (5), (6) маємо E′(t) = − ∫ Ωt [ u2 t + n ∑ i,j=1 aij(x)uxituxjt ] dx 6 0, що й доводить лему. Теорема 2. Якщо u — розв’язок задачi (1)–(3) в областi Q∞, виконуються умови (A), (B), (C) i, крiм того, E(0) = λ < 0, p > q > 2, то iснує таке число T0, що lim t→T0−0 ∫ Ωt \|u\|pdx = +∞. Доведення. Припустимо, що такого числа T0 не iснує. Розглянемо функцiї H(t) = = −E(t) i L(t) = (H(t))1−α + ε 2 ∫ Ωt u2dx, 0 < α < 1, ε > 0, на промiжку [0,+∞). Тодi L′(t) = (1 − α)H−α(t)H ′(t) + ε ∫ Ωt uutdx (7) для майже всiх t ∈ (0,+∞). Прийнявши в (4) v = u, одержимо ∫ Ωt [ utu + n ∑ i,j=1 aij(x)uxituxj + n ∑ i,j=1 cij(x)uxi uxj + n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|q + + a0(x)u2 − b0(x)\|u\|p ] dx = 0 (8) для майже всiх t ∈ (0,+∞). Враховуючи (8), формулу (7) запишемо у виглядi L′(t) = (1 − α)H−α(t) ∫ Ωt [ u2 t + n ∑ i,j=1 aij(x)uxituxjt ] dx − − ε ∫ Ωt [ n ∑ i,j=1 aij(x)uxituxj + n ∑ i,j=1 cij(x)uxi uxj + n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|q + a0(x)u2 − b0(x)\|u\|p ] dx. 10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10 Нехай A0 = ess sup Ω n ∑ i,j=1 a2 ij(x). Тодi ∫ Ωt n ∑ i,j=1 aij(x)uxituxj dx 6 1 2ε0 H−α(t)A0 ∫ Ωt n ∑ i=1 u2 xitdx + Hα(t)ε0 2 ∫ Ωt n ∑ i=1 u2 xi dx i L′(t) > (1 − α)H−α(t) ∫ Ωt n ∑ i,j=1 aij(x)uxituxjtdx − εA0 2ε0 H−α(t) ∫ Ωt n ∑ i=1 u2 xitdx − − ε0ε 2 Hα(t) ∫ Ωt n ∑ i=1 u2 xi dx − ε ∫ Ωt [ n ∑ i,j=1 cij(x)uxi uxj + n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|q + + a0(x)u2 − b0(x)\|u\|p ] dx. (9) Враховуючи умову (A), маємо (1 − α) ∫ Ωt n ∑ i,j=1 aij(x)uxituxjtdx − εA0 2ε0 ∫ Ωt n ∑ i=1 u2 xitdx > > [ (1 − α)ν0 − εA0 2ε0 ] ∫ Ωt n ∑ i=1 u2 xitdx > 0 (10) при ε 6 2(1 − α)ν0ε0/A0. Крiм того, (оскiльки 2/(q(1 − α)) = 1 ⇔ α = (q − 2)/q) Hα(t) ∫ Ωt n ∑ i=1 u2 xi dx 6 αδ 1/α 1 H(t) + 1 − α δ 1/(1−α) 1 ( ∫ Ωt n ∑ i=1 u2 xi dx )1/(1−α) 6 6 αδ 1/α 1 H(t) + (1 − α)µ q/2 0 δ 1/(1−α) 1 (mes Ω)(q−2)/q ∫ Ωt n ∑ i=1 \|uxi \|qdx 6 6 αδ 1/α 1 H(t) + µ1 δ 1/(1−α) 1 ∫ Ωt n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|qdx, (11) де δ1 > 0, µ1 = (1 − α)µ q/2 0 (mes Ω)(q−2)/q β0 , µ0 = n(q−2)/q. На пiдставi (10) i (11) з (9) одержимо нерiвнiсть L′(t) > − αδ 1/α 1 εε0 2 H(t) − εµ1ε0 2δ 1/(1−α) 1 ∫ Ωt n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|qdx − ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 11 − ε ∫ Ωt [ n ∑ i,j=1 cij(x)uxi uxj + n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|q + a0(x)u2 − b0(x)\|u\|p ] dx > > ε ∫ Ωt [ ( αδ 1/α 1 ε0 4 − 1 ) a0(x)u2 + ( αδ 1/α 1 ε0 4 − 1 ) n ∑ i,j=1 cij(x)uxi uxj + + ( αδ 1/α 1 ε0 2q − µ1ε0 2δ 1/(1−α) 1 −1 ) n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|q− ( αδ 1/α 1 ε0 2p − 1 ) b0(x)\|u\|p ] dx. (12) Якщо αδ 1/α 1 ε0 4 − 1 + δ2 2 > 0, αδ 1/α 1 ε0 2q − µ1ε0 2δ 1/(1−α) 1 − 1 + δ2 q > 0, 1 − αδ 1/α 1 ε0 2p + δ2 p > δ3, q < δ2 < p, 0 < δ3 < 1 − δ2 p , то (при малих ε) L′(t) > ε [ δ2H(t) + δ3 ∫ Ωt b0(x)\|u\|pdx ] > εδ4 [ H(t) + ∫ Ωt b0(x)\|u\|pdx ] , (13) де δ4 = min{δ2, δ3}. Далi маємо [L(t)]1/(1−α) 6 µ3 [ H(t) + ( ε 2 )1/(1−α) ( ∫ Ωt u2dx )1/(1−α)] (14) майже для всiх t ∈ (0,+∞). Оскiльки ( ∫ Ωt u2dx )1/(1−α) 6 µ2µ0(mes Ω)(q−2)/q β0 ∫ Ωt n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|qdx, то з (14) випливає нерiвнiсть [L(t)]1/(1−α) 6 µ3 ∫ Ωt [( − 1 2 [ a0(x)u2 + n ∑ i,j=1 cij(x)uxi uxj ]) − − ( 1 q − ε1/(1−α)µ2µ0(mes Ω)(q−2)/q 21/(1−α)β0 ) n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|q + 1 p b0(x)\|u\|p ] dx = = µ3 { − δ5 2 ∫ Ωt [ a0(x)u2 + n ∑ i,j=1 cij(x)uxi uxj ] dx − δ5 p ∫ Ωt n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|qdx + + δ5 p ∫ Ωt b0(x)\|u\|pdx − 1 − δ5 2 ∫ Ωt [ a0(x)u2 + n ∑ i,j=1 cij(x)uxi uxj ] dx − 12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10 − ( 1 − δ5 q − ε1/(1−α)µ2µ0(mes Ω)(q−2)/q 21/(1−α)β0 ) ∫ Ωt n ∑ i=1 bi(x)\|uxi \|qdx + + 1 − δ5 p ∫ Ωt b0(x)\|u\|pdx } , (15) де 0 < δ5 < 1. З (15) одержуємо оцiнку [L(t)]1/(1−α) 6 µ3δ6 [ H(t) + ∫ Ωt b0(x)\|u\|pdx ] (16) майже для всiх t ∈ (0, T ), де δ6 = max{δ5, (1 − δ5)/p}. На пiдставi оцiнок (13), (16) L′(t) > C0[L(t)]1/(1−α) (17) майже для всiх t ∈ (0, T ). За умовою теореми H(0) = −λ > 0. Тому L(0) = (−λ)1−α + ε ∫ Ω0 u2 0dx i, зменшивши при потребi ε, можемо вважати, що L(0) > ( − λ 2 )1−α := α0. Проiнтегруємо нерiвнiсть (17). Маємо dL (L)1/(1−α) > C0dt, звiдки одержимо, що L(t) > [ 1 − α 1 − α − αC0α α/(1−α) 0 t ](1−α)/α α0. Отже, iснує таке T0 6 T , що lim t→T0−0 L(t) = +∞. Оскiльки H(t) 6 1 p ∫ Ωt b0(x)\|u\|pdx, то з (16) одержуємо твердження теореми. 1. Баренблат Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикл. математика и механика. – 1960. – 24, вып. 5. – С. 852–864. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №10 13 2. Chen P. J., Gurtin M.E. On a theory of head conduction involving to temperatures // Z. angew. Math. und Phys. – 1968. – 19. – P. 614–627. 3. Чудновский А.Ф. Теплофизика почв. – Москва: Наука, 1976. – 352 с. 4. Majchrowski M. On inverse problems with nonlocal condition for parabolic systems of partial differential equations and pseudoparabolic equations // Demonstr. math. – 1993. – 26, No 1. – P. 255–275. 5. Гладков А.Л. Задачи Коши в классах растущих функций для некоторых нелинейных псевдопарабо- лических уравнений // Дифференц. уравнения. – 1988. – 24, № 2. – С. 277–288. 6. Гладков А.Л. Задачи Коши в классах растущих функций для некоторых нелинейных уравнений с частными производными третьего порядка. – Москва, 1984. – 44 с. – Деп. в ВИНИТИ 12.04.84 Эг., № 2282–84. 7. Гладков А.Л. Единственность решения задачи Коши для некоторых квазилинейных псевдопарабо- лических уравнений // Мат. заметки. – 1996. – 60, № 3. – С. 356–362. 8. Кожанов А.И. Теоремы сравнения и разрешимость краевых задач для некоторых классов эволю- ционных уравнений типа псевдопараболических и псевдогиперболических. – Новосибирск, 1990. – С. 1–30. – (Препр. / АН СССР. СО. Ин-т математики; № 17). 9. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферен- циальные уравнения. – Москва: Мир, 1978. – 336 с. 10. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва: Мир, 1972. – 608 с. 11. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1958. – 475 с. Надiйшло до редакцiї 18.03.2008Львiвський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка УДК 512.547.4 © 2008 А.В. Дудко Описание характеров на обобщенных группах движений, связанных с GL(∞, Fq) (Представлено академиком НАН Украины Л. А. Пастуром) Groups Mn,m which generalize the infinite groups of motions over a finite field are introduced. A complete classification of finite-type factor representations for the groups Mn,m is given. Предварительные замечания. Обозначим через Fq конечное поле из q = pl элементов, где l ∈ N, p — простое число. Пусть GL(∞, Fq) — группа всех обратимых бесконечных мат- риц над Fq вида I + A, где A имеет лишь конечное число ненулевых элементов. Обозначим F ∞ q пространство всех бесконечных вектор-столбцов с элементами из Fq, которые начиная с некоторого места равны 0. Пусть {ei} — канонический базис в F ∞ q . Для n, m ∈ N ⋃ {0} положим Mn,m = {h ∈ GL(∞, Fq) : htei = ei при i 6 n, hei = ei при n < i 6 n + m}, (1) где t — обычное транспонирование. Для этих групп в работе дается полное описание фак- тор-представлений конечного типа. 14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №10

Мішана задача для одного нелінійного псевдопараболічного рівняння

Institution

Ähnliche Einträge